Soluzioni Esercizi Capitolo 2

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1 Soluzioi Esercizi Capitolo Esercizio a. La scala di misura della variabile "tipo di disturbo di persoalità" è la scala omiale, per cui l'iformazioe a disposizioe è limitata al fatto di sapere che u paziete ha u disturbo uguale o diverso rispetto a quello di u altro paziete. b. Poiché la caratteristica rilevata sui pazieti è ua sola, la rappresetazioe tabulare dei dati avviee mediate ua tabella ad ua etrata. Per calcolare le frequeze basta cotare quate volte compare el gruppo di 0 pazieti ogi disturbo di persoalità. La proporzioe è la frequeza di ogi disturbo diviso il umero totale di pazieti, la frequeza percetuale la proporzioe moltiplicato per 00. NB: Poiché la scala di misura della variabile i questioe è omiale, l'ordie delle categorie all'itero della tabella è relativamete irrilevate. Possiamo seguire l'ordie co cui le categorie soo elecate el DSM (tabella di siistra), oppure ordiare le categorie i base alla loro frequeza (tabella di destra). Per lo stesso motivo, o è appropriato calcolare le frequeze, proporzioi e frequeze percetuali cumulate. Si faccia attezioe al fatto che le proporzioi possoo assumere solo valori fra 0 e, quidi dovrebbe essere omesso lo zero prima della virgola. Disturbo Frequeza Proporzioe Percetuale PAR,, SZD,, SZT,0, ASO,0 0,00 BOR,0, IST 6,0 0,00 NAR,07 6,67 EVT,07 6,67 DIP,07 6,67 OCD,07 6,67 NAS,0 0,00 Somma 0,00 00,00 Disturbo Frequeza Proporzioe Percetuale IST 6,0 0,00 PAR,, SZD,, ASO,0 0,00 NAS,0 0,00 NAR,07 6,67 EVT,07 6,67 DIP,07 6,67 OCD,07 6,67 SZT,0, BOR,0, Somma 0,00 00,00 c. I dati misurati su scala omiale vegoo rappresetati graficamete mediate u diagramma (o grafico) a barre, i cui ogi barra ha u'altezza proporzioale alla frequeza della categoria che rappreseta. Si raccomada di avere cura di iserire tutte le etichette ecessarie alla compresioe del grafico da parte del lettore, ossia: titolo dell'asse orizzotale (Tipo di disturbo di persoalità), etichette delle categorie sull'asse orizzotale, titolo dell'asse verticale (Frequeza, oppure Proporzioe, oppure Percetuale): Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

2 7,5 Frequeza PAR SZD SZT ASO BOR IST NAR EVT DIP Disturbo di persoalità OCD NAS Proporzioe,0,5,0,05,00 PAR SZD SZT ASO BOR IST NAR EVT DIP Disturbo di persoalità Soo possibili ache rappresetazioi mediate grafici a barre orizzotali o a torta, ma egli articoli scietifici soo relativamete rare. OCD NAS Disturbo di persoalità NAS OCD DIP EVT NAR IST BOR ASO SZT SZD PAR DIP 7% EVT 7% NAR 7% OCD 7% SZT % NAS 0% BOR % ASO 0% IST 0% SZD % PAR % Frequeza I grafici mostrao come la categoria Istrioico sia quella più frequete. d. Trattadosi di ua scala omiale, l'uico idice di tedeza cetrale calcolabile è la moda, ossia la categoria co la frequeza più alta, che i questo caso è il disturbo Istrioico (IST). Per quato riguarda gli idici di dispersioe, possiamo calcolare il umero di categorie, il rapporto di variazioe (RV), l'idice di diversità (ID) e l'idice di variazioe qualitativa (IVQ). Il umero di categorie è. Il rapporto di variazioe si calcola come: RV f moda 6 RV, 80 0 dove f moda è la frequeza della categoria o classe modale, e è il umero di osservazioi. Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

3 L idice di diversità (ID) si calcola elevado al quadrato la proporzioe p di casi di ogi categoria della variabile, sommado i valori otteuti, e sottraedo la somma da : k ID pi ( p + p + p p i k ) Proporzioe Disturbo Proporzioe (p) al quadrato (p ) PAR,,069 SZD,,069 SZT,0,0009 ASO,0,000 BOR,0,0009 IST,0,000 NAR,07,009 EVT,07,009 DIP,07,009 OCD,07,009 NAS,0,000 Somma,00,5 ID p k i i ( p ID,5,888 + p + p p k ) L'idice di variazioe qualitativa è l'idice di diversità diviso per il massimo idice di diversità possibile i base al umero di categorie k: p ID i IVQ k k k i ( p + p + p k p k ),5,97 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

