Tensioni e deformazioni interne

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1 Tensioni e deformaioni interne Una trave soggetta a carichi ortogonali, si inflette spaando il piano di inflessione La direione di inflessione, se c è simmetria rispetto al piano x, è diretta secondo Si ha flessione pura se la sola sollecitaione è dovuta al momento flettente, sena taglio Si ha flessione non uniforme se alla flessione viene associato un taglio Fless. pura F. Non unif. Come si vedrà, in genere le one della seione più sollecitate a flessione sono lontane da quelle sollecitate a taglio e quindi si disaccoppiano gli effetti F. Non unif.

2 CURVATURA DI UNA TRAVE (piccoli spostamenti) La trave si oppone al momento incurvandosi, e ciò è responsabile dell insorgere di tensioni Il centro di curvatura O è identificato dalla normale a due punti m e m distanti dx Il raggio di curvatura (ed il suo inverso ) rendono la trave tanto meno rettilinea quanto maggiore è M d ds d ds Nell ambito dei piccoli spostamenti si può confondere ds con dx d dx In questa trattaione si assumerà la curvatura positiva (derivata seconda positiva) che si instaura per effetto di un momento flettente positivo Altro modo di vedere le cose: curvatura positiva se il centro di curvatura si pone verso la direione positiva delle

3 CONSIDERAZIONI DI CONGRUENZA Basandosi solo su consideraioni di simmetria si può dimostrare che: Seioni piane e perpendicolari alla linea d asse rimangono piane anche dopo deformaione La perpendicolarità con la linea d asse si mantiene anche dopo la deformaione Alcune linee d asse si comprimeranno TOP ed altre si allungheranno BOTTOM Esiste una linea d asse particolare ASSE NEUTRO per la quale le fibre non si allungano né si accorciano L angolo d è dunque il medesimo per la fibra e-f e quella neutra s-s d dx x dx x

4 La sollecitaione che ci si aspetta è quindi assiale, in quanto alcune fibre (estradosso) si allungheranno, le altre (intradosso) si accorceranno. Dato che la sollecitaione è monodimensionale (σ x ) si osserverà anche una deformaione nelle altre due direioni x Centro curvatura principale x Curvatura secondaria Centro curvatura secondario Quindi le travi prismatiche si incurvano in tutti e tre i piani, ma si tensionano solo sul piano x-

5 TENSIONE NORMALE L equaione di Hooke, applicata al caso monodimensionale, fornisce l andamento della tensione x E x = E ; 0 ; 0 Quindi anche la tensione, come la curvatura, segue un andamento lineare con la distana dall asse neutro Per il calcolo delle tensioni che si creano per effetto del momento applicato, si hanno a disposiione le due equaioni di equilibrio, longitudinale e dei momenti A da 0 ; da M x E Dalla I: da 0 0 A n A x A da Il momento statico della seione rispetto al piano neutro è nullo l asse neutro (traccia piano neutro su piano di simmetria) è baricentrico Per la simmetria su il piano neutro è piano principale d ineria Se l asse di sollecitaione è di simmetria () l asse baricentrico appartiene al piano neutro

6 Dalla II: E E M xda da A A M E Dalla convenione dei segni adottata, un momento positivo sposta il centro di curvatura nel semispaio delle positive è il momento di ineria che viene detto in quanto misura la distana dall asse neutro Il termine E per analogia con la sollecitaione di traione, viene anche indicato come rigidea flessionale Combinando le due equaioni linearmente (farfalla) M si ottiene lo stato di sollecitaione che risulta variabile Per una seione simmetrica e bilanciata rispetto baricentro La tensione risulta massima dove massima è la distana dall asse neutro di flessione

7 SEZIONE CIRCOLARE PIENA E CAVA Piena: Cava: 64 D 4 D d Il massimo valore si ha in corrispondena del raggio massimo M D 3M M D 3 M D xd, 3 xd D, 4 4 D d SEZIONE RETTANGOLARE PIENA E CAVA Piena: bh 3 Cava: 3 3 bh b s h s Il massimo valore si ha in corrispondena della massima distana dall asse neutro M h 6M xh, b h M D 6 M h xh, 3 3 bh b sh s

8 O Ripasso: Leggi per il trasporto dei momenti d ineria di seione Su un nuovo SdR (XY) spostato in O di coordinate X O Y O : X x X Y Y O O Y da da Y da Y da X O O O A A A A Y S Y A X x O x O X S X A Y O O Momento centrifugo: x X Y da X S Y S X Y A XY O O x O O x O O A Se il riferimento x ha per origine il baricentro (O G), le trasformaioni sono: Trasformaioni di Hugens Y A X x G Y G g X A g X Y A XY x G G g L utilità di queste trasformaioni è notevole, in quanto il calcolo dei momenti di ineria si semplifica molto suddividendo la seione in parti elementari, ciascuna delle quali viene sommata dopo averla riportata al baricentro dell intera struttura

