RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Esercizi svolti

Transcript

1 Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale ( RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI Esercizi svolti Corso di Fondamenti di Geotecnica Scienze dell Ingegneria Edile, A.A. 2009\2010 Johann Facciorusso johannf@dicea.unifi.it

2 Rappresentazione degli stati tensionali CERCHI DI MOHR Esercizio 1 Un campione di terreno a sezione quadrata è soggetto alle forze indicate in Figura. Determinare: I. le tensioni totali principali, σ 1 e σ 3 e l angolo di inclinazione ψ del piano corrispondente alla massima tensione principale (π 1 ) e il piano orizzontale; II. la massima tensione di taglio max III. le tensioni agenti su un piano inclinato (in senso orario) di 30 rispetto al piano della massima tensione principale (π 1 ). Dati: Lato dell elemento (L) = 100 mm Forza normale agente sul piano orizzontale (N v ) = 5 kn Forza normale agente sul piano verticale (N H ) = 3 kn Forza tangenziale agente sul piano orizzontale e verticale (T H = T V ) = 1 kn 100 mm Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 2/63 5 kn 1 kn 1 kn 3 kn

3 Rappresentazione degli stati tensionali I. Determinare le tensioni totali principali, σ 1 e σ 3 e l angolo di inclinazione ψ del piano corrispondente alla massima tensione principale (π 1 ) e il piano orizzontale; A partire dai valori delle forze agenti sulle facce, orizzontali e verticali, dell elemento si ricavano (con riferimento ad uno stato tensionale piano) le tensioni normali e tangenziali corrispondenti, assumendo: le tensioni normali con segno positivo, quando sono di compressione, e con segno negativo, quando sono di trazione (in geotecnica sono sempre positive, non potendo il terreno sostenere sforzi di trazione) le tensioni tangenziali con segno positivo quando danno luogo ad una coppia antioraria e con segno negativo quando danno luogo ad una coppia oraria gli angoli con segno positivo se misurati in senso antiorario si considerano positivi, altrimenti negativi. L area dell elemento vale: = L 2 = mm 2 =10 2 m 2 σ v = N V /A = 5kN/10 2 m 2 = 500 kpa σ H = N H /A = 3kN/10 2 m 2 = 300 kpa V = T H /A = 1kN/10 2 m 2 = 100 kpa H = T H /A = 1kN/10 2 m 2 = 100 kpa = V Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 3/63 σ v H V σ H

4 Rappresentazione degli stati tensionali Una volta che si conoscono le tensioni agenti su almeno due piani tra loro ortogonali (passanti per il punto del terreno di cui si vuole caratterizzare lo stato tensionale), il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale del terreno (in quel punto) è univocamente determinato, in quanto i punti del cerchio di Mohr che rappresentano le tensioni agenti su tali piani sono diametralmente opposti. In tal caso il punto che rappresenta la tensione agente sul piano orizzontale è: H (σ v, H ) ( 500 kpa, 100 kpa) e sul piano verticale: V (σ H, V ) ( 300 kpa, 100 kpa) e le coordinate del centro C valgono: C [(σ v +σ H )/2 ; 0] ( 400 kpa, 0 kpa) e il raggio R: R = (VA 2 +VC 2 V H ) R σ σ = 2 = [( )/2] ] 1/2 = kpa 2 + VH H Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 4/63 HV 2 HV O V A σ H R C σ V σ

5 Rappresentazione degli stati tensionali Le tensioni principali, maggiore e inferiore, valgono rispettivamente: σ 1 = OC + R = 400 kpa kpa = KPa σ 3 = OC R = 400 kpa kpa = KPa Si assume come riferimento per individuare l orientazione dei piani del O P σ H C σ V fascio il piano principale maggiore π σ 3 1 (la ψ 2ψ σ 1 σ cui traccia è l asse σ) e P (σ R 3,0) rappresenta il polo del cerchio. VH H Siccome il polo rappresenta il punto tale che qualunque retta uscente da esso interseca il cerchio in un punto le cui coordinate rappresentano lo stato tensionale agente sul piano che ha per traccia la retta considerata, la retta PH è la traccia del piano orizzontale e l asse σ rappresenta la traccia del piano π 1, ne consegue che l angolo di inclinazione tra i due piani vale: ψ = CPH ma: HV = R sen(2ψ) ψ = [arcsen( HV /R)]/2 = arcsen(100/141.4)/2 = 22.5 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 5/63 HV V

6 Rappresentazione degli stati tensionali II. Determinare la massima tensione di taglio max Il valore massimo della tensione tangenziale, è pari al raggio del cerchio di Mohr. M V max = R = kpa ed agisce su un piano ruotato di π/4 rispetto R al piano principale maggiore (M). O P π/4 C σ V σ θ σ 3 σ σ θ 2θ 1 III. le tensioni agenti su un piano inclinato H (in senso orario) di 30 rispetto al piano θ N della massima tensione principale (π VH 1 ). H Sempre con riferimento al polo P il piano cercato ha per traccia la retta PN e le tensioni agenti su tale piano, rappresentate dalle coordinate di N, sono (con θ = 30 ): Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 6/63 HV θ = R sen(2θ) = kpa sen ( 2 30 ) = kpa σ θ = OC+ R cos( 2θ) = 400 kpa kpa cos ( 2 30 ) = kpa σ

7 Rappresentazione degli stati tensionali Esercizio 2 (Esame del 12/12/2007) Con riferimento a un deposito di argilla sovraconsolidata (γ sat = 20 kn/m 3, ϕʹ = 20, OCR = 10) infinitamente esteso in direzione orizzontale e con piano di campagna orizzontale, si consideri un elemento di terreno a profondità z = 6 m dal piano di campagna. Assumendo il livello di falda coincidente col piano di campagna (γ w = 9.81 kn/m 3 ): a) si calcolino le tensioni (efficaci e totali) agenti allo stato attuale sullʹelemento e si disegnino i cerchi di Mohr che ne rappresentano lo stato tensionale; b) si determini il modulo della tensione agente su un piano inclinato di 15 in senso antiorario rispetto allʹorizzontale; c) si individui il piano su cui agisce la massima tensione (intesa in modulo); d) si determini e si disegni lo stato di sforzo massimo (totale ed efficace) a cui lʹelemento èstato sottoposto nella sua storia. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 7/63

8 Rappresentazione degli stati tensionali Dati: Peso di volume saturo (γ sat ) = 20 kn/m 3 Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 20 Grado di sovraconsolidazione (OCR) = 10 Profondità del punto P rispetto al p.c. (Z) = 6 m Peso specifico dell acqua (γ w ) = 9.81 kn/m 3 Profondità della falda rispetto al p.c. (z w ) = 0 m Inclinazione del piano (β) = 15 Z P p.c. a) si calcolino le tensioni (efficaci e totali) agenti allo stato attuale sullʹelemento e si disegnino i cerchi di Mohr che ne rappresentano lo stato tensionale; Considerate le condizioni geometriche (deposito infinitamente esteso in direzione orizzontale e p.c. orizzontale) e l assenza di carichi applicati, lo stato tensionale in un generico punto del deposito è assial simmetrico, per cui le tensioni verticali e orizzontali sono anche tensioni principali e valgono: Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 8/63

