Goniometria SCHEDA DI APPROFONDIMENTO. Goniometria e trigonometria

Transcript

1 Goniometri e trigonometri SHE I PPRFNIMENT Goniometri not ene In quest unità vengono presentti i onetti di goniometri e trigonometri indispensili per ffrontre lo studio dell topogrfi. Per tle rgione nhe le onvenzioni dottte srnno funzionli gli impieghi topogrfii. L goniometri studi l misurzione degli ngoli mettendoli in relzione on gli rhi orrispondenti. Inftti seondo un teorem dell geometri esiste un proporzione dirett tr mpiezz di un ngolo e lunghezz del reltivo ro. Gli ngoli orientti possono vere mpiezze mggiori di un ngolo giro; per esempio nell figur fino l'ngolo può essere onsiderto il frutto di due rotzioni omplete più un ngolo retto. ngolo è l prte di pino delimitt d due semirette (lti) venti l stess origine (vertie). Gli ngoli sono inditi on lettere dell'lfeto greo minusolo (,,...) oppure on le lettere dei due lti () o nhe on le lettere di due punti sui lti seprte dll letter del vertie (). In reltà due semirette on l stess origine dividono il pino in due prti; quindi on l notzione si può registrre un'miguità. Ess sompre se usimo l definizione di ngolo orientto. Un ngolo si die orientto qundo si seglie un lto ome origine e un senso di rotzione. L rotzione orri è positiv e ovvimente negtiv è quell ntiorri (vedi Not ene). Per designre un ngolo orientto si indi prim il lto origine o il punto sul lto origine, in modo d hirire il verso di rotzione, poi il vertie e l'ltro lto (o il punto sull'ltro lto). + ngolo designto ome not ene opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone + ngolo designto ome In mito topogrfio si dott l onvenzione del verso orrio ome verso positivo; invee in mtemti viene ssunto ome positivo il verso ntiorrio. Le due onvenzioni hnno origini storihe ormi lontne; in topogrfi sull onvenzione orri è sto il funzionmento di strumenti di misur. omunque il diverso orientmento influise solo sull definizione delle funzioni goniometrihe m non sui loro vlori o sulle ltre relzioni. UNITÀ I MISUR EGLI NGLI Rdinte Il rdinte è l'unità di misur previst dl Sistem Internzionle (SI). t un ironferenz, il rdinte è l'mpiezz di un ngolo sotteso d un ro di lunghezz pri l rggio. Il simolo del rdinte è rd. Un ngolo giro viene misurto on il rpporto tr l lunghezz dell ironferenz e il suo rggio R ioè π R R nlogmente l'mpiezz dell'ngolo pitto è π rd, mentre quell dell'ngolo retto è π/ rd. ltre l rdinte, nei diversi settori sientifii sono impiegte nhe le seguenti unità di misur. Grdo sessgesimle Il grdo sessgesimle è mpio /36 dell'ngolo giro. Viene indito dl simolo. Quindi on quest unità di misur l'ngolo giro è mpio 36, l'ngolo pitto 8, l'ngolo retto 9. Sottomultipli del grdo sessgesimle sono: il minuto di grdo (') equivlente /6; il seondo di grdo ('') equivlente '/6. Un esempio di designzione in grdi sessgesimle e suoi sottomultipli: 55 4' 3''. Grdo sessdeimle Il grdo sessdeimle (termine ottenuto dll fusione di sessgesimle e deimle) è ostituito dl grdo sessgesimle per l prte inter e, seprti dll virgol, d sottomultipli deimli (deimi, entesimi, millesimi). Un esempio di designzione in grdi sessdeimli: 55,49. Grdo entesimle rd π rd 6,8 rd Il grdo entesimle h un'mpiezz di / di ngolo retto; i suoi sottomultipli, seprti on l virgol dll prte inter, sono espressi in deimi, entesimi e millesimi. Simolo del grdo entesimle è gon. In quest unità un ngolo giro è mpio 4 gon, mentre l'ngolo pitto è gon. Un esempio di designzione in grdi entesimli: 6,565 gon.

