UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale Sezione geotecnica ( STATO CRITICO

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1 UNIVERSIT EGLI STUI I FIRENZE ipartimento di Ingegneria Ciile e mbientale Sezione geotecnica ( STTO CRITICO Corso di Geotecnica Ingegneria Edile,.. \ Johann Facciorusso johann@dicea.unii.it

2 t s r. Ing.. Johann Facciorusso.. / STTI E PERCORSI TENSIONLI Percorsi tensionali e. Lo stato tensionale in un punto di un mezzo continuo solido in condizioni assialsimmetriche è rappresentato nel piano di Mohr (σ, τ) da un cerchio aente il centro sull asse delle ascisse (cerchio di Mohr). La successione continua degli stati tensionali che il terreno attraersa si deinisce percorso tensionale. Un percorso tensionale può essere deinito come: una successione di cerchi sul piano di Mohr una linea continua ottenuta esprimendo lo stato tensionale in unzione delle ariabili di tensione ( σ ) ( σ + ) σ σ p σ σ σ + σ a) (σ -σ )/ τ σ O σ (σ +σ )/ σ σ b) () t O (σ +σ )/ Percorso tensionale s /6 (p)

3 .. / Percorsi tensionali ) Le ariabili t e s, per ogni stato tensionale rappresentano il ertice del cerchio di Mohr corrispondente sul piano di Mohr ed hanno solo un signiicato geometrico. ) Le ariabili p e, rappresentano rispettiamente la pressione media e il deiatore delle tensioni (inarianti di tensione) Tali parametri di tensione sono legati dalle seguenti relazioni biunioche s p + t 6 p s t t /6

4 .. / Percorsi tensionali Nel caso dei terreni i percorsi tensionali possono essere deiniti con rierimento sia alle tensioni totali (TSP Total Stess Path) sia alle tensioni eicaci (ESP Eectie Stress Path). pplicando il principio delle tensioni eicaci si ha ( σ σ ) t ( σ +σ ) s s u t σ σ σ + σ p p u Utilizzando i percorsi tensionali è possibile descriere la successione continua nel tempo degli stati tensionali totali ed eicaci di un proino di terreno durante l esecuzione delle proe geotecniche assialsimmetriche standard di laboratorio che sono state descritte, nei piani: ESP TSP (s, t) (s, t) (, ) (p, ) 4/6

5 .. / Percorsi tensionali ) CONSOLIZIONE isotropa (Δσ) Prima ase delle proe TxCI,TXCIU stato tensionale iniziale totale stato tensionale inale totale (t ) stato tensionale iniziale eicace stato tensionale inale eicace (t ) C stato tensionale intermedio totale (t > ) C stato tensionale intermedio eicace (t > ) () t Δσ u C C.P. Δu s,s (p,) 5/6

6 .. / Percorsi tensionali ) CONSOLIZIONE edometrica (Δσ) Proa edometrica stato tensionale iniziale totale stato tensionale iniziale eicace C stato tensionale totale (t ) C stato tensionale eicace (t ) t stato tensionale inale totale (t ) stato tensionale inale eicace (t ) V stato tensionale totale (t > ) V stato tensionale iniziale eicace (t > ) LINE K t ( K ) ( + K ) s u C V ESP u(t) TSP 45 (T ) TSP (T ) Δs ( +k) Δσ Δs Δσ (T T ) c α k arctg[(-k )/(+K )] V C Δt s,s ( -k) Δσ ( -k ) Δs -Δs Δσ 6/6

7 .. / Percorsi tensionali ) COMPRESSIONE SSSILE (Δσ) Seconda ase delle proe TxCI,TXCIU Caso drenato (TxCI) stato tensionale iniziale totale stato tensionale iniziale eicace () t C stato tensionale inale totale C stato tensionale inale eicace Δt ΔtΔσ/ t s + s C C Δs Δs Δσ/ Δ Δ Δσ Δp Δ Δσ/ (t s + s ) / + ( p/ + p ) p ESP TSP 45 s,s (p,).p. 7/6

8 .. / Percorsi tensionali ) COMPRESSIONE SSSILE (Δσ) Seconda ase delle proe TxCI,TXCIU) Caso non drenato (TxCIU) stato tensionale iniziale totale C stato tensionale inale totale a) t stato tensionale iniziale eicace C stato tensionale inale eicace b) t C C C C ESP Δu Terreno NC TSP 45.P. s,s ESP Terreno OC Δu TSP.P. 45 s,s 8/6

9 .. / Percorsi tensionali In generale a incrementi delle tensioni principali maggiore e minore rispettiamente pari a Δσ e a Δσ Δσ corrisponde un segmento di percorso tensionale di lunghezza L e pendenza α: nel piano s,t ΔL tan s t αs t Δσ + Δσ Δσ Δσ Δσ + Δσ ΔL tan p Δσ + Δσ 4 α p nel piano p, ( Δσ Δσ Δσ + Δσ ) Δσ Δσ τ, t ΔL s-t α s-t Δt ) Δσ Δσ Δσ ΔL s t Δσ tan αs t Δ Δσ tan αp L p ) Δσ Δσ; Δσ O Δσ Δσ Δs σ, s Δσ ΔL s t ΔL p Δσ tan tan αs t αp 9/6