4 Esercizio a. La variabile "titolo di studio" è misurata su scala ordiale, per cui l'iformazioe relativa ad ogi soggetto rispetto a questa caratteristica è o solo i termii di uguale vs diverso, ma ache di maggiore vs miore. b. Poiché la caratteristica rilevata sui soggetti è ua sola, la rappresetazioe tabulare dei dati avviee mediate ua tabella ad ua etrata. Per calcolare le frequeze basta cotare quate volte compare el gruppo di 0 soggetti ogi titolo di studio. La proporzioe è la frequeza di ogi titolo di studio diviso il umero totale di soggetti, la frequeza percetuale la proporzioe moltiplicato per 00. NB: Poiché la scala di misura della variabile i questioe è ordiale, l'ordie delle categorie all'itero della tabella è rilevate, per cui lo mateiamo. Per questo motivo, i questo caso è appropriato calcolare le frequeze, proporzioi e frequeze percetuali cumulate. Titolo di studio Frequeza Frequeza cumulata Proporzioe Proporzioe cumulata Percetuale Percetuale cumulata Liceza Elemetare,05, Liceza Media,5,0 5 0 Diploma 0,50, Laurea Trieale 7,5, Laurea Specialistica 9,0, Master 0,05, Somma 0,00 00 c. I dati misurati su scala ordiale possoo essere rappresetati graficamete mediate u diagramma (o grafico) a barre, i cui ogi barra ha u'altezza proporzioale alla frequeza della categoria che rappreseta. Oppure, può essere utilizzata l'iformazioe proveiete dalle frequeze/proporzioi/percetuali cumulate per costruire u grafico ad ogiva. Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

5 Frequeza Proporzioe cumulata,00,75,50,5 0 ELE MED DIP LTR LSP MAS,00 ELE MED DIP LTR LSP MAS Titolo di studio Titolo di studio d. Trattadosi di ua scala ordiale, gli idici di tedeza cetrale calcolabili soo la moda e la mediaa. La moda è la categoria co la frequeza maggiore, i questo caso Diploma. La mediaa è quel valore che divide la distribuzioe i due parti uguali, ossia è maggiore del 50% degli altri valori e miore del restate 50%. Per idividuare la categoria ordiata che rappreseta la mediaa dobbiamo prima calcolare la posizioe: Posizioe mediaa + dove è il umero di osservazioi. I questo caso 0, per cui: Posizioe mediaa 0, 5 La mediaa si trova duque i posizioe 0,5. A questo puto adiamo a cercare la posizioe 0,5 ella coloa delle frequeze cumulate: poiché o c'è, ma è compresa fra e, prediamo la frequeza cumulata immediatamete superiore, che è e corrispode alla categoria ordiata Diploma, che duque costituisce la mediaa della distribuzioe. Gli idici di dispersioe calcolabili su ua scala strettamete ordiale come quella i questioe soo il rage (o gamma, o campo di variazioe, o itervallo di variazioe), e il rage (o differeza, o itervallo) iterquartile (IQ). Il rage i questo caso corrispode all'idicazioe del valore miimo e del valore massimo, che soo Liceza Elemetare e Master, rispettivamete. Il rage iterquartile (IQ)corrispode all'idicazioe dei valori corrispodete al primo (Q) e al terzo (Q) quartile. Per idividuare quali categorie ordiate costituiscoo Q e Q dobbiamo prima idividuare la posizioe: ( + ) ( + ) Posizioe Q Posizioe Q dove è il umero di osservazioi. I questo caso 0, per cui: (0 + ) (0 + ) Posizioe Q 5, 5 Posizioe Q 5, 75 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

6 Adiamo a cercare i valori 5,5 e 5,75 ella coloa delle frequeze cumulate, e, come el caso della mediaa, se o troviamo il valore esatto prediamo quello immediatamete superiore. Il valore immediatamete superiore a 5,5 è, per cui Q Diploma, metre il valore immediatamete superiore a 5,75 è 7, per cui Q Laurea Trieale. A questo puto possiamo scrivere i cique umeri di sitesi della distribuzioe: Miimo Q Mediaa Q Massimo Liceza Elemetare Diploma Diploma Laurea Trieale Master Il fatto che Q e mediaa coicidao è idice di ua distribuzioe asimmetrica a siistra, come evidete ache dal grafico a barre. Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

