Statica del corpo rigido. Condizioni di equilibrio. Calcolo delle Reazioni Vincolari
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- Gilberta Esposito
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1 Statica del corpo rigido Condizioni di equilibrio Calcolo delle Reazioni incolari Obiettivo della lezione: apprendere le equazioni cardinali della statica e applicarle al calcolo delle reazioni vincolari. Calcolare le reazioni vincolari per strutture semplici ed articolate
2 Equilibrio del punto materiale Un corpo soggetto all azione di forze esterne tipicamente è costretto a muoversi di moto accelerato Tuttavia in certe situazioni, esistono particolari rapporti tra le forze applicate tali che il moto venga a mancare del tutto o sia di tipo rettilineo uniforme Queste condizioni vengono dette «di equilibrio statico» Nel caso del punto materiale sottoposto ad un sistema di forze, la condizione di equilibrio si esperime come segue: x 0 0 y 0 z 0 Nel piano
3 Equilibrio del corpo rigido Nel caso del corpo rigido le relazioni di equilibrio vedono coinvolte non solo le forze ma anche i momenti generati dalle forze stesse Infatti un corpo rigido si trova in equilibrio quando sono verificate due relazioni vettoriali indipendenti 1) a somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo è nulla ) a somma vettoriale dei momenti applicati al corpo, calcolati rispetto ad un punto qualsiasi, è nulla Queste vengono definite «equazioni cardinali della statica»
4 Equilibrio del corpo rigido e due equazioni vettoriali corrispondono a due terne di equazioni scalari (nello spazio) e a tre equazioni scalari nel piano e precisamente: Nello spazio x 0 M Ox 0 0 y 0 M O 0 M Oy 0 z 0 M Oz 0 Nel piano i due sistemi si riducono a: x 0 y 0 M Oz 0 Osserviamo che il numero di equazioni per l equilibrio corrisponde al numero di gradi di libertà da bloccare affinché si ottenga l equilibrio.
5 Reazioni vincolari Come abbiamo visto, i corpi rigidi interagiscono con il riferimento fisso tramite i vincoli, dei quali abbiamo precedentemente analizzato il comportamento cinematico (ossia i movimenti consentiti ed impediti) Tuttavia, in presenza di forze esterne, i vincoli esercitano forze che, per il principio di zione e Reazione, sono uguali alle forze applicate in modulo e direzione ma di segno opposto Tali forze vengono chiamate «reazioni vincolari» In particolare, le reazioni vincolari agenti sul corpo saranno uguali e contrarie alle azioni che il vincolo applica sul mondo esterno (nel caso di vincolo esterno) o sull asta adiacente (nel caso di vincolo interno). Dunque le reazioni vincolari, unitamente alle forze esterne applicate, costituiscono un sistema di forze per le quali deve essere garantita la condizione di equilibrio secondo le leggi della statica dei corpi rigidi.
6 Reazioni vincolari Nelle applicazioni pratiche, alcuni dei carichi agenti sulla struttura (forze e momenti) sono noti e si definiscono carichi attivi o esterni. ltre forze, in particolare quelle esercitate dai vincoli che collegano la struttura in studio al mondo esterno, sono incognite e devono essere determinati analiticamente affinché sia verificato l equilibrio della struttura. Queste sono le reazioni vincolari orza muscolare Peso palla
7 Reazioni vincolari Nelle applicazioni pratiche, alcuni dei carichi agenti sulla struttura (forze e momenti) sono noti e si definiscono carichi attivi o esterni. ltri, in particolare quelli esercitati dai vincoli che collegano la struttura in studio al mondo esterno, sono incogniti e devono essere determinati analiticamente affinché sia verificato l equilibrio della struttura. Queste sono le reazioni vincolari Metà peso corporeo Metà peso corporeo
8 Reazioni esercitate dai vincoli semplici Incastro Questo vincolo elimina tutte le tre libertà di movimento possibili del corpo rigido, quindi è un vincolo triplo (3 Gd). M e reazioni vincolari H e reazioni vincolari sono costituite da due forze in direzione orizzontale e verticale (H e ) e da un momento (M ). E importante il verso delle reazioni vincolari? Come deve essere determinato? Inizialmente non dobbiamo preoccuparcene. In generale si procede ad ipotizzare un verso (casualmente o con criterio) che sarà successivamente confermato (o smentito) dal risultato delle equazioni di equilibrio
