ESERCIZI DA ESAMI ( ) Principio delle tensioni efficaci, tensioni geostatiche e storia dello stato tensionale

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1 ESERCIZI D ESMI ( ) Principio delle tensioni efficaci, tensioni geostatiche e storia dello stato tensionale Esercizio 1 Si consideri la seguente successione di strati orizzontali (dall'alto al basso): da (m) a (m) terreno γ (kn/m 3 ) K sabbia sabbia argilla sabbia la falda è alla profondità z w (m) = 2 si assuma: γ w (kn/m 3 ) = 10 a) determinare e disegnare i profili delle tensioni totali ed efficaci, verticali ed orizzontali, b) determinare e disegnare i cerchi di Mohr in termini di tensioni totali ed efficaci nei punti: z (m) O 0 2 B 5 C 9 D 14 da (m) a (m) terreno γ (kn/m 3 ) K sabbia sabbia argilla sabbia la falda è alla profondità z w (m) = 2 si assume γ w (kn/m 3 ) = 10 punto z (m) K 0 u (kpa) σ v (kpa) σ' v (kpa) σ' h (kpa) σ h (kpa) O Bsup Binf Csup Cinf D

2 Esercizio 2 Con riferimento ai dati ed alla figura valutare: a) le tensioni totali ed efficaci nei punti e B prima dell'erosione; b) le tensioni totali ed efficaci, nei punti e B dopo l'erosione; prima dell'erosione il terreno è N.C. p.c. prima dell'erosione c terreno eroso d a (m) = 5 b (m) = 25 c (m) = 5 d (m) = 25 a b γ (kn/m 3 ) = 19.8 φ' ( ) = 30 c' (kpa) = 0 B a (m) = b (m) = c (m) = d (m) = γ (kn/m 3 ) = φ' ( ) = c' (kpa) = 5 H13 25 H14 5 H15 25 H H18 30 H19 0 H20 a) tensioni prima dell'erosione z σ v01 u 01 σ' v01 K 0,NC σ' h01 σ h01 (m) (kpa) (kpa) (kpa) ( - ) (kpa) (kpa) B b) tensioni dopo l'erosione z σ v02 u 02 σ' v02 OCR K 0,OC σ' h01 σ h01 (m) (kpa) (kpa) (kpa) ( - ) ( - ) (kpa) (kpa) B Esercizio 3 Un deposito di terreno è costituito da uno strato orizzontale di sabbia di spessore H 1 sovrastante uno strato orizzontale di argilla, di permeabilità molto bassa, di spessore H 2. La profondità della falda freatica è z w. Il peso di volume della sabbia al di sopra del livello di falda è γ 1 e al di sotto di tale livello è γ 1sat. Il coefficiente di spinta a riposo della sabbia è K 01. Il peso di volume dell'argilla è γ 2. Il coefficiente di spinta a riposo dell'argilla è K 02. Determinare lo stato tensionale nei punti e B alle profondità rispettivamente z e z B. Nell'ipotesi che il livello di falda si innalzi in un tempo molto breve della quantità z w e permanga a lungo a tale nuova profondità, si determini lo stato tensionale nei punti e B, subito dopo e 2

3 molto tempo dopo l'innalzamento di falda. dati: H 1 = 9m γ 1 = 16 kn/m 3 K 01 = 0.47 H 2 = 6m γ 1sat = 19 kn/m 3 z w = 6m γ 2 = 20 kn/m 3 K 02 = 0.63 z = 8m γ w = 9.8 kn/m 3 z B = z w = 12 m 3m z* w Sabbia z w z w z H 1 z B rgilla B H 2 Prima dell'innalzamento della falda (condizioni idrostatiche): punto σ v = γ 1 z w + γ 1sat (z - z w ) = kpa u = γ w (z - z w ) = kpa kpa σ' h = K 01 σ' v = kpa kpa punto B σ v = γ 1 z w + γ 1sat (H 1 - z w ) + γ 2 (z B - H 1 ) = kpa u = γ w (z B - z w ) = kpa kpa σ' h = K 02 σ' v = kpa kpa Subito dopo l'innalzamento di falda Nello strato di sabbia, molto permeabile, la pressione neutra è governata dal nuovo livello di falda, mentre nello strato di argilla, molto poco permeabile, essa è ancora governata dal precedente livello di falda. Inoltre l'incremento di pressione verticale totale dovuto all'incremento del peso di volume da γ 1 a γ 1sat nella fascia di terreno di spessore z w produce istantaneamente un eguale incremento di pressione neutra nello strato di argilla. Pertanto si ha: z w * = z w - z w = 3m punto σ v = γ 1 z w * + γ 1sat (z - z w *) = kpa u = γ w (z - z w *) = kpa kpa 3

