UNIVERSITA DI PISA - ANNO ACCADEMICO CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA (N.O.) CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE

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1 UNIVERSITA DI PISA - ANNO ACCADEMICO CORSO DI LAUREA IN ING. ELETTRICA (N.O.) CORSO DI MECCANICA E TECNICA DELLE COSTRUZIONI MECCANICHE VERIFICA INTERMEDIA DEL COGNOME E NOME MATRICOLA QUESITO 1 (punti 8) Data la ciminiera a sezione circolare mostrata in Fig. 1.1, soggetta a carichi dovuti al vento, calcolare: lo spostamento orizzontale del punto A Dati Fig. 1.1 Materiale della colonna: acciaio ϕ 1 := 1m ϕ := 0.8 m L 1 := 6m p := 80 kn m s p1 := 50 mm s p := 0 mm L := 1 m

2 Svolgimento La colonna viene assimilata ad una trave a mensola incastrata alla base, secondo lo schema di Fig. 1., fissando una coordinata ξ. Fig. 1. Di seguitano si riportano i valori delle principali grandezze, come risultanti dalla Fig ϕ 1 := 1m ϕ := 0.8 m L 1 := 6m p := 80 kn m s p1 := 50 mm s p := 0 mm L := 1 m

3 Caratteristiche sezione e materiale Il momento di inerzia delle due sezioni (tubo circolare) della colonna è dato da: ( ) ϕ 1 ϕ 1 s p1 J 1 := π J 6 1 = mm ( ) ϕ ϕ s p J := π J 6 = mm Il modulo di Young del materiale (acciaio) è pari a: E := MPa Spostamento di A sotto l'azione di p Per il calcolo dello spostamento del punto A si ricorre al metodo deglin integrali di Mohr. Si procede pertanto al calcolo delle reazioni vincolari ottenendo il seguente diagramma di corpo libero. Fig. 1.3

4 Si procede quindi a determinare l'espressione analitica ed a tracciare il diagramma per l'unica caratteristica di sollecitazione rilevante, vale a dire il momento flettente. ξ := 0, xx( ξ) := 0 Momento flettente Il momento flettente risulta dato da: M( ξ) := 960 kn ξ m 0 otherwise p ξ m 5769 kn m if 0 ξ 1 [kn m] 0 M( ξ) 1000 xx( ξ) ξ [m]

5 Momento flettente prodotto da una forza unitaria applicata in A Il metodo degli integrali di Mohr prevede l'applicazione, nel punto di cui si vuole calcolare lo spostamento, di un carico unitario diretto concordemente con lo spostamento stesso. Si applica dunque tale carico unitario, in direzione orizzontale nel punto A, ottenendo il seguente diagramma di corpo libero (Fig. 1.). Fig. 1. Si valuta quindi l'espressione analitica e si traccia il grafico del momento flettente. M 1 ( ξ) := 1 ξ m 1 m if 0 ξ 1 0 otherwise M 1 ( ξ) xx( ξ) ξ

6 Spostamento di A dovuto a p Lo spostamento δ Α del punto A per effetto del carico p può essere calcolato attraverso il metodo degli integrali di Mohr: L δ A := 0 M( ξ) M 1 ( ξ) dξ EJ Tuttavia, dato che il momento di inerzia risulta evidentemente diverso nei tratti 0-L1 ed L1-L, l'integrale può essere riscritto come: δ A := M( ξ) M 1 ( ξ) dξ + EJ 1 6 M( ξ) M 1 ( ξ) dξ EJ per cui: δ A := 6 0 δ A := δ A kn ξ m 1 6 p ξ m 960 kn ξ m 5769 kn m ( 1 ξ m 1 m) EJ 1 p ξ m 5769 kn m EJ 1 ξ dξ m ( m 1 m) dξ m δ A = mm