2 Goniometri e trigonometri SHE I PPRFNIMENT Unità ngolo giro ngolo pitto ngolo retto Sottomultipli Indizione Rdinte π rd π rd π/ rd mrd / 3 rd µrd / 6 rd 5,989 rd Grdo sessgesimle /6 /6 / Grdo sessdeimle , /, / 97,8753 Grdo entesimle 4 gon gon gon gon / gon 33,97 gon NVERSINE TR IVERSE UNITÀ I MISUR EGLI NGLI lle definizione delle diverse unità di misur si rivno le seguenti proporzioni: : 8 rd : π : 9 gon : gon : rd : π Trmite queste proporzioni si possono onvertire le misure d un'unità ll'ltr. Prim di eseguire onversioni dei grdi sessgesimli è sempre utile onvertirli prim in grdi sessdeimli; tle sopo si onvertono in grdi i primi e i seondi on le formule riportte in tell. l grdo sessgesimle l grdo sessdeimle Formule Esempio ' /6 '' /36 Grdo sessdeimle 36 6' 8'' /6 + 8/ , +,5 36,5 l grdo sessdeimle l entesimle e l rdinte Formule Esempio l rdinte l grdo sessdeimle e l entesimle Formule Esempio Grdo entesimle. /9 gon 45 onvertito in grdi entesimli è 45. /9 π/5 gon Grdo sessdeimle rd. 8/π π/3 rd onvertito in grdi sessdeimli è π/3 rd. 8/π 6 Rdinte. π/8 rd 45 onvertito in rdinti è 45. π/8 π/4 rd entesimle rd. /π gon π/3 rd onvertito in grdi entesimli è π/3 rd. /π 66,66 gon opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone l grdo entesimle l sessdeimle e l rdinte Formule Esempio Grdo sessdeimle gon. 9/ 3 gon onvertito in grdi sessdeimli è 3 gon. 9/ 7 Rdinte gon. π/ rd 3 gon onvertito in rdinti è 3 gon. π/ 3/ π rd onfronto tr i vlori di luni ngoli nelle diverse unità Grdo sessdeimle Grdo entesimle 6,66 33,33 5, 66,66 83,33, 6,66 33,33 5, 66,66 83,33, 6,66 33,33 5, 66,66 83,33 3, 36,66 333,33 35, 366,66 383,33 4, Rdinte π/ π/6 π/4 π/3 5π/ π/ 7π/ π/3 3π/4 5π/6 π/ π 3π/ 7π/6 5π/4 4π/3 7π/ 3π/ 9π/ 5π/3 7π/4 π/6 3π/ π

3 Goniometri e trigonometri SHE I PPRFNIMENT Funzioni goniometrihe IRNFERENZ GNIMETRI L ironferenz goniometri è un ironferenz di rggio unitrio (R ) on entro nell'origine degli ssi rtesini e. L'sse è l'origine degli ngoli orientti, il ui verso positivo è quello orrio; il punto sull'sse è origine degli rhi. ogni ro dell ironferenz è ssoito un ngolo e vievers (orrispondenz iunivo); in figur d orrisponde. È quindi indifferente prlre di ngoli oppure di rhi orientti. on preise relzioni gli ngoli sono ssoiti ltri elementi: le funzioni goniometrihe. FUNZINI SEN E SEN un ngolo è ssoito l'ro e quindi il punto, le ui oordinte hnno ome vlori le lunghezze dei segmenti e ; dunque queste due lunghezze sono funzione dell'ngolo. Si him seno il rpporto tr e. Il oseno è il rpporto tr e. R L funzione seno dell'ngolo è indit on sen, mentre os indi il oseno. nell ironferenz goniometri h vlore e quindi le funzioni seno e oseno hnno vlore rispettivmente pri e, ioè le oordinte rtesine del punto, ovvero: sen X not ene R opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone os Y Le funzioni goniometrihe, essendo rpporti tr grndezze omogenee (lunghezze di segmenti), sono numeri puri. Notndo infine he il tringolo è un tringolo rettngolo, sull se del teorem di Pitgor si ottiene he + d ui si riv l prim relzione fondmentle dell goniometri sen + os