Legame costitutivo. elastico lineare isotropo e anisotropo elastoplastico

Transcript

1 Analisi e progettazione strutturale via FEM Prof. Elio Sacco Legame costitutivo elastico lineare isotropo e anisotropo elastoplastico Lezioni tratte da: Leone Corradi dell Acqua Meccanica delle Strutture, McGraw-Hill, 1992

2 LEGAME ELASTICO-LINEARE ISOTROPO Un materiale isotropo non presenta direzioni preferenziali di comportamento e il suo legame costitutivo risulta indipendente dal sistema di riferimento in cui le componenti di sforzo e deformazione sono rappresentate. L'energia di deformazione dipende dalla deformazione solo attraverso i suoi invarianti: I i, i = 1, 2, 3, funzioni lineare, quadratica e cubica delle componenti di deformazione. Per legami costitutivi lineari, ω è una forma quadratica (l'invariante cubico non compare): λ e G costanti di Lamé. Il legame di un materiale elastico-lineare e isotropo è governato da due sole costanti indipendenti.

3 Le componenti della tensione si determinano come: Nota Se le deformazioni sono riferite alla terna principale, si ha γ ij = 0 per cui risulta che anche τ ij = 0: in un materiale elastico-lineare e isotropo le direzioni principali di sforzo e deformazione coincidono. Ciò risulta verificato per ogni comportamento isotropo, anche non elastico. Definizione ingegneristica delle costanti elastiche E modulo elastico di Young ν coefficiente di contrazione trasversale (di Poisson). Il legame assume la forma:

4 PRINCIPALI LEGAMI ANISOTROPI Un materiale è detto ortotropo se il suo comportamento è simmetrico rispetto a tre assi (x, y, z) mutuamente ortogonali, noti come direzioni principali del materiale. La condizione che il legame risulti invariante rispetto a rotazioni di 180 attorno a tali assi stabilisce alcune relazioni tra le costanti: E X indica il modulo elastico nella direzione principale x, ν xy coefficiente di contrazione trasversale in direzione y dovuta a uno sforzo uniassiale in direzione x, G xy modulo di elasticità tangenziale in piani paralleli a (x, y), indipendente dalle altre costanti. Nella relazione tensione - deformazione compaiono 12 costanti, di cui 9 sono indipendenti. L'esistenza di un'energia di deformazione richiede infatti che la matrice elastica risulti simmetrica.

5 Se il materiale presenta inoltre simmetria di rotazione attorno a uno di questi assi, ad esempio z, il materiale è detto trasversalmente isotropo. Il numero delle costanti indipendenti si riduce allora a 5 e il legame diventa: Questo legame è isotropo nel piano (x, y), che è di simmetria per il materiale; in esso, il coefficiente µ che governa le contrazioni trasversali nel piano dovute a σ z è numericamente diverso da ν. Il modulo diretto secondo z è E z = E/n, mentre Z indica il modulo di elasticità tangenziale in piani paralleli all'asse z.

6 IL LEGAME ELASTO-PLASTICO INCREMENTALE FORMULAZIONE DEL LEGAME UNIASSIALE Si percorra la storia tensione-deformazione OABCDE. Fino al punto A (cioè fino a che non si raggiunge lo sforzo σ = o di snervamento a trazione) il comportamento è elastico-lineare con σ = Eε. Quando la curva si inoltra sul tratto AB si generano deformazioni permanenti. Se si scarica dal punto B solo parte della deformazione precedentemente prodotta viene recuperata. Al punto C (scarico completo) sarà presente una deformazione residua pari a ε B σ ο1 /E, dove E indica la pendenza del segmento CB.

7 Proseguendo lo scarico, il diagramma si mantiene rettilineo fino al punto D, raggiunto il quale iniziano a prodursi deformazioni permanenti di segno opposto alle precedenti. Il corrispondente livello di sforzo σ = σ 02 èin generale diverso dal valore σ = -σ 0 di snervamento a compressione per il materiale vergine. Un intervallo come BD può essere considerato elastico, nel senso che variazioni di sforzo σ al suo interno corrispondono a variazioni di deformazione ε reversibili e legate a σ attraverso la rigidezza E.

8 Una descrizione analitica del legame richiede che nella deformazione ε siano distinguibili i contributi elastico e e permanente o plastico p: Nell'ipotesi che la pendenza allo scarico si mantenga invariata, si ha: Se σ viene rimosso, la deformazione elastica viene interamente recuperata mentre p permane. La natura irreversibile delle deformazioni plastiche esige che il legame costitutivo dipenda dalla storia di carico e sia quindi formulato in termini incrementali. Gli incrementi di sforzo e di deformazione sono indicati con Nota:iI comportamento elasto-plastico è indipendente dal tempo, che gioca solo il ruolo di variabile ordinatrice; la velocità con cui si verifica il processo di carico non ha importanza reale, anche se deve essere tale da non indurre fenomeni dinamici. & σ & ε

