MODELLO TRAVE DI TIMOSHENKO (prof. Elio Sacco)

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1 Capitolo 3 MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (prof. Elio Sacco) 3. Cinematica La cinematica della trave è definita dalla deformazione dell asse e dalle rotazioni delle sezioni. Nel seguito viene trattato esclusivamente il problema piano della trave; infatti, posto il cartesiano sistema di riferimento illustrato in figura 3., si considera il caso in cui la trave si infletta nel piano yz. La cinematica della teoria tecnica della trave che tiene conto della deformazione a taglio fu sviluppata da Timoshenko. Si assume che la sezione retta all ascissa z, inizialmente piana ed ortogonale alla linea d asse della trave, a deformazione avvenuta, sia ancora piana ma non necessariamente ortogonale alla deformata dell asse della trave. In figura 3. è evidenziata la deformazione della tipica sezione della trave: la sezione all ascissa generica z ha uno spostamento w 0 lungo l asse z, uno spostamento v lungo l asse y ed inoltre presenta una rotazione ϕ intorno all asse x, ortogonale al piano yz. Iparametri z v ϕ -v y w 0 -v Figura 3.: Cinematica della trave. 29

2 30 CPITOLO 3. MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (PROF. ELIO SCCO) cinematici sono quindi lo spostamento assiale w, l inflessione v elarotazioneϕ; taliquantità sono funzioni eslcusivamente dell ascissa z, i.e. w 0 = w 0 (z), v = v(z), ϕ = ϕ(z). Rigurdando la trave come un solido tridimensionale, è possibile calcolare lo spostamento di un generico punto della sezione retta della trave. La sezione retta subisce uno spostamento u nullo lungo l asse x, unospostamentou 2 pari a v lungo l asse y ed uno spostamento u 3 lungo l asse z che si ottiene come somma dell effetto di w 0, spostamento lungo z in corrispondenza dell asse della trave, e di ϕ rotazione della sezione: u = 0 (3.) u 2 = v u 3 = w 0 + yϕ Le funzioni che definiscono la cinematica della trave dipendono dall ascissa z, i.e. w 0 = w 0 (z), v = v(z), ϕ = ϕ(z). Sulla base della cinematica introdotta tramite le espressioni (3.), è possibile determinare lo stato deformativo della trave. Infatti, le componenti non nulle del tensore di deformazione valgono: ε = ε z = u 3 z = w0 0 + yϕ 0 = ε 0 + yc (3.2) γ = 2 ε yz = u 2 z + u 3 y = v0 + ϕ dove l apice 0 indica la derivazione rispetto a z, ε 0 è la dilatazione lineare dell asse della trave e c èlacurvatura flessionale della trave. 3.2 Equazioni di equilibrio Si assume che la trave T sia soggetta ad un sistema piano di sollecitazioni: forze agenti nel piano yz, coppie lungo l asse x. Le equazioni di equilibrio della trave sono: traslazione lungo l asse z traslazione lungo l asse y rotazione intorno all asse x N 0 = f (3.3) T 0 = q (3.4) M 0 = T (3.5) Le equazioni (3.3), (3.4) e (3.5) sono le equazioni di equilibrio locale della trave, dette anche equazioni indefinite di equilibrio della trave.

