STRUTTURE MISTE ACCIAIO-CLS Lezione 3

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1 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- STRUTTURE ISTE ACCIAIO-CLS Lezione L (LATERALE) Definizione del problema L instabilità F-T delle travi semplicemente appoggiate Il problema in campo elastico Sezione e rettangolari a» Le equazioni di equilibrio di una sezione rettangolare» Il momento critico di biforcazione Il comportamento delle sezioni a doppio T» la soluzione delle equazioni di equilibrio» Il calcolo del momento critico Il problema in campo plastico: le verifiche di normativa 1

2 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Definizione del problema In presenza di una perturbazione laterale una trave caraicata nel piano verticale e quindi inflessa nello stesso piano può presentare posizioni di equilibrio diverse dalla configurazione i iniziale. i i Tl Tale fenomeno e detto instabilità flesso-torsionale l

3 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Instabilità laterale di una trave rettangolare Configurazione inziale,v v x, o Equazioni di equilibrio d v x, o = EI x = 0 x, o z,0 x, o = 0 z x, o x,u x, o z

4 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Instabilità laterale di una trave rettangolare Ipotesi: 1. Trave elastica priva di imperfezioni locali, non vincolata lateralmente, l t caricata con un momento costante t xo. I vincoli di estremità sono cerniera o carrello nel piano della trave mentre impediscono lo spostamento laterale e la torsione della trave (ritegni torsionali). L ingobbamento delle sezioni di estremità è libero 4. I x <<< I 4

5 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Instabilità laterale di una trave rettangolare Configurazione variata: pertubazione lungo x,v β x x, o cosβ x,o x, o z β x,0 sinβ x, o x x, o sin ϕ = x, oαα x, o ϕ x,o cosϕ ϕ u α=angolo di torsione (nullo agli appoggi) x, o ϕ = x, o momento x, o flettente z laterale Questo momento provoca torsione, 0 sin β = x x, o cosϕ = momento flettente sub verticale du 5

6 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Equazioni di equilibrio nella configurazione variata 1) x,0 = EI x v Flessione d Derivando volte la ) e sostituendo nella ) la derivata di u si ottiene: x x, o x, o z ) x,0ϕ = EI d u x,0 d u d ϕ d ϕ x,0 = GIp + ϕ = 0 EI GI p ) x,0 du = GI p dϕ α = x, 0 EI GI p Torsione ϕ'' + α ϕ = 0 ϕ = Asin αz + Bcosαz Soluzione dell eq. del sistema 6

7 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Equazioni di equilibrio nella configurazione variata Condizioni al controrno: z=0 ϕ=0 z=l ϕ=0 0 ϕ = Asin αz + Bcosαz Soluzione dell eq. del sistema Dalla prima si ha che B=0. Dalla seconda si ottiene: Asin αl = 0 Scartando la soluzione banale A=0 (assenza di torsione e flessione laterale) si ha che le autosoluzioni del sistema sono infinite, il cui valore minimo corrisponde al seguente valore del parametro α x,0 π EIGIp L π α = = x 0, cr = EI GI L, 0 p omento critico 7

8 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Equazioni di equilibrio nella configurazione variata Con riferimento ad una trave rettangolare d acciaio il momento critico assume l espressione seguente: E E G = = = (1 +ν) 1. I EI hb = 1 x GI p I p E h b 9.6 hb = 6 E.6 = b Ehb, 0, cr = π EI GI p = 0. 5 L L h 8

9 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T Una sezione a doppio T si comporta un maniera sostanzialmente simile alla sezione rettangolare con l aggiunta di un contributo dovuto alle ali. Il fenomeno si presenta sotto forma di instabilità laterale dell ala compressa a causa della forte componente di compressione trasmessa dal momento flettente. Sotto l azione torcente provocata dal momento flettente nella configurazione variata, l ala compressa fornisce un contributo, anch esso torcentet detto bi-momento 9

10 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T Una sezione a doppio T si comporta un maniera sostanzialmente simile alla sezione rettangolare con l aggiunta di un contributo dovuto alle ali. ϕ 10

11 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T H L effetto torcente dovuto al bi-momento si valuta come segue. L ala inflessa si sposta lateralmente della quantità u che è legata al momento flettente dalla relazione: d u d ala ala d u = EI al quale corriponde un taglio T T = = EI Al taglio T corrisponde un momento torcente secondario t pari a t =T H. Poichè lo spostamento laterale u dell ala è legato all angolo di torsione ϕ dalla relazione u= H/ ϕ il momento torcente t può essere espresso in funzione dell angolo di torsione ϕ t d ala H d ϕ = EI omento torcente secondario 11