Le definizioni di seno e oseno sono legte ll onvenzione dell'ngolo orientto (verso orrio positivo) e ll'ssunzione dell'sse ome origine. Lddove sono ssunte onvenzioni opposte (in mito mtemtio) le definizioni delle funzioni sono invertite. iò omunque non influise sui loro vlori e sulle relzioni. VRIZINE ELLE FUNZINI SEN E SEN Studindo le vrizioni di seno e oseno l vrire dell'ngolo, si può notre he: qundo ( gon) si verifi he e quindi sen os qundo 7 (3 gon) si verifi he e quindi sen 7 os 7 lle preedenti osservzioni e medinte relzioni geometrihe si possono filmente lolre i vlori delle funzioni seno e oseno di ngoli prtiolrmente importnti, detti ngoli notevoli (v. tell fino). ngolo Seno Volendo rppresentre grfimente le vrizioni delle funzioni seno e oseno, su un oppi di ssi rtesini si possono riportre sull'sse i vlori degli ngoli e sull'sse i vlori dell funzione goniometri. L urv he rppresent l funzione seno h un form speifi himt sinusoide, mentre è dett osinusoide quell del oseno. qundo 9 ( gon) si verifi he e quindi sen 9 os qundo 36 (4 gon) si ripetono i vlori di e quindi sen 36 os 36 qundo 8 ( gon) si verifi he e quindi sen 8 os 8 per > 36 si ripetono periodimente gli stessi vlori preedenti, sempre ompresi tr e. / / 3/ oseno 3/ / / Sinusoide osinusoide 3

4 Goniometri e trigonometri FUNZINI TNGENTE E TNGENTE In un ironferenz goniometri si tri l tngente geometri per il punto, origine degli rhi e degli ngoli, e si trov T, intersezione on l proseuzione del rggio. Il segmento T è funzione dell'ngolo ; quest funzione gonimetri prende il nome di tngente. R Si him tngente di un ngolo l'siss del punto d'intersezione tr l tngente geometri ll ironferenz goniometri nel punto di origine degli ngoli e il lto terminle dell'ngolo stesso. L tngente di un ngolo viene indit on tg. sservndo l figur si può notre he i tringoli e T sono simili, pertnto tr i loro lti sussiste l proporzione T : : Sostituendo in ess le funzioni goniometrihe già note si h e quindi tg : sen : os tg sen os he è l seond relzione fondmentle dell goniometri. Se nell preedente figur ggiungimo l tngente geometri per il punto (estremo del primo qudrnte), possimo individure il punto E su T (lto terminle dell'ngolo ). Il segmento E è nh'esso funzione di, ed è himto otngente. L otngente di un ngolo è l'ordint del punto d'intersezione tr l tngente geometri ll ironferenz goniometri nell'estremo del primo qudrnte e il lto terminle dell'ngolo stesso. L otngente di un ngolo viene indit on otg. sservndo l figur si può notre he i tringoli E e T sono simili, pertnto tr i loro lti sussiste l proporzione: E : : T Sostituendo in ess le funzioni goniometrihe già note, si h otg tg d ui R os otg sen T E T SHE I PPRFNIMENT VRIZINE ELLE FUNZINI TNGENTE E TNGENTE Studindo le vrizioni di tngente e otngente l vrire dell'ngolo, si può notre he: per ( gon) si verifi he tg otg ± per 9 ( gon) si verifi he tg 9 ± otg 9 per 8 ( gon) si verifi he tg 8 otg 8 ± per 7 (3 gon) si verifi he tg 7 ± otg 7 per 36 (4 gon) si verifi he tg 36 otg 36 ± per > 36 (4 gon) si ripetono periodimente gli stessi vlori preedenti, sempre