STATICA DELLE SEZIONI IN C.A.P.

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1 5 STTIC DELLE SEZIONI IN C..P. In questo paragrafo è trattata la statica delle sezioni in cemento armato precompresso semplicemente inflesse. Viene dapprima analizzato lo stato tensionale della sezione in fase elastica in presenza di precompressione totale o limitata, per il quale il calcestruzzo è considerato interamente reagente, assieme alle perdite istantanee e cadute lente di tensione. Si rimanda a testi specializzati il caso di precompressione parziale, dove il calcestruzzo teso è considerato non reagente [Cestelli Guidi, 1987]. Il comportamento allo Stato limite ultimo della sezione viene analizzato nel paragrafo successivo dove è illustrato il calcolo del momento ultimo di una sezione precompressa. Infine, il paragrafo 5.3 è dedicato alla statica delle sezioni composte cemento armato cemento armato precompresso, nel quale si illustra il calcolo tensionale in fase elastica con precompressione totale o limitata nelle diverse fasi di costruzione.

2 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p 5.1. IL CLCOLO ELSTICO DELLE TENSIONI IN TRVI DI C..P. CON PRECOMPRESSIONE TOTLE O LIMITT Richiami di geometria delle aree Come sarà mostrato nei paragrafi successivi, l analisi dello stato tensionale passa necessariamente attraverso la valutazione delle caratteristiche geometriche della sezione analizzata. Nel seguito vengono brevemente richiamati alcuni concetti legati alla geometria delle aree, utili per il calcolo delle tensioni e per il progetto delle travi in c.a.p Definizione di momento statico e sue proprietà Data la superficie e detta d l area di un elementino appartenente all area stessa, le cui coordinate rispetto ad un sistema di riferimento (0 x y) siano x e y, si definiscono momenti statici dell area rispetto ai due assi x e y i seguenti integrali: S x = yd S y = xd (5.1) Si consideri ora un nuovo sistema di riferimento (0 x y ) la cui origine 0 ha coordinate x g e y g. e gli assi sono paralleli al sistema di riferimento originario. Il momento statico rispetto a questi due nuovi assi può essere così calcolato: S xg = y-y g d S yg = x-x g d (5.2) Gli assi rispetto ai quali il momento statico risulta nullo sono detti assi baricentrici e la loro origine è detto baricentro dell area, le cui coordinate si possono ricavare dagli integrali precedenti annullandone il risultato:

3 x g = S y y g = S x (5.3) Si può facilmente dimostrare che il momento statico rispetto a qualsiasi asse passante per il baricentro è nullo. y y d 0 x g 0 y g x x Figura Posizione del baricentro Definizione di momento d inerzia e sue proprietà Il momento d inerzia rispetto agli assi x e y della superficie è così definito: I x = y 2 d I y = x 2 d (5.4) mentre il momento polare è definito come l integrale dell area per la distanza rispetto al polo considerato. Nel caso che il polo coincida con l origine degli assi, il momento polare si può esprimere come segue: 3

4 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p I R = r 2 d = x 2 +y 2 d =I x +I y (5.5) Si consideri ora un nuovo sistema di assi (0 x y ) e si calcoli il momento d inerzia rispetto ai nuovi assi x e y I x' = y-y g 2 d I y' = x-x g 2 d (5.6) Ricordando la definizione di coordinate del baricentro x g e y g gli integrali precedenti, dopo brevi passaggi, possono riscriversi nella maniera seguente: I x' =I x +y g 2-2x g S x I y' =I y +x g 2-2y g S y (5.7) Qualora l origine del sistema di riferimento originario coincida con il baricentro della sezione, poiché S x=s y=0, le equazioni precedenti assumono la forma seguente, che rappresenta il risultato del ben noto teorema di Huygens: I x' =I xg +y g 2 I y' =I yg +x g 2 (5.8) Il significato delle precedenti espressioni è il seguente: il momento d inerzia assiale minimo rispetto ad una retta di direzione nota si ottiene facendo passare la retta stessa per il baricentro. Si consideri ora il sistema (0 x y) passante per il baricentro dell area e si calcolino i momenti d inerzia assiali, rispetto ad un nuovo sistema (0 r s) con origine nel baricentro ma ruotato rispetto al primo dell angolo α. Dopo semplici passaggi algebrici che tengono conto della trasformazione di coordinate dal sistema (0 x y) al sistema (0 r s) si ottengono le seguenti espressioni dei momenti d inerzia rispetto ai due assi r ed s:

5 I r = s 2 d= ycosα-xsinα 2 d= I cos 2 α+i x y sin 2 α-i xy sin2α (5.9) I s = r 2 d= ysenα+xcosα 2 d= I sin 2 α+i y cos 2 α+i xy sin2α x (5.10) dove il termine I xy rappresenta il momento d inerzia misto rispetto agli assi x ed y la cui espressione è la seguente: I xy = xyd (5.11) Il momento d inerzia misto rispetto agli assi r ed s può essere così espresso: I rs = rsd= ysenα+xcosα ycosα-xsinα d = I x -I y 2 sin2α+i xycos2α (5.12) E di particolare interesse ricercare i così detti assi principali d inerzia rispetto ai quali si ha che il momento d inerzia misto è nullo. nnullando quindi la precedente si ottiene l angolo α del quale è inclinato il sistema di assi principali r,s rispetto al sistema di riferimento (0 x y): tan2α= 2I xy I y -I x (5.13) Nel caso l origine del assi coincida con il baricentro, gli assi principali vengono detti assi baricentrali. 5

6 ρ Y ρ X Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p L ellisse centrale d inerzia e la relazione di antipolarità Si definisce ellisse centrale d inerzia di un area, l ellisse con centro nel baricentro dell area stessa e i cui assi minore e maggiore sono rispettivamente i raggi giratori d inerzia massimo e minimo della sezione. Essa fornisce un indicazione rapida sul comportamento flessionale della sezione. x ρ 2 2 y + y ρ 2 2 x = 1 (5.14) Ellisse centrale d inerzia y sse neutro x Retta antipolare rispetto all ellisse centrale d inerzia Figura 5.2 Ellisse centrale d inerzia e relazione di antipolarità Nel problema della pressoflessione esiste una relazione di natura geometrica tra asse neutro e centro di pressione: L asse neutro è l antipolare del centro di pressione rispetto all ellisse centrale d inerzia. Infatti se scriviamo la formula di Navier annullando la tensione si ottiene l equazione dell asse neutro: N Nx Ny + y I I y 0 0 x+ = x 0 (5.15)

7 Ossia, moltiplicando per l area e dividendo per lo sforzo N: x 0 x y0 y = ρ ρ y x (5.16) La precedente è nota dalla geometria come retta antipolare del centro di pressione C rispetto all ellisse centrale d inerzia dell asse neutro. Ciò dimostra come l asse neutro sia una caratteristica esclusivamente geometrica della sezione Nocciolo centrale d inerzia Il nocciolo centrale d inerzia è il luogo dei centri di pressione tali per cui l asse neutro non taglia mai la sezione e quindi la sezione è interamente compressa. Detta n l area del nocciolo centrale d inerzia, la condizione per cui la sezione è tutta compressa tale si esprime come segue: x 0x y0 y + + 1> 0 x, y n (5.17) ρ ρ y x Nel caso di pressoflessione retta si è in genere interessati ai punti di frontiera del nocciolo per il quale l asse neutro è ortogonale all asse di sollecitazione ed è tangente alla sezione rispettivamente al lembo inferiore e superiore. Tali punti sono detti punti di nocciolo inferiore e superiore c i e c s. Nel caso ad esempio della figura 5.3, per individuare la loro posizione basta far riferimento all equazione della retta antipolare con la condizione che essa passi per i punti x=0 e y=y i per individuare c s e y=y s per individuare c i : 7

8 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p y y Cs i + 1= 0 2 ρx y Cs 2 x ρ = y i W = xi c (5.18) y y Ci s + 1= 0 2 ρx y Ci 2 ρx = y s Wxs = (5.19) Figura 5.3 Nocciolo centrale d inerzia di sezoni rettangolari e a T Esempio 5.1: Si determini il nocciolo centrale d inerzia di una sezione rettangolare di base b e altezza h. bh 2 I x ρ = = 12 bh y h ρ x h /12 x = yci = = = 12 ys h /2 2 2 x h /12 Cs = ρ = = h /6 yi h /2 h /6 Esempio 5.2: Si determini il nocciolo centrale d inerzia di una sezione a T con spessore dell anima b 0, larghezza dell ala b, spessore soletta s e altezza della sezione h: 1) Determinazione della posizione del baricentro y G Sn = h s b0h + ( b b0) s = 2 2 b h+ ( b b )s 0 0

9 a a 2) Determinazione del raggio giratore d inerzia rispetto all asse baricentrico (asse x) b0h Ix ρ 12 x = = ( b b ) s 2 + G ) s ( b b0 )s( y 2 b h+ ( b b )s 0 0 h b h( y G ) 2 3) Una volta noto il giratore d inerzia ρ i punti di nocciolo si determinano con le formule 5.18 e Esempio 5.3: Determinare le caratteristiche geometriche (baricentro, momenti d inerzia, punti di nocciolo) della sezione indicata in figura : Poiché la sezione è divisibile in rettangoli, assumiamo per semplicità che essa sia suddivisa in 4 parti, numerate come indicato in figura. a a a 1 y=y' 7a 5a 2 G ycs=2.06a x yci=1.55a 3 4 x' 2a a 2a 5a Calcolo dell area L area è data dalla somma delle aree dei 5 rettangoli: =13 a 2 9