10 .. / TEORI ELLO STTO CRITICO La teoria dello Stato Critico ornisce un uadro interpretatio generale del comportamento dei terreni saturi e consente di arontare i problemi relatii alla deormabilità ed alla resistenza dei terreni. Nel seguito, si introdurrà un modello matematico un poco più complesso ma più generale (il modello Cam Clay Modiicato) per la preisione uantitatia di tale comportamento. I parametri di tale modello possono essere ricaati dai risultati delle proe geotecniche standard di laboratorio già descritte per la determinazione del comportamento meccanico dei terreni sono le proe triassiali e le proe di compressione edometrica, entrambe assialsimmetriche. /6

11 .. / STTO TENSIONLE σ σ a Tensione assiale σ σ σ r Tensione radiale Δ ε r ε ΔV ε ε a + ε r ε + ε V εs εa ε r ε ε ε a ε STTO EFORMTIVO ΔH H ( ) ( ) eormazione assiale eormazione radiale eormazione olumetrica eormazione deiatorica σ σ a I percorsi di carico si rappresentano in uno spazio tridimensionale deinito dalla terna di assi cartesiani ortogonali (p) : σ σ σ + σ p V V S ( + e) (p) eiatore Pressione media Volume speciico σ σ σ r H /6 altezza iniziale del proino diametro iniziale del proino V olume iniziale del proino

12 .. / LINEE NCL E URL (consolidazione isotropa) urante la ase di compressione isotropa drenata (prima ase delle proe TXCI e TXCIU), il percorso eicace (e totale) di carico si solge interamente sul piano (oero sul piano ). La cura sperimentale corrispondente (linea di normal consolidazione, NCL), se rappresentata in un piano semilogaritmico (ln,), può essere schematizzata con una retta, di euazione: Ν λ ln(p) doe: N è il alore del olume speciico sulla NCL corrispondente ad una pressione eicace e dipende dal sistema di unità di misura adottato; λ è la pendenza della NCL ed è adimensionale (dipende dal tipo di terreno) C C /6

13 .. / Qualora la pressione di cella enga diminuita gradualmente (deconsolidazione isotropa), il percorso tensionale eicace (e totale), si solge ancora sul piano ( ), doe è rappresentato da un ciclo d isteresi, che se riportato sul piano semilogaritmico ln, può essere sostituito con il suo asse (linea di scarico ricarico, URL) κ ln(p) κ Comportamento elastico (deormazioni olumetriche interamente reersibili) doe: κ è il alore del olume speciico sulla URL corrispondente ad una pressione eicace e dipende dal sistema di unità di misura adottato; κ è la pendenza della URL ed è adimensionale, e dipende dal tipo di terreno N κ -λ C -κ c (ln) /6

14 .. / La linea NCL è unica per ciascun terreno, mentre esistono ininite linee di scarico e ricarico, ciascuna corrispondente ad un dierso alore della pressione di consolidazione c,e tra loro parallele (κ costante). Inatti è possibile determinare una relazione biunioca tra κ e c imponendo l appartenenza del punto sia alla URL sia alla NCL: κ Ν ( λ κ) ln( ) p c p c Ν exp λ κ Un terreno il cui stato tensionale si troa sulla linea URL è isotropicamente soraconsolidato (OC). Il rapporto tra la pressione eicace attuale e uella di consolidazione è detto rapporto di soraconsolidazione isotropa: p R p c κ N C -λ κ C -κ κ κ C -κ c -κ c c ed è legato al rapporto di soraconsolidazione edometrica (OCR) dalla relazione: R o: + K + K (NC) (OC) OCR (ln) 4/6

15 .. / e. Si deinisce pressione eicace media euialente, e, di un terreno il cui stato tensionale è descritto dai parametri (,, ), il alore della pressione eicace media che, sulla linea NCL corrisponde alllo stesso alore di olume speciico, Ν λ ln(p e ) N pe exp λ a) b) N -λ NCL e (ln) e NCL 5/6

16 .. / LINE k (consolidazione edometrica) urante la ase di compressione edometrica drenata, assialsimmetrica e ad espansione laterale impedita (proa edometrica), le ariabili che esprimono lo stato tensionale e deormatio dientano: ε σ p ε σ σ ; K ε σ ε ( + K ); σ ( K ) d ogni incremento di carico Δσ Δσ, durante la proa edometrica, si ha una corrispondente ariazione delle ariabili tensionali: Δ Δ[(σ +σ ) /] (Δσ + Δσ )/ (Δσ + k Δσ )/ (+k )/ Δσ Δ Δ(σ σ ) Δσ Δσ Δσ k Δσ ( k ) Δσ da cui si ottiene che: Δ Δp ( K ) ( + K ) 6/6