ompresi tr e ±. T 3 T 4 T T L funzione tg oinide on l lunghezz del segmento T; resendo l'ngolo, il segmento T dl vlore ument on vlori positivi fino ll'ngolo di 9 (qui h un vlore infinito, ), oltre il qule diviene negtivo e tende l vlore qundo 8. on nlogo ndmento l funzione tg rese on vlori positivi fino 7 (dove h vlore ) e di nuovo tende l vlore verso 36. lle preedenti osservzioni e medinte relzioni on le funzioni seno e oseno, lolre i vlori delle funzioni tngente e otngente di ngoli notevoli (v. tell fino). 4 3 ngolo Volendo rppresentre grfimente le vrizioni delle funzioni tngente e otngente, su un oppi di ssi rtesini si possono riportre sull'sse i vlori degli ngoli e sull'sse i vlori dell funzione goniometri. L urv he rppresent l funzione tngente è himt tngentoide, mentre è dett otngentoide quell dell otngente Tngente 3 4 E E E 3 E 4 L funzione otg oinide on l lunghezz del segmento E; qundo, l funzione otg h un vlore positivo e infinito ( ). Ess diminuise fino 9 (dove h vlore ) per poi umentre on vlori negtivi fino 8 (dove h vlore ); in seguito pss vlori positivi he tendono l vlore sui 7 e nor negtivi verso il vlore 36. / 3 ± ± 3 otngente ± 3 / 3 ± ± memo Nell ironferenz goniometri gli ssi rtesini dividono il pino in quttro qudrnti, inditi ome in figur lto. 4 3 not ene nhe le definizioni di tngente e otngente sono legte ll onvenzione dell'ngolo orientto (verso orrio positivo) e ll'ssunzione dell'sse ome origine. Lddove sono ssunte onvenzioni opposte (in mito mtemtio) le definizioni delle funzioni sono invertite, senz he iò influis sui loro vlori e sulle relzioni. opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone 4

5 Goniometri e trigonometri SHE I PPRFNIMENT Tngentoide otngentoide FUNZINI GNIMETRIHE I NGLI SSITI Sono detti ngoli ssoiti un ngolo quegli ngoli l ui somm o differenz on i i seguenti vlori:, 9, 8, 7 e 36. I vlori delle loro funzioni goniometrihe sono rivili d quelle di ngoli opposti (l ui somm è ) e sen ( ) sen os ( ) os tg ( ) tg otg ( ) otg FUNZINI GNIMETRIHE INVERSE Le funzioni goniometrihe inverse permettono di determinre l'ngolo he h un dto vlore per un ert funzione goniometri. Per poter individure il vlore ssunto dll funzione invers è neessrio he l'ngolo si ompreso entro un erto intervllo. roseno roseno è l'ngolo he present un determinto vlore di seno. ngoli omplementri (l ui somm è 9 ) e 9 sen (9 ) os os (9 ) sen tg (9 ) otg otg (9 ) tg ngoli l ui differenz è 9 ) Srivendo rsen, intendimo he è l'ngolo il ui seno è, e quindi he sen. Tr le due funzioni rsen e sen 'è un rpporto iunivoo solo se l'ngolo è ompreso tr 9 e 9 ( 9 9 ). Esempio: rsen 9 in qunto sen 9 e 9 + sen (9 +) os os (9 +) sen tg (9 +) otg otg (9 +) tg rooseno rooseno è l'ngolo he present un determinto vlore di oseno. L funzione ros è in rpporto iunivoo on os solo se 8. Esempio: ros in qunto os rotngente rotngente è l'ngolo he present un determinto vlore di tngente. L funzione rtg è in rpporto iunivoo on tg solo se 9 9. Esempio: rtg 45 in qunto tg 45 ngoli supplementri (l ui somm è 8 ) e 8 sen (8 ) sen os (8 ) os tg (8 ) tg otg (8 ) otg ngoli l ui differenz è 8 e 8 + rootngente rootngente è l'ngolo he present un determinto vlore di otngente. sen (8 +) sen os (8 +) os tg (8 +) tg L funzione rotg è in rpporto iunivoo on otg solo se 8. Esempio: rotg 9 in qunto otg 9 otg (8 +) otg opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone 5