7 Esercizio a. La variabile "puteggio al test" è misurata su scala ad itervalli equivaleti, per cui l'iformazioe relativa ad ogi soggetto rispetto a questa caratteristica è o solo i termii di uguale vs diverso e di maggiore vs miore, ma ache di quato u puteggio è maggiore o miore di u altro. b. Quado i dati soo misurati su scala metrica (itervalli equivaleti o rapporti equivaleti) la rappresetazioe tabulare di ogi sigolo valore o è molto adatta, i quato soo probabili molti valori co frequeza uguale a. I questi casi, però, si può ricorrere al raggruppameto i classi. Possiamo decidere se determiare i aticipo il umero di classi (che determierà a sua volta l'ampiezza di ogi classe), oppure sull'ampiezza delle classi (che determierà a sua volta il umero di classi). Vediamo etrambi i casi. Suppoiamo di desiderare classi di ampiezza. I base alle iformazioi forite, possiamo dedurre che il valore miimo possibile del puteggio al test sia 5 (la scala Likert di risposta ha come valore miimo e gli item soo 5), e come massimo possibile 5. Per cui avremo le segueti 7 classi: 5 7, 8 0,, 6, 7 9, 0 e 5. A questo puto adiamo a cotare quati elemeti cadoo all'itero di ogua di queste classi e realizziamo la tabella. Classe Frequeza Proporzioe Percetuale 5 7, , 5, , ,08 8 0,6 6 5,08 8 Somma 5,00 00 Se ivece decidiamo che è più fuzioale ua rappresetazioe tabulare i termii di puteggio Basso, Medio e Alto, ossia i tre classi ordiate, allora dividiamo la differeza fra il valore massimo e il valore miimo per tre, otteedo così l'ampiezza di ogi classe: ampiezza classe (Massimo Miimo) :/ (5 5) / 6,67 Dato che il risultato o è u umero itero, approssimiamo sempre all'itero superiore, per cui dovremo costruire, a partire dal puteggio 5, classi di ampiezza 7: 5, 8, 9 5. Puteggio Classe Frequeza Proporzioe Percetuale Basso 5, Medio 8 7,8 8 Alto 9 5 7,8 8 Somma 5,00 00 Per ciò che cocere la rappresetazioe grafica dei dati possiamo realizzare u diagramma ramofoglia (stem-ad-leaf) oppure u boxplot (vedi soluzioe Esercizio ). Alterativamete, possiamo geerare u istogramma a partire da uo dei raggruppameti i classi dei puteggi,. Il diagramma ramo-foglia può essere realizzato o cosiderado come raggruppameti le decie, o i gruppi di 5 (per cui, per ogi decia, le uità da 0 a costituiscoo u gruppo diverso da quelle da 5 a 9) Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

8 Proporzioe,5,0,5,0,05, Classe di puteggio Frequeza Ramo Foglie Frequeza Ramo Foglie I base ai dati sulle classi di puteggio può essere utile realizzare ache u grafico ad ogiva Percetuale cumulata Classe di puteggio Trattadosi di ua scala ad itervalli equivaleti, come idici di tedeza di cetrale possiamo calcolare la moda (che i questo caso però sarebbe poco iformativo, se calcolato sui puteggi grezzi), la mediaa e la media. Per calcolare la mediaa dobbiamo mettere i ordie i valori x, assegare ad ogi valore u rago R (idipedetemete dal fatto che alcui valori siao uguali) e idividuare il valore mediao i base alla sua posizioe: x R La posizioe della mediaa è Posizioe mediaa Il valore i posizioe è il puteggio, che duque costituisce la mediaa della distribuzioe. La media, ivece, viee calcolata come somma di tutti i puteggi diviso il umero di puteggi: Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

9 M ,0 I questo caso sarebbe stato iappropriato calcolare la media o la mediaa a partire dai dati raggruppati i classi, dato che avevamo a disposizioe i dati grezzi. Gli idici di dispersioe calcolabili su ua scala metrica soo lo scostameto semplice medio (SSM), deviaza (SS), la variaza (s )e la deviazioe stadard (s). Lo scostameto semplice medio è uguale alla somma dei valori assoluti degli scarti dalla media diviso il umero di osservazioi. Per cui, dobbiamo calcolare per ogi puteggio il suo scarto dalla media, elimiare il sego, sommare tutti questi valori e dividere per 5. Questa operazioe può essere fatta valore per valore, oppure, sui dati raggruppati per frequeze. I quest'ultimo caso, si faccia attezioe a calcolare prima lo scostameto semplice, a moltiplicarlo per frequeza del valore x e a sommare i prodotti della frequeza per lo scostameto semplice: Puteggio x x M,0,0 9,96 5 0,96 0,0 6 8,0,0,0 6,96 0,0 5 0,96 0 5,96 9,96 0,0 5 9,0 8,96 8 6,0 6,96 5 0,96 0,0 6,96 6 8,0 6,96,0 7 7,0 Somma, Puteggio x Frequeza f x M f x M 5 9,0 9,0 6 8,0 6,08 7 7,0 7,0 8 6,0 6,0 0,0 8,08,0,6,0,0 0,0 0,08 5 0,96,9 6,96,96 8,96,96 9,96,96 0 5,96 5,96 6,96 0,88 9,96 9,96 5 0,96 0,96 Somma 5, Lo scostameto semplice medio sarà quidi xi M i, SSM, 8 5 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