9 Rappresentazione degli stati tensionali Considerato che il deposito è sovraconsolidato e quindi: K 0 (OCR) = (1 senϕ ) OCR α = (1 sen20 ) = 2.1 > 1 (si assume α = 0.5) σ v0 = γ sat Z = 20 kn/m 3 6m = 120 kpa = σ 3 (u 0 = γ w Z = 9.81 kn/m 3 6m = 58.9 kpa) σ v0 = (γ sat γ w ) Z=( ) kn/m 3 6m = 61.1 kpa = σ 3 σ h0 = K 0 (OCR) σ v0 = kpa = kpa = σ 1 σ h0 = σ h0 + u 0 = kpa kPa = kpa = σ 1 σ v0 = σ 3 u 0 σ = σ h0 1 p.c. Z O σ v0 σ v0 σ C h0 C σ h0 σ, σ P Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 9/63

10 Rappresentazione degli stati tensionali In condizioni assial simmetriche, se: K 0 >1, σ 1 = σ 2 = σ h ; σ 3 = σ v il piano π 1 è verticale e il piano π 3 è orizzontale. K 0 <1, σ 1 = σ v ; σ 2 = σ 3 = σ h Il piano π 1 è orizzontale e il piano π 3 è verticale. b) si determini il modulo della tensione agente su un piano inclinato di β = 15 in senso antiorario rispetto allʹorizzontale; Si assume come riferimento per individuare l orientazione dei piani del fascio il piano orizzontale che è anche il piano principale minore π 3 (la cui traccia è l asse σ) e P (σ 1,0) (σ h,0) rappresenta il polo del cerchio. Con riferimento al polo P il piano cercato ha per traccia la retta PQ e le tensioni agenti su tale piano, rappresentate dalle coordinate di Q, sono: β = R sen(2β) σ β = OC R cos(2β) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

11 Rappresentazione degli stati tensionali dove R = (σ 1 σ 3 )/2 = ( )/2 = 33.6 kpa OC = σ 3 + R = = 94.7 kpa Quindi: β = R sen(2β) = 33.6 kpa sen(2 15 ) = 16.8 kpa σ β = OC R cos(2β) = 94.7kPa 33.6 cos(2 15 ) = 65.6 kpa e il modulo della tensione vale: R β = ( β2 + σ β2 ) = ( ) 1/2 = 67.7 kpa σ 3 O β σ v0 R β Q σ β C 2β β σ h0 P σ σ 1 D π 1 β π 3 β σ β Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

12 Rappresentazione degli stati tensionali c) si individui il piano su cui agisce la massima tensione (intesa in modulo) Il modulo della tensione agente sul generico piano inclinato di β in senso antiorario rispetto all orizzontale vale: R β = ( β2 + σ β2 ) = [R 2 sen 2 (2β) + OC 2 + R 2 cos 2 (2β) 2ROCcos(2β)] 1/2 = = [R 2 + OC 2 2ROCcos(2β)] 1/2 che assume valore massimo quando 2β = π, ovvero β = π/2. Il piano su cui agisce la massima tensione (in modulo) è quindi il piano principale maggiore, ovveor il piano verticale su cui agisce la tensione orizzontale: R β = R 2 + OC 2 = ( ) 1/2 = kpa R max O σ v0 C 90 σ h0 P σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

13 Rappresentazione degli stati tensionali d) si determini e si disegni lo stato di sforzo massimo (totale ed efficace) a cui lʹelemento èstato sottoposto nella sua storia. Dalla definizione di grado di sovraconsolidazione OCR, la massima tensione efficace verticale raggiunta vale: σ vmax = OCR σ v0 = kpa = kpa = σ 1 e considerando che il deposito è in tal caso normal consolidato: σ hmax = K 0 (NC) σ vmax = (1 senϕ ) σ vmax = (1 sen20 ) kpa = kpa = σ 3 e nell ipotesi che il livello di falda non sia mutato: σ vmax = σ 1 σ vmax = σ vmax + u 0 = kpa kPa = 669 kpa = σ 1 σ hmax = σ hmax + u 0 = kpa kpa = kpa = σ 3 u σ hmax = σ 3 0 O σ, σ σ σ hmax hmax σ C vmax C σ vmax Z p.c. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 P

14 Prova di taglio diretto Esercizio 3 Su un campione di limo sabbioso mediamente addensato (K 0 = 0.5) viene eseguita una prova di taglio diretto applicando uno sforzo normale σ n = 65 kpa. Lo sforzo di taglio a rottura è f = 45 kpa. Determinare i cerchi di Mohr relativi alle condizioni iniziali e a rottura, e le tensioni principali a rottura σ 1f e σ 3f. Dati: Limo sabbioso c = 0 Coefficiente di spinta a riposo (K 0 ) = 0.5 Sforzo normale (σ n ) = 65 kpa Sforzo di taglio a rottura ( f ) = 45 kpa Al termine della prima fase di consolidazione (edometrica) della prova, l incremento di carico assiale σ n si ètrasformato in un pari incremento di tensioni efficaci, lo stato tensionale del provino è assial simmetrico con tensioni efficaci verticali e orizzontali pari rispettivamente a: σ v0 = σ n = 65 kpa = σ 10 σ h0 = K 0 σ v0 = kpa = 32.5 kpa = σ 30 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

15 Prova di taglio diretto Sul piano di Mohr il cerchio che rappresenta lo stato tensionale a fine consolidazione ha quindi raggio R e centro C: R 0 = (σ 10 σ 30 )/2 = ( )/2 = kpa OC 0 = σ 30 + R = = kpa σ v0 = σ 10 O σ h0 A C 0 σ v0 B σ σ h0 = σ 30 A rottura il cerchio di Mohr corrispondente è tangente all inviluppo di rottura di equazione (c =0): = σ tgϕ nel punto F di coordinate: (σ f, f ) (σ v0, f ), essendo mantenuta costante, anche durante la fase di taglio, la tensione normale. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

16 Prova di taglio diretto e sostituendo nell equazione della retta, si trova l angolo di resistenza al taglio: ϕ = arctg( f /σ n ) = arctg(45/65) = 34.7 F f O ϕ σ h0 A C 0 B R f Cf σ v0 = σ n σ 1,f σ 3,f A rottura, il piano orizzontale (così come quello verticale) non èpiùun piano principale (agisce su di esso una tensione tangenziale) e le tensioni principali valgono: σ 1f = OC f + R f σ 3f = OC f R f dove (considerando prima il triangolo rettangolo C f FO e poi FBO): R f = OF tgϕ = (FB/senϕ ) tgϕ = f /cosϕ = 45 kpa/cos(34.7 ) = 54.7 kpa OC f = R f /senϕ = 54.7 kpa/sen(34.7 ) = 96.1 kpa Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 σ σ f f