6 Goniometri e trigonometri ngoli l ui somm è 7 e 7 sen (7 ) os os (7 ) sen tg (7 ) otg otg (7 ) tg ngoli l ui differenz è 7 e 7 + sen (7 +) os os (7 +) sen tg (7 +) otg otg (7 +) tg ngoli esplementri (l ui somm è 36 ) e 36 sen (36 ) sen os (36 ) os tg (36 tg otg (36 ) otg Trigonometri SHE I PPRFNIMENT L trigonometri si oup dei tringoli di ui si vogliono onosere elementi (ngoli o lti) inogniti prtendo d tre o più elementi noti, tr ui lmeno un lto. tle sopo sono indispensili le relzioni he legno le misure dei lti on le funzioni trigonometrihe degli ngoli. TRINGLI RETTNGLI ll definizione delle funzioni goniometrihe si possono trrre relzioni utili ll risoluzione dei tringoli rettngoli. In questo so perltro è sempre noto un elemento, ioè l'ngolo retto, e quindi sternno ltri due elementi (due lti oppure un lto e un ngolo). ll'interno di un ironferenz goniometri il tringolo rettngolo present le seguenti relzioni ste sulle definizioni di seno e oseno: sen / os / d ui si rivno:. sen / sen e. os / os 9 FRMULE GNIMETRIHE Per esprimere un funzione goniometri di un ominzione (somm, differenz, e.) di ngoli ttrverso funzioni dei singoli ngoli, i si può vvlere delle seguenti formule. Formule di ddizione sen ( + ) sen. os + os. sen os ( + ) os. os sen. sen tg + tg tg ( + ) tg. tg Formule di sottrzione sen ( ) sen. os os. sen os ( ) os. os + sen. sen tg tg tg ( ) + tg. tg ttrverso relzioni geometrihe e goniometrihe on ltre funzioni si rivno le seguenti formule risolutive per i tringoli rettngoli. FRMULE RELTIVE I TRINGLI RETTNGLI teto ipotenus. seno dell'ngolo opposto teto ipotenus. oseno dell'ngolo diente ipotenus teto / seno dell'ngolo opposto ipotenus teto / oseno dell'ngolo diente 9. sen. sen. os. os / sen / sen / os / os Formule di duplizione sen () sen. os os () os sen tg () tg tg Formule di isezione sen os tg os ± ± + os os ± + os teto ltro teto. tngente dell'ngolo opposto l primo teto ltro teto. otngente dell'ngolo diente l primo glossrio. tg. tg Trigonometri: dl greo trìgonon, tringolo, e métron, misur.. otg. otg opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone 6

7 Goniometri e trigonometri Prolem eterminre l lunghezz dei lti di un tringolo rettngolo di ui è not l'ipotenus (5,3 m) e l'ngolo (35,4 ). Per trovre il lto si ppli l formul. sen, d ui si riv 5,3 m. sen 35,4 5,3 m.,579 4,66 m Il lto si ottiene on 5,3 m. os 35,4 5,3 m.,85,63 m Prolem eterminre l lunghezz dei lti di un tringolo rettngolo di ui è noto il teto (44,5 m) e l'ngolo esso opposto ( 6,5 ). L'ipotenus si ottiene on l formul / sen, d ui si riv 44,5 m / sen 6,5 44,5 m /,87 5,86 m Il teto si ottiene on. tg, d ui / tg e quindi 44,5 m / tg 6,5 44,5 m /,768 5, m Prolem 3 eterminre l lunghezz dell proiezione di un segmento su un rett he form on esso un ngolo di 