ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA

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3 γbwb = = P mp e P = = = = = P e 1 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA PROPRIETÀ INDICI DEL TERRENO, GRANULOMETRIA, LIMITI DI ATTERBERG E SISTEMI DI CLASSIFICAZIONE Esercizio n.1: Un campione di argilla satura viene posto in un contenitore e pesato. Il peso è 6N. Il contenitore viene quindi messo in un forno alla temperatura di 105 C per 24 ore, fino a che il peso si riduce ad un valore costante di 5N. Il peso del contenitore è di 1N. Sapendo che la gravità specifica GBsB 2.7 ed assumendo kn/mp P, determinare: a) il contenuto d acqua, w b) l indice dei vuoti, e c) il peso di volume, γ d) il peso di volume secco, γbdb e) peso di volume alleggerito, γ 3 [Soluzione: w = 25%; e = 0.675; γ = kn/mp P; γbdb kn/mp P; γ = 9.96 kn/mp P] Esercizio n.2: Un terrapieno per un autostrada viene realizzato con terreno prelevato in cava e compattato in sito 3 3 ottenendo un peso di volume secco di 18 kn/mp P. L argilla ha un peso di volume in cava di 17 kn/mp un contenuto d acqua naturale del 5%. Determinare il volume di argilla, V, che e necessario prelevare in cava per ottenere un metro cubo di terrapieno. Si assuma GBsB [Soluzione: V = 1.11 mp P] Esercizio n.3: Su un campione di argilla indisturbata prelevato sotto falda sono eseguite in laboratorio le seguenti misure: peso totale, P = 0.48 N -5 volume totale, V = 3 x 10P 3 peso secco, PBsB 0.30 N Sapendo che la gravità specifica GBsB a) il peso di volume γ; b) l indice dei vuoti, e c) il grado di saturazione, SBrB pari a 2.7 e assumendo γbwb kn/mp P, determinare: d) la variazione relativa di volume in percentuale del campione durante il prelievo e il trasporto in laboratorio (nell ipotesi non vi siano state perdite d acqua durante il trasporto) 3 [Soluzione: a) γ = 16 kn/mp P; b) e = 1.655; c) SBrB 97.9 %; d) V/V = 1.35%] Esercizio n.4: Un campione di terreno asciutto a grana grossa, avente una massa di 500 g, viene sottoposto ad analisi granulometrica per setacciatura, con i risultati che seguono:

4 = = = = = P di = 2 N. Setaccio (N. ASTM) Diametro [mm] < Massa trattenuta [g] a) disegnare la curva granulometrica corrispondente; b) determinare il coefficiente di uniformità, UC, e di curvatura, CC; c) calcolare la composizione percentuale del terreno (ghiaia, sabbia, ecc) secondo il criterio di classificazione indicato in figura; d) descrivere la granulometria del materiale (poco gradato, ben gradato, ecc.); [Soluzione: UC = 3.8; CC = 0.78; Ghiaia = 3 %, Sabbia = 95.8%, Limo e argilla = 1.2%] Esercizio n.5: Lo scavo di una trincea drenante mette a giorno due livelli di argilla con uguali limiti di Atterberg (wblb = 72%; wbpb 35%; IBPB 37) e differenti contenuti d acqua (wb1b = 65% e wb2b 30%). 3 Il riempimento della trincea ha richiesto la messa in opera di 3 mp terreno. Il peso secco del terreno 3 adoperato è di 49.5 kn; il peso specifico dei costituenti solidi è 27 kn/mp P. Determinare: a) l indice di consistenza, IBcB, dei due livelli argillosi, lo stato fisico e il livello di consistenza secondo la tabella allegata b) il volume d acqua, VBwB, necessario a saturare il terreno messo in opera; 3 c) l indice dei vuoti, eb1b, e il contenuto d acqua, wb1b, del terreno saturo (si assumaγbwb = 9.81 kn/mp P); d) il valore del peso di volume saturo, γbsatb. Sapendo che l indice dei vuoti minimo e massimo del terreno utilizzato per il riempimento della trincea valgono rispettivamente 0.40 e 0.90, e che il materiale, messo in opera per un altezza di 2.5 m, viene poi costipato fino ad aumentarne la densità relativa del 20%, determinare di quanto viene ridotta l altezza, nell ipotesi che durante il costipamento non si siano avute deformazioni laterali. 3 3 [Soluzione: IBc1B = 0.19, IBc2B = 1.14; VBwB 1.1 mp P; eb1b 0.639, wb1b 23.2%; γbsatb = 20.3 kn/mp P; H = 15.3 cm]

5 wblb wbpb < γb1b = γb2b = wblb = IBcB [%] IBcB < < IBcB > IBcB > P wb1b = P wb2b = < < < = = P = < < > < < < < Contenuto d acqua, w w > wblb < w < wbpb w < wbsb w < wbsb Indice di consistenza, Stato Consistenza Resistenza alla compressione semplice, 2 qbub [kg/cmp P] 0 Liquido Fluida qbub < IBcB 0.25 Fluido-plastica qbub < IBcB 0.50 Molle-plastica 0.25 < qbub 0.50 Plastico 0.50 < IBcB 0.75 Plastica 0.50 < qbub 1 1 < qbub < IBcB 1 Solido-plastica 1 Semisolido Semisolida 1 Solido Solida 2 < qbub 4 qbub 4 Esercizio n.6: Un edificio industriale con fondazione a platea poggia su uno strato di argilla satura di spessore H = 2.5m. Le caratteristiche geotecniche iniziali dell argilla sono le seguenti: kn/mp 29.2% γbsb 27 kn/mp In seguito alla esecuzione della costruzione la consistenza dello strato di argilla aumenta e le caratteristiche geotecniche finali risultano le seguenti: kn/mp 26.6% Determinare il cedimento della platea nell ipotesi che non vi siano deformazioni laterali e che il terreno 3 sottostante lo strato di argilla sia indeformabile (si assuma γbwb 9.81 kn/mp P). [Soluzione: H = 10 cm] Esercizio n.7: Classificare secondo le norme USCS e HRB (AASHTO) i campioni di terreno aventi le seguenti caratteristiche granulometriche e di plasticità: UCAMPIONE A 34 % wbpb ANALISI MECCANICA Diametro D [mm] Setaccio N. ASTM ANALISI PER SEDIMENTAZIONE: AEROMETRIA Diametro D [mm] 24 % Passante [%] Passante [%]

6 4 CAMPIONE B ANALISI MECCANICA Setaccio N. ASTM Diametro D [mm] ANALISI PER SEDIMENTAZIONE: AEROMETRIA Diametro D [mm] w L = 55 % w P = 32 % CAMPIONE C Setaccio N. ASTM Passante [%] Passante [%] ANALISI MECCANICA Diametro D [mm] 1 ½ / / / Passante [%] Di seguito sono riportate le curve granulometriche corrispondenti a ciascuno dei tre campioni (a), la carta di plasticità di Casagrande (per la classificazione USCS) (b) e un diagramma per la classificazione HRB (c). a)

7 5 b) c) [Soluzione: A) ML (USCS), A4 (HRB); B) MH (USCS), A7-5 (HRB); C) SW (USCS), A1-a (HRB)]

8 6 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA IDRAULICA DEI TERRENI: LEGGE DI DARCY, MISURA DELLA PERMEABILITÀ, PRESSIONI DI FILTRAZIONE E GRADIENTE IDRAULICO CRITICO Esercizio n.1: Ad un campione cilindrico di sabbia, avente porosità n = 60%, viene applicato un carico idraulico h = 30 cm in un permeametro a carico costante. Il provino ha diametro D pari a 5 cm e lunghezza L di 15 cm. Durante la prova viene raccolto un volume d acqua C pari a 40 cm 3 in 5 sec, alla temperatura di 20 C. Determinare il coefficiente di permeabilità k del campione e la velocità di filtrazione effettiva, v eff, dell acqua. [Soluzione: k = 2x10-3 m/s; v eff = 0.67 cm/s] Esercizio n.2: Viene eseguita una misura di permeabilità con permeametro a carico variabile su un campione di limo argilloso avente diametro D e lunghezza L di 100 mm. Le letture in termini di tempo t dall inizio della prova e di altezza h raggiunta nella buretta (di diametro 3 mm) sono di seguito riportate. Determinare il valore medio k del coefficiente di permeabilità del campione. t (s) h (mm) [Soluzione: k = 6.4x10-7 m/s] Esercizio n.3: Viene eseguita una prova di permeabilità a carico variabile in foro di sondaggio (per immissione) in un deposito uniforme di sabbia fine limosa. Il livello di falda è a 4.5 m dal piano di campagna, la quota del fondo del foro e della base dl rivestimento sono rispettivamente di 6.3 m e 5.7 m dal piano di campagna. Il diametro interno del foro D è di 200 mm. Determinare il coefficiente di permeabilità k del terreno, alla profondità a cui viene eseguita la prova, sulla base delle letture di seguito riportate in termini di tempo t, trascorso dall inizio della prova, e di profondità z w del livello dell acqua rispetto al piano di campagna. Si utilizzi per la determinazione del coefficiente di forma F la tabella allegata. t [min] z w [m] t [min] z w [m] [Soluzione: k = 4.38x10-5 m/s] Esercizio n.4: Durante una prova di pompaggio, eseguita in un deposito di sabbia superficiale di spessore H pari a 15 m, la portata costante emunta, a regime, Q, è di 636 l/min e i conseguenti abbassamenti, rispetto al livello di falda iniziale, misurati in corrispondenza di due pozzi d osservazione posti a distanze dal pozzo principale pari a 15 m e 30 m, sono rispettivamente 1.6 m e 1.4 m. La profondità iniziale della falda è di 1.9 m. Determinare il coefficiente di permeabilità k del deposito. [Soluzione: k = 5.0x10-4 m/s]

9 Esercizio n.5: Viene eseguita una prova di pompaggio in un acquifero confinato contenuto all interno di un deposito di argilla a permeabilità molto bassa. Lo spessore H dello strato sabbioso che costituisce l acquifero è di 3.5 m, mentre lo spessore H 1 dello strato impermeabile al di sopra di esso è di 5.5 m. Il livello della falda nell acquifero confinato, in condizioni idrostatiche, è ad 1 m dal piano di campagna. Sapendo che la portata emunta in condizioni stazionarie Q è di 0.30 m 3 /min, determinare il coefficiente di permeabilità medio k dell acquifero sulla base delle letture effettuate ai pozzi d osservazione del livello d acqua z w misurato dal piano di campagna. Pozzo d osservazione Distanza dal pozzo di pompaggio, r [m] Livello dal piano di campagna, z w [m] [Soluzione: k = 4.70x10-4 m/s] Esercizio n.6: Determinare il rapporto tra la permeabilità orizzontale k H e verticale k V di un deposito costituito da strati orizzontali di argilla, dello spessore medio di 1.5 m, alternati a strati sottili di limo argilloso, dello spessore medio di circa 1 cm e aventi permeabilità circa 100 volte maggiore di quella dell argilla. [Soluzione: k H /k V = 1.65] Esercizio n.7: Un deposito di sabbia contiene sottili strati orizzontali di argilla dello spessore di circa 10 mm spaziati ad intervalli mediamente regolari di 1m. Assumendo un coefficiente di permeabilità k s = 1x10-3 m/s per la sabbia e k c = 1x10-7 m/s per l argilla, determinare il coefficiente di permeabilità equivalente orizzontale k H e verticale k V del deposito. [Soluzione: k H = 0.99x10-3 m/s; k V = 1.00x10-5 m/s ] Esercizio n.8: Un deposito di terreno, di cui sono riportate in figura la stratigrafia e il livello di falda (al di sopra del piano di campagna di un altezza H W ) è delimitato inferiormente da uno strato di sabbia molto permeabile. Viene realizzata una trincea inserendo due membrane verticali e prelevando l acqua contenuta tra di esse fino a portare la falda al piano di campagna. Determinare in corrispondenza del fondo della trincea la L = 10m portata (per unità di lunghezza della trincea), q, che deve essere emunta per mantenere il livello della falda al H w = 4m 2/3 H w piano di campagna. Si supponga che, all interno di un piezometro posto tra le due membrane in corrispondenza di un qualsiasi punto della H = 1.5 m 1 H = 2.0 m 2 H = 0.5 m 3 H = 1.5 m 4 A superficie di Sabbia molto permeabile separazione con lo strato di terreno permeabile (sezione A-A ), l acqua risalga rispetto al livello di falda sempre della stessa quantità 2/3 H W. [Soluzione: q = cm 2 /s] A Sabbia fine: k = 2x10 cm/s 1 Sabbia media: k = 2x10 cm/s p.c. Limo argilloso: k = 4x10 cm/s 3-7 Argilla limosa: k = 3x10 cm/s 4 7

