Il calcolo in fase elastica delle sezioni composte c.a.- c.a.p.

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1 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione Corso di Cemento Armato Precompresso A/A Il calcolo in fase elastica delle sezioni composte c.a.- c.a.p.

2 Introduzione I sistemi misti c.a-c.a.p sono elementi composti da travi prefabbricate in cap a fili pretesi o cavi post-tesi e da elementi in c.a. ordinario (spesso solette) gettati successivamente alla trave in c.a.p. resi collaboranti da opportuni sistemi di connessione.

3 Introduzione Il principio di funzionamento di una trave composta è il seguente ELEMENTI NON CONNESSI

4 Introduzione Il principio di funzionamento di una trave composta è il seguente ELEMENTI CONNESSI

5 Fasi costruttive La realizzazione di una struttura composta passa in genere attraverso le seguenti fasi costruttive: Realizzazione della trave nello stabilimento di prefabbricazione Posa in opera della trave (con o senza puntellamento) Getto della soletta di completamento Messa in servizio della struttura Alle precedenti corrispondono altrettante verifiche alle quali il progettista dovrà attenersi.

6 Metodi Costruttivi I metodi di costruzione di travi miste sono essenzialmente due: Metodo delle travi con puntellamento provvisorio Metodi delle travi senza puntellamento provvisorio Nel primo caso, prima del getto della soletta, le travi sono temporaneamente sostenute da una serie di puntelli, che vengono rimossi non appena raggiunto il grado minimo di maturazione della calcestruzzo. Nel secondo caso, il peso della soletta graverà, all atto del getto, direttamente sulla trave senza l ausilio di sostegni temporanei

7 Metodi Costruttivi: travi non puntellate

8 Metodi Costruttivi: travi puntellate

9 Verifiche allo SLE E in genere necessario considerare almeno le seguenti verifiche: Verifica della trave all atto della precompressione Fase I (verifica al tiro) Verifica della trave al getto della soletta Fase II (verifica a vuoto) Verifica della struttura composta in esercizio sotto l azione dei carichi permanenti + variabili Fase III (verifica in esercizio)

10 Fasi di verifica Travi non puntellate Travi puntellate M G# Ms# M G# Ms# Fase#I# Fase#II# Fase#III# M p+q# Fase#I# Fase#II# Fase#III# M p+q#

11 Verifiche allo SLE: Trave non puntellata FASE AL TIRO All atto del tiro la struttura è costituita dalle sole travi precompresse, esclusa quindi la soletta. Le relative tensioni al lembo inferiore e superiore valgono quindi: σ I tr,i = N ΔN 0 p A id,0 ( ) e I + N 0 ΔN p i W id,0 M GT i W id,0 σ I tr,s = N ΔN 0 p A id,0 ( ) e I + N 0 ΔN p s W id,0 M GT s W id,0 M G# Ms# Fase#I# Fase#II# Fase#III# M p+q#

12 Verifiche allo SLE: Trave non puntellata FASE A VUOTO Nell ipotesi che le cadute di tensione vengano scontate prima della realizzazione della soletta, all atto del getto della soletta le tensioni diventano le seguenti: σ II tr,i = N ΔN ΔN 0 p c A id,0 σ II tr,s = N ΔN ΔN 0 p c A id,0 ( + N ΔN ΔN 0 p c)e I i W id,0 ( + N ΔN ΔN 0 p c)e I s W id,0 M + M GT GS i W id,0 M + M GT GS s M W G# Ms# id,0 Fase#I# Fase#II# Fase#III# M p+q# dove la sezione da verificare è sempre quella della trave in precompresso mentre ora si aggiunge il momento flettente dovuto al peso della soletta M GS, non ancora reagente.