17 e sostituendo : σ 1f = OC f + R f = ( )kPa = kpa f σ 3f = OC f R f = ( )kPa = 41.4 kpa F θ P Prova di taglio diretto σ f O ϕ G 2θ T R fcf H σ 3,f σ 1,f Assumendo come piano di riferimento, il piano orizzontale, il polo del cerchio è rappresentato dal punto P e l angolo che misura l inclinazione del piano principale minore rispetto all orizzontale vale (considerando il triangolo rettangolo C f FT θ = 1/2 arcsen( f /R f ) = 1/2 arcsen(45 kpa/54.7 kpa) = 27.7 ovvero durante la fase di taglio i piani principali sono ruotati di θ = Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 σ f

18 Prova di taglio diretto Esercizio 4 (Esame del 10/12/2008) In un deposito di terreno sabbioso, con falda coincidente col piano di campagna, è stato prelevato un campione ad una profondità z 0 di 3 m dal piano di campagna. Da tale campione sono stati estratti tre provini a sezione quadrata (di lato l = 6.2 cm e altezza h = 2 cm) su cui èstata eseguita una prova di taglio diretto, con i risultati di seguito riportati in termini di carico assiale applicato, N, e forza di taglio orizzontale a rottura, T f. Provino N (N) T f (N) a) Si disegni lʹinviluppo a rottura secondo il criterio di Mohr Coulomb e i cerchi di Mohr a rottura corrispondenti ai tre provini, calcolando, per ciascuno, le tensioni principali a rottura. b) Se nel punto ove è stato estratto il campione lo stato tensionale totale valutato èquello di seguito descritto, si verifichi se esso è compatibile con la resistenza del materiale e si disegni il cerchio di Mohr corrispondente. σ (kpa) (kpa) sul piano orizzontale: sul piano verticale: Si assuma γ w = 10 kn/m 3. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

19 Dati: Deposito sabbioso Profondità del campione rispetto al p.c. (z 0 ) = 3 m Lato del provino (l) = 6.2 cm Altezza del provino (h) = 2 cm Profondità della falda rispetto al p.c. (z w ) = 0 m Peso specifico dell acqua (γ w ) = 10 kn/m 3 Carico assiale (N i ) = (N) Forza di taglio a rottura (T fi ) = (N) Prova di taglio diretto a) Si disegni lʹinviluppo a rottura secondo il criterio di Mohr Coulomb e i cerchi di Mohr a rottura corrispondenti ai tre provini, calcolando, per ciascuno, le tensioni principali a rottura. Si calcolano le tensioni normali e tangenziali a rottura, dividendo le forze applicate per l area della sezione A (anche se durante la prova l area della sezione del provino su cui agiscono effettivamente le forze si riduce progressivamente in misura proporzionale allo scorrimento orizzontale, che, però, a rottura non è noto). Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 z 0 P p.c.

20 Prova di taglio diretto A = l 2 = cm 2 = m 2 σ f(1) = N 1 /A = ( kn)/ m 2 ) = 50 kpa σ f δ f σ f(2) = N 2 /A = ( kn)/ m 2 ) = 100 kpa σ f(3) = N 3 /A = ( kn)/ m 2 ) = 300 kpa h f A f(1) = T f1 /A = ( kn)/ m 2 ) = 36 kpa f(2) = T f2 /A = ( kn)/ m 2 ) = 80 kpa f(3) = T f3 /A = ( kn)/ m 2 ) = 235 kpa N.B. L area della sezione del provino, A f, su cui agiscono effettivamente le forze a rottura non coincide con quella iniziale A 0 = l 2, a causa dello scorrimento δ f tra le due parti del provino lungo il piano di taglio orizzontale (identificabile sulla curva sforzi deformazioni, δ, una volta individuata la resistenza di picco f ): l A f = l (l δ f ) f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 δ δ 20/63 f

21 Prova di taglio diretto Si riportano sul piano di Mohr i punti corrispondenti, che rappresentano le tensioni agenti sul piano di rottura per tre differenti valori della pressione di consolidazione σ. Si determina l equazione della retta interpolante: = m σ + n dove: n = c m = tgϕ f(3) f(2) f(1) O ϕ σ f(1) σ f(2) σ f(3) σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

22 Prova di taglio diretto Si può determinare la pendenza m della retta come media delle pendenze delle rette passanti per ciascuna coppia di punti e poi, sostituendo nell equazione della retta le coordinate dei tre punti si può trovare n come media dei valori trovati: m = σ f(2) f(2) σ f(1) f(1) + σ f(3) f(3) σ f(2) f(2) + σ f(3) f(3) σ f(1) f(1) / 3 [( mσ ) + ( mσ ) + ( mσ )]/ 3 n = f(1) f(1(2) f(2(3) f(3) oppure, con maggiore rigore, si può ricorrere alla regressione lineare (per un qualsiasi numero n di punti): m = n = N i= 1 f dove: σ N f ( i) i= 1 σ m σ σ f f ( i) 2 f ( i) f = 1 N σ N σ N σ f 2 f f ( i) N i= 1 f f = 1 N f ( i) N i= 1 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

23 Prova di taglio diretto applicando la regressione lineare risulta: N 1 f = σ f ( i = ( )/3 kpa = 150 kpa σ f m = = f ( i) N i= 1 N i= 1 σ N ) N i= 1 N 1 f f ( i) i= 1 σ f ( i) 2 f ( i) f = ( )/3 kpa = 117 kpa N σ N σ f 2 f n = m σ = kpa f = [( ) ]/[( ) ] = 27650/35000 = 0.78 da cui si ricavano i parametri di resistenza al taglio del terreno: c = n 0 kpa ϕ = arctg(m) = arctg(0.78) 38 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

24 Prova di taglio diretto I punti, che rappresentano le tensioni agenti sul piano di rottura per tre differenti valori della pressione di consolidazione σ, oltre che appartenere all inviluppo a rottura, costituiscono il punto di tangenza tra l inviluppo e i cerchi di Mohr a rottura corrispondenti: Il raggio dei cerchi a rottura vale: R 1 = f(1) /cosϕ = 36/cos38 = 45.7 kpa R 2 = f(2) /cosϕ = 80/cos38 = kpa R 3 = f(3) /cosϕ = 235/cos38 = kpa Il centro dei cerchi a rottura è dato da: OC 1 = σ f(1) + R 1 senϕ = sen38 = 78.1 kpa OC 2 = σ f(2) + R 2 senϕ = sen38 = kpa OC 3 = σ f(2) + R 2 senϕ = sen38 = kpa ϕ f(3) f(2) f(1) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 O R 1 ϕ R 3 R 2 σ f(1) C 1 σ f(2) C 2 σ f(3) C 3 24/63 σ

