Perdite istantanee e Cadute lente in travi di CAP

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1 Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di Ingegneria Laurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione Corso di Cemento Armato Precompresso A/A Perdite istantanee e Cadute lente in travi di CAP

2 Introduzione La forza di precompressione non può in generale ritenersi costante, sia perché spesso applicata in fasi successive, sia perché risulta influenzata da fenomeni in grado di generare cadute di tensione nei cavi, che possono essere di natura istantanea o differita nel tempo in accordo con lo schema seguente Predite e cadute Lente Istantanee Viscosità Ritiro Rilassamento Accorciamento elastico Attrito Rientro ancoraggi

3 Cadute di tensione lente: la viscosità La Teoria della viscoelasticità lineare prevede che per il calcolo della deformazione nel cls si possa utilizzare la seguente formulazione: ( ) σ c σ c ε c t = ε el + ε v = + Φ ( t, t 0 E E ) t t c La parte di deformazione viscosa (2 termine) produrrà inevitabilmente un accorciamento del cls e, data l ipotesi di perfetta aderenza, anche dell acciaio, generando così una perdita di tensione nei cavi. A tempo infinito, quest ultima si può calcolare assumendo la deformazione dell acciaio ε p =ε v. Di conseguenza la variazione di tensione nell acciaio si esprimerà come segue: c,el ( t 0, ) Epεc,el = Φ( t0, ) Ep = Φ( t, ) nσ c, el Δσ v = Φ 0 Ec c σ 0

4 Cadute di tensione lente: la viscosità NOTA: La tensione elastica nel calcestruzzo si calcola mettendo in conto la precompressione scontata delle perdite istantanee, il peso proprio, i sovraccarichi permanenti e variabili; questi ultimi andranno considerati solamente nel caso in cui essi siano di natura quasi permanente. I sovraccarichi variabili in combinazione rara o frequente non dovranno essere considerati. c,el ( t 0, ) Epεc,el = Φ( t0, ) Ep = Φ( t, ) nσ c, el Δσ v = Φ 0 Ec σ σ c,el = N i A + N e i W M + M G p+q W Variabili quasi permanenti

5 Cadute di tensione nel calcestruzzo Cadute di tensione lente: la viscosità - Esempio Esempio 5.5: Con riferimento all esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione dovute alla viscosità della trave ipotizzando un ambiente con umidità del 75% e un tempo di applicazione della precompressione t 0 =15gg. Si ipotizzi che il contributo M p+q sia legato esclusivamente a carichi variabili in combinazione rara. Per il caso esaminato l area esposta risulta essere pari a A=1.125 m 2, (si trascurano le armature), mentre il perimetro p=7.5m. Quindi il parametro vale h 0 =300. Poiché l umidità è pari al 75% il coefficiente di viscosità a tempo infinito vale φ (,t=15gg)=2.2. Il coefficiente di omogeneizzazione può essere calcolato a partire dalle caratteristiche meccaniche dei materiali, desumibili dalla tabella 4.3.

6 Cadute di tensione lente: la viscosità - Esempio Poiché la tensione elastica del calcestruzzo σ c,el in esercizio, considerando il soli carichi e sovraccarichi permanenti (i variabili sono in combinazione rara) a livello del cavo vale 8.95 MPa, (vedi figura 5.8), la corrispondente variazione di tensione nel cavo dovuta alla viscosità risulta essere:! v =,t 0!n!! c,el = = MPa Che corrisponde percentualmente a una perdita di forza di precompressione pari a: ΔN=Δσ v A p = = 557 kn (12.3%)

7 Cadute di tensione lente: Il ritiro Come già visto la normativa attuale prevede un calcolo analitico della deformazione da ritiro in funzione delle condizioni ambientali, della geometria e della qualità del calcestruzzo. La caduta di tensione nell armatura di precompressione dovuta al ritiro è quindi valutabile semplicemente moltiplicando la deformazione fornita dalla normativa per il modulo elastico dell armatura di precompressione, ipotizzando che tale deformazione sia uniformemente distribuita sulla sezione. Δσ = rit E ε p rit Ritiro da essiccamento Ritiro Autogeno ε rit *L L

8 Cadute di tensione lente: Il ritiro Esempio 5.6: Sempre con riferimento all esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione dovute al ritiro nella trave ipotizzando un ambiente con umidità del 75% e un tempo di applicazione della precompressione t 0 =15gg Il valore medio a tempo infinito della deformazione per ritiro da essiccamento ha l espressione: ε cd, = k h ε c0 (5.29) Poiché il coefficiente h 0 = 300, il coefficiente k h risulta essere pari a 0.75 (vedi tabella 4.7). Poiché la resistenza cilindrica caratteristica del calcestruzzo è pari a 29 MPa e l umidità relativa è pari al 75% per determinare la deformazione di base ε c0 occorre interpolare i valori riportati in tabella 4.6, che forniscono un valore pari a

