Appunti di Matematica 1 - Numeri razionali - I numeri razionali. Le frazioni

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1 Appunti di Mtemtic I numeri rzionli Le frzioni Definimo un frzione come il rpporto di due numeri interi cioè n n, d Ζ con d 0 d in cui il numero scritto sopr ll line di frzione viene chimto numertore e il numero scritto sotto ll line di frzione viene detto denomintore. n corrisponde d n d e quindi il denomintore deve essere diverso d zero. Esempio l frzione corrisponde. Per rppresentre l frzione sull line numeric devo dividere l unità in quttro prti e prenderne tre. Esempio l frzione seguente punto corrisponde ( ) ( + ) e srà rppresentt sull rett numeric dl Frzioni equivlenti Se moltiplico il numertore e il denomintore di un frzione per uno stesso numero diverso d zero ottengo un frzione equivlente (rppresentno lo stesso punto sull rett numeric). Per esempio è equivlente poiché ( ) ( ) 8 Scriveremo che 8 Dicimo nche che dividendo e 8 per semplifichimo l frzione / 8/

2 Appunti di Mtemtic Frzione ridott i minimi termini Dt un frzione posso ridurl i minimi termini dividendo numertore e denomintore per il M.C.D. ( n,d ). Esempio (frzione ridott i minimi termini) 0 Aimo diviso e 0 per 8 che è il M.C.D. (,0). L frzione è ridott i minimi termini qundo non si può ulteriormente semplificre, qundo cioè M.C.D. (n,d ) Ridurre due frzioni llo stesso denomintore E molto importnte ridurre due frzioni llo stesso denomintore se inftti due frzioni hnno lo stesso denomintore potrò confrontrle o sommrle. Considerimo per esempio e. Perché ino lo stesso denomintore posso sempre considerre il prodotto dei due denomintori come denomintore comune Generlmente però si prende come denomintore comune il m.c.m. ( d, d ) cioè il minimo comune multiplo dei due denomintori e si dice che imo ridotto le frzioni l minimo comun denomintore. Nel nostro cso st prendere m.c.m (,) e vremo

3 Appunti di Mtemtic I numeri rzionli Chimimo numero rzionle un insieme di frzioni tr loro equivlenti. Per esempio,,, ecc rppresentno lo stesso numero rzionle 8 ugule l risultto dell divisione ( ) 0,. 9 Per esempio,, ecc rppresentno lo stesso numero rzionle ugule l risultto 8 dell divisione 0,. L insieme dei numeri rzionli viene indicto con l letter Q (q st per quoziente ). Osservzione All interno di Q ritrovimo i numeri interi Z per esempio rzionle corrisponde l numero intero -. Si dice che Q è un mplimento di Z.,, ecc cioè il numero

4 Appunti di Mtemtic Confronto di numeri rzionli Come si possono confrontre due numeri rzionli? Per esempio tr e qule srà il numero mggiore? Possimo portre le frzioni llo stesso denomintore e poi confrontre i numertori sceglimo m.c.m. (,) < Not Occorre fre ttenzione qundo i numeri rzionli sono negtivi. Supponimo di considerre, Aimo, 0 0 M quest volt, essendo >, vrò >

5 Appunti di Mtemtic Esercizi ) Riduci le seguenti frzioni i minimi termini ) Rppresent sull stess rett numeric le seguenti frzioni ) Confront le seguenti frzioni,, 0, )* Qul è l frzione che si trov metà tr e? Suggerimento, quindi devi trovre l frzione metà tr e

6 Appunti di Mtemtic Operzioni tr numeri rzionli Somm e differenz di numeri rzionli Per determinre l somm (o l differenz) tr due numeri rzionli li riducimo llo stesso denomintore e clcolimo l somm (o l differenz) dei numertori. Esempio Prodotto di numeri rzionli Il prodotto di due numeri rzionli è un rzionle che h per numertore il prodotto dei numertori e per denomintore il prodotto dei denomintori cioè Esempio c d c d Inftti è chiro che rddoppire signific vere. Esempio In questo cso doimo prendere l metà di e quindi ottenimo. Quoziente di numeri rzionli Dimo prim l definizione di reciproco di un numero rzionle. Dto un numero rzionle il suo reciproco è Esempio il reciproco di è Osservimo che se moltiplichimo un numero rzionle per il suo reciproco ottenimo. Inftti

