CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 18/01/2010

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1 CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL 18/01/010 Quesito 1 (Punti 5) Data la travatura reticolare mostrata nella Figura 1, determinare: 1. le reazioni vincolari. le forze agenti nelle aste Fig. 1

2 Svolgimento Calcolo delle reazioni vincolari La struttura è esternamente isostatica. Fissato un SR cartesiano ortogonale, si sostituiscono i vincoli con le 3 reazioni vincolari incognite, ottenendo il seguente diagramma di corpo libero: X 4 := 0 X 1 := 0 Y 1 := 0 Given R x = 0 ---> X 1 + X 4.5 = 0 R y = 0 ---> Y 1 5 = 0 MR x1 = 0 ---> X = 0

3 X 4 Y 1 X 1 ( ) := Find X 4, Y 1, X 1 X 4 = 3.75 Y 1 = 5 X 1 = 1.5 Si ottiene in tal modo il seguente diagramma finale di corpo libero con tutti i carichi esterni applicati alla struttura.

4 Forze agenti nelle aste. Si osserva in primo luogo che risulta immediatamente: N 1 := 0 N 3 := 0 N 5 := 0 Si procede alla soluzione, per le rimanenti aste, utilizzando il metodo dei nodi. Nodo 4 N 6 := 0 N 9 := 0 Given R x = 0 ---> N = 0 R y = 0 ---> N 6 5 = 0 N 6 N 9 := Find( N 6, N 9 ) N 6 = 5 N 9 = 3.75 Nodo 5 N 8 := 0 N 7 := 0 Given R x = 0 ---> N = 0 R y = 0 ---> N 7 + N 8 = 0 N 8 N 7 := Find( N 8, N 7 ) N 8 = 3.75 N 7 = 5.303

5 Nodo 1 N := 0 N 4 := 0 Given R x = 0 ---> N 1.5 = 0 R y = 0 ---> N N = 0 N N 4 := Find( N, N 4 ) N = N 4 = 3.75 Nodo 3 - Verifica finale equilibrio R x = 0 ---> = 0 R y = 0 ---> = 0 OK RIASSUNTO DEI RISULTATI N 1 = 0 N = N 3 = 0 N 4 = 3.75 N 5 = 0 N 6 = 5 N 7 = N 8 = 3.75 N 9 = 3.75

6 Quesito a (Punti 16) Data la struttura spaziale mostrata in Figura a.1 determinare: 1. il valore delle forze F 1, F ed F 3 richiesto per garantire l'equilibrio. l'andamento delle caratteristiche di sollecitazione nella struttura, scrivendone l'espressione analitica in funzione di una opportuna coordinata presa lungo la fibra baricentrica e tracciandone il diagramma.. Fig. a

7 Calcolo delle reazioni vincolari. Fissato un SR cartesiano ortogonale, come nella Figura a, sostituendo al vincolo di incastro le sei reazioni incognite si ottiene il seguente diagramma di corpo libero: R XO := 0 kn R YO := 0 kn R ZO := 0 kn M XO := 0 kn m M YO := 0 kn m M ZO := 0 kn m Given R x = 0 ---> N R XO mm + 5 kn mm = 0 R y = 0 ---> R YO = 0 R z = 0 ---> R ZO 5 kn = 0

8 MR xo = 0 ---> M XO 5 kn 5 m = 0 N 7500 MR yo = 0 ---> M YO mm mm + 5 kn 7500 mm = 0 mm MR zo = 0 ---> MZO 5 kn 5000 mm = 0 R XO R YO R ZO M XO M YO M ZO ( ) := Find R XO, R YO, R ZO, M XO, M YO, M ZO Ottenendo i seguenti valori delle reazioni incognite: R XO = 7.86 kn R ZO = kn R YO = 0 M XO = mkn M YO = kn m M ZO = kn m Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero della struttura: Fig. a1

9 DIAGRAMMI CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE Ai fini del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, si introduce la coordinata curvilinea ξ (origine nel punto O, termine nel punto A, valore compreso tra 0 e 1.50 m) e si fissa sulla generica sezione il sistema di riferimento locale x-y-z per il calcolo della caratteristiche di sollecitazione, la cui disposizione nei diversi tratti di trave è mostrata in figura a1. Si noti che, per semplificare la rappresentazione, i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono stati rapresentati in forma lineare piana. Ai fini di una più semplice interpretazione, si noti che i punti significativi indicati sulla figura corrispondono ai seguenti valori della coordinata curvilinea ξ: Punto O-> ξ=0; Punto B -> ξ=7.50 m; Punto A -> ξ=1.50 m. Forza Normale [kn] ξ := 0, N( ξ) := 5 if 0 ξ otherwise (questa variabile fittizia ha il solo scopo di far comparire sui diagrammi la linea corrispondente al xx( ξ) := 0 valore 0) N [kn] 3 4 Taglio T X T x ( ξ) := 0 if 0 ξ otherwise ξ Tx [kn] ξ

10 Taglio T Y T y ( ξ) := [ 0.5 ( 7.5 ξ) ] 5 if 0 ξ otherwise 0 Ty [kn] 4 6 Momento M X ξ M x. ( ξ) 0.5 ( 7.5 ξ) := + 5 ( 7.5 ξ) if 0 ξ ( 1.5 ξ) otherwise Mx [knm] ξ

11 ξ Momento M Y M y. ( ξ) := 5 5 if 0 ξ ( 1.5 ξ) otherwise My [knm] ξ Momento M Z M z. ( ξ) := 5 5 if 0 ξ otherwise 0 Mz [knm] ξ