17 .. / Se il terreno è normalmente consolidato, K è costante e il percorso tensionale nel piano è rettilineo, passa per l origine degli assi (linea K ), ed ha euazione: p a) ( K ) ( + K ) N.. Non potendo essere k < (altrimenti σ < sarebbe uno sorzo di trazione che il terreno non può sostenere), ne risulta che la pendenza della linea k, m k ( K ). ( + K ) èla linea che delimita gli stati tensionali possibili sul piano Linea K b) K (m k ) < K < ( < m k < ) Δp ( + K ) m k Δ ( k ) Δσ Δu(t) Δσ Δp Δ / k Δσ Δp Δσ / (p) (Compressione isotropa) stati tensionali impossibili K K > (m k ) (m k < ) 7/6

18 .. / Nel piano il percorso tensionale è del tutto simile a uello della compressione isotropa e può essere schematizzato nel piano semilogaritmico ln, con una retta di euazione: N λ ln p doe: N èil alore del olume speciico sulla linea k corrispondente ad una pressione eicace e dipende dal sistema di unità di misura adottato; λ èla pendenza della linea k, che è uindi parallela alla linea NCL N K -λ C -κ Linea K c,edo (ln) 8/6

19 .. / In condizioni di scarico tensionale, il terreno dienta soraconsolidato (OCR >) ed anche il coeiciente di spinta a riposo k, prima costante al ariare della tensione eicace raggiunta (k (NC) senϕ ), ora aria e aumenta al diminuire della tensione eicace erticale, oero all aumentare di OCR (k k (NC) OCR α ) k (NC) k (OC) > k (NC) N K -λ C -κ Linea K C c,edo (ln) N.. La linea k per un terreno NC è unica, mentre per un terreno OC aria al ariare del gradi soreaconsolidazione OCR 9/6

20 .. / Nel piano il percorso tensionale è del tutto simile a uello della compressione isotropa e può essere schematizzato nel piano semilogaritmico ln, con ininite rette parallele di euazione: K κ ln p ciascuna corrispondente ad un dierso alore della pressione di consolidazione edometrica c,edo. Inatti è possibile determinare una relazione biunioca tra κ e c,edo imponendo l appartenenza del punto sia alla linea di scaricoricarico sia alla linea k : K p c,edo Ν ( λ κ) ln( p ) Ν exp λ κ K c,edo N K -λ C -κ c,edo Linea K N.. nche la cura di compressione edometrica sul piano ln,e è rettilinea ed esiste una corrispondenza con la pendenza delle linea k : C c λ ln, λ Solo approssimatiamente (ariando k ) per i terreni OC: C s (ln) κ ln, κ /6

21 .. / dierenza della linea NCL che si siluppa solo sul piano (,), la linea k si siluppa nello spazio (,,) ed ha euazione: N λ ln p ( K ) Linea K p ( + K ) Linea NCL ( K ) ( + K ) /6

22 .. / LINE E STTO CRITICO (compressione assiale per terreni NC). Compressione triassiale drenata di terreno NC (TXCI) opo la prima ase di compressione isotropa lungo la linea NCL, ino alla pressione di consolidazione isotropa c, la compressione assiale in condizioni drenate aiene a pressione di coninamento costante (σ c cost), dalla ine della ase di consolidazione ( ) ino al raggiungimento della condizione di stato critico ( ). a) l crescere della deormazione assiale ε a (proa a deormazione assiale controllata) la tensione deiatorica cresce progressiamente ino ad un alore massimo poi si mantiene circa costante. ε a εa a + b εa b) Il olume decresce progressiamente ino ad un alore minimo, poi si mantiene circa costante e. La condizione di stato critico è uella per cui la tensione deiatorica raggiunge un alore costante pur continuando il terreno a deormarsi. /6 ε

23 .. / c) Il percorso tensionale eicace (e totale ), ha come proiezione sul piano un segmento rettilineo con pendenza :, da ( c,) a (, ). Inatti per un incremento della tensione assiale Δσ Δσ (proa drenata): Δ Δp Δ[(σ +σ )/] (Δσ + Δσ )/ (Δσ )/ Δ Δ(σ σ ) Δσ Δσ Δσ ESP u Δ/Δ Δ/Δp c TSP (p) ( c)(esp) (p p c ) (TSP) d) Nel piano il percorso tensionale eicace ha origine nel punto sulla linea NCL e termina nel punto sottostante la linea NCL /6

24 .. / Se proini della stessa argilla satura isotropicamente consolidati a pressioni c dierse sono portati a rottura in condizioni drenate si ossera che: le tre cure ε a hanno la stessa orma e, normalizzate rispetto alla pressione di consolidazione c, sono (uasi) coincidenti; la deormazione olumetrica durante la compressione assiale a) b) aria in modo pressoché eguale per i tre proini, aumentando lieemente al crescere della pressione di consolidazione; i punti rappresentatii dello stato iniziale (ine consolidazione isotropa) stanno su una stessa linea (linea NCL) i punti rappresentatii dello stato inale (condizione di stato critico) dei tre proini giacciono su una linea, detta di Stato Critico (). ε c crescente ε a c) NCL c c c M 4/6