9 Esempio Seione resistente La struttura in acciaio è montata a sbalo e presenta un carico distribuito Calcolare i valori massimo e minimo della tensione assiale Soluione: Dato che la seione è costante, i valori massimi e minimi di tensione si avranno là dove risulta massimo il momento flettente Diagramma del taglio 0 N 3375 N 05 N 0 x 0 M M V x dx Diagramma del momento

10 Bisogna innanitutto calcolare il baricentro della seione (mediante la media pesata) A Itot G G 40 A 74 A 40 A3 A A A 6.5 mm 3 I momenti di ineria baricentrici delle 3 aree sono: Utiliando il teorema di Hugens si calcola il momento di ineria totale 80 I I g mm mm I mm =.4690 M mm 3375 Top = = 5.3 N mm Tensione al TOP 6 Tensione al BOT A A Bot = -6.5 = 84. N mm

11 M 898 Top = = 4. N mm Bot = = 47.3 N mm Tensione al TOP Tensione al BOT Massima traione al Bottom 47.3 MPa Massima compressione al Bottom MPa

12 MODULO DELLA SEZIONE Ciascuna seione può anche essere caratteriata da un modulo, che consente il passaggio immediato dal momento applicato alla tensione normale (Top o Bottom) Mtop Top Top M S Top M Bot Bot Bot M S Bot S bh 3 S bh 6 Top Bot d 64 4 S d 3 3

13 PROGETTO DI UNA TRAVE In genere è noto il momento massimo applicato e si sceglie la beam che soddisfa la S M max amm Se la beam non è simmetrica rispetto piano neutro oppure se il materiale non ha comportamento simmetrico traione-compressione, occorrerà estendere la verifica a entrambe le posiioni Top e Bottom In genere sono disponibili travi di molteplici forme e materiali: In acciaio: per lo più laminate, di carpenteria o saldate se di grandi dimensioni Travi ottenute per piegatura Saldatura e taglio

14 In alluminio: per lo più estruse Sfruttando la bassa temperatura di fusione si ottengono forme anche non semplicemente connesse Alcune forme tratte da catalogo In legno: per lo più incollate in strutture lamellari Peo unico Travi lamellari Struttura portante in legno

15 In cemento armato: per lo più colate in forma Vista a pariale riempimento Tiranti pretensionati e bloccati dopo colatura In compositi a fibra: estruse, injection molding, pressofusione,

16 EFFICIENZA RELATIVA TRA TRAVI S bh Ah 0.67 Ah A parità di area conta solo l altea 6 6 Prendendo un cerchio di pari area ad un quadrato d h h d S cerchio d A d 3 h d Squadrato d A d 6 4 Nella seione quadrata si ha meno inutile materiale sull asse neutro La soluione migliore prevederebbe l uso di materiale nelle sole flangie, per cui: I ideale Ah 4 Sideale 0.5 A h Seffettivo 0.35 A h Questo valore in realtà non può essere raggiunto perché è necessaria un anima che tiene lontane le due flange e che non può essere troppo sottile per non andare incontro ad instabilità

17 Esempio Una barriera temporanea all acqua è realiata da tavole oriontali sostenute da pali verticali infissi nel terreno. Calcolare la dimensione dei pali a livello massimo dell acqua se la tensione ammissibile del legno è pari a 8.0 MPa. Soluione: Ciascun palo supporta un carico per unità di lunghea crescente (triangolare) che agisce per una larghea s Il massimo momento si ha alla base e vale q0 hs M max 3 qh 0 h h s 3 6 Il modulo della seione necessario risulta 3 b S b h 3 6 s amm S M max amm assumendo 6 3 hs amm N/ m s 0.8 m b m h.0 m

18 TRAVI A SEZIONE VARIABILE In molte applicaioni, risparmio di materiale ed ottimiaione inducono a realiare forme a seione variabile lungo l asse, come negli esempi a lato Ovviamente, la ona più sollecitata può non corrispondere al punto ove è massimo il momento In genere si usa la variaione di seione proprio per minimiare il peso in favore di una sollecitaione uniforme TRAVI A FLESSIONE DI UNIFORME RESISTENZA Vediamo le possibili configuraioni per una trave incastrata-libera (clamped) P x M P x

19 LARGHEZZA VARIABILE P x h 0 cost x Px 0 cost S x In questo caso è necessario che o S varino linearmente con x P blast x S x h 6L ALTEZZA VARIABILE Ora la variabilità lineare di S x sarà affidata alla variaione della sola altea Px 0 cost S x b 6 h x x 0 P h x 6Px b amm Ne risulta un profilo parabolico Ovviamente si potrebbero ancora impostare modifiche contemporanee di spessore ed altea