12 Quesito b (alternativo al quesito a) (Punti 1 Fig. b1

13 Calcolo delle reazioni vincolari La struttura è esternamente ed internamente isostatica. Fissato un SR cartesiano ortogonale, si sostituiscono i vincoli con le 3 reazioni vincolari incognite, ottenendo il seguente diagramma di corpo libero: Fig. b Dalle Equazioni di equilibrio si ottiene (forze in KN, lunghezze in m, momenti calcolati rispetto al polo B): R XB := 0 kn R YB := 0 kn R YC := 0 kn Given Equilibrio intera struttura kn R x = 0 ---> R XB m = 0 m R y = 0 ---> R YB + R YC 5 kn = 0 MR zb = 0 ---> R YC 8 kn 7.5 m m m 5 kn 4 m = 0 m R XB R YB R YC ( ) := Find R XB, R YB, R YC

14 Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari: R XB = 7.5 kn R YB = kn R YC = kn Si ottiene in tal modo il seguente diagramma di corpo libero della struttura, con tutte le forze applicate. Fig. b3

15 DIAGRAMMI CARATTERISTICHE DI SOLLECITAZIONE Ai fini del tracciamento dei diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione, si introduce una coordinata curvilinea ξ (origine nel punto B, termine nel punto C, valore compreso tra 0 e 0 m) e si fissa sulla generica sezione il sistema di riferimento locale N-T per il calcolo della caratteristiche di sollecitazione, la cui disposizione nei diversi tratti di trave è mostrata in figura b3. Si noti che, per semplificare la rappresentazione, i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione sono stati rappresentati sotto forma di un diagramma lineare Forza Normale [kn] ξ := 0, ( ) := 0 kn xx ξ (questa variabile fittizia ha il solo scopo di far comparire sui diagrammi la linea corrispondente al valore 0) N( ξ) := if 0 ξ if 7.5 ξ otherwise 0 N [kn] ξ Taglio T [kn] T( ξ) := 0.5 ( 7.5 ξ) if 0 ξ if 7.5 ξ if 11.5 ξ ( 3 ξ) otherwise T [kn] ξ

16 Momento M [knm] M( ξ) := 7.5 ξ ξ if 0 ξ ( 11.5 ξ) ( 15.5 ξ) if 7.5 ξ ( 15.5 ξ) if 11.5 ξ 15.5 ( 3 ξ) 0.5 otherwise 50 M [knm] ξ

17 Quesito 3 (Punti 4) Data la sezione mostrata in Fig. 3,: 1. determinare la posizione del baricentro G. determinare i momenti di inerzia rispetto ai due assi centrali principali. Fig. 3 Posizione del baricentro. Fissato un SR "X'-Y'", si vede subito che, in esso la coordinata X' del baricento è pari a 150 per simmetria. Per il calcolo della posizione lungo l'asse Y' si procede considerando il contributo delle diverse aree colorate riportate nella figura. A := 300 mm 5 mm mm 10 mm mm 8 mm Area totale A = mm S G := 300 mm 5 mm 36.5 mm mm 10 mm 5 mm mm 8 mm 350 mm + 10 mm S G Y G := Y A G = mm

18 La posizione del baricentro risulta pertanto quella riportata nella seguente Figura. Momenti di inerzia Gli assi centrali principali risultano, per simmetria, quelli indicati nella Figura precedente. Nel calcolo dei momenti di inerzia si considera separatamente il contributo delle diverse aree individuate nella Figura stessa. Calcolo di J X J x1 := J x := J x3 := 300mm ( 5mm) 3 1 8mm ( 350mm) mm ( 10mm) mm 5mm 36.5 mm Y G ( ) 350 mm + 8mm 350mm Y G + 10 mm + 300mm 10mm 5 mm ( ) Y G J x := J x1 + J x + J x3 J x = mm 4

19 Calcolo di J y J y1 := 5mm ( 300mm) mm ( 8mm) 3 10mm ( 300mm) 3 J y := J 1 y3 := 1 J y := J y1 + J y + J y3 J y = mm 4

20 Quesito 4 (Punti 5) Calcolare le tensioni normali e tangenziali massime (in valore assoluto, espresse in MPa) e mostrarne l'ubicazione per la sezione mostrata nella Figura 3, soggetta alle seguenti caratteristiche di sollecitazione: M x := 35 kn m M y := 15 kn m N := T y := 180 kn 100 kn Momento Mx Si applica la formula di Navier, la massima tensione (valore assoluto) si verifica nel punto della sezione a maggiore distanza dall'asse X (bordo superiore). y max := 365 mm Y G y max = 17.5 mm σ zmaxx := M x J x y max σ zmaxx = MPa

21 Momento My Si applica la formula di Navier, la massima tensione (valore assoluto) si verifica nel punto della sezione a maggiore distanza dall'asse Y (bordi destro e sinistro). x max := 150 mm σ zmaxy := M y J y x max σ zmaxy = MPa Forza Normale Le tensioni dovute alla forza normale sono costanti. N σ zn := σ A zn = MPa Taglio Ty Si usa la formula di Jourawsky, calcolando il valore del momento statico in corispondenza dell'asse "X", dove la tensione assume valore massimo. S x1 := 300 mm 5 mm 36.5 mm Y G 36.5 mm Y G = S x := ( ) ( 360 ( 360 mm ) mm Y G ) 8 mm Y G 15 mm b := 8mm S x := S x1 + S x S x = mm 3 τ zy := T y S x J x b τ zy = MPa ( ) Y G mm 300 mm ( Y G 5mm ) ( Y G 10 mm) mm + 8 mm = mm 3