10 La deviaza è la somma degli scarti dalla media elevati al quadrato. Ache i questo caso possiamo utilizzare u approccio per sigolo valore o per dati raggruppati i frequeze: Puteggio x (x M),6 9, 99,0 5 0,9 0,00 6 6,6 9, 9, 6,8 0,00 5 0,9 0 5,5 9,60 0 6, 5 8,7 8 5,68 8 6,8 8, 5 0, 0 6, 8, 6 6,6 8, 9, 7 9,56 Somma 86,960 Puteggio x Frequeza f (x M) f (x M) 5 8,7 8,7 6 6,6 9,8 7 9,56 9,56 8 6,8 6,8 0 6,,6 9, 6,966,6,6 0,00 0,00 5 0,9,8 6,8,8 8 5,68 5,68 9,60,60 0 5,5 5,5 8, 5,5 99,0 99,0 5 0, 0, Somma 5 86,960 La deviaza è quidi uguale a: SS ( x M ) 86, 96 La variaza, ivece, è la deviaza diviso il umero di osservazioi, per cui: s SS, 68 i i Si oti che la variaza avrebbe potuto essere calcolata ache seza calcolare la deviaza co la formula: s i x i i x i i x i M I questo caso avremmo dovuto elevare al quadrato ogi sigolo valore x, sommare i quadrati, dividere per e sottrarre la media elevata al quadrato. Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

11 La deviazioe stadard o è altro che la radice quadrata della variaza, per cui: s,68 5,7 L'aver calcolato media e deviazioe stadard ci permette di stadardizzare i puteggi mediate la formula: z x M s x,0 5,7 Se poi vogliamo trasformare i puteggi z i ua distribuzioe co media 00 e deviazioe stadard 0 (per comodità idichiamo co w questi uovi puti stadard), basta utilizzare la seguete formula: uovo puto stadard w uova deviazioe stadard z + uova media 0 z + 00 Puteggio x z w 5 -,58 68,9 6 -, 7,89 7 -, 75,8 8 -,06 78,88 0-0,7 85,87-0,5 89,7-0,6 9,87-0,0 99,86 5 0,7 0,6 6 0, 06,85 8 0,69,85 9 0,87 7, 0,0 0,8,,,7,8 5,9 8, f. Se u puteggio si trova 0,7 deviazioi stadard sotto alla media, sigifica che il suo puto z è 0,7, per cui occorre trovare quel valore per cui: Basta risolvere l'equazioe per x: 0, 7 x M s x ( 0,7) s + M ( 0,7) 5,7 +,0 0,0 Allo stesso modo idividuiamo quel valore che si trova,8 deviazioi stadard sopra la media: x,8 5,7 +,0, Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

12 Esercizio a. La variabile "umero di errori" è ua variabile misurata su scala a rapporti, per cui possiamo calcolare sia i cique umeri sitesi (miimo, primo quartile [Q], mediaa, terzo quartile [Q]e massimo), che riguardao l'iformazioe a livello ordiale, sia le costati descrittive (miimo, massimo, media, deviazioe stadard, skewess e curtosi), che riguardao l'iformazioe a livello metrico. Per calcolare i cique umeri di sitesi iazitutto dobbiamo ordiare i puteggi e assegare loro u rago: Puteggio Rago Il miimo e il massimo soo facilmete idividuabili ei valori e. Per mediaa, Q e Q occorre prima calcolare la posizioe: ( + ) (0 + ) Posizioe Mediaa 5, 5 ; ( + ) (0 + ) Posizioe Q, 75; ( + ) (0 + ) Posizioe Q 8, 5 La posizioe 5,5 si trova a metà fra la posizioe 5 e la posizioe 6, occupate rispettivamete dai puteggi 6 e 7. La mediaa sarà quidi la semisomma di questi due puteggi, ossia (6+7)/ 6,5. La posizioe di Q (,75) cade fra i puteggi e, che soo i posizioe e, rispettivamete. Per calcolare Q basta moltiplicare la differeza fra e per la parte decimale della posizioe (i questo caso 0,75) e aggiugerlo al puteggio iferiore fra i due cosiderati (i questo caso ): Q ( ) 0,75 +,75 Mediate lo stesso procedimeto idividuiamo il valore di Q, che essedo i posizioe 8,5 cade fra la posizioe 8 e 9, occupate dai valori e, rispettivamete: Q ( ) 0,5 +,50 Poiché l'iformazioe è a livello metrico ha seso calcolare ache la differeza iterquartile Q Q,50,75 7,75. I cique umeri di sitesi soo quidi: Miimo Q,75 Mediaa 6,5 Q,5 Massimo Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

