Scritto Appello III, Materia Condensata. AA 2017/2018

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1 Scritto Appello III, Materia Condensata. AA 2017/ /06/ Esercizio 1 Sia un A un solido monoatomico che cristallizza in una struttura cubica a facce centrate con lato del cubo a e velocità del suono v s = 3558 m/s. Si sa che quando il cristallo viene irraggiato da un fascio di raggi X monocromatici di lunghezza d onda λ = 2.0 Å, la posizione del secondo picco di Bragg si osserva in corrispondenza dell angolo θ 2 = Trovare il valore del parametro reticolare a. 3 punti) 2. Trovare il valore della temperatura di Debye T D. 3 punti) 3. Trovare il valore del calore specifico a T 1 = 30 K e a T 2 = 3000 k. 3 punti) 4. Come cambierebbe il valore del calore specifico a T 2 nel caso il cristallo fosse biatomico? 1 punto) 2 Esercizio 2 Sia data una catena monoatomica lineare disposta lungo l asse ˆx di passo reticolare a = 1.5 Å. Su ogni nodo è disposto un atomo bivalente. 1. Scrivere la forma esplicita delle bande E s k) e E px k) risultanti dall approssimazione a tight binding a primi vicini da funzioni di tipo s e p x. Si trascurino le interazioni s p x. Siano E 0,s = 1.3 ev, E 0,px = 4.7 ev, γ s = 0.3 ev, γ px = 0.5 ev. 2.5 punti) 2. Disegnare le bande di energia. Quanto vale l energia di gap a bordo e centro zona? 2 punti) 3. Il materiale si comporta come isolante o come conduttore? Quanto vale l energia di Fermi? 2.5 punti) 1

2 4. Calcolare la massa efficace degli elettroni della banda s a centro e a bordo zona. 1 punto) 5. Scrivere l espressione della banda derivante da orbitali s nell approssimazione a secondi vicini. L integrale di sovrapposizione tra secondi vicini vale γ s,2 = 0.1 ev. Il cristallo si comporta come un isolante o come un conduttore? 2 punti) 3 Esercizio 3 Si consideri un semiconduttore drogato di tipo n con soli atomi donori che cristalliza in un reticolo cubico a facce centratef cc) con base monoatomica. In tabella sono riportati i valori della concentrazione dei maggioritari n e dei portatori intrinseci n i del campione, misurati a diverse temperature. T [K] n [cm 3 ] n i [cm 3 ] Aiutandosi con un grafico, spiegare l andamento di n in funzione della temperatura. 3 punti) 2. Calcolare l energia di gap e il drogaggio del semiconduttore. 3 punti) 3. Calcolare la concentrazione di lacune p a T = 400 K. 2 punti) 4. Calcolare la conducibilità totale del semiconduttore σ a T = 400 K, sapendo che la massa efficace degli elettroni è m e = kg e il loro tempo medio di scattering è τ = 0.1 ps. 2 punti) 1 u.m.a. = Kg, e = C, m e = Kg, K B = J/K = ev/k, h = J s = ev s, 1 ev = K = J. 2

3 4 Soluzioni 4.1 Esercizio 1 1. Il reticolo f cc ha reticolo reciproco di simmetria bcc. Dato che per un tale cristallo tutti i picchi di diffrazione sono visibili, il secondo picco di diffrazione è associato al secondo più piccolo dei vettori del reticolo reciproco, che è di modulo G 2 = 4 π a. La legge di Bragg mette in relazione il modulo di questo vettore con il modulo del vettore k scambiato dalla sonda: da cui si ricava G 2 = 2 k sin θ 2 /2) = 4 π λ sin θ 2/2) a = λ = 6.7 Å. sin θ 2 /2) 2. La temperature di Debye, supponendo che le tre branche siano degeneri, si può ricavare dalla relazione K B T D = h v s k D dove il vettore d onda di Debye si può ricavare, in tre dimensioni, da k D = 3 6 π 2 n = 3 24 π 2 a = π 2 a = m 1 avendo usato il fatto che per un reticolo fcc vale n = 4 a 3. Si ha quindi che T D = v s h k D K B = 3558 m/s Js m J/K = 250 K 3. A T 1 T D ci si trova in regime di basse temperature e si può sfruttare quindi la relazione c V T ) = C V T ) = 12 4 ) 3 T V 5 π4 a 3 K B ottenendo c V T 1 ) = J/Km 3. A T 2 T D ci si trova in regime di alte temperature, per cui si utilizza l approssimazione di Dulong-Petit per i 3N modi acustici c V T ) = 3 n K B T D e quindi c V T 2 ) = J/Km 3. 3