25 .. / La linea di stato critico (Critical State Line) si siluppa nello spazio ed ha euazione: Γ λ ln p (I) M p (II) (I) La proiezione sul piano è una cura che può essere schematizzata nel piano semilogaritmico ln, con una retta parallela alla linea NCL (pendenza λ), doe Γ èil alore del olume speciico sulla linea corrispondente ad una pressione eicace e dipende dal sistema di unità di misura adottato. NCL M (II) La proiezione sul piano è una retta, la cui euazione euiale, solo per i terreni NC, al criterio di rottura di Mohr Coulomb: τ σn tan ϕ cs STTO CRITICO ROTTUR doe ϕ cs èl angolo di resistenza al taglio in condizione di stato critico (oero al crescere di ε a, e ε rimangono costanti) 5/6

26 .. / Il parametro di stato critico M è unzione dell angolo di resistenza al taglio allo stato critico, ϕ cs, (e uindi dipende dal tipo di terreno) e delle modalità di proa: Inatti durante se il proino è portato a rottura per compressione assiale (proa triassiale standard): σ σ ( σ σ ) ( σ σ ) a r σ σ a σ r p σ e ricordando che a rottura: + σ σ σ σa + senφ senφ + σ cs cs r M M c p ( σa σr ) ( σ + σ ) a r ( σa / σr ) ( σ / σ + ) a r + senφ cs senφcs + senφ cs + senφcs ( + senφcs + senφcs ) 6 senφ ( + senφ + senφ ) senφ cs cs cs cs M c 6 senφ senφ cs cs senφ cs M c 6 + M c 6/6

27 .. / Inece, nel caso in cui il proino sia portato a rottura per estensione assiale (oero aumentando la tensione eicace di coninamento a tensione eicace assiale costante): σ σ σ ( σ σ ) ( σ σ ) r r a σ σ σ + σ σr + σ a p e ricordando che a rottura: σ + senφ σ senφ a cs cs (c) M c (a) M M e p ( σr σa ) 6 senφ ( σ + σ ) + senφ a r (e) cs cs M e (b) M e 6 senφ + senφ cs cs senφ cs M e 6 M e M e < M c N.. ϕ cs(e) ϕ cs(c), mentre M e < M c, e per lo stesso terreno e a parità di pressione eicace media, (e) < (c). 7/6

28 .. / I percorsi tensionali eicaci nello spazio, ottenuti per lo stesso terreno al ariare della pressione di consolidazione, durante la ase di compressione drenata si solgono tutti su uno stesso piano, detto piano drenato. Piano drenato NCL

29 .. /. Compressione triassiale non drenata di terreno NC (TXCIU) opo la prima ase di compressione isotropa lungo la linea NCL, ino alla pressione di consolidazione isotropa c, la compressione assiale in condizioni non drenate aiene a pressione di cella costante (σ p c cost), dalla ine della ase di consolidazione ( ) ino condizione di stato critico ( ). a) l crescere della deormazione assiale ε a la tensione deiatorica cresce progressiamente ino ad un alore massimo poi si mantiene circa costante (condizione di stato critico). b) Il olume del proino (e uindi ) rimane costante (proa non drenata) c) La pressione interstiziale u, a partire dal alore iniziale u (back pressure) cresce progressiamente ino al raggiungimento di un alore massimo, u, corrispondente alla condizione di stato critico, poi si mantiene circa costante Δu ε a 9/6

30 .. / d) Il percorso tensionale totale, ha come proiezione sul piano un segmento rettilineo con pendenza :, da (p c,) a (p ). Inatti per un incremento della tensione assiale Δσ u Δp Δp Δ[(σ +σ )/] (Δσ + Δσ )/ (Δσ )/ Δ Δ(σ σ ) Δσ Δσ Δσ Δu u Δ/Δp Δ/Δp (p pc) (TSP) e) Il percorso tensionale eicace, ha come proiezione sul piano una cura monotona da ( c,) a (p, ), determinata dal atto che la distanza tra i percorsi TSP e ESP (oero la pressione interstiziale u) cresce ino alla condizione di stato critico (mentre in generale decresce) ) Nel piano il percorso tensionale ha origine nel punto sulla linea NCL e procede in direzione orizzontale ( cost) ino al punto ESP c TSP u p c p NCL p, /6

31 .. / Se proini della stessa argilla satura isotropicamente consolidati a pressioni c dierse sono portati a rottura in condizioni non drenate si ossera che: le tre cure ε a hanno la stessa orma e, normalizzate rispetto alla pressione di consolidazione c, sono (uasi) coincidenti; la sorappressione a) interstiziale Δu, aumenta in b) modo uguale per i tre proini ino ad un alore massimo che cresce al crescere della pressione di consolidazione c ; i punti rappresentatii dello stato iniziale ε (ine a consolidazione isotropa) stanno c) su una stessa linea (linea NCL) Δu i punti rappresentatii Δu Δu dello stato inale (condizione di stato critico) dei tre proini giacciono sulla stessa linea già deinita nel caso drenato (linea ). c crescente Δu ESP M TSP NCL /6 p,

32 .. / I percorsi tensionali eicaci nello spazio, ottenuti per lo stesso terreno al ariare della pressione di consolidazione, durante la ase di compressione non drenata si solgono tutti su uno stesso piano parallelo al piano ( cost), detto piano non drenato. Piano non drenato ESP NCL /6