9 Occorre distinguere tra due situazioni. 1. Se il processo incrementale ha inizio da un punto interno all'intervallo elastico istantaneo (ad esempio, da un punto sul segmento BD, con esclusione degli estremi), la risposta incrementale è puramente elastica & σ = E & ε. 2. A partire da uno degli estremi dell'intervallo invece, nel processo incrementale possono prodursi deformazioni plastiche p, a trazione o a compressione, e la risposta è diversa a seconda che queste effettivamente si producano o che si abbia scarico. A partire dal punto B valgono le seguenti alternative modulo tangente

10 La curva uniassiale permette di distinguere cinque casi.

11 a) E t > 0 (incrudimento). Valgono le alternative I legami diretto ed inverso sono entrambi univocamente definiti. b) E t = 0 (plasticità perfetta). Il legame diretto è quindi univocamente definito. Non è univocamente definito il legame inverso. Risulta infatti

12 c) 0 > E t > - (incrudimento negativo o softening). Il legame diretto è univocamente definito. Non è invece definito il legame inverso in quanto a non è associata alcuna soluzione, mentre con & σ < 0 sono compatibili entrambe le risposte d) ed e) (softening critico e sub-critico) configurano situazioni in cui la curva tensione-deformazione cade verticalmente o più che verticalmente.

13 LEGAME ASSOCIATO Nell'ambito dell'ipotesi di piccoli spostamenti le deformazioni elastiche e plastiche contribuiscono additivamente alla deformazione totale: D ijkl tensore elastico definito. In termini incrementali si ha: La formulazione analitica del legame richiede che vengano definiti: a) un dominio elastico istantaneo, che identifichi gli stati di sforzo che corrispondono a situazioni potenzialmente plasticizzabili; b) una legge di scorrimento, che governi gli incrementi di deformazione plastica.

14 Il dominio elastico istantaneo viene definito imponendo che una o più funzioni di plasticità siano non-positive dove X sono quantità che controllano le modifiche nel dominio elastico indotte dalla plasticizzazione. Il legame detto associato ipotizza che a ogni istante le funzioni ϕ definiscano un dominio convesso nello spazio delle componenti di sforzo. Legge di scorrimento con ovvero ( ) ϕ σij, X = 0 = 1,..., Y (KT) Se ϕ <0 il punto rappresentativo dello stato di sforzo si trova all'interno del dominio elastico istantaneo e & λ : la risposta incrementale è puramente elastica. = 0 Deformazioni plastiche si possono produrre & λ > 0 solo se il punto si trova sulla frontiera del dominio e si mantiene su di essa nel processo incrementale & ϕ = 0 cono delle normali (Prager) deformazione plastica diretta secondo la normale uscente al dominio ϕ = 0

15 Legame elasto-plastico incrementale Funzioni di attivazione Equazioni costitutive - Equazioni di stato - Equazioni evolutive Equazione di consistenza & ϕ & λ ( ij X h ) ϕ σ, = 0 = 1,..., Y = 0 f & σ & (& ε & ) & β σ σ β 0 = pq + X = Dpqrs rs prs + pq pqrs rs σ ij γ = γ f γ Dpqrs σ pq σrs β ij γ f γ = Dpqrs & εrs & λγ + & λγ σ pq σrs β D & ε ( ) ( ) σ = D ε p X = f β p& ij ijkl kl kl kl = & λ & β = & λ Y Y = 1 σ kl = 1 β: variabile interna

16 Deformazione plastica incrementale γ Dpqrs σij σkl p& kl = γ f γ Dpqrs σ pq σrs β Legame costitutivo incrementale D & σ = D (& ε p& ) = D I ε ϕ ϕ γ ϕ f ϕ γ Dpqrs σ pq σrs β γ pqrs σij σkl & ij ijpq pq pq ijkl klrs rs & ε rs Matrice tangente t Dijpq = Dijkl Iklrs γ Dpqrs σij σkl ϕ ϕ γ ϕ f ϕ γ Dpqrs σ pq σrs β

17 Problema 1D σ 0 σ Plasticità perfetta Deformazione totale ε = e+ p ε Legame σ = Ee Funzione di plasticità Legge evolutiva Carico/scarico (KT) ϕ = σ σ 0 p& = & λ = & λsgn ( σ) σ & λ 0 ϕ 0 & λϕ = 0

18 Problema 1D Plasticità con incrudimento isotropo Deformazione totale Legame ε = e+ p σ = Ee X h = H h β σ 0 σ σ 0 + X h ε σ 0 + X h Funzione di plasticità Legge evolutiva Carico/scarico (KT) ( 0 X h ) & sgn ( ) ϕ = σ σ + p& = & λ = λ σ σ & β = & λ = & λ h & λ 0 ϕ 0 & λϕ = 0

19 Problema 1D σ 0 σ σ X c Plasticità con incrudimento cinematico Deformazione totale ε = e+ p σ X c ε Legame σ = Ee X c = H c β Funzione di plasticità Legge evolutiva Carico/scarico (KT) X c ϕ = σ σ0 p& = & λ = & λsgn ( σ) σ & β = & λ = & λsgn σ c & λ 0 ϕ 0 & λϕ = 0 ( )