7 Appunti di Mtemtic 8 Il quoziente di due numeri rzionli (con il diverso d zero) è ugule l prodotto del per il reciproco del numero. Cioè Inftti, in questo modo, fcendo l riprov, ottenimo che Esempio Inftti NOTA osservimo che dividendo un numero rzionle per un numero rzionle minore di ottenimo un numero mggiore di. Per esempio > > NOTA possimo scrivere l divisione tr due numeri rzionli nche con l line di frzione. Esempio Esempio Esempio In generle c d d c OSSERVAZIONE l divisione tr numeri rzionli dà come risultto un numero rzionle (è un operzione intern Q). c d d c d c c d

8 Appunti di Mtemtic 9 m n m n Potenz di un numero rzionle ) n n n ( ) 0 ( n numero nturle) Esempio 9 ( ) ( ) 9 + ( ) 8 )? n Qule significto possimo ssocire d un potenz con esponente negtivo? Fccimo un esempio Applicndo l proprietà delle potenze vremmo Se llor voglimo un definizione coerente doimo porre Dimo llor l seguente definizione n n ( n numero nturle) Considerimo cioè il reciproco di e lo elevimo n. Quindi per esempio ( ) ( ).

9 Appunti di Mtemtic 0 Esercizi ) Clcol l somm delle seguenti frzioni + + [ 0 ] ) Clcol il prodotto delle seguenti frzioni [ 9 ] ) Clcol il quoziente delle seguenti frzioni 0 [ 8 8 ] ) Clcol le seguenti potenze ] 8 9 [ ] 9 9 [9 ) Svilupp le seguenti espressioni ) ) 8 c) + [ ] d) + +

10 Appunti di Mtemtic Espressioni numeriche con i numeri rzionli ( ) ( ) [0] [ ] [ ]

11 Appunti di Mtemtic Numeri rzionli e rppresentzione decimle Le frzioni decimli Le frzioni decimli sono frzioni il cui denomintore è un potenz di 0. Per esempio sono frzioni decimli Possimo fcilmente scrivere un frzione decimle come numero decimle (numero in cui le cifre destr dell virgol rppresentno i decimi, i centesimi ecc.). 0 + Inftti per esempio +, , Dll frzione l numero decimle Posso in generle ottenere il numero decimle corrispondente d un frzione eseguendo l divisione. Avremo però due csi ) se l frzione è equivlente d un frzione decimle (quindi il suo denomintore contiene come fttori solo il e/o il ) otterremo un numero decimle finito. ) se l frzione non è equivlente d un frzione decimle (cioè il suo denomintore h fttori primi diversi dl e dl ) otterremo un numero decimle periodico. Esempio è equivlente e inftti eseguendo l divisione ottenimo 00 cioè un numero decimle finito.

12 Appunti di Mtemtic Esempio non è equivlente d un frzione decimle poiché il denomintore h come fttore nche il. Se eseguimo l divisione ottenimo resto e poi sempre resto cioè ottenimo 0,. NOTA l prte che si ripete viene soprssegnt (nel nostro esempio ) e viene chimt periodo, l prte dopo l virgol che precede il periodo (in questo cso ) viene dett ntiperiodo. OSSERVAZIONE E chiro che eseguendo l divisione d un certo punto dovrò vere necessrimente un resto che ho già ottenuto (perché i resti devono essere minori del divisore denomintore dell funzione) e quindi ricomincerò d vere le stesse cifre decimli. Per esempio dividendo per non potrò vere un periodo più lungo di cifre se per esempio considero ho proprio resti diversi d zero e quindi ottengo un periodo di cifre. 0,8

13 Appunti di Mtemtic Dl numero decimle ll frzione Dto un numero decimle (finito o periodico) come posso determinre l frzione corrispondente? (viene chimt frzione genertrice ). ) Se il numero decimle è finito l frzione genertrice vrà come numertore il numero senz l virgol e come denomintore l potenz del 0 corrispondente l numero di cifre decimli. Per esempio 0, 0 00, 0 0,0 000 ) M se il numero decimle è periodico? Considerimo per esempio n 0, (vevmo visto che 0, ) Se moltiplichimo il numero per 0 vremo 0 n, Se moltiplichimo il numero per 00 vremo 00 n, Allor 00n 0n,, 90n n 90 ed inftti! In generle si può dimostrre che l regol è l seguente l frzione genertrice di un numero decimle periodico h come numertore il numero scritto senz l virgol cui si sottre l prte che precede il periodo e come denomintore tnti 9 qunte sono le cifre del periodo seguiti d tnti 0 qunte sono le cifre dell ntiperiodo (se c è). NOTA Se voglimo scrivere sotto form di frzione un numero decimle periodico con periodo 9 ottenimo sempre un numero intero! Esempio 9 n, 9 n 9 9 Cerchimo di cpire perché. Considerimo l seguente uguglinz 9 9 M 0, 9 0, 9 e quindi in conclusione 0,9 9 9