4 4. Nel caso in cui il cristallo fosse biatomico si avrebbero anche i modi ottici. Supponendo di essere ancora in regime di alte temperature T 2 >> T E ), si ha che anche i modi ottici contribuiscono al calore specifico con un fattore 3N. Di conseguenza c V T ) = 3 n K B + 3 n K B e quindi c V T 2 ) = J/Km Esercizio 2 1. Dato che l interazione è limitata a primi vicini e che tali atomi si trovano nelle posizioni R = ±a, si ha che E s k) = E 0,s R γ s e i k R = = E 0,s γ s e i k x a + e i kx a) = E 0,s 2 γ s cos k x a). Procedendo in maniera analoga per la banda associata agli orbitali p x, si ottiene E pz = E 0,pz 2γ pz cos k x a) La sovrapposizione tra orbitali s é positiva mentre quella tra orbitali p x é negativa, di conseguenze γ s > 0 e γ px < 0. Alla fine le bande di energia avranno la forma E s k) = E 0,s 2 γ s cos k a), E px k) = E 0,px + 2 γ px cos k a). 2. Dal disegno delle bande di energia risulta evidente come il minimo della banda s sia a centro zona e il massimo a bordo zona, mentre per la banda p x si ha il massimo a centro zona e il minimo a bordo zona. In particolare a centro zona k = 0) si hanno i E MIN s a bordo zona k = ±π/a) si hanno E MAX s = 1.9 ev e E MAX p x = 1.9 ev e E MIN p x centro zona la distanza tra le due bande risulta essere Ep MAX x Es MAX = 1.8 ev. 5.0 ev, mentre a bordo zona E MIN p x = 5.7 ev, mentre = 3.7 ev. A Es MIN = 3. Essendo il cristallo composto da atomi bivalenti e la banda s quella a energia più bassa, si ha che tale banda risulta completamente occupata. Il materiale si comporta quindi come un isolante. Dato che gli elettroni riempono tutta la banda s fino al suo massimo, si ha che l energia di Fermi corrisponde al valore che l energia di tale banda assume a bordo zona π ) E F = E s = 1.9 ev. a 4

5 4. La massa efficace degli elettroni è data da m k) = h 2 2 E ) 1 k) k 2. Per la banda s si ha da cui i valori richiesti m sk) = h 2 2 a 2 γ s cos k a), m s0) = m sπ/a) = h2 2 a 2 γ s = Kg, h2 2 a 2 γ s = Kg. 5. Nella catena lineare i secondi vicini si trovano in R = ±2a. La banda s nell approssimazione a secondi vicini diventa: E s k) = E 0,s γ s e i k a + e i k a) γ s,2 e i 2 k a + e i 2 k a) = = E 0,s 2γ s cos k a) 2γ s,2 cos 2 k a) = = E 0,s 2 γ s cos k a) 2 γ s,2 cos 2 k a) Il cristallo si comporta ancora come un isolante, in quanto le due bande non si toccano ed esiste ancora una gap non nulla notare che ora i valori massimi e minimi della banda s sono cambiati, e il massimo non si trova più a bordo zona). 4.3 Esercizio 3 1. Il grafico dei dati in tabella in funzione di 1000/T e in scala logaritmica è mostrato in figura. Nel regime di alte temperature, corrispondente alla prima pendenza del grafico, il semiconduttore drogato si comporta come un intrinseco. La pendenza è proporzionale all energia della gap. T = 400 K segna il passaggio al regime di temperature intermedie e la concentrazione di elettroni n non varia con la temperatura ed è pari al drogaggio. A T = K inizia la seconda pendenza del grafico, proporzionale all energia di ionizzazione dei donori, e il semiconduttore lavora in regime di basse temperature. 2. L energia della gap si trova dalla pendenza della prima parte del [ grafico: ] in prima approssimazione possiamo considerare che nt ) exp Eg 2 k B T. Valutando in due punti che appartengono al regime intrinseco, possiamo estrarre il valore di E g : ln / ) = E g 2 k b )K 1 5

6 da cui risulta E g = ev. Il drogaggio è pari al valore del plateau nel grafico, corrispondente al regime di temperature intermedie: N D = cm Per la legge della massa d azione si ha che: p400) = n2 i 400) n400). I valori sono riportati in tabella, per cui si ha: p400) = cm 3 = cm 3 10 n400). 4. A T = 400 K la conducibilità sarà dovuta principalmente ai maggioritari, poiché p400) n400). Di consuguenza si ha σ = n e µ = n e2 τ m e = Ω 1 m 1 6