13 Verifiche allo SLE: Trave non puntellata FASE IN ESERCIZIO Alla fase precedente si aggiunge la fase di esercizio nella quale il momento dovuto ai sovraccarichi accidentali ed eventuali sovraccarichi permanenti M p+p modifica lo stato tensionale della trave: Riferita alla sezione composta σ III tr,i = N ΔN ΔN 0 p c A id,0 σ III tr,s = N ΔN ΔN 0 p c A id,0 ( + N ΔN ΔN 0 p c)e I i W id,0 ( + N ΔN ΔN 0 p c)e I s W id,0 M + M GT GS i W id,0 M + M GT GS s W id,0 M q i W id,e M q s W id,e Riferita alla sezione in cap M G# Ms# Fase#I# Fase#II# Fase#III# M p+q#

14 Verifiche allo SLE: Trave non puntellata FASE IN ESERCIZIO Alla fase precedente si aggiunge la fase di esercizio nella quale il momento dovuto ai sovraccarichi accidentali ed eventuali sovraccarichi permanenti M p+p modifica lo stato tensionale della trave: Riferita alla sezione composta σ III tr,i = N ΔN ΔN 0 p c A id,0 ( + N ΔN ΔN 0 p c)e I i W id,0 M + M GT GS i W id,0 M q i W id,e σcs σ III tr,s = N ΔN ΔN 0 p c A id,0 ( + N ΔN ΔN 0 p c)e I s W id,0 M + M GT GS s W id,0 M q s W id,e Riferita alla sezione in cap σci

15 Verifiche allo SLE: Trave non puntellata FASE IN ESERCIZIO Nella fase III lo stato tensionale nella soletta è ovviamente influenzato soltanto dal momento dovuto ai sovraccarichi variabili. Sicché le tensioni al lembo inferiore e superiore della stessa varranno: σ III si = M q i W ids,e σcs σ III ss = M q s W ids,e σci

16 Verifiche allo SLE: Trave non puntellata FASE IN ESERCIZIO La figura seguente illustra lo stato tensionale nelle varie fasi di verifica, ognuna delle quali è ulteriormente suddivisa in diagrammi rappresentanti gli effetti dei singoli carichi (carichi esterni e precompressione

17 Verifiche allo SLE: Trave puntellata Nel caso di travi puntellate la Fase II si sviluppa con la soletta già collaborante, poiché i puntelli vengono rimossi solo dopo che essa ha raggiunto il giusto grado di maturazione. Conseguentemente, lo stato nelle diverse varie fasi costruttive precompressione Cadute di Tensione peso proprio Peso Soletta Peso Soletta precompressione FASE I FASE II FASE III

18 Calcolo del sistema di connessione trave-soletta L aderenza tra le due parti non è in genere sufficiente a garantire l assenza di scorrimenti relativi tra le due parti, per cui si aggiunge in genere un sistema di collegamento realizzato con idonea staffatura che dovrà sopportare sollecitazioni di taglio. connettore

19 Calcolo del sistema di connessione trave-soletta L aderenza tra le due parti non è in genere sufficiente a garantire l assenza di scorrimenti relativi tra le due parti, per cui si aggiunge in genere un sistema di collegamento realizzato con idonea staffatura che dovrà sopportare sollecitazioni di taglio. Detto T il taglio ed s il passo delle staffe, la singola staffa dovrà sopportare la seguente forza di scorrimento per unità di lunghezza: F s = TS * J id T=(T 1 +T 2 )/2 dove S * è il momento statico della soletta rispetto all asse neutro della sezione composta, J id è il momento d inerzia della sezione composta.

20 Calcolo del sistema di connessione trave-soletta La resistenza del collegamento può essere calcolata adottando l approccio indicato nell Eurocodice 2 al punto 6.2.5, che definisce la resistenza a taglio per unità di superficie, dovuta al contatto tra trave e soletta e al sistema di connessione (staffe), come segue: v RD = c f ctd + µσ n + ρ f yd (µ sinα + cosα) c e µ dipendono da quanto liscia è la superficie di contatto. Nel caso di superficie molto liscia, liscia e ruvida essi valgono rispettivamente, c=0.025 µ=0.5, c=0.35 µ=0.6, c=0.45 µ=0.7 σ n è la tensione normale eventualmente presente sulla superficie di contatto α è l angolo di inclinazione dei connettori

21 Influenza del ritiro

22 Influenza del ritiro Lo stato di coazione generato dall accorciamento impedito della soletta, genera a sua volta una forza di trazione F r =ε r E C b 0 s. La trave composta risulta così soggetta a compressione eccentrica. Sulla soletta di calcestruzzo l effetto della trazione e della compressione eccentrica si sommano. Le variazioni dello stato tensionale ai lembi superiore e inferiore della soletta sono esprimibili pertanto come segue: Δσ r,cs = F r A id n + F r e J id n y cs F r b 0 s Δσ r,ci = F r A id n + F r e nj id y ss F r b 0 s Soletta