10 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Calcolo baricentro x g =S y /=0 y g = S 5 y' = i=1 S i = 3a a 13 2 a+6a a 3a+2 2a a a 2 13a 2 = a 3a Calcolo Momenti d inerzia Seguendo la suddivisione indicata in figura si ha per il momento d inerzia rispetto all asse x l espressione: I x = a a3 +3a a 7 2 a a 6a a a3 +2a a 5 2 a 2 = a4 nalogamente per il momento d inerzia rispetto all asse y: I x = 1 12 a 3a a a a 5a 3 = a4 Calcolo punti di nocciolo Il punto di nocciolo superiore è dato dalla formula: y cs =- W xi =- I x 241 =- y i 3-3a 13a 2 =2.06a a 3 nalogamente per quello inferiore y ci =- W xs =- I x 241 =- y s 3 4a 13a 2 =-1.55a a 3

11 Il calcolo delle tensioni Tra le verifiche in esercizio previste dalla normativa per il c.a.p., c è la verifica dello stato tensionale. Tali verifiche sono in generale più numerose che quelle richieste per sezioni di cemento armato ordinario. Occorre, infatti, eseguire come minimo le verifiche corrispondenti alle seguenti due condizioni: 1) condizioni a vuoto: all atto del tiro, in sezioni di c.a.p. a cavi post-tesi o pre-tesi, occorre verificare che le tensioni massime raggiunte nel cavo e nel cls siano minori di prefissati valori ammissibili. In tali condizioni, oltre la precompressione che agisce a livello di cavi, agisce il peso proprio della trave. Lo sforzo di precompressione deve essere scontato delle perdite istantanee di tensione (vedi par ) Di conseguenza, nella generica sezione di una trave in calcestruzzo armato precompresso agiscono le forze illustrate in figura 5.4, dove M G è il momento dovuto al peso proprio e N i è lo sforzo normale nei cavi di precompressione, derivato dallo sforzo normale iniziale N 0 ridotto delle perdite istantanee N p. L effetto del momento M G è quello di traslare lo sforzo di precompressione della quantità e 1 =M G /(N 0 - N p ). Nel caso di precompressione totale tale eccentricità, come vedremo meglio nel Capitolo 6, è bene che sia tale da fare cadere il centro di pressione proprio nel punto di nocciolo inferiore, garantendo in tal modo la totale compressione della sezione, sfruttando la massima eccentricità possibile. In condizioni di precompressione limitata si ammette al lembo superiore la presenza di trazione entro i limiti imposto dalla normativa. In tal caso il centro di pressione può anche cadere al di sotto del punto limite inferiore del nocciolo centrale d inerzia C i. 2) condizioni di esercizio o lungo termine: dopo la messa in servizio della struttura e scontate le cadute lente N L occorre verificare l efficacia della precompressione. In condizioni di precompressione totale la sezione deve essere interamente 11

12 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p compressa. Nel caso di precompressione limitata occorre verificare il rispetto del limite massimo imposto dalla normativa alla tensione di trazione nel cls. M = M G M = M G +M p+q G = = G y p G == e 2 G e 1 e 1 N i = N o - N p Figura 5.4 Sistema di forze nella sezione in condizioni a vuoto N=N 0 - N p - N L e Figura 5.5 Sistema di forze nella sezione in condizioni di esercizio Possono poi rendersi necessarie ulteriori verifiche nel caso che la precompressione venga applicata per fasi successive, nelle quali i cavi non vengono tesi contemporaneamente. Poiché nella fase di esercizio il cavo di precompressione è solidale con il cls, la variazione di tensione nel cls stesso, a livello dei cavi, si ripercuote anche su di essi. Le forze agenti sulla sezione di cls sono illustrate nella figura 5.5, dove M p+q rappresenta il momento dovuto ai sovraccarichi esterni. Lo sforzo normale N e derivato dallo sforzo normale iniziale N 0, già ridotto delle perdite iniziali N p, deve essere ulteriormente ridotto delle cadute lente N L. L effetto di M p+q è quello di spostare dell ulteriore quantità e 2 =M p+q /(N 0 - N p - N L ) la forza di precompressione, rispetto all eccentricità e 1. Nel caso di precompressione totale l eccentricità e 2 deve essere tale che il centro di pressione cada al massimo nel punto limite superiore del nocciolo centrale d inerzia, garantendo in tal modo la totale compressione della sezione. Nel caso di precompressione limitata è ammesso che il centro di pressione possa cadere al di sopra del punto di nocciolo superiore Cs con la conseguente nascita di una tensione di trazione al lembo inferiore della sezione che deve in ogni caso essere inferiore ai

13 limiti di normativa. In caso contrario la sezione diverrebbe parzialmente precompressa Il calcolo delle tensioni nel cls in condizioni inziali La sezione risulta interamente reagente e dunque l azione della precompressione iniziale N 0 (al netto delle perdite di tensione N p ) e del peso proprio si traduce nella seguente espressione della tensione minima e massima nel calcestruzzo. σ σ c,max c,min = = N N id i i id N + W N + W i i id e M W i s id e M W G i id G s id (5.20) Nelle 5.20 W id e M G ed e devono essere considerati con il segno giusto. Per convenzione le tensioni sono considerate positive se di compressione e i momenti positivi se tendono le fibre inferiori. La figura 5.6 mostra le varie componenti della tensione a vuoto dovute alla precompressione e al peso proprio. y s y i M = M G - Ne (-) (+) G N/ e + N = + (+) (+) (-) (+) = σ c,min N/ (+) σ c,max Figura 5.6 Stato tensionale nella sezione in condizioni a vuoto Osservazione: Le caratteristiche geometriche della sezione omogeneizzata a cls ( id,j id ), nel caso di travi a cavi post-tesi, 13

14 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p sono quelle delle sezione di calcestruzzo depurata dell area dei cavi in quanto le guaine non sono ancora state sigillate con la malta Il calcolo delle tensioni nel calcestruzzo a lungo termine In questa fase oltre alla precompressione e al peso proprio agiscono anche i sovraccarichi permanenti e accidentali p e q. La verifica più gravosa, a meno di situazioni particolari, è senza dubbio quella riferita a tempo infinito dove anche le cadute di tensione N L possono considerarsi totalmente scontate. L espressione della tensione minima e massima nel cls è quindi la seguente, dove id e J id rappresentano rispettivamente l area e il momento d inerzia della sezione omogeneizzata a calcestruzzo. σ c,max c,min = N e M + M N e e G p q + + s s id Wid Wid N e M + M σ = (5.21) N e e G p q + + i i id Wid Wid La figura 5.7 illustra la componente di tensione aggiuntiva rispetto a quelle di figura 5.6 e l andamento finale delle tensioni. M = M G +M p+q - Ne y s G N/ N/ N y i e + = σ c,min Figura 5.7 Stato tensionale nella sezione a lungo termine

15 Il calcolo delle tensioni nell acciaio Il calcolo della tensione nell armatura di precompressione si differenzia anch esso per condizioni a vuoto e di esercizio. Condizioni a vuoto Nelle condizioni a vuoto (precompressione + peso proprio) lo sforzo normale a livello dell armatura di precompressione si differenzia per i casi di travi con armatura pre-tesa o post-tesa. Per travi precompresse a cavi post-tesi, il momento M G non altera il valore iniziale del tiro al netto delle perdite istantanee ( N p ), poiché il cavo non è solidale con il calcestruzzo (guaine non sigillate con cavo scorrevole): N 0 N p σ spi = (5.22) p Nel caso di travi a fili pretesi, poiché l armatura di precompressione è aderente al calcestruzzo fin dal rilascio dei cavi, la tensione nei cavi risentirà, oltre che delle perdite istantanee, anche dell effetto del momento dovuto al peso proprio della trave (tensione di trazione): N 0 N p MG σ spi = + n e (5.23) J p id Il momento d inerzia J id è quello riferito alla sezione ideale, mentre n è il coefficiente di omogeneizzazione (n=e p /E c ). Condizioni di esercizio Per il caso di travi a cavi post-tesi, nelle condizioni di esercizio, al momento M G si aggiunge il momento M p+q che tendendo le fibre inferiori provoca un aumento dello sforzo di trazione N a livello 15

16 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p dell armatura di precompressione, che si trasferisce al cavo stesso in quanto ora solidale con la sezione di calcestruzzo a causa della sigillatura del cavo. Dunque la tensione nel cavo vale: N 0 N p N L M p+ q σ sp = + n e (5.24) J p id Nel caso di travi a fili pretesi la tensione nell armatura risentirà anche del momento dovuto ai sovraccarichi permanenti e variabili (p+q): N0 N p N L MG+ M p+ q σ sp = + n e (5.25) J p id Esempio 5.4: Si consideri la sezione in c.a.p. a cavi post-tesi illustrata in figura, le cui caratteristiche geometriche sono di seguito indicate assieme alle sollecitazioni. In condizioni di esercizio i carichi sono considerati in combinazione rara e condizioni ambientali ordinarie. Sez c (m 2 ) Caratteristiche della sezione e sollecitazioni p J id e p M g M p+q (cm 2 ) (m 4 ) (m) (knm) (knm) N i (kn) N e (kn) Cls 1, ,153 0, Vuoto 1, ,166 0, Eserc. 1, ,166 0,