7 QUESITO (punti 8) Data la ciminiera a sezione circolare mostrata nella Fig..1, soggetta a carichi dovuti al vento, condurre la verifica di una giunzione saldata longitudinale a piena penetrazione posta nelle posizioni "B" e "C" della sezione. Dati Fig..1 σ ammb := 0 MPa Tensione ammissibile materiale base f W := 0.85 Efficienza saldatura

8 Svolgimento La colonna viene assimilata ad una trave a mensola incastrata alla base, secondo lo schema di Fig.., fissando una coordinata ξ. Fig.. Di seguitano si riportano i valori delle principali grandezze, come risultanti dalla Fig..1. ϕ 1 := 1m L 1 := 6m p := 80 kn m s p1 := 50 mm L := 1 m

9 Caratteristiche sezione e materiale Il momento di inerzia delle due sezioni (tubo circolare) della colonna è dato da: ( ) ϕ 1 ϕ 1 s p1 J x := π J 6 x = mm Si procede al calcolo delle reazioni vincolari ottenendo il seguente diagramma di corpo libero. Fig..3 Si procede quindi a determinare l'espressione analitica ed a tracciare il diagramma per le caratteristiche di sollecitazione. ξ := 0, xx( ξ) := 0

10 Forza normale La forza normale risulta dato da: N 0 ( ξ) := 0 if 0 ξ 1 0 otherwise Taglio Il taglio risulta dato da: T y ( ξ) := 960 kn p ξ m if 0 ξ 1 0 otherwise [kn] T y ( ξ) xx( ξ) Momento flettente Il momento flettente risulta dato da: M x ( ξ) := 960 kn ξ m 0 otherwise p ξ m ξ 5769 kn m if 0 ξ 1 [kn m] 0 M x ( ξ) 1000 xx( ξ) ξ[m]

11 VERIFICA SALDATURE Considerazioni generali Il momento flettente produce sulla sezione delle tensioni σzz che, per le saldature, possono essere classificate come σ//. Il taglio produce delle tensioni τzy che, per le saldature, possono essere classificate come τ//. Non sono presenti tensioni σ ortogonale Giunto B Il giunto B si trova in corrispondenza dell'asse neutro per la flessione Mx, per cui risulta: σ parb := 0 La tensione τpar può essere determinata con la formula di Jourawsky. La metà della sezione tubolare, ai fini del calcolo del relativo momento statico, può essere considerata come la differenza di due semicerchi. Per un semicerchio, la distanza del baricentro dal diametro di base è data da: Y G := R 3 π Per il cerchio esterno: ϕ 1 Y GE := 3 π Per il cerchio interno: Y GI := ϕ 1 s p1 3 π Per cui: πϕ 1 1 S xmax := Y GE ( ) π ϕ 1 s p1 1 Y GI Applicando la formula di Jourawsky: T y ( 0) S xmax τ parb := J x ( s p1) Verifica σ eqb := 3 τ parb σ eqb =. MPa < σ ammb f W = 0 MPa Il giunto B risulta verificato

12 Giunto C Il giunto C si trova in corrispondenza di un punto in cui le tensioni di taglio sono nulle, per cui risulta: τ parc := 0 La tensione σpar può essere determinata con la formula di Navier M x ( 0) ϕ 1 σ parc := J x Verifica σ eqc := σ parc σ eqc = MPa < σ ammb f W = 0 MPa Il giunto C risulta verificato

13 QUESITO 3 (punti 8) Dato l'albero rotante in acciaio mostrato nella Fig. 3.1, soggetto a due forze di direzione fissa nello spazio: condurre la verifica a fatica a vita infinita, tenendo conto delle sole tensioni normali. Dati Materiale acciaio Fig. 3.1 Δσ L := 00 MPa Limite di fatica σ s := 350 MPa Tensione di snervamento K t := Fattore di forma intaglio Svolgimento L'alberino viene assimilato ad una trave semplicemente appoggiata, secondo lo schema di Fig. 3., fissando una coordinata ξ. Fig. 3. Di seguitano si riportano i valori delle principali grandezze, come risultanti dalla Fig ϕ 1 := 50 mm ϕ := 30 mm L 1 := 350 mm F 1 := 5kN F := 1.5kN L := 100 mm