20 Tensioni dovute al taglio In linea teorica si può avere sollecitaione di solo taglio, ma in realtà essa si accompagna sempre a momento flettente V V x Ciononostante, anche in presena di taglio il momento flettente si calcola allo stesso modo in quanto esso fornisce tensioni normali, mentre il taglio dà tensioni tangeniali, nel riferimento adottato Spesso, in I approssimaione, si considera il taglio uniformemente distribuito sulla seione resistente V A Il calcolo della tensione di taglio su una seione è in realtà assai più complesso, esso varia sia secondo x che (in forma parabolica per una seione rettangolare) Proprio per effetto delle fore di taglio la flessione di due travi sovrapposte e di un unica trave di spessore doppio differiscono sensibilmente

21 Applicaione ferroviaria Automobilistica trasversale A progressivo doppio effetto

22 In modo più esatto, ma sempre approssimato (ourawsk), il taglio viene mediato lungo la direione dello spessore (), e considerato variabile lungo V V M b i i r dx x j j s M+dM x r x s x x Si considera di isolare un elementino assiale (lunghea dx) Si consideri l equilibrio del parallelepipedo ii - rr - ss - jj in direione x Sulla faccia inferiore agisce una risultante nulla (Non sono applicate fore) Sulla faccia superiore agisce una risultante: F sup x b dx Sulle facce laterali lungo x agiscono le tensioni dovute ai momenti flettenti M e M+dM M M dm

23 Sommando i tre contributi, con il segno dato dall asse x: x da da b dx 0 A( rrii) A( ssjj) uguali Ricordando che x x M M dm dm Vdx Portando fuori dall integrale le grandee che rimangono costanti Vdx V V S da b dx da b b A( ij) x x A( ij) Quindi lungo (essendo costante in ) il taglio varia secondo il momento statico S() e lo spessore della seione b() b Ssup Sinf I momenti statici delle due seioni, Asse baricentrico superiore ed inferiore sono uguali! 3 H 3 H

24 SEZIONE RETTANGOLARE Il momento statico si può calcolare come area della parte sottesa alla corda ii per la distana del suo baricentro dall asse neutro h h b h S b 4 V h x 4 Il valore massimo (=0) Vh 3 V x 8 A Pertanto, il taglio presenta, lungo, un andamento dominato dal momento statico esso si annulla al top/bottom e risulta massimo nella seione baricentrica taglio x Rispetto al taglio mediato su tutta la seione, il taglio al baricentro è superiore del 50 % nella seione rettangolare

25 Con alcune cautele la formula di ourawsk è applicabile anche a seioni non regolari Il tensore delle tensioni dovrà comunque risultare sempre tangente al profilo esterno, pertanto, occorre sovrapporre alle tensioni di taglio di ourask un altra componente x (antisimmetrica) che riorienti localmente le. Tensioni ribaltate

26 SEZIONE CIRCOLARE La tensione media può calcolarsi anche per una seione circolare, tenendo conto le limitaioni sul riorientamento delle nei bordi non paralleli a. In particolare sul diametro: Calcolo del momento statico da( r, ) r d dr G Da cui si può ricavare anche l ordinata del baricentro: R 0 0 S da rsin r d dr x A R 3 cos D Sx r dr R 3 3 VS0 D 64 4 V max V 4 b 0 D D 3 A G S 3 x 3R 4 A R 3 R

27 DEFORMAZIONE A TAGLIO Lo sforo di taglio induce l elemento a variare di forma (ma non di volume) secondo un angolo di scorrimento Dato che esiste il semplice legame = / G tra taglio e scorrimento, questo ultimo sarà massimo al centro e nullo al top / bottom Le seioni, iniialmente ortogonali all asse, si ingobbano visto che varia dal Top al Bot Tuttavia, lo scorrimento è uguale per ogni fibra assiale, per cui non si instaurano (per seioni costanti) sollecitaioni o deformaioni assiali (taglio puro sena flessione) Lo spostamento tra due seioni può essere valutato mediante la deformaione (scorrimento) media Taglio medio d media dx media T GA Fattore di taglio

28 Il lavoro di deformaione, in accordo al teorema di Claperon, è pari all integrale, lungo la linea, della metà della tensione di taglio per lo scorrimento medio dw V meddx od anche sul volume dw A V S b G da dx V S b dw V GA dx dw V S G A b dadx A Si b A i da Il fattore di taglio può essere calcolato analiticamente per ogni seione