17 Nella tabella precedente sono riportate le caratteristiche geometriche della sezione considerando sia il caso in cui venga trascurato il contributo dell armatura, sia nel caso in cui esso venga preso in considerazione calcolando le caratteristiche geometriche a vuoto e in esercizio. Nella stessa tabella sono indicati i momenti sollecitanti a vuoto e in esercizio (M g, M p+q ) e le corrispondenti forze di precompressione (N i, N e ) Le proprietà meccaniche dei materiali e le condizioni da considerare sono le seguenti: Calcestruzzo: Classe di resistenza minima per le costruzioni in c.a.p., ovvero la C28/35. cciaio: resistenza caratteristica trefoli f pk = 1700 MPa Tiro cavi prima di 14 gg dal getto. mbiente poco aggressivo. Le caratteristiche meccaniche del calcestruzzo secondo le NTC-08 sono le seguenti: Resistenza cubica del cls: R ck =35 MPa Resistenza caratteristica a compressione del cls: f ck =29.05 MPa Resistenza media a compressione del cls: f cm =f ck +8=37.05 MPa Resistenza media a trazione del cls: f ctm =0.3f ck 2/3 =2.835 MPa Resistenza a compressione e trazione del cls al tiro (si utilizzano le formule dell EC2 p ): Le resistenze medie a compressione e trazione del cls al tempo j=14gg sono le seguenti: f cmj =f cm 28 gg e s =37.05x = MPa (media a compressione) f ckj =f cmj - 8 Mpa = MPa (caratteristica a compressione) 17

18 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p f ctmj =f ctm 28 gg e s = MPa (media a trazione) Calcolo tensioni limite Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in condizioni iniziali: σ c <0.7 f ckj =17.78 MPa Tensione massima di trazione ammissibile nel cls in condizioni iniziali: f ctmj σ c < =2.13 MPa 1.2 Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in esercizio (combinazione quasi permanente per verifiche allo SLE): σ c <0.45 f ck =13.07 MPa Tensione massima di trazione ammissibile nel CLS: σ ct = f ctm 1.2 con f ctm =0.3 f ck 2/3 per cls di classe < C50/60 Quindi: f ctm =2.835 MPa, σ ct =2,36 MPa Le caratteristiche meccaniche dell acciaio secondo le NTC08 sono le seguenti: Tensione massima ammissibile nell armatura di precompressione all atto del tiro (cavi post-tesi): σ p =0.75 f pk =1275 MPa Tensione massima ammissibile nell armatura di precompressione in esercizio: σ p =0.8 f yk =1360 MPa

19 Verifiche dello stato tensionale Viene ora illustrato il calcolo delle tensioni a vuoto e in esercizio. l solo fine di dimostrare la limitata influenza dell armatura, si riportano i calcoli relativi sia al caso di sezione di solo calcestruzzo (caso1: armatura trascurata), sia il caso in cui l armatura venga utilizzata nel calcolo delle caratteristiche geometriche della sezione (caso 2). Verifica delle tensioni nel cls a vuoto Nel caso in cui le armature vengano trascurate, la sezione risulta interamente compressa con tensione massima pari a MPa che risulta essere inferiore al limite massimo di normativa (17.78 MPa). Nel caso 2 (Fig. 5.8), in cui le caratteristiche della sezione contemplano anche la presenza delle armature, la tensione di compressione massima diventa MPa. La verifica è dunque soddisfatta. Figura Stato tensionale nella fase a vuoto (caso 2) Verifica delle tensioni nel cls a lungo termine Nel caso 1 la sezione risulta ancora interamente compressa (Fig. 5.9). nche la tensione di compressione massima, posta al lembo superiore risulta essere inferiore al massimo consentito (4.597 < MPa). Nel caso 2 il valore della tensione di compressione massima si modifica leggermente (4.72 MPa) risultando comunque sempre al di sotto delle tensioni massime ammissibili. La verifica è dunque anche in questa fase completamente soddisfatta (Fig. 5.9) 19

20 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Figura Stato tensionale a lungo termine (caso 2) Verifica delle tensioni nell armatura di precompressione l momento del tiro la tensione massima nei cavi di precompressione risulta: σ spi = N i = =1000 MPa<1275 MPa p 4500 In esercizio la tensione massima nei cavi di precompressione vale invece: σ spi = Ne +n M g+m p+q e p =874 MPa<1360 MPa p J id dove n=e p /E c = 6.29

21 Le cadute e le perdite di tensione La forza di precompressione non è costante, in quanto è spesso applicata in fasi successive ed inoltre è influenzata dai seguenti fenomeni: perdite di tensione istantanee nel cls (c.a.p. a cavi pretesi) perdite di tensione istantanee per attrito lungo i cavi (c.a.p. a cavi post-tesi) cadute di tensione differite nel tempo a causa dei fenomeni lenti che si verificano nel calcestruzzo (viscosità e ritiro) e nell acciaio (rilassamento del cavo di precompressione) In quanto segue verranno trattati prima gli effetti legati ai fenomeni lenti e successivamente quelli relativi alle perdite di tensione differenziate per sistemi a cavi pre-tesi e post-tesi Cadute di tensione nel calcestruzzo : la viscosità Il calcolo della caduta di tensione dovuta alla viscosità si ottiene semplicemente calcolando la deformazione elastica nel calcestruzzo ε c,el a livello dell armatura di precompressione, moltiplicando successivamente per il modulo elastico dell armatura precompressa e la funzione di viscosità fornita dalla normativa: σ 0 (5.26) c,el ( t, ) E pεc,el =Φ( t 0, ) E p =Φ( t, ) nσ c, el σ v =Φ 0 Ec La variazione di tensione si può calcolare anche più semplicemente con riferimento alla tensione elastica nel calcestruzzo σ c,el e al coefficiente di omogeneizzazione n=e s /E c. La tensione elastica nel calcestruzzo è calcolata in presenza della precompressione scontata delle perdite istantanee, del peso 21

22 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p proprio, dei sovraccarichi permanenti e di quelli variabili nel caso essi siano di natura quasi permanente. I sovraccarichi variabili in combinazione rara o frequente non dovranno ovviamente essere considerati. Esempio 5.5: Con riferimento all esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione dovute alla viscosità della trave ipotizzando un ambiente con umidità del 75% e un tempo di applicazione della precompressione t 0 =15gg. Si ipotizzi che il contributo M p+q sia legato esclusivamente a carichi variabili in combinazione rara. Per il caso esaminato l area esposta risulta essere pari a =1.125 m 2, (si trascurano le armature), mentre il perimetro p=7.5m. Quindi il parametro vale h 0 =300. Poiché l umidità è del 75% il coefficiente di viscosità a tempo infinito vale φ (,t=15gg)=2.2. Il coefficiente di omogeneizzazione può essere calcolato a partire dalle caratteristiche meccaniche dei materiali, desumibili dalla tabella 4.3 E cm = GPa, E p = 205 GPa, n=e p/e cm =6.29 Poiché la tensione elastica del calcestruzzo σ c,el in esercizio, considerando il soli carichi e sovraccarichi permanenti (i variabili sono in combinazione rara) a livello del cavo vale 8.95 MPa, (vedi figura 5.8), la corrispondente variazione di tensione nel cavo dovuta alla viscosità risulta essere: σ v =,t 0 nσ c,el = = MPa Che corrisponde percentualmente a una perdita di forza di precompressione pari a: N= σ v p = = 557 kn Che in percentuale è pari al12.3%.

23 Cadute di tensione nel cls : il ritiro Nel caso del strutture in cemento armato precompresso, la precedente normativa (D.M ) semplificava il calcolo della deformazione del calcestruzzo dovuta al ritiro e stabiliva che (p a ) per strutture per le quali l applicazione della forza di precompressione avviene dopo 14 giorni dal getto il valore della deformazione viscosa ε rit può essere assunta pari al 0.25 / per strutture precompresse prima di 14 giorni dalla data del getto la deformazione a tempo infinito ε v può essere assunta pari al 0.3 / Come già visto la normativa attuale prevede invece un calcolo più attento della deformazione da ritiro in funzione delle condizioni ambientali, della geometria e della qualità del calcestruzzo. La caduta di tensione nell armatura di precompressione dovuta al ritiro è infine valutabile semplicemente moltiplicando la deformazione da ritiro fornita dalla normativa per il modulo elastico dell armatura di precompressione ipotizzando che tale deformazione sia uniformemente distribuita sulla sezione. σ = E ε (5.27) rit p rit Esempio 5.6: Sempre con riferimento all esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione dovute al ritiro nella trave ipotizzando un ambiente con umidità del 75% e un tempo di applicazione della precompressione t 0 =15gg Come già illustrato nel capitolo precedente la deformazione dovuta al ritiro si può esprimere come: ε cs =ε cd +ε ca (5.28) 23

24 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p dove: ε cs è la deformazione totale per ritiro ε cd è la deformazione per ritiro da essiccamento ε ca è la deformazione per ritiro autogeno. Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro da essiccamento ha l espressione: ε cd, = k h ε c0 (5.29) Poiché il coefficiente h 0 = 300, il coefficiente k h risulta essere pari a 0.75 (vedi tabella 4.7). Poiché la resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo è pari a 29 MPa e l umidità relativa è pari al 75% per determinare la deformazione di base ε c0 occorre interpolare i valori riportati in tabella 4.6, che forniscono il valor La deformazione per ritiro autogeno vale si desume direttamente dalla relazione seguente: 6 ( f 10) 10 ε ca, = 2. 5 ck = Il valore di deformazione totale dovuta al ritiro vale dunque: ε cs= = 0.234/1000 La perdita di tensione corrispondente nel cavo varrà: σ r = 0.234/ = 48 MPa che in termini di sforzo di precompressione risulta: N = = 216 MPa, ossia una perdita del 4.8 %