25 Prova di taglio diretto Le tensioni principali a rottura valgono dunque per i tre cerchi: σ III(1) = OC 1 R 1 = ( ) kpa = 32.4 kpa σ I(1) = OC 1 + R 1 = ( ) kpa = kpa σ III(2) = OC 2 R 2 = ( ) kpa = 61 kpa σ I(2) = OC 2 + R 2 = ( ) kpa = 264 kpa σ III(3) = OC 3 R 3 = ( ) kpa = kpa σ I(3) = OC 3 + R 3 = ( ) kpa = kpa b) Se nel punto ove è stato estratto il campione lo stato tensionale totale valutato è quello di seguito descritto, si verifichi se esso è compatibile con la resistenza del materiale e si disegni il cerchio di Mohr corrispondente. σ (kpa) (kpa) sul piano orizzontale: sul piano verticale: Per verificare che lo stato tensionale sia compatibile con la resistenza del materiale, descritta dal criterio di rottura di Mohr Coulomb secondo i parametri (c e ϕ ) precedentemente calcolati, bisogna verificare che il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace sia al di sotto, o sia tangente all inviluppo. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

26 Prova di taglio diretto Essendo presenti sui piani orizzontali e verticale tensioni tangenziali, lo stato non è assial simmetrico: σ v = 246 kpa σ H = 87 kpa H = 122 kpa V = 122 kpa = H e, essendo la falda in condizioni idrostatiche e coincidente col p.c., la pressione interstiziale vale: u = γ w z 0 = 10 3 = 30 kpa e quindi: σ v = σ V u = (246 30) kpa = 216 kpa σ H = σ H u = (87 30) kpa = 57 kpa Una volta che si conoscono le tensioni agenti sul piano orizzontale e verticale, il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale del terreno (in quel punto) è univocamente determinato, in quanto i punti del cerchio di Mohr che rappresentano le tensioni agenti su tali piani (tra loro ortogonali) sono diametralmente opposti (poiché l angolo al centro che sottende i due punti,180 èdoppio dell angolo compreso tra i pian che tali punti rappresentano, 90 ) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

27 Prova di taglio diretto In tal caso il punto che rappresenta la tensione agente sul piano orizzontale è: H (σ v, H ) ( 216 kpa, 122 kpa) e sul piano verticale: V (σ H, V ) ( 57 kpa, 122 kpa) e le coordinate del centro C valgono: C [(σ v + σ H )/2 ; 0] (136.5 kpa, 0 kpa) e il raggio R: R = (VA 2 +VC 2 ) R = σʹ V σʹ 2 H 2 + = [(216 57)/2] ] 1/2 = kpa V L equazione del cerchio di Mohr in coordinate cartesiane è: 2 +(σ C) 2 = R 2 e l equazione dell inviluppo: = m σ Per verificare se l inviluppo è tangente, esterno o secante rispetto al cerchio si determina la loro intersezione: m 2 σ 2 +(σ C) 2 = R 2 (1+m) 2 σ 2 2C σ +C 2 R 2 = 0 HV 2 H V O A σ H C R σ V H σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

28 ovvero: UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE (1+0.78) 2 σ σ = σ σ 2567 = 0 Prova di taglio diretto Le soluzioni di tale equazione rappresentano i punti eventuali di intersezione, il discriminante vale : D = (3.17) ( 2567) >0 per cui esistono due soluzioni reali e distinte, cioè l inviluppo interseca il cerchio di Mohr in due punti, il che non è compatibile con il criterio di rottura adottato. ϕ H R H O A σ H C σ V σ V Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 V 28/63

29 Prove triassiali Esercizio 5 Su un campione di argilla satura (i cui parametri di resistenza al taglio, in termini di tensioni efficaci sono: ϕ = 20 ; c = 0 kpa) vengono eseguite una prova triassiale conosolidata non drenata (TxCIU) e una prova triassiale consolidata drenata (TxCID), alla stessa pressione di cella di 200 kpa. a) Determinare la sovrappressione a rottura u nella prova TxCIU, sapendo che il corrispondente valore del deviatore a rottura, (σ 1 σ 3, è risultato di 175 kpa ed assumendo la back pressure uguale a 0. b) Determinare il valore della pressione deviatorica a rottura, (σ 1 σ 3, raggiunta durante la prova TxCID, sapendo che la back pressure applicata èdi 60 kpa. Dati: Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 20 Coesione (c ) = 0 kpa Pressione di cella (σ c ) = 200 kpa Deviatore a rottura nella prova TxCIU ((σ 1 σ 3 ) = 175 kpa Back pressure nella prova TxCIU (u 0 ) = 0 kpa Back pressure nella prova TxCID (u 0 ) = 60 kpa Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

30 Prove triassiali In entrambi i casi occorre trovare i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni efficaci e totali e le relative tensioni principali. a) Determinare la sovrappressione a rottura u nella prova TxCIU, sapendo che il corrispondente valore del deviatore a rottura, (σ 1 σ 3, è risultato di 175 kpa ed assumendo la back pressure uguale a 0. Durante la prova TxCIU la pressione di consolidazione, σ c, raggiunta al termine della fase di consolidazione isotropa è pari alla differenza fra la pressione di cella (totale), σ c, e la back pressure, u 0 : σ c = σ c u 0 = (200 0)kPa = 200 kpa = σ c Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ 3c (a fine consolidazione) = σ c (di cella) = 200 kpa Essendo noto il valore del deviatore a rottura si può determinare la tensione assiale totale a rottura: σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ 1 σ 3 = ( ) kpa = 375 kpa Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

31 Prove triassiali Poiché durante la fase di compressione assiale si sviluppano sovrappressioni (prova non drenata), la pressione interstiziale u varia rispetto al valore iniziale u 0, e così anche la pressione radiale ed assiale efficaci variano, rispetto ai valori iniziali, a fine consolidazione: σ 1c = σ 2c = σ c = 200 kpa Con riferimento al piano di Mohr, il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace del provino a rttura ha raggio noto pari a: R = (σ 1 σ 3 /2 = 175/2 kpa = 87.5 kpa ed è tangente all inviluppo di rottura, passante per l origine (c = 0) e di pendenza ϕ = 20 O Stato tensionale efficace a rottura F R Stato tensionale totale a rottura C σ 3f =σ rf σ 1f =σ af σ 1f = σ af σ (-), σ(--) σ 1c =σ 3c = σ c σ =σ 1c 3c =σ c =σ 3f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 ϕ