9 Reazioni esercitate dai vincoli semplici Cerniera Questo vincolo consente solo la rotazione dell asta, quindi è un vincolo doppio ( Gd). e reazioni vincolari H e reazioni vincolari sono costituite da due forze ortogonali alla superficie di appoggio della cerniera (terra, H e ). Spesso si esplicitano le componenti in direzione normale e tangenziale rispetto all asta (N e T )
10 Reazioni esercitate dai vincoli semplici Cerniera Questo vincolo consente solo la rotazione dell asta, quindi è un vincolo doppio ( Gd). e reazioni vincolari H T N e reazioni vincolari sono costituite da due forze in direzione orizzontale e verticale (H e ) o in alternativa in direzione normale e tangenziale rispetto all asta (N e T ) Differenza? Quando calcoleremo le azioni interne, saremo interessati ai contributi normali (azione normale, trazione/compressione) e tangenziali (taglio)
11 Reazioni esercitate dai vincoli semplici Cerniera con carrello Questo vincolo consente la rotazione dell asta e la sua traslazione orizzontale, impedendo solo lo spostamento verticale, quindi è un vincolo semplice (1 Gd). e reazioni vincolari unica reazione vincolare del carrello è costituita da una forza verticale ortogonale alla direzione di scorrimento
12 Reazioni esercitate dai vincoli semplici Cerniera con carrello Questo vincolo consente la rotazione dell asta, e la sua traslazione orizzontale quindi è un vincolo semplice (1 Gd). e reazioni vincolari a forza di reazione è sempre perpendicolare alla direzione di scorrimento del carrello T N nche in questo caso può risultare conveniente scomporre la reazione nelle sue componenti T (parallela all asse della trave) e N (ortogonale all asse della trave)
13 Reazioni esercitate dai vincoli semplici Pattino C Questo vincolo consente solo la traslazione lungo la retta di scorrimento, senza rotazioni ( Gd), quindi con rotazione nel punto all infinito in direzione perpendicolare alla retta di traslazione (CIR). M c C R c e reazioni vincolari e reazioni vincolari sono costituite da una forza in direzione perpendicolare alla retta di scorrimento (R C ) e da un momento (M C ).
14 incoli tra corpi rigidi (vincoli interni) Consideriamo ora i vincoli che permettono il collegamento tra due o più aste nel piano, valutando le reazioni vincolari interne presenti C D Se separiamo due aste collegate rigidamente o spezziamo un asta singola, possiamo mettere in evidenza due forze presenti nel punto di separazione (Rx e Ry) e un momento (Mz) Perchè sia garantito l equilibrio, nei due spezzoni di asta saranno presenti forze e momenti uguali e contrari M z R y R x R x M z C R y D
15 incoli tra corpi rigidi (vincoli interni) Nel caso di cerniere interna tra due aste, la separazione delle aste permette di evidenziare due forze presenti nel punto di separazione in direzione orizzontale e verticale (C O e C ) o in direzione normale e tangenziale (C N e C T ) Nelle due aste saranno presenti forze uguali e contrarie. C sta 1 sta C v C T C N sta 1 C o sta 1 C N C T C o sta sta C v Utilizzo del sistema di riferimento assoluto Utilizzo delle componenti normale e tangenziale
16 Carichi esterni e reazioni vincolari Generalmente nelle applicazioni strutturali sono presenti sui componenti o sistemi carichi esterni noti (forze e momenti), derivanti dalla funzione svolta, e reazioni vincolari originate dai vincoli che collegano il corpo o il sistema con il mondo esterno (a terra). H M
17 Carichi esterni e reazioni vincolari Generalmente nelle applicazioni strutturali sono presenti sui componenti o sistemi carichi esterni noti (forze e momenti), derivanti dalla funzione svolta, e reazioni vincolari originate dai vincoli che collegano il corpo o il sistema con il mondo esterno (a terra). Nelle operazioni da effettuare per il calcolo delle reazioni vincolari (incognite), possiamo utilizzare le seguenti regole: 1) e forze applicate possono essere traslate lungo la propria retta di applicazione, in quanto tali traslazioni non cambiano le condizioni di equilibrio nel corpo rigido.
18 Carichi esterni e reazioni vincolari d O O O O ) e forze applicate possono essere spostate lungo una retta parallela, a patto di aggiungere un momento (denominato «momento di trasporto») pari al prodotto dell intensità della forza per la distanza tra le rette di applicazione.
