Teoremi di immersione di Sobolev

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1 Teoremi di immersioe di Sobolev February 2, 2007 Teorema (Immersioi di Sobolev, caso base). (Sobolev, Gagliardo, Nireberg). Se < ; W ; (R ) L (R ) ; dove = ; e kukl c (; ) krukl : (Notare che è > ) 2. Se =, W ; (R ) L q (R ) er ogi q 2 [; ); e kuk L q c (; q) kuk W ; : 3. (Morrey). Se > ; W ; (R ) L (R ) \ C 0; (R ) dove = 2 (0; ), e kuk L c (; ) kuk W ; ; Osservazioi 2 juj C 0; c (; ) kruk L :. I teoremi dicoo che, saedo che u e ru stao i L ; i realtà u sta i uo sazio migliore di L. (Si caisce meglio esado a fuzioi a suorto comatto, er le quali u 2 L è iù forte di u 2 L ). I teoremi esrimoo il fatto che u certo sazio è immerso co cotiuità i u altro. 2. Nel caso uidimesioale otteiamo le immersioi cotiue: W ; (R) L q (R) er ogi q 2 [; ); e W ; (R) L (R)\C 0; (R) dove = ; se >. Ricordiamo che già saevamo che le fuzioi W ; (R) soo assolutamete cotiue, quidi i articolare limitate, tuttavia ora o avevamo u cotrollo quatitativo sulla sua orma L é sul suo modulo di cotiuità. Ache el caso W ; (R) il teorema a erma qualcosa di uovo.

2 3. Fare attezioe ai casi i cui il rimo membro è cotrollato dalla orma itera di u i W ; ; e quado basta la orma del gradiete (ricordiamo che: gradiete ullo imlica u costate, ma l uica costate i W ; (R ) è zero; quidi o è assurdo che il gradiete da solo cotrolli ua orma di u; erò o semre è vero). 4. Nella, il valore di si uò cogetturare er motivi dimesioali: il gradiete di u o ha le stesse dimesioi di u: a ché la disuguagliaza sia dimesioalmete coerete, ssato l esoete a secodo membro l uico esoete ammissibile a rimo membro è. (*EX) 5. Tutte le immersioi soo shar : er fuori dal rage seci cato esistoo cotresemi che mostrao che le iclusioi soo false. 6. Taleti el 976 ha trovato la miglior costate ossibile ella disuguagliaza (). 7. Poiché W ; (R ) = W ; 0 (R ) ; è su ciete dimostrare le disuguagliaze er u 2 C0 (R ) ; il caso geerale segue er desità. 8. Se alichiamo le disuguagliaze recedeti, i articolare, a fuzioi C0 () co aerto qualsiasi, e oi sfruttiamo la desità, troviamo che le stesse disuguagliaze valgoo er fuzioi W ; 0 (). 9. I articolare, è sigi cativo alicare queste disuguagliaze a W ; 0 () er aerto limitato. I questo caso er il uto si ha: kuk L () jj= kuk L () jj= c (; ) kruk L () er <. La disuguagliaza otteuta kuk L () jj= c (; ) kruk L () er u 2 W ; 0 () co < è detta disuguagliaza di Poicaré, e imlica che i W ; 0 () la orma è equivalete alla sola orma kruk L () ; u fatto che tora sesso utile. Ivece il uto 3, el caso limitato, dà l immersioe cotiua di W ; () (er > ) el solito sazio C 0; () (ricordiamo che questo sazio o è studiato solitamete su tutto R ). 0. E aturale voler otteere disuguagliaze aaloghe ache er W ; () (cioè su u domiio, e fuzioi o ulle al bordo). Se è u domiio co frotiera limitata e lischitziaa, via oeratore di rolugameto T : W ; ()! W ; (R ) ; è facile dedurre dalle disuguagliaze valide er W ; (R ) quelle valide er W ; () (*EX). Euciamo eslicitamete il risultato che si ottiee: Teorema 3 (Immersioe di Sobolev su u domiio) Sia u domiio di estesioe (ad esemio, co frotiera limitata e lischitziaa). Allora: 2

3 . Se < ; W ; () L () ; dove = ; e kuk L () c (; ; ) kuk W ; () : 2. Se =, W ; () L q () er ogi q 2 [; ); e kuk Lq () c (; q; ) kuk W ; () : 3. Se > ; W ; () L () \ C 0; () dove = 2 (0; ), e kuk L () c (; ; ) kuk W ; () ; juj C 0; () c (; ; ) kuk W ; () : Oltre al fatto che ora le costati diedoo ache dal domiio, la di ereza risetto al caso base è che ora a secodo membro comare semre la orma W ; itera, e o solo la orma L del gradiete di u. Questo diede dall alicazioe del teorema di estesioe. Ioltre, ella, è chiaro che la disuguagliaza o otrebbe essere vera se a destra ci fosse solo kruk : si esi che la costate aartiee a W ; () ; se è limitato, e o soddisfa ua simile disuguagliaza. Proseguiamo co le: Osservazioi 4. Se il domiio o ha essua regolarità, essua immersioe di Sobolev è garatita. Cotresemio: la fuzioe x 3 e =x2 de ita i = (x; y) 2 R 2 : x 2 [0; ] ; y 2 h0; e =x2io sta i W ; () ma o sta i L () : (*EX). Modi cado questo esemio, costruire u esemio di fuzioe che sta i W ; () ma o i L () ; er il geerico < (*EX). 2. I teoremi di immersioe si ossoo iterare er otteere teoremi riguardati W k;. Il caso k < è il iù semlice, si ha, ad esemio (alicado il teorema al gradiete di u): W 2; (R ) W ; (R ) L ( ) (R ) da cui, geeralizzado, si ha che er k < ; W k; (R ) L k (R ) co = k k : Il caso k > è iù comlesso, ad esemio er k = 2 occorre distiguere il caso i cui 2 > ma < dal caso i cui >. Nel rimo si ragioa: W 2; (R ) W ; (R ) ; ora > (cotrollare) e quidi W ; (R ) C 0; (R ) er oortuo. Nel secodo si ragioa: ru 2 W ; (R ) C 0; (R ) ; erciò W 2; (R ) C ; (R ) : I de itiva, si ottiee: 3