10 Esercizio n.9: Si consideri un deposito di argilla, la cui stratigrafia e le relative condizioni di falda sono indicate in figura e che poggia su uno strato di sabbia molto permeabile. Si supponga che il livello d acqua raggiunto in un piezometro posto al tetto dello strato di sabbia stia al di sopra del livello di falda di 7 m, generando così nel deposito di argilla un moto di filtrazione verticale ascendente (si assuma γ w = 10 kn/m 3 ): a) calcolare la permeabilità verticale equivalente del deposito k v, e la portata che lo attraversa, q; b) determinare come varia al suo interno nei vari strati il carico piezometrico e la pressione interstiziale; c) calcolare le forze agenti sulla fase solida in ciascuno strato e verificarne la stabilità. [Soluzione: a) k v = m/s; q = cm/s; b) h A = 20m, h B = 21m, h C = 25m, h D = 27m, u A = 30kPa, u B = 70kPa, u C = 150kPa, u D = 270kPa; c ) σ A = 0kPa, σ B = 20kPa, σ C = 20kPa, σ D = 100kPa] Esercizio n.10: Si deve progettare una trincea di grande lunghezza in uno strato di sabbia dalle caratteristiche indicate in figura e delimitato inferiormente da uno strato di terreno impermeabile. Con riferimento alla figura si assuma: la semilarghezza della trincea b = 10 m; la profondità dello scavo d 1 d 2 = 10 m; il dislivello di falda h = 11 m; la profondità dello strato di sabbia T 1 = 25 m. H = 3 m W H = 3 m 1 H = 4 m 2 H = 10 m 3 T 1 d 1 A p.c Argilla A : γ = 20 kn/m k = 3x B m/s Argilla A : γ = 20 kn/m k = 1x10 m/s C D B h = 7 m Argilla A : γ = 20 kn/m k = 5x10 m/s Sabbia molto permeabile h A b h d 2 8 a) Calcolare il gradiente idraulico critico, i c. b) Calcolare il gradiente idraulico medio, i m, nel tratto compreso tra il piede della palancola (A) e il punto aderente alla palancola verso valle a fondo scavo (B) per: d 1 = 13 m e d 1 = 15 m c) Calcolare il valore minimo della profondità d infissione d 1 della palancola compatibile con l equilibrio. d) Nel caso di profondità d infissione d 1 = 15 m calcolare il coefficiente di sicurezza,f S, rispetto al sollevamento del fondo scavo e la portata, q, per metro di lunghezza, che filtra attraverso il fondo della trincea. [Soluzione: a) i c = 1.04; b) i m1 = 1.32, i m2 = 0.87, d 1min = 14.2 m; c) F S = 1.2, q = 0.83 m 2 /h] h A φ1 o φ2 1 2 A φ2 k h = h; q = φ + φ φ + φ 1 2 T 2 Sabbia: -5 k = 5x10 m/s γ = 16 kn/m d 3 γ = 27 kn/m S Terreno imperm Terreno imperm T 2 /b =

11 r0 9 Geometria della sezione Coefficiente di forma F 1. Filtro sferico in terreno uniforme 2π D 2. Filtro emisferico al tetto di uno strato confinato π D 3. Fondo filtrante piano al tetto di uno strato confinato 2 D 4. Fondo filtrante piano in terreno uniforme 2.75D 5. Tubo parzialmente riempito al tetto di uno strato confinato 6. Tubo parzialmente riempito in terreno uniforme 7. Filtro cilindrico al tetto di uno strato confinato 8. Filtro cilindrico in terreno uniforme 9. Filtro cilindrico attraversante uno strato confinato 2D 8 L k h 1 + π D k' v 2.75D 11 L k h 1 + π D k' v 3π L 2 3L 3L ln D D 3π L ln 1.5 L D 2 L D 2π L r0 ln r D D D D/ D D D L k v L k v k k D D D L L L

12 10 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA PRINCIPIO DELLE TENSIONI EFFICACI: TENSIONI GEOSTATICHE E STORIA DELLO STATO TENSIONALE Esercizio n.1: Calcolare la tensione totale verticale, σ v, la pressione neutra, u, e la tensione efficace verticale, σ v, alla profondità Z = 5 m in un terreno con peso di volume γ = 18 kn/m 3 (assunto uguale sia al di sopra che al disotto del livello di falda) nell ipotesi che la falda freatica si trovi (si assuma γ w = 10 kn/m 3 ): a) a quota h = 2.5 m al di sopra del piano di campagna ; b) coincidente col piano di campagna; c) a profondità h = 2.5 m dal piano di campagna. [Soluzione: a) σ v = 115 kpa, u = 75 kpa; σ v = 40 kpa; b) σ v = 90 kpa, u = 50 kpa; σ v = 40 kpa; c) σ v = 90 kpa, u = 25 kpa; σ v = 65 kpa] Esercizio n.2: Un edificio di grandi dimensioni trasmette una pressione verticale uniforme di p = 100 kpa al terreno di fondazione, costituito da limo sabbioso fino alla profondità di 10 m e da roccia a profondità maggiori. La falda freatica è inizialmente a profondità 2 m al di sotto del piano di campagna, la densità dei grani solidi del limo sabbioso su cui è fondato l edificio è ρ S = 2.71 Mg/m 3, il peso di volume al di sopra della falda è γ = 18 kn/m 3 mentre il contenuto d acqua al di sotto della falda è w = 30%. Determinare all interno dello strato di terreno superficiale (si assuma γ w = 10 kn/m 3 ): a) le tensioni geostatiche verticali in funzione della profondità z (misurata a partire dal piano di campagna) b) la loro variazione in conseguenza di un abbassamento della falda da 2 m a 5 m dal piano di campagna. [Soluzione: a) 18z [ kpa] 0 z 2m σ v =, 0 [ kpa] 0 z 2m u =, 18z [ kpa] 0 z 2m σ ' = ; v 19z + 98 [ kpa] z 2m 10z 20[ kpa] z 2m 9z [ kpa] z 2m 0 [ kpa] 0 z 2m 0 [ kpa] 0 z 2m 0 [ kpa] 0 z 2m b), σ = 2 z [ kpa] 2 z 5m u = 20 10z [ kpa] 2 z 5m, σ ' v = 9z 18 [ kpa] 2 z 5m ] v 3 [ kpa] z 5m 30 [ kpa] z 5m 27 [ kpa] z 5m Esercizio n.3: Si considerino la stratigrafia e le proprietà dei terreni riportate in figura. Si determini e si disegni il profilo, con la profondità, delle tensioni geostatiche (verticali e orizzontali, efficaci e totali) e della pressione neutra per le seguenti posizioni del livello di falda: a) falda al livello del p.c.; b) falda ad una quota h = 2m al di sopra del p.c.; c) falda a profondità z w = 2m dal p.c.; Si assuma che il terreno sia completamente asciutto al di sopra del livello di falda. e completamente saturo al di sotto.

13 b) D 2 m a) p.c. 2 m c) E ρ S 3 Sabbia: = 2.70 Mg/m n = 0.5 K 0 = Argilla: ρ sat = 2.0 Mg/m K 0 = 0.6 A B C tensioni [kpa] Soluzione: a) b) c) u σ h σ v σ h σ v tensioni [kpa] σ h σ v u σ v σ h t ensio ni [ kpa] σ h u σ v σ Esercizio n.4: Si consideri un deposito di terreno omogeneo costituito da argilla caratterizzata da un peso di volume saturo γ sat = 19.8 kn/m 3, da un angolo di resistenza al taglio φ = 30 e da una coesione c = 0 kpa. Supponendo che si verifichi un erosione fino ad una profondità di d = 25 m, determinare le tensioni totali ed efficaci prima e dopo l erosione nei punti A e B indicati in figura, supponendo che prima dell erosione il terreno sia normalconsolidato. Si assume che il terreno al di sopra della falda sia saturo e che γ w = 9.81 kn/m 3. Prima dell erosione 5 m p.c. 30 m 25 m Dopo l erosione A 50 m B [Soluzione: a) σ vi (A) = 594 kpa, σ vi (A) = kpa, σ hi (A) = kpa, σ hi (A) = kpa, σ vi (B) = 990 kpa, σ vi (B) = kpa, σ hi (B) = kpa, σ hi (B) = kpa; σ vf (A) = 99 kpa, σ vf (A) = 49.9 kpa, σ hf (A) = 64.9 kpa, σ hf (A) = 114 kpa, σ vf (B) = 495 kpa, σ vf (B) = kpa, σ hf (B) = kpa, σ hf (B) = kpa] Esercizio n.5: Un rilevato di altezza H = 8m e peso di volume γ = 21.5 kn/m 3, ubicato su un deposito di argilla normalconsolidata (γ = 18.5 kn/m 3 ), viene rimosso dopo molti anni. Determinare il grado di sovraconsolidazione OCR dell argilla a profondità z 1 = 1m e z 2 = 10 m dal piano di campagna dopo la rimozione, nell ipotesi che il livello di falda rimanga invariato ad una profondità z w = 1m dal piano di campagna. Si assume che il terreno al di sopra della falda sia saturo e che γ w = 9.81 kn/m 3. [Soluzione: OCR (z 1 ) = 10.3; OCR (z 2 ) = 2.8] Esercizio n.6: Su un campione di argilla, prelevato a 6 m di profondità dal letto di un fiume, è stato misurato il peso di volume saturo γ sat = 21.5 kn/m 3 e il grado sovraconsolidazione OCR = 2.5. Determinare lo spessore h dello strato di terreno rimosso dall erosione, assumendo γ w = 9.81 kn/m 3. [Soluzione: h = 8.9 m]

14 12 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA DIFFUSIONE DELLE TENSIONI NEL TERRENO Esercizio n.1: Un palo esercita sul terreno sottostante un carico di 200 kn. Determinare l incremento della tensione verticale σ v ad una profondità di 5 m dal piano di campagna: a) al di sotto del palo b) ad una distanza radiale di 2 m [Soluzione: a) σ v = 3.8 kpa; b) σ v = 2.6 kpa] Esercizio n.2: Due metri di terreno di riporto vengono compattati su una vasta area (ρ = 2.04 Mg/m 3 ) ed alla profondità di 1 m dalla superficie del terrapieno ( e quindi un metro al di sopra del piano di campagna originale) viene messa in opera una fondazione rettangolare di dimensioni 3x4 m 2, caricata con 1400 kn. La densità media del terreno naturale è 1.68 Mg/m 3 e la falda è molto profonda. Determinare: a) l andamento della tensione efficace verticale iniziale (precedente alla realizzazione del terrapieno); b) l incremento della tensione efficace verticale dovuto alla messa in opera del riporto; c) l incremento della tensione efficace verticale al centro della fondazione a una profondità dal piano di fondazione di 2 m (punto A), calcolato sia col metodo della diffusione del carico con rapporto 2:1 che applicando la teoria dell elasticità (Steinbrenner); d) l incremento della tensione efficace verticale sempre a profondità 2m dal piano di applicazione del carico, in corrispondenza di uno spigolo (punto B) e a distanza di 1.5 m dallo spigolo (punto C). B=4 m L = 3 m A B C ρ 1 3 = 2.04 Mg/m P = 1400 kn 1 m 1 m p.c. p.c. originario 3 ρ 2 = 1.68 Mg/m A 1 m B 1.5 m C z [Soluzione: a) σ v (kpa) = 16.5 z (m); b) σ v = 40 kpa; c) σ 1v(A) = 46.7 kpa, σ 2v(A) = 72.2 kpa; d) σ v(b) = 26.1 kpa, σ v(c) = 6.8 kpa]

15 13 Esercizio n.3: Un serbatoio cilindrico di diametro 3.91 m esercita sul terreno di fondazione una pressione uniforme 117 kpa. Determinare l incremento della tensione verticale ad una profondità di 2 m dal piano di fondazione: a) sotto il centro del serbatoio b) sotto il bordo del serbatoio. [Soluzione: a) σv = 74.2 kpa; b) σv = 40.9 kpa] Esercizio n.4: Un rilevato stradale ha sezione trapezia con base maggiore 2a = 22 m, base minore 2a = 10 m e altezza h = 3 m. La densità media del terreno utilizzato per il rilevato è ρ = 2.0 Mg/m3. Determinare l incremento della tensione verticale indotto in corrispondenza dell asse del rilevato a profondità dal piano di campagna originale: a) z=3m b) z=6m [Soluzione: a) σv = 57.1 kpa; b) σv = 51.8 kpa] Incremento della tensione verticale indotto da un carico nastriforme Incremento della tensione verticale indotto da un carico rettangolare, uniforme (a) (Carothers, 1920) e triangolare (b) uniformemente distribuito su un area rettangolare (a) (Newmark, (Florin, 1961) 1942) e circolare (b) (Foster e Ahlvin, 1954) a) a) b) b)

16 14 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA COMPRESSIBILITÀ E CONSOLIDAZIONE EDOMETRICA DEI TERRENI Esercizio n.1: Uno strato di argilla organica normalmente consolidato con peso di volume γ = 16 kn/m 3, indice dei vuoti iniziale e 0 = 1.8 e indice di compressione C c = 0.6, è compreso, tra profondità 4 m e 14 m dal piano di campagna, tra due strati di sabbia, che, ad una certa distanza, sono a contatto tra di loro. Il livello di falda è 1 m al di sotto del piano di campagna e il peso di volume della sabbia è γ = 19 kn/m 3 al di sopra della falda, e γ = 20 kn/m 3 al di sotto. a) Nell ipotesi che venga effettuato un pompaggio permanente di acqua che abbassa il livello piezometrico di 2 m, calcolare le variazioni di pressione totale, neutra ed efficace all interno dello strato di argilla in funzione della profondità, e il cedimento di consolidazione conseguente, H. b) Se al termine della consolidazione viene applicato in superficie un carico uniforme di 100 kpa, determinare il corrispondente cedimento di consolidazione finale dello strato di argilla, H. [Soluzione: a) σ v = σ vfin σ vin = - 2 kpa, u = - 20 kpa, σ v = 18 kpa; H = 19.9 cm; b) H = 65.9 cm] Esercizio n.2: Un serbatoio cilindrico di raggio r = 10 m, che applica al terreno una pressione verticale uniforme, p, di 200 kpa è fondato su deposito costituito nei primi 10.4 m da sabbia fine (avente indice dei vuoti e = 0.76 e G s = 2.7), seguito da uno strato di argilla soffice (G s = 2.7) dello spessore di 2 m delimitato inferiormente da uno strato di sabbia grossa. La falda è a 3 m al di sotto del piano di campagna. Si assume che il terreno al di sopra della falda sia saturo. Determinare il cedimento di consolidazione primario dello strato di argilla, H, nell ipotesi che : a) l argilla sia normalconsolidata, il suo contenuto d acqua sia w = 43% e l indice di compressione C c = 0.3; b) l argilla sia sovraconsolidata con grado di sovraconsolidazione OCR = 2.5, contenuto d acqua w = 38% e indice di rigonfiamento C = [Soluzione: a) H = 7.4 cm; b) H = 1.3 cm] Esercizio n.3: Un edificio di grandi dimensioni viene fondato su un deposito sabbioso (γ = 20 kn/m 3 ) contenente al suo interno ad una profondità di 10 m dal piano di campagna, uno strato di argilla molle (γ = 16 kn/m 3 ) della potenza di 2 m. La falda è coincidente col piano di campagna ed il carico trasmesso al terreno dall edificio è uniforme e pari a 100 kpa. a) Determinare la tensione efficace verticale e la pressione neutra al centro dello strato di argilla all 80% della consolidazione. b) Determinare il tempo t f necessario per raggiungere in sito tale livello di consolidazione sapendo che dai risultati della prova edometrica eseguita su un provino (di altezza 25 mm) ottenuto da un campione di argilla estratto in corrispondenza della mezzeria dello strato, è risultato che, al livello di carico applicato pari a quello trasmesso in sito dall edificio, si è raggiunto tale grado di consolidazione in un ora. [Soluzione: a) σ v = 186 kpa, u = 130 kpa; t f = gg]

