PARAMETRI ELASTICI E TERMOFISICI DEL SILICIO CRISTALLINO

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1 RAP TECHNICAL NOTE 006 INFN-LNF, Frascati 9/1/2009 PARAMETRI ELASTICI E TERMOFISICI DEL SILICIO CRISTALLINO A. Marini

2 La nota contiene dati di riferimento a temperature ambiente e di interesse criogenico relativi a: 1. Struttura cristallina del silicio puro (pag. 3) 2. Costanti elastiche (pag. 4) 3. Moduli elastici (pag. 5) 4. Espansione termica (pag. 6) 5. Densità di massa (pag. 7) 6. Velocità del suono (pag. 7) 7. Calore specifico (pag. 9) 8. Conducibilità termica (pag. 10) 2

3 1) Struttura cristallina del silicio puro Il silicio cristallino (c-si) puro cristallizza in una struttura diamantina costituita da un reticolo cubico face-centered (Figura 1) Figura 1 Cella unitaria di cristallo cubico a struttura diamantina (carbonio)[1] La notazione cristallografica di Miller, basata su terne di interi, consente di identificare una direzione all interno di un cristallo. Nel caso di cristalli cubici le direzioni [100], [010], [001] possono essere fatti coincidere con gli assi x, y, z di un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (Figura 2). Figura 2 - Notazione di Miller: alcune direzioni in un cristallo cubico 3

4 2) Costanti elastiche La legge di Hooke generalizzata descrive la relazione fra sforzi e deformazioni: 3 3 " ij = ## c ijkl $ kl (i, j =1,2,3), k=1 l=1 dove i, j sono gli indici delle coordinate cartesiane, σ e ε sono i tensori del secondo ordine rispettivamente degli sforzi e delle deformazioni, c è il tensore del quarto ordine di elasticità. Ad esempio, σ 22 è lo sforzo nella direzione y e σ 23 è lo sforzo di taglio fra le direzioni y e z. A causa della simmetria dei tensori degli sforzi e delle deformazioni, la precedente relazione assume una forma ridotta mediante le posizioni 11!1, 22! 2, 33!3, 32!4, 31!5 e 21!6. La forma ridotta è: 6 s i = " C ij e j (i =1,...,6) j=1 Gli sforzi hanno le dimensioni di una pressione, le deformazioni sono adimensionali e di conseguenza gli elementi della matrice C hanno le dimensioni di una pressione. Le costanti elastiche per un cristallo a simmetria cubica sono 3 (C 11, C 12, C 44 ) e concorrono a definire la matrice C nella forma seguente: C 11 C 12 C C 12 C 11 C C 12 C 12 C C C C 44 I valori di riferimento per le costanti elastiche (espressi in Pa) a temperature rilevanti a fini criogenici sono i seguenti: T [K] C 11 C 12 C 44 Rif [2] [3] [2] 4

5 3) Moduli elastici Il c-si puro è un materiale anisotropo. L anisotropia in un cristallo cubico è quantificata da: A = 2C 44 C 11 " C 12 che assume il valore A=1 per cristalli isotropi. La tabella seguente mostra il valore di A al variare della temperatura: T [K] A Una conseguenza consiste nel fatto che i moduli elastici assumono valori diversi al variare delle direzioni interne al cristallo. Per esempio, la seguente figura, tratta da Rif [4], mostra i valori del modulo di Young (unità Pa) a temperatura ambiente nel piano (100), ortogonale a [100]: Il lavoro di Rif. [4] fornisce le indicazioni per il calcolo esatto (da eseguirsi numericamente, una volta nota la direzione) dei principali moduli elastici. Nel contesto di questa nota è possibile solo indicare i valori medi in approssimazione isotropa, applicando i metodi riportati in Rif. [5]. La media di Voigt è appropriata per deformazioni locali. La media di Reuss è appropriata in casi in cui i campi degli sforzi sono a lungo range. Adottando la notazione: B - Bulk modulus (modulo di compressibilità) [10 11 Pa] µ - Shear modulus (modulo di elasticità tangenziale) [10 11 Pa] ν - Rapporto di Poisson E - Modulo di Young [10 11 Pa] 5

6 si ottengono i seguenti risultati: T [K] B (Voigt) T [K] µ ν E (Reuss) T [K] µ ν E E da notare, inoltre, che i dati riportati in letteratura per µ, ν, E, a temperatura ambiente ed in approssimazione isotropa, corrispondono entro qualche permille alla media aritmetica delle determinazioni Voigt e Reuss. 4) Espansione termica Una tabulazione del coefficiente di dilatazione termica lineare (α) per il silicio puro, con limite inferiore in temperatura a 10 K, è disponibile in Rif. [6]. Va notato che α è negativo nell intervallo di temperature compreso approssimativamente fra 20 e 120 K. Questo implica che un riscaldamento locale a queste temperature determina una contrazione del materiale. Inoltre, alle basse temperature, esistono dati sperimentali [7] a partire da 2 K. Tuttavia, esiste una discrepanza di circa il 40% fra i dati di Rif. [6] e Rif. [7] a T=10 K. Fatta salva l osservazione precedente, la tabella seguente contiene i valori di α ottenuti mediante interpolazione polinomiale sui dati disponibili nei riferimenti citati. T [K] α [10-6 K -1 ] Interpolazione su dati in Rif [6] [6] [6] [6] [7] 6

