Meccanica Razionale. Remo Garattini

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1 Meccanica Razionale Remo Garattini pril 9, 005

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3 CONTENTS Esercizio n Esercizio n

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5 ESERCIZI SU EQUIIRIO DI CORPI RIGIDI 5 Esercizio n.9 Il sistema illustrato nella gura seguente è costituito da aste, nodi e forze appartenenti ad un piano. ssumendo che le aste siano senza peso, determinare tutte le reazioni vincolari. p C α Per risolvere l esercizio più agevolmente occorre fare una premessa. Si de nisce "iella" un asta non soggetta a carichi (né concentrati né distriuiti) e vincolata alle estremità mediante due cerniere.si isola l asta dal resto della struttura e si mettono in evidenza, in accordo col principio di azione e reazione, le reazioni vincolari ~, q p r s

6 6 ~, ~ e ~ scamiate tra l asta e le due cerniere. q p Φ r Φ Φ s Φ equilirio dell asta richiede l annullarsi del vettore risultante in forza ( R) ~ e del momento risultante ( M) ~ rispetto ad un polo aritrario (in questo caso si sceglie il punto ): ( ~R = ~ + ~ = 0! ~M = ^ ~ = 0 Se ciascuna reazione viene sostituita dai due vettori componenti rispettivamente paralleli ( ~ == e ~ == ) e ortogonali (~? e ~? ) alla congiungente, le equazioni di equilirio divengono le seguenti (si noti che ~ == è parallelo al vettore! ): Φ // Φ a Φ Φ // 8 < : ~R = ~ == + ~? + ~ == + ~? = 0! ~M = ^ ~ == + ~? =! ^ ~? = 0 De niti il versore ~ k ortogonale al piano a cui appartiene l asta e i seguenti versori: 8 < ~a = (! )! j j = (! ) : ~ = ~ k ^ ~a

7 7 si proiettano i risultanti ~ R e ~ M ottenendo le seguenti equazioni scalari: 8 >< >: ~R ~a = == + == = 0 ~R ~ =? +? = 0 ~M ~! k = ^ ~? ~ k =? = 0 a soluzione del sistema fornisce il seguente risultato: 8 < : == = ==? = 0? = 0 ovvero, per una iella equilirata le reazioni vincolari hanno come retta d azione la congiungente le due cerniere (), sono caratterizzate dalla stessa intensità = == = == e da versi opposti Φ Φ esercizio proposto può essere ora risolto in modo più agevole. Si isolano tutti gli elementi che compongono la struttura (aste e nodi) e si mettono in evidenza le reazioni vincolari nel rispetto del principio di azione e reazione. Φ C p C Φ C Φ C Φ C Φ Φ Φ 3 Φ Φ 3 Φ 3 Φ 3 3 Φ Φ Φ ()

8 8 equilirio di ciascuna iella viene imposto secondo quanto discusso nella premessa. Come conseguenza le incognite del prolema si riducono alle 6 intensità indicate nella gura seguente ( ; ; 3 ; H ; V ; ). p Φ Φ C Φ Φ Φ H Φ V Φ Φ Φ 3 Φ 3 α 3 β Φ Φ Φ 3 Φ 3 Φ equilirio dei nodi porta a scrivere le seguenti equazioni: 8! X FH = RH = H + cos () + 3 = 0 " X FV >< = RV = V + sin () = 0! X FH = RH = 3 cos () = 0 " X FV = RV = + sin () = 0! X FH C >: = RH C = cos () + cos () = 0 " X FV C = RV C = p sin () sin () = 0 in cui =. Risolvendo il sistema e utilizzando le relazioni trigonometriche sin () = sin = cos () cos () = cos = sin () si ottiene: = p cos () tan () = p cos () 8>< 3 = p cos () sin () H = 0 >: V = p sin () = p cos () Si noti che e sono negativi: per le convenzioni assunte le aste e risultano compresse; 3 è invece positivo, ovvero l asta 3 è tesa.

9 Esercizio n.0 Una lamina di spessore uniforme t giace in un piano verticale ed è caratterizzata da un peso speci co. Essa è vincolata mediante una cerniera nel punto indicato in gura. Determinare l intensità della forza F ~, applicata in, che garantisce l equilirio della con gurazione illustrata. 9 F Per determinare F si potree isolare la lamina dalla cerniera e applicare in la reazione vincolare ~ che la cerniera fornisce alla lamina. e tre equazioni scalari di equilirio che si scrivono permettono di ricavare le due componenti di ~ e l intensità F. In questo caso però non è richiesto il calcolo della reazione ~ ; è allora possiile determinare F utilizzando una sola delle tre equazioni di equilirio, ma solo se questa non contiene come incognite le componenti della reazione ~. unica equazione che non contiene tali incognite è quella di equilirio alla rotazione quando si sceglie come polo il punto : infatti, in questo caso la forza ~ ha raccio nullo. Dalla precedente osservazione si può dedurre che F può essere determinata anche senza staccare la lamina dalla cerniera, purché l equazione che si scrive sia l equilirio alla rotazione rispetto al polo. Si noti anche che il movimento permesso dalla cerniera alla lamina è la rotazione attorno ad. Questa stretta relazione tra l unica equazione di equilirio e l unico movimento permesso dai vincoli non è casuale, e verrà successivamente generalizzata ai sistemi di corpi rigidi caratterizzati da un numero nito di gradi di liertà mediante il concetto di "lavoro". equazione di equilirio alla rotazione rispetto ad coinvolge anche il peso speci co della lamina; il suo contriuto può essere valutato mediante le proprietà del aricentro: è su ciente calcolare il peso totale della lamina e applicare tale forza nel suo aricentro G. Se non si conosce la posizione di G conviene suddividere idealmente la lamina in gure di cui si conosce la posizione di ogni aricentro G i. In questo caso si possono, ad esempio, individuare i due rettangoli indicati in gura; i loro aricentri (G e G ) sono facilmente determinaili in ase ad un altra proprietà del aricentro: se il solido ammette un asse di simmetria il aricentro vi

10 0 appartiene. Un rettangolo ammette due assi di simmetria e, dunque, il aricentro si trova nel punto di intersezione dei due assi. F G p 3 G p In questo caso si ha: = = mentre per i pesi delle due lamine rettangolari: p = t p = t + equilirio alla rotazione rispetto ad si scrive: X M = M tot = p p + F = 0 da cui si ricava: F = (p + p ) = F = t t + t + Una soluzione alternativa si può ricavare osservando che, in questo particolare caso, la posizione del aricentro G può essere determinata a priori. Infatti, la lamina è simmetrica rispetto alla retta inclinata di indicata nella gura seguente 4 e il aricentro vi deve appartenere. Ma, per un altra proprietà dei aricentri, G

11 deve anche appartenere alla retta che congiunge i due aricentri G e G. Dunque, G deve necessariamente coincidere col punto di intersezione delle due rette indicate in gura. G G G 3 x π/4 4 G a distanza x può essere determinata mediante la proporzione seguente 3 = 4 4 x x da cui si ricava x = = G = + x = ( + ) 6 = + = ( + ) 6

12 F p G G Imponendo l equilirio si ottiene: X M = M tot = p G + F = 0 in cui p = p + p = t. Risolvendo rispetto a F si ricava: F = p 3 G = (t) = t valore che coincide con quello precedentemente trovato