23 Influenza del ritiro Lo stato di coazione generato dall accorciamento impedito della soletta, genera a sua volta una forza di trazione F r =ε r E C b 0 s. La trave composta risulta così soggetta a compressione eccentrica. Sulla soletta di calcestruzzo l effetto della trazione e della compressione eccentrica si sommano. Le variazioni dello stato tensionale ai lembi superiore e inferiore della soletta sono esprimibili pertanto come segue: Δσ r,ss = F r A id + F r e J id Δσ r,si = F r A id + F r e J id y ss y si Trave

24 Esempio Esempio 5.12: Si consideri la trave semplicemente appoggiata di figura, la cui sezione è mista c.a.p.-c.a. realizzata con un unica classe di calcestruzzo. Quest ultima è costituita da una costola rettangolare precompressa a fili pretesi e una soletta di completamento di cemento armato ordinario. Con riferimento ai dati geometrici e meccanici forniti nella tabella seguente si calcoli lo stato tensionale nell ipotesi 1) assenza di puntelli 2) uniforme puntellamento. Per il calcolo delle caratteristiche geometriche si faccia riferimento alla sezione di solo calcestruzzo. bo so x htr btr d' y

25 Esempio Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento Fase I e II (solo trave) Area: A id, 0 = b tr h tr = 2550 cm 2 Posizione baricentro: y Gi = 42.5 cm (dal lembo superiore) Momento d inerzia: I 0 = 1/12 b tr h 3 tr = cm 4 Moduli di resistenza Eccentricità del cavo: W i id,0 = -W s id,0 =36125 cm 3 e I =24.5 cm y GI b tr h tr e I

26 Esempio Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento Fase III (sezione composta) Area: A id, 0 = b tr h tr + b 0 s 0 = 4050 cm 2 b 0 Posizione baricentro: y Ge = cm (dal lembo superiore) s 0 Momento d inerzia: I e = 1/12 b 0 h /12 b tr h tr 3 +s 0 b 0 (y Ge -s 0 /2) 2 + b tr b tr (s 0 -y Ge +h tr /2) 2 = cm 4 y Ge Modulo di resistenza inf. trave Modulo di resistenza sup. trave W i id,e = cm 3 W s id,e = cm 3 Modulo di resistenza inf. soletta Modulo di resistenza sup. soletta W i ids,e = cm 3 W s ids,e = cm 3 b tr h tr

27 Esempio Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento Trave non puntellata Verifica al tiro (fase I) Essendo la trave semplicemente appoggiata il momento dovuto al peso proprio vale: M GT = 1/8 25(kN/m 3 ) A id,0 L 2 = knm. Sicché lo stato tensionale per uno sforzo di precompressione N 0 = 2200 kn, vale: x σ I tr,i = N 0 + N 0e I A id,0 W i - M GT id,0 W i =0.082 MPa id,0 σ I cs = N 0 + N 0e I A id,0 W s - M GT id,0 W s =17.17 MPa id,0 y d' MPa

28 Esempio Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento Trave non puntellata Verifica a vuoto (fase II) In questa fase agisce il peso della soletta (non ancora reagente) che produrrà un momento aggiuntivo M GS = knm. Si ipotizza inoltre che le cadute di tensioni si esauriscano in questa fase e che dunque lo sforzo normale sia pari a N e. Le caratteristiche geometriche rimangono inalterate. 4.84MPa x σ II tr,i = N e + N ee I A id,0 W i - M GT+M GS id,0 W i =4.84MPa id,0 σ II tr,s = N e + N ee I A id,0 W s! M GT+M GS id,0 W s =9.67 MPa id,0 y d' 9.67 MPa

29 Esempio Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento Trave non puntellata Verifica in esercizio (fase III) In questa fase agisce la soletta ha raggiunto il giusto grado di maturazione soletta (reagente) che altererà le caratteristiche geometriche della sezione. La presenza dei carichi variabili q incrementa ulteriormente il momento flettente esterno MPa x 8.69 MPa 3.86 MPa σ III tr,i = N e + N ee II A id,0 W i - M GT+M GS id,0 W i id,0 σ III tr,s = N e + N ee II A id,0 W s - M GT+M GS id,0 W s id,0 - - M q W i id,e M q W s id,e =-0.15MPa =8.69 MPa σ si III =- M q W i ids,e =3.86 MPa σ ss III =! M q W s ids,e =6.28MPa y d' MPa Trave Soletta