19 Carichi esterni e reazioni vincolari 3) d un insieme di forze applicate nello stesso punto del corpo rigido è possibile sostituire la loro risultante (somma vettoriale).
20 Carichi esterni e reazioni vincolari e equazioni di equilibrio del corpo rigido 1) a somma vettoriale di tutte le forze applicate al corpo è nulla ) a somma vettoriale dei momenti applicati al corpo, calcolati rispetto ad un punto qualsiasi, è nulla possono essere utilizzate per calcolare le reazioni vincolari, operazione necessaria per configurare e dimensionare opportunamente il vincolo (ad es. cuscinetto) ma soprattutto per poter valutare quali sono gli effetti dei carichi esterni (e delle corrispondenti reazioni vincolari) sulla condizione di sollecitazione interna della struttura.
21 Esempio 1 Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della struttura in figura a b (-a) Gd 3 (1 asta) Gd +1 3 Il sistema è isostatico H Sostituiamo ai vincoli le reazioni relative ai movimenti impediti N.. la scelta del verso non è rilevante! Nomenclatura reazioni?
22 Esempio 1 H a b Sostituiamo ai vincoli le reazioni relative ai movimenti impediti Scriviamo le equazioni di equilibrio Traslazione orizzontale x 0 H 0 Traslazione verticale y Sistema di riferimento? Rotazione intorno al punto Scelta del polo? M 0 a l 0 a l
23 Esempio 1 H Sostituiamo ai vincoli le reazioni relative ai movimenti impediti a b l b l a l l a l a l a 1 l b l a
24 Esempio Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente: Peso corporeo W W/ W/ /4 / /4 H W/ W/
25 Esempio /4 /4 / W/ W/ H Scriviamo le equazioni di equilibrio Traslazione orizzontale 0 x Rotazione intorno al punto Traslazione verticale 0 H 0 y M W W W W W W x y
26 Esempio /4 /4 / W/ W/ H Rotazione intorno al punto Traslazione verticale 0 y W W W + 0 W W W W W W W x y W W
27 Carichi concentrati e carichi distribuiti ino ad ora sono stati presi in esame carichi esterni agenti sulla struttura espressi attraverso forze cosiddette concentrate Tuttavia, nella pratica ingegneristica è frequente il caso di carichi cosiddetti distribuiti (si pensi ad esempio al caso di un tetto ricoperto da uno strato di neve)
28 Carichi concentrati e carichi distribuiti Ripartizione del carico corporeo (tronco + cosce) sulla seduta di una postazione di operatore di gru portuale
29 Carichi concentrati e carichi distribuiti Poiché stiamo prendendo in esame strutture piane, i carichi distribuiti sono espressi mediante un rapporto tra forza e lunghezza orza unghezza N m i fini del calcolo delle reazioni vincolari, è importante stabilire entità e posizione della risultante del carico ripartito Tale compito è semplice quando la distribuzione delle forze è costante (caso più frequente) o segue una legge geometrica ben definita
30 Carichi concentrati e carichi distribuiti Tuttavia, nei casi più generali la risultante del carico distribuito si ottiene dall integrazione della legge di distribuzione del carico, ossia: e la sua posizione (sull asse delle x) è quella del centroide dell area in esame, che si ottiene dalla relazione: una volta determinato modulo e punto di applicazione della risultante del carico distribuito, si procede all applicazione delle equazioni di equilibrio come visto in precedenza
31 Esempio di calcolo Si vogliono calcolare le reazioni vincolari della struttura rappresentata in figura. N.: è possibile applicare il principio della sovrapposizione degli effetti. Il carico può essere immaginato come somma di una distribuzione uniforme (rettangolare) di entità 10 e un carico triangolare di entità massima 160 Una volta determinate entità e posizione delle risultanti, si procede al calcolo delle reazioni vincolari applicando le equazioni cardinali della statica
32 Esempio di calcolo
33 Esempio di calcolo
34 Esempio di calcolo
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39 Esempi Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari delle seguenti strutture N H N H500 N 5 q1000 N/m N
40 Esempi N 45 q000 N/m C q000 N/m M 100 N m
41 Esempio 8 Calcoliamo le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente: N 45 C
42 Esempio 7 R 45 R o Scriviamo le equazioni di equilibrio Traslazione orizzontale x 0 R O R cos 45 0 R 0 Traslazione verticale y 0 R + R P 0 R P 0 R P Rotazione intorno al punto M 0 M + P l 0 M P l
