Esame di Costruzioni Aerospaziali Prof. P. Gasbarri. Nome: Cognome: Data: 17/01/ Si

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1 Esercizio N. 1 Valutazione 6 Sia data una semiala la cui forma in pianta trapezoidale è ripotata in figura. L allungamento della semiala è pari a, mentre le corde all incastro con la fusoliera e all estremo libero sono rispettivamente e. Si = 5, la superficie della semiala è c = 1.5m S = 5m c1 =.5m supponga che il carico alare sia costante e pari a Q = 1 N / m. 1a) Determinare la lunghezza della semiala L, l andamento della corda lungo x, C(x) e la distribuzione del carico per unità di lunghezza q=q(x). Considerando la formula per l allungamento della semiala (Aspect Ratio) si ha che = L / S dove L è la lunghezza della semiala. Si ottiene quindi che L= 5m. L andamento della corda si ottiene considerando che per x= si deve avere c e per x=l si deve avere c1 ( c c1) c( x) = c x L La distribuzione del carico per unità di lunghezza si può ottenere di conseguenza come ( c c ) L 1 q( x) = Q c( x) = Q c x 1b) Supponendo che il carico q(x) sia applicato sulla linea che unisce le corde medie della semiala e che l ala si comporti come una trave flessionale incastrata alla fusoliera con rigidezza flessionale media e costante 6 pari a =.5 1 Nm, si scriva l equazione di equilibrio della trave inflessa in funzione dello spostamento w(x) con le relative condizioni al contorno d d w( x) = q x dx dx dw( x) + c. c. x = w( x) =, = dx d d w( x) d w( x) + c. c. x = L, = = dx dx dx 1c) Si determini l andamento dello spostamento flessionale dell ala w(x) e calcolarne il valore per x=l V w = q( x)

2 ( c c ) ( c c ) x w = Q c x dx A Q cx x A L + = + L x 1 ( c c1 ) 1 cx ( c c1 ) 3 w = Q cx x dx Ax B Q x Ax B L + + = + + 6L x 3 1 cx ( c c1 ) 3 Ax 1 cx ( c c1) 4 Ax w = Q x dx + + Bx + C = Q x + + Bx + C 6L 6 4L x cx ( c c1 ) 4 Ax Bx w = Q x dx Cx D = 6 4L cx ( c c1 ) 5 Ax Bx = Q x Cx + D 4 1L 6 Applicando le condizioni al contorno si ottiene che w( x = ) = D = w ( x = ) = C = 1 ( c c1 ) 1 ( c c1 ) w ( x = L) = = Q cx x A Q cl L A L + = + L 1 ( c c ) 1 A = Q cl L 1 c L ( c c ) w x L Q L AL B 6L 1 3 ( = ) = + + = 1 cl ( c c1 ) 1 ( c c1 ) Q L Q cl L L B 6 + = 1 cl ( c c1 ) ( c c1 ) 1 cl ( c c1 ) B = Q + L + cl L = Q L c x ( c c ) Ax Bx w = Q x L 6 w( x = L) =.4m d) Le funzioni che descrivono le forze di taglio (x) e momento flettente M(x), disegnandone l andamento.

3 ( c c ) L 1 ( x) = w ( x) = Q cx x A c x ( c c ) 6L 1 3 M ( x) = w ( x) = Q x Ax B Si verifica che taglio e momento all estremità libera della semiala si annullino 1 ( c c ) = = = + = L 1 ( x L) w ( L) Q cl L A 1 ( c c1 ) 1 ( c c1 ) = Q cl L Q cl L = Q ( c c1 ) ( c c1 ) = cl L cl + L= Q c L ( c c ) = = = + + = 6L 1 3 M ( x L) w ( L) L AL B Q cl ( c c1 ) 3 1 ( c c1 ) 1 cl ( c c1 ) = L Q cl L + Q L = 6L 3 Q c L ( c c ) ( c c ) c L = L c L + L + 6L ( c c ) L 3 1 =

