Applicazioni a barre e travi. Lavoro, energia

Transcript

1 Lavoro, energia Premessa Il teorema di Castigliano - metodo Il teorema di Castigliano - applicazione L equazione dei lavori virtuali - metodo Il lavoro virtuale interno per le travi 006 Politecnico di Torino

2 Uno sguardo generale (/) L applicazione del teorema di Castigliano a una struttura semplice (una struttura reticolare composta di aste caricate a trazione o a compressione) ci permetterà di mettere in evidenza il gioco della sovrapposizione degli effetti, la composizione dei termini dell energia, i modi di calcolo degli spostamenti nei punti desiderati. Seguirà il calcolo tramite l applicazione dell equazione dei lavori virtuali. 006 Politecnico di Torino

3 Uno sguardo generale (/) Caratteristica di questa struttura, e di tutte le altre prese in esame in questa lezione, è la determinazione statica, cioè il fatto di poter innanzitutto trovare gli sforzi in ogni elemento della struttura tramite le equazioni di equilibrio. Questo fatto non è contingente, cioè legato al particolare esempio prescelto, ma è invece essenziale in quanto si deve esprimere l energia interna del sistema in funzione dei carici (forze, momenti) applicati alla struttura. Uno sguardo generale (/) Si metterà in evidenza ce sia il teorema di Castigliano sia l equazione dei lavori virtuali permettono il calcolo selettivo degli spostamenti, cioè un calcolo ce non riciede la conoscenza di nessun spostamento oltre a quello desiderato Politecnico di Torino

4 Metodo (/) Per semplicità di calcolo, consideriamo una struttura su cui sono applicati solo carici concentrati; il teorema di Clapeyron: T U d {} F P {} u P P L η j j F j F Il teorema di Castigliano: L F j η j F j u Politecnico di Torino

5 Metodo (/) Applicato in questa forma il teorema di Castigliano riciederebbe il calcolo preliminare degli η j e quindi si ridurrebbe a una verifica banale di una proprietà della derivata di forma omogenea. Poicé invece: L U d si può derivare lo scalare energia potenziale elastica: L ( U d) u F F Politecnico di Torino

6 Struttura reticolare caricata con F Forza F nel nodo, in direzione verticale: a a a F Commenti Questa è una struttura composta di aste incernierate agli estremi, ciascuna atta a sopportare solo carici assiali, passanti per i centri delle cerniere. È una struttura semplice, ce permette di calcolare tramite le equazioni di equilibrio non solo le reazioni vincolari ma ance i carici sopportati da tutte le aste. 006 Politecnico di Torino 6

7 Reazioni vincolari Le reazioni vincolari, calcolate tramite le equazioni di equilibrio, e la forza sull asta -: F F F F F a a F Forze sul nodo Tramite un sezionamento del nodo, le forze dalle aste al nodo: F F F F F F F 006 Politecnico di Torino 7

8 Forze sulle aste Quindi le forze sulle aste - e -: F F F F F F F F Forze sul nodo L equilibrio del nodo : F F F F F F F F Politecnico di Torino 8

9 Forze sulle aste Quindi le forze sulle aste - e -: F F F F F F F F 7 Forze sui nodi e Equilibrio del nodo e verifica del nodo : F F F F F F F F F F Politecnico di Torino 9

10 Forze su tute le aste dovute a F Forze su tutte le aste (forze ce i nodi esercitano sulle aste): F F F F F F F F F F 9 Struttura reticolare caricata con F Forza F nel nodo, in direzione verticale: a F a a Politecnico di Torino 0

11 Reazioni vincolari Le reazioni vincolari, calcolate tramite le equazioni di equilibrio, e la forza sull asta -: F F F F F F a a Forze su nodi e aste (/) Le aste -, -, -, - sono scarice: F 006 Politecnico di Torino

12 Forze su nodi e aste (/) Equilibrio del nodo e verifica del nodo : F F F F F F F F Forze su nodi e aste (/) Forze su tutte le aste (forze ce i nodi esercitano sulle aste): F F F F F F 006 Politecnico di Torino