30 Esempio Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento Trave puntellata Verifica al tiro(fase I) Questa fase è identica al caso di trave non puntellata. La trave è messa in opera e subisce la precompressione e il suo peso proprio. Dopo di che vengono posizionati i puntelli e gettata la soletta. y d' x MPa

31 Esempio Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento Trave puntellata Verifica a vuoto (fase II) In questa fase la soletta ha raggiunto il grado di maturazione desiderato, pertanto i puntelli possono essere rimossi. Agirà quindi il peso della soletta (ora reagente) che produrrà un momento aggiuntivo M GS = knm. Si ipotizza inoltre che le cadute di tensioni si esauriscano in questa fase e che dunque lo sforzo normale sia pari a N e. Le caratteristiche geometriche sono ora quelle della sezione composta: σ II tr,i = N e + N ee II A id,0 W i - M GT id,0 W i - M GS id,0 W i =11.3 MPa id,e σ II tr,s = N e + N ee II A id,0 W s - M GT id,0 W s - M GS id,0 W s =1.91 MPa id,e Trave σ II si =! M GS W i =0.83 MPa id,e σ II ss =- M GS W s =1.34 MPa id,e Soletta

32 Esempio Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento Trave puntellata Verifica in esercizio (fase III) In questa fase agiscono anche i carichi variabili q che incrementano ulteriormente il momento flettente esterno. σ III tr,i = N e + N ee II A id,0 W i - M GT id,0 W i - M GS+M q id,0 W i =1.49MPa id,e σ III tr,s = N e - N ee II A id,0 W i + M GT id,0 W i + M GS+M q id,0 W s =5.77 MPa id,e M GS +M σ III q si =- I e y Ge =4.89 MPa M GS +M σ III q ss = =7.63 MPa W s id,e Trave Soletta

33 Esempio Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: Calcolo caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento Osservazione: l esercizio presentato ha messo in evidenza che dal punto di vista tensionale il puntellamento agisce favorevolmente contribuendo a diminuire la tensione massima al lembo inferiore, portandola, nel caso in esame, da trazione a compressione. Di contro sussiste un aumento di tensione al lembo superiore della soletta dovuta ad un aumento rispetto al caso non puntellato del momento flettente. Ciò è dovuto al fatto che nel caso puntellato e in fase II la soletta è già collaborante.

34 Esempio Calcolo sistema di connessione La trave è soggetta in esercizio ad un taglio massimo T pari a 235 kn. Il momento d inerzia J id nella fase di esercizio vale J id = cm 4. Poiché per il dimensionamento dell armatura di collegamento è necessario valutare lo scorrimento all attacco trave-soletta occorre valutare il momento statico rispetto ad esso, pari a: y Ge S * = ( ) = cm 3 La forza di scorrimento massima per unità di lunghezza vale quindi: F s = / = 2.83 kn/cm = 283 kn/m Adottando staffe a 2 bracci φ 8/20, la forza di scorrimento sulla singola staffa varrà, nell ipotesi di scorrimento costante: 20 cm F s1 = 283 x 0.2 = 56.6 kn

35 Esempio Calcolo sistema di connessione 20 30

36 Esempio Calcolo effetti del ritiro Si valutino gli effetti del ritiro della soletta sullo stato tensionale della trave dell esercizio precedente considerando un ambiente con umidità relativa del 60% e un calcestruzzo per la realizzazione della soletta di classe C28/35. Dalla tabella 6.4 si ricava che la deformazione da ritiro per essiccamento è pari a 0.38 / mentre il parametro k H desumibile dalla tabella 6.5 vale 1.0 essendo h 0 < 100. La deformazione da ritiro soletta vale dunque 0.038%. La forza nella soletta dovuta al ritiro risulta: F s = 0.038/ = 1857 kn

37 Esempio Calcolo effetti del ritiro MPa x 9.36 MPa MPa d' y 7.63 MPa