Elettronica dello Stato Solido Lezione 10: Strutture a bande in due e tre dimensioni

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1 Elettronica dello Stato Solido Lezione 10: Strutture a bande in due e tre dimensioni Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano ielmini@elet.polimi.it

2 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 2 Outline Il reticolo reciproco Zone di Brillouin in 2D Zone di Brillouin in 3D Strutture a bande di semiconduttori reali Gap diretto e gap indiretto Conclusioni

3 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 3 Definizione di reticolo reciproco Dato un reticolo diretto (spazio reale) R=n 1 a 1 +n 2 a 2 +n 3 a 3, si consideri l onda piana e ik*r, dove r = vettore spaziale qualunque In generale l onda piana non ha la stessa periodicità del reticolo diretto Reticolo reciproco = il reticolo di punti K tali che e ik*r ha la stessa periodicità del reticolo reale, cioè: i K R r i K r i K R e e e 1 K R 2 n

4 Costruzione del reticolo reciproco D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 4 Un vettore K del reticolo reciproco soddisfa K = m 1 b 1 +m 2 b 2 +m 3 b 3, con: b b b a2 a3 2 a a a a3 a1 2 a a a a1 a2 2 a a a bi aj 2 ij K R 2 n m n m n m Volume della cella unitaria

5 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 5 Reticolo reciproco in 1D 1D: il reticolo di passo a ha come reticolo reciproco il reticolo di passo 2 /a E III ZB II ZB Prima zona di Brillouin II ZB III ZB IV ZB k -3 /a -2 /a - /a 0 + /a +2 /a +3 /a +4 /a

6 Reticolo reciproco in 2D 2D: il reticolo quadrato di passo a ha come reticolo reciproco il reticolo quadrato di passo 2 /a k 2 k 1-3 /a -2 /a - /a 0 + /a +2 /a +3 /a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 6

7 Zone di Brillouin Le ZB si definiscono come celle di Wigner Seitz del reticolo reciproco k 2 1 k 1-3 /a -2 /a - /a + /a +2 /a +3 /a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 7

8 Zone di Brillouin Le ZB si definiscono come celle di Wigner Seitz del reticolo reciproco k k 1-3 /a -2 /a - /a + /a +2 /a +3 /a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 8

9 Zone di Brillouin Le ZB si definiscono come celle di Wigner Seitz del reticolo reciproco k k 1-3 /a -2 /a - /a + /a +2 /a +3 /a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 9

10 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Zone di Brillouin in 2D Per arrivare alla n-esima zona, si possono oltrepassare solo n-1 piani di Bragg

11 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Struttura a bande in 2D Elettroni liberi paraboloide E k 1 k 2 È più facile trattarlo in due dimensioni usando il concetto di superficie di Fermi = superficie isoenergetica Significato fisico = contiene gli stati che vengono riempiti preferenzialmente dagli elettroni 2 E k k 2m

12 Superficie di Fermi: elettroni liberi D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido k 2 k 1-2 /a - /a 0 + /a +2 /a

13 Deformazione bande paraboliche D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido La parabola degli elettroni liberi in 1D si deformava a causa dell apertura del gap Lo stesso accade per il paraboloide in 2D E [ev] /a D k [m -1 ]

14 Deformazione della superficie di Fermi D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido k 2 k 1-2 /a - /a 0 + /a +2 /a

15 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Elettroni quasi liberi k 2 k 1-2 /a - /a 0 + /a +2 /a

16 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Reticolo reciproco in 3D R. Diretto R. Reciproco IZB Cubico semplice Cubico corpo centrato (BCC) Cubico facce centrate (FCC)

17 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Zona di Brillouin dell FCC Punti ad alta simmetria, di cui i principali sono: G = centro banda X = punto di simmetria lungo la direzione (100) L = punto di simmetria lungo la direzione (111)

18 Superfici di Fermi in 3D D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 18

19 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Struttura a bande in 3D Nel caso di semiconduttori reali, le superfici di Fermi non sono immediate: può essere preferibile studiare l andamento dell energia lungo le direzioni ad alta simmetria, e.g. G-X e G-L

20 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Ge, Si e GaAs Ge Si GaAs E G =0.66 ev E G =1.12 ev E G =1.42 ev

21 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Banda di valenza Massimo della BV sempre in G (k=0) BV = 3 sottobande, di cui 2 degeneri in k = 0 (lacuna leggera e lacuna pesante) e una con energia inferiore (banda di split-off) Bande essenzialmente isotrope presso k = 0 Ge Si GaAs