3 3.3. LEGME COSTITUTIVO Legame costitutivo Note che siano le deformazioni del solido trave, è possibile determinare le tensioni presenti in esso utilizzando le equazioni del legame costitutivo. Infatti, si ottiene: σ = Eε (3.6) τ = Gγ dove E èilmoduloelasticolonitudinale,modulodiyoung,eg è il modulo a taglio. Una volta definite le tensioni nel generico punto della sezione retta della trave tramite le relazioni (3.6), è possibile determinare le equazioni costitutive della trave. Infatti, lo sforzo normale ed il momento flettente si calcolano come la risultante ed il momento risultante delle tensioni normali sulla sezione, mentre il taglio si calcola come la risultamte delle tensioni tangenziali. N = σd M= yσ d T = τd (3.7) Sostituendo nelle due equazioni (3.7) la relazione costitutiva (3.6), si ottiene: N = Eεd M= yeεd T= Gγd (3.8) Ricordando poi la relazione (??), si ha: N = E (ε 0 + yc) d = (E ε 0 + Ey c) d = E ε 0 + ES c = E ε 0 (3.9) M = ye (ε 0 + yc) d = Ey ε0 + Ey 2 c d = ES ε 0e + EI c = EI c (3.0) T = Gγd= G s γd (3.) essendo S il momemnto statico rispetto all asse x, che risulta nullo poichè x baricentrico, I il momento d inerzia rispetto all asse x ed inoltre ε 0 e c la deformazione assiale e la curvatura della trave. Si evidennzia che nell equazione (3.) sia G che γ sono costanti nella sezione retta della trave, per cui integrando dovrebbe comparire l area della sezione al posto della quantità s. In realtà, come si chiarirà successivamente, il modello proposto da Timoshenko non fornisce un profilo delle tensioni tangenziali accurato tramite la seconda delle formule (3.6), per cui è necessario introdurre un coefficiente χ di correzione a taglio nell espressione della risultante. Ciò equivale a considerare un area a taglio s = χ. Le equazioni (3.9), (3.0) e (3.) rappresentano le relazioni costitutive globali della trave che legano gli enti cinematici deformazione elastica assiale ε 0,curvaturac e scorrimento angolare γ agli enti statici sforzo normale N, momento flettente M e taglio T.

4 32 CPITOLO 3. MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (PROF. ELIO SCCO) 3.4 Problema dell equilibrio elastico In definitiva, le equazioni che governano il problema della trave sono le seguenti: congruenza equilibrio legame costitutivo ε 0 = w0 0 (3.2) c = ϕ 0 (3.3) γ = v 0 + ϕ (3.4) N 0 = f (3.5) M 00 = q (3.6) M 0 = T (3.7) N = E ε 0 (3.8) M = EI c (3.9) T = G s γ (3.20) Tenendo conto delle eqauzioni (3.2) e (3.8), la (3.5) fornisce: [E w 0 0] 0 = f (3.2) nalogamente, tenendo conto delle equazioni (3.3), (3.4) e (3.9), (??), le equazioni di equilibrio (3.6) e (3.7) forniscono: [EI ϕ 0 ] 00 = q (3.22) [EI ϕ 0 ] 0 = G s (v 0 + ϕ) (3.23) Le equazioni differenziali (3.2), (3.22) e (3.23) rappresentano le equazioni del problema dell equilibrio elastico della trave soggetta a sforzo normale ed a momento flettente, dette anche equazioni della linea elastica. Si evidenzia che tali equazioni sono completamente disaccoppiate; infatti il problema assiale si può risolvere tramite la (3.2) ignorando completamente il problema flessionale; analogamente, il problema flessionale si può risolvere tramite la (3.22) ignorando completamente il problema assiale. Problema assiale ssumendo E costante, il comportamento assiale della trave è governato dall equazione: E w 00 0 = f (3.24)

5 3.4. PROBLEM DELL EQUILIBRIO ELSTICO 33 la cui soluzione, nel caso di carico assiale uniformemente distribuito f costante, è: w 0 = f 2E z2 + a z + a 2 (3.25) ε 0 = w0 0 = f E z + a N = E ε 0 = f z+ E a dove a ed a 2 sono costanti di integrazione che si determinano tramite opportune condizioni al contorno. Problema flessionale ssumendo E ed E s costanti, il comportamento flessionale della trave è governato dalle equazioni: EI ϕ 000 = q (3.26) EI ϕ 00 = G s (v 0 + ϕ) (3.27) Nelcasodicaricouniformemente distribuitoq costante, integrando la (3.26) si ottiene: ϕ = q 6EI z3 + b z 2 + b 2 z + b 3 (3.28) che sostituita nella (3.27) fornisce: v 0 = EI ϕ 00 ϕ (3.29) G s = EI ³ q ³ G s EI z + b q 6EI z3 + b z 2 + b 2 z + b 3 Integrando l equazione differenziale (3.29) si ottiene: v = EI ³ q µ G s 2EI z2 + b z q 24EI z4 + 3 b z b 2z 2 + b 3 z + b 4 (3.30) Ne consegue che: c = ϕ 0 = q 3EI z2 + b z + b 2 (3.3) M = EI c = 3 qz2 + EI (b z + b 2 ) γ = (v 0 + ϕ) = EI ϕ 00 = EI ³ q G s G s EI z + b T = G s γ = q z+ EI b Le quantità b, b 2, b 3, e b 4 sono costanti di integrazione che si determinano tramite opportune condizioni al contorno.