4 Teorema 5. Se k < ; W k; (R ) L k (R ) ; dove k = k ; e kuk L c (; k; ) D k u L : (Notare che è k > ) 2. Se k =, W k; (R ) L q (R ) er ogi q 2 [; ); e kuk L q c (; k; q) kuk W k; : 3. Se k > ; W k; (R ) L (R ). Ioltre se k h i h = k e = mat k, si ha u 2 C h; (R ), e Osservazioi 6 D h u L c (; k; ) kuk W k; ; D h u C 0; c (; k; ) kuk W k; : o è itero, osto. Il uto 3 del teorema recedete i articolare imlica che se u 2 W k; (R ) er ogi k, allora u 2 C (R ) : Quidi la massima regolarità el seso degli sazi si Sobolev imlica la massima regolarità i seso classico. 2. Ache il teorema co k qualsiasi si uò riformulare er W k; 0 () co domiio qualsiasi. 3. Aalogamete, si uò riformulare er W k; () ; urché sia u domiio er cui vale u teorema di estesioe er W k; () ; ad esemio di classe C k ; : Passiamo ora ai Teoremi di immersioe comatta. Teorema 7 (di Rellich-Kodrachov) Sia u domiio limitato.. Se < ; W ; 0 () b L q () ; er ogi q 2 [; ); dove = (Il simbolo b qui deota l immersioe comatta di uo sazio i u altro). 2. Se =, W ; 0 () b L q () er ogi q 2 [; ): 3. Se > ; W ; 0 () b C 0; () er ogi 2 (0; ) dove = 2 (0; ). Osservazioi 8. Il caso 3 segue subito dall immersioe cotiua di Sobolev e dai teoremi di comattezza C 0; () b C 0; () che seguoo dal teorema di Ascoli-Arzelà. (L idea è: W ; 0 () è immerso co cotiuità i uo sazio C 0; () ; è immerso co comattezza i uo sazio u o iù grade, C 0; ()): : 4

5 2. Il caso 2 segue dal caso. 3. Il caso è la ovità, e (diversamete dal caso C 0; ) o segue dall immersioe cotiua mediate u iclusioe comatta tra sazi L (che o è vera), ma er altra via. Liea della dimostrazioe del caso.. De izioe di isieme relativamete comatto e recomatto i uo sazio metrico. Teorema. Se X è di Baach, E X è relativamete comatto se e solo se è recomatto se e solo se ogi successioe i E ha ua sottosuccessioe covergete i X. 2. Si rova l iclusioe comatta el caso =. Sia B limitato i W ; 0 () ; e roviamo che B è recomatto i L () : Azi, è su ciete suorre che B sia u isieme di fuzioi C0 () ; limitato i W ; 0 () : Per far questo, si de isce l isieme B " delle "-molli cate delle fuzioi di B e si rova che: B " è, er ogi " > 0 ssato, u isieme di fuzioi equicotiue ed equilimitate, e quidi B " è recomatto, er Ascoli-Arzelà; er ogi " > 0; ku u " k L < ": Co questi igredieti si rova che B è recomatto i L. Poi si deve mostrare che l iotesi di fuzioi C0 si uò rimuovere. 3. Per rovare l iclusioe comatta er > ; si usa ua disuguagliaza di iterolazioe er sazi L : kuk kuk kuk er < < 2 e u 2 (0; ) oortuo. Dall immersioe comatta er = iù la disuguagliaza di iterolazioe, iù l immersioe di Sobolev, segue l iclusioe comatta, ragioado su successioi. Estesioi dell immersioe comatta a sazi W ; () er domii di estesioe, e a sazi W k; (). (Vedi Adams.44). Teorema 9 Sia u domiio limitato e lischitziao.. Se k < ; W j+k; () b W j;q () ; er ogi itero j 0; ogi q 2 [; k ); dove k = k : (Il simbolo b qui deota l immersioe comatta di uo sazio i u altro). 2. Se k = ; W j+k; () b W j;q () ; er ogi itero j 0; ogi q 2 [; ): 3. Se k > ; W j+k; () b C j er ogi itero j 0. 2 I articolare: Se è u domiio limitato lischitziao, W k; () b W k itero k e < : ; () er ogi 5