17 Esercizio n.4: Si consideri un deposito costituito a partire dal piano di campagna da uno strato di argilla di spessore pari a 10 m, coefficiente di permeabilità k = 10-7 cm/s, indice dei vuoti iniziale e 0 = 1.5 e indice di compressibilità a v = m 2 /kn, delimitato inferiormente da uno strato di sabbia. a) Determinare il tempo t necessario per raggiungere un grado di consolidazione del 70% in presenza di un sovraccarico di 100 kpa e l andamento con la profondità delle sovrappressioni intestiziali. b) Se il cedimento corrispondente, dopo questo tempo, è 9.5 cm determinare il cedimento di consolidazione primaria finale, H. [Soluzione: a) t = giorni; b) H = 13.6 cm] 15 U m T v

18 16 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA STATI TENSIONALI E RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI: PROVA DI TAGLIO DIRETTO (TD) E AD ESPANSIONE LATERALE LIBERA (ELL) Esercizio n.1: Un campione cubico di terreno a sezione quadrata è soggetto alle forze indicate in Figura. Determinare: 5 kn a) le tensioni totali principali, σ 1 e σ 3 e l angolo di inclinazione ψ del piano corrispondente alla massima tensione principale e il piano orizzontale; b) la massima tensione di taglio τ max c) le tensioni, τ θ e σ θ, agenti su un piano inclinato (in senso orario) di 30 rispetto al piano della massima tensione principale 1 kn 1 kn 3 kn 100 mm [Soluzione: a) σ 1 = kpa, σ 3 = kpa, ψ = 22.5 ; b) τ max = kpa; c) τ θ = kpa, σ θ, = kpa] Esercizio n.2: In un punto M del terreno la pressione neutra u vale 10 kpa e le tensioni normali (totali) σ e tangenziali τ agenti sul piano verticale ed orizzontale valgono: σ (kpa) τ (kpa) sul piano orizzontale: sul piano verticale: Determinare le tensioni principali totali ed efficaci. [Soluzione: σ 1 = kpa, σ 3 = kpa, σ 1 = kpa, σ 3 = kpa] Esercizio n.3: Su un campione di limo sabbioso mediamente addensato (k 0 = 0.5) viene eseguita una prova di taglio diretto applicando uno sforzo normale σ n = 65 kpa. Lo sforzo di taglio a rottura è τ f = 45 kpa. Determinare i cerchi di Mohr relativi alle condizioni iniziali e a rottura, e le tensioni principali a rottura σ 1f e σ 3f (si assuma c = 0 kpa). [Soluzione: σ 10 = 65 kpa, σ 30 = 32.5 kpa; σ 1f = kpa, σ 3f = 41.4 kpa] Esercizio n.4: Su tre provini (aventi sezione di area A = 3600 mm 2 ) ottenuti da un campione di terreno, viene eseguita la prova di taglio diretto con i risultati, in termini di forza normale applicata, N, e di forza orizzontale a rottura, T f, riportati in tabella. Determinare i parametri di resistenza al taglio del materiale, ϕ e c.

19 17 [Soluzione: ϕ = 25.5,c = 18.4 kpa] N. provino N [N] T f [N] Esercizio n.5: I risultati di una prova di taglio diretto eseguita su tre provini ottenuti dallo stesso campione sono di seguito riportati in termini di carico assiale, deformazione orizzontale e forza di taglio orizzontale applicate; l'area della sezione trasversale del provino è di 3600 mm 2. a) Disegnare il grafico sforzi-deformazioni per ciascun provino indicando il tipo di comportamento del terreno b) Determinare i parametri di resistenza del terreno ϕ e c. Carico assiale (kn) Carico assiale (kn) Deformazione (%) Forza di taglio (N) Deformazione (%) Forza di taglio (N) [Soluzione: a) comportamento contraente; b) ϕ = 25,c = 13 kpa] Esercizio n.6: L'angolo di resistenza al taglio di un'argilla N.C., determinato con prove triassiali consolidate isotrope drenate, è ϕ' = 25. La resistenza a compressione semplice di un provino della stessa argilla è q u = kpa. Determinare la pressione neutra a rottura, u r, nella prova di compressione semplice. [Soluzione: u r = -83 kpa] Esercizio n.7: Un provino di argilla satura sovraconsolidata ha avuto resistenza a rottura in prova di compressione con espansione laterale libera: q u = 141 kpa. Il coefficiente A di Skempton a rottura vale: A f = I parametri di resistenza al taglio dell'argilla, in termini di tensioni efficaci, valgono c' = 7 kpa e ϕ' = 20. Quanto valeva, nel provino d'argilla, la pressione neutra iniziale, u 0, prima della prova ELL? [Soluzione: u 0 = kpa]

20 18 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA STATI TENSIONALI E RESISTENZA AL TAGLIO DEI TERRENI: PROVE TRIASSIALI (TX) Esercizio n.1: Su un campione di argilla limosa satura (contenuto d acqua, w = 38%; limite liquido, w L = 43%; limite plastico w P = 28%) viene eseguita una prova triassiale non consolidata non drenata (TXUU), con i risultati, relativi a tre provini, riportati in Tabella 1. Confrontare il valore dei parametri di resistenza al taglio del materiale ottenuti delle prove di laboratorio con quelli ricavati dalla correlazione riportata in Tabella 2. Tabella 1 N. provino σ 3f [kpa] σ 1f [kpa] Tabella 2 Consistenza c u [kpa] molto molle < 12 kpa molle media compatta molto compatta compattissima > 200 [Soluzione: c u = 19 kpa] Esercizio n.2: Su tre campioni prelevati a differente profondità in uno strato di argilla di spessore pari a 20 m (con peso di volume γ = 20 kn/m 3 e falda al piano di campagna) sono state eseguite prove triassiali non consolidate non drenate (TXUU) con misura delle pressioni interstiziali. I risultati in termini di tensioni principali totali e pressioni interstiziali a rottura sono riportati in tabella. Prof. σ 3f σ 1f [m] [kpa] [kpa] u f [kpa] Determinare: a) le caratteristiche meccaniche di resistenza al taglio dell argilla b) la coesione non drenata ad una profondità di 10 m [Soluzione: a) φ = 22.6, c = 0; b) c u = 65 kpa]

21 Esercizio n.3: Su un campione di argilla satura (i cui parametri di resistenza al taglio, in termini di tensioni efficaci sono: φ = 20 ; c = 0 kpa) vengono eseguite una prova triassiale consolidata non drenata (TXCU) e una prova triassiale consolidata drenata (TXCD), alla stessa pressione di cella di 200 kpa. a) Determinare la sovrappressione interstiziale a rottura u f nella prova TXCU, sapendo che il corrispondente valore del deviatore a rottura, (σ 1 - σ 3 ) f, è risultato di 175 kpa ed assumendo la back-pressure uguale a 0. b) Determinare il valore della pressione deviatorica a rottura, (σ 1 - σ 3 ) f, raggiunta durante la prova TXCD, sapendo che la back-pressure applicata è di 60 kpa. [Soluzione: a) u f = 32 kpa; b) (σ 1 - σ 3 ) f = 146 kpa] Esercizio n.4: Un provino di terreno è consolidato in cella triassiale ad una pressione di cella σ c pari a 200 kpa (si assuma la back-pressure nulla). Dopo avere chiuso i drenaggi la pressione di cella è portata al valore σ c0 = 350 kpa e si misura una pressione neutra u 0 = 144 kpa. Si procede quindi all'applicazione del carico assiale in condizioni non drenate fino alla rottura del provino. Durante tale fase si eseguono le misure indicate in tabella. a) Determinare il valore del coefficiente B di Skempton b) Calcolare e rappresentare in grafico la variazione del coefficiente A di Skempton in funzione della deformazione assiale ε a. 19 ε a (σ 1 -σ 3 ) u (%) (kpa) (kpa) [Soluzione: a) B = 0.96; b) A = (0.50, 0.38, 0.28, 0.24, 0.23) per ε a = (2, 4, 6, 8, 10)] Esercizio n.5: Un'argilla NC ha resistenza al taglio nota, data dall'equazione τ = σ' tanφ' (φ = 28 ). Un provino di tale argilla è sottoposto a prova triassiale consolidata non drenata (TxCIU). La pressione di consolidazione (e di cella) è σ' c = 105 kpa. La tensione deviatorica a rottura risulta pari a q u = 97 kpa. a) Quanto dovrà risultare la pressione neutra a rottura, u f? b) Se la prova fosse condotta in condizioni drenate (TxCID) che valore avrebbe la tensione deviatorica a rottura, q d? [Soluzione: a) u f = 50.2 kpa; b) q d = kpa]

22 20 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA SPINTA DELLE TERRE Esercizio n.1: Si consideri una parete rigida verticale e liscia, di altezza H = 5 m, che sostiene un terrapieno, omogeneo e con piano di campagna orizzontale, costituito da sabbia con peso di volume saturo, γ sat, di 20 kn/m 3 e angolo di resistenza al taglio, ϕ, pari a 30. Il livello di falda è al piano di campagna e si assuma γ w = 10 kn/m 3. Si determini, trascurando eventuali moti di filtrazione: 1. l andamento delle pressioni limite attive σ a lungo il parametro interno della parete; 2. la forza risultante P tot che il terrapieno esercita sulla parete, e la distanza z p del punto di applicazione dalla base della parete. [Soluzione: a) σ a (kpa) = 3.3 z (m); b) P tot = kn/m, z p = 1.67 m] Esercizio n.2: Con riferimento alla situazione riportata in Figura ed assumendo γ w = 10 kn/m 3, si determinino, nell ipotesi di assenza di attrito tra parete e terreno: a) la spinta totale agente a monte, S 1, e a valle della parete, S 2 ; b) il momento risultante di tali spinte, M 1 e M 2, e le distanze, z 1 e z 2 dei rispettivi punti di applicazione dalla base della parete; q = 20 kpa s H = 2m 1 Sabbia: γ sat = 19 kn/m ϕ = H = 4m 2 Sabbia: γ sat = 20 kn/m ϕ = [Soluzione: a) S 1 = kn/m, S 2 = kn/m; b) M 1 = kn, M 2 = kn, z 1 = 2.09m, z 2 = 1.33m] Esercizio n.3: Un muro a parametro interno verticale di altezza H = 6 m, sostiene uno strato di argilla con le seguenti caratteristiche geotecniche: γ = 19 kn/m 3, c u = 50 kpa, ϕ = 26 e c = 10 kpa. Il livello di falda è al

23 piano di campagna. Si determini, nell ipotesi di assenza di attrito tra terreno e muro, il diagramma della spinta attiva, e la relativa risultante, a breve, P tot1 e a lungo termine, P tot2.( assumendo γ w = 10 kn/m 3 ). [Soluzione: P tot1 = 5.18 kn/m, P tot2 = kn/m] 21 Esercizio n.4: Un muro in cemento armato di altezza H = 6 m, sostiene un terrapieno di sabbia asciutta, avente γ = 18 kn/m 3 e ϕ = 37 ed inclinato, rispetto all orizzontale, di un angolo i = 30. Calcolare la spinta attiva, S a, agente sul muro: a) in assenza di attrito tra terreno e muro (col metodo di Rankine) b) considerando un angolo di attrito terreno-muro δ = ϕ nell ipotesi di superficie di rottura piana (Coulomb) e a spirale logaritmica (Navfac). [Soluzione: a) S a = kn/m; b) S a (Coulomb) S a (Navfac) = kn/m]