6 34 CPITOLO 3. MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (PROF. ELIO SCCO) 3.5 Fattore di correzione a taglio Sulla base della seconda delle (3.6), tenendo conto dell equazione (3.2), le tensioni tangenziali presentano un andamento costante nella sezione retta della trave. Ne consegue che, per la simmetria delle tensioni tangenziali, si hanno irrealisticamente tensioni τ diverse da zero sull estradosso e sull intradosso della trave. l contrario le tensioni tangenziali derivate tramite la formula di Jourawsky, ovvero tramite una condizione di equilibrio, sono nulle all intradosso ed all estradosso della trave, presentando un profilo certamente più accurato. In definitiva, le tensioni tangenziali possono essere valutate in due modi differenti: dalla cinematica applicando il legame costitutivo: dalla formula di Jourawsky τ = Gγ (3.32) τ J = Ts Ib (3.33) con la (3.33) che fornisce un profilo delle tensioni tangenziali molto più soddisfacente di quanto ottenuto tramite la (3.32). Valutando il lavoro virtuale interno di sezione tramite la formula (3.32) e la formula (3.33), si ha: L vi = τ γd = γd = γ (3.34) L J s Ts vi = Ib GIb d = T µ s 2 d GI 2 b Eguagliandoilavorivirtualiottenutisiha: γ = T µ s 2 GI 2 b d (3.35) ovvero Gγ= T µ s 2 I 2 b d (3.36) e quindi, per la (3.20), si ha: T = T µ s 2 s I 2 b d (3.37) Ricordando che s = χ, siottiene: χ = R I 2 s b 2 d

7 3.6. ESERCII 35 F B 3.6 Esercizi 3.6. Esercizio Figura 3.2: Mensola caricata con una forza F sull estremo libero Si consideri la trave isostatica riportata in figura 3.2. In particolare, si affronta esclusivamente il problema flessionale, trascurando l aspetto assiale. La soluzione generale è fornita dalle espressioni: ed inoltre: ϕ = b z 2 + b 2 z + b 3 v = EI µ b z G s 3 b z b 2z 2 + b 3 z M = EI (b z + b 2 ) T = EI b Le costanti di integrazione si determinano imponendo condizioni al contorno di tipo sia statico che cinamatico. In particolare si ha: + b 4 Nodo : sono nulli i valori dello spostamento trasversale e della rotazione, Nodo B: sono noti entrambi gli enti statici Risolvendo si ottiene: v(0) = 0 b 4 =0 ϕ(0) = 0 b 3 =0 M(l) =0 EI (b l + b 2 )=0 T (l) =F EI b = F b = F EI C 2 = Fl EI C 3 =0 C 4 =0

8 36 CPITOLO 3. MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (PROF. ELIO SCCO) Figura 3.3: Schema della struttura dell esercizio 2. equindi ϕ = F z 2 lz EI v = F z F µ G s EI 3 z3 2 lz2 M = F (z l) T = F Esercizio 2 Si determini la soluzione della struttura in figura 3.3 utilizzando l equazione della linea elastica. La struttura si compone di 3 tratti, per ognuno di questi tratti si scrivono le equazioni differenziali della linea elastica. Si noti che nel secondo tratto è presente una distorsione termica a farfalla, per cui la curvatura flessionale totale si ottiene come somma della curvatura elastica e di quella termina: c = ϕ 0 = c e + c t dove c e = M EI c t = 2α T h con α coefficiente di variazione termica ed h altezza della sezione della trave. La soluzione per ogni tratto assume la forma:

9 3.6. ESERCII 37 primo tratto da a B, sistema di riferimento z con origine in ϕ = b z 2 + b 2 z + b 3 v = EI µ b z G s 3 b z b 2z 2 + b 3 z + b 4 M = EI (b z + b 2 ) T = EI b secondo tratto da B a C, sistema di riferimento z 2 con origine in B ϕ 2 = c z2 2 + c 2 z 2 + c 3 v 2 = EI µ c z 2 G s 3 c z c 2z2 2 + c 3 z 2 M 2 = EI (c z 2 + c 2 ) EI T 2 = EI c 2α T h terzo tratto da C a D, sistema di riferimento z 3 con origine in C ϕ 3 = q 6EI z3 3 + d z3 2 + d 2 z 3 + d 3 v 3 = EI ³ q µ G s 2EI z2 3 + d z 3 q 24EI z d z d 2z3 2 + d 3 z 3 + d 4 M 3 = 3 qz2 3 + EI (d z 3 + d 2 ) T 3 = q z 3 + EI d Le costanti di integrazione b, b 2, b 3, b 4, c, c 2, c 3, c 4, d, d 2, d 3, d 4 si determinano imponendo le opportune condizioni al contorno. Nodo - nell incastro si devono scrivere 2 condizioni di tipo cinematico, la prima sugli spostamenti verticali, la seconda condizione sulle rotazioni: v (0) = 0 ϕ (0) = 0 Nodo B- in corrispondenza del carrello elastico in B si devono scrivere 4 condizioni al contorno, una sugli abbassamenti, una sulle rotazioni, una sul momento flettente ed una sul taglio: v (l) = v 2 (0) ϕ (l) = ϕ 2 (0) M (l) = M 2 (0) T (l)+kv (l) = T 2 (0) + c 4

10 38 CPITOLO 3. MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (PROF. ELIO SCCO) dove k è la rigidezza del vincolo elastico in B. Nodo C- per il vincolo in C devono essere scritte 4 equazioni: v 2 (l) = 0 v 3 (0) = 0 ϕ 2 (l) = ϕ 3 (0) M 2 (l) = M 3 (0) Nodo D- in corrispondenza dell estremo libero si scrivono 2 equazioni: M 3 (l) = 0 T 3 (l) = 0 In definitiva si ottiene il seguente un sistema di 2 equazioni in 2 incognite. Nelle pagine che seguono è riportato un programma in MPLE per la risoluzione dell esercizio proposto.

11 3.6. ESERCII 39 > restart: > with (linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > Gs:=eta*EI: > eqda:=ei*(diff(phi(z),z$3))=0; eqdb:=ei*(diff(phi(z),z$2))=gs*(diff(v(z),z)+phi(z)); disol:=dsolve({eqda,eqdb},{phi(z),v(z)}); eqda := EI 3 φ( z ) = 0 z 3 eqdb := EI 2 φ( z ) = η EI z 2 + v( z ) φ( z ) z disol := { φ( z ) = + +, 2 _C2 _C2 z z2 _C3 z _C4 v( z ) = + η 6 _C2 z3 2 _C3 z2 _C4 z _C } > eqd2a:=ei*(diff(phi2(z),z$3))=0; eqd2b:=ei*(diff(phi2(z),z$2))=gs*(diff(v2(z),z)+phi2(z)); disol2:=dsolve({eqd2a,eqd2b},{phi2(z),v2(z)}); eqd2a := EI 3 φ2( z ) = 0 z 3 eqd2b := EI 2 φ2( z ) = η EI z 2 + v2( z ) φ2( z ) z disol2 := { φ2( z ) = + +, 2 _C2 _C2 z z2 _C3 z _C4 v2( z ) = + η 6 _C2 z3 2 _C3 z2 _C4 z _C } > eqd3a:=ei*(diff(phi3(z),z$3))=-q; eqd3b:=ei*(diff(phi3(z),z$2))=gs*(diff(v3(z),z)+phi3(z)); disol3:=dsolve({eqd3a,eqd3b},{phi3(z),v3(z)}); eqd3a := EI 3 φ3( z ) = q z 3 2 eqd3b := EI φ3( z ) = η EI z 2 qz 3 disol3 := φ3( z ) = EI 2 _C2 z2 _C3 z _C4, z v3( z ) + φ3( z )

