UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Sezione geotecnica ( STATO CRITICO

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1 UNIVERSIT DEGLI STUDI DI IRENZE Dipartimento di Ingegneria Civile e mbientale Sezione geotecnica ( STTO CRITICO Corso di Geotecnica Ingegneria Edile, Johann acciorusso johannf@dicea.unifi.it

2 Esercizio Una prova triassiale consolidata isotropa drenata (TXCID) viene eseguita, ad una pressione costante di cella di 20 kpa, su un provino di argilla normalconsolidata (NC). Il deviatore a rottura, f, vale 40 kpa. Disegnare sul piano (,) la linea di stato critico (CSL) e determinarne la pendenza. Nell ipotesi che il provino venga portato a rottura per estensione assiale, determinare il deviatore, fe. a rottura. f = 3 Dati: -ProvaTXCID(standard, ovvero a compressione) - rgilla NC (c = 0 kpa) - c = 20 kpa - f = 40 kpa c c Calcolare: - - fe (da prova non standard, ad estensione) c 2 = 3 = c =cost. 2 = 3 = c =cost.) 2/8

3 Soluzione: f c 3 f Quando non specificato sia assume la back pressure (b.p.) uguale a zero: c = c = c = 20 kpa Il percorso tensionale che il provino segue durante la fase di compressione, sia in tensioni totali che efficaci (TSP=ESP) sul piano - ha euazione: = 3 (p- c ) La linea di stato critico (CSL) ha euazione: = ( f, f ) = 3 (p- c ) = f =3( f c )=3( f /- c ) ( f +3 c )/3 =( f /) =3f/( f +3 c )= 3*40/(40+3*20)= /8

4 f fe 3 c f 3 2 E fe e Quando la prova è condotta in modalità non standard, in estensione, la tensione assiale rimane costante mentre aumenta uella radiale, che diventa uella maggiore: a = 3 =cost.= c = 20 kpa r = = 2 = cresc. = ( 3 )= = (2 + 3 )/3 = 2 /3 Il percorso tensionale che il provino segue durante la fase di estensione, sia in tensioni totali che efficaci (TSP=ESP) sul piano - ha euazione: = 3/2 (p- c ) La linea di stato critico (CSL) ha euazione: = e / = 3/2 Essendo: e 6 sen 3 sen 6 sen 3 sen ' cs ' cs ' cs ' cs 3 e /(6- e ) = 3/(6+) = 3*0.84*(6+0.84) = 7.24 e = 3/(6+) = 3*0.84/(6+0.84) = /8

5 f 3 c f fe = 3/2 (p- c ) e ( fe, fe ) =ESP CSL = e fe =3( fe c )/2 = e fe 3 2 (2 e -3) fe =3 c fe E e fe =3 c / (3-2 e ) = 3*20/(3-2*0.37) = kpa fe = e fe = 0.37*59.29 = kpa < f 5/8

6 Esercizio 2 Un provino di terreno saturo viene consolidato isotropicamente in una cella triassiale. I valori delle pressione di cella applicate e dell indice dei vuoti finale raggiunto, sono riportati di seguito. Pressione di cella [kpa] Indice dei vuoti finale [-] Carico () () Scarico (C) Determinare i parametri, e e disegnare le corrispondenti linee di normalconsolidazione (NCL) e di scarico (URL) sul piano (v, ln ) Dati: - Consolidazione isotropa (si assume b.p.=0, ovvero =p) -p c () =200 kpa; p c () =000 kpa; p c (C) =500 kpa - e() =.72; e() =.20; e(c) =.25 - v() = + e()= 2.72; v() =2.20; v(c) =2.25 Calcolare: -,, 6/8

7 Soluzione: La linea NCL ha euazione, sul piano =0: v= ln e per poterla disegnare sul piano (,v) e determinarne i coefficienti e occorre conoscere almeno due punti per i uali passa, ovvero (200,2.72) e (000,2.20), NCL v()= ln c () v()= ln c () 2.72 = ln200 v 2.20 = ln = ln(000/200) = = ln200 =4.43 7/8