22 BC composta da varie sottobande Posizione del minimo diversa per i materiali: Ge punto L degenerazione = 8/2 = 4 Si 80% di G-X degenerazione = 6 GaAs G no degenerazione, minimo isotropo D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Banda di conduzione Ge Si GaAs

23 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Superfici di Fermi k z k z k z Ge Si GaAs k y k x k x k y k x g = 8/2 = 4 g = 6 g = 1 Forma della superficie isotropia/anisotropia delle masse efficaci (sfera = m* isotropa, ellissoide = m* anisotropa) Numero delle superfici degenerazione g dei minimi in BC k y

24 Anisotropia della massa Si k z E E k x0 k x k y E* E* E C Nell intorno del minimo, l energia può essere scritta in forma parabolica: E EC k x kx 0 k y k z 2ml 2mt 2mt m* l = massa longitudinale = nella stessa direzione dell asse k su cui si trova il minimo m* t = massa trasversale = nella direzione perpendicolare all asse k su cui si trova il minimo k x0 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido k x E C k y

25 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Masse efficaci Si, Ge superfici di Fermi = ellissoidi di rivoluzione (per simmetria m y = m z = m* t ) Ge l espressione di E è identica a quella del Si, ma al posto di k x, k y e k z si usa la terna delle diagonali GaAs massa unica isotropa, superficie di Fermi = sfera C x y z E E k k k 2 m * Banda di valenza masse isotrope m* hh, m* lh, m* so

26 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Masse efficaci in Si, Ge e GaAs Ge Si GaAs m* l /m m* t /m m* e /m m* hh /m m* lh /m m* so /m Masse misurate a T = 4 K con la tecnica di risonanza di ciclotrone

27 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Gap diretto e gap indiretto E E k Semiconduttori a gap diretto (GaAs): massimo della BV e minimo della BC sono allo stesso k buone proprietà ottiche (assorbimento, emissione) Semiconduttori a gap indiretto (Ge, Si): massimo della BV e minimo della BC non sono allo stesso k proprietà ottiche non ottimali k

28 Assorbimento in GaAs E hn Nell assorbimento si conserva sia l energia sia il momento Energia del fotone = hn > E G = 1.4 ev luce assorbita ha lunghezza d onda di circa l = hc/e 800 nm q = 2 /l 8x10 6 m -1 Il contributo di momento del fotone è trascurabile rispetto al tipico valore dell elettrone dell ordine di una frazione di /a m -1 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido k

29 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Assorbimento in GaAs E hn k n 2m eq hn EG e mh h EG k k 2m 2 k m m m eq e h

30 Assorbimento in Si E hn k Per la conservazione del momento, l elettrone ha bisogno di un contributo dell ordine di m -1, che il fotone non è in grado di fornire necessario l intervento di un fonone (vibrazione termica reticolare) processo a tre corpi, relativamente poco probabile D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 10 30

31 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Dipendenza dalla temperatura Il gap aumenta al diminuire della temperatura: è il risultato della contrazione termica e del rafforzamento dell interazione tra siti atomici E ( T ) E ( 0) G G at 2 T b Parametri a e b di best fitting, disponibili in tabelle per i principali semiconduttori

32 energia D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Contrazione termica R* R La distanza interatomica R* di equilibrio nel cristallo è determinata da una buca di potenziale asimmetrica R* si sposta verso 0 al diminuire della temperatura, perché il potenziale e l autofunzione diventano sempre più simmetrici

33 Energia D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Dall atomo al cristallo BC N = numero celle 2N = numero atomi (base) Il numero di stati include lo spin Struttura elettronica dell atomo di Si E G BV 8N stati 0 elettr. 8N stati 8N elettr. R* 12N stati 4N elettroni 4N stati 4N elettroni R 3p 3s 2p 2s 1s

34 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Numero di bande e stati IZB = N stati k, dove N = numero celle Per ogni k = 4 BC + 4 BV

35 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Conservazione del numero stati Atomi isolati: 2N atomi 3s: 2N atomi X 2 stati = 4N stati 3p: 2N atomi X 6 stati = 12N stati 16N stati Cristallo: N celle, 2N atomi (base) BC: 4N stati k X 2 stati spin = 8N stati BV: 4N stati k X 2 stati spin = 8N stati 16N stati

36 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido Conclusioni Il reticolo reciproco scandisce lo spazio k come il reticolo diretto scandisce lo spazio reale Zone di Brillouin = celle di Wigner Seitz del reticolo reciproco La prima ZB racchiude la totalità degli stati elettronici (rappresentazione in zona ridotta) Struttura a bande 3D secondo direzioni ad alta simmetria (punti G, X, L) Nozioni essenziali: posizione e degenerazione dei minimi/massimi, masse efficaci, gap diretto/indiretto