13 Sovrapposizione degli effetti Sovrapponendo il caso F con il caso F le forze sulle aste sono date dalla somma dei due casi: (F+F ) F F F F +F F F F Energia potenziale elastica (/) Travi di lungezza l e forza assiale P, anno energia elastica: σε P A P EA EA P Al l EA pertanto tenuto conto delle forze e delle lungezze, scriviamo accanto a ciascuna asta la propria energia elastica P Politecnico di Torino

14 Energia potenziale elastica (/) dove si scrive per brevità: l c EA L energia totale è la somma delle energie parziali qui indicate per ogni asta. cf ( ) c F + F ( ) F F c + cf cf cf F F 7 Calcolo degli spostamenti (/) Nella figura seguente si associano ad ogni asta le rispettive derivate rispetto a F ; la loro somma fornisce u (F,F ). Lo spostamento verticale in dovuto alla sola F, u (F ), si calcola derivando l energia elastica rispetto a F e poi ponendo F 0 (ance quando la forza F è nulla, per calcolare lo spostamento in è necessario definirla, in modo da far comparire l energia associata) Politecnico di Torino

15 Calcolo degli spostamenti (/) u (F,F ) c( F + F )+ c F + F ( ) 0 ( ) c F + F ( ) c F + F l Per F 0 u (F ) cf F + EA ( + ) ( ) η 9 F Calcolo degli spostamenti (/) Nella figura seguente si associano ad ogni asta le rispettive derivate rispetto a F ; la loro somma fornisce u (F,F ). Lo spostamento verticale in dovuto alla sola F, u (F ), si calcola derivando l energia elastica rispetto a F e ponendo F Politecnico di Torino

16 Calcolo degli spostamenti (/) u (F,F ) cf + ( F + F ) c ( ) 6 + cf ( ) c F + F ( ) c F + F cf cf cf v (F ) Per F 0 v (F ) ( 8 l ) cf F EA + 7 η F + ( ) 006 Politecnico di Torino 6

17 Equazione dei lavori virtuali (/) σ i, A + L equazione dei lavori virtuali si scrive: i δε i T {}{ Φ δu} d T {} t { δu} da + + P n T { F} { δu}+ P d lavoro virtuale interno uguale alla somma di lavoro virtuale esterno delle tensioni sulla superficie A lavoro virtuale esterno delle forze concentrate in punti P lavoro virtuale esterno delle forze di volume Metodo (/) Dato un corpo elastico soggetto a carici {F} A si vuole calcolare lo spostamento u P in una data direzione in un dato punto P F A,i u PA P {F} A 006 Politecnico di Torino 7

18 Metodo (/) si pone allora una forza δf P in tale punto e nella direzione desiderata; questa forza genera un campo di spostamenti virtuali δu. { } AP δf P δu AP,i F A,i u PA P {F} A { δu} AP Metodo (/) Consideriamo, per semplicità di formulazione, il caso in cui siano presenti solo forze esterne concentrate : σ i δε i d i, Per il teorema di Betti-Maxwell, versione estesa, il lavoro esterno dei carici {F} A per gli spostamenti { δu} indotti dalla forza virtuale δf P è uguale al lavoro della forza virtuale per lo spostamento u PA prodotto dai carici {F} A : { F } T { } { F } T { δu} δu FA,i δuap,i δf P u PA i Politecnico di Torino 8

19 Metodo (/) Ne segue la formulazione: σ i δε i d δf P u PA i, ce per comodità di calcolo viene scritta dividendo ambo i membri per δf P, ( ) δε σ i i d u i, ( PA δfp ) ce, vista la dipendenza lineare di δε i da δf P, equivale numericamente (concettualmente è un controsenso) a mettere in gioco deformazioni virtuali prodotte da un carico F P di valore unitario Politecnico di Torino 9

20 Lavoro virtuale e caratteristice (/) Calcoliamo ora le espressioni del lavoro virtuale interno: σ i δε i d i, per le diverse caratteristice di sollecitazione applicabili a barre (aste) e travi: Forza assiale (o normale ): Momento flettente: Forza di taglio: N M T 9 Lavoro virtuale e caratteristice (/) Le caratteristice producono: N tensioni costanti sulla sezione: σ zz a δn deformazioni costanti sulla sezione: δε zz δb M tensioni linearmente variabili : σ zz my δm deformazioni linearmente variabili:δε zz δny T tensioni variabili sulla sezione : δt tensioni variabili sulla sezione : τ zy γ zy Politecnico di Torino 0