14 Appunti di Mtemtic Ordine di grndezz di un numero In fisic, m nche in ltri miti, spesso doimo considerre numeri molto grndi (per esempio l distnz Terr-Sole) o numeri molto piccoli (per esempio l dimensione del nucleo tomico). Per evitre di scrivere numeri con troppi zeri o con tnte cifre decimli (che si leggereero molto mle) si utilizzno le potenze del 0 lscindo un sol cifr prim dell virgol. Per esempio ) 000, 0 (sposto l virgol di posti sinistr) ) 0,000, 0 ( sposto l virgol di posti destr) L ordine di grndezz del primo numero è 0, quello del secondo è 0. Qundo scrivimo i numeri in questo modo dicimo che utilizzimo l notzione scientific. Esercizi ) Scrivere i numeri decimli corrispondenti lle seguenti frzioni 8 ) Determinre l frzione genertrice dei seguenti numeri decimli 0,,0,,0, *) Prov dimostrre che qundo ci sono cifre del periodo doimo mettere due 9 nel denomintore. Consider per esempio, 0. Suggerimento chim n, 0moltiplic per 00 ) Scrivi in notzione scientific i seguenti numeri , , [, 0, 0 0 ]

15 Appunti di Mtemtic Prolemi con le frzioni Percentuli ) Cos si intende qundo si dice che su un cpo di iglimento che cost 0, viene ftto uno sconto del 0%? Qunto è lo sconto? 0 0% signific semplicemente 00 0 Quindi il 0% di 0 è 0 (euro) 00 Lo sconto è quindi di (pgherò solo ) ) Se in un scuol con 00 studenti, il preside fferm che solo il % non è stto promosso, qunti studenti non sono stti promossi? Bst clcolre così Quindi studenti non sono stti promossi. c) Se in un clsse di 0 studenti, prticno il nuoto, 9 studenti il sket, studenti il clcio e studenti non prticno nessuno sport, quli sono le percentuli di studenti che prticno nuoto, sket, clcio o che non prticno nessuno sport? 0 0 0% prtic il nuoto % prtic il sket % prtic il clcio % nessuno sport 0 00

16 Appunti di Mtemtic Proporzioni Ricordimo che un proporzione è un uguglinz tr due rpporti. Per esempio 8 (si legge st come st 8) (in prtic ho due frzioni equivlenti ) 8 e 8 vengono chimti estremi dell proporzione e vengono chimti medi. Proprietà fondmentle In un proporzione il prodotto dei medi è ugule l prodotto degli estremi. 8 8 Inftti scrivendo 8 imo nche che Prolem trovre un termine incognito in un proporzione. Per esempio considerimo x Qul è il vlore che deve vere x? Poiché x x e quindi x 8 Esempio In un tringolo isoscele A B ) C vete se AB cm e lto oliquo AC BC cm trcci un segmento A B prllelo ll se. Spendo che A' C cm, determin l misur di A ' B' Poiché il tringolo A Bˆ C è simile AB ˆ C possimo scrivere AB A' B' AC A' C x x ( cm)

17 Appunti di Mtemtic Prolemi (percentuli e proporzioni) ) Un negozio effettu, durnte il periodo dei sldi, uno sconto del % sui cpi d iglimento. Se un cpo costv 0, qunto si risprmi? [,] ) In un sondggio reltivo l llottggio tr cndidti (A,B) per l elezione sindco, sono stte intervistte 000 persone il 0% h detto che voterà per il cndidto A, 00 persone hnno indicto B e lcuni non hnno dto nessun preferenz. Qul è l percentule degli indecisi? [ 0 %] ) Per fre un crostt si usno 00g di frin, 0g di zucchero e 0g di urro. Quli sono le percentuli dei vri ingredienti sul totle? [ 0 %,0%,0% ] ) In un tringolo rettngolo AB ˆ C vente AB 8cm e ipotenus BC 0cm, consider un punto P sull ipotenus tle che PB cm e trcci l perpendicolre PQ ll ipotenus (Q sul cteto AB). Determin le misure di PQ e QB. 9 PQ cm QB cm 8