24 22 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI SUPERFICIALI Esercizio n.1: Si consideri una fondazione superficiale nastriforme, di larghezza B = 3 m, con carico baricentrico e verticale, realizzata ad una profondità D = 3 m dal piano di campagna in un terreno costituito da uno strato superficiale di sabbia sciolta (γ = 14 kn/m 3 ; ϕ = 30 ), di spessore H 1 = 2m, seguito da uno strato di argilla consistente (γ = 21 kn/m 3 ; ϕ = 30 ; c = 10 kpa; c u = 20 kpa). Nell ipotesi che il livello di falda sia ad 1 m dal piano di campagna, determinare la capacità portante, q lim : a) a lungo termine; b) a breve termine; [Soluzione: a) q lim = 152 kpa; b) q lim = 1204 kpa] Esercizio n.2: Determinare la capacità portante e, assumendo un fattore di sicurezza F = 3, la pressione ammissibile (nell ipotesi che i cedimenti siano compatibili con la funzionalità della sovrastruttura) di una fondazione nastriforme di larghezza B = 1 m, ubicata ad una profondità D = 1 m dal piano di campagna in un terreno sabbioso (γ d = 16 kn/m 3 ; γ s = 27 kn/m 3 ; ϕ = 35 ) nei casi di: a) sabbia asciutta; b) livello di falda coincidente col piano di campagna; c) livello di falda coincidente col piano di fondazione; d) sabbia asciutta e forza orizzontale, F H = 50 kn/m, applicata alla quota del piano di campagna e pressione verticale uniforme applicata sul piano di fondazione, pari alla pressione ammissibile ottenuta nel caso a). [Soluzione: a) q lim = 917 kpa, q amm = 316 kpa b) q lim = 579 kpa, q amm = 200 kpa; c) q lim = 775 kpa, q amm = 269 kpa; d) q lim = 593 kpa, q amm = 208 kpa] Esercizio n.3: Una fondazione quadrata di lato B = 2 m è ubicata ad una profondità D = 1 m dal piano di campagna in uno strato di elevato spessore di sabbia compattata (γ sat = 18 kn/m 3 ; ϕ = 35 ). Nell ipotesi che il livello di falda sia ad 1 m dal piano di fondazione determinare la pressione ammissibile, assumendo un fattore di sicurezza F = 3. [Soluzione: q amm = 547 kpa] Esercizio n.4: Una fondazione rettangolare di larghezza B = 1.8 m e lunghezza L = 2.5 m è ubicata ad una profondità D = 1.5 m dal piano di campagna in uno strato di elevato spessore di argilla sovraconsolidata, caratterizzata da una resistenza al taglio in condizioni non drenate, c u = 120 kpa e da un peso di volume saturo, γ sat = 20 kn/m 3. Il livello di falda è a 2 m dal piano di campagna. Determinare la pressione ammissibile, nel caso più critico, assumendo un fattore di sicurezza F =3. [Soluzione: q amm = 304 kpa]

25 Esercizio n.5 Si consideri una fondazione rettangolare (di larghezza B = 2.5 m, lunghezza L = 3.5 m e spessore S = 0.5 m) situata ad una profondità D = 1.7 m dal piano di campagna in uno strato di argilla satura compatta (γ sat = 21.5 kn/m 3 ; ϕ = 27, c u = 65 kpa, c = 3 kpa) di elevato spessore con livello di falda a profondità z w = 1.2 m piano di campagna. Il terreno di riempimento al di sopra del piano di posa della fondazione è caratterizzato da un peso per unità di volume paria a γ = 19.5 kn/m 3. Nell ipotesi che, determinare la capacità portante q lim e il fattore di sicurezza, FS nell ipotesi che: a) venga realizzato un plinto a distanza di 0.6 m dal centro della fondazione nella direzione della sua dimensione maggiore e che esso trasmetta un carico verticale di 850 kn; b) si aggiunga, rispetto al caso a) un carico orizzontale di 80 kn applicato al plinto ad una distanza di 1.5 m al di sopra del piano di campagna e nella direzione della dimensione minore della fondazione. [Soluzione: a) q lim = kpa, FS = 2.8 (condizioni non drenate), q lim = kpa, FS = 5.6 (condizioni drenate); b) q lim = 397 kpa, FS = 2.0 (condizioni non drenate), q lim = kpa, FS = 3.6 (condizioni drenate)] 23 VALORI DI FATTORI DI CAPACITÀ PORTANTE SECONDO TERZAGHI ϕ Nq Nγ Nc [ ] Terzaghi Prandtl- Vesic Terzaghi Prandtl- Vesic Terzaghi Prandtl- Vesic

26 24 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA COSTIPAMENTO Esercizio n.1: Un campione di terreno sabbioso costipato di peso W = N e volume V = 944 cm 3 ha contenuto in acqua w = 15% e peso specifico dei costituenti solidi γ s = kn/m 3. Calcolare: a) il peso di volume, γ; b) il peso di volume secco, γ d ; c) l indice dei vuoti, e; d) il grado di saturazione, S r. [Soluzione: a) γ = kn/m 3 ; b) γ d = kn/m 3 ; c) e = 0.479; d) 84.6%] Esercizio n.2: Deve essere costruito un rilevato autostradale a sezione trapezia di larghezza massima 30 m, altezza 1.5 m e inclinazione delle sponde (1:3). Il terreno prescelto per la costruzione del rilevato è una sabbia, estratta da una cava di prestito, avente contenuto naturale in acqua w n = 15%, indice dei vuoti e 0 = 0.69 e gravità specifica G s = 2.7. Le disposizioni di Capitolato impongono che il terreno del rilevato abbia peso di volume secco non inferiore a γ d = 18 kn/m 3. Determinare, per ogni km di rilevato: a) il peso di terreno da prelevare dalla cava, P; b) il numero di viaggi di camion, n, aventi capacità di 10 m 3, necessari per il trasporto del terreno; c) il peso dell'acqua, p w, trasportata per ogni viaggio di camion; d) il grado di saturazione del terreno costituente il rilevato, S r. [Soluzione: a) P = MN; b) n = 4393; c) p w = 23.5 kn; d) Sr = 86%] Esercizio n.3: I risultati di una prova Proctor standard (AASHO) eseguita su 6 campioni di un argilla limosa sono di seguito riportati. N. Campione Massa del cilindro terreno compattato [kg ] Massa del recipiente terreno umido (g) Massa del recipiente terreno asciutto (g) Massa del recipiente (g) Essendo V = 1 dm 3 il volume del cilindro e M = kg la sua massa, si disegni la curva di costipamento e le curve corrispondenti ad un grado di saturazione del 90%, 95% e 100%. (assumendo Gs = 2.67). Infine si determinino: a) i valori di maximum, ρ d,max, e di optimum, w opt ; b) l indice dei vuoti, e opt, e il grado di saturazione, S r,opt, corrispondenti all optimum. [Soluzione: a) ρ d,max = Mg/m 3, w opt = 11.9 %; b) e opt = 0.404; c) S r,opt = 78.6 %] Esercizio n.4: Si supponga che per la messa in opera di un rilevato, la densità secca minima che deve essere raggiunta in sito sia pari al 95% della massima densità secca ottenuta mediante prova Proctor standard (AASHO)

27 eseguita sullo stesso tipo di terreno (G s = 2.71). Sulla base dei risultati di tali prova di seguito riportati, disegnare la curva di costipamento e determinare: a) i valori di maximum, ρ d,max, e di optimum,w opt, l indice dei vuoti, e opt, e il grado di saturazione, S r,opt, corrispondenti all optimum; b) il valore minimo del contenuto d acqua, w min, che deve essere raggiunto in sito per garantire un grado di saturazione non inferiore al 90%. N. Campione Contenuto d acqua, w [%] Densità,ρ [Mg/m3] [Soluzione: a) ρ d,max = Mg/m 3, w opt = 18.5 %, e opt = 0.542;S r,opt = 92.5 %; b) w min = 20.7%] Esercizio n.5: Il terreno di un rilevato è messo in opera e costipato con peso di volume γ = 21.5 kn/m 3 e contenuto d acqua w = 12%. Assumendo un peso specifico dei costituenti solidi γ s = 26.5 kn/m 3 : a) calcolare il peso di volume secco, γ d, l indice dei vuoti, e, ed il grado di saturazione, S r, del terreno in opera; b) verificare se è possibile costipare il terreno con contenuto d acqua w 1 = 13.5 % e peso di volume secco γ d1 = 20 kn/m 3. [Soluzione: a) γ d = kn/m 3, e = 0.380, S r = 85.3 %; b) non è possibile] Esercizio n.6: Su un terreno messo in opera e costipato per la realizzazione di un rilevato viene effettuata una misura di densità con il metodo della sabbia tarata, i cui risultati sono di seguito riportati. Massa del terreno rimosso + contenitore 1590 [g] Massa del contenitore 125 [g] Volume di sabbia impiegato 750 [cm 3 ] Successivamente viene effettuata una misura del contenuto d acqua del terreno costipato: Massa del terreno umido + contenitore [g] Massa del terreno secco +contenitore [g] Massa del contenitore [g] In fine vengono prelevati dei campioni sui quali viene effettuata una prova Proctor modificata (AASHTO) con i seguenti risultati: N. Campione Contenuto d acqua, w [%] Densità secca,ρ d [Mg/m 3 ] Determinare la compattazione relativa RC = γ d(sito) /γ d,max(lab). [Soluzione: RC = 90%] 25

28 26 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA METODI PER L ACCELERAZIONE DEL PROCESSO DI CONSOLIDAZIONE Esercizio n.1: Viene realizzato un terrapieno per una autostrada su un deposito di argilla soffice satura (m v = 0.50 m 2 /MN; c v = 10 m 2 /anno) di spessore H = 8 m, che insiste su uno strato di sabbia. Il piano autostradale deve essere 5 m al di sopra del piano di campagna preesistente e il pavimento stradale può tollerare un cedimento massimo di 50 mm. La densità del materiale utilizzato per il terrapieno è 2200 kg/m 3. a) Determinare l istante t, dall inizio della costruzione, a partire dal quale il pavimento può essere posto in opera e l ammontare del cedimento, s, dopo 5 mesi dalla fine della realizzazione dell opera, nell ipotesi che il terrapieno venga realizzato in 3 mesi. b) Determinare l entità del sovraccarico q che è necessario applicare al terrapieno affinché sia possibile realizzare la pavimentazione 15 mesi dopo l inizio della costruzione. [Soluzione: a) t = 17.3 mesi, s = 306 mm; b) q = 5.3 kpa] Esercizio n.2: Un deposito è costituito da uno strato di argilla satura NC (C c = 0.28; e 0 = 0.9; c V = 0.36 m 2 /mese) di spessore H 1 = 6m, delimitato inferiormente e superiormente da due strati di sabbia Durante la costruzione di un ponte di un autostrada è previsto un incremento del carico permanente di 115 kpa e la tensione efficace verticale preesistente al centro dello strato di argilla è di 210 kpa. a) Si determini il cedimento di consolidazione primaria, H 0, del ponte senza precompressione. b) Si stimi l entità del sovraccarico q che è necessario applicare per eliminare mediante precompressione l intero cedimento di consolidazione primaria in 9 mesi. [Soluzione: a) H 0 = 168 mm; b) q = 75 kpa] Esercizio n.3: Viene progettato un terrapieno di altezza 7 m da realizzarsi, in un mese e mezzo, su un deposito di argilla di spessore 15 m drenato da entrambi i lati. Il peso per unità di volume del materiale utilizzato per il terrapieno è di 21.5 kn/m 3 e le proprietà dell argilla sono: m v = 0.25 m 2 /MN; c V = 2.5 m 2 /anno; c H = 5.5 m 2 /anno. Per accelerare il processo di consolidazione vengono installati dei dreni prefabbricati a sezione lamellare (di dimensioni 112 mm x 6 mm) secondo una maglia quadrata; si determini la lunghezza del lato della maglia, s, affinché si abbia un cedimento massimo di 50 mm in due mesi e mezzo dalla fine della costruzione. [Soluzione: s = 1.3 m] Esercizio n.4: Su uno strato di argilla soffice (m v = m 2 /kn; c V = m 2 /mese) di spessore H = 9.2 m e giacente su uno strato di roccia impermeabile, deve essere realizzato, in sei mesi, un terrapieno che determinerà in corrispondenza del centro dello strato un incremento di tensione efficace verticale σ = 100 kn/m 2. È previsto che venga realizzata la pavimentazione stradale un anno dopo l inizio della costruzione del terrapieno e con un cedimento massimo ammissibile s max = 25 mm. Si progetti un adeguato sistema di dreni verticali in sabbia (si assuma un diametro interno dei dreni d w = 450 mm e uno schema a quinconce con maglia triangolare equilatera di lato s) [Soluzione: s = 2.15 m]

29 Esercizio n.5: Con riferimento all esercizio n.2 si stimi l entità del sovraccarico q che è necessario applicare per eliminare, mediante l applicazione combinata di una precompressione e di un sistema di dreni verticali in sabbia, l intero cedimento di consolidazione primaria in 9 mesi, assumendo per i dreni un diametro interno d w = 0.2 m, un diametro esterno d e = 3 m e un coefficiente di consolidazione medio c H = c V. [Soluzione: q = 11.7 kpa] Esercizio n.6: La fondazione di un edificio, rettangolare (10 m x 10m) viene realizzata su un deposito di argilla soffice di spessore 20 m (c V = 6 m 2 /anno; c H = 10 m 2 /anno; m v = 0.2 m 2 /MN) delimitato inferiormente da uno strato di argilla rigida sovraconsolidata. Il cedimento calcolato non può essere tollerato dalla struttura ed è stato deciso di preconsolidare lo strato di argilla soffice con un terrapieno equivalente al carico trasmesso dall edificio, q s = 400 kpa e con un sistema a maglia quadrata di dreni verticali in sabbia di diametro interno d w = 300 mm. Si determini il lato della maglia tale da garantire il 90% della consolidazione in 4 mesi. [Soluzione: s = 2.7 m] 27