25 Cadute di tensione nell acciaio: effetto combinato Come già visto nel capitolo 4 le cadute per rilassamento si possono calcolare utilizzando espressioni empiriche in funzione del rapporto tra la tensione iniziale nei cavi e la resistenza caratteristica dell acciaio e in funzione del rilassamento a 1000 ore ρ 1000, anch esso fornito dalla normativa in funzione della classe dell acciaio. Nel cemento armato precompresso il fenomeno del rilassamento non si manifesta a rigore in condizioni ideali di deformazione costante, ma poiché intervengono viscosità e ritiro a variare le condizioni di deformazione iniziale, occorre tener conto anche della loro influenza nel calcolo della deformazioni da rilassamento. Il D.M stabiliva la legge d interdipendenza tra rilassamento, viscosità e ritiro: σ ril = σ ril, ( σ + σ ) 2. 5 rit v 1 (5.30) σ spi dove σ rit e σ v sono rispettivamente le variazioni di tensione nell acciaio precompresso dovute rispettivamente al ritiro e alla viscosità, mentre σ spi è la tensione iniziale al tiro. σ ril, è la caduta di tensione per rilassamento a deformazione costante. Il termine tra parentesi rappresenta ovviamente un termine inferiore a 1. L Eurocodice 2 (EC2 p. 5.46) prevede un espressione simile, che mette in conto l interdipendenza dei fenomeni lenti: N pr = p σ p,c+s+r = p ε cs E p +0.8 σ pr + Ep Ecm φ(t,t 0)σ c,qp 1+ E p p Ecmc 1+ c Ic e cp φ(t,t 0 ) (5.31) dove 25

26 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p σ p,c+s+r ε cs E p E cm σ pr p c I c e cp è il valore assoluto della variazione della tensione nei cavi dovuta alla viscosità, al ritiro e al rilassamento, valore calcolato al tempo t e nella sezione x il valore assoluto della deformazione dovuta al ritiro del calcestruzzo il modulo elastico dell acciaio il modulo elastico medio del calcestruzzo la variazione di tensione nell armatura di precompressione dovuta al rilassamento dell armatura di precompressione stessa. rea dell armatuta di precompressione rea della sezione di calcestruzzo Momento d inerzia della sezione di calcestruzzo eccentricità delle armature di precompressione ϕ(t,t 0 ) funzione di viscosità al tempo t, con riferimento al tempo inziale t 0 σ c,qp Tensione nel calcestruzzo a livello del cavo di precompressione L espressione 5.31 può essere facilmente dedotta prendendo un elementino di lunghezza unitaria di calcestruzzo in corrispondenza del cavo e uguagliando la variazione di deformazione del cavo a quella del calcestruzzo [ntonini, 1986]. La variazione di deformazione nel cavo può essere infatti espressa in funzione dello sforzo normale iniziale N 0, della variazione di sforzo di precompressione N e della deformazione iniziale impressa al cavo ε p0 : N ε p = ε p0 (5.32) N 0 La variazione di deformazione nel calcestruzzo è invece data dalla somma delle deformazioni legate alle diverse cadute lente (ritiro, viscosità e rilassamento): N ε c = ε rit + εv + ε ril + ε c ( 1+ χ( t 0 ) φ( t,t 0 )) (5.33) N 0 L ultimo termine del secondo membro contiene anche l effetto di viscosità nel calcestruzzo dovuto alla variazione di tensione

27 causata dalla stessa viscosità nella quale interviene, come visto nel capitolo 4 il coefficiente di invecchiamento χ. Nel caso specifico l EC2 adotta per χ il valore 0.8. Imponendo quindi la condizione seguente: ε = (5.34) p ε c Si ottiene la variazione dello sforzo di precompressione rapportata allo sforzo di precompressione iniziale: N Epεrit + nφ( t,t0 ) σc σ = N0 σ p0 nσc 0( φ( t,t0 )) ril (5.35) La tensione σ c0 è la tensione iniziale nel calcestruzzo a livello del cavo dovuta alla sola precompressione. Ricordando infine che N 0 = p σ p0 e tenendo conto del segno opposto delle tensioni nell acciaio e nel calcestruzzo si ottiene l equazione Tale variazione deve essere messa in conto all atto della precompressione maggiorando eventualmente lo sforzo di precompressione stesso per evitare ad esempio che, nel caso si utilizzi la precompressione totale, la sezione non risulti interamente compressa o nel caso di precompressione limitata che la tensione massima di trazione nel calcestruzzo superi la sua resistenza. Esempio 5.7: Con riferimento all esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione combinate della trave ipotizzando che le cadute per rilassamento siano pari a σ ril = 150 MPa e le cadute dovute alla viscosità e al ritiro siano quelle calcolate negli esercizi 5.5 e 5.6. Per la soluzione occorre applicare la formula seguente: 27

28 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p N pr = p σ p,c+s+r = p ε cs E p +0.8 σ pr + E p E cm φ(t,t 0 )σ c,qp 1+ E p p 1+ c e E cm c I 2 cp 1+0.8φ(t,t 0 ) c = =990 KN ( ) Ciò corrisponde, in termini percentuali, a una caduta di tensione totale pari al 22% Perdite di tensione istantanee nell acciaio Oltre alle cadute di tensione che sono, come visto, differite nel tempo, esistono altre cause che all atto della precompressione diminuiscono il tiro inizialmente imposto. Esse sono le così dette perdite di tensione istantanee che si manifestano in maniera diversa in travi a cavi post-tesi e travi a cavi pre-tesi. Nel caso si travi a cavi post-tesi il fenomeno delle perdite di tensione è dovuto essenzialmente all attrito tra guaina e il cavo, al rientro degli ancoraggi dei cavi e alle perdite al martinetto. Queste ultime due cause sono in genere di entità minore e quindi spesso vengono trascurate. Nelle travi a cavi pre-tesi le perdite di tensione sono si manifestano all atto del taglio delle armature dopo la maturazione del getto per l accorciamento elastico del calcestruzzo Travi a cavi post-tesi - perdite per attrito Tale perdita si manifesta per la presenza di attrito tra la guaina nella quale l armatura di precompressione viene inserita per il tesaggio e l armatura stessa. Per effetto della curvatura del cavo,

29 su di esso agisce una pressione p, pari al rapporto tra lo sforzo normale N e il raggio di curvatura R in generale variabile lungo il cavo: N p= (5.36) R Quando la differenza tra lo sforzo normale nel cavo tra due punti del cavo N 1 -N 2 supera la resistenza di attrito p t il cavo scorre. In tali condizioni la variazione di sforzo nomale in un tratto infinitesimo di cavo, dato il coefficiente d attrito guaina-cavo f c, vale N dn = f c p ds = f c Rdα = f c Ndα (5.37) R Integrando la precedente nel tratto di cavo -B si ottiene la seguente legge esponenziale che regola la variazione dello sforzo normale dovuta all attrito: f = N e cα 1 N 2 (5.38) Come era logico aspettarsi, la variazione di N dipende unicamente dal coefficiente d attrito guaina-cavo e dalla variazione angolare α che si ha passando dall estremo all estremo B del cavo. La variazione di tensione nel cavo dovuto all attrito è quindi data da: f α c σ = σ1 ( 1 e ) (5.39) La normativa europea, alla quale la normativa italiana rimanda per la valutazione delle perdite dovute all attrito, suggerisce i seguenti valori del coefficiente d attrito: 29

30 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Tabella Valori di f c secondo l EC2 Tipo di armatura Coefficiente d attrito Fili trafilati a freddo 0.17 Trefoli 0.19 Barre con risalti 0.65 Barre lisce 0.33 Nei tratti rettilinei non essendoci alcuna variazione angolare si dovrebbe assumere in teoria una perdita per attrito nulla. La normativa però considera anche per tali tratti una variazione di tensione che dipende però oltre che dal coefficiente d attrito f c, ovviamente diverso dal valore adottato per il caso di cavi curvi, anche dalla lunghezza L del tratto considerato: f c k L N = N( 1 e ) (5.40) Il termine k è la variazione angolare espressa per unità di lunghezza del cavo ed è generalmente compresa nell intervallo < k < 0.01 rad/m. N 1 α ds dα p p t B N 2 α L Figura 5.10 Forze agenti sul cavo Figura 5.11 Significato geometrico dell angolo α e di L

31 α 2 α 4 α 1 α 3 Figura 5.12 Variazioni angolari di un cavo di precompressione Nel caso di cavo con variazioni angolari e tratti lineari multipli le perdite di tensioni per attrito possono essere valutate ancora con le 7.15 e 7.16 dove α ed L rappresentano ora la somma delle variazioni angolari e le lunghezze dei tratti rettilinei (Fig ): f c α i + kl j = i j N N 0 1 e N0 fc ( αi + kli ) (5.41) i j La 5.41 può anche essere semplificata allorché si applichi uno sviluppo in serie di Taylor della stessa, ottenendo l espressione seguente: α i + N N f c ( kl i ) (5.42) 0 i j I valori di f c sono forniti in genere dalle normative. d esempio l EC2 indica quali valori di f c quelli riportati nella tabella seguente: 31

32 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Esempio 5.8: Valutare le perdite dovute all attrito cavo-guaina nella sezione di mezzeri della trave precompressa a cavi post-tesi indicata in figura. h d p B f C D b L h (cm) b (cm) p (cm 2 ) Dati trave L (m) f (m) d p (cm) L r (m) ,5 In travi in c.a.p. a cavi post-tesi, nella fase di tesatura del cavo, nascono inevitabilmente tensioni tangenziali sulla superficie del cavo stesso dovute all attrito con la guaina. La variazione di tensione (trazione) si può valutare con la relazione 5.40, con i=j=1. Si assume inoltre che i coefficienti d attrito abbiano i seguenti valori, come suggerito dalla normativa: f c = 0,3 [1/rad] nel caso si utilizzino guaine metalliche k = 0,01 [rad / m] Per la valutazione di α si può ricavare l equazione della parabola che descrive la forma del cavo tramite i seguenti passaggi per poi valutare il valore della derivata prima in testa alla trave (punto ): 1. Si fissa l origine del sistema di riferimento O(x,y) in corrispondenza del tratto curvo, in questo caso nel punto B