12 40 CPITOLO 3. MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (PROF. ELIO SCCO) qz 2 _C2 z 24 qz4 v3( z ) = η EI η EI 6 _C2 z3 2 _C3 z2 _C4 z _C > disol:=dsolve({eqda,eqdb,eqd2a,eqd2b,eqd3a,eqd3b},{phi(z),v(z),phi2(z),v2(z),phi3(z),v3(z)}); _C4 z disol v( z ) = + η 6 _C4 := z3 2 _C5 z2 _C6 z _C, _C0 z v2( z ) = + η 6 _C0 z3 2 _C z2 _C2 z _C2, φ2( z ) = _C0 z2 _C z _C2, qz 2 _C7 z 24 qz4 v3( z ) = η EI η EI 6 _C7 z3 2 _C8 z2 _C9 z _C3, qz 3 φ3( z ) = EI 2 _C7 z2 _C8 z _C9 φ( z ) = _C4, z2 _C5 z _C6 > vv:=subs({_c=c[],_c2=c[2],_c3=c[3],_c4=c[4]},(subs(disol, v(z)))); ff:=subs({_c=c[],_c2=c[2],_c3=c[3],_c4=c[4]},(subs(disol,phi( z)))); MM:=EI*(diff(ff,z)); TT:=diff(MM,z); c 2 z vv := + η 6 c 2 z3 2 c 3 z2 c 4 z c ff := c 2 z2 c 3 z c 4 MM := EI ( c 2 z + c 3 ) TT := EI c 2 > vv2:=subs({_c=c[5],_c2=c[6],_c3=c[7],_c4=c[8]},(subs(disol2, v2(z)))); ff2:=subs({_c=c[5],_c2=c[6],_c3=c[7],_c4=c[8]},(subs(disol2,phi2( z)))); MM2:=EI*(diff(ff2,z))-EI*ct; TT2:=diff(MM2,z); c 6 z vv2 := + η 6 c 6 z3 2 c 7 z2 c 8 z c 5 ff2 := c 6 z2 c 7 z c 8

13 3.6. ESERCII 4 MM2 := EI ( c 6 z + c 7 ) EI ct TT2 := EI c 6 > vv3:=subs({_c=c[9],_c2=c[0],_c3=c[],_c4=c[2]},(subs(disol3, v3(z)))); ff3:=subs({_c=c[9],_c2=c[0],_c3=c[],_c4=c[2]},(subs(disol3,ph i3(z)))); MM3:=EI*(diff(ff3,z)); TT3:=diff(MM3,z); qz 2 c 0 z 24 qz4 vv3 := η EI η EI 6 c 0 z3 2 c z2 c 2 z c 9 > # sezione cc[]:=subs(z=0,vv)=0; cc[2]:=subs(z=0,ff)=0; qz 3 ff3 := EI 2 c 0 z2 c z c 2 MM3 := EI qz 2 + c + 2 EI 0 z c TT3 := EI qz + EI cc := c = 0 cc 2 := c 4 = 0 > # sezione B cc[3]:=subs(z=l,vv)-subs(z=l,vv2)=0; cc[4]:=subs(z=l,ff)-subs(z=l,ff2)=0; cc[5]:=subs(z=l,mm)-subs(z=l,mm2)=0; cc[6]:=subs(z=l,tt)+k*subs(z=l,vv)-subs(z=l,tt2)=0; c 2 l cc 3 := = η 6 c c 2 l3 2 c 6 l 3 l2 c 4 l c η 6 c 6 l3 2 c 7 l2 c 8 l c 5 0 c 0 cc 4 := + + = 2 c 2 l2 c 3 l c 4 2 c 6 l2 c 7 l c 8 0 cc 5 := EI ( c 2 l + c 3 ) EI ( c 6 l + c 7 ) + EI ct = 0 cc 6 := EI c 2 + k c 2 l = + η 6 c 2 l3 2 c 3 l2 c 4 l c EI c 6 0 > # sezione C cc[7]:=subs(z=2*l,vv2)=0; cc[8]:=subs(z=2*l,vv3)=0;