32 Prove triassiali Con riferimento al triangolo rettangolo CFO, si può determinare il centro del cerchio: OC = CF/senϕ = R/senϕ = 87.5/sen20 = kpa Da cui si ricavano le tensioni efficaci principali: σ 3f = OC R = ( )kPa = kpa σ 1f = OC + R = ( )kPa = kpa e nota la tensione totale radiale a rottura, σ 3f, si ricava la pressione interstiziale a rottura: u f = σ 3f σ 3f = ( )kPa = 31.7 kpa = u 0 + u f = u f Stato tensionale efficace ϕ a rottura F Stato tensionale totale a rottura R O C σ 3f =σ rf σ 1f =σ af σ 1f = σ af σ (-), σ(--) σ 1c =σ 3c = σ c σ =σ 1c 3c =σ c =σ 3f u f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

33 Prove triassiali b) Determinare il valore della pressione deviatorica a rottura, (σ 1 σ 3, raggiunta durante la prova TxCID, sapendo che la back pressure applicata è di 60 kpa. Durante la prova TxCID la pressione di consolidazione, σ c, raggiunta al termine della fase di consolidazione isotropa è pari alla differenza fra la pressione di cella (totale), σ c, e la back pressure, u 0 : σ c = σ c u 0 = (200 60)kPa = 140 kpa Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ 3c (a fine consolidazione) = σ c (di cella) = 200 kpa Poiché durante la fase di compressione assiale non si sviluppano sovrappressioni (prova drenata), cioè u 0 = cost, anche la pressione radiale efficace rimane costante: σ 3f (a rottura) = σ 3f u 0 = σ 3c u 0 (= σ 3c, a fine consolidazione) = σ c u 0 = σ c (pressione di consolidazione) = 140 kpa Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

34 Prove triassiali Invece varia progressivamente la pressione assiale (= tensione principale maggiore, σ 1 ), sia totale (σ 1 = σ a )sia efficace (σ 1 = σ a ) σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ a σ r = σ c + (σ a σ r σ 1c σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ a σ r = σ c + (σ a σ r σ 1c Con riferimento al piano di Mohr, il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale efficace del provino a rottura è tangente all inviluppo a rottura e passa per il punto (σ c,0), per cui: OC = σ c + R R = FC = OC senϕ e sostituendo: R = (σ c + R) senϕ R = σ c senϕ /(1 senϕ ) = 140 sen20 /(1 sen20 ) = 72.8 kpa (σ 1 σ 3 = 2R = kpa σ 1f = σ 3f + (σ a σ r = ( )kPa = kpa σ 1f = σ 3f + (σ a σ r = ( )kPa O = kpa σ f σ 1c = σ 3c = σ c = σ 3f Stato tensionale efficace a rottura Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 u 0 34/63 F C σ 3f ϕ σ 1f = σ af σ 1f σ

35 Prove triassiali Esercizio 6 Su tre campioni prelevati in uno strato di argilla di spessore pari a 20 m (con peso di volume γ = 20 kn/m 3 e falda al piano di campagna) sono state eseguite prove triassiali non consolidate non drenate (TXUU) con misura delle pressioni interstiziali. I risultati in termini di tensioni totali e di pressioni a rottura sono riportati in tabella. Prof. σ 3f σ 1f [m] [kpa] [kpa] u f [kpa] Determinare: a) le caratteristiche meccaniche di resistenza al taglio dell argilla b) la coesione non drenata ad una profondità di 10 m Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

36 Prove triassiali Dati: Spessore dello strato di argilla (H) = 20 m Profondità della falda rispetto al p.c. (z w ) = 0 m H z 1 z 2 z3 p.c. Peso di volume dell argilla (γ sat ) = 20 kn/m 3 Profondità di estrazione del campione (z (i) ) = (m) Tensione totale radiale a rottura (σ 3f(i) ) = (kpa) Tensione totale assiale a rottura (σ 1f(i) ) = Pressione interstiziale a rottura (u f(i) ) = (kpa) (kpa) a) Determinare le caratteristiche meccaniche di resistenza al taglio dell argilla Nel caso in esame, diversamente da quanto accade di solito per prove TXUU, sono note anche le pressioni interstiziali a rottura, il che consente di ricavare le tensioni principali efficaci a rottura e quindi di costruire i corrispondenti cerchi di Mohr sia in termini di tensioni totali (per la stima della coesione non drenata) che efficaci (per la stima dell angolo di resistenza al taglio e della coesione). Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

37 Prove triassiali σ 3f(i) = σ 3f(i) u f(i) = σ 1f(i) = σ 1f(i) u f(i) = (kpa) (kpa) Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura per i tre campioni ha un diametro pari a (σ 1 σ 3 (i), passa per i punti di coordinate [σ 3f(i),0] e [σ 1f(i),0], il suo raggio individua la coesione non drenata. c u(i) = [σ 1f(i) σ 3f(i) ]/2 = (kpa) Siccome la prova non è consolidata, la pressione di consolidazione della prova è (all incirca) pari a quella in sito, che, per i tre campioni, essendo differente la profondità di estrazione, varia. Questa spiega il fatto che i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni totali hanno diametro differente, e quindi non sono tangenti allo stesso inviluppo a rottura in termini di tensioni totali ( f = c u ), e quindi la coesione non drenata misurata sia diversa. I cerchi di Mohr a rottura, in termini di tensioni efficaci (riferendosi i campioni di terreno allo stesso strato di argilla supposta omogenea) sono invece tangenti allo stesso inviluppo a rottura ( f = σ tgϕ + c ) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

38 Prove triassiali ϕ c u3 c u2 c u1 c σ 3f(1) = σ 3f(2) σ 1f(1) = σ 3f(3) σ 1f(2) σ 1f(3) σ (--), σ(-) u f(1) u f(2) u f(3) Note le tensioni principali efficaci a rottura, è possibile determinare la posizione del centro e i raggi di tali cerchi: (kpa) R i = [σ 1f(i) σ 3f(i) ]/2 = OC (i) = [σ 1f(i) + σ 3f(i) ]/2 = (kpa) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

39 Prove triassiali Per determinare la pendenza e l intercetta dell inviluppo a rottura si possono considerare i cerchi di rottura a due a due e imporre la tangenza. Ad esempio, con riferimento al secondo e al terzo cerchio, si ottiene: considerando il triangolo rettangolo F (3) TF (2) : R (3) R (2) = (OC (3) OC (2) ) senϕ 23 ϕ 23 = arcsen[(r (3) R (2) )/(OC (3) OC (2) )] = arcsen[(75 55)/( )] = 22.6 e considerando il triangolo rettangolo F (3) C (3) D: R (3) =DC (3) senϕ 23 =(OC (3) +DO) senϕ 23 = = OC (3) senϕ 23 +c /cosϕ 23 c 23 = (R (3) OC (3) senϕ 23 ) cosϕ 23 = = ( sen22.6 ) cos22.6 = 0.06 kpa D O R (2) c σ 3f(1) F (3) F (1) C (1) F (2) R (2) C (2) R (3) C (3) ϕ σ σ 3f(2) σ 1f(1) σ 1f(2) σ 1f(3) 3f(3) T σ Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