33 2. Si assegnano le condizioni al contorno, che in questo caso sono le seguenti: y 0 =0 y ' 0 =0 y ' l =f con l = lunghezza del tratto curvo 3. Si determinano i coefficienti a, b e c di = + +, qui pari a: 1 a= =0,0064;b=0 ;c=0 156 ottenendo y=0,0064 x 2 L angolo α che la tangente al cavo forma con l asse della trave si ottiene da: tan α = d dx y(l) In questo caso tan α =0, ,5 =0,16 Poiché l arco tangente è circa pari alla tangente si assume che α=0,16 rad Ora è possibile calcolare la perdita di tensione nel cavo dovuta all attrito, assumendo N 0 = 4500 KN e L r = lunghezza del tratto rettilineo di metà trave: σ attr = N 0 p 1-e -f c α+kl =69,413 MPa La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza: N= σ attr p =242,9 KN corrispondente al 5.4% 33

34 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Travi a fili pre-tesi - perdite per deformazione elastica del calcestruzzo Nel caso di travi a cavi pre-tesi non sussistono ne perdite per attrito ne tanto meno perdite per rientro degli ancoraggi. Le uniche perdite sono dovute all accorciamento elastico del cls all atto del taglio dei cavi ad avvenuta maturazione del cls. Infatti quando i fili vengono tagliati in corrispondenza delle sezioni terminali della trave, la trave stessa viene assoggetta ad una sistema di forze normali che ne determinano l accorciamento. L accorciamento della trave che tra l altro permette l instaurarsi della collaborazione tra acciaio da precompressione e trave in calcestruzzo è a sua volta la causa di una perdita di tensione. Tale perdita dipende dunque dal livello della tensione iniziale nei fili. ε G ε c Figura 5.13 Definizione delle deformazioni di una trave a fili pretesi Per valutare l entità di tale perdita si consideri la trave in figura. Il cavo sia disposto con una eccentricità e rispetto al baricentro. Detta ε p0 la deformazione subita dal cavo all atto del tiro, ε c la deformazione del calcestruzzo al livello dell armatura di precompressione e ε G la deformazione della fibra baricentrica della trave (Fig. 5.13), l equilibrio tra la risultante di compressione nel calcestruzzo e la trazione nell acciaio comporta che: ( ε p εc) Ep p = εgec c 0 (5.43)

35 dove p è l area dell armatura da precompressione, c è l area di calcestruzzo. Essendo lo stato di coazione una pressoflessione, la relazione tra ε c ed ε G è semplicemente: 2 e ε c = ε G 1 + c = εgk J (5.44) Sostituendo il valore di ε G nell equazione di equilibrio precedente si può esprimere la deformazione del calcestruzzo a livello dell armatura di precompressione ε c in funzione della deformazione iniziale del cavo: ε = ε c po 1 c 1+ n k p (5.45) In definitiva la perdita di tensione nell armatura di precompressione si determina semplicemente in funzione del tiro iniziale nel cavo N 0 del modulo elastico dell acciaio e delle caratteristiche geometriche della sezione: N c p + nk 0 σ p = (5.46) Esempio 5.9: Si consideri una trave in c.a.p., realizzata con calcestruzzo di classe C35/45 e precompressa a mezzo di fili pretesi la cui area totale è p =10 cm 2, il cui cavo risultante presenta eccentricità costante e=25 cm. La sezione è rettangolare 40 x 80 cm, mentre lo sforzo iniziale N 0 è uguale a 1350 kn. Si calcoli la perdita di precompressione dovuta all accorciamento elastico del calcestruzzo all atto della precompressione della trave. L area della sezione di calcestruzzo è c =3200 cm 2 mentre il coefficiente k della 5.43 risulta essere: 35

36 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p k= 1+ e2 J c = = Essendo il calcestruzzo di classe C35/45 il modulo elastico medio del calcestruzzo risulta pari a E cm =34 GPa, sicché il coefficiente di omogeneizzazione n è uguale a pplicando la 5.45 si ottiene infine la perdita richiesta: N= pn 0 p + = c =52.10 MPa nk che corrisponde ad una perdita in percentuale del 3.80% Effetto muto dei cavi nella tecnica della posttensione Nel caso di travi in c.a.p. a cavi post-tesi in cui i cavi vengano tesati in tempi differenti, uno alla volta, oppure come più spesso accade, in gruppi, sussiste una perdita per accorciamento elastico del cls che si manifesta sui cavi una volta che solamente un gruppo venga testato. Secondo l EC2 le perdite così descritte possono essere calcolate in maniera semplificata utilizzando la formula seguente: N EMC = p j σ c ( E p E ( cm t ) t ) (5.47) dove n 1 j = 2n dove σ c (t) è la perdita al tempo t riferita al baricentro delle armature di precompressione E cm (t) è il modulo elastico del cls al

37 tempo t, n è il numero delle armature, p è l area delle stesse ed E p è il loro modulo elastico. Se il numero di cavi è elevato è ammesso adottare j=1/ Rientro degli ancoraggi Esso si manifesta per effetto delle elevate tensioni nel cls che può plasticizzarsi localmente. Ciò produce un rientro degli ancoraggi e una perdita di tensione nei cavi. E di difficile determinazione e in genere si valuta su basi con analogie di natura sperimentale Rientro cunei degli ancoraggi E dovuto al non perfetto serraggio dei cavi da parte dei cunei. La sua entità è una caratteristica dell ancoraggio e viene fornita dalla casa produttrice degli ancoraggi. 37

38 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p 5.2. IL CLCOLO LLO STTO LIMITE ULTIMO DI UN TRVE IN C..P. INFLESS Per la verifica allo Stato Limite Ultimo la normativa considera legami costitutivi indicati nel capitolo 4. Ciò comporta l annullamento dell effetto della percompressione una volta che l armatura di precompressione si sia snervata. Di conseguenza, la verifica di una sezione in c.a.p. è del tutto analoga alla verifica di sezioni in c.a. ordinario. L unica differenza sta nella deformazione imposta all armatura di precompressione in esercizio che va sommata alla deformazione dovuta ai carichi esterni. Questi ultimi devono essere ovviamente moltiplicati per i relativi coefficienti allo stato limite ultimo (NTC-08 p ). Le operazioni per determinare il momento ultimo sono esattamente le stesse utilizzate per il cemento armato ordinario, con la differenza che occorre considerare per l armatura di precompressione anche la deformazione applicata ai cavi all atto del tiro ε p0 e la deformazione subita dal calcestruzzo ad opera della precompressione, calcolata all altezza del cavo ε pd. Quest ultima, che se applicata porterebbe il cavo a tensione nulla, è generalmente piccola e in alcuni casi può anche essere trascurata. Le operazioni da seguire sono dunque le seguenti: 1) Determinare la deformazione iniziale nel cavo di precompressione e le deformazioni nel cls a livello del cavo dovute ad N 2) Determinare la zona di rottura 3) Determinare l asse neutro 4) Determinare il Momento ultimo Calcolo della deformazione iniziale nel cavo e nel cls La valutazione della deformazione nel cavo dovute alla forza di precompressione, scontata ovviamente delle perdite e delle cadute di tensione, è immediata:

39 ε po N N p Nc = E p p (5.48) Il termine di deformazione del calcestruzzo che porta allo stato di decompressione la fibra di calcestruzzo al livello del cavo, si calcola altrettanto facilmente: N N p N 2 c = 1 e ε + pd (5.49) Ep id Jid Determinazione della zona di rottura Come per le travi in c.a. normale la modalità di collasso della trave si determina a partire dalla percentuale meccanica di armatura. Generalmente questa % è tale che il diagramma delle deformazioni ricada in campo 2 o 3. f cd a.n. C y c C ε s T ε p0 Figura 5.14 Forze agenti nella sezione allo stato limite ultimo Determinazione dell asse neutro La posizione dell asse neutro si ricava imponendo l equilibrio alla traslazione della sezione. Poiché generalmente la sezione collassa in zona 2 o 3 l espressione dell asse neutro si ricava facilmente nel caso che per l acciaio di precompressione si assuma un comportamento elastoplastico perfetto con tensione di snervamento pari a f pyk : 39

40 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p y an = p f 0.8bf pyk cd Se l acciaio è a comportamento incrudente occorre operare per tentativi. Determinazione del Momento Ultimo Il momento ultimo si valuta nell ipotesi di utilizzo dello stressblock come al solito: Mu = p f pyk ( d 0. 4 y c ) Esempio 5.10: Si riprenda la trave dell esempio 5.8 e si calcoli il momento ultimo della sezione in mezzeria della trave. Si consideri uno sforzo di precompressione iniziale pari a N 0 = 4000 KN, calcestruzzo avente R ck = 40 MPa, trefoli d acciaio con tensione caratteristica di snervamento f pyk = 1600 MPa e modulo elastico E p = MPa. La deformazione iniziale di precompressione è pari a: ε p N 0 0 = = E f p 3 La deformazione allo snervamento dell armatura di precompressione è pari a: ε py f pyk = = E p 3 La resistenza del calcestruzzo allo stato limite ultimo è pari a: Rck fcd = = MPa 1. 9

41 Con l ipotesi di rottura in campo 2 e di snervamento dell armatura di precompressione, l asse neutro è dato dalla seguente espressione: f f pyk yc = = cm 0. 89bf La deformazione dell acciaio è quindi pari a: ε p cd h yc d p = = y c 3 alla quale va aggiunta quella in fase di tiro: ε pt = ε pt + ε p0 = Poiché quest ultima è maggiore della deformazione di snervamento dell armatura di precompressione la sezione collassa è certamente in zona 2. Il momento ultimo della sezione di mezzeria quindi vale: Mu = f f pyk0. 89( h d p) = 6978KNm La trave appoggiata è soggetta ad un momento massimo pari a: 2 L Md = Pd = 4500 KNm 8 La sezione risulta dunque verificata. 41

42 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p 5.3. IL CLCOLO IN FSE ELSTIC DELLE SEZIONI COMPOSTE C.. C..P. La realizzazione di una struttura composta passa in genere attraverso le seguenti fasi costruttive: Realizzazione della trave nello stabilimento di prefabbricazione Posa in opera della trave (con o senza puntellamento) Getto della soletta di completamento Messa in servizio della struttura Figura 5.15 Tipica sezione di un ponte con sezione composta lle precedenti corrispondono altrettante verifiche alle quali il progettista dovrà attenersi. E in genere necessario considerare almeno le seguenti verifiche: Verifica della trave all atto della precompressione (verifica a vuoto) Verifica della trave al getto della soletta Verifica della struttura composta in esercizio sotto l azione dei carichi permanenti + variabili In ciò che segue, verrà illustrato il procedimento di verifica di sezioni composte, distinguendo il caso di travi puntellate da quello di travi non puntellate.