33 .. / L euazione della linea di stato critico (Critical State Line) nel caso non drenato (essendo cost. ), può essere così scritta: M p Γ λ ln p p Γ exp λ M p La proiezione sul piano è dunue una retta di euazione: Γ Μ p Μ exp λ e, come nel caso drenato, la sua euazione euiale, solo per i terreni NC, al criterio di rottura per condizioni non drenate (criterio di Tresca), per il uale: τ c u Μ Γ exp λ N.. Per un dato terreno i parametri M, Γ e λ sono costanti, uindi c u dipende soltanto dal olume speciico +e +w G s (per terreni saturi), e uindi dal contenuto in acua w. /6 c u σ σ σ

34 .. / Tutti i percorsi tensionali eicaci, di proe drenate e non drenate, che dalla linea di consolidazione normale (NCL) perengono alla linea di stato critico () giacciono per uno stesso terreno su una supericie nello spazio, detta Supericie di Roscoe, che limita il dominio degli stati tensionali possibili Supericie di Roscoe / e N.. Se normalizziamo, per lo stesso terreno NC, tutti i percorsi drenati e non drenati rispetto alla pressione eicace media euialente, e (che è costante nei percorsi non drenati e aria in uelli drenati) NCL Supericie di Roscoe normalizzata NCL Tali percorsi coincidono, nel piano normalizzato / e / e con un unica cura (supericie di Roscoe normalizzata) 4/6 p/ e

35 .. / INVILUPPO ROTTUR (compressione triassiale per terreni OC). Compressione triassiale drenata di terreno OC (TXCI) opo la prima ase di compressione isotropa lungo la linea NCL, ino alla pressione di consolidazione isotropa c, il proino iene isotropicamente decompresso in condizioni drenate, ino ad una pressione eicace << c in modo da dienire ortemente soraconsolidato, con grado di soraconsolidazione isotropo: R c / Inine sottoposto a compressione assiale drenata, a pressione di coninamento costante (σ c cost), dalla ine della ase di consolidazione ( ) ino al raggiungimento della condizione di rottura ( ) seguita dalla condizione di stato critico (C ). 5/6

36 .. / a) l crescere della deormazione assiale ε a la tensione deiatorica cresce progressiamente ino ad un alore massimo che corrisponde alla condizione di rottura (punto ), poi decresce ino a stabilizzarsi su un alore minore ( cs ) che corrisponde allo stato critico (punto C ) b) Il olume del proino prima diminuisce, poi aumenta, supera il alore iniziale e inine tende a stabilizzarsi. La cura ε a ε presenta tangente orizzontale nei punti C e che corrispondono al alore cs, e un lesso nel punto che corrisponde a cs ε dε dε dε dε a a C max C ε a ε a IMP. La condizione di stato critico e uella di rottura non coincidono per i terreni OC. 6/6

37 .. / c) Il percorso tensionale eicace C (e totale C), ha come proiezione sul piano un segmento rettilineo con pendenza :. Nel tratto da ( c,) a (, ), ino alla rottura, il percorso è ascendente, nel tratto da (, ) a C( cs, cs ) è discendente. cs ESP C ESP u TSP (p) d) Nel piano il punto rappresentatio dello stato iniziale si troa sulla cura di scarico ricarico corrispondente alla pressione di consolidazione c. La proiezione del percorso tensionale eicace ( C ) nel piano ha tangente orizzontale nei punti C e C C c 7/6

38 .. / Se proini della stessa argilla satura isotropicamente consolidati alla stessa pressione c ma soraconsolidati a diersi salori di R, sono portati a rottura in condizioni drenate si ossera che: se il punto rappresentatio dello stato iniziale del proino nel piano pʹ è sotto la (punto ), esso è ortemente soraconsolidato, >> cs, e maniesta un comportamento dilatante (aumento di olume); se il punto rappresentatio dello stato iniziale del proino nel piano pʹ è sotto la NCL ma sopra la (punto ), esso è debolmente soraconsolidato, cs, e maniesta un comportamento contraente (diminuzione di olume) se il punto rappresentatio dello stato iniziale del proino nel piano pʹ è sulla NCL, esso è normalmente consolidato, cs e maniesta un comportamento contraente (diminuzione di olume) a) b) Linea di iniluppo a rottura C C m URL C c C NCL M C C

39 .. / I punti rappresentatii delle condizioni di rottura (punti C) di proini con eguale pressione di consolidazione c (punti sulla stessa linea di scaricoricarico) giacciono su una retta (linea iniluppo a rottura) distinta dalla per i proini ortemente soraconsolidati, e sulla per i proini debolmente soraconsolidati e normalconsolidati. I punti rappresentatii delle condizioni ultime (punti ) giacciono sulla La linea iniluppo a rottura, per i terreni soraconsolidati, ha euazione: + m p lla linea iniluppo a rottura deinita nel piano, corrisponde nello spazio una supericie detta supericie di Horsle. Imponendo la condizione che i terreni non possano sostenere tensioni di trazione e che uindi per σ, σ e σ /, allora: Linea di iniluppo a rottura Si deduce che la linea iniluppo a rottura è limitata a sinistra dalla retta che delimita gli stati tensionali ammissibili (piano limite per trazione). C C m C M 9/6