13 Nel caso delle costati descrittive abbiamo già idividuato miimo e massimo ( e, rispettivamete), metre dobbiamo calcolare media, deviazioe stadard, skewess e curtosi. La media è M ,0 0 metre la deviazioe stadard la calcoliamo co la formula "abbreviata": s i x i M , 0,8 Per il calcolo della skewess e della curtosi abbiamo bisogo della somma dei quadrati, dei cubi e delle quarte poteze degli scarti dalla media, dato che le formule soo ( xi M ) ( + ) ( xi M ) ( xi M ) ( ) i i i SK KU ( ) ( ) s ( ) ( ) ( ) s A questo puto basta applicare le formule: ( xi M ) i SK ( ) ( ) s ( + ) KU i Puteggio x (x M) (x M) (x M),96 6,66 67,96 0 6,76 7,58 5,70,56 87,50 897,7 7 0,6-0,06 0,0 6,96 -,7,8 5 5,76 -,8,8,56-9,0,6 9,6-85,8 7,8,6 75,6 98,5 0,96-6, 677,7 Somma 7,0,08 57,79,08 0 (0 ) (0 ),8 ( xi M ) ( xi M ) i ( ) ( ) ( ) s 0, [ 0 (0 + ) 57,79] [ 7,0 (0 ) ], 5 (0 ) (0 ) (0 ),8 Le costati descrittive soo quidi: Miimo Massimo ( ) Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

14 Media 7,0 DS,8 Skewess 0, Curtosi,5 Per rappresetare graficamete i dati utilizziamo u grafico box-ad-whisker. I questo grafico rappresetiamo ua "scatola" il cui margie superiore corrispode a Q e il cui margie iferiore corrispode a Q. All'itero della "scatola" segeremo co u tratto più spesso la mediaa e aggiugeremo dei "baffi" che possoo corrispodere o al miimo e al massimo (grafico di siistra), oppure ua distaza di,5 volte la differeza iterquartile (i questo caso,5 7,75,6) da Q e Q (grafico di destra). Iserire qui figura Esercizi..svg Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

15 Esercizio 5 a. I base ai dati a disposizioe siamo i grado di costruire parte della tavola di cotigeza richiesta: Livello sitomatologia Diagosi Basso Medio Alto Totale UM 5 50 CA AN 7 5 PS 9 Totale 50 Per quato dei dati o siao stati foriti, otiamo come essi siao derivabili da quelli a disposizioe. Ad esempio, il umero di pazieti co psicosi è derivabile come: 50 ( ) 5 Allo stesso modo, per differeza rispetto al totale margiale di riga è possibile calcolare gli altri dati macati (i grassetto ella tabella seguete): Livello sitomatologia Diagosi Basso Medio Alto Totale UM 5 50 CA AN PS 9 5 Totale Per calcolare le percetuali cogiute occorre dividere ogi frequeza cogiuta (ossia, ogi frequeza di cella) per il totale dei soggetti (50) e moltiplicare per 00. Per cui avremo che la percetuale di pazieti co disturbi dell'umore e bassa sitomatologia sarà /50 008,67, la percetuale di pazieti co disturbi del comportameto alimetare e sitomatologia media sarà 8/ ,, etc., da cui la tabella seguete: Livello sitomatologia Diagosi Basso Medio Alto Totale UM / 50 x 00 / 50 x 00 5 / 50 x / 50 x 00 CA 5 / 50 x 00 8 / 50 x 00 7 / 50 x 00 0 / 50 x 00 AN 7 / 50 x 00 / 50 x 00 7 / 50 x 00 5 / 50 x 00 PS / 50 x 00 / 50 x 00 9 / 50 x 00 5 / 50 x 00 Totale 8 / 50 x 00 / 50 x / 50 x / 50 x 00 Livello sitomatologia Diagosi Basso Medio Alto Totale UM 8,67 8,00 6,67, CA, 5,, 0,00 AN,67 7,,67 6,67 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

16 PS 5, 8,67 6,00 0,00 Totale,00 9, 8,67 00,00 Per calcolare le frequeze percetuali di riga occorre dividere ciascua frequeza di cella per il rispettivo totale margiale di riga. Questo sigifica che dovremo dividere le frequeze della riga corrispodete di disturbi dell'umore per 50, quelle della riga corrispodete ai disturbi alimetari per 0, e così via. Livello sitomatologia Diagosi Basso Medio Alto Totale UM / 50 x 00 / 50 x 00 5 / 50 x / 50 x 00 CA 5 / 0 x 00 8 / 0 x 00 7 / 0 x 00 0 / 50 x 00 AN 7 / 5 x 00 / 5 x 00 7 / 5 x 00 5 / 5 x 00 PS / 5 x 00 / 5 x 00 9 / 5 x 00 5 / 5 x 00 Totale 8 / 50 x 00 / 50 x / 50 x / 50 x 00 Livello sitomatologia Diagosi Basso Medio Alto Totale UM 6,00,00 50,00 00,00 CA 6,67 6,67 56,67 00,00 AN 8,00,00 8,00 00,00 PS 5, 8,89 0,00 00,00 Totale,00 9, 8,67 00,00 Si oti u aspetto fodametale di questa tabella: le percetuali codizioate dei totali di margiali di coloa o corrispodoo alla somma delle percetuali codizioate di riga di quella coloa, i quato soo calcolate come frequeza margiale di coloa diviso umero di soggetti. Le somme sulle righe, ivece, devoo essere ecessariamete uguali a 00. Per calcolare le frequeze percetuali di coloa occorre dividere ciascua frequeza di cella per il rispettivo totale margiale di coloa. Questo sigifica che dovremo dividere le frequeze della coloa corrispodete ad ua sitomatologia bassa per 8, quelle della coloa corrispodete ai ad ua sitomatologia media per, e così via. Livello sitomatologia Diagosi Basso Medio Alto Totale UM / 8 x 00 / x 00 5 / 58 x / 50 x 00 CA 5 / 8 x 00 8 / x 00 7 / 58 x 00 0 / 50 x 00 AN 7 / 8 x 00 / x 00 7 / 58 x 00 5 / 50 x 00 PS / 8 x 00 / x 00 9 / 58 x 00 5 / 50 x 00 Totale 8 / 8 x 00 / x / 58 x / 50 x 00 Livello sitomatologia Diagosi Basso Medio Alto Totale UM 7,08 7,7,0, CA 0, 8,8 9, 0,00 AN,58 5,00,07 6,67 PS 7,9 9,55 5,5 0,00 Totale 00,00 00,00 00,00 00,00 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