14 42 CPITOLO 3. MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (PROF. ELIO SCCO) cc[9]:=subs(z=2*l,ff2)-subs(z=2*l,ff3)=0; cc[0]:=subs(z=2*l,mm2)-subs(z=2*l,mm3)=0; cc 7 := 2 c l = η 3 c 6 l3 2 c 7 l 2 2 c 8 l c c cc 8 := 2 ql2 0 l 3 ql = η EI η EI 3 c 0 l3 2 c l 2 2 c 2 l c cc 9 := 2 c 6 l 2 3 ql3 + 2 c 7 l + c c = EI 0 l 2 2 c l c 2 0 cc 0 := EI ( 2 c 6 l + c 7 ) EI ct EI = 2 ql2 + 2 c + EI 0 l c 0 > # sezione D cc[]:=subs(z=3*l,mm3)=0; cc[2]:=subs(z=3*l,tt3)=0; cc := EI = 9 ql c + 2 EI 0 l c 0 cc 2 := EI = 3 ql + c EI 0 0 > ris:=solve({cc[],cc[2],cc[3],cc[4],cc[5],cc[6],cc[7],cc[8],cc[9], cc[0],cc[],cc[2]}, {c[],c[2],c[3],c[4],c[5],c[6],c[7],c[8],c[9],c[0],c[],c[2]}): > simplify(ris[]); simplify(ris[2]); simplify(ris[3]); simplify(ris[4]); simplify(ris[5]); simplify(ris[6]); simplify(ris[7]); simplify(ris[8]); simplify(ris[9]); simplify(ris[0]); simplify(ris[]); simplify(ris[2]); c 9 = l 2 ( 44 qkl 204 qkl 3 η + 22 qkl 5 η q η EI 32 q η 2 EI l l 7 η 3 qk+ 240 l 4 η 3 qei+ 5 l 5 η 3 EI k ct + 20 l 2 η 3 EI 2 ct + 66 l 3 EI k η 2 ct + 44 η 2 EI 2 ct + 72 η leikct) ( η EI ( 36 kl+ 60 kl 3 η + 7 kl 5 η η EI + 96 η 2 EI l 2 ))

15 3.6. ESERCII 43 c 7 = ( 2 l7 η 2 kq+ 48 l 4 η 2 EI q 0 l 5 η 2 EI k ct + 48 k η ql l 2 η 2 EI 2 ct + 48 l 3 EI k η ct + 72 leikct+ 44 η EI 2 ct 36 l 3 kq 72 l 2 η EI q ) ( EI ( 36 kl+ 60 kl 3 η + 7 kl 5 η η EI + 96 η 2 EI l 2 )) c 3 = 2 l2 ( qkl 5 η 2 48 q η 2 EI l 2 6 l 3 EI k η 2 ct 2 qkl 3 η + 72 η 2 EI 2 ct + 36 η leikct+ 36 qkl+ 72 q η EI) ( EI ( 36 kl+ 60 kl 3 η + 7 kl 5 η η EI + 96 η 2 EI l 2 )) 3 c 2 = 2 3 c 6 = 2 l η ( 6 l 3 kq 6 l 3 EI k η ct + k η ql 5 24 l 2 η EI q + 2 η EI 2 ct) EI ( 36 kl+ 60 kl 3 η + 7 kl 5 η η EI + 96 η 2 EI l 2 ) c = 9 ql 2 2 EI c 0 = 3 ql EI c = 0 c 4 = 0 l η ( 3 k η ql 5 24 l 2 η EI q + 4 l 3 EI k η ct 8 l 3 kq+ 2 η EI 2 ct + 2 leikct) EI ( 36 kl+ 60 kl 3 η + 7 kl 5 η η EI + 96 η 2 EI l 2 ) c 8 = ( 2 6 l7 η 2 kq l 5 η 2 EI k ct + 92 l 2 η 2 EI 2 ct + 8 k η ql l 3 EI k η ct + 44 η EI 2 ct + 72 leikct) l ( EI ( 36 kl+ 60 kl 3 η + 7 kl 5 η η EI + 96 η 2 EI l 2 )) c 2 = 6 l ( 76 l7 η 2 kq l 4 η 2 EI q + 5 l 5 η 2 EI k ct k η ql l 2 η 2 EI 2 ct + 98 l 3 EI k η ct η EI 2 ct + 26 leikct+ 720 l 3 kq+ 440 l 2 η EI q) ( EI ( 36 kl+ 60 kl 3 η + 7 kl 5 η η EI + 96 η 2 EI l 2 )) c 5 = l 2 ( 3 k η ql l 3 EI k η ct + 36 η EI 2 ct 8 l 3 kq+ 36 leikct+ l 7 η 2 kq + l 5 η 2 EI k ct + 48 l 2 η 2 EI 2 ct) ( EI ( 36 kl+ 60 kl 3 η + 7 kl 5 η η EI + 96 η 2 EI l 2 )) L esercizio può essere svolto anche per via numerica considerando i seguenti dati: E =3000MPa G = 2500 MPa k =500N/mm c t = /mm b =00mm h =200mm l =3000mm s =5/6