29 TENSIONI DI TAGLIO IN TRAVI FLANGIATE In sollecitaioni di momento non uniforme (presena di taglio) l andamento delle nelle flangie presenta due componenti (ma quella oriontale è più importante) Le tensioni sull anima si possono calcolare utiliando la formula di ourawsk: Area seione flangia: V S b h h A b Area seione pariale anima: h A t Momento statico: Sostituendo e semplificando h h h h S A A 4 b t S h h h 8 8 4

30 V S V 4 b h h t h b 8 t L unica variabile è, in modo quadratico V bh bh th t max 0 8 V bh bh t min h 8 Generalmente, per le travi flangiate, è l anima a supportare quasi tutto lo sforo del taglio verticale applicato (90-98 %) In genere si trascura il contributo delle flangie, e si considera il taglio mediato su tutta l anima con la semplicissima formula anima V th Il semplice metodo utiliato non può essere esteso al calcolo del taglio verticale sulle flangie, e si trascura la presena del raccordo circolare, che pure è determinante per abbassare i picchi di tensione

31 TRAVI COMPOSTE In molte applicaioni si ricorre a travi ottenute dall assemblaggio di più elementi, anche in materiali differenti, per ottenere ottime performance leggerea / costo / dimensioni Il calcolo di queste travi necessita di due passaggi: Verifica del comportamento della trave a flessione-taglio composta come se fatta di un sol peo Verifica delle connessioni presenti (chiodature, incollaggi, bullonature, spine, saldature, ) attraverso il concetto del flusso di taglio Riprendiamo l equilibrio introdotto per il taglio, evideniando la variaione del momento: Vdx dm xb dx da da A( ij) A( ij) Il flusso del taglio f è definito: dm V f xb da da dx

32 V V f da S In questo caso il flusso va calcolato alla fine dell anima, in corrispondena delle saldature, ottenendo S() dall area evideniata Tale flusso (per unità di lunghea) è utiliato per verificare le saldature longitudinali Nel caso a fianco, il flusso viene calcolato per il tramite del momento statico esteso a tutta la flangia superiore (comprensiva delle alette verticali) Il flusso così calcolato si scaricherà in modo discreto sui rivetti di connessione In questo caso il flusso va calcolato in corrispondena di cc dd. L area evideniata serve per il calcolo del momento statico. Il flusso così calcolato si scaricherà in modo discreto sui chiodi di connessione

33 TRAVI SOGGETTE ANCHE A SFORZO NORMALE In molti casi le travi sono contemporaneamente sollecitate a traione/compressione e a fore laterali (flessione semplice o composta) Se la trave non è troppo sottile il calcolo si può fare sovrapponendo gli effetti x x x N x A b V x S M x P Q S N x V x S Q M x Q L x Queste due tensioni sommano i rispettivi contributi Sovrapposiione delle tensioni assiale e flessionale Crescendo ancora il momento M l asse neutro può comparire e traslare N x A M Questa combinaione viene ad esempio utiliata nel cemento armato precompresso

34 TRAVI SOGGETTE A CARICO ECCENTRICO Si tratta di travi nelle quali il carico assiale non è applicato al baricentro Momento di trasporto P x A Pe La sovrapposiione comporta in pratica lo spostamento dell asse neutro che si ritrova ponendo nulla la tensione assiale 0 Ae È di un certo interesse definire la ona entro la quale l eccentricità del carico non induca un cambio nel segno della tensione: materiali non resistenti a traione/compressione Se. rettang.: la condiione limite si ha quando 0 = -h/ e 3 bh h bh h 6 Considerando anche l eccentricità nell altra direione si delimita una ona (rombo) detto nocciolo della seione

35 Nel caso ancor più generale di spostamento del carico secondo due direioni, l asse neutro non è più normale all asse di sollecitaione né è parallelo agli assi principali di ineria P Pe Pe A x N M L asse n-n si ricava dall equaione della retta che si ottiene annullando la σ: e e A e Nei calcoli si è implicitamente assunto che le deformate siano tali da non modificare l aione dei carichi stessi Si è anche assunto che le tensioni fossero sempre sovrapponibili e quindi disaccoppiate fra loro, ciò non è vero se la trave diviene sottile e la distribuione dello sforo normale si modifica Finora si è sempre trattato di travi ad asse baricentrico rettilineo, in caso contrario un altra trattaione è necessaria

36 CONCENTRAZIONI DI TENSIONE Valgono le medesime consideraioni fatte per il caso assiale circa la validità delle soluioni di St. Venant Si fa sempre riferimento alle tensioni nette per il calcolo delle tensioni nominali M 6Md nomb b h d 3 3 La tensione massima si ricava dal fattore K puramente geometrico tabellato e ricavabile in letteratura K Max nomb Caso di due intagli simmetrici su lastra inflessa