Inflessione delle travi

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1 Inflessione delle travi In precedenza si è esplicitato il legame sollecitazione-curvature-tensioni nelle travi, ma non è ancora stato affrontato il problema del calcolo delle frecce di inflessione Il calcolo delle frecce è importante per diverse ragioni; Determinare rotazioni subite in corrispondenza degli appoggi (e.g. cuscinetti) Verificare che gli spostamenti non siano tali da compromettere l integrità di una struttura (e.g. edifici) o addirittura l aspetto Calcolare lo stato di sollecitazione in strutture staticamente indeterminate Verificare che l ampiezza delle vibrazioni indotte sia compresa in limiti accettabili Stimare le condizioni di carico di instabilità (o di punta) onde evitarne l insorgere Verificare il corretto accoppiamento tra organi in movimento (e.g. ingranaggi)

2 Considerando una trave incastrata - libera, l applicazione di un carico P provoca una inflessione v(x), nulla al vincolo e massima in corrispondenza di P Si assume che xy sia piano di simmetria e che tutti i carichi agiscano sul piano xy Associata ad una freccia v(x) vi è anche una rotazione ϑ(x) Tra le due tangenti in m e m vi è un angolo di rotazione aggiuntiva dϑ Detto il raggio di curvatura: d ds e la curvatura: d ds Notare che la curvatura è positiva se cresce l angolo ϑ

3 Essendo ϑ definito come l angolo che identifica la tangente tan dv Assumendo che rotazioni e frecce siano piccole rispetto alle dimensioni geometriche (teoria differenziale approssimata al I ordine) ds d Confondendo anche la tangente con l angolo dv Ricordando anche il legame già introdotto tra curvatura e momento, si deduce l equazione differenziale che governa la inflessione M dv M x Adottando la convenzione dei segni riportata a lato, e ricordando (dall equilibrio del concio elementare) Si perviene ad altre equazioni differenziali dm V x dv q x V x d d v dm x q x d d v dv x

4 Le equazioni si semplificano ulteriormente se I(x) risulta costante lungo x dv dv M x V x dv q x A seconda che si conosca: andamento del carico distribuito, taglio o momento applicati, il problema si risolve integrando, o volte (con, o condizioni al contorno) d v x x q x C E I x x d v x q x C C E I d v x x x x dv x q x C C C E I q x E I V x M x q x x E I E I E I d v x dv x d v x d v x xx x x q x v x C C C C

5 Le condizioni al contorno possono essere date su v, ϑ ma anche su taglio V e momento M v x Incastro x v x appoggio M x V x libero M x Nell integrazione lungo x occorre integrare un elemento della trave alla volta, intendendo per elemento un tratto ove non si abbiano all interno variazioni vincolari, o applicazione dei carichi concentrati y carichi concentrati vincoli x Tra un elemento e l altro si impone la congruenza (stessa freccia e rotazione) Ogni elemento ha costanti di integrazione. Nell esempio sono A ogni connessione si hanno eq. Congruenza e eq. di equilibrio, totale 6 altre eq. si hanno negli estremi liberi, totale equazioni e incognite

6 v Esempio : Trave incastrata libera x Il momento flettente in x è: M x d v x P x Px E I Le condizioni al contorno sono Px C dv x E I Px v x C x C 6 PL vx C L C xl 6 PL x C xl C C PL PL v x x x P P L P L 6 E I E I E I Nel punto di applicazione del carico (x=) v PL PL

7 Esempio : Carico distribuito v E I dv w dv E I wx C d v x E I w C x C dv x x E I w C C x C 6 x x x E I v w C C C x C 6 Andamento della freccia v Estremità sin dv C C Estremità vl C C d v L wl wl v x x Lx L x Annullando la derivata prima Valore massimo (al centro) v max L 5 8 w L

8 Esempio : Trave caricata oltre gli appoggi La struttura in acciaio presenta un carico oltre l ultimo appoggio. Calcolare l equazione della freccia ed il valore all estremità caricata Soluzione: Data la presenza dell appoggio in B, occorre risolvere due elementi di trave separati Non essendo presenti carichi distribuiti si può procedere a partire dal taglio, di conoscenza immediata (dall equilibrio dell intera struttura) P V x L d v P E I x C dv C Momento nullo in A e C C V P L x L dv E I Px C d v PL L