16 44 CPITOLO 3. MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (PROF. ELIO SCCO) Figura 3.4: Schema della struttura dell esercizio Esercizio 3 Si determini la soluzione della struttura in figura 3.4 utlizzando l equazione della linea elastica. La struttura si compone di 4 tratti, per ognuno di questi tratti. primo tratto da a B, sistema di riferimento z con origine in ϕ = b z 2 + b 2 z + b 3 v = EI µ b z G s 3 b z b 2z 2 + b 3 z + b 4 M = EI (b z + b 2 ) T = EI b secondo tratto da B a C, sistema di riferimento z 2 con origine in B ϕ 2 = c z2 2 + c 2 z 2 + c 3 v 2 = EI µ c z 2 G s 3 c z c 2z2 2 + c 3 z 2 M 2 = EI (c z 2 + c 2 ) EI T 2 = EI c 2α T h + c 4

17 3.6. ESERCII 45 terzo tratto da C a D, sistema di riferimento z 3 con origine in C ϕ 3 = d z3 2 + d 2 z 3 + d 3 v 3 = EI µ d z 3 G s 3 d z d 2z3 2 + d 3 z 3 + d 4 M 3 = EI (d z 3 + d 2 ) T 3 = EI d quarto tratto da D a E, sistema di riferimento z 4 con origine in D ϕ 4 = e z4 2 + e 2 z 4 + e 3 v 4 = EI µ e z 4 G s 3 e z e 2z4 2 + e 3 z 4 + e 4 M 4 = EI (e z 4 + e 2 ) T 4 = EI e Le costanti di integrazione b, b 2, b 3, b 4, c, c 2, c 3, c 4, d, d 2, d 3, d 4, e, e 2, e 3, e 4 si determinano imponendo le opportune condizioni al contorno. Nodo : Nodo B: Nodo C: v (0) = 0 ϕ (0) = 0 v (l) = 0 v 2 (0) = 0 ϕ (l) = ϕ 2 (0) M (l) = M 2 (0) v 2 (l) = v 3 (0) ϕ 2 (l) = ϕ 3 (0) M 2 (l) = M 3 (0) T 2 (l)+kv 2 (l) = T 3 (0) dove k è la rigidezza del vincolo elastico in C.

18 46 CPITOLO 3. MODELLO TRVE DI TIMOSHENKO (PROF. ELIO SCCO) Nodo D: v 3 (l) = v 4 (0) ϕ 3 (l) = ϕ 4 (0) M 3 (l) = M 4 (0) T 3 (l) = T 4 (0) + F Nodo E: M 4 (l) = 0 T 4 (l) = 0 In definitiva, esprimendo le rotazioni, i momenti flettenti ed i tagli in funzione delle derivate dell inflessione dei singoli tratti, si ottiene un sistema di 6 equazioni che permette di determinare le 6 costanti di integrazione.