1 La funzione logaritmica

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1 Liceo Scientico Paritario Ven. A. Luzzago di Brescia - A.S. 2011/2012 Equazioni e disequazioni logaritmiche - Simone Alghisi 1 La funzione logaritmica Si è dimostrato che l'equazione esponenziale in forma elementare b x = n (con b ]0; + [\1}, n ]0; + [ e x R), ammette una ed una sola soluzione x 0 : questo numero è denito logaritmo in base b del numero n. (1.1) Denizione Chiamiamo logaritmo in una data base b, reale, positiva e diversa da uno, di un dato numero reale positivo n, l'esponente al quale dobbiamo elevare b per ottenere n. Quindi, se b x 0 = n, scriveremo 1 log b n = x 0. Si ha quindi: log b n = x 0 b x 0 = n b ]0; + [\1}, n ]0; + [, x 0 R. Il numero n è detto argomento del logaritmo. (1.2) Esempio Le uguaglianze 2 3 = 8, 5 2 = 1 25, ( 1 3) 0 = 1, 16 0,75 = 8, 4 1 = 4 possono essere scritte rispettivamente log 2 8 = 3, log = 2, log 1/3 1 = 0, log 16 8 = 0, 75 e log 4 4 = 1. La relazione espressa da y = b x (con b ]0; + [) che associa ad ogni x R uno ed un solo numero y ]0; + [, è stata denita funzione esponenziale. Dall'equivalenza logica y = b x x = log b y possiamo allora dedurre che la relazione espressa da x = log b y ad ogni y ]0; + [ associa uno ed un solo numero x R ed ad ogni x R associa uno ed un solo numero y ]0; + [. La funzione x = log b y è biiettiva. Se consideriamo ora la funzione y = log b x (ottenuta dalla funzione x = log b y scambiando la x con la y) possiamo notare che il suo graco è simmetrico a quello di y = b x rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. 2 Analisi del graco della funzione logaritmica Consideriamo la funzione y = log b x. Se b > 1, al crescere dei valori dati alla x crescono i valori assunti dalla y (tale aumento è rapido se 0 < x < 1, mentre è lento per x > 1). Possiamo quindi dire che la funzione y = log b x è crescente. Se ora 0 < b < 1, al crescere dei valori dati alla x decrescono i corrispondenti valori assunti dalla y. Diremo quindi che la funzione y = log b x è decrescente quando 0 < b < 1. 1 In generale si è soliti indicare con ln il logaritmo in base e, mentre si utilizza il simbolo log per indicare il logaritmo in base 10. 1

2 y y = b x, b > 1 y = x y = log b x, b > 1 O x 3 Proprietà dei logaritmi Vediamo ora alcune proprietà importanti dei logaritmi. Proprietà 1. Il logaritmo di un prodotto è uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori, cioè b ]0; + [\1}, m, n ]0; + [: log b (m n) = log b m + log b n. Proprietà 2. Il logaritmo di un quoziente di due numeri è uguale alla dierenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore, cioè b ]0; + [\1}, m, n ]0; + [: log b m n = log b m log b n. Proprietà 3. Il logaritmo di una potenza di un numero è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base della potenza data, cioè b ]0; + [\1}, m ]0; + [, α R \ 0} : log b m α = α log b m. Proprietà 4. Il logaritmo di un radicale è uguale al prodotto tra il reciproco dell'indice ed il logaritmo del radicando, cioè b ]0; + [\1}, m ]0; + [, α N \ 0} : log b α m = 1 α log b m. Proprietà 5. Il logaritmo di un numero positivo m, rispetto ad una nuova base β, è dato dal rapporto dei logaritmi di m e di β rispetto alla vecchia base b, cioè b, β ]0; + [\1}, m ]0; + [: log β m = log b m log b β. 2