14 Caratteristiche sezione e materiale Il momento di inerzia e l'area delle sezioni (circolari) dell'albero è dato da: πϕ 1 A 1 := A 1 = m πϕ 1 J x1 := J 6 x1 = mm πϕ A := A = m πϕ J x := 6 J x = mm Il modulo di Young del materiale (acciaio) è pari a: E := MPa Caratteristiche di sollecitazione Reazioni vincolari Le reazioni vincolari nei punti C e D (fig. 3.3) sono date da: Fig. 3.3 X C1 := 0 Y C1 := 0 Y D1 := 0 Given R x = 0 ---> X C1 + F 1 = 0 R y = 0 ---> Y C1 + Y D1 + F = 0 MR xb = 0 ---> Y D1 L 1 + F L 1 + L = 0 X C1 Y C1 Y D1 ( ) := Find X C1, Y C1, Y D1 ( )

15 Ottenendo i seguenti valori delle reazioni vincolari : X C1 =.5 10 N Y C1 = N Y D1 = N ed il seguente diagramma di corpo libero: ξ := 01,.. 50 Momento flettente Il momento flettente risulta dato da: M x1 ( ξ) := Y C1 ξ mm if 0 ξ 350 Fig. 3. xx( ξ) := 0 J F ( 50 ξ) mm if 350 ξ 50 0 otherwise 150 M 100 x1 ( ξ) xx( ξ) Forza normale La forza normale risulta data da: N 1 ( ξ) := 5 kn if 0 ξ 50 0 otherwise 310 ξ N 1 ( ξ) xx( ξ) ξ

16 Verifica a fatica Sezione di verifica La sezione più sollecitata risulta la "D". In essa agiscono una forza normale ed un momento flettente, che danno le seguenti distribuzioni di tensione, espressi in termini del sistema di riferimento locale preso sulla sezione. Forza normale Stato di tensione costante sulla sezione e dato da: N 1 ( 350) σ zn := σ A zn = MPa Momento flettente stato di tensione ad andamento lineare sulla sezione (formula di Navier), dato da: M x ( 350) σ zmx := y J x Si ottengono in tal modo i seguenti valori massimi e minimi: M x1 ( 350) ϕ σ zmxmax := σ J x zmxmax = MPa M x1 ( 350) ϕ σ zmxmin := ovvero J x σ zmxmin := σ zmxmax σ zmxmin = MPa Ciclo di tensione nominale In seguito alla rotazione dell'albero, un qualunque punto materiale posto sulla relativa superficie esterna di quest'ultimo risulta soggetto ad un ciclo di tensione nominale che presenta i seguenti valori massimi e minimi di tensione: σ zmax := σ zn + σ zmxmax σ zmin := σ zn + σ zmxmin per cui si ottengono i seguenti parametri caratteristici del ciclo di tensione affaticante Δσ := σ zmax σ zmin ovvero Δσ := σ zmxmax σ zmax + σ zmin σ m := ovvero σ m := σ zn da cui: Δσ = MPa σ m = MPa

17 Verifica a fatica Dato che la tensione media è diversa da zero, si rende necessario introdurre la correzione di Sodeberg, per ridursi ad un cilo equivalente con tensione media nulla: σ s Δσ eq := Δσ Δσ σ s σ eq = MPa m Il valore ottenuto deve essere moltiplicato per Kt per tener conto della locale amplificazione delle tensioni dovuta alla variazione di diametro, e confrontata con il limte di fatica: Δσ eq K t = Pa < Δσ L = 00 MPa La sezione è pertanto verificata a fatica, con coefficiente di sicurezza: Δσ L = Δσ eq K t