9 Si deducono quindi le due equazioni che risolvono il momento flettente P M x x L P L x M L x L La successiva integrazione fornisce l andamento dell angolo dv dv Px L x E I P E I x C C La condizione di continuità dell inclinazione ci dà una prima equazione P L C PL C L ulteriore integrazione ci fornisce la freccia P E I v x Cx C5 C C PL Px 9L x E I v C x C 6 Prendendo ora l elemento AB abbiamo anche le c.c. v e v L C C 5 PL C 5 6 PL Mentre per l elemento BC si può applicare una sola c.c. vl C 6 PL

10 Ora che tutte le 6 costanti (siamo partiti da eq. diff. del III ordine) sono state determinate, sostituendo si risolve il problema Px v x L x x L P vx L L x 9Lx x L x L Infine, nel punto di applicazione del carico PL c v L 8

11 ESPRESSIONE ESATTA DELLA CURVATURA Essa è da utilizzare quando la trave si infletta maggiormente e non potendo più confondere ascissa curvilinea con quella cartesiana e angolo con la sua tangente, Dal teorema di Pitagora d d dv ds ds arctan ds dv ds dv La derivata dell arcotangente si risolve come derivata notevole Sostituendo nella prima le due equazioni trovate si ha d arctan dv d v dv d d v ds dv Si vede che considerare la curvatura come legata solo alla derivata seconda equivale a trascurare il quadrato della derivata prima rispetto all unità

12 METODO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI Le equazioni differenziali che sono state introdotte presentano tutte derivate elevate alla potenza unitaria. Pertanto trattasi di equazioni differenziali lineari e gli effetti (deformazioni) dipendono linearmente dalle cause (carichi) Nell esempio a fianco si può trovare la soluzione sommando le deformate ottenute per effetto del carico concentrato e di quello distribuito PL 5qL C C P C q 8 8 PL ql A B A P A q 6 Nei manuali di meccanica strutturale si trovano le soluzioni base di molte tipologie di travi che consentono di ricavare soluzioni complesse sovrapponendo gli effetti Il principio di sovrapposizione degli effetti può essere applicato se: il materiale è lineare elastico spostamenti e deformazioni sono piccoli (lineari) la deformata associata al carico non modifica le sollecitazioni presenti

13 ESEMPIO:

14 In presenza di carichi distribuiti q(x) qualsivoglia, sfruttando la sovrapposizione è possibile prima trovare la soluzione associata ad un elementino di carico e poi sommare (integrare) tutti i contributi applicati a ciascun elementino caricato. Per un carico dp= q posto in x lo spostamento al centro C: q x xl v C L x q 8 Introducendo l equazione che fornisce qx vc L x q L dp x v C L x q 8 x q L q x Che viene integrata secondo i carichi applicati L q x q L ql vc L x L x x L L Si rimarca che l integrale non rappresenta altro che la somma delle risposte ai carichi e quindi va esteso solo alle zone effettivamente caricate I carichi concentrati danno invece contributi unici, ossia non integrati sul dominio di estensione

15 ENERGIA DI DEFORMAZIONE ASSOCIATA ALLA FLESSIONE Il calcolo vale solo in piccoli spostamenti e per materiale lineare elastico La relazione tra angolo e momento applicato vale L ML Quindi tra momento applicato e angolo di inflessione vi è una relazione lineare del tipo: L energia esterna spesa quindi è l area sottesa, ossia M M L U L Se il momento varia lungo l asse, si può calcolare l energia sommando i contributi energetici di ciascun elementino e sommandoli (integrando) d dv du Md U Md L M x U L d v

16 DEFORMATA DOVUTA AD UN SOLO CARICO Se un solo carico agisce sulla struttura, la corrispondente deformazione può essere correlata direttamente al carico In caso contrario il legame non è più lineare (compaiono termini misti di energia U P Se ad esempio sono presenti due carichi generalizzati di estremità M x Px M U M Dalla precedente definizione di energia immagazzinata LM x L PL PM L ML U Px M 6 Energia associata al solo carico P Termine addizionale Energia associata al solo carico M In termini energetici si avrebbe P M P L PM L M L A A 6 Sistema non risolvibile in quanto sono presenti incognite in una unica equazione