9 Cadute di tensione lente: Il ritiro La deformazione per ritiro autogeno si desume direttamente dalla relazione seguente: 6 ( f 10) 10 ε ca, = 2. 5 ck = Il valore di deformazione totale dovuta al ritiro vale dunque: ε cs = = 0.234/1000 La perdita di tensione corrispondente nel cavo è la seguente: Δσ r = 0.234/ = 48 MPa che in termini di sforzo di precompressione risulta: ΔN = = 216 MPa kn, ossia una perdita del 4.8 %

10 Cadute di tensione lente: effetto combinato Il calcolo delle cadute di tensione così come in precedenza illustrato è basato sull ipotesi di non-interdipendenza dei fenomeni lenti. L ipotesi di tensione costante per il calcolo della viscosità verrebbe meno non appena si considerasse la contemporanea presenza del rilassamento dell acciaio che varia la tensione nel cavo. Vale naturalmente anche l opposto. Sicché è necessario determinare l entità di questa interazione reciproca. F=cost d=cost Condizioni di Viscosità Ideali Condizioni di Rilassamento Ideali Interazione

11 Cadute di tensione lente: effetto combinato A tale fine l Eurocodice 2 (p. 5.46) prevede l utilizzo della seguente espressione N pr =A p! p,c+s+r =A p! cs E p +0.8! pr + Ep 1+ E p Ap Ecm Ac E cm!(t,t 0 )! c,qp 1+ A c e cp φ(t,t 0 ) Ic Δσ p,c+s+r ε cs E p E cm Δσ pr A p A c I c e cp è il valore assoluto della variazione della tensione nei cavi dovuta alla viscosità, al ritiro e al rilassamento, valore calcolato al tempo t e nella sezione x il valore assoluto della deformazione dovuta al ritiro del calcestruzzo il modulo elastico dell acciaio il modulo elastico medio del calcestruzzo la variazione di tensione nell armatura di precompressione dovuta al rilassamento dell armatura di precompressione stessa. Area dell armatuta di precompressione Area della sezione di calcestruzzo Momento d inerzia della sezione di calcestruzzo eccentricità delle armature di precompressione ϕ(t,t 0 ) funzione di viscosità al tempo t, con riferimento al tempo inziale t 0 σ c,qp Tensione nel calcestruzzo a livello del cavo di precompressione

12 Cadute di tensione lente: effetto combinato L espressione precedente può essere facilmente dedotta immaginando di prendere un elemento di calcestruzzo di lunghezza unitaria in corrispondenza del cavo e uguagliando la variazione di deformazione del cavo a quella del calcestruzzo Acciaio CLS N 0 +ΔN Effetto di viscosità causato dalla variazione di N χ=0.8 ΔN Δ ε p = ε N 0 p0 Variazione di def Nell acciaio ΔN Δε = ε rit + εv + ε ril + ε c + N ( 1 χ( t ) φ( t,t )) c Variazione di deformazione nel cls

13 Cadute di tensione lente: effetto combinato Ricordando infine che N 0 =A p σ p0 e tenendo conto del segno opposto delle tensioni nell acciaio e nel calcestruzzo si ottiene l equazione Δε = Δ p ε c La normativa sottovaluta il contributo del rilassamento con una diminuzione del 20% ΔN Epεrit + nφ( t,t0 ) σc Δσ = N0 σ p0 nσ c 0( φ( t,t0 )) ril σ c = N A + Ne J e = N A (1+ A J e2 ) Tensione nel cls a livello del cavo

14 Cadute di tensione lente: effetto combinato - Esempio Esempio 5.7: Con riferimento all esercizio 5.4 si calcolino le cadute di tensione combinate della trave ipotizzando che le cadute per rilassamento siano pari a Δσ ril = 150 MPa e le cadute dovute alla viscosità e al ritiro siano quelle calcolate negli esercizi 5.5 e 5.6. Per la soluzione occorre semplicemente applicare la formula seguente: N pr =A p! p,c+s+r =A p! cs E p +0.8! pr + E p E cm!(t,t 0 )! c,qp 1+ E p E cm A p A c 1+ A c 2 I e cp 1+0.8φ(t,t 0 ) c =45! =990 KN ( ) Ciò corrisponde, in termini percentuali, a una caduta di tensione totale pari al 22%, essendo N 0 =4500 kn.