30 28 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA TEORIA DELLO STATO CRITICO E MODELLO DI CAM-CLAY MODIFICATO Esercizio n.1: Una prova triassiale consolidata isotropa drenata viene eseguita, ad una pressione costante di cella di 120 kpa, su un provino di argilla normalconsolidata. Il deviatore a rottura, vale 140 kpa. Disegnare sul piano (q, p ) la linea di stato critico e determinarne la pendenza M. Nell ipotesi che il provino venga portato a rottura per estensione assiale, determinare il deviatore, q fe. a rottura. [Soluzione: M = 0.84, q fe = 110 kpa] Esercizio n.2: Un provino di terreno saturo viene consolidato isotropicamente in una cella triassiale. I valori delle pressione di cella applicate e dell indice dei vuoti finale raggiunto, sono riportati di seguito. Pressione di cella [kpa] Indice dei vuoti finale [-] Carico Scarico Determinare i parametri λ, k e Γ e disegnare le corrispondenti linee di normalconsolidazione e di scarico sul piano (v, ln p ). [Soluzione: λ = 0.32, k = 0.07, Γ = 4.25] Esercizio n.3: Due provini, A e B, della stessa argilla vengono consolidati isotropicamente nella cella triassiale ad una pressione di cella di 400 kpa e quindi sottoposti ad uno scarico fino a raggiungere un valore di pressione di cella di 300 kpa (si assuma una back pressure di 100 kpa). Sul provino A viene quindi condotta una prova TXCD, mentre sul provino B una prova TXCU. Noti i parametri del terreno: λ = 0.3, k = 0.05, e 0 = 1.10 e ϕ cs = 30. Stimare: a) i valori delle tensioni p, q, σ 1 e σ 3 corrispondenti alla plasticizzazione e alla rottura, per ciascun provino; b) l eccesso di pressione neutra u, corrispondente alla plasticizzazione e alla rottura per il provino B [Soluzione: a) provino A: p y = kpa, q y = kpa; σ 1y = kpa, σ 3y = 200 kpa, p f = kpa, q f = kpa; σ 1f = kpa, σ 3f = 200 kpa; provino B: p y = 200 kpa, q y = kpa; σ 1y = kpa, σ 3y = kpa, p f = kpa, q f = kpa; σ 1f = kpa, σ 3f = 92.0 kpa, b) u y = kpa, u f = kpa] Esercizio n.4: Determinare la resistenza al taglio non drenata c u da una prova TXCU e seguita su un terreno avente ϕ cs = 25 nell ipotesi che venga consolidato isotropicamente ad una pressione di cella di 350 KPa e successivamente scaricato ad una pressione di 70 kpa. [Soluzione: c u = 68.6 kpa]

31 Esercizio n.5: Due provini A e B della stessa argilla satura normalconsolidata sono consolidati isotropicamente alle pressioni σ' c (A) = 150 kpa e σ' c (B) = 300 kpa. Al termine della consolidazione isotropa gli indici dei vuoti dei due provini sono rispettivamente e 0 (A) = 0.75 e e 0 (B) = Il parametro di stato critico Γ dell'argilla è Se i provini sono portati a rottura in condizioni drenate, la tensione deviatorica a rottura (e allo stato critico) del provino B vale q f (B) = 368 kpa. a) Determinare i valori dei parametri di stato critico N, λ, M dell'argilla. b) Determinare l'indice dei vuoti, e f, e lo stato tensionale a rottura in condizioni drenate dei provini A e B. c) Stimare l'indice dei vuoti, e f, e lo stato tensionale a rottura in condizioni non drenate dei provini A e B. [Soluzione: a) λ = 0.144, N = 2.472, M = 0.871; b) e f (A) = 0.599, p f (A) = kpa, q f (A) = kpa; e f (B) = 0.499, p f (B) = kpa, q f (B) = 368 kpa; c) e f (A) = 0.750, p f (A) = 74.1 kpa, q f (A) = 64.5 kpa, p f (A) = kpa, u f (A) = 97.4 kpa; e f (B) = 0.650, p f (B) = kpa, q f (B) = kpa, p f (B) = kpa, u f (B) = kpa] 29 Esercizio n.6: Un provino di argilla satura normalconsolidata, di volume iniziale V iniz = 86.2 ml, è isotropicamente consolidato in cella triassiale alla pressione p' c = 300 kpa. Durante la fase di consolidazione si registra una riduzione di volume v cons = 6.2 ml. Il provino è portato a rottura in condizioni drenate. I valori di tensione deviatorica (σ' a - σ' r ) e di variazione di volume V al crescere della deformazione assiale ε a sono riportati in tabella. Sono inoltre noti i valori dei parametri del terreno N = 2.92 e λ = Calcolare e disegnare le curve: ε a -q, ε a -ε v, p'- λ v, e (p'/p' e )-(q/p' e ), dove p' e è la pressione efficace equivalente, per definizione: p' e = e. N v ε a [%] (σ' a - σ' r ) [kpa] V (ml) Esercizio n.7: Un provino di argilla satura è consolidato in cella triassiale con pressione isotropa σ' c0 = 200 kpa Al termine della consolidazione il volume del provino è V 0 = 86 cm 3 e l'indice dei vuoti e 0 = 1.6. La pressione isotropa di cella è portata fino al valore σ' c1 = 400 kpa e, a fine consolidazione, il provino ha espulso un volume d'acqua V w1 = cm 3. La pressione isotropa di cella è poi ridotta fino al valore σ' c2 = 300 kpa, e ciò determina l'assorbimento di un volume d'acqua V w2 = cm 3. Determinare i valori dei parametri N, Γ, λ e k del modello Cam Clay (teoria dello stato critico), tenendo presente che vale la relazione: N = Γ + λ k. [Soluzione: λ = 0.26, k = 0.05, N = 3.976, Γ = 3.767]

32 30 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA CEDIMENTI DI FONDAZIONI SUPERFICIALI Esercizio n.1: Si determini il cedimento immediato di una fondazione nastriforme di larghezza B = 4m realizzata su un deposito omogeneo di argilla satura (E u = 15 MPa, υ u = 0.50), di spessore 10 m, ad una profondità D = 3 m dal piano di campagna, nell ipotesi che il carico trasferito dalla fondazione al terreno sia di 200 kpa. [Soluzione: s = 2.53 cm] Esercizio n.2: I risultati di una prova SPT eseguita in corrispondenza di un deposito di terreno sabbioso (γ = 18 kn/m 3 ) sono di seguito riportati. Profondità (m) Numero di colpi Utilizzando il metodo di Burland and Burbridge, si effettui una stima del cedimento, s, di una fondazione a base rettangolare (3 m x 4 m) ubicata ad una profondità di 0.6 m dal piano di campagna. Si assuma una tensione ammissibile σ a di 700 kpa e si trascuri la presenza della falda (molto profonda) ed il cedimento di consolidazione secondaria. [Soluzione: s = 2.4 cm] Esercizio n.3: Una fondazione quadrata di lato B = 3m, posta alla profondità D = 1.2 m dal piano campagna, trasmette al terreno una pressione media netta q' = 130 kpa. Il terreno di fondazione è sabbia, avente peso di volume γ = 16 kn/m 3 sopra falda e γ sat = 19 kn/m 3 sotto falda. La falda freatica è a profondità di 3 m dal piano campagna. In Tabella e in Figura è rappresentato il profilo della resistenza penetrometrica di punta, q c. Stimare il cedimento s della fondazione con il metodo di Schmertmann, trascurando il cedimento secondario. z (m) q c (MPa) [Soluzione: s = 2.49 cm] z (m) qc (MPa)

33 31 Esercizio n.4: La platea di un fabbricato industriale di grande estensione trasmette una pressione uniforme sul terreno di fondazione, costituito da uno strato di argilla satura di spessore H = 2.5 m, sovrastante uno strato rigido di sabbia e ghiaia di grande spessore. Lo strato di argilla, prima della costruzione del fabbricato, aveva mediamente peso di volume γ 1 = 19.5 kn/m 3 e contenuto naturale in acqua w 1 = 29.2 %. Al termine del processo di consolidazione i valori medi del peso di volume e del contenuto naturale in acqua dello strato di argilla risultarono rispettivamente γ 2 = 19.9 kn/m 3 e w 2 = 26.6 %. Stimare il cedimento finale della fondazione nell'ipotesi che le deformazioni trasversali siano trascurabili. Tracciare la curva dei cedimenti nel tempo nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati assumendo per il terreno un coefficiente di consolidazione verticale c v di m 2 /s. [Soluzione: s = 10 cm] Esercizio n.5: Il calcolo del cedimento di un'opera fondata su uno strato di argilla drenato superiormente e inferiormente ha dato i seguenti risultati: cedimento totale = 20 cm; cedimento dopo un tempo di 3 anni dall'applicazione del carico: 8 cm. a) Nell'ipotesi che lo strato di argilla possa drenare da un solo lato, calcolare il cedimento totale s e il tempo T necessario ad ottenere un cedimento di 8 cm. b) Un'indagine integrativa ha confermato l'esistenza di uno strato sabbioso drenante alla base dello strato di argilla, e mostrato la presenza di livelli sabbiosi continui a 1/3 e a 2/3 dello spessore dello strato di argilla. Calcolare il cedimento totale, s, e il tempo T necessario ad ottenere un cedimento di 8 cm. c) I risultati di prove di compressibilità su campioni prelevati nello strato di argilla sono leggermente differenti dai valori considerati nel calcolo preliminare: l'indice di compressione misurato, Cc, è l'80 % del valore inizialmente stimato il coefficiente di consolidazione, c v, è il 70 % del valore inizialmente stimato. Calcolare il cedimento totale s ed il tempo T necessario a ottenere un cedimento di 8 cm. [Soluzione: a) s = 20 cm, T = 12 anni; b) s = 20 cm, T = 4 mesi; c) s = 16 cm, T = 8.9 mesi] Esercizio n.6: Con riferimento alla fondazione circolare rigida, avente diametro D = 6 m, schematizzata in Figura ed assumendo, per semplicità, il comportamento dell elementino di terreno posto al centro dello strato di argilla NC (γ sat = 17.7 kn/m 3, CR = 0.18, E u = 7000 kpa, c αε = 0.009, c v = m 2 /s, A = 0.8) come rappresentativo dell intero strato, di spessore H = 9 m, si determini in corrispondenza dell asse della fondazione il cedimento immediato, il cedimento di consolidazione primaria e il cedimento di consolidazione secondaria che si avrà dopo un tempo t = 30 anni, nell ipotesi che tale strato sia drenato inferiormente da uno strato di ghiaia e sabbia e che la fondazione trasmetta la terreno un carico q = 30 kpa. D q z H Argilla [Soluzione: s 0 = 0.98 cm, s c = 17.4 cm, s s = 8.9 cm] Ghiaia e sabbia

34 32 Coefficiente correttivo β per il calcolo del Coefficienti di influenza I 1 e I 2 per il calcolo del cedimento di consolidazione primaria cedimento istantaneo (metodo di Skempton e Bjerrum) (metodo di Skempton e Bjerrum) Incremento della tensione verticale indotto da un carico uniformemente distribuito su un area circolare (Foster e Ahlvin, 1954)

35 33 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA CAPACITÀ PORTANTE DI FONDAZIONI PROFONDE Esercizio n.1: Determinare la capacità portante a breve termine di un palo trivellato in cemento armato, avente diametro D = 0.40 m e realizzato in un terreno caratterizzato dalla stratigrafia riportata in Figura, nell ipotesi che la lunghezza del palo sia: a) L = 10 m; b) L = 20 m; z = 3 m w H = 7 m 1 p.c. Sabbia sciolta: γ = 17 kn/m ; c = 0 ϕ = 30 3 H = 13 m 2 Argilla consistente γ = 20 kn/m ; c = 120 kpa; c = 10 kpa ϕ = 20 3 u Marna c = 500 kpa; u Esercizio n.2: Determinare con formule dinamiche la capacità portante di un palo cilindrico battuto in cemento armato prefabbricato avente diametro D = 50 cm e lunghezza L = 15 m. Per l infissione viene utilizzato un maglio a caduta libera con peso W = 30 kn ed altezza di caduta h = 2.5 m. A 15 m di profondità il rifiuto permanente (ottenuto come media sull avanzamento misurato su 10 colpi) è stato d = 5 mm. Si assuma un coefficiente di efficienza per il maglio e = Esercizio n.3: Un palo cilindrico in c.a. del diametro D = 400 mm viene infisso fino ad una profondità L = 10 m in un argilla soffice normalconsolidata (c u = 20 kpa; γ sat = 18 kn/m 3 ; ϕ = 28 ). Il livello di falda è al piano di campagna. Stimare il carico ammissibile per il palo per un fattore di sicurezza pari a 3. Esercizio n.4: Deve essere progettato un palo in c.a. a sezione quadrata di lato B = 0.3 m per sopportare un carico di 150 kn con un fattore di sicurezza pari a 3, da infiggere in un deposito costituito da 5 m di argilla soffice NC (c u = 25 kpa; γ sat = 18 kn/m 3 ; ϕ = 26 ) seguita da uno strato di elevato spessore di argilla OC (c u = 80 kpa; γ sat, = 18.5 kn/m 3 ; ϕ = 24 ; OCR = 4) con il livello di falda a 2 m al di sotto del piano di campagna (e assumendo che il terreno al di sopra del livello di falda sia saturo). Determinare la lunghezza del palo.