17 Aalogamete al caso precedete, le percetuali codizioate dei totali di margiali di riga o corrispodoo alla somma delle percetuali codizioate di coloa di quella riga, i quato soo calcolate come frequeza margiale di riga diviso umero di soggetti. Le somme sulle coloe, ivece, devoo essere ecessariamete uguali a 00. b. Per rappresetare graficamete i dati i modo appropriato occorre utilizzare u grafico a barre affiacate, i cui le categorie di ua variabile adrao sull'asse orizzotale, e le categorie dell'altra sarao distite da u diverso colore, come idicato ella legeda. I etrambi i casi possoo essere utilizzate le frequeze grezze oppure quelle cogiute percetuali 0 5 Frequeza Basso Medio Alto 0 UM CA AN PS Diagosi Percetuale Basso Medio Alto Livello sitomatologia UM CA AN PS Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

18 Esercizio 6 a. I questo caso i soggetti soo classificati rispetto a tre variabili, per cui è ecessaria ua tabella ad etrata multipla. Il modo i cui disporre ella tabella le variabili dipede dagli scopi dell'aalisi: per esempio potremmo voler evideziate se i base a geere e codizioe di peso viee praticato uo sport, oppure se i base a geere e pratica sportiva c'è ua diversa codizioe di peso, come elle due tabelle segueti: Sport Geere Peso No Sì Sotto 5 F Norma 6 Sopra Sotto 5 M Norma Sopra 6 Peso Geere Sport Sotto Norma Sopra F No 6 Sì 5 M No 6 Sì 5 b. Ache per la rappresetazioe grafica dei dati possiamo scegliere quali aspetti evideziare i base a quale variabile viee iserita sull'asse orizzotale, quale distita da barre affiacate di colore diverso e quale da diverse parti del grafico: 7 6 Femmie Maschi P 5 Frequeza Norma Sopra Sotto 0 No Sì No Sì Sport Frequeza Femmie Maschi Sotto Norma Sopra Sotto Norma Sopra Codizioe di peso Sport No Sì Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

19 Esercizio 7 La situazioe proposta è u po' particolare, i quato le ampiezze delle classi ordiate o soo tutte uguali. A parte qualche miimo aggiustameto elle formule e ella rappresetazioe grafica, comuque, o cambia iete rispetto agli altri esempi già visti. a. Comiciamo co l'idividuare i limiti reali di classe e l'ampiezza di ogi classe. I limiti reali si ottegoo sottraedo mezza uità di misura al limite tabulato iferiore e aggiugedo mezza uità di misura al limite tabulato superiore. L'ampiezza si calcola come differeza fra il limite reale superiore e quello iferiore (oppure come limite tabulato superiore meo limite tabulato iferiore più uo) Classe di età Limiti reali Ampiezza Frequeza Frequeza cumulata 0-0,5, ,5 5, ,5 0, ,5, ,5 9, Totale 68 La classe modale i questo caso è 5 ai, poiché è quella co la frequeza maggiore (9). La classe mediaa si trova i posizioe / (dove è il umero di soggetti), ossia 68 / 8. Il valore 8 o compare ella coloa della frequeza cumulata, per cui prediamo il valore immediatamete superiore, che è 07, a cui corrispode la classe 6 0 ai. Se volessimo ua stima più precisa del valore della mediaa potremmo ricorrere alla formula geerale dei quatili: Quatile Limite reale iferiore classe del quatile + posizioequatile F if A F quatile dove: Limite reale iferiore classe del quatile è quello della classe che cotiee il quatile posizioe quatile posizioe del quatile F if somma delle frequeze di tutte le classi iferiori alla classe che cotiee il quatile F quatile frequeza della classe che cotiee il quatile A ampiezza dell itervallo di classe che cotiee il quatile I questo caso il limite reale iferiore della classe mediaa è 5,5, la sua posizioe 8, la frequeza cumulata immediatamete iferiore alla classe mediaa è 6, la frequeza della classe mediaa è e la sua ampiezza 5, per cui: 8 6 Mediaa 5, ,8 Lo stesso procedimeto ci sarà utile al puto (b) per idividuare i vari idici di posizioe. La media viee stimata moltiplicado la frequeza della classe per il puto medio della classe, sommado questi prodotti e dividedo per il umero di soggetti: Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