18 QUESITO (punti 6) Data la colonna verticale mostrata nella Fig..1, realizzata in acciaio e recante una massa alla sommità, determinare, trascurando la massa propria della trave: il massimo valore ammissibile della massa, per una tensione di snervamento del materiale della colonna pari a 50 MPa ed a 500 MPa il valore stimato della prima frequenza propria del sistema massa-trave, in presenza della massima massa ammissibile nei due suddetti casi Fig..1

19 Svolgimento La colonna viene assimilata ad una trave a mensola incastrata alla base, secondo lo schema di Fig... Fig.. Di seguitano si riportano i valori delle principali grandezze, come risultanti dalla Fig ϕ c := 0.8 m s pc := 0 mm σ s1 := 50 MPa σ s := 500 MPa L 0 := 1 m

20 Proprietà della sezione Le principali proprietà della sezione sono: A := π ϕ c ( ) ϕ c s pc A = m ( ) π ϕ c ϕ c s pc J x := J 6 x = m Calcolo massimo valore ammissibile per la massa Il cedimento della struttura data può avvenire per due meccanismi: collasso plastico instabilità Nel seguito vengono calcolati i valori limte che la massa posta alla sommità può assumere al fine di causare il cedimento secondo i due meccanismi ipotizzati. Collasso plastico La colonna è soggetta ad una forza normale di valore uniforme e pari ad Mg. Lo stato di tensione che ne consegue è dato da: σ z := Mg A La condizione limite si ha per: σ z := σ s Per cui si ottiene, per il massimo valore possibile per la massa: M := σ s A g da cui: M max1 := σ s1 A g per σ s := 50 MPa M max1 = kg σ s A M max := per σ g s := 500 MPa M max = kg

21 Instabilità dell'equilibrio La trave, incastrata alla base, presenta una lunghezza liber aeffettiva di inflessione pari a *L0: L lib := L 0 Il valore del carico critico è pari a: P cr := π E J x L lib Per cui si ottiene un valore massimo ammissibile per la massa dato da: π E J x M cr := M cr = kg L lib g Valore massimo ammissibile per la massa Snervamento = 50 MPa In questo caso, il collasso plastico si verifica per un valore della massa minore di quello che determina l'instabilità dell'equilibrio, per cui: ( ) M mx50 := min M cr, M max1 M mx50 = kg Snervamento = 500 MPa In questo caso, il collasso plastico si verifica per un valore della massa maggiore di quello che determina l'instabilità dell'equilibrio, per cui: ( ) M mx500 := min M cr, M max M mx500 = kg

22 Calcolo prima frequenza propria Il valore della prima frequenza propria può essere stimato assimilando la trave ad una molla che reagisca elasticamente ad uno spostamento orizzontale della sua estermità. Il relativo valore di rigidezza può essere ottenuto come rapporto tra un carico qualsiasi applicato all'etremo superiore in direzione orizzontale (ad esempio, di valore unitario) ed il relativo spostamento. E' noto che, per una trave a mensola sollecitata nel modo descritto (Fig..3) risulta: δ := 3 PL 0 3E J x da cui: P 3E J x 3E J x := k := k N = δ 3 3 m L 0 L 0 Fig..3

23 La frequenza propria risulta pertanto data da: Snervamento = 50 MPa 1 k f 50 := f π M 50 = mx50 s Snervamento = 500 MPa 1 k f 500 := f π M 500 = mx500 s

24 E' da notare che la eventuali vibrazioni in altre direzioni, ad esempio in direzione assiale (Fig..), avvengono a frequenze superiori in quanto la trave risulta, per questo tipo di spostamenti, molto più rigida, il relativo valore di rigidezza essendo dato da: N := δ A EA L 0 EA k A := k L A N = 0 m e la frequenza propria per vibrazioni assiali: 1 k A f A500 := f π M A500 = mx500 s Fig..