7 5) Densità di massa La tabella seguente mostra la densità del silicio puro T [K] ρ [kg m -3 ] ) Onde elastiche in cristalli cubici e velocità del suono [8] Le orientazioni in un cristallo cubico puro secondo le quali possono essere trasmesse un onda longitudinale (L) pura e due trasversali (T) pure sono tre: [100], [110], [111]. In particolare, lo studio della direzione [110] consente la determinazione delle tre costanti elastiche. Infatti, le velocità del suono in questa direzione sono: v 1 = v L = C 11 + C C 44 2" (direzione lungo [110]) v 2 = v T = C 44 " (direzione lungo [001]) v 3 = v T = C 11 " C 12 2# (direzione lungo [11 0]) E stato inoltre dimostrato che in un cristallo cubico, qualunque sia la direzione di propagazione, si ha: v v v 3 2 = invariante La tabella seguente mostra le tre velocità per la direzione [110] unitamente a quella derivata dall invariante. T [K] Velocità [m s -1 ] v 1 v 2 v 3 v inv

8 Il Rif. [8] fornisce indicazioni per il calcolo delle tre velocità secondo una generica direzione nel cristallo. Ai fini della valutazione delle velocità medie in approssimazione isotropa si può ricorrere al metodo mostrato in Rif. [9], in cui: v L = B + 4 µ 3 " e v T = µ " Nelle relazioni precedenti il valore del modulo di compressibilità (B) è quello già ricavato in precedenza (cfr. paragrafo 3), mentre il valore del modulo di elasticità tangenziale ( µ ) viene ottenuto mediante una procedura iterativa in cui la condizione iniziale è il valore µ di Voigt o di Reuss (cfr. paragrafo 3). I dati riportati in letteratura per v L e v T a temperatura ambiente ed in approssimazione isotropa, corrispondono approssimativamente (entro il per mille) alla media aritmetica delle determinazioni Voigt e Reuss, che sono mostrati nelle seguenti tabelle. Le tabelle mostrano anche la velocità del suono media ottenute utilizzando la relazione [10]: 3 = v M v L v T T [K] Velocità [m s -1 ] (Voigt) v L v T v M T [K] Velocità [m s -1 ] (Reuss) v L v T v M Infine, sono riportate per completezza, le tabelle relative alla velocità estensionale, v BAR, definita da: 8

9 v BAR = E " Come è noto, v BAR è la velocità del suono in cilindri sottili per i quali il raggio è molto minore della lunghezza. Per cilindri tozzi cristallini, in assenza di informazioni sulle direzioni di propagazione, è preferibile usare v L e v T, o, al limite v M. 7) Calore specifico T [K] v BAR [m s -1 ] (Voigt) T [K] v BAR [m s -1 ] (Reuss) Per derivare i dati mostrati nella seguente tabella sono state effettuate interpolazioni polinomiali sui valori riportati in Rif. [11] (1 K T 100 K) e sui valori riportati in Rif. [12] per T>100 K T [K] c P [J g -1 K -1 ] Interpolazione su dati in Rif [12] [12] [12] [11] [11] 9

10 8) Conducibilità termica Il Rif. [12] contiene i valori di conducibilità (κ) a partire da T=1 K. L interpolazione polinomiale dei dati fornisce i valori contenuti nella seguente tabella. T [K] κ [W cm -1 K -1 ] Riferimenti [1] Wikipedia Voce Diamond cubic [2] J.J Hall, Phys. Rev. 161, 756 (1967) [3] H. J. McSkimin, J. Appl. Phys. 24, 988 (1953). [4] V. Kaajakari, Silicon as an anisotropic mechanical material - a tutorial, [5] Properties of Crystalline Silicon, Edited by R.Hull, pag.101. EMIS Note No. 20, IET(1999) ISBN [6] G. K. White and M. L. Minges, Int. J. Thermophys. 18, 1269 (1997) [7] P.W. Sparks and C.A. Swenson, Physical Review 163, 779 (1967) [8] Handbook of elastic properties of solids, liquids and gases-vol. II, Edited by M. Levy and L. Furr, pag. 15, Academic Press (2001) ISBN [9] Rif. [8], pag.104 [10] Rif. [8], pag. 105 [11] Handbook of Chemistry and Physics 73rd Edition CRC Press Inc, (1992) ISBN [12] Handbook of Chemistry and Physics 83rd Edition CRC Press Inc, (2002) ISBN