3. '' proiezione di sull rett è ugule l segmento ; pertnto ''. os 3.,866 TRINGLI SLENI Per risolvere i prolemi sui tringoli sleni (ioè on ngoli qulsisi) è suffiiente disporre dei risultti dei due teoremi seguenti. ' 3 ' Teorem di rnot (o del oseno) SHE I PPRFNIMENT In un tringolo il qudrto di un lto equivle ll somm dei qudrti degli ltri due lti, diminuit del doppio prodotto di questi due lti per il oseno dell'ngolo fr essi ompreso. e nlogmente +.. os +.. os +.. os È d notre he questo non è ltro he il teorem di Pitgor generlizzto; inftti, nel so di un tringolo rettngolo, si h he 9 e quindi +.. os 9 e, poihé os 9, ottenimo l formul en not + Prolem 4 Noti un lto e due ngoli ( m; 3 ; 7 ), determinre gli ltri elementi del tringolo. Il vlore di si individu on + + 8, dove si inserisono i vlori noti e si h 8 (3 + 7 ) 8 l teorem dei seni sppimo he e quindi. sen / sen m. sen 3 / sen 8 m.,5 /,984,6 m on lo stesso teorem dei seni si riv il lto : m. sen 7 / sen 8 m.,939 /,984 9,8 m Teorem dei seni In un tringolo i lti e i seni degli ngoli opposti hnno un rpporto ostnte, equivlente l dimetro dell ironferenz irosritt. memo sen sen Queste relzioni equivlgono : / sen / sen / sen / sen / sen / sen not ene sen R Per trovre i vlori delle funzioni trigonometrihe è suffiiente disporre di un loltrie sientifi. In un tringolo l somm degli ngoli interni equivle un ngolo pitto (8 oppure gon). opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone Prolem 5 Noti due lti e l'ngolo fr essi ompreso ( m; 5; 4 ), determinre gli ltri elementi del tringolo. Il lto si trov on il teorem di rnot e l su formul +.. os, dove si inserisono i vlori noti e si h os 4 37 m llo stesso teorem sppimo he d ui si riv +.. os os quindi os,937 e ros, Infine si determin 8 4 7

8 Goniometri e trigonometri Prolem 5 Noti due lti e un ngolo opposto uno di essi ( 7 m; 4; 45 ), determinre gli ltri elementi di un tringolo. l teorem dei seni si h d ui sen sen sen Sostituendo i vlori noti si h sen e quindi rsen,5 3 È d notre he gli ngoli il ui seno è,5 sono due (3 e 5 ), m solo il primo vlore è ettile; inftti, se fosse 5, l somm + 95 > 8 (vlore inettile per un tringolo). L'ngolo si riv d 8 5. Infine il lto si ottiene nor on il teorem dei seni, ovvero, on l formul. sen / sen, si ottiene sen 7 m. sen 5 / sen 3 7 m.,966 /,5 3,84 m Prolem 6 sen m / 4 m,5 Noti i tre lti lti ( 3 m; 4; 5), determinre gli ltri elementi del tringolo. on il teorem di rnot si h os os os d ui ros,8 36,9 ros,6 53, ros 9 re del tringolo opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone ,8,6 ll formul geometri S. h /, espress medinte le funzioni goniometrihe, si hnno le seguenti formule ste su diversi elementi noti. FRMULE RELTIVE LL'RE EL TRINGL Noti due lti e l'ngolo ompreso (per es.,, ) Noti due ngoli e il lto ompreso (per es.,, ) S.. sen S. sen. sen sen( + ) Per il lolo dell're di un tringolo è nhe not dll geometri l formul di Erone, he esprime l're onosendo i tre lti (,,) e quindi nhe il semiperimetro p, ioè S p. (p ). (p ). (p ) PLIGNI Prolem 8 Sono noti 4 lti e un ngolo. Si divide il qudriltero on l digonle he non