43 Esempio 8 Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari dell asta in figura vincolata isostaticamente: 000 N.0.0
44 Esempio 8 Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente:
45 Esempio 8 Traslazione orizzontale x 0 R 0 Traslazione verticale y 0 R P 0 R P Rotazione intorno al punto O M O 0 M + P a R a 0 M P a P a M P a
46 Esempio 9 Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente: In questa struttura è presente una coppia concentrata (momento concentrato)
47 Esempio 10 Calcoliamo ad esempio le reazioni vincolari della seguente asta vincolata isostaticamente: 3500 N q4000 N/m
48 Esempio 11 q100 N/m R R H
49 Esempio 10 R R H a b c Scriviamo le equazioni di equilibrio Traslazione orizzontale x 0 H 0 Traslazione verticale y 0 R + R q ( a + b + c) 0 Rotazione intorno al punto M 0 R b a b + c ( q a) + b ( q b) ( q c) 0
50 Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi Esempio: arco a tre cerniere (sistema isostatico di corpi rigidi più semplice) / Gd 6 ( aste) Gd ++ 6 Il sistema è isostatico α C H C H C C
51 Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi H C H C C Come visto in precedenza, le reazioni possono anche essere espresse in termini di componenti normale e tangenziale all asta. tale proposito si ricordi che le componenti dirette come l asta non generano momento. Questa schematizzazione sarà utile per il calcolo delle azioni interne (che vedremo più avanti) H H C H C C H
52 Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi C C e componenti normali e tangenziali delle reazioni vincolari originarie possono essere calcolate tenendo presente che ciascuna di esse, scomposta nelle due direzioni, dà un contributo sia alla reazione normale che a quella tangenziale Reazione Comp. normale Comp. tang H C H Cn H C sen α H Ct H C cos α C Cn C cos α Ct C sen α
53 Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi H H C H C C H Esaminiamo l asta. ffinché questa non ruoti, è necessario che la reazione sia nulla, quindi l unica reazione residua è H
54 Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi H C H C H C Esaminiamo l asta. ffinché questa non ruoti, è necessario che la reazione sia nulla, quindi l unica reazione residua è H Se ne deduce che, per l equilibrio, deve risultare H H Ovviamente dobbiamo cancellare anche dall asta C Esaminiamo l asta C Per l equilibrio alla traslazione orizzontale la componente della forza in direzione dell asta deve essere uguale alla reazione H C cos α + H ' C 0 H ' C cos α
55 Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi H C H C H C Ora imponiamo l equilibrio alla rotazione dell asta C intorno al punto C H ' l + senα l 0 H ' senα l l senα Equilibrio alla traslazione in direzione tangenziale cos α + H ' C 0 H ' C cos α
56 Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi Infine imponiamo l equilibrio alla traslazione in direzione normale H C C C H H α α α α 0 0 ' ' ' ' sen sen sen H sen C C C + Quindi riassumendo: α α α cos ' ' ' ' H sen sen H H C C
57 Equilibrio di un insieme isostatico di corpi rigidi y x sta C ruotata. a forza è inclinata dell angolo α rispetto alla direzione dell asta. Possiamo scomporla in due componenti x y cos α senα e componenti normali e tangenziali delle reazioni vincolari originarie possono essere calcolate tenendo presente che ciascuna di esse, scomposta nelle due direzioni, dà un contributo sia alla reazione normale che a quella tangenziale Reazione Comp. normale Comp. tang H C H Cn H C sen α H Ct H C cos α C Cn C cos α Ct C sen α H C C
58 Esempio 1 Gd 6 ( aste) Gd h α C / D Il sistema è isostatico M H D C H H
59 Esempio 1 D C H Reazione Comp. normale Comp. tang H H n H cos α H t H sen α n sen α t cos α H Imponiamo l equilibrio alla rotazione rispetto al punto C c Imponiamo l equilibrio alla traslazione verticale C ' ' ' ' Imponiamo l equilibrio alla traslazione orizzontale 0 ' H Ciò implica che H 0 α
60 Esempio 11 Imponiamo l equilibrio alla rotazione rispetto al punto cos 1 0 h M h H M M h H b α H M 1 cos 1 cos ' ' α α α α sen sen H H Imponiamo l equilibrio alla traslazione verticale α 1 0 sen Imponiamo l equilibrio alla traslazione orizzontale α cos 1 0 H H H H H
61 Esempio 1
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