36 Esercizio n.5: Sulla base dei risultati della prova di carico riportati in Tabella eseguiti su un palo di diametro D = 0.45 m, determinare la capacità portante del palo, il carico ammissibile per un fattore di sicurezza pari a Spostamento [mm] Carico [kn] Spostamento [mm] Carico [kn] Esercizio n.6: Un palificata è costituita da 9 pali di diametro D = 0.4 m organizzati in una matrice 3x3 con interasse i = 1.2 m. I pali attraversano un terreno soffice di spessore H = 8 m (c u = 20kPa; ϕ = 30 ; γ = 17 kn/m 3 ; γ sat = 18 kn/m 3 ; OCR = 1) per ammorsarsi in uno strato più profondo di argilla consistente (c u = 90kPa; ϕ = 28 ; γ = 17.5 kn/m 3 ; γ sat = 18.5 kn/m 3 ; OCR = 5). Calcolare la capacità portante della palificata ed il fattore di efficienza. Il livello di falda è 2 m al di sotto del piano di campagna. VALORI DI α SUGGERITI DALL AGI (1984) Tipo di Materiale Cu α palo (kpa) Infisso CLS > Acciaio > 75 Trivellato CLS > VALORI DI K E δ PER TERRENI INCOERENTI(Viggiani, 1997) Tipo di palo K (per stato di addensamento) δ Sciolto Denso Battuto profilato in acciaio tubo d acciaio chiuso CLS prefabbricato CLS gettato in opera ϕ ϕ Trivellato ϕ Trivellato-pressato con elica continua ϕ N q (Berezantzev, 1961)

37 35 Dipartimento di Ingegneria Civile ESERCITAZIONE DI GEOTECNICA STABILITÀ DEI PENDII Esercizio n.1: Un camion scarica sabbia (ϕ = 30 ; γ = 17 kn/m 3 ; γ sat, =17.5 kn/m 3 ) sul bordo della strada. Assumendo lo schema di pendio indefinito determinare la massima inclinazione i c del pendio compatibile con l equilibrio, nel caso di: a) sabbia asciutta; b) sabbia satura in assenza di moto di filtrazione; c) moto di filtrazione parallelo al pendio e livello di falda coincidente col piano di campagna. Inoltre determinare la pendenza corrispondente ad una fattore di sicurezza F = 1.25 nel caso di sabbia asciutta. [Soluzione: a) i c = 30 ; b) i c = 30 ; c) i c = 14.2 ; i c = 24.8 ] Esercizio n.2: Un pendio di altezza molto grande, con inclinazione 4:1 (orizzontale:verticale) ed il livello di falda parallelo al pendio (con moto di filtrazione), è costituito da sabbia fine (ϕ = 26.6 ; γ sat = 20 kn/m 3 ). Determinare il fattore di sicurezza FS del pendio assumendo: a) il pendio asciutto; b) il livello di falda coincidente col piano di campagna; c) il livello di falda a 2 m al di sotto del piano di campagna. [Soluzione: a) FS = 2; b) FS = 1; c) Fs dipendente dalla profondità z del piano di scorrimento rispetto al piano di campagna, ad es. per z = 10 m FS = 1.2] Esercizio n.3: Un pendio comprende uno strato superiore di terreno residuale (γ sat = 19.5 kn/m 3 ; c = 12kN/ m 2 ; ϕ = 35 ) seguito a 3.5 m di profondità da uno strato di roccia meno alterata. Con un livello di falda massimo ad 1 m dal piano di campagna, determinare la massima inclinazione i c che il terreno residuale può sostenere in corrispondenza di un fattore di sicurezza F = 1.3. [Soluzione: i c = 27.3 ] Esercizio n.4: Viene realizzato uno scavo in un pendio di argilla (γ sat =17.5 kn/m 3 ) di altezza molto grande e pendenza i = 38. Una volta raggiunta la profondità h = 2m si osserva un crollo delle pareti dello scavo, con una superficie di scivolamento approssimativamente parallela al pendio. Determinare la resistenza al taglio in condizioni non drenate, c u, dell argilla. [Soluzione: c u = 17 kpa] Esercizio n.5 Uno strato di argilla satura molle di spessore 9.6 m (γ sat =18 kn/m 3 ; c u = 30 kn/m 2 ) insistente su uno strato di roccia compatta, viene tagliato per realizzare un pendio di altezza H = 8 m e pendenza 2:1 (orizzontale : verticale). Determinare, con riferimento a condizioni non drenate, il fattore di sicurezza adottando il metodo di Taylor. [Soluzione: FS = 1.46]

38 Esercizio n.6 In un argilla satura con peso di volume γ sat, =18 kn/m 3 e una resistenza al taglio non drenata c u = 30 kpa deve essere scavata una trincea di 12 m di profondità. Sapendo che lo strato resistente si trova a 18 m di profondità dal piano di campagna, determinare la pendenza i c da dare alle sponde. 36 [Soluzione: i c = 18 ] Esercizio n.7: Utilizzando il metodo di Fellenius, determinare, per il pendio di terreno omogeneo riportato in figura, i coefficienti di sicurezza a breve e a lungo termine, assumendo come superficie di rottura potenziale quella indicata in figura. i x i α i l i H = 9m N.Concio h i x i z wi α [m] [m] [m] [ c = 20 kpa ϕ = 29 3 γ = 18.7 kn/m 3 γsat = 19.3 kn/m c = 60 kpa u [Soluzione: FS (lungo termine) = 1.87; FS (breve termine) = 2.26]

39 37 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Proprietà indici, granulometria, limiti di Atterberg e sistemi di classificazione Esercizio n.1 Un campione indisturbato di sabbia fine ha peso secco W d, volume V e peso specifico dei costituenti solidi γ s. In laboratorio sono stati determinati gli indici dei vuoti massimo, e max, e minimo, e min. Determinare la densità relativa del campione indisturbato. Dati: W d (N) = 36.3 γ s (kn/m 3 ) = 27 e max = 0.95 V (m 3 ) = e min = 0.35 Soluzione: D R (%) = 100 (e max - e 0 ) / (e max - e min ) e 0 = V v / V s = (V - V s ) / V s V s = W d /γ s = m 3 e 0 = D R (%) = 79.5 Esercizio n.2 Un terreno saturo sotto il livello di falda ha peso di volume: γ sat = 20.2 kn/m 3 Al di sopra del livello di falda lo stesso terreno ha peso di volume: γ = 18.1 kn/m 3 Il peso specifico dei costituenti solidi è: γ s = 26.9 kn/m 3 Determinare il grado di saturazione del terreno sopra il livello di falda. Dati: γ sat = 20.2 kn/m 3 γ = 18.1 kn/m 3 γ s = 26.9 kn/m 3 Soluzione: γ sat = 20.2 kn/m 3 = (γ w Vv + γ s Vs)/V eq. (1) γ = 18.1 kn/m 3 = (γ w Vw + γ s Vs)/V eq. (2) V = Vs + Vv eq. (3) posto: γ w = 10 kn/m 3 V = 1 m 3 si hanno 3 equazioni nelle 3 incognite: Vv, Vs, Vw da cui: Vv = m 3 Vs = m 3 Vw = m 3 e Sr = 100 Vw/Vv = % Esercizio n.3 Un provino di argilla per prova triassiale ha diametro d, altezza h e massa m. Dopo essere stato essiccato in forno la massa si è ridotta a m d. La massa specifica dei costituenti solidi è G s. Determinare: 1. Il peso di volume naturale del terreno, γ 4. L'indice dei vuoti, e 2. Il peso di volume secco del terreno, γ d 5. La porosità, n

40 38 3. Il contenuto naturale in acqua, w n 6. Il grado di saturazione, S r Dati: d = 38 mm h = 76 mm m = gr m d = gr G s = 2.72 Mg/m 3 Soluzione Volume del provino: V = π (d 2 /4) h = mm 3 = 8.62E-05 m 3 Peso del provino umido: P = m g = N Peso del provino secco: P d = m d g = N Peso dell'acqua: P w = P - P d = N Volume del solido: V s = m d / G s = 5.80E-05 m 3 Volume dei vuoti: V v = V - V s = 2.82E-05 m 3 Volume dell'acqua: V w = P w / γ w = 2.57E-05 m 3 1. Peso di volume naturale: γ = P/V = kn/m 3 2. Peso di volume secco: γ d = P d /V = kn/m 3 3. Contenuto nat. in acqua: w n = P w /P d = % 4. Indice dei vuoti: e = V v / V s = Porosità: n = Vv / V = 32.7 % 6. Grado di saturazione: Sr = Vw / Vv = 91.1 % Esercizio n.4 Un campione di terreno ha: volume: V = 6226 cm 3 peso: W = N contenuto naturale in acqua: w N = 10.2 % peso specifico dei costituenti solidi: γ s = 26 kn/m 3 Calcolare, assumendo γ w = 10 kn/m 3 : 1) peso di volume naturale, γ 2) peso di volume secco, γ d 3) grado di saturazione, S r 4) indice dei vuoti, e 5) porosità, n Dati: V = 6226 cm 3 W = N w N = 10.2 % γ s = 26 kn/m 3 Soluzione: 1) γ = W/V = N/cm 3 = kn/m 3 2) γ d = γ / (1 + w N ) = kn/m 3 3) S r = w N /[(γ w /γ d ) - (γ w /γ s )] = % 4) e = (γ s /γ d - 1) = ) n = 100 e / (1 + e) = %

41 39 Esercizio n.5 Un quantitativo di sabbia asciutta di peso W è versato in un contenitore pieno d'acqua e produce lo spostamento di un volume V di acqua. Un eguale quantitativo della stessa sabbia è versato in un contenitore cilindrico vuoto di diametro d e ne occupa un volume V 1. Il cilindro viene riempito d'acqua fino a sommergere la sabbia. Successivamente il contenitore viene fatto vibrare finché il volume occupato dalla sabbia si riduce a V 2. Determinare: 1. il peso specifico dei costituenti solidi, γ s, 2. γ d, γ sat, e, σ v, u e σ' v alla base del contenitore per sabbia asciutta e satura allo stato sciolto, 3. γ d, γ sat, e, σ v, u e σ' v alla base del contenitore per sabbia satura allo stato più denso. Dati: W (N) = γ w = 9.81 kn/m 3 V (cm 3 ) = 560 d (cm) = 5.5 V 1 (cm 3 ) = 950 V 2 (cm 3 ) = 870 Soluzione: 1) γ s = W s /V s = W/V = N/cm 3 = 26.3 kn/m 3 A = π d 2 /4 = cm 2 2) sabbia allo stato sciolto: γ d = W/V = W/V 1 = N/cm 3 = 15.5 kn/m 3 γ sat = (W s + W w )/V = [W+γ w (V 1 -V)]/V 1 = N/cm 3 = 19.5 kn/m 3 e = V v /V s = (V 1 -V)/V = H 1 = V 1 /A = 40 cm = 0.40 m 2a) sabbia asciutta: σ v = σ' v = γ d H 1 = 6.2 kpa 2b) sabbia satura e immersa: σ v = γ sat H 1 = 7.8 kpa u = γ w H 1 = 3.9 kpa σ' v = σ v - u = 3.9 kpa 3) sabbia satura e immersa allo stato denso: γ d = W/V = W/V 2 = N/cm 3 = 16.9 kn/m 3 γ sat = (W s + W w )/V = [W+γ w (V 2 -V)]/V 2 = N/cm 3 = 20.4 kn/m 3 e = V v /V s = (V 2 -V)/V = H 2 = V 2 /A = 37 cm = 0.37 m σ v = γ w (H 1 - H 2 ) + γ sat H 2 = 7.8 kpa u = γ w H 1 = 3.9 kpa σ' v = σ v - u = 3.9 kpa Le tensioni alla base del cilindro non mutano in seguito all'addensamento della sabbia. Esercizio n.6 Un terreno ha: indice dei vuoti e = peso specifico dei costituenti solidi: γ s = kn/m 3 Calcolare, assumendo γ w = kn/m 3 a) il peso di volume secco γ d b) il peso di volume saturo γ sat c) il peso di volume γ e

42 40 d) il contenuto in acqua w per un grado di saturazione S r = 75 % Soluzione: a) γ d = γ s / (1 + e) = kn/m 3 b) γ sat = (γ s + e γ w ) / (1 + e) = kn/m 3 c) γ = (γ s + e γ w S r /100) / (1 + e) = kn/m 3 d) w = (γ w /γ s ) e S r = % Esercizio n.7 Un campione di terreno allo stato naturale ha peso W e volume V. Dopo essere stato completamente essiccato in forno il peso del campione è W s. Il peso specifico dei costituenti solidi è γ s. Determinare: 1. Il peso di volume naturale, γ. 2. L'indice dei vuoti, e. 3. La porosità, n. 4. Il grado di saturazione, S r. Dati: W = N V = 1.15E-03 m 3 W s = N γ s = 26.8 kn/m 3 γ w = kn/m 3 Soluzione: W w = 2.5 N 1 γ = W/V = kn/m 3 V w = W w /γ w = 2.55E-04 m 3 2 e = V v /V s = V s = W s /γ s = 7.45E-04 m 3 3 n = V v /V = % V g = V-V w -V s = 1.50E-04 m 3 4 S r = V w /V v = % V v = V w + V g = 4.05E-04 m 3 Esercizio n.8 Su un campione di argilla indisturbata, prelevato sotto falda fra le profondità di 4.3 m e di 5.2 m da p.c. sono state eseguite in laboratorio le seguenti misure: peso totale, W = 0.58 N volume totale, V = 3.65E-05 m 3 peso secco, Ws = 0.35 N Assumendo: peso specifico dei costituenti solidi, γ s = 27.5 kn/m 3 e peso specifico dell'acqua, γ w = 10 kn/m 3 determinare: a) il peso di volume γ e il contenuto in acqua w, b) l'indice dei vuoti e, c) il grado di saturazione Sr, d) la deformazione volumetrica del campione durante il prelievo e il trasporto al laboratorio V/V Dati: z1 = 4.3 m z2 = 5.2 m W = 0.58 N V = 3.65E-05 m 3 Ws = 0.35 N γ s = 27.5 kn/m 3

43 41 γ w = 10 kn/m 3 Soluzione: a) γ = W/V = kn/m 3 Ww = W - Ws = 0.23 N w = Ww/Ws = % b) Vs = Ws/γs = 1.27E-05 m 3 Vv = V - Vs = 2.38E-05 m 3 e = Vv/Vs = c) Vw = Ww/γw = 2.30E-05 m 3 Sr = Vw/Vv = 96.7 % d) Vv (sito) = Vw = 2.30E-05 m 3 V (sito) = Vs + Vv (sito) = 3.57E-05 m 3 V = Vv - Vv(sito) = 7.73E-07 m 3 V/V(sito) = 2.16 % Esercizio n.9 Classificare nel sistema USCS i seguenti terreni: Setaccio terreno A terreno B terreno C ASTM n. % passante % passante % passante w L (%) = w P (%) = D 60 (mm) = 0.71 D 30 (mm) = 0.34 D 10 (mm) = 0.18 Soluzione: Terreno A: % passante al setaccio n. 200 = 60 > 50%, quindi: terreno a grana fine w L = 40% < 50%, quindi bassa plasticità: seconda lettera L 0.73 (w L - 20) = 0.73 x 20 = 14.6 I P = = 25 > 14.6 quindi: sopra la linea A e la zona tratteggiata, argilla, prima lettera C classificazione USCS: CL Terreno B: % passante al setaccio n. 200 = 3 < 50%, quindi: terreno a grana grossa % passante al setaccio n. 4 = 97 > 50%, quindi sabbia: prima lettera S Coefficiente di uniformità: U = D 60 /D 10 = 3.94 < 6 Coefficiente di curvatura: C = D 2 30 /(D 60 D 10 ) = 0.90 quindi curva granulometrica poco gradata: SP terreno C: % passante al setaccio n. 200 = 97 > 50%, quindi: terreno a grana fine