8 La linea URL ha euazione, sul piano =0: v=v ln e per poterla disegnare sul piano (,v) e determinarne i coefficienti v k occorre conoscere almeno due punti per i uali passa, ovvero (000,2.20), C(500,2.25) e C,C URL v()= v k ln c () v(c)= v k ln c (C) 2.20 = v k ln000 v 2.25 = v k ln = ln(000/500) = C 2.25 = v k ln500 v k =2.70 8/8

9 Esercizio 3 Due provini, e, della stessa argilla vengono consolidati isotropicamente nella cella triassiale ad una pressione di cella p c = 400 kpa e uindi sottoposti ad uno scarico fino a raggiungere un valore di pressione di cella p 0 = 300 kpa (si assuma una back pressure di 00 kpa). Sul provino viene uindi condotta una prova TXCID, mentre sul provino una prova TXCIU. Noti i parametri del terreno: =0.3, = 0.05, e 0 =.0e cs = 30. Stimare: a) i valori delle tensioni,, e 3 corrispondenti alla plasticizzazione e alla rottura, per ciascun provino; b) l eccesso di pressione interstiziale u, corrispondente alla plasticizzazione e alla rottura per il provino Dati: - Consolidazione isotropa p c = 400 kpa; p 0 =300 kpa; - b.p. = 00 kpa c =p c b.p. = 300 kpa; 0 =p 0 b.p. = 200 kpa; - Grado di sovraconsolidazione isotropo: R 0 = c / 0 =300/200=.5; - Provino : prova TXCID; Provino : prova TXCIU; deb. sovracons. ' 6 sen cs - =0.3; = 0.05; e 0 =.0; cs =30 =.2 9/8 ' 3 sen cs

10 Calcolare: - y, y, y, 3y - f, f, f, 3f - u y, u f Soluzione:provino 3 Y 0 c v URL Y Con riferimento al modello di Cam-Clay modificato, lo stato di plasticizzazione corrisponde all intersezione del percorso efficace (ESP) con l ellisse di plasticizzazione (EPL), di euazioni: Y( y, y ) =ESP EPL / 2 - c =0 =3(- 0 ) 2 +9(- 0 ) 2 / 2 - c =0 2 +9/ / / c =0 (+9/ 2 ) 2 -(8/ c ) +9/ 2 02 = =0 y = 40. kpa 246. kpa y = kpa 38.3 kpa

11 Lo stato di rottura corrisponde all intersezione del percorso efficace (ESP) con la linea di stato critico (CSL), di euazioni: Y 0 c ( f, f ) =ESP CSL =3(- 0 ) = =3(- 0 ) v (3-)=3 0 URL Y Essendo: = - 3 ;=( +2 3 )/3 y = kpa; f 600 kpa f =3 0 /(3-)= 3*200/(3-.2)= kpa f = f =.2*333.3 = 400 kpa =(2+3)/3 3 = (3-)/3 3y = 200 kpa; 3f = 200 kpa /8

12 Soluzione:provino Y Con riferimento al modello di Cam-Clay modificato, lo stato di plasticizzazione corrisponde all intersezione del percorso efficace (ESP) con l ellisse di plasticizzazione (EPL), di euazioni: / 2 - c =0 Y( y, y ) =ESP EPL 0 c / 2-0 c =0 = 0 v 2 =( 0 c - 02 ) 2 = (200* )*.2 2 y = ± 69.7 kpa URL =EPL CSL =URL CSL =URL NCL Y Y ln y = 200 kpa Nel modello di Cam-Clay modificato, imponendo: v() = +e 0 = ln c N = 3.8 = 3.8-( )ln2 = /8