40 .. / Per le argille soraconsolidate, il criterio di rottura di Mohr Coulomb dienta: τ c +σ n tan φ e può anche essere espresso in unzione delle tensioni principali a rottura, σ τ e σ : ( σ σ ) ( σ + σ ) c cot g senφ + φ ( σ σ ) ( σ + σ ) senφ + c cosφ τ c traccia del piano di rottura F O σ, C σ n, σ, θ π/4+ϕ / θ ϕ iniluppo di rottura σ σ σ + sin φ cos φ + c sin φ sin φ Essendo: (σ σ ) (σ + σ ) / + m p ( σ σ ) + m ( σ + σ ) σ σ + m m + m 4/6

41 .. / Quindi, essendo: τ c +σ n tan φ σ σ + sin φ cos φ + c sin φ sin φ + m m + sin φ sin φ + m p σ σ + m m + m m ccos φ sin φ m 6sin φ sin φ 6ccos φ sin φ 4/6

42 .. / 4. Compressione triassiale non drenata di terreno OC (TXCIU) opo la prima ase di compressione isotropa lungo la linea NCL, ino alla pressione di consolidazione isotropa c, il proino iene isotropicamente decompresso in condizioni drenate, ino ad una pressione eicace << c (terreno ortemente soraconsolidato). Inine sottoposto a compressione assiale non drenata, a pressione di cella costante (σ p c cost), dalla ine della ase di consolidazione ( ) ino al raggiungimento della condizione di stato critico ( ). a) l crescere della deormazione assiale ε a la tensione deiatorica cresce progressiamente in modo monotono ino ad un alore massimo che corrisponde alla condizione di stato critico (punto ). b) Il olume del proino rimane costante ( cost), mentre la sorappressione interstiziale Δu prima aumenta, poi diminuisce, si annulla e inine tende a stabilizzarsi (duale di ε a ε nel caso drenato). cs Δu + - ε a ε a 4/6

43 .. / c) Il percorso tensionale totale ha come proiezione sul piano un segmento rettilineo con pendenza :. Il percorso tensionale eicace è curilineo (la pressione media eicace può anche decrescere nella ase iniziale, mentre in generale è crescente ino allo stato critico). d) Nel piano il punto rappresentatio dello stato iniziale si troa sulla cura di scarico ricarico corrispondente alla pressione di consolidazione c. La proiezione del percorso tensionale eicace ( ) nel piano è orizzontale (essendo cost) e si muoe dalla linea URL alla linea. b) d) cs NCL Δu cs Δu ESP - u u Δu u ESP u + p u cs TSP URL c 4/6 p,

44 .. / Se proini della stessa argilla satura isotropicamente consolidati a pressioni c uguali e scaricati pressioni (dierenti R ) sono portati a rottura in condizioni non drenate si ossera che: se lo stato iniziale è sotto la ( ), il terreno è ortemente soraconsolidato, il percorso è curilineo (con in generale crescente, a parte una ase iniziale eentualmente decrescente) e periene prima alla condizione di rottura e poi allo stato critico ( ), con Δu prima crescente e poi decrescente e sempre crescente; se lo stato iniziale è sotto la NCL ma sopra la (punto ), è debolmente soraconsolidato, il percorso curilineo (con prima crescente e poi decrescente), periene alla condizione di stato critico (coincidente con la condizione di rottura) se lo stato iniziale è sulla NCL, è normalmente consolidato, il percorso curilineo (con generalmente decrescente) periene alla condizione di stato critico (con Δuèsempre crescente) a) b) Linea di iniluppo a rottura NCL m URL M c p, R c / 6 R c /.5 R

45 .. / I punti rappresentatii delle condizioni di rottura di proini con eguale pressione di consolidazione c (punti sulla stessa linea di scarico ricarico) giacciono sulla linea iniluppo a rottura precedentemente deinita per i proini ortemente soraconsolidati, e sulla per i proini debolmente soraconsolidati e normalconsolidati. Linea di iniluppo a rottura M m p, 45/6

46 .. / N.. Se si conrontano il deiatore a rottura e relatio allo stato critico ottenuti per lo stesso terreno OC (con uguale pressione di consolidazione c e uguale grado di soraconsolidazione R ) da proa drenata e non drenata si ossera che: cs < csu < a) u b) csu u cs C E F m C E F M ε a c) p, C C E F URL NCL c 46/6

47 .. / SUPERFICIE I STTO La supericie di Roscoe, che contiene tutti i percorsi drenati e non drenati dalla NCL alla per una stessa argilla satura, la supericie di Horsle, la cui intersezione con il piano determina l iniluppo a rottura e il piano limite di rottura ormano nello spazio la Supericie di Stato, che delimita il olume degli stati di tensione possibili. Supericie di Roscoe Supericie di Horsle NCL Piano limite di trazione 47/6