18 Appunti di Mtemtic ) Un tringolo isoscele ABC di se AB h il perimetro di cm e i lti oliqui misurno cm. Trcci dl punto medio M del lto AC il segmento MM prllelo d AB. Determin l re del trpezio ABM M. [ Are ( ABM ' M ) 9cm ] ) Consider il tringolo isoscele dell esercizio precedente e si A il punto su AC tle che AA' AC. Trcci il segmento A B prllelo d AB e clcol l re del tringolo A B C. Come risult il rpporto tr l re del tringolo A B C e l re del tringolo ABC? [ ( A B' C) ( A' B' C) ( ABC) 9 re Are ' ] re ) Un rettngolo ABCD h dimensioni e 9. Se diminuimo del 0% e del 0% di qunto diminuisce l re? [ % ] 8) Consider il rettngolo dell esercizio precedente se diminuimo del 0% e del 0% di qunto diminuisce l re? [ % ] 9) In un clsse di studenti giocno pllvolo, sket, 0 prticno il clcio, segue corsi di dnz e non prticno nessuno sport. Clcol le reltive percentuli (percentule di studenti che prticno l pllvolo ecc.). [ 8% 0% 0% % 8% ] 0) Un cpo di iglimento cost 00 euro ll inizio dei sldi viene scontto del 0% e negli ultimi giorni viene pplicto (l prezzo già scontto) un ulteriore risso del 0%. A qunto viene venduto il cpo ll fine dei rissi? [ euro ] ) Un elettrodomestico cost 00 euro se viene venduto 0 euro qule sconto è stto pplicto? [ 0% ] ) In un scuol di 800 lunni l 80% vengono promossi Giugno e il % degli studenti vengono respinti. Qunti studenti vengono rimndti in un o più mterie? [ 8 ] 9

19 Appunti di Mtemtic Numeri irrzionli Chimimo numero irrzionle (cioè non rzionle) un numero decimle illimitto non periodico (quindi non riconduciile d un numero rzionle). Risultno numeri irrzionli dimetro).,, π (rpporto tr l lunghezz dell circonferenz e il suo L insieme dei numeri rzionli e irrzionli viene chimto insieme dei numeri reli e indicto con R. Aimo quindi quest rppresentzione NOTA I numeri irrzionli furono scoperti di mtemtici greci dell scuol di Pitgor essi dimostrrono che il rpporto tr l digonle e il lto di un qudrto non è un numero rzionle m cioè non si possono trovre m e n tli che AC AB n Quest scopert fu per loro sconvolgente e per molto tempo fu tenut segret! Se AB AC,... (non c è periodo) 0

20 Appunti di Mtemtic Esercizi di ricpitolzione (Insiemi numerici) ) Se scrivimo ( ) + c + ( + c) ) Complet + qule proprietà imo pplicto? ( ) ) Determin MCD (8,) e m. c. m.(8, ) si con il metodo dell scomposizione in fttori primi dei due numeri che considerndo gli insiemi dei divisori e dei multipli comuni. ) ) Scrivi il numero ( ) 0 in se ) Scrivi in se 0 il numero ( 0) 9 ) Riport sull rett numeric i seguenti numeri -,,,,. ) Clcol ) Clcole le seguenti potenze con esponente intero negtivo + 8) Trsform le frzioni in numeri decimli e per ciscun numero decimle scrivi l frzione genertrice,,, 9) In un trpezio isoscele ABCD l se minore st ll se mggiore come e l loro somm è 0 cm. Determin perimetro e re del trpezio spendo che l ltezz misur cm. 0) In un clsse di 0 studenti il 0% prtic il nuoto, studenti giocno sket e 9 studenti giocno clcio. Qunti sono gli studenti che prticno il nuoto? Qul è l percentule degli studenti che prticno sket? E l percentule di quelli che giocno clcio?

21 Appunti di Mtemtic Sched per il recupero (INSIEMI NUMERICI, BASI DI NUMERAZIONE). Per i seguenti numeri indic qule insieme numerico pprtengono. Svilupp l seguente espressione numeric [ 0 ]. Trov l frzione genertrice dei seguenti numeri decimli 0,,, [ ] Indict qule proprietà è stt utilizzt nelle seguenti uguglinze + + ( ) c ( c) ( + ) c c + c c. Scrivi il risultto delle seguenti divisioni ( c 0) c Scrivi in se i seguenti numeri (scritti in se 0) 8 [ ( 00) ( 0000) ( 000) ]. Scrivi in se 0 i seguenti numeri scritti in se 00 0 [ 9 ]