17 TEOREMA DI CASTIGLIANO (Carlo Alberto Pio n. Milano 87 m. Asti 88) Il teorema consente di determinare la deflessione di una struttura nota che sia la sua energia di deformazione U PL 6 Si può derivare la precedente rispetto a P du d P L dp dp 6 du dp PL A PL La derivata dell energia di deformazione fatta rispetto al carico applicato eguaglia la deformata subita dal punto di applicazione del carico Derivazione del teorema Si considera una struttura in cui sono presenti molteplici carichi P i cui si associano deformate δ i Si è nelle condizioni di poter applicare il principio di sovrapposizione degli effetti L energia totale del sistema sarà funzione di tutti i carichi agenti e vale U P, P,, Pn

18 Supponendo ora di fornire ad uno dei carichi (i - generico) un piccolo incremento dp i l energia si incrementa di U Utot U du U dpi P U du dpi P Per effetto della applicabilità del principio di sovrapposizione degli effetti, l ordine di applicazione dei carichi non modifica l energia complessiva i i Se si applica prima il carico piccolo du dpd i i Mentre tutti i successivi U danno di nuovo P, P,, Pn In questa seconda applicazione vi è tuttavia un piccolo ulteriore contributo, legato al lavoro compiuto da dp i per effetto dello spostamento δ i conseguenza di tutti i P,, P n dpd i i U U dp tot i i Trascurando il termine differenziale del II ordine ed uguagliando le energie totali U i P i P Il teorema, qui sviluppato per le travi inflesse, ha una validità molto più generale e si applica anche ad ogni solido elastico, considerando forze e spostamenti generalizzati P M P i

19 Vediamo come lo si utilizza nel caso dei due carichi estremali già considerato U M x Px M PL PM L ML 6 U PL ML A P U PL ML A M Metodo del carico fittizio Il teorema determina lo spostamento solo nel punto di applicazione di un carico. Tuttavia, se si vuole un altro spostamento generalizzato si può applicare una forza fittizia generalizzata in esso, calcolare l energia totale, derivare rispetto al carico fittizio e annullare il carico fittizio stesso Q Supponiamo di voler determinare lo spostamento in mezzeria M x Px M M x Px M Q x L L x L xl

20 L PL PM L M L U AC Px M 8 8 L U BC Px M Qx Q L L U U U tot AC CB P L PM L 5PQL M L MQL Q L Ora si deriva rispetto al carico fittizio Utot 5PL ML QL C Q Q 8 8 Alla rimozione del quale si ottiene lo spostamento cercato 5PL ML C C Q 8 8 Il metodo proposto è del tutto universale, tuttavia la sua applicazione analitica può essere molto rallentata dalla necessità di integrare delle funzioni al quadrato che producono molti termini nell integrando

21 Differenziazione all interno dell integrale L idea di base è di derivare (rispetto al carico P i ) direttamente all interno dell integrale i P P P U M M M i i i Questa ultima equazione viene indicata come il teorema di Castigliano modificato Il vantaggio di questa II formulazione sta nel numero di termini da integrare che, in virtù del prodotto con la derivata, è sicuramente minore Riprendendo il precedente problema di spostamento in mezzeria: M x Px M M x Px M Q x L M x Q M x L x Q xl L x L L L L L C Px M Px M Q Q x x L L L C Q L Px M Qx Q QLx 5PL ML C C Q 8 8

22 i P P P U M M M i i i Questa derivata può avere anche una interpretazione fisica interessante: momento prodotto da un carico unitario P i Questa specificazione dà luogo al nome di metodo del carico unitario Esempio Determinare lo spostamento e l angolo di rotazione in corrispondenza del punto C. Soluzione: [spostamento] In corrispondenza dei supporti si ha R A ql P R B ql P In base alle forze si può determinare l andamento dei momenti qx qx M AB x RAx x x CB ql P xl M x Px x L differenziando M AB x P x M CB P x x

23 L L M M ql P qx x C x x Px x P L L qx ql P P PL ql C x x x Il segno è indicativo, se positivo è diretto come P, altrimenti in verso opposto q [ angolo di rotazione ] P Non è previsto un momento applicato, quindi se ne aggiunge uno fittizio M C R A ql P M L C R B ql P M L C

24 L andamento dei momenti si modifica nel modo seguente qx M qx M AB x RAx x x x L CB ql P C x L M x Px M C x L Differenziando ora rispetto AB al carico fittizio M C M x x M L C M CB M C x L L M M ql P MC qx x C x x x Px M C M C L L Annullando ora il valore L L ql P qx x x x Px L C del momento fittizio M C Eseguendo i calcoli si ricava infine L L qx q P P 7PL ql C x x x Se il segno è positivo la rotazione ha lo stesso verso ipotizzato al carico fittizio M C