tgli l'ngolo noto. Si risolve il tringolo di ui si onosono due lti e l'ngolo ompreso. onosendo or l digonle, si può risolvere nhe il tringolo. Sommndo gli ngoli in e in si definisono tutti gli elementi del qudriltero. SHE I PPRFNIMENT Per risolvere i prolemi sui poligoni isogn somporli in tringoli. Un proprietà importnte tl fine è l seguente: l somm degli ngoli interni (Σ) di un poligono è pri tnti ngoli pitti qunto il numero di lti (n) diminuito di due. Σ (n ). 8 Nel so di un qudriltero l somm degli ngoli interni è 36. Per poter risolvere un poligono di n lti isogn onosere lmeno (n 3) elementi, dei quli lmeno (n ) lti. Quindi per risolvere un qudriltero isogn onosere lmeno 5 elementi tr ui un minimo di lti. Vedimo ome operre nel so dei qudrilteri. Qudrilteri Nell divisione in due tringoli si seglie l digonle he permette di vere un tringolo risolviile on gli elementi noti. Quindi si pss ll'ltro tringolo or risolviile on i nuovi elementi; infine si riompongono elementi ngolri przili. Prolem 9 Sono noti 3 lti e ngoli tr loro opposti. Si divide il qudriltero on l digonle he non tgli i due ngoli e δ noti. Si risolve il tringolo di ui si onosono due lti e l'ngolo ompreso. onosendo or l digonle, si può risolvere nhe il tringolo. Sommndo gli ngoli in e in si definisono tutti gli elementi del qudriltero. Prolem Sono noti lti e 3 ngoli. gli ngoli noti (,, ) si riv 36 ( + + δ) Si risolve il tringolo di ui si onosono due lti e l'ngolo ompreso. I nuovi dti sono e gli ngoli di ; on questi ultimi si ottengono per differenz d e gli ngoli del tringolo ; quest'ultimo è or risolviile perhé sono noti 3 ngoli e un lto. δ δ 8

9 Goniometri e trigonometri SHE I PPRFNIMENT Eseritzioni UNITÀ I MISUR I NGLI E NVERSINI FUNZINI GNIMETRIHE. Se in un tringolo rettngolo uno degli ngoli uti è mpio π/6 rd, qule mpiezz vrà l'ltro ngolo uto? Esprimerl in rdinti, in grdi sessgesimli e in grdi entesimli. [π/3 rd 6 66,66 gon]. In un tringolo isosele l'ngolo l vertie è mpio 3 ; qule mpiezz vrà ognuno degli ngoli ll se? Esprimerl in grdi sessgesimli, in rdinti e in grdi entesimli. [75 5π/ rd 83,33 gon] 3. onvertire in ngoli sessdeimli i seguenti vlori sessgesimli: 6 3' [6,5 ] 3 3'3'' [3,58 ] 7 '36'' [7, ] 8 5'3'' [8,45 ] 4. onvertire in ngoli entesimli i seguenti vlori sessdeimli: 6 [8 gon] 4,4 [46 gon] 7,9 [3 gon] 35, [39, gon] 5. onvertire in rdinti i seguenti vlori sessdeimli: 35, [3π/4 rd,356 rd],5 [π/8 rd,39 rd] 57,95 [ rd],535 [3,5 rd] 6. onvertire in grdi sessdeimli i seguenti vlori in rdinti: 4π/5 rd [44 ] rd [4,59 ] 3,49 rd [ ] 6,83 rd [36 ] 7. onvertire in grdi entesimli i seguenti vlori in rdinti: 4 rd [54,647 gon] 3π/4 rd [5 gon] 3,48 rd [,543 gon] 5,5 rd [35,4 gon] 8. onvertire in grdi sessdeimli i seguenti vlori entesimli: 5 gon [,5 ] 8 gon [5 ] 33,333 gon [ ],5 gon [,5 ] 9. onvertire in rdinti i seguenti vlori entesimli: gon [π/ rd,34 rd] 5 gon [5π/4 rd 3,96 rd] 38,97 gon [6 rd] 36,66 gon [9π/ rd 4,974 rd] opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone. Qule ngolo ompreso tr e 9 h lo stesso vlore per il seno e per il oseno? [45 ]. on un periodo