40 Prove triassiali Considerando il primo e il terzo cerchio e il primo e il secondo si ottiene: ϕ 13 = arcsen[(r (3) R (1) )/(OC (3) OC (1) )] = arcsen[(75 50)/( )] = 22.6 c 13 = (R (3) OC (3) senϕ 13 ) cosϕ 13 = ( sen22.6 ) cos22.6 = 0.06 kpa ϕ 12 = arcsen[(r (2) R (1) )/(OC (2) OC (1) )] = arcsen[(55 50)/( )] = 22.6 c 12 = (R (2) OC (2) senϕ 12 ) cosϕ 12 = ( sen22.6 ) cos22.6 = 0.04 kpa Si assumono come valori di ϕ e c, le medie dei valori ottenuti: ϕ = (ϕ 12 +ϕ 23 + ϕ 13 )/3 = 22.6 c = (c 12 +c 23 + c 13 )/3 0 L equazione dell inviluppo a rottura, quando non siano noti i punti di tangenza dei cerchi di Mohr a rottura (ovvero le componenti normali e tangenziali della tensione agente lungo il piano di scorrimento), ma solo i cerchi di Mohr a rottura (ovvero le tensioni principali a rottura), può essere determinato anche in questo caso mediante una regressione lineare di punti (e quindi con maggiore precisione) su un piano differente dal piano di Mohr, ovvero sul piano (s, t) : s = [σ 1 + σ 3 ]/2 ; t = [σ 1 σ 3 ]/2 ; Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

41 Prove triassiali Nel nuovo sistema di coordinate i cerchi di Mohr, che rappresentano lo stato tensionale del terreno in un punto, sono sintetizzati da un unico punto, rappresentato dal vertice del cerchio e i percorsi tensionali sono rappresentati da linee. Inoltre l equazione della retta passante per i vertici dei cerchi di Mohr a rottura: t = b + s tgα e legata all equazione dell inviluppo a rottura definita sul piano di Mohr: = c + σ tgϕ mediante le relazioni: senϕ = tgα ; c = b /cosϕ, t V (1) V (2) V (3) α ϕ c b C (1) C (2) C (3) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 σ, s

42 Prove triassiali Le coordinate dei punti da interpolare sono dunque: (s 1, t 1 ) (OC (1), R (1) ) (130, 50) kpa (s 2, t 2 ) (OC (2), R (2) ) (143, 55) kpa (s 3, t 3 ) (OC (3), R (3) ) (195, 75) kpa L equazione della retta interpolante la trovo col metodo dei minimi quadrati: tgα = bʹ n i= 1 n sʹ i= 1 (i) sʹ t = t α s dove: 1 t = n 1 sʹ= n n i= 1 n i= 1 (i) 2 (i) t (i) sʹ(i) n sʹ t n sʹ 2 = [( ) ]/[( ) ] = 910/2366 = 0.38 = kpa = ( )/3 = 60 kpa = ( )/3 = 156 kpa da cui: ϕ = arcsen(tgα ) = arcsen(0.38) = 22.3 c = b /cosϕ = 0/cos22.3 = 0 kpa Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

43 Prove triassiali b) determinare la coesione non drenata ad una profondità di 10 m Essendo risultato dal punto precedente c = 0, si può supporre l argilla NC ed in tal caso vale la relazione: c u / σ v0 = cost ovvero la coesione non drenata varia linearmente con la profondità c u(i) = (kpa) c u(1) c u(2) c u(3) c u z (i) = (m) z (1) Ed anche il rapporto c u / zè costante e vale: c u / z= 2 10 m Quindi la coesione non drenata alla profondità di 10 m vale: c u (10m) = c u (5m)+ c u / z (10 5)m = = 65 kpa z (2) z (3) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

44 Prove triassiali Esercizio 7 Su un campione di argilla limosa satura (contenuto d acqua, w = 38%; limite liquido, w L = 43%; limite plastico w P = 28%) viene eseguita una prova triassiale non consolidata non drenata (TXUU), con i risultati riportati di seguito. Confrontare il valore dei parametri di resistenza al taglio del materiale ottenuti delle prove di laboratorio con quelli ricavati dalla correlazione riportata di seguito. N. provino σ 3r [kpa] σ 1r [kpa] Consistenza c u [kpa] molto molle < 12 kpa molle media compatta molto compatta compattissima > 200 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

45 Dati: UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Argilla limosa satura Limite liquido (w L ) = 43% Prove triassiali Limite plastico (w P ) = 28% Contenuto d acqua (w) = 38% Tensione totale radiale a rottura (σ 3f(i) ) = (kpa) Tensione totale assiale a rottura (σ 1f(i) ) = (kpa) Nel caso in esame, come accade di solito per prove TXUU, non sono note anche le pressioni interstiziali a rottura, il che consente di determinare solo le tensioni principali totali a rottura e quindi di costruire i corrispondenti cerchi di Mohr solo in termini di tensioni totali (per la stima della coesione non drenata). Il cerchio di Mohr che rappresenta lo stato tensionale totale a rottura per i tre campioni ha un diametro pari a (σ 1 σ 3 (i), passa per i punti di coordinate [σ 3f(i),0] e [σ 1f(i),0], il suo raggio individua la coesione non drenata. c u(i) = [σ 1f(i) σ 3f(i) ]/2 = (kpa) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

46 Prove triassiali Siccome la prova non è consolidata, la pressione di consolidazione della prova è (all incirca) pari a quella in sito, che, per i tre campioni estratti alla stessa profondità, è la stessa. Questa spiega il fatto che i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni totali, pur essendo distinti, essendo differente la pressione di cella σ c(i), hanno all incirca lo stesso diametro e quindi sono tangenti allo stesso inviluppo a rottura in termini di tensioni totali ( f = c u ), mentre i cerchi di Mohr in termini di tensioni efficaci sono coincidenti (varia la pressione a rottura per i tre provini). c u c σ c(1) = σ 3f(1) σ 1f(1) σ σ 1f(2) u 3f(2) = σ c(2) σ 3f(3) = σ c(3) f(1) u f(2) u f(3) σ 1f(3) σ (--), σ(-) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

47 Prove triassiali Si assume come coesione non drenata la media dei tre valori trovati: c u = (c u(1) +c u(2) + c u(3) )/ kpa che, secondo la Tabella allegata, è tipica di un argilla di consistenza molle. Se si calcola l indice di consistenza del terreno, sulla base dei valori dei limiti di Atterberg, si ottiene: wl w IC = = (43 38)/(43 28) = 0.33 IP a cui corrisponde, secondo la tabella seguente una consistenza molle plastica : CONSISTENZA Fluida Fluido Plastica I C < che è compatibile con la classificazione considerata, basata sul parametro di resistenza c u. Molle Plastica Plastica Solido Plastica Semisolida (w > w S ) o Solida (w < w S ) > 1 Consistenza [kpa] molto molle < 12 kpa molle media compatta molto compatta compattissima > 200 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 c u