4 1e) valori della forza di taglio e del momento flettente M in x=. ( c c1) ( x = ) = A = Q cl L 5kN = cl ( c c1 ) M ( x = ) = Q L = 1.4kNm 3 Esercizio N. Valutazione 5 n riferimento all ala dell esercizio precedente, si supponga che un tronco del suo cassone alare abbia le seguenti caratteristiche medie h = cm, c = 7cm. l cassone, con pannelli di spessore t=mm, possiede inoltre 4 solette di area A As = 5cm e tre correnti di area c =.5cm disposti come in figura (i correnti 4 e 5 dividono in 3 parti uguali il pannello superiore). Si supponga inoltre che agisca sulla sezione una forza di taglio = 1 posta ad una distanza pari a c /3 rispetto al longherone principale. Si supponga inoltre che il N cassone sia realizzato in alluminio..a Calcolare la posizione del baricentro e i momenti di inerzia centrali della sezione resistente, supponendo che solo gli irrigidimenti trasversali contribuiscono alla rigidezza flessionale. La posizione del baricentro sarà (rispetto al punto 7 in figura) e assi e z paralleli a e z = c / =.35m z G G 7 Az i ' i i= 1 = =.19m 7 A i= 1 i

5 l momento d inerzia rispetto al baricentro G sarà h = h z h B = z Gs G 7 = i ( ' i G ) = ( s + c + s B + c B ) = i= 1 A z z A h A h A h A h e m.b Calcolare i flussi di taglio sui pannelli di rivestimento, graficandone qualitativamente l andamento. Apro la sezione dopo il corrente in 1, verso antiorario. Quindi: ; q = * 1 h q3 = q1 As = As hb = N / m = = ; q34 q3 As h N / m = = ; q45 q34 Ach 5 N / m = = ; q56 q45 Ac h N / m q67 = q56 As h = 3 N / m q71 = q67 As hb = 1 N / m Verifica sulle forze interne (devono equivalere ai carichi applicati): Lungo (direzione orizzontale) c c c c c F + F + F + F + F = q q q q + q = * Lungo z (direzione verticale) ; F + F = q h q h = Calcolo di q (bilancio momento torcente scegliendo come polo il punto 7) c * c * c c q3hc + q34h + q45h + q56h + hcq = q = N / m.c Calcolare la rigidezza di Bredt della sezione resistente. E G = =.7e1 (1 + v)

6 4( hc) tg B = =.36e6 N / m h+ c.d Calcolare la espressione analitica dell angolo di torsione relativo d dx d 1 1 c = M t = = 4.95e 5 rad / m dx B B 6 Esercizio N. 3 L ala di un velivolo è schematizzata a livello dinamico come formata da due aste rigide (lunghezza L1 = 15m e L = 1 m) con masse concentrate M1 = 5 kg e M = 1 kg in mezzeria, sottoposta all azione della portanza costante e verticale F = 3 kn concentrata all estremità, come in figura. ra le aste sono poste due molle torsionali C1 =.75e8 Nm e C = 9e7 Nm 3a. Dimostrare che i gradi di libertà del sistema dinamico proposto sono Valutazione 6 GDL = 3x = 3b. Assumendo come variabili lagrangiane le rotazioni assolute, determinare le espressioni dell energia cinetica, elastica e collegata al lavoro della forza F 1 1 L = M L + M (L + ) U = C1 1 + C ( 1) V = F(L + L ) c. Scrivere le equazioni della dinamica (incluso l effetto della forza F)

7 1 1 M1L1 + ML1 ML1L 4 C + C C FL 1 1 ML1L ML C C = FL 3d. Determinare la configurazione deformata dell ala a stazionario (condizioni di equilibrio). = = 1 C1 + C C 1 FL1 C C = FL = = x1 rad x1 rad 1.67 = = 3e Determinare le frequenze proprie e i modi (disegnandoli) del sistema. 4.59x1 = x1 f 3.41 = Hz x1 u1 = x1 u 1.3x1 = x1 1

8 Esercizio N. 4 Valutazione 4 Nello studio della stabilità di un sistema strutturale il carico critico Pcr si ottiene in corrispondenza di una frequenza di vibrazione nulla. E possibile? Se sì, in quale condizione di carico questo avviene? Motivare la risposta. Esercizio N. 5 Valutazione 5 Volendo utilizzare il metodo approssimato di Galeerkin per la determinazione approssimata del carico critico di una trave incastrata su un lato e libera nell altro con quali criteri scegliereste le funzioni approssimanti il campo di spostamento, e quali passaggi analitici fareste per scrivere la trasformazione dell equazione differenziale nella sua forma discreta?

9 Esercizio N. 6 Valutazione Descrivere il problema aeroelastico dell inversione dei comandi utilizzando il modello semirigido dell ala e dell alettone. 4