15 Perdite di tensione istantanee Oltre alle cadute di tensione che sono, come visto, differite nel tempo, esistono altre cause che all atto della precompressione diminuiscono il tiro inizialmente imposto. Esse sono le così dette perdite di tensione istantanee che si manifestano in maniera diversa in travi a cavi posttesi e travi a cavi pre-tesi. Nel caso di travi a cavi post-tesi il fenomeno delle perdite di tensione è dovuto essenzialmente all attrito tra guaina e il cavo, al rientro degli ancoraggi dei cavi e alle perdite al martinetto. Queste ultime due cause sono in genere di entità minore e quindi spesso vengono trascurate. Nelle travi a cavi pre-tesi le perdite di tensione si manifestano all atto del taglio delle armature dopo la maturazione del getto a causa dell accorciamento elastico del calcestruzzo.

16 Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito N 1 α Per effetto della curvatura del cavo, su di esso agisce una pressione p, pari al rapporto tra lo sforzo normale N e il raggio di curvatura R in generale variabile lungo il cavo: A ds dα p p t B N 2 p = N R N 2 = 1 N e f cα dn = f c p ds = f c N R Rdα = f Ndα c f α c Δσ = σ ( 1 e ) 1 Perdite dovute all attrito cavo-guaina

17 Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito La normativa europea, alla quale la normativa italiana rimanda per la valutazione delle perdite dovute all attrito, suggerisce i valori del coefficiente d attrito riportati in Tabella Tabella Valori di f c secondo l EC2 Tipo di armatura Coefficiente d attrito Fili trafilati a freddo 0.17 Trefoli 0.19 Barre con risalti 0.65 Barre lisce 0.33 Nei tratti rettilinei, non essendoci alcuna variazione angolare, si dovrebbe assumere in teoria una perdita per attrito nulla. La normativa però considera, anche per tali tratti, una variazione di tensione, che dipende però oltre che dal coefficiente d attrito f c, anche dalla lunghezza L del tratto considerato: ΔN = N( 1 e f c k L ) Il termine k è la variazione angolare espressa per unità di lunghezza del cavo ed è generalmente compresa nell intervallo < k < 0.01 rad/m.

18 Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito Nel caso di cavi con variazioni angolari e tratti lineari multipli, le perdite di tensioni per attrito possono essere valutate ancora con le 5.38 e 5.40 dove α ed L rappresentano ora la somma delle variazioni angolari e le lunghezze dei tratti rettilinei % ' ΔN = N 0 ' 1 e ' & % f ' c α i + ' & i j ( kl * j * ) ( * * * ) Formula per il calcolo delle perdite d attrito nel caso di andamento generico del cavo Le variazioni angolari αi si possono ricavare una volta noto l andamento geometrico del cavo.

19 Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito - esempio Esempio 5.8: Valutare le perdite dovute all attrito cavo-guaina nella sezione di mezzeria della trave precompressa a cavi post-tesi indicata in figura. h A d p B f C D b L h (cm) b (cm) A p (cm 2 ) Dati trave L (m) f (m) d p (cm) L r (m) ,5 La trave è costituita da una tratto rettilineo centrale di lunghezza 5 m e due tratti parabolici di lunghezza 12.5 m e altezza f

20 Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito - esempio Esempio 5.8: Valutare le perdite dovute all attrito cavo-guaina nella sezione di mezzeria della trave precompressa a cavi post-tesi indicata in figura. h A d p B f C D b L Si assume inoltre che i coefficienti d attrito abbiano i seguenti valori, come suggerito dalla normativa: f c = 0,3 [1/rad] nel caso si utilizzino guaine metalliche! k = 0,01 [rad / m]

21 Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito - esempio TIP: Per la valutazione dell angolo α si può ricavare l equazione della parabola che descrive la forma del cavo tramite i seguenti passaggi per valutare poi il valore della derivata prima in testa alla trave (punto A):! =!!! +!" +! y x I coefficienti della parabola si possono determinare imponendo che: y 0! =0 y ' 0! =0 y ' l! =f a= =0,0064;!!!!b=0 ;!!!!c=0 tan! = d dx y(l)!=0,16 rad

22 Travi a cavi post-tesi: perdite per attrito - esempio Ora è possibile calcolare la perdita di tensione nel cavo dovuta all attrito, assumendo N 0 = 4500 KN e L r = lunghezza del tratto rettilineo di metà trave: Δσ att = N 0 A p 1-e -f c a+kl =69,413 MPa La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza: N= σ attr A p =242,9 KN corrispondente al 5.4%

23 Travi a fili pretesi: perdite per accorciamento elastico del cls Nel caso di travi a fili pre-tesi non sussistono ne perdite per attrito ne tanto meno perdite per rientro degli ancoraggi. Le uniche perdite sono dovute all accorciamento elastico del calcestruzzo all atto del taglio dei cavi ad avvenuta maturazione dello stesso ε p = ε c = N 0 E c A c! # " 1+ e2 J A $ & = ε c G k % ΔN p = A p E p ε p = A p nσ c,0 k Per il calcolo dell accorciamento del cavo è sufficiente, per l ipotesi di perfetta aderenza, determinare l accorciamento del cls a livello del cavo stesso.