48 Prove triassiali Esercizio 8 (Esame del 08/01/2009) Tre provini della stessa argilla satura (ϕ = 20 ; c = 0 kpa) sono sottoposti rispettivamente a prova TxUU, TxCIU e TxCID. La pressione di cella nelle tre prove èla stessa (210 kpa). a) nella prova TxUU la pressione interstiziale misurata a rottura è 140 kpa, quanto vale la tensione deviatorica a rottura? b) nella prova TxCIU la tensione deviatorica misurata a rottura è175 kpa, quanto vale la pressione interstiziale? c) nella prova TxCID è imposta una back pressure di 50 kpa, quanto vale la tensione deviatorica a rottura? Dati: Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 20 Coesione (c ) = 0 kpa Pressione di cella (σ c ) = 210 kpa Pressione interstiziale a rottura nella prova TxUU (u f ) = 140 kpa Deviatore a rottura nella prova TxCIU ((σ 1 σ 3 ) = 175 kpa Back pressure nella prova TxCID (u 0 ) = 50 kpa Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

49 Prove triassiali In ciascuna delle prove in esame occorre trovare i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni efficaci e totali e le relative tensioni principali. a) nella prova TxUU la pressione interstiziale misurata a rottura è 140 kpa, quanto vale la tensione deviatorica a rottura? Nella prova TxUU, durante la fase di compressione assiale, la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ 3c (a fine compressione isotropa) = σ c (di cella) = 210 kpa Essendo nota la pressione interstiziale a rottura, si può ricavare la tensione efficace principale minore (radiale) a rottura: σ 3f (a rottura) = σ 3f u f = ( ) kpa = 70 kpa Per determinare la tensione efficace principale maggiore (assiale) a rottura e quindi il deviatore a rottura, si impone che il cerchio di Mohr a rottura in termini di tensioni efficaci, che passa per il punto noto (σ 3f,0) (70 0), sia tangente all inviluppo a rottura che ha equazione nota: = c + σ tgϕ = σ tg20 Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

50 Quindi, con riferimento al triangolo rettangolo CFO: OC = σ 3f + R R = FC = OC senϕ e sostituendo: R = (σ 3f + R) senϕ Prove triassiali σ (--), σ(-) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 F R σ 3f C σ 1f R = σ 3f senϕ /(1 senϕ ) = 70 sen20 /(1 sen20 ) = 36.4 kpa (σ 1 σ 3 = 2R = 72.8 kpa O b) nella prova TxCIU la tensione deviatorica misurata a rottura è175 kpa, quanto vale la pressione interstiziale? Nella prova TxCIU, durante la fase di compressione assiale, la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ 3c (a fine consolidazione isotropa) = σ c (di cella) = 210 kpa u f σ 3f σ 1f ϕ

51 Il cerchio di Mohr a rottura, in termini di tensioni efficaci, è tangente all inviluppo a rottura di equazione nota: = c + σ tgϕ = σ tg20 O ed ha raggio noto: R = (σ 1 σ 3 /2 = 175/2 = 87.5 kpa e centro C di ascissa: OC = R/senϕ = 87.5/sen20 = kpa Quindi: σ 3f = OC R = ( ) kpa = kpa σ 1f = OC + R = ( ) kpa = kpa e: u f = σ 3f σ 3f = ( ) kpa = 41.7 kpa F R σ 3f C σ 1f u f σ 3f Prove triassiali ϕ σ 1f σ (--), σ(-) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

52 Prove triassiali c) nella prova TxCID è imposta una back pressure di 50 kpa, quanto vale la tensione deviatorica a rottura? Nella prova TXCID la pressione di consolidazione, σ c, è pari alla differenza fra la pressione di cella (totale), σ c, e la contropressione interstiziale, u 0 : σ c = σ c u 0 = (210 50) kpa = 160 kpa Durante la fase di compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ 3c (a fine consolidazione) = σ c (di cella) = 210 kpa Poiché durante la fase di compressione assiale non si sviluppano sovrappressioni (prova drenata), cioè u 0 = cost, anche la pressione radiale efficace rimane costante: σ 3f (a rottura) = σ 3f u 0 = σ 3c u 0 = σ c u 0 = σ c = 160 kpa Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

53 Prove triassiali Per determinare la tensione efficace principale maggiore (assiale) a rottura e quindi il deviatore a rottura, si impone che il cerchio di Mohr a rottura in termini di tensioni efficaci, che passa per il punto noto (σ 3f,0) (160 0), sia tangente all inviluppo a rottura che ha equazione nota: = c + σ tgϕ = σ tg20 Quindi, con riferimento al triangolo rettangolo CFO: OC = σ 3f + R R = FC = OC senϕ e sostituendo: R = (σ 3f + R) senϕ R = σ 3f senϕ /(1 senϕ ) = = 160 sen20 /(1 sen20 ) = 71.6 kpa O (σ 1 σ 3 = 2R = kpa σ (--), σ(-) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 F R σ 3f C σ 1f u 0 σ 3f σ 1f ϕ

54 Prove triassiali Esercizio 9 (Esame del 11/09/2009) Su un provino di argilla satura (cʹ = 10 kpa, ϕʹ = 30 ) viene eseguita una prova TXUU con pressione di cella pari a 110 kpa. Sapendo che la tensione deviatorica a rottura è risultata di 170 kpa, si determini quanto vale la pressione interstiziale a rottura (si faccia riferimento al piano t, sʹ dove t = (σ 1 σ 3 )/2 e sʹ = (σʹ1+σʹ3)/2). Dati: Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 30 Coesione (c ) = 10 kpa Pressione di cella (σ c ) = 110 kpa Deviatore a rottura ((σ 1 σ 3 ) = 170 kpa Per determinare la pressione interstiziale a rottura (con riferimento al piano t,s ) basta trovare s f e s f (ascisse dei cerchi di Mohr a rottura rispettivamente in tensioni efficaci e totali). Nella prova TxUU, durante la fase di compressione assiale, la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

55 Prove triassiali σ 3f (a rottura) = σ 3c (a fine compressione isotropa) = σ c (di cella) = 210 kpa L equazione della retta tangente ai cerchi di Mohr a rottura (in tensioni efficaci), cioè dell inviluppo a rottura, per il terreno esaminato, nel piano di Mohr, è nota: = c + σ tgϕ = 10 + σ tg20 ed è legata all equazione della retta congiungente i vertici dei cerchi di Mohr a rottura piano t,s : t = b + s tgα mediante le relazioni: senϕ = tgα ; α = arctg(senϕ ) = arctg(sen30 ) = 26.6 ; c = b /cosϕ b = c cosϕ = 10 cos30 = 8.7 kpa e l equazione diventa:, t t = s tg26.6 F V α ϕ R c b σ, s Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 C