20 Classe di età Puto medio della classe Frequeza Puto medio Frequeza ,5 6, Totale 68 0 La stima della media è duque 0 / 68 8,5. b. Per calcolare gli idici di posizioe richiesti dobbiamo iazitutto calcolare le posizioi dei vari idici i base alla formula: Quatile desiderato Numero di parti i cui è divisa la distribuzioe 68 Posizioe T Posizioe Q 5, Posizioe P5 5, Posizioe Q 6 68 Posizioe D 67, 0 I dodicili e gli ottili idicao che la distribuzioe deve essere divisa i dodici e otto parti, rispettivamete, per cui le formule soo: Posizioe Do0 0; Posizioe O ; 8 A questo puto basta applicare la formula già utilizzata per calcolare la mediaa: T,5 + 5,0 Q 0,5 +,6 9 6, 07 67, 6 Q 5 0,5 +,5 D 5, ,87 6 5, P5,5 +,; Do0 0,5 +, O,5 +,5 9 Classe di età Limiti reali Ampiezza Frequeza Frequeza cumulata 0-0,5, ,5 5, ,5 0, Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

21 0,5, ,5 9, Totale 68 c. La richiesta di questo puto è per certi aspetti "iversa" alla precedete. I primo luogo, occorre determiare per ogi puteggio la sua posizioe "grezza" mediate la formula: puteggio Limite reale iferiore Posizioe F if + classe puteggio Fputeggio A dove: F if somma delle frequeze di tutte le classi iferiori alla classe che cotiee il puteggio Limite reale iferiore classe puteggio è quello della classe che cotiee il puteggio A ampiezza dell itervallo di classe che cotiee il puteggio F Puteggio frequeza della classe che cotiee il puteggio Ua volta otteuta la posizioe, adremo a calcolare il rago quatile del puteggio mediate la seguete formula: Rago Quatile posizioe puteggio Numero di parti i cui è divisa la distribuzioe Il puteggio ai cade ella classe, che ha frequeza cumulata iferiore 07, limite reale iferiore 0,5, ampiezza e frequeza 6, per cui: 0,5 9,5 Posizioe RT() ,5, per cui RT(), 68 Allo stesso modo risolviamo gli altri quesiti: 7 5,5 50,5 Posizioe RQ(7) ,5, per cui RQ(7), ,5 9,5 5 Posizioe RQ 5 () ,5, per cui RQ 5 (), ,5 0,7 0 Posizioe RD(0) 6 + 0,7, per cui RD(0) 6, ,5 76,9 00 Posizioe RP(7) ,9, per cui RD(7) 5, I settili e i tredicili suggeriscoo che la distribuzioe è divisa i 7 e parti, rispettivamete, quidi: 0,5,5 7 Posizioe RS() ,5, per cui RS() 5, ( 0,5) 7,5 Posizioe RT () , 5, per cui RT () 0, Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

22 I dati possoo essere rappresetati graficamete co u istogramma o co ua liea spezzata. Nel caso dell'istogramma si può rappresetare ache la diversa ampiezza di classe Frequeza Frequeza Classe di puteggio Classe di puteggio Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

23 Esercizio 8 a. I questo caso ci troviamo di frote alle risposte otteute da ua scala Likert, che di per sé sarebbero ordiali, ma che ella comue pratica psicometria vegoo cosiderate come misure su scale ad itervalli, da cui la richiesta del calcolo delle costati descrittive. Per etrambi gli item Per calcolare la media e la deviazioe stadard utilizziamo le segueti formule: M fi xi fi xi i i s M per cui abbiamo bisogo di moltiplicare i puteggi e i quadrati dei puteggi per le rispettive frequeze: Item Item Puteggio x Frequeza f f x x f x Somma A questo puto calcoliamo media e deviazioe stadard per i due item: M , s, 99,69 78 M , 766 s 5,,9 78 Puteggio x Frequeza f f x x f x Somma Per calcolare Skewess e Curtosi abbiamo bisogo per ogi valore degli scarti dalla media al quadrato, al cubo e alla quarta poteza, e di moltiplicarli per le rispettive frequete Item Item x f (x M) (x M) (x M) f (x M) f (x M) f (x M) 70 8,9-6,7 79,9 65,8-87,6 559,78 0,96-7,88 5,68 8,80-6, 70,7 59 0,98-0,97 0,96 57,8-57,5 56,68 0 0,00 0,00 0,00 0,0 0,00 0, ,0,0,0 0,7,7,9 6 09,0 8, 6, 0,7 885,5 779, Somma 78 5,99-68, 80,5 x f (x M) (x M) (x M) f (x M) f (x M) f (x M) 5 9,6-86,9 85, 9,7-0, ,05 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