3 (3.1) Osservazione Si può provare che dalle precedenti proprietà si deducono le seguenti uguaglianze: log a b log b a = 1, log a b = log a n b n. 4 Applicazione dei logaritmi Esistono varie applicazioni dei logaritmi. Uno dei problemi importanti della Matematica consiste nel determinare quanti sono i numeri primi minori o uguali a x > 0. Questo problema risale all'antica Grecia. In mancanza di un valore esatto, fu stabilito da Hadamard e De La Vellee Poussin (1896) che, indicando con π(x) il numero dei numeri naturali primi minori di x, il rapporto γ(x) = π(x) (x/ ln x) tende ad 1 al crescere di x e in simboli si è soliti scrivere lim γ(x) = 1. x + In Sismologia, la magnitudo di un sisma di intensità I è misurata, nella scala Richter, da M = log I I 0, dove I 0 è un'intensità di riferimento. L'energia E (in joule) liberata nell'epicentro del sisma è legata alla magnitudo dalla relazione con α e β costanti. log E = α + βm, In termodinamica, il calcolo del lavoro compiuto durante una trasformazione isoterma, di equazione pv = C (con C R e C = nrt ), è dato da 5 Le equazioni logaritmiche L = nrt ln V f V i. Un'equazione è detta logaritmica se in essa l'incognita (o le incognite) si presentano in almeno ( un argomento di un logaritmo. Per esempio, log 3 (3 2x0) = 2, log 2 x 2 3x + 5 ) = log 2 (x+1), log 2 x = log 2 (6 x), log x = 1 x, sono equazioni logaritmiche. Occorre ricordare che prima di procedere alla soluzione dell'equazione è opportuno determinare l'intervallo di esistenza (le C.E.) dell'incognita x. (5.1) Esempio Risolvere l'equazione log 4 (x 5) = log 4 (1 x). Soluzione. L'intervallo di esistenza comune alle funzioni presenti nei due membri dell'equazione data è l'insieme vuoto: infatti il sistema x 5 > 0, 1 x > 0, x > 5, x < 1, 3

4 è impossibile, e tale è l'equazione data (cioè l'insieme delle soluzioni S è vuoto). (5.2) Esempio Risolvere l'equazione 1 2 log(2x 1) + log x 9 = 1. Soluzione. Per quanto riguarda le C.E. si ha 2x 1 > 0, x 9 > 0, da cui x > 9. Utilizzando le proprietà dei logaritmi, l'equazione diviene log 2x 1 + log ( ) x 9 = 1 log (2x 1)(x 9) = log 10 (2x 1)(x 9) = 10. Elevando i due membri al quadrato e semplicando, si ha 2x 2 19x 91 = 0 x 1 = 7 2 x 2 = 13. Solo la soluzione x = 13 è accettabile per le condizioni di esistenza. 6 Le disequazioni logaritmiche Ricordiamo che una disequazione è detta logaritmica se in essa compare il logaritmo dell'incognita o di un'espressione che contenga l'incognita. Innanzitutto conviene ricordare che l'argomento del logaritmo deve essere sempre positivo. Inoltre sono fondamentali le proprietà enunciate precedentemente. Dopo queste piccole premesse, per risolvere una disequazione logaritmica si cerca, servendosi delle proprietà dei logaritmi, di scrivere la disequazione sotto la forma: (6.1) log a f(x) > log a g(x) (6.2) log a f(x) < log a g(x), o, più semplicemente, sotto la forma: (6.3) log a f(x) > k (6.4) log a f(x) < k. Se ora a > 1, la disequazione (6.1) equivale al sistema g(x) > 0, f(x) > g(x). 4

5 Se invece 0 < a < 1, la disequazione (6.1) equivale al sistema g(x) > 0, f(x) < g(x). Analoghe considerazioni valgono per la disequazione (6.2). Ricordando ora che k = log a a k, se a > 1 la disequazione (6.3) diventa log a f(x) > log a a k, quindi equivale al sistema f(x) > a k. Se invece 0 < a < 1, la disequazione (6.3) diventa log a f(x) > log a a k che equivale al sistema f(x) < a k. Considerazioni simili valgono per la disequazione (6.4). (6.5) Esempio Risolvere la seguente disequazione logaritmica: log x + log(x 1) < log(5x 8). Soluzione. Le condizioni di realtà sono date dalla soluzione del sistema x > 0, x 1 > 0, 5x 8 > 0, la cui soluzione è x > 8 5. (ricordando che la base è 10 > 1): Applicando le proprietà dei logaritmi, la disequazione diviene log [x(x 1)] < log(5x 8) x(x 1) < 5x 8 x 2 6x + 8 < 0 2 < x < 4. Intersecando le condizioni di realtà con le soluzioni ora trovate, possiamo determinare l'insieme S delle soluzioni della disequazione data: S = x R : 2 < x < 4}. 5