48 .. / Così come per la supericie di Roscoe, anche il piano limite di trazione e la supericie di Horsle possono essere rappresentati sul piano normalizzato /p e / e, in particolare la supericie di Horsle dienta una retta di euazione: p e p g + h pe g p e + h p (M Γ h) exp λ + h p p e exp N λ Γ λ ln p M p τ c +σ n tan φ Resistenza per attrito Resistenza per coesione N.. M, h, Γ, λ sono i parametri di stato critico dipendenti dal tipo di terreno, mentre il olume speciico dipende dall indice dei uoti, e, e uindi dal contenuto in acua, w. 48/6

49 .. / Modello Cam Clay modiicato MOELLO CM CLY MOIFICTO (CCM) Il modello Cam Clay Modiicato è un modello matematico che iene utilizzato per la preisione uantitatia del comportamento dei terreni e che si basa sulle deinizioni di dominio elastico e cura di plasticizzazione. Si deinisce parete elastica (o dominio elastico) nello spazio una supericie cilindrica, limitata dalla supericie di stato, aente come direttrice una linea di scarico ricarico (URL) e come generatrice una retta parallela allʹasse (cost.,cost.). Supericie di Roscoe NCL Supericie di Horsle URL Parete elastica 49/6

50 .. / Modello Cam Clay modiicato Un punto appartenente ad una parete elastica può muoersi liberamente su di essa proocando solo deormazioni elastiche. Un punto appartenente ad una parete elastica () può spostarsi su unʹaltra parete elastica (C) solo raggiungendo prima la supericie limite () e muoendosi anche su di essa. Nel percorso sulla supericie limite si producono deormazioni plastiche. La proiezione del percorso sul piano giace sulla Parete elastica URL della parete ( ) inché il punto si troa Parete elastica sula parete, uindi si sposta ino a raggiungere NCL la linea URL della parete ( C ) C C 5/6

51 .. / Modello Cam Clay modiicato Percorso non drenato (TxCIU) Il percorso tensionale eicace (ESP) di una proa TxCIU si solge interamente sul piano non drenato ( cost), e, nel caso di proino OC (stato iniziale sulla URL), la parte iniziale (elastica) del percorso èil segmento intersezione ra il piano non drenato e la parete elastica che contiene la URL. Tale segmento (), essendo il piano non drenato erticale ( cost), nel piano è anch esso erticale, e uindi, non ariando, non ariano i parametri elastici ed il comportamento è elastico lineare Inece sul piano la proiezione del percorso corrispondente ( ) coincide con il punto ( ) Piano non drenato NCL C Parete elastica URL 5/6

52 .. / Modello Cam Clay modiicato Percorso drenato (TxCI) Il percorso tensionale eicace (ESP) di una proa TxCI si solge interamente sul piano drenato, e, nel caso di proino OC (stato iniziale sulla URL), la parte iniziale (elastica) del percorso èil segmento intersezione ra il piano drenato e la parete elastica. Tale segmento (), essendo il piano drenato con pendenza :, nel piano è un segmento anch esso di pendenza :, e uindi, non, ariano i parametri elastici ed il comportamento è elastico non lineare Inece sul piano la proiezione del percorso corrispondente ( ) giace sulla linea URL. NCL C Piano drenato Parete elastica URL 5/6

53 .. / Modello Cam Clay modiicato CURV I PLSTICIZZZIONE Nel piano delle tensioni esiste una cura, detta di cura di plasticizzazione (yield cure), che separa gli stati di tensione che producono risposte elastiche dagli stati di tensione che producono risposte plastiche. Eidenze sperimentali indicano che per i terreni la orma della cura di plasticizzazione nel piano delle tensioni è approssimatiamente ellittica Nel modello CCM tale cura è rappresentata V da un ellisse F di euazione: M c / F ( p ) p p c + NCL M c / c URL doe: la lunghezza dell asse minore è pari a M c / V la lunghezza dell asse maggiore è pari alla pressione di consolidazione c la linea di stato critico interseca l ellisse nel suo ertice V e, sul piano, tale punto V corrisponde all intersezione tra la e la URL P V & V URL NCL & URL Γ N (k λ) ln (alida solo nel modello CCM) 5/6

54 .. / Modello Cam Clay modiicato Se lo stato di tensione di un elemento di terreno è rappresentato da un punto interno alla cura di plasticizzazione iniziale () la risposta del terreno è elastica. Se lo stato di tensione è rappresentato da un punto sulla cura di plasticizzazione iniziale () ogni incremento di tensione che comporti un moimento erso l esterno della cura è accompagnato da deormazioni elasto plastiche e da un espansione della supericie di plasticizzazione cosicché il punto rappresentatio dello stato di tensione permane sulla cura di plasticizzazione (C). Se il percorso dal punto C si muoe erso l interno i saranno deormazioni elastiche, poiché la cura di plasticizzazione si è espansa e la regione elastica è dienuta più grande. - Stato di tensione elastico - Inizio della plasticizzazione C - Stato elasto-plastico C M c Cura di plasticizzazione espansa Cura di plasticizzazione iniziale / c c 54/6