25 EFFETTI TERMICI Nel caso della deflessione delle travi, ha interesse trattare il caso di variazioni termiche lungo lo spessore della trave T T T T m T T Se l appoggio è tale da non impedire l allungamento medio (da T ) o le rotazioni, la struttura non si tensionerà ma si deformerà. Ciascuna fibra secondo la legge TL Facendo riferimento alla figura a fianco hd T T T T dv T T d Se T > T allora la curvatura è positiva h h d Nel caso in cui la rotazione sia impedita il calcolo si può fare sovrapponendo gli effetti: prima si lascia la trave libera di deformarsi in temperatura, poi, da questa posizione essa viene caricata imponendo il rispetto dei vincoli questa ultima condizione comporta l insorgere di tensioni

26 DEFORMAZIONE DI TRAVI CURVILINEE Si considera il caso di una trave di curvatura iniziale costante (linea media = tratto circonferenza) soggetta ad un carico radiale estremale composto da una forza P ed un momento M Si suppone di poter trascurare la deformabilità dovuta a sforzo assiale e taglio O R P P r M Rd s M Su di esso viene applicato un riferimento radialecirconferenziale e si supponga che lo spessore sia piccolo al punto da non spostare significativamente il raggio neutro da quello baricentrico Il modo più pratico di affrontare questo problema è mediante l utilizzo del Teorema di Castigliano U L M ds In una generica sezione identificata da ϑ sin M M PR U L P Spostamento radiale M Rd dm M Rd P dp M PR sin Rsin Rd

27 M R PR d Sviluppando l integrale sin sin cos M R cos PR d MR PR sin cos Nel caso particolare di quarto di cerchio MR PR PR MR Nel caso particolare del semicerchio MR PR PR MR Volendo calcolare lo spostamento tangenziale si sarebbe potuto introdurre un carico fittizio Q diretto come s.

28 TRAVI SU FONDAZIONE ELASTICA Si ipotizzi ora che una trave sia supportata da una fondazione che reagisce elasticamente È questo un caso particolarmente interessante allorché si studino travi orizzontali appoggiate su terreno cedevole, oppure strutture a sviluppo assiale parzialmente sommerse (navi lunghe) y q(x) N.B. si utilizza η che ha η verso opposto a y k In ogni punto di appoggio, la fondazione reagisce al cedimento con una reazione elastica k x M V q k V+dV M+dM Gli equilibri sul generico elementino forniscono dv q k ; dm V Dall equazione linea elastica: (segno opposto) EJ d M x d EJ q k

29 Della equazione differenziale del IV ordine vista, si limita lo studio al solo caso di carichi concentrati (q=) EJ d k Riscritta come d con k EJ L equazione caratteristica associata all equazione differenziale è i ; i i i i i La soluzione della omogenea assume così la forma: x C e C e C e C e i x i x i x i x x i x i x x i x e C e C e e C x i x e C e x x x e Acos x Bsen x e F cos x Gsen x Questo problema richiede l utilizzo di condizioni al contorno

30 Si consideri ad esempio il caso di una trave infinitamente lunga con un carico concentrato P Si sceglie l origine sul punto di applicazione del carico x k η x x x e Acos x Bsen x e F cos x Gsen x È plausibile supporre che a distanza molto grande dall origine la deformata svanisca I primi due termini esponenziali debbono essere nulli AB x x e F cos x Gsen x La prima condizione al contorno (simmetria) prevede l annullarsi della derivata prima all origine d x x e F cosx G senx F senx G cosx F G x x Fe cos x sen x

31 Per l altra condizione al contorno, possiamo dire che il taglio (in una direzione della trave) è uguale alla metà del carico applicato V P x x Fe cos x sen x Derivando tre volte d x Fe sen x dm d V P x x d x Fe sen x cos x d x Fe cos x Tenendo conto delle precedenti derivate P P 8 F F La soluzione generale è allora P cos sen 8 x x e x x vx x P 8 La legge di spostamento si annulla rapidamente

32 Longests ship () 5 m!!! P P P P x η k

33 Per determinare la rigidezza della fondazione elastica si determina la forza necessaria per sprofondamento unitario della chiglia P g g +s b b b P g s g b b HO s k P HOb s g g s Con chiglia triangolare k(s) N.B. Se il carico fosse uniformemente distribuito nella lunghezza si avrebbe maggior sprofondamento ma assenza di momento flettente