di 36 l funzione seno ssume vlori ompresi entro qule intervllo? [ sen ]. Se 36 per quli ngoli si verifi os? [9 e 7 ] 3. Qul è l prim relzione fondmentle dell goniometri? [sen + os ] 4. Qul è l seond relzione fondmentle dell goniometri? [tg sen / os ] 5. lolre i vlori delle seguenti espressioni: sen sen sen 7 [ ] 3 os π/ sen (3/ π) + 3 tg π/4 [5] tg π + otg π/4 + sen π/ [4] os 6 + sen os 8 [5] 6. lolre il vlore di os spendo he: sen 3/5 e < < 9 [4/5] sen 3/4 e < < 9 [/] 7. lolre il vlore di sen spendo he: os /3 e 8 < < 7 [ 5/3] os /4 e < < 9 [ 3/] 8. lolre il vlore di tg spendo he: sen 5/7 e 8 < < 7 [5/8] os 8/7 e 9 < < 8 [ 5/8] FUNZINI GNIMETRIHE INVERSE 9. lolre i vlori delle seguenti espressioni: rsen / + rtg (/ 3) ros ( 3/) [3 ] ros ( ) rsen / [5 ] ros ( /) + rsen ( 3/) [5 ] π rtg ( ) [π/4] FUNZINI GNIMETRIHE I NGLI SSITI. Se e sono omplementri (ioè + 9 ) e sen 3/4, he vlore vrà os? [3/4]. Se 9 + e si s he tg 6, he vlore h otg? [ 6]. Se e sono supplementri (ioè 8 ) e os,5, he vlore vrà os? [,5] 3. Se 7 + e si s he otg, he vlore h tg? [] 9

10 Goniometri e trigonometri FRMULE GNIMETRIHE 4. Medinte le formule di ddizione trovre il vlore di: sen 75 (osservndo he ) + 6 os 5 (osservndo he ) 5. Medinte le formule di sottrzione trovre il vlore di: os 5 (osservndo he ) + 6 tg 5 (osservndo he ) 6. Medinte le formule di duplizione trovre il vlore di os : os 3/4 on < < 9 [/8] sen /4 on < < 9 [7/8] 7. Medinte le formule di isezione trovre il vlore di os /: 3 os / on < < 9 sen TRINGLI SLENI QURILTERI SHE I PPRFNIMENT 33. Trmite il teorem dei seni verifire he gli elementi, 6, 78,8 e 5,7 sono lti e ngoli di un tringolo. 34. Essendo noti 4 3, 4 e 3, determinre medinte il teorem di rnot gli elementi inogniti del tringolo. [ 4; ; 3 ] 35. Essendo noti 3, e, determinre medinte il teorem di rnot gli elementi inogniti del tringolo. [ 6 ; 3 ; 9 ] 36. Essendo noti, 6, 75, determinre medinte il teorem dei seni gli elementi inogniti del tringolo. [ ; 75 ; 3 ] 37. el qudriltero sono noti: 4,5 m, 45,76 m, 5,86 m, 56,5 e 4,6. eterminre gli elementi inogniti. [ 7,7 ; 7,6 ; δ 9,9 ] δ TRINGLI RETTNGLI 8. Trovre gli elementi inogniti di sull se di quelli noti: 3 [ 6 ; ; 3] [ ; 45 ] 3 3 [ 6 ; 3 3; 6] 9. In un tringolo rettngolo, rettngolo in, sono dti l'ipotenus 5 m e l'ngolo 39 ; determinre il perimetro. [6,6 m] 3. In un tringolo rettngolo, rettngolo in, sono dti l'ipotenus 4 m e l'ngolo 64,35 ; determinre l're. [37,95 m ] 3. In un tringolo rettngolo, rettngolo in, sono dti il teto 88,75 m e l'ngolo 3,78 ; determinre le lunghezze delle proiezioni (p e q) dei teti sull'ipotenus. [p 74,6 m; q 3,94 m] 3. In un tringolo isosele sono noti l se m e gli ngoli ll se 7 ; trovre il perimetro (p) e l're (S). [p 84,7 m; S 37,76 m ] opright 4 Znihelli Editore Sp, ologn [5753] Questo file è un estensione online dei orsi di disegno di Sergio Smmrone el qudriltero sono noti: 46,9 m,,5 m, 3,65 m, 4 e 5. eterminre gli elementi inogniti. [, m; 3 ; δ 66 ] δ 39. el qudriltero sono noti: 97,4 m, 374,65 m,,5 e 8,6, 68,33. eterminre gli elementi inogniti. [δ 88,57 ; 73,77 m; 359,65 m] δ