21 Lavoro virtuale e caratteristice (/) Le τ zy compiono lavoro solo moltiplicate per le rispettive δγ zy, mentre le tensioni normali a+my compiono lavoro per le rispettive deformazioni δb+δny; ma ( a + my) ( δb + δn y) d ( a δb + my δn y + a δn y + my δb) d termini misti v. dopo Momento flettente v. dopo Forza assiale Lavoro dei termini misti Il lavoro dei termini misti: èdel tipo ( a δn y my δb) + y da l { A momento statico d area d yd ( )dl Poicé l origine di y è presa sul baricentro della sezione, il momento statico è nullo. Quindi il lavoro dei termini misti è nullo. 006 Politecnico di Torino

22 Lavoro della forza assiale (/) Dato un elemento di trave di spessore dz: da da N N b dz σ zz A dz su cui le tensioni sono uniformemente distribuite. Lavoro della forza assiale (/) Sistema di tensioni equilibrato dovuto ai carici reali: N N σzz A Sistema di deformazioni virtuali prodotte dalla sollecitazione assiale δn dovuta a una forza esploratrice virtuale δf P : δn δσ zz δn δε A zz δn EA 006 Politecnico di Torino

23 Lavoro della forza assiale (/) Lavoro virtuale interno: σiδεid σ zz δε z d i, l N δn Adz A EA l NδN dz EA Lavoro del momento flettente (/) Dato un elemento di trave di spessore dz: σ zz y x M x z dz Politecnico di Torino

24 Lavoro del momento flettente (/) Sistema di tensioni equilibrato dovuto ai carici reali: M M x x σzz y I x Sistema di deformazioni virtuali prodotte dal momento δm x dovuto a una forza esploratrice virtuale δf P : δm x δσ zz δm I x x y δε zz δm EI x x y 7 Lavoro del momento flettente (/) Lavoro virtuale interno: σiδεid σ zz δε z d i, l M x δm E I x x M M ( y da) dz x δ xdz A l E Ix Politecnico di Torino

25 Lavoro della forza di taglio (/) Dato un elemento di trave di spessore dz esploriamo il solo caso della sezione rettangolare: T da Y τ zy T b z y dz b 9 Lavoro della forza di taglio (/) La parte di lavoro virtuale dovuta alle τ zy si calcola: σ i i d i, dove τ zy δε T b y τzy δγ zy d δγ zy δt G b y Politecnico di Torino

26 006 Politecnico di Torino 6 δ + Z b dy y T dz T b G Lavoro della forza di taglio (/) Si calcola quindi: con: 8 y 8 y 6 y dy 8y 6y dy y y 8 y 6 y Lavoro della forza di taglio (/) Perciò, sostituendo nell integrale complessivo: σ, i i d i δε τ zy d zy δγ dz A T T 6 G l δ

27 Quando trascurare il lavoro di taglio (/) Il taglio produce gradiente di momento flettente, perciò non si dà la presenza della τ senza la presenza della σ zz dotate di gradiente secondo z. Le σ zz danno luogo alla parte di lavoro virtuale interno corrispondente alla formula: Mx δmx dz l dove, M x e δm x sono funzioni di z. EIx Quando trascurare il lavoro di taglio (/) Il contributo del taglio all energia o al lavoro virtuale complessivo è di norma trascurato. F δf l z M MF z TF Ne diamo qui una giustificazione empirica basata sui valori tipici di una mensola a sezione rettangolare. Calcoliamo lo spostamento nel punto di applicazione di F. 006 Politecnico di Torino 7

28 Quando trascurare il lavoro di taglio (/) Il lavoro virtuale dovuto alla flessione: l x l Mx δ Mx F F F F l dz δ z dz δ EIx EI EI Il lavoro virtuale dovuto al taglio: 6 G z T δt dz A 0 6 F δf l G A x Con: E G ( + ν ) I x b A Quando trascurare il lavoro di taglio (/) Il contributo del momento diventa superiore a quello del taglio quando: F δf EI x l > δ l ( + ν) 6 F F l G A ovvero: > l > 0,88 6 0,78 Cioè per una trave talmente tozza da renderne illegittima la descrizione tramite le ordinarie equazioni di flessione. Per l0 il contributo della flessione è salito di 00 volte il contributo del taglio Politecnico di Torino 8