43 Verifiche tensionali Caso di trave non puntellata Come già illustrato nei paragrafi precedenti le strutture composte c.a c.a.p. dette anche strutture a precompressione parziale sono in genere costituite da travi in c.a.p. solidarizzate da una soletta in c.a. normale. σcs Figura 5.16 Stato tensionale tipico della fase I o II Le verifiche per tali strutture devono tenere necessariamente in conto la variazione di geometria che le sezioni parzialmente precompresse presentano durante la loro realizzazione. Verifica al tiro (fase I) ll atto del tiro la struttura sarà costituita dalle sole travi precompresse, esclusa quindi la soletta. Le relative tensioni al lembo inferiore e superiore saranno quindi: σ σ I tr, i I tr, s N 0 N = id,0 N 0 N = id,0 p p + + ( N N ) 0 W p i id,0 ( N N ) 0 W p s id,0 e e I I M W M W GT i id,0 GT s id,0 σci (5.50) 43

44 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p dove id,0 W i id,0 W s id,0 sono rispettivamente i moduli di resistenza flessione inferiore e superiore della trave precompressa l area della sezione della trave omogeneizzata a calcestruzzo, che si ipotizza rimangano costanti. M GT è il momento dovuto al peso proprio della trave in precompresso. L eccentricità del cavo e I è riferita al baricentro della sola trave. Verifica a vuoto (Fase II) Nell ipotesi che le cadute di tensione vengano scontate prima della realizzazione della soletta, all atto del getto della soletta le tensioni diventano le seguenti: σ σ II tr, i II tr, s N = N = 0 0 N N p id,0 p id,0 N N c c + + ( N N N ) 0 W p i id,0 ( N N N ) 0 W p s id,0 c c e e I I M M + M GT GS i Wid,0 + M GT GS s Wid,0 (5.51) dove la sezione da verificare è sempre quella della trave in precompresso mentre ora si aggiunge il momento flettente dovuto al peso della soletta M GS, non ancora reagente. Verifica in esercizio (Fase III) lla fase precedente si aggiunge la fase di esercizio nella quale il momento dovuto ai sovraccarichi accidentali ed eventuali sovraccarichi permanenti M q modifica lo stato tensionale della trave:

45 σ σ III tr, i III tr, s N = N = 0 0 N N p id,0 p id,0 N c N c + + ( N N N ) 0 W p i id,0 ( N N N ) 0 W p s id,0 c c e e I I M M + M GT GS i Wid,0 + M GT GS s Wid,0 M W q i id, e M W q s id, e (5.52) dove id,e W i id,e W s id,e sono rispettivamente l area e i moduli di resistenza a flessione della sezione composta a livello del lembo inferiore (i) e superiore (s) della trave precompressa. La ragione di ciò risiede nel fatto che lavorando per fasi, l incremento di tensioni si calcola con riferimento alle caratteristiche della trave composta. Nel caso specifico è solo il momento M q a provocare l incremento di tensioni che vanno calcolate utilizzando le caratteristiche geometriche della sezione mista. Le precedenti sono naturalmente valide soltanto nell ipotesi di perfetta aderenza tra trave in c.a.p. e soletta in c.a. σcs σci Figura 5.17 Stato tensionale tipico della fase III Nella fase III lo stato tensionale nella soletta è ovviamente influenzato anch esso soltanto dal momento dovuto ai sovraccarichi variabili. Sicché le tensioni al lembo inferiore e superiore della stessa varranno: 45

46 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p σ σ III si III ss M = W q i ids, e M = W q s ids, e (5.53) dove W i ids,e e W s ids,e rappresentano i moduli di resistenza a flessione della sezione composta a livello delle fibre inferiore (i) e superiore (s) della soletta. La figura 5.18 illustra lo stato tensionale nelle varie fasi di verifica, ognuna delle quali è ulteriormente suddivisa in diagrammi rappresentanti gli effetti dei singoli carichi (carichi esterni e precompressione). σcs precompressione Cadute di Tensione peso proprio Peso Soletta Sovraccaichi precompressione FSE I FSE II FSE III Figura 5.18 Trave non puntellata - Stato tensionale nelle varie fasi di verifica Caso di trave puntellata Nel caso di travi uniformemente puntellate la fase II si sviluppa con la soletta già collaborante, poiché i puntelli vengono rimossi solo dopo che essa ha raggiunto il giusto grado di maturazione. Conseguentemente, lo stato nelle diverse varie fasi costruttive diventa quello schematicamente illustrato in figura nche in tal caso, è usualmente accettata l ipotesi di scontare le perdite e le cadute di tensione dei cavi di precompressione tutte nella fase I. Per travi con puntelli discreti, la trave semplicemente appoggiata, quindi isostatica nella fase di esercizio, diventa nella

47 fase di puntellamento una trave continua, dunque iperstatica, per la cui soluzione si rimanda al capitolo 7. precompressione Cadute di Tensione peso proprio Peso Soletta Peso Soletta precompressione FSE I FSE II FSE III Figura 5.19 Trave puntellata - Stato tensionale nelle varie fasi di verifica Riepilogo fasi di verifica Il procedimento di verifica di una trave composta può essere implementato in qualsiasi linguaggio di programmazione. In appendice è ad esempio disponibile il flow-chart delle operazioni da seguire e il codice Matlab dell algoritmo. Esempio 5.11: Effettuare l'analisi delle tensioni in una sezione mista soletta - trave in c.a.p. costituita da unità prefabbricate con cavi pre-tesi e sezione a forma di T rovescia armate con 2 trefoli da 3/8'' di acciaio ad elevatissima resistenza a rottura. Lo schema statico è dato da un solaio semplicemente appoggiato di luce L. Tra le unità prefabbricate sono disposti dei blocchi di laterizio di peso p costituenti la casseratura per il getto della cappa sovrastante in opera. 47

48 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Dati trave p σ spi d p L Q lat Q var n (cm 2 ) (MPa) (m) (m) (kn/m) (kn/m 2 ) , ,35 2,5 1,167 La forza di precompressione permanente risultante è = = 103. Calcolo proprietà geometriche della sezione: 1. Solo sezione prefabbricata La sezione resistente è costituita solo dal travetto precompresso (fase nella quale il calcestruzzo di soletta è stato gettato ma non è ancora maturato). Si considera la gross section ignorando il contributo dell armatura. rea elementi e distanza baricentro da lembo superiore travetto: nima: anima = m 2 ; y G,anima = =0.06 m la inferiore: ala = m 2 ; y G,ala = =0.16 m rea totale travetto: tr =1, m 2 Momenti statici: nima: S anima = anima y G,anima = 3, m 3 la inferiore: S ala = ala y G,ala = 1, m 3 Momento statico intero travetto: S tr =S anima +S ala =1, m 3 Distanza baricentro travetto: Rispetto al lembo superiore: y s,tr = S tr tr =0,117 m Rispetto al lembo inferiore: y i,tr =y s,tr - H tr =- 0,083 m Eccentricità del cavo: e ap =y it +d p =-0,028 m

49 Momento d inerzia del travetto precompresso: Momenti di inerzia elementi rispetto ai propri baricentri: nima: I B,anima = L anima H anima = 7, m 4 12 la inferiore: I B,ala = L ala H ala = 4, m Momenti di trasporto elementi: 3 nima: I tr,anima = anima y st - H anima 2 =1, m 4 2 la inferiore: I tr,ala = ala y it + H ala 2 2 =1, m 4 Momento d inerzia totale del travetto: I tr =I B,anima +I B,ala +I tr,anima +I tr,ala = m 4 2: Sezione mista Per valutare le caratteristiche geometriche della sezione mista si omogeneizza rispetto al calcestruzzo della soletta, e quindi la larghezza di quest ultimo da considerare nei calcoli è dato da: L sol = Interasse =0,34 m n rea elementi: Soletta: sol =L sol H sol =1, m 2 rea totale trave composta: Tc =2, m 2 Distanza baricentro elementi da lembo superiore sezione mista: Travetto: y sc,tr =y s,tr +H sol =0,157 m Soletta: y sc,sol = H sol 2 =0,02 m Momenti statici: Travetto: S tr = tr y sc,tr = 2, m 3 Soletta: S sol = sol y sc,sol = 2, m 3 49

