Scritto Appello IV, Materia Condensata. AA 2017/2018

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1 Scritto Appello IV, Materia Condensata AA 017/018 17/07/018 1 Esercizio 1 Un metallo monovalente cristallizza nella struttura cubica a corpo centrato La densità degli elettroni del metallo è n el = m 3, la velocità del suono è v s = 3400 m/s e la densità di massa vale ρ = 7900 kg/m 3 Le tre branche acustiche sono degeneri e hanno relazione di dispersione: ω(k) = 4C M sin ( ) ka 1 Determinare la massa degli atomi che costituiscono il cristallo (3 pt) Calcolare la costante elastica e la temperatura di Debye (3 pt) 3 Calcolare il calore specifico a 5 K e a 000 K (4 pt) Esercizio Sul piano x y è disposto un reticolo cristallino bidimensionale quadrato di passo reticolare a = Å Su ogni nodo del reticolo è disposto un atomo trivalente con orbitali s e p z Si utilizzi il modello del legame forte (tight binding), limitando l interazione ai primi vicini e trascurando l integrale di sovrapposizione E i ( k) = E i,0 R γe i k R Siano E 0,s = 195 ev, E 0,pz = 03 ev, γ s = 03 ev, γ pz = 01 ev 1 Discutere i segni degli integrali di sovrapposizione γ i (1 pt) Determinare l espressione delle bande E i ( k) (3 pt) 3 Quanto vale il valore della gap a centro zona? ( pt) 1

2 4 Il materiale si comporta come un metallo o come un isolante? (1 pt) 5 Quanto vale il tensore di massa efficace dell elettrone di conduzione a centro zona? (3 pt) 3 Esercizio 3 Un semiconduttore viene drogato con atomi accettori in concentrazione N A = m 3 ed energia di legame ɛ a A T = 10 K le lacune hanno un tempo medio di scattering τ h = s e una mobilità µ h = 075 m /Vs La costamte di Hall alla stessa temperatura vale R H = 8 m 3 /C Le masse efficaci di elettroni e lacune sono uguali ed indipendenti dalla temperatura Si ha che ɛ g = 5 ɛ a, dove ɛ g è l energia di gap 1 Determinare la conducibilità a T = 10 K (3 pt) Determinare il valore di ɛ a (3 pt) 3 Determinare la conducibilità elettrica a T = 300 K sapendo che a questa temperatura τ h = τ e /3 = s (4 pt) 1 uma = Kg, e = C, m e = Kg, K B = J/K = ev/k, h = J s = ev s, 1 ev = K = J

3 4 Soluzioni 41 Esercizio 1 1 Essendo il metallo monovalente, n el = n at Inoltre per l fcc n at = 4/a 3 Il parametro reticolare è dunque: ( ) 1/3 4 a = = 40 Å n el La massa M si può ricavare dal dato sulla densità ρ = 4M a = Mn 3 at : M = = kg ρ n at La velocità del suono è v s = a 4C M = a C M, da cui: C = v s M = 910 N/m a La temperatura di Debye è: Θ D = h k B v s q D = h k B v 3 s 6π n at = h 40 K k B v s a 3 4π = 3 A 5 K << Θ D, per cui possiamo utilizzare il limite delle basse temperature di Debye ( ) 3 c v (5 K) = 1π4 5 K 5 n atk B = 388 J/(m 3 K) 40 K A 000 K >> Θ D e possiamo usare l approssimazione di alte temperature con la formula di Dulong-Petit, per cui 4 Esercizio c v (000K) = 3 n at k B = J/(m 3 K) 1 La sovrapposizione tra orbitali s e quella tra orbitali p z sono entrambe positive, di conseguenza γ s > 0 e γ pz > 0 sia lungo la direzione x che lungo la direzione y Dato che l interazione è limitata a primi vicini e che tali atomi si trovano nelle posizioni R = (±a, 0) e R = (0, ±a), si ha per la banda s E s ( k) = E 0,s R γ s e i k R = = E 0,s γ s ( e i k x a + e i kx a + e i ky a + e i ky a) = = E 0,s γ s [cos (k x a) + cos (k y a)] 3

4 Procedendo in maniera analoga per la banda associata agli orbitali p z, si ottiene E pz = E 0,pz γ pz [cos (k x a) + cos (k y a)] Alla fine le bande di energia avranno la forma E s ( k) = E 0,s γ s [cos (k x a) + cos (k y a)], E pz ( k) = E 0,pz γ pz [cos (k x a) + cos (k y a)] 3 A centro zona, Γ = (0, 0), le bande valgono E s (Γ) = E 0,s 4 γ s = 075 ev, E pz (Γ) = E 0,pz 4 γ pz = 01 ev Di conseguenza la gap di energia a centro zona vale E s (Γ) E pz (Γ) = 085 ev 4 Essendo il cristallo composto da atomi trivalenti, la banda p z, quella a energia più bassa, completamente occupata e la banda s occupata a metà, il materiale si comporta come un conduttore 5 La massa efficace degli elettroni di conduzione si ricava dalla banda s ed è data da ( m ij( k) = h E( ) 1 k) k i k j In questo caso la matrice è diagonale e si ha A centro zona si ha e quindi E s ( k) kx E s ( k) ky E s ( k) k x = γ s a cos (k x a) = γ s a cos (k y a) = E s ( k) = γ s a Γ Γ k y m s,xx(γ) = m s,yy(γ) = h a γ s = Kg 4

5 43 Esercizio 3 1 A 10 K si ha: p(10 K) = 1 q R H (10 K) = m 3 e la conducibilità risulta essere µ h σ(10 K) = q p µ h = R H (10 K) = 7 10 m 1 Ω 1 Vale la relazione con ( NV (T ) N A p(t ) = exp ɛ ) a K B T (1) ( ) m 3/ V K B T () N V (T ) = 1 4 π h Invertendo la relazione (1) si trova l energia di legame degli accettori ( ) ɛ a = K B T ln p(t ) N V (T ) N A Per ricavare la massa m V usiamo la mobilità a 10 K: m V = q τ h µ h = Kg e inserendo nella () otteniamo N V (10K) = 8 10 m 3 Infine si ricava ( ) ɛ a = K B (10 K) ln p(10 K) = K B K = ev N V (10 K) N A 3 Per capire in quale regime siamo a 300 K, controlliamo la densità di portatori intrinseci p i (T ) = ( N C (T ) N V (T ) exp ɛ ) g = ( N C (T ) N V (T ) exp 5 ɛ ) a K B T K B T Dal momento che le masse sono uguali ed indipendenti dalla temperature, sfruttando la (), si ha che N V (T 1 ) N V (T ) = N C(T 1 ) N V (T ) = ( T1 T ) 3/ Ponendo T 1 = 300 K e T = 10 K otteniamo ( ) 3/ ( 300 K ) ev p i = N V (10 K) exp 10 K 300 K = m 3 ev/k 5

6 Dato che p i >> N A, a 300 K siamo in regime intrinseco, di conseguenza la conducibilità risulta σ(300 K) = q p i (µ h + µ e ) = q m p i(τ h + τ e ) = = q m p i(τ h + 3 τ h ) = 4 q p i τ h m = 8m 1 Ω 1 avendo usato il valore della massa a 10 K 6