13 URL Y Y 0 Y c 3 u y = p y y = = 56.6 kpa u f = p f f = = 99.4 kpa Lo stato di rottura corrisponde all intersezione del percorso efficace (ESP) con la linea di stato critico (CSL), di euazioni: ( f, f ) =ESP CSL v 0 = ln f y = 33. kpa; 3y = 43.3 kpa; v f =v 0 =+e 0 v f = ln f f =e v 0 )/ = 67.7 kpa f = f = 20.3 kpa f = 30.9 kpa 3f = 00.6 kpa Siccome il percorso TSP è rettilineo di inclinazione :3, risulta che: y =3(p y -p 0 ) p y = y /3 + p 0 = kpa f =3(p f -p 0 ) p f = f /3 + p 0 = 367. kpa 3/8

14 Esercizio 4 Determinare la resistenza al taglio non drenata c u da una prova TXCIU e seguita su un terreno avente cs = 25 nell ipotesi che venga consolidato isotropicamente ad una pressione di cella di 350 KPa e successivamente scaricato ad una pressione di 70 kpa. Dati: -ProvaTXCIU ' 6 sen cs - cs = 25 ' = sen cs - c =p c (b.p.=0)=350 kpa; 0 =p 0 =70kPa; Calcolare: -c u Soluzione: R 0 =p c /p 0 =350/70= 5; Il provino risulta fortemente sovraconsolidato (R 0 >2) e lo stato a rottura () non coincide con uello critico (C) e, con riferimento al primo, applicando il criterio di Tresca: c u = f /2 4/8

15 ( f, f ) =EPL ESP / 2 - c =0 = / 2-0 c =0 C f2 =( 0 c - 02 ) 2 0 c c u = f /2 = /2 ( 0 c - 02 ) /2 = 0 /2(R 0 -) /2 URL C c u = 0.98*70/2(5-) /2 = 68.6 kpa 5/8

16 Esercizio 5 Un provino di argilla satura è consolidato in cella triassiale con pressione isotropa p c0 = 200 kpa. l termine della consolidazione il volume del provino èv 0 =86cm 3 e l'indice dei vuoti e 0 =.6. La pressione isotropa di cella è portata fino al valore p c = 400 kpa e, a fine consolidazione, il provino ha espulso un volume d'acua V w = cm 3. La pressione isotropa di cella è poi ridotta fino al valore p c2 = 300 kpa, e ciò determina l'assorbimento di un volume d'acua V w2 = cm 3. Determinare i valori dei parametri e applicando il modello Cam Clay. Dati: - Consolidazione isotropa c0 =p c0 (b.p.=0) = 200 kpa c =p c (b.p.=0) = 400 kpa c3 =p c3 (b.p.=0) = 300 kpa Calcolare: -,, () V 0 =86cm 3 ;e 0 =.6 () V =V 0 - V w = = cm 3 (C) V 2 =V + V w2 = = cm 3 6/8

17 Soluzione: v C C ( c0,v 0 ) = (200 kpa; 2.600) V/V 0 = V -V 0 )/V 0 = e/(+e 0 )= e -e 0 )/(+e 0 ) e =e 0 +(+e 0 ) V -V 0 )/V 0 =e 0 -(+e 0 ) V w /V 0 e =.6-(+.6)*5.956/86 =.420 v =+e = ( c,v ) = (400 kpa; 2.420), NCL e 2 =e +(+e ) V 2 -V )/V =e +(+e ) V w2 /V e 2 =.420+(+.420)*0.476/ =.434 v 2 =+e 2 = C( c2,v 2 ) = (300 kpa; 2.434) v 0 = ln c0 v = ln c = ln = ln = ln(400/200) = = ln200 =3.98 7/8

18 Soluzione: ( c0,v 0 ) = (200 kpa; 2.600),C URL v = ln c v 2 = ln c2 C = v ln400 v = v ln300 C 0.04 = ln(400/300) = = v ln200 v k =2.68 ln = 3.98-( )ln2 =3.83 8/8