4 σ' h = K 01 σ' v = punto B σ v = γ 1 z w * + γ 1sat (H 1 - z w *) + γ 2 (z B - H 1 ) = u = γ w (z B - z w ) + (γ 1sat - γ 1 ) z w = σ' h = K 02 σ' v = kpa kpa kpa kpa kpa kpa kpa Molto tempo dopo l'innalzamento della falda (condizioni idrostatiche): punto (come subito dopo l'innalzamento della falda) σ v = γ 1 z w * + γ 1sat (z - z w *) = kpa u = γ w (z - z w *) = kpa kpa σ' h = K 01 σ' v = kpa kpa punto B σ v = γ 1 z w * + γ 1sat (H 1 - z w *) + γ 2 (z B - H 1 ) = kpa u = γ w (z B - z w *) = kpa kpa σ' h = K 02 σ' v = kpa kpa Esercizio 4 Con riferimento alle tre situazioni schematizzate in figura: a) determinare i valori di σ v0, σ' v0 e u 0 nei punti, B e C. b) Stimare negli stessi tre punti il valore di σ' h0 nell'ipotesi che lo strato di argilla sia NC e che il suo inviluppo a rottura sia caratterizzato da: φ' ( ) = 28 e c' = 0. c) Se nella situazione a si verifica un fenomeno di erosione di 2 m, accompagnato da un abbassamento di falda della stessa entità: c1) determinare il valore del grado di sovraconsolidazione OCR nel punto B. c2) stimare il valore di σ' h0 nel punto B. situazione a situazione b situazione c peso di volume dell'argilla NC: γ = 18 kn/m 3 a) b) K 0 (NC) = 1 - senφ' = H/2 argilla NC B B B H/2 H w C C C sabbia H = 10 m H w = 2 m γ w = 9.8 kn/m 3 4

5 situazione a punto z (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ' h0 (kpa) B C situazione b i = H w / H = punto z (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ' h0 (kpa) B C situazione c punto z (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ' h0 (kpa) B C c) dopo l'erosione (situazione a) K 0 (OC) = K 0 (NC) OCR 0.5 punto z (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) OCR K 0 (OC) σ' h0 (kpa) B Esercizio 5 Calcolare e disegnare i profili delle tensioni verticali totale, efficace e neutra per le condizioni stratigrafiche e geotecniche indicate in figura. (Lo strato inferiore di sabbia è sede di una falda artesiana). h w sabbia h s z w Z argilla sabbia h a h s dati: h w = 4m z w = 2m h s = 4m h a = 4m γ w = 9.81 kn/m 3 peso di volume della sabbia: γ 1 = 16.5 kn/m 3 sopra falda γ 2 = 19 kn/m 3 sotto falda peso di volume dell'argilla: γ 3 = 20 kn/m 3 prof. Z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) z w h s

6 h s + h a h s +h a +h s tensioni verticali (kpa) sv u s'v profondità (m) Esercizio 6 In un punto M del terreno la pressione neutra u e le tensioni totali normali σ e tangenziali τ valgono: u (kpa) = 10 σ (kpa) τ (kpa) sul piano orizzontale: sul piano verticale: Determinare le tensioni principali totali ed efficaci. τ u σ 1 (kpa) = σ 3 (kpa) = σ' 1 (kpa) = σ' 3 (kpa) = τ σ' 3 σ' 1 σ 3 σ 1 σ' h σ' v σ h σ v Esercizio 7 Un rilevato di grande estensione, altezza H = 8 m e peso per unità di volume γ = 21.5 kn/m 3 è stato realizzato su un deposito di argilla normalconsolidata (ϕ' = 26 ; γ sat = 18.5 kn/m 3 ). Dopo molti anni il rilevato viene rimosso. Determinare come variano a lungo termine le tensioni totali ed efficaci, orizzontali e verticali alle profondità di 1 m, 5 m e 10 m dal piano di campagna attuale, supponendo che il livello di falda, ad 1 m di profondità, non vari. H R = 8 (m) γ R = 21.5 (kn/m 3 ) ϕ' = 26 ( ) 6

7 γ sat,c = 18.5 (kn/m 3 ) Ζ w = 1 (m) Ζ = 1 (m) Ζ B = 5 (m) Ζ C = 10 (m) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Soluzione Si calcolano le tensioni efficaci verticali, σ' vo, alle profondità Z, Z B e Z C dopo la realizzazione del rilevato e dopo un tempo tale da potersi considerare terminato il processo di consolidazione. Si determina il coefficiente di spinta a riposo, che essendo l'argilla NC, è dato da: k 0 = 1 - sinϕ' (Jaki, 1944) k 0 = 0.56 Quindi si calcolano le tensioni efficaci orizzontali,σ' ho = k o σ' v0 e totali σ ho = σ' ho + u Dopo la completa rimozione del rilevato, si suppone che le sovrappressioni negative generate si siano interamente dissipate e che il livello di falda sia rimasto invariato. Quindi si calcolano i nuovi valori delle tensioni efficaci verticali, σ' vf, e il valore del grado di sovraconsolidazione OCR = σ' vo /σ' vf, alle profondità Z, Z B e Z C dopo la realizzazione del rilevato e le tensioni efficaci orizzontali,σ' ho = k o σ' v0 e totali σ ho = σ' ho + u, assumendo k o (OC) = k 0 (NC) OCR 0.5 Prof (m) σ' vo (kpa) u 0 (kpa) σ vo (kpa) σ' ho (kpa) σ ho (kpa) σ' vf (kpa) u f (kpa) σ vf (kpa) OCR (-) k 0 (-) σ' hf (kpa) σ hf (kpa)