50 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Momento statico sezione composta: S Tc =S tr +S sol =2, m 3 Distanza baricentro sezione composta: Rispetto al lembo superiore soletta: y s,tc = S Tc Tc =0,089 m Rispetto al lembo inferiore travetto: y i,tc =y s,tc - H Tc =- 0,151 m Momento d inerzia della sezione mista: Momenti di inerzia elementi rispetto ai propri baricentri: Travetto: I B,tr =I tr = m 4 Soletta: I B,sol = L sol H sol = 1, m 4 12 Momenti di trasporto elementi: 3 Travetto: I tr,trav = tr y sc,tr -y s,tc 2 =6, m 4 Soletta: I tr,sol = sol y s,tc -y sc,sol 2 =6, m 4 Momento d inerzia totale sezione mista: I Tc =I B,tr +I B,sol +I tr,trav +I tr,sol =1, m 4 Verifica delle tensioni: metodo SENZ puntellamento Se la trave non è puntellata su di essa, graverà il peso proprio del travetto e della soletta appena gettata. Verifica al tiro (Fase I): La struttura sarà costituita dalle sole travi precompresse. Per cui, in tale fase, agiranno lo sforzo di precompressione e il peso proprio del travetto. Il peso proprio e relativo momento flettente sono i seguenti: ssumendo γ cls =25 KN/m 3, il peso a metro lineare del calcestruzzo è dato da:

51 Q pt =γ cls Tc =0,35 KN m Considerando la sezione più gravosa (mezzeria del solaio semplicemente appoggiato), il momento M G di calcolo è pari a: L M G =Q 2 tr =1,575 KN m 8 Le tensioni nel cls del travetto per effetto della presollecitazione e del pero proprio si calcolano come segue: Lembo superiore: I σ tr,s = P + P e ap tr I tr Lembo inferiore: I σ tr,i = P + P e ap tr I tr y s,tr M G I tr y i,tr M G I tr y s,tr =4.043 MPa y i,tr =9,701 MPa Verifica a vuoto (Fase II): In questo caso a gravare sul travetto c è, oltre al peso proprio del travetto, quello dei laterizi di alleggerimento e della soletta. Il peso dei laterizi che vale 0.35 kn/m darà luogo a un momento M lat =1.575kNm, mentre la soletta pesando 0.4 kn/m, darà luogo a un momento M sol =1.8 knm. Le tensioni corrispondenti valgono quindi: Lembo superiore: I σ tr,s = P + P e ap tr I tr y s,tr - M G+ M sol + M I tr y s,tr =4.043 MPa Lembo inferiore: I σ tr,i = P + P e ap y tr I i,tr - M G+ M sol + M tr I tr y i,tr =9,701 MPa 51

52 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Verifica in esercizio (Fase III): Tale fase corrisponde al comportamento in esercizio della trave mista, pertanto lo stato tensionale risulterà pari a quello della fase II incrementato delle tensioni dovute al solo carico utile agente sulla sezione mista. Determinazione del momento dovuto al carico utile (M Q ): Si moltiplica il carico variabile per unità di superficie per la larghezza di soletta considerata: L 2 M Q = Q var L sol =4,5 KNm 8 Calcolo incremento delle tensioni dovute al carico utile: Soletta: Tensione lembo superiore: σ III sol,s = M Q y n I s,tc =1,936 MPa Tc Tensione lembo inferiore: σ III sol,i = M Q (y n I s,tc -H sol )= 1,069 MPa Tc Travetto: Tensione lembo superiore: σ III tr,s = M Q I Tc (y i,tc -H sol )=1,247 MPa Tensione lembo inferiore: σ III tr,i = M Q I Tc y i,tc = - 3,813 MPa Tensioni totali: Sommando tutti i contributi delle varie fasi si ottengono le seguenti tensioni in fase di esercizio: Soletta: Tensione superiore: σ T ss =1,936 MPa

53 Tensione inferiore: σ T si =1,069 MPa Travetto: Tensione superiore: σ T tr,s =13,932 MPa Tensione inferiore: σ T tr,i =-0,224 MPa 53

54 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Verifica delle tensioni: metodo con puntellamento Puntellando e forzando il solaio in modo da liberarlo provvisoriamente dal peso proprio, le tensioni agenti nelle singole fasi sono: Verifica al tiro (Fase I): Le stesse del metodo senza puntellamento. Verifica a vuoto (Fase II): In questo caso il peso proprio del solaio completo (travetto + soletta + laterizi) grava sulla sezione mista. Calcolo incremento delle tensioni: Soletta: Tensione lembo superiore: II σ sol,s =- M sol + M n I Tc y s,tc =1,452 MPa Tensione lembo inferiore: M II sol + M σ sol,i = - (y n I s,tc -H sol )=0,801 MPa Tc Travetto: Tensione lembo superiore: σ II tr,s = - M sol + M I Tc Tensione lembo inferiore: σ II tr,i = - M sol + M I Tc (y i,tc -H sol )=0,935 MPa y i,tc =- 2,86 MPa Verifica in esercizio (Fase III): L incremento di tensioni è ovviamente lo stesso del metodo senza puntellamento, essendo la soletta collaborante. Tensioni totali: Sommando tutti i contributi delle varie fasi si ottengono le seguenti tensioni in fase di esercizio:

55 Soletta: Tensione superiore: T =1,936 MPa σ sol,s Tensione inferiore: T =1,096 MPa σ sol,i Travetto: Tensione superiore: σ T tr,s =13,932 MPa Tensione inferiore: σ T tr,i =- 0,224 MPa Confrontando i due risultati è evidente il vantaggio dell uso della tecnica del puntellamento: la fibra inferiore diminuisce la sua tensione fino a diventare di trazione. l contrario, si riscontra un aumento della tensione nella fibra di compressione. Essendo però tale incremento positivo (di compressione) esso è spesso accettabile, essendo la resistenza a compressione del calcestruzzo sufficiente a compensarne gli effetti. 55

56 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Esempio 5.12: Si consideri la trave semplicemente appoggiata di figura, la cui sezione è mista c.a.p.-c.a. realizzata con un unica classe di calcestruzzo. Quest ultima è costituita da una costola rettangolare precompressa a fili pretesi e una soletta di completamento di cemento armato ordinario. Con riferimento ai dati geometrici e meccanici forniti nella tabella seguente si calcoli lo stato tensionale nell ipotesi 1) assenza di puntelli 2) uniforme puntellamento. Per il calcolo delle caratteristiche geometriche si faccia riferimento alla sezione di solo calcestruzzo. Il calcolo tensionale della trave di seguito raffigurata si suddivide nei seguenti passi: 1) Calcola caratteristiche geometriche nelle varie fasi di costruzione 2) Calcolo stato tensionale con o senza puntellamento

57 bo so x htr btr d' y Caratteristiche geometriche e meccaniche della trave b 0 (cm) s 0 (cm) h tr (cm) b tr (cm) d (cm) N 0 (kn) N e (kn) q (kn/m) L (cm) Calcolo caratteristiche geometriche Fase I e II (solo trave) rea: id, 0 = b tr h tr = 2550 cm 2 Posizione baricentro: y Gi = 42.5 cm (dal lembo superiore) Momento d inerzia: I 0 = 1/12 b tr h 3 tr = cm 4 Moduli di resistenza Eccentricità del cavo: W i id,0 = W s id,0 =36125 cm 3 e I =24.5 cm Fase III (sezione composta) rea: id, 0 = b tr h tr + b 0 s 0 = 4050 cm 2 Posizione baricentro: y Ge = cm (dal lembo superiore) Momento d inerzia: I e = 1/12 b 0 h /12 b tr h tr 3 +s 0 b 0 (y Ge +s 0 /2) 2 + s tr b tr (y Gi -y Ge ) 2 = cm 4 Modulo di resistenza inf. trave W i id,e = cm 3 57

58 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Modulo di resistenza sup. trave W s id,e = cm 3 Modulo di resistenza inf. soletta W i id,e = cm 3 Modulo di resistenza sup. soletta W s id,e = cm 3 Verifica delle tensioni: metodo senza puntellamento Verifica al tiro (fase I) Essendo la trave semplicemente appoggiata il momento dovuto al peso proprio vale: M GT = 1/8 25(kN/m 3 ) id,0 L 2 = knm Sicché lo stato tensionale per uno sforzo di precompressione N 0 = 2200 kn, vale: σ I tr,i = N 0 + N 0e I id,0 W i - M GT id,0 W i =0.082 MPa id,0 σ I cs = N 0 - N 0e I id,0 W s + M GT id,0 W s =17.17 MPa id,0 x 4.84MPa x y d' MPa Stato tensionale in fase I (trave non puntellata) y d' 9.67 MPa Stato tensionale in fase II (trave non puntellata) Verifica a vuoto (fase II) In questa fase agisce il peso della soletta (non ancora reagente) che produrrà un momento aggiuntivo M GS = knm. Si ipotizza inoltre che le cadute di tensioni si esauriscano in questa fase e che dunque lo sforzo normale sia pari a N e. Le caratteristiche geometriche rimangono inalterate.