44 42 w L = 124% > 50%, quindi alta plasticità: seconda lettera H 0.73 (w L - 20) = 0.73 x 104 = 75.9 I P = = 77 > 75.9 quindi: sopra la linea A e la zona tratteggiata, argilla, prima lettera C classificazione USCS: CH Esercizio 10 Un cubo di lato L di terreno con contenuto in acqua w pesa W. Il peso specifico dei grani è G s. Calcolare il peso di volume γ, l'indice dei vuoti e, ed il grado di saturazione S r. Quali sarebbero il contenuto in acqua e il peso di volume se il terreno avesse lo stesso indice dei vuoti, ma fosse saturo? Quale sarebbe il peso di volume se il terreno fosse secco? Dati: w = 14.7 % W = 18.4 N γ w = kn/m 3 L = 10 cm G s = ρ s /ρ w = 2.72 Soluzione: V = L 3 = 1000 cm 3 = m 3 γ = W / V = 18.4 kn/m 3 w = 100 (W w / W s )= 14.7 % W = W s + W w = 18.4 N da cui: W s = W / (1 + w/100) = N W w = W - W s = 2.36 N γ s = G s γ w = W s / V s = kn/m 3 da cui: V s = W s / γ s = cm 3 V v = V - V s = cm 3 e = V v / V s = V w = W w / γ w = cm 3 S r = 100 V w / V v = % Se il terreno fosse saturo, ed avesse lo stesso indice dei vuoti, sarebbe: w sat = 100 (γ w V v / Ws) = % W = W s + γ w V v = N γ sat = W / V = kn/m 3 Se il terreno fosse secco, sarebbe: γ d = W s / V = kn/m 3 Esercizio 11 Un campione di terreno sabbioso costipato di peso W e volume V ha contenuto in acqua w e peso specifico dei costituenti solidi γ s. Calcolare:a) peso di volume, b) peso di volume secco, c) indice dei vuoti, d) grado di saturazione. Dati: W (N) = w (%) = 15 γ w (kn/m 3 ) 9.81 V (cm 3 ) = 944 γ s (kn/m 3 ) = Soluzione: W (N) = = W s + W w γ w (kn/m 3 ) = 9.81 V (cm 3 ) = 944 = V s + V v = V s + V w + V g w (%) = 15 = (W w /W s )*100 γ s (kn/m 3 ) = = W s /V s

45 43 a) peso di volume, γ γ = W/V = N/cm 3 = kn/m 3 b) il peso di volume secco, γ d γ d = W s /V W s = W/(1+w/100) = N γ d = N/cm 3 = kn/m 3 c) indice dei vuoti, e e = V v /V s V s = W s /γ s = cm 3 V v = V - V s = cm 3 e = d) grado di saturazione, S r S r = (V w /V v )*100 V w = (W - W s )/γ w = cm 3 S r = 84.5 % Esercizio 12 Un provino di terreno ha: diametro d = 38.1 mm altezza H = 76.2 mm peso umido: W = N peso secco: W d = N peso specifico dei grani: γ s = 27 kn/m 3 Il peso specifico dell'acqua è: γ w = kn/m 3 a) Determinare: 1. il peso di volume secco, γ d, 2. il peso di volume umido, γ, 3. il contenuto in acqua, w, 4. l'indice dei vuoti, e, 5. il grado di saturazione, S r, 6. La porosità, n b) Se il diametro e l'altezza del provino fossero stati misurati erroneamente con i valori: diametro de = 37.6 mm altezza He = 75.6 mm quali errori percentuali si sarebbero commessi nella determinazione dei parametri sopradetti? Soluzione: a) Volume del provino esatto: V = π (d 2 /4) H = mm 3 1. peso di volume secco: γ d = W d /V = kn/m 3 2. peso di volume umido: γ = W/V = kn/m 3 3. contenuto in acqua: w = (W-W d )/W d x 100 = % 4. indice dei vuoti: e = γ s /γ d -1 = grado di saturazione: S r = (w/e) (γ s /γ w ) = % 6. porosità: n = e/(1+e) x 100 = % b) Volume del provino errato: Ve = π (de 2 /4) He = mm 3 1. peso di volume secco: γ d e= W d /Ve = kn/m 3 2. peso di volume umido: γe = W/Ve = kn/m 3 3. contenuto in acqua: we = (W-W d )/W d x 100 = % 4. indice dei vuoti: ee = γ s /γ d e -1 = grado di saturazione: S r e = (we/ee) (γ s /γ w ) = % 6. porosità: ne = ee/(1+ee) x 100 = % b) Errori percentuali su: 1. peso di volume secco: E(γ d ) = (γ d e - γ d )/γ d x 100 = 3.49 % 2. peso di volume umido: E(γ) = 3.49 %

46 44 3. contenuto in acqua: E(w) = 0.00 % 4. indice dei vuoti: E(e) = % 5. grado di saturazione: E(S r ) = % 6. porosità: E(n) = % Esercizio 13 Disegnare la curva granulometrica e determinare i coefficienti di uniformità e di curvatura dei seguenti terreni: # ASTM terreno: A B C No d (mm) % passante% passante% passante Soluzione: 10 1 d (mm) % passante A B C terreno: A B C D 60 (mm) D 30 (mm) D 10 (mm) U = D 60 /D 10 = C = (D 30 ) 2 /(D 10 D 60 ) = Esercizio 14 Un campione di terreno ha le seguenti proprietà: peso specifico dei costituenti solidi: γ s = kn/m 3 porosità: n = 41.9 % contenuto in acqua: w = 21.3 % Calcolarne il grado di saturazione, S r, ed il peso di volume, γ. Soluzione posto V = 1 m 3 γ w = kn/m 3 V v = n V / 100 = m 3 V s = V - V v = m 3 W s = γ s V s = kn W w = w W s / 100 = kn V w = W w / γ w = m 3

47 45 S r = (V w / V v ) 100 = % W = W s + W w = kn γ = W / V = kn/m 3 Esercizio 15 Un terreno ha peso di volume γ e contenuto in acqua w. Il peso specifico dei costituenti solidi è γ s. Calcolare l'indice dei vuoti e il grado di saturazione del terreno. Calcolare il peso di volume e il contenuto in acqua del terreno saturo a parità di indice dei vuoti. Dati: γ = kn/m 3 γ s = kn/m 3 w = 9.5 % γ w = kn/m 3 Soluzione: posto: V = 1 m 3 si ha: P = γ V = kn = P s + P w = P s + (w/100) P s = (1 + w/100) P s P s = P/(1 + w/100) = kn P w = P - P s = kn V s = P s /γ s = m 3 V w = P w /γ w = m 3 V v = V - V s = m 3 e = V v /V s = S r = V w /V v = = % per il terreno saturo (V w = V v ) a parità di indice dei vuoti: e = V v /V s = posto: V s = 1 m 3 V v = V w = e V s = m 3 V = V s + V v = m 3 P s = γ s V s = kn P w = γ w V w = kn P = P s + P w = kn γ sat = P/V = kn/m 3 w sat = P w /P s = = 20.3 % Esercizio 16 Il peso specifico dei costituenti solidi, ed il peso di volume secco di una sabbia nello stato di minimo e di massimo addensamento sono rispettivamente: γ s = kn/m 3 γ d,min = kn/m 3 γ d,max = kn/m 3 Determinare la densità relativa della sabbia quando la porosità vale: n = 33 % Dati: γ s = kn/m 3 γ d,min = kn/m 3 γ d,max = kn/m 3 n = 33 % Soluzione: e = n/(1-n) = 0.49

48 46 e max = (γ s /γ min ) - 1 = 0.97 e min = (γ s /γ max ) - 1 = 0.24 Dr =(e max - e)/(e max - e min ) = 65.5 % Esercizio 17 Disegnare le curve granulometriche e classificare con i sistemi USCS e HRB i seguenti terreni (setacci della serie ASTM) Setaccio N. A B C D E F Limiti di Atterberg sul passante al setaccio n. 40 w L w P Dati: Setaccio N. A C Limiti di Atterberg sul passante al setaccio n. 40 w L w P Soluzione: campione A secondo il sistema USCS: meno del 50% (17%) passa al setaccio N. 200, quindi: oltre il 50% (100%) passa al setaccio N. 4, quindi: oltre il 12% (17%) passa al setaccio N. 200 Ip = 15 > Ip(A) = sopra la retta A con Ip > 7 (15), quindi: secondo il sistema HRB: meno del 35% (17%) passa al setaccio N. 200, quindi: wl <= 40 wl = 35 Ip >= 11 Ip = 15 quindi: A-2-6 campione C secondo il sistema USCS: meno del 50% (32%) passa al setaccio N. 200, quindi: oltre il 50% (100%) passa al setaccio N. 4, quindi: oltre il 12% (32%) passa al setaccio N. 200 Ip = 22 > Ip(A) = sopra la retta A con Ip > 7 (22), quindi: secondo il sistema HRB: meno del 35% (32%) passa al setaccio N. 200, quindi: terreno a grana grossa sabbia SC materiale granulare terreno a grana grossa sabbia SC materiale granulare

49 47 wl >= 41 wl = 48 Ip >= 11 Ip = 22 quindi: A-2-7 Dati: Setaccio N. E B Limiti di Atterberg sul passante al setaccio n. 40 w L 44 - w P 23 - Soluzione: campione E secondo il sistema USCS: meno del 50% (38%) passa al setaccio N. 200, quindi: oltre il 50% (94%) passa al setaccio N. 4, quindi: oltre il 12% (38%) passa al setaccio N. 200 Ip = 21 > Ip(A) = sopra la retta A con Ip > 7 (21), quindi: secondo il sistema HRB: oltre il 35% (38%) passa al setaccio N. 200, quindi: wl >= 41 wl = 44 Ip >= 11 Ip = 21 A-7 wp <= 30 wp = 23 quindi: A-7-6 campione B secondo il sistema USCS: meno del 50% (4%) passa al setaccio N. 200, quindi: oltre il 50% (90%) passa al setaccio N. 4, quindi: meno del 5% (4%) passa al setaccio N. 200 D 10 = 0.2 mm terreno a grana grossa sabbia SC limi-argille terreno a grana grossa sabbia D 30 = 1 mm D 60 = 2.5 mm U = D 60 /D 10 = 12.5 > 6 C = (D 30 ) 2 /(D 10 D 60 ) = 2 1 < C < 3 SW secondo il sistema HRB: meno del 35% (4%) passa al setaccio N. 200, quindi: materiale granulare piu' del 50 % (54%) passa la setaccio N. 10 quindi escludo classe A-1-a meno del 51% (22%) passa dal setaccio N.40 quindi escludo la classe A-3 rimangono le classi A-1-b e A-2-4, A-2-5, A-2-6 tra cui sclego la piu' restrittiva (con lmite piu' basso), quindi A-1-b Dati: Setaccio N. D F

50 Limiti di Atterberg sul passante al setaccio n. 40 w L w P Soluzione: campione D secondo il sistema USCS: meno del 50% (33%) passa al setaccio N. 200, quindi: oltre il 50% (100%) passa al setaccio N. 4, quindi: oltre il 12% (33%) passa al setaccio N. 200 Ip = 17 < Ip(A) = sotto la retta A, quindi: terreno a grana grossa sabbia SM secondo il sistema HRB: meno del 35% (33%) passa al setaccio N. 200, quindi: wl >= 41 wl = 46 Ip >= 11 Ip = 17 quindi: A-2-7 campione F secondo il sistema USCS: oltre il 50% (63%) passa al setaccio N. 200, quindi: wl = 47 < 50 Ip = 23 > Ip(A) = sopra la retta, quindi: secondo il sistema HRB: oltre il 35% (63%) passa al setaccio N. 200, quindi: wl >= 41 wl = 47 Ip >= 11 Ip = 23 wp <= 30 wp = 24 quindi: A-7-6 materiale granulare terreno a grana fine CL Limi-argille Esercizio 18 Il volume di un campione di argilla limosa, determinato mediante immersione in mercurio, è V. La sua massa al contenuto naturale d'acqua è m, e la sua gravità specifica è G s. Dopo l'essiccazione in forno la massa del campione è m d. Determinare l'indice dei vuoti e il grado di saturazione del campione. Dati: V = cm 3 m = g m d = g G s =γ s /γ w = 2.7 Soluzione: massa specifica dei costituenti solidi: ρ s = G s ρ w = 2.7 g/cm 3 volume della parte solida: V s = m d / ρ s = cm 3 volume dei vuoti: V v = V - V s = cm 3 indice dei vuoti: e = V v / V s = massa dell'acqua nel campione naturale: m w = m - m d = 3.98 g volume dell'acqua nel campione naturale: V w = m w / ρ w = 3.98 cm 3 grado di saturazione naturale: S r = V w / V v = 70.0 %

51 49 Esercizio 19 Un provino di argilla preparato per una prova triassiale ha un diametro D = 38 mm, un'altezza H = 76 mm e una massa m = 183,4 g. Dopo l'essicazione in forno la massa è di 157,7 g. Assumendo un valore di Gs = 2.7, determinare: a) il peso per unità di volume naturale e secco del provino b) il contenuto d'acqua, l' indice dei vuoti e il grado di saturazione del provino. Dati: D = 38 (mm) md = (g) H = 76 (mm) G s = 2.7 (-) m = (g) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Soluzione: V = 8.62E-05 (m 3 ) m W = 25.7 (g) V s = 5.84E-05 (m 3 ) γ = 20.9 (kn/m 3 ) w = 16.3 (%) V v = 2.78E-05 (m 3 ) γ d = 17.9 (kn/m 3 ) γ s = 26.5 (kn/m 3 ) e = (-) V W = 2.57E-05 (m 3 ) S R = 92.5 (%) Esercizio 20 I risultati dell'analisi granulometrica eseguita su tre campioni di terreno, la cui massa totale è rispettivamente:115.5 g, g e g, sono di seguito riportati: Dimensione dei setacci (mm) Massa trattenuta (g) A B C Da un'analisi per sedimentazione eseguita sul passante al setaccio N.200 del campione C è risultato: Dimensione particelle (mm) Passante (%) mentre dalla misura dei limiti di Atterberg è risultato: W l (%) = 48 W p (%) = 27 Disegnare la curva granulometrica per i tre campioni e classificarli secondo il sistema USCS.