12 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T Le equazioni del problema elastico in presenza di instabilità flesso-torsionale di una sezione a doppio T sono quindi le seguenti: tico so- ema elas tta a fless e del proble e Sogget uazioni d una trave Eq di torsione d v x,0 = EIx d u x,0ϕ = EI dϕ = t GI p EI ala f 1 b f t I p = hw tw + H d ϕ b f t f h w t w h w = altezza anima t w = spessore anima h f = larghezza ala t f = spessore ala 1

13 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T Rigidezza d ingobbamento Γ a) x,0 d v d = EIx b) x,0ϕ = EI u c) t = x,0 du = GI p dϕ EI ala H d ϕ Dalla c) derivando una volta e sostituendo nella b) si ottiene GI p x,0 4 d ϕ d ϕ d u 4 EΓ = x,0 = ϕ d ϕ d ϕ x,0 4 GI p EΓ + ϕ = 0 EI 4 EI Dividendo per EΓ l equazione risolutiva del problema elastico, essa si può esprimere più agevole in forma normalizzata: 4 d ϕ 4 Equazione del problema elastico della trave a doppio T soggetta a flessotorsione d ϕ α βϕ = 0 GI p α = β = E Γ EI x,0 E Γ 1

14 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T La soluzione della precedente equazione si può valutare a partire dall equazione caratteristica (equazione biquadratica) 4 λ αλ β = 0 le cui soluzioni sono permettono di scrivere la soluzione nella forma seguente: ϕ = nz A sin( mz) + Bcos( mz) + Ce + De nz m = n = α + α + α α + β + β Soluzione dell equazione della torsione 14

15 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T Le condizioni al contorno riguardano l impossibilità della sezione di ruotare torsionalmente agli appoggi e di nullità del momento flettente nel piano xz sempre negli appoggi d u d ( ϕh / ) z = 0, L ϕ = 0 = 0 = = = d ϕ Oltre la soluzione banale esistono infinite autosoluzioni del problema che rispettano la condizione: i π sin ml = 0 m = La più piccola fornisce il valore del momento critico L x π EΓ, 0, cr = EI GIp 1+ + L L GI π omento critico di intabilità flesso- = torsionale di una trave a doppio T p 15

16 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T x π π EΓ, 0, cr = EI GIp 1+ + L L GI p omento critico di intabilità flessotorsionale di una trave a doppio T Esso dipende da: Rigidezza flessionale laterale EI Rigidezza torsionale primaria GI p Rigidezza torsionale secondaria EΓ La soluzione valida per le sezioni doppio T simmetriche si può estendere anche ad altri tipi di sezioni. 16

17 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T L importanza reciproca dei termini modifica fortemente il valore del momento critico. Ad esempio le travi a doppio T sono più sensibili al fenomeno dell instabilità flesso-torsionale rispetto alle trave HE. I profili scatolari hanno la rigidezza a torsione primaria più rilevante. 17

18 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il problema delle sezioni a doppio T L importanza reciproca dei termini modifica fortemente il valore del momento critico. Ad esempio le travi a doppio T sono più sensibili al fenomeno dell instabilità flesso-torsionale rispetto alle trave HE. I profili scatolari hanno la rigidezza a torsione primaria più rilevante. 18

19 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Il comportamento reale pl 1 Zona stabile Travi tozze: (λ T < 0.4) per tali travi il fenomeno dell instabilità è strascurabile Travi snelle: (λ T > 1.) per tali travi la resistenza coincide col momento critico Zona intermedia Travi di snellezza intermedia sono influenzate da imperfezioni ed effetti inelastici Zona instabile che ne riducono la resistenza alla stabilità. La teoria prima pl sviluppata è dunque un limite λ T = superiore (un pò come il carico cr di punta di Eulero) 19

20 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Le prescrizioni normative Espressione del omento critico 1 omento critico W è il modulo resistente della sezione, pari al modulo plastico Wpl,, per le sezioni di classe 1 e, al modulo elastico Wel,, per le sezioni di classe modulo efficace Weff,, per le sezioni di classe 4. Snellezza 0. α Lt è il coefficiente di imperfezione laterale e vale 0.1 sezioni laminate 0.49 sezioni saldate Fattore di correzione per diverse distribuzioni di momento flettente 0

21 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Le prescrizioni normative Influenza dellla distribuzione dei momenti Il fattore k c indicato nella tabella 4..VIII delle NTC tiene conto della distribuzione dei momenti diversa da quella costante Fattore di correzione per distrubuzioni di momento non costante 1

22 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Le prescrizioni normative Determinazione della snellezza λ Lt EC Appendice B Coefficiente che tiene conto dei vincoli di estrem. Coefficiente che tiene conto della distribuzione del momento lungo la trave

23 Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 008- Le prescrizioni normative Effetto della posizione del carico verticale nella sezione m=c r,rif / cr