24 Travi a fili pretesi: perdite per accorciamento elastico del cls Una via diretta per determinare la predita nel cavo per accorciamento elastico del cls in funzione dei parametri meccanici e geometrici in gioco è la seguente:! ( ε p0 ε c ) E p A p = ε G E c A c ε c = ε G 1+ e2 J A $ # & = ε c G k " % Equilibrio alla traslazione Δσ p = N 0 A p + A c nk ε c = ε po 1 1+ A c na p k Si esprime la deformazione del cls ε c a livello del cavo in funzione di quella media ε G. Imponendo l equilibrio alla traslazione della sezione di trova la perdita in funzione di N 0, A P, A c, n e k

25 Travi a fili pretesi: perdite per accorciamento elastico: esempio Esempio 5.9: Si consideri una trave in c.a.p., realizzata con calcestruzzo di classe C35/45, precompressa a mezzo di fili pretesi la cui area totale è A p =10 cm 2 e il cui cavo risultante presenta eccentricità costante e=25 cm. La sezione è rettangolare 40 x 80 cm, mentre lo sforzo iniziale N 0 è pari a 1350 kn. Si calcoli la perdita di precompressione dovuta all accorciamento elastico del calcestruzzo all atto della precompressione della trave. L area della sezione di calcestruzzo è A c =3200 cm 2 coefficiente k della 5.43 risulta essere: mentre il k= 1+ e2 J A c = =2.17

26 Travi a fili pretesi: perdite per accorciamento elastico: esempio Essendo il calcestruzzo di classe C35/45 il modulo elastico medio del calcestruzzo risulta pari a E cm =34 GPa, sicché il coefficiente di omogeneizzazione n è uguale a Applicando la 5.45 si ottiene la perdita di carico richiesta: N= A pn 0 A p + A = c nk =52.10 MPa che corrisponde ad una perdita in percentuale del 3.80%.

27 Effetto mutuo dei cavi nella post-tensione Nel caso di travi in c.a.p. a cavi post-tesi in cui i cavi vengano tesati in tempi differenti, uno alla volta, oppure come più spesso accade, in gruppi, sussiste una perdita per accorciamento elastico del cls che si manifesta sui cavi una volta che solamente un gruppo venga tesato. N1 N2 Il cls si accorcia per l azione di N1 sul cavo 1 il quale produrrà anche un accorciamento del cavo 2 e quindi una sua perdita indiretta Analogamente l azione di N2 sul cavo 2 produrrà un accorciamento del cavo 1 e quindi una perdita indiretta analoga a quella del cavo 1

28 Effetto mutuo dei cavi nella post-tensione Nel caso di travi in c.a.p. a cavi post-tesi in cui i cavi vengano tesati in tempi differenti, uno alla volta, oppure come più spesso accade, in gruppi, sussiste una perdita per accorciamento elastico del cls che si manifesta sui cavi una volta che solamente un gruppo venga tesato. Il valor medio delle perdite in ciascun cavo può essere valutato come segue: ΔN EMC = A p E p j Δ σ c ( t ) E ( t ) cm dove n 1 j = 2n dove Δσ c (t) è la perdita al tempo t riferita al baricentro delle armature di precompressione E cm (t) è il modulo elastico del cls al tempo t, n è il numero delle armature, A p è l area delle stesse ed E p è il loro modulo elastico. Se il numero di cavi è elevato è ammesso adottare j=1/2.

29 Altri fenomeni RIENTRO DEGLI ANCORAGGI Esso si manifesta per effetto delle elevate tensioni nel cls che può subire plasticizzazioni locali. Ciò produce un rientro degli ancoraggi e una conseguente perdita di tensione nei cavi. Essa è di difficile determinazione e in genere si valuta mediante test di natura sperimentale. RIENTRO CUNEI DEGLI ANCORAGGI E dovuto al non perfetto serraggio dei cavi da parte dei cunei. La sua entità è una caratteristica dell ancoraggio e viene fornita dalla casa produttrice degli ancoraggi