52 50 Dati: Provino A Provino B Dimensione Massa trattenuta, Mi Dimensione Massa trattenuta. M i Provino C Dimensione Massa trattenuta (g) Passante (%) A B C Massa totale, M (g) = W l (%) = 48 W p (%) = 27 Soluzione: Dai risultati dell'analisi granulometrica eseguita per via meccanica sui tre provini si calcola, nota la massa totale M, la percentuale di terreno trattenuta ad ogni singolo setaccio, T i = M i /M e quindi il passante corrispondente P i = P i-1 - T i che riportato in grafico in funzione della dimensione delle particelle, in scala logaritmica, fornisce le corrispondenti curve granulometriche per i tre provini: Provino A Provino B D (mm) Mi (g) Ti (%) Pi(%) D (mm) Mi (g) Ti (%) Pi(%) Provino C D (mm) Mi (g) Ti (%) Pi(%)

53 Curve granulometriche Provino A Provino B Provino C P (%) log (D) Il passante al setaccio N.200 (D = mm) è minore del 50% per i provini A e B, classificabili come terreno a grana grossa, e maggiore del 50% per il provino C, classificabile come terreno a grana fine. Vengono determinati per i terreni a grana grossa i diametri caratteristici dei grani: Provino D 10 (mm) D 30 (mm) D 60 (mm) C u (-) C c (-) A B P 4 (%) = 47 (%) A P 4 (%) = 100 (%) A La percentuale di passante al setaccio N.4 (D = 4.76 mm), P 4, è 47 %, minore del 50% per il provino A (quindi classificabile come ghiaia, G), mentre è maggiore per il provino B (classificabile come sabbia, S). In entrambi i casi la percentuale di passante al setaccio N.200 è inferiore al 5%, per cui la frazione fine è trascurabile. Essendo per il provino A il coefficiente di uniformità maggiore di 4, la ghiaia è ben distribuita (GW) Essendo per il provino B il coefficiente di uniformità minore di 6, la sabbia è poco distribuita (SP) Per quanto riguarda il provino C trattandosi di materiale a grana fine, si considera il limite di liquidità, w L = 48%, minore di 50% (terreno a bassa plasticità, L), e il valore dell'indice di plasitictà: Ip (%) = 21 Il valore corrispondente sulla retta A della carta di plasticità, è 0.73 (W L - 20) = Quindi il punto si trova al di sopra della retta A e si tratta di argilla inorganica a bassa plasticità (CL) Esercizio. 21 Durante una misura di densità, un campione di argilla, di massa pari a 683 g, è stato rivestito da uno strato di paraffina. La massa risultante del campione è di g ed il volume, determinato per immersione in acqua, è di 350 ml. Successivamente all'apertura del campione viene determinato il contenuto d'acqua, w = 17%, e la gravità specifica dei solidi, G s = La gravità specifica della paraffina è G p = 0.89 Determinare la densità, il peso di volume, l'indice dei vuoti e il grado di saturazione del terreno. Dati:

54 52 massa del terreno m (g) = 683 massa del terreno+paraffina M (g) = volume del terreno + paraffina V T (ml) = 350 contenuto d'acqua del terreno w (%) = 17 gravità specifica dei solidi G s (-) = 2.73 gravità specifica della paraffina G p (-) = 0.89 densità dell'acqua ρ w (g/ml) = 1 accelerazione di gravità g (m/s 2 ) 9.81 Soluzione: Si determina la massa della paraffina: m p = M - m = 7.6 (g) la densità: ρ p =G p ρ w = 0.89 (g/ml) e il volume: V p =m p /ρ p = 8.54 (ml) Si determina il volume del terreno: V = V T - V P = (ml) la densità: ρ = m/v = 2.00 (g/ml) (kg/dm3) (Mg/m3) il peso di volume: γ = ρ g = (kn/m 3 ) la densità secca: ρ d = ρ/(1+w) = 1.71 (Mg/m 3 ) e dalla relazione:ρ d = (G s ρ w ) /(1+e) si ricava l'indice dei vuoti: e = e dalla relazione:s r = (Gs w) /e si ricava il grado di saturazione Sr = 77.8 (%) Esercizio 22 Il volume di un campione di argilla limosa, determinato mediante immersione in mercurio, è V. La sua massa al contenuto naturale d'acqua è m, e la sua gravità specifica è G s. Dopo l'essiccazione in forno la massa del campione è m d. Determinare l'indice dei vuoti e il grado di saturazione del campione. Dati: V = cm 3 m = g m d = g G s =γ s /γ w = 2.7 Soluzione: massa specifica dei costituenti solidi: ρ s = G s ρ w = 2.7 g/cm 3 volume della parte solida: V s = m d / ρ s = cm 3 volume dei vuoti: V v = V - V s = cm 3 indice dei vuoti: e = V v / V s = massa dell'acqua nel campione naturale: m w = m - m d = 3.98 g volume dell'acqua nel campione naturale: V w = m w / ρ w = 3.98 cm 3 grado di saturazione naturale: S r = V w / V v = 70.0 %

55 53 Esercizio 23 Un provino di argilla per prova triassiale ha diametro d, altezza h e massa m. Dopo essere stato essiccato in forno la massa si è ridotta a m d. La massa specifica dei costituenti solidi è G s. Determinare: 1. Il peso di volume naturale del terreno, γ 4. L'indice dei vuoti, e 2. Il peso di volume secco del terreno, γ d 5. La porosità, n 3. Il contenuto naturale in acqua, w n 6. Il grado di saturazione, S r Dati: d = 38 mm h = 76 mm m = gr m d = gr G s = 2.72 Mg/m 3 Soluzione: Volume del provino: V = π (d 2 /4) h = mm 3 = 8.62E-05 m 3 Peso del provino umido: P = m g = N Peso del provino secco: P d = m d g = N Peso dell'acqua: P w = P - P d = N Volume del solido: V s = m d / G s = 5.80E-05 m 3 Volume dei vuoti: V v = V - V s = 2.82E-05 m 3 Volume dell'acqua: V w = P w / γ w = 2.57E-05 m 3 1. Peso di volume naturale: γ = P/V = kn/m 3 2. Peso di volume secco: γ d = P d /V = kn/m 3 3. Contenuto nat. in acqua: w n = P w /P d = % 4. Indice dei vuoti: e = V v / V s = Porosità: n = Vv / V = 32.7 % 6. Grado di saturazione: Sr = Vw / Vv = 91.1 %

56 54 ESERCIZI DA ESAMI ( ) L'acqua nel terreno: misura della permeabilità dei terreni Esercizio 1 Per una prova di permeabilità a carico costante sono dati i seguenti valori: lunghezza del campione di terreno: L = 300 mm area della sezione retta del campione: A = 32 cm 2 coefficiente di permeabilità: k = cm/s Calcolare la portata di filtrazione q (cm 3 /s) attraverso il campione per i seguenti valori del carico idraulico e disegnarne il grafico in funzione di h. h 1 = 800 mm h 2 = 700 mm 3 h 3 = 600 mm h 4 = 500 mm h 5 = 400 mm Soluzione 2 q = k i A = k (h/l) A = k (A/L ) h = h cm 3 /s q 1 = 2.08 cm 3 /s q 2 = 1.82 cm 3 /s 1 q 3 = 1.56 cm 3 /s q 4 = 1.30 cm 3 /s q 5 = 1.04 cm 3 /s q (cm 3 /s) h (mm) Esercizio 2 Determinare la portata di filtrazione attraverso lo strato di terreno più permeabile indicato in figura. Dati: H = 3 m h H 1 = 1 m h = 1.5 m L = 40 m H α α = 14 k = 5.E-04 m/s strato poco permeabile k è il coeff. di permeabilità H 1 dello strato più permeabile strato permeabile strato poco permeabile Soluzione: q = k i A i = h / (L/cos α) = A = H 1 cos α = m 2 /m L

57 55 q = k i A = 1.77E-05 m 3 /s/m = m 3 /ora/m Esercizio 3 Per determinare la permeabilità media di uno strato di sabbia di spessore S, sovrastante uno strato impermeabile, è perforato un pozzo ed è eseguita una prova di emungimento. La falda freatica è alla profondità D w da p.c. A regime la portata emunta è q, e gli abbassamenti del livello acquifero in due piezometri posti a distanza x 1 e x 2 dall'asse del pozzo sono rispettivamente y 1 e y 2. Stimare il coefficiente di permeabilità medio della sabbia (in m/sec) ed il suo diametro efficace D 10. Dati: S = 12.5 m x 1 = 15.2 m y 1 = m q = 850 lt/min x 2 = 30.4 m y 2 = m D w = 1.95 m Soluzione: con riferimento alla profondità della base dello strato di sabbia, S: quota del livello di falda indisturbato: H = S - D w = m livello dell'acqua nel primo piezometro: z 1 = H - y 1 = m livello dell'acqua nel secondo piezometro: z 2 = H - y 2 = m portata emunta a regime: q = m 3 / sec coefficiente di permeabilità della sabbia: k = q ln(x 1 /x 2 ) / [π (z z 2 2 )] = 6.5E-04 m/sec diametro efficace della sabbia (Hazen): D 10 = 10 k 0,5 = 0.26 mm Esercizio 4 Un terreno è costituito da strati orizzontali alternati di limo e di argilla. Gli strati di limo hanno spessore H 1 e coefficiente di permeabilità k 1. Gli strati di argilla hanno spessore H 2 e coefficiente di permeabilità k 2. Calcolare i coefficienti di permeabilità del terreno in direzione orizzontale e verticale. Dati: H 1 = 5 mm H 2 = 20 mm k 1 = 3.E-04 cm/s k 2 = 6.E-07 cm/s Soluzione: k H = Σk i H i / ΣH i = 6.05E-05 cm/s k V = ΣH i / Σ(H i / k i ) = 7.50E-07 cm/s Esercizio 5 E' eseguita una prova di pompaggio per la determimazione della permeabilità di un terreno sabbioso superficiale. Lo strato ha spessore D e sovrasta un terreno roccioso impermeabile. La falda freatica è alla profondità D w da piano campagna. In condizioni di flusso stazionario la portata emunta dal pozzo di pompaggio vale Q, ed i livelli dell'acqua misurati dal p.c. nei due pozzi di osservazione posti alle distanze r 1 ed r 2 valgono rispettivamente d 1 e d 2. Determinare il valore medio del coefficiente di permeabilità dello strato sabbioso. Dati: D = 9.15 m r 1 = 3m d 1 = 4.6 m D w = 1.22 m r 2 = 30 m d 2 = 2.1 m Q = 5.68 m 3 / min Soluzione: Si applica la relazione: k = (Q / π) ln(r 2 / r 1 ) / (h h 2 1 ) h 1 = D - d 1 = 4.55 m

58 56 h 2 = D - d 2 = 7.05 m da cui: k = m / min = 2.39E-03 m/ s Esercizio 6 Un campione di terreno in un permeametro a carico costante ha diametro D e altezza L. C sia il volume di acqua raccolto nel tempo t sotto il carico costante h. Un campione dello stesso terreno e di analoghe dimensioni è posto in un permeametro a carico variabile avente tubo di carico di diametro d. Il carico idraulico iniziale sia h 0. 1) Determinare il coefficiente di permeabilità k del terreno. 2) Dopo quanto tempo il carico idraulico nel permeametro a carico variabile si sarà ridotto al valore h 1? Dati: D (cm) = 7.3 C (cm 3 ) = 320 h (cm) = 24 h 0 (cm) = 130 L (cm) = 14 t (min) = 202 d (cm) = 1 h 1 (cm) = 72 Soluzione: A = π D 2 / 4 = cm 2 sezione del campione 1) k = C L / (h A t) = 2.21E-02 cm/min = 3.68E-04 cm/s a = π d 2 / 4 = cm 2 sezione del tubo di carico 2) t = 2.3 (a L) / (A k) log (h 0 /h 1 ) = 7.02 min. = s Esercizio 7 Un fiume ed un canale scorrono paralleli ma a differenti quote, come indicato in figura. Essendo: la distanza in orizzontale fra il fiume e il canale: L = 200 m il dislivello del pelo libero dell'acqua fra il fiume e il canale: h = 5 m lo spessore medio dello strato permeabile: s = 2 m il coefficiente di permeabilità dello strato permeabile: k = 1.157E-05 m/sec determinare la portata che filtra tra il fiume e il canale per chilometro di lunghezza di percorso. L fiume s strato permeabile h canale Soluzione: q = k i A = k ( h/l) A k = 1.157E-05 m/sec i = ( h/l) = A = 1000 s = 2000 m 2 q = 5.787E-04 m 3 /sec = 50 m 3 /giorno Esercizio 8 Un deposito di terreno consiste di tre strati orizzontali: uno strato superiore, A, di spessore 1 m, uno strato intermedio, B, di spessore 2 m, e uno strato inferiore, C, di spessore 3 m. Prove di permeabilità eseguite sui tre tipi di terreno hanno dato i seguenti valori del