59 σ tr,i II = N e id,0 + N ee I W i id,0 σ tr,s II = N e id,0 - N ee I W s id,0 - M GT+M GS W i =4.84MPa id,0 + M GT+M GS W s =9.67 MPa id,0 Verifica in esercizio (fase III) In questa fase agisce la soletta ha raggiunto il giusto grado di maturazione soletta (reagente) che altererà le caratteristiche geometriche della sezione. La presenza dei carichi variabili q incrementa ulteriormente il momento flettente esterno. σ tr,i III = N e id,0 + N ee II W i id,0 σ tr,s III = N e id,0 - N ee II W i id,0 - M GT+M GS W i id,0 - M q W i id,e =-0.15MPa + M GT+M GS W i + M q id,0 W s =8.69 MPa id,e σ si III =- M q W i ids,e =3.86 MPa σ III ss = M q =6.28MPa W s ids,e 6.28 MPa x 8.69 MPa 3.86 MPa d' y MPa Stato tensionale in fase III (trave non puntellata) 59

60 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Verifica delle tensioni: metodo con puntellamento Verifica al tiro (fase I) Questa fase è identica al caso di trave non puntellata. La trave è messa in opera e subisce la precompressione e il suo peso proprio. Dopo di che vengono posizionati i puntelli e gettata la soletta. Verifica a vuoto (fase II) In questa fase la soletta ha raggiunto il grado di maturazione desiderato, pertanto i puntelli possono essere rimossi. girà quindi il peso della soletta (ora reagente) che produrrà un momento aggiuntivo M GS = knm. Si ipotizza inoltre che le cadute di tensioni si esauriscano in questa fase e che dunque lo sforzo normale sia pari a N e. Le caratteristiche geometriche sono ora quelle della sezione composta: σ II tr,i = N e + N ee II id,0 W i - M GT id,0 W i - M GS id,0 W i =11.3 MPa id,e σ II tr,s = N e - N ee II id,0 W s + M GT id,0 W s + M GS id,0 W s =1.91 MPa id,e σ II si = M GS W s =0.83 MPa id,e σ II ss =- M GS y I Ge =1.34 MPa e x 1.91 MPa 1.34 MPa 0.83 MPa d' y 13 MPa

61 Stato tensionale in fase II (trave uniformemente puntellata) Verifica in esercizio (fase III) In questa fase agiscono anche i carichi variabili q che incrementano ulteriormente il momento flettente esterno. σ III tr,i = N e + N ee II id,0 W i - M GT id,0 W i id,0 σ III tr,s = N e - N ee II id,0 W i + M GT id,0 W i id,0 σ III si =- M GS+M q y I Ge =4.89 MPa e σ III ss = M GS+M q W s =7.63 MPa id,e - M GS+M q W i =1.49MPa id,e + M GS+M q W s =5.77 MPa id,e x 4.89 MPa 7.63 MPa 5.77 MPa d' y 1.49 MPa Stato tensionale in fase III (trave uniformemente puntellata) Osservazione: l esercizio presentato ha messo in evidenza che dal punto di vista tensionale il puntellamento agisce favorevolmente contribuendo a diminuire la tensione massima al lembo inferiore, portandola, nel caso in esame, da trazione a compressione. Di contro sussiste un aumento di tensione al lembo superiore della soletta dovuta ad un aumento rispetto al caso non puntellato del momento flettente. Ciò è dovuto al fatto che nel caso puntellato e in fase II la soletta è già collaborante. 61

62 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p Calcolo del sistema di connessione trave-soletta L aderenza tra le due parti non è in genere sufficiente a garantire l assenza di scorrimenti relativi tra le due parti, per cui si aggiunge in genere un sistema di collegamento realizzato con idonea staffatura che dovrà sopportare sollecitazioni di taglio. connettore Figura 5.20 Sistemi di connessione trave-soletta Detto T il taglio ed s il passo delle staffe, la singola staffa dovrà sopportare la seguente forza di scorrimento per unità di lunghezza: id * TS F s = (5.53) J dove S * è il momento statico della soletta rispetto all asse neutro della sezione composta, J id è il momento d inerzia della sezione composta. Nel caso che soletta e trave siano costituite da materiale diverso occorrerà omogeneizzare rispetto ad uno dei due materiali mediante il coefficiente di omogeneizzazione n, rapporto tra i moduli elastici del calcestruzzo di trave e soletta.

63 La resistenza del collegamento può essere calcolata adottando l approccio indicato nell Eurocodice 2 al punto 6.2.5, che definisce la resistenza a taglio per unità di superficie, dovuta al contatto tra trave e soletta e al sistema di connessione (staffe), come segue: v RD = c f ctd n yd + µσ + ρ f ( µ sinα+ cosα ) dove c e µ dipendono da quanto liscia è la superficie di contatto. Nel caso di superficie molto liscia, liscia e ruvida essi valgono rispettivamente, c=0.025 µ=0.5, c=0.35 µ=0.6, c=0.45 µ=0.7 σ n è la tensione normale eventualmente presente sulla superficie di contatto α è l angolo di inclinazione dei connettori Esempio 5.13: con riferimento all esercizio 5.12 si calcoli il sistema di connessione trave soletta nell ipotesi che la superficie di contatto sia liscia e che il calcestruzzo sia lo stesso per soletta e trave (C35/45). Si usino staffe di acciaio B450c. La trave è soggetta in esercizio ad un taglio massimo T pari a 235 kn. Il momento d inerzia J id nella fase di esercizio vale J id = cm 4. Poiché per il dimensionamento dell armatura di collegamento è necessario valutare lo scorrimento all attacco trave-soletta occorre valutare il momento statico rispetto ad esso, pari a: S * = = cm 3 La forza di scorrimento massima per unità di lunghezza vale quindi: F s = / = 5.82 kn/cm = 582 kn/m dottando staffe a 2 bracci φ 8/20, la forza di scorrimento sulla singola staffa varrà, nell ipotesi di scorrimento costante: 63

64 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p F s1 = kn La resistenza a taglio del sistema di connessione può essere calcolata utilizzando l espressione dell EC2: v v RD RD = c f + µσ + ρ f ( µ sinα+ cosα ) ctd n yd = = kN / cm L area di competenza della singola staffa è pari a =600 cm 2, quindi la relativa resistenza è pari a = 122 kn Dunque la verifica è soddisfatta essendo la resistenza di una staffa a 2 bracci pari a 122 kn, contro una sollecitazione di kn.

65 L influenza del ritiro La realizzazione di strutture miste c.a. c.a.p. comporta la necessità di gettare la soletta in tempi successivi alla realizzazione della trave in precompresso. Ciò comporta la nascita di deformazioni differenziali tra soletta e trave dovute al ritiro del calcestruzzo della soletta stessa che si manifesta all atto della maturazione del calcestruzzo. Ciò induce nella struttura una variazione dello stato tensionale. Tale effetto si manifesta come stato di coazione dovuto all accorciamento impedito della soletta di calcestruzzo la quale non potendo però diminuire la sua lunghezza viene sollecitata a trazione con una forza F r =ε r E C b 0 s. Di conseguenza la trave composta è soggetta a compressione eccentrica. Sulla soletta di calcestruzzo l effetto della trazione e della compressione eccentrica si sommano. Le variazioni dello stato tensionale ai lembi superiore e inferiore della soletta sono esprimibili pertanto come segue: Fr Fr e Fr σ r, cs = + ycs idn Jidn b0s (5.54) Fr Fr e Fr σ r, ci = + yss n nj b s (5.55) id id 0 dove id e J id sono rispettivamente le caratteristiche della sezione omogeneizzata al calcestruzzo della trave in precompresso, mentre n è il coefficiente di omogeneizzazione, rapporto tra modulo elastico della trave in precompresso e della soletta n=e c,tr /E c,s. Le variazioni tensionali ai lembi della trave di precompresso sono invece le seguenti, dove al contrario della soletta non è presente il termine F r /b 0 s per le ragione precedentemente esposte. 65

66 e s Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p F F e + r r σ r, ss = yss (5.56) id Jid F F e + r r σ r, si = ysi (5.57) id Jid ccorciamento εr della soletta libera dovuto al ritiro ccorciamento εr della soletta libera dovuto al ritiro bo Fr G Fr e Fr Figura 7.18 variazione dello stato tensionale causato dal ritiro del calcestruzzo della soletta Esempio 5.14: Si valutino gli effetti del ritiro della soletta sullo stato tensionale della trave dell esercizio 5.12 considerando un ambiente con umidità relativa del 60% e un calcestruzzo per la realizzazione della soletta di classe C28/35. Dalla tabella 6.4 si ricava che la deformazione da ritiro per essiccamento è pari a 0.38 / mentre il parametro k H desumibile dalla tabella 6.5 vale 1.0 essendo h 0 < 100. La deformazione da ritiro soletta vale dunque 0.038%. La forza nella soletta dovuta al ritiro risulta: F s = 0.038/ = 1857 kn MPa x 9.36 MPa MPa d' y 7.63 MPa

67 La variazione dello stato tensionale nella trave vale, secondo le 7.28, 7.29 Fr Fr e Fr σ r, cs = + ycs = MPa idn Jidn b0s Fr Fr e Fr σ r, ci = + yss = MPa idn njid b0s Fr Fr e σ r, ss = + yss = MPa id Jid Fr Fr e σ r, si = + ysi = MPa J id id L influenza della viscosità La differente natura dei materiali di cui sono costituiti trave soletta comporta ad opera dei fenomeni lenti, e in particolare della viscosità, una variazione dello stato tensionale. Come per il ritiro, se immaginiamo di separare soletta e trave e di far avvenire i fenomeni lenti in maniera indipendente e poi tentassimo di ricostituire la continuità, ciò non sarebbe in generale possibile per la nascita di deformazioni diverse nella soletta e nella trave. Il problema è in generale iperstatico. Sicché per valutare le sollecitazioni provenienti dalla ricostituzione della continuità occorrerà imporre condizioni di congruenza in corrispondenza della superficie di contatto tra soletta e trave. Lo spostamento generico di un punto sulla superficie (della trave o della soletta) sarà dato dall equazione seguente: u t ( x, t) = uel ( x, t ) + φ ( t, τ )uel ( x, τ ) dτ (5.58) t 0 67

68 Fabrizio Paolacci Progetto di travi in c.a.p dove φ è la funzione di viscosità del calcestruzzo (della trave o della soletta). Il problema si presenta generalmente piuttosto complesso e per il quale si rimanda a testi specializzati. i fini della sicurezza, come già affermato in precedenza, si adotta generalmente l ipotesi che le cadute di tensione vengano scontate prima della realizzazione della soletta, in presenza quindi del solo peso proprio della trave [ntonini, 1986], [Giangreco, 1992].