55 .. / Modello Cam Clay modiicato PERCORSI TENSIONLI IN PROVE TxCI E TxCIU SECONO IL MOELLO CCM Si consideri un proino di terreno consolidato isotropicamente alla pressione c e poi scaricato (sempre isotropicamente) alla pressione, esso risulta isotropicamente OC, con grado soraconsolidazione isotropo R c /. lla luce dei concetti espressi sul percorso tensionale eicace di un proino di argilla isotropicamente OC, che è inizialmente elastico e che uindi nel tratto iniziale si solge sulla parete elastica associata alla pressione di preconsolidazione, c, nonché sulla orma ellittica della cura di plasticizzazione, tali percorsi nelle proe di compressione triassiale standard, possono essere interpretati secondo il modello Cam Clay Modiicato (MCC). 55/6

56 .. /.Proa TxCI Stato ine consolidazione Stato C (F) critico rottura a) urante la seconda ase della proa di compressione assiale, il percorso tensionale (che si solge sul piano drenato con pendenza :) appartiene per un primo tratto () alla parete elastica, doe si solge, sul piano, all interno dell ellisse di plasticizzazione corrispondente a c, con deormazioni elastiche. b) Sul piano il primo tratto del percorso si solge interamente sulla linea URL c) Raggiunta la ase di plasticizzazione (), il percorso sul piano si solge sulla stessa linea con pendenza :: se l ascissa di, > c / (terreno debolmente OC) il percorso si muoe erso l esterno dell ellisse, che si espande () e a cui corrispondono alori di c sempre maggiori, ino allo stato criticorottura (CF). d) Sul piano il percorso scende e attraersa linee URL con c sempre maggiori ino a raggiungere la linea (CF) Modello Cam Clay modiicato NCL Ellisse di plast. allo stato critico (rottura) Ellisse di plast. ine cons. CF E E c ESP G G CF

57 .. / c) Se l ascissa di < c / (terreno ortemente OC) il percorso si muoe erso l interno dell ellisse, che si contrae (C) e a cui corrispondono alori di c ineriori, ino alla condizione di stato critico (C), distinta da uella di rottura (F). d) Sul piano il percorso sale e attraersa linee URL con c ineriori ino a raggiungere la linea (C) Modello Cam Clay modiicato cs C NCL Ellisse di plast. allo stato critico ESP F Ellisse di plast. a rottura ( iniz.) C Stato ine consolidazione Stato (F) rottura F Stato C critico / c c

58 .. / Modello Cam Clay modiicato a. Proa TxCI su argille debolmente OC ( > c /) a) b) CF ESP CF c) E G ε d) NCL E G CF c CF ε 58/6

59 .. / Modello Cam Clay modiicato b. Proa TxCI su argille ortemente OC ( < c /) a) b) ESP F F c) cs C NCL ε d) ε C C F F / c c C ε 59/6

60 .. /.Proa TxCIU cui corrispondono alori di c sempre maggiori, Modello Cam Clay modiicato Stato ine consolidazione Stato C (F) critico rottura Ellisse di plast. allo stato critico (rottura) a) Il percorso tensionale (che si solge sul piano non drenato erticale, con cost) appartiene per un primo tratto () alla parete elastica, e si solge, sul piano, su un segmento erticale ino a incontrare l ellisse di plasticizzazione () corrispondente a c, con deormazioni elastiche. b) Sul piano il primo tratto del percorso coincide con lo stato iniziale () sulla linea URL c) Raggiunta la plasticizzazione (), il percorso sul piano si solge su una linea cura, che, se l ascissa di, oero, è maggiore di c / (R <, terreno debolmente OC) il percorso si muoe allontanandosi dal percorso TSP (Δu crescenti) erso l esterno dell ellisse, che si espande () e a ino allo stato criticorottura (CF). d) Sul piano il percorso è orizzontale erso sin. e attraersa linee URL con c sempre maggiori ino a raggiungere la linea (CF) NCL CF CF TSP u E G Ellisse di plast. ine cons. E c G,p

61 .. / Stato ine consolidazione Stato C critico Stato (F) rottura c) Se l ascissa di è maggiore di c / (R >, terreno ortemente OC) il percorso si muoe erso l interno dell ellisse, che si contrae (C) e a cui corrispondono alori di c ineriori, ino alla condizione di stato critico (C), distinta da uella di rottura (F). Il punto () in corrispondenza del uale il percorso ESP attraersa il percorso TSP corrisponde a Δu. d) Sul piano il percorso è sempre orizzontale, ma erso dx e e attraersa linee URL con c ineriori ino a raggiungere la linea (C). Con rierimento al punto (, ), ponendo l appartenenza all ellisse di plasticizzazione: ( p ) p pc + M M p R cu per R > cs Modello Cam Clay modiicato ESP F u NCL F C Ellisse di plast. allo stato critico C / c TSP F C Ellisse di plast. a rottura ( iniz.),p c Δu Δu cs

62 .. / Modello Cam Clay modiicato a. Proa TxCIU su argille debolmente OC ( > c /, R <) a) b) c) CF u E TSP G,p ε d) Δu CF NCL CF CF E G c ε 6/6

63 .. / Modello Cam Clay modiicato b. Proa TxCIU su argille ortemente OC ( < c /, R >) Δu cs F Δu C ESP cs F u C TSP,p F C ε NCL Δu F C Δu cs F / c c Δu C ε 6/6