56 Prove triassiali Il vertice del cerchio di Mohr a rottura, in tensioni efficaci (V): V (s f, t f ) [(σʹ1f +σʹ3f )/2, (σ 1f σ 3f )/2] ha ordinata nota: t f = (σ 1 σ 3 /2 = 170/2 kpa = 85 kpa e sostituendo nell equazione della retta si trova l ascissa: s f = (σʹ1f +σʹ3f )/2 = (t f b )/tgα = (85 8.7)/tg26.6 = kpa Il vertice del cerchio di Mohr, in tensioni totali (V ) ha coordinate: V (s f, t f ) [(σ 1f +σ 3f )/2, (σ 1f σ 3f )/2] ha la stessa ordinata di V, mentre l ascissa: s, t f = (σ 1f +σ 3f )/2 = σ 3f + (σ 1 σ 3 /2 = = (170)/2 kpa = 195 kpa Quindi la pressione interstiziale a rottura vale: u f = s f s f = ( ) kpa = 42.4 kpa c b Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 F R V C V C α ϕ σ, s

57 Prove triassiali La pressione interstiziale a rottura può anche essere determinata trovando, sul piano di Mohr, i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni efficaci e totali e le relative tensioni principali. Come già detto, nella prova TxUU, durante la fase di compressione assiale, la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante (uguale alla pressione di cella σ c, costante) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ 3c (a fine compressione isotropa) = σ c (di cella) = 110 kpa Essendo nota la tensione deviatorica a rottura, e quindi il diametro del cerchio di Mohr a rottura (in tensioni totali ed efficaci), si può ricavare la tensione assiale totale (= tensione principale maggiore, σ 1 ): σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ 1 σ 3 = ( ) kpa = 280 kpa, t ϕ F V R c b Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 C σ (--), σ(-)

58 Prove triassiali Il cerchio di Mohr a rottura, in termini di tensioni efficaci, è tangente all inviluppo a rottura di equazione nota: = c + σ tgϕ = 10 + σ tg20 ed ha raggio noto: R = (σ 1 σ 3 /2 = 170/2 = 85 kpa e centro C di ascissa: OC = DC DO = R/senϕ c /tgϕ = 85/sen30 10/tg30 = kpa Quindi:, t σ 3f = OC R = = ( ) kpa = 67.7 kpa σ 1f = OC + R = F V = ( ) kpa = kpa e: u f = σ 3f σ 3f = ( ) kpa = 42.3 kpa R c b C D O σ 3f σ 1f σ 3f σ 1f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 ϕ σ (--), σ(-)

59 Prove ELL Esercizio 10 Lʹangolo di resistenza al taglio di unʹargilla N.C., determinato con prove triassiali consolidate isotrope drenate, è ϕʹ = 25. La resistenza a compressione semplice di un provino della stessa argilla èq u = kpa. Determinare la pressione neutra a rottura, u f, nella prova di compressione semplice. Dati: Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 25 Coesione (c ) = 0 kpa (terreno NC) Deviatore a rottura (q u = (σ 1 σ 3 ) = kpa Per determinare la pressione interstiziale a rottura occorre trovare i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni efficaci e totali e le relative tensioni principali. Durante la compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante ed uguale 0 (pressione atmosferica) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ 30 (inizio prova) = 0 (pressione atmosferica) Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

60 Prove ELL La pressione assiale (= tensione principale maggiore, σ 1 ) totale (σ 1 = σ a ) vale : σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ a σ r = σ c + (σ a σ r = q u = kpa Il cerchio di Mohr a rottura, in termini di tensioni efficaci, è tangente all inviluppo a rottura di equazione nota: = σ tgϕ = σ tg25 ed ha raggio noto: R = (σ 1 σ 3 /2 = 121.5/2 = kpa e centro C di ascissa: OC = R/senϕ = 60.75/sen25 = kpa Quindi: σ 3f = OC R = = ( ) kpa = 82.9 kpa e: u f = σ 3f σ 3f = (0 82.9) kpa = 82.9 kpa O σ 3f = 0 σ (--), σ(-) u Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 f 60/63 σ 1f F R σ 3f C σ 1f ϕ

61 Esercizio 11 Un provino di argilla satura sovraconsolidata ha avuto resistenza a rottura in prova di compressione con espansione laterale libera: q u = 141 kpa. Il coefficiente A di Skempton a rottura vale: A f = 0.2. I parametri di resistenza al taglio dellʹargilla, in termini di tensioni efficaci, valgono cʹ = 7 kpa e ϕʹ = 20. Quanto valeva, nel provino dʹargilla, la pressione neutra iniziale, u 0, prima della prova ELL? Dati: Angolo di resistenza al taglio (ϕ ) = 20 Coesione (c ) = 7 kpa (terreno OC) Deviatore a rottura (q u = (σ 1 σ 3 ) = 141 kpa Coefficiente A di Skemton a rottura (q u = (σ 1 σ 3 ) = 0.2 Prove ELL Per determinare la pressione interstiziale a rottura occorre trovare i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni efficaci e totali e le relative tensioni principali. Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63

62 Durante la compressione assiale la pressione radiale totale (= tensione principale minore, σ 3 ) rimane costante ed uguale 0 (pressione atmosferica) e quindi: σ 3f (a rottura) = σ 30 (inizio prova) = 0 (pressione atmosferica) La pressione assiale (= tensione principale maggiore, σ 1 ) totale (σ 1 = σ a ) vale : σ 1f (a rottura) = σ 3f + (σ a σ r = σ c + (σ a σ r = q u = 141 kpa Il cerchio di Mohr a rottura, in termini di tensioni efficaci, è tangente all inviluppo a rottura di equazione nota: = c + σ tgϕ = 7 + σ tg20 ed ha raggio noto: R = (σ 1 σ 3 /2 = 141/2 = 70.5 kpa e centro C di ascissa: OC = DC DO = R/senϕ c /tgϕ = 70.5/sen20 7/tg20 = kpa c D O σ 3f = 0 σ (--), σ(-) u f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/ /63 F R C σ 3f σ 1f Prove ELL ϕ

63 Quindi: σ 3f = OC R = ( ) kpa = kpa σ 1f = OC + R = ( ) kpa = kpa e: u f = σ 3f σ 3f = ( ) kpa = kpa Prove ELL Siccome: u u f f A = = f ( σ σ ) q = 0.2 u f = A q u = kpa = 28.2 kpa e quindi essendo: 1 3 f u u f = u 0 + u f ϕ u 0 = u f u f = ( 28.2) kpa = 88.2 kpa O σ (--), σ(-) σ 3f = 0 σ 1f Corso di Laurea in Scienze dell Ingegneria Edile A.A. 2009/2010 u 63/63 f F R C σ 3f σ 1f