24 7,76-0,5 8, 8,5-8,8 968,89 8 5,90 -,5,87 06,9-58,8 67,6 9,0 -,9,8 59,0-8,80, ,8-0,08 0,0 0,5 -,5, , 0,9 0,,6 65,9 7,6 Somma , -868,98 75,9 A questo puto possiamo calcolare skewess e curtosi per etrambi gli item: SK KU SK ( xi M ) i ( ) ( ) s 68, 78 (78 ) (78 ),69 ( + ) i ( xi M ) ( xi M ) i ( ) ( ) ( ) s [ 78 (78 + ) 80,5] [ 5,99 (78 ) ] 0, 89 KU (78 ) (78 ) (78 ),69 ( xi M ) i ( ) ( ) s 868,98 78 (78 ) (78 ),9 ( + ) i ( xi M ) ( xi M ) i ( ) ( ) ( ) s [ 78 (78 + ) 75,9] [ 667, (78 ) ] 5, 0 (78 ) (78 ) (78 ),9 Le costati descrittive per i due item soo quidi: 0,86 ( ),77 ( ) Item N Mi Max M DS SK KU item0 78 6,99,69 0,86 0,89 item ,,9,77 5,0 b. I dati possoo essere rappresetati mediate istogramma o poligoo di frequeza: Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

25 Item Item Frequeza Frequeza Puteggio Puteggio Item Item Frequeza Frequeza Puteggio Puteggio Dai grafici possiamo cocludere che etrambi gli item hao ua otevole skewess egativa ("gobba" a destra). c. Data la diversità delle distribuzioi delle risposte ai due item, il sigificato del puteggio cambia i base all'item cosiderato. I questo caso possiamo avere due approcci al problema: u approccio ordiale, che cosiste el calcolare il rago percetile del puteggio i etrambi gli item, o u approccio metrico, che cosiste ello stadardizzare il puteggio i riferimeto a media e deviazioe stadard di etrambi gli item. Nel caso della determiazioe del rago percetile del puteggio i etrambi gli item, occorre cosiderare i puteggi come classi di ampiezza : x Limiti reali f f cumulata 0,5, ,5,5 0 00,5, ,5, ,5 5, ,5 6, Somma 78 x Limiti reali f f cumulata 0,5,5 5 5,5,5 7,5,5 8 0,5, ,5 5, ,5 6, Somma 78 Per trovare il rago percetile del puteggio abbiamo bisogo della seguete procedura: Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

26 puteggio Limite reale iferiore Posizioe F if + classe puteggio Fputeggio A dove: F if somma delle frequeze di tutte le classi iferiori alla classe che cotiee il puteggio Limite reale iferiore classe puteggio è quello della classe che cotiee il puteggio A ampiezza dell itervallo di classe che cotiee il puteggio F Puteggio frequeza della classe che cotiee il puteggio Ua volta otteuta la posizioe, adremo a calcolare il rago quatile del puteggio mediate la seguete formula: Rago Percetile posizioe puteggio 00,5 9,5 00 Posizioe RP () ,5, per cui RP () 7, 09 78,5 00 Posizioe RP () + 8, per cui RP () 6, 9 78 Da questi risultati possiamo cocludere che il puteggio ha u rago percetile di 7,09 ell'item e di 6,9 ell'item, ossia, è maggiore del 7.09% degli altri puteggi ell'item e del 6,9% degli altri puteggi ell'item. Quidi, è u puteggio relativamete più alto ell'item. Saremmo giuti alla stessa coclusioe ache co la trasformazioe del puteggio i puti z i base a media e deviazioe stadard dei due item:,99 5, z 0,59 z, 0,69,9 Rispetto a prima, adesso sappiamo che il puteggio si colloca quasi 0,6 deviazioi stadard sotto la media ell'item, e oltre due deviazioi stadard sotto la media ell'item. La variabilità assoluta è data dalla deviazioe stadard: i questo seso, l'item ha maggiore variabilità assoluta perché la sua deviazioe stadard è,69, metre quella dell'item è,9. Per quato riguarda la variabilità relativa, ivece, occorre calcolare il coefficiete di variazioe:,69,9 CV 00,6 CV 00, 9,99 5, Questi risultati ci portao a cocludere che l'item è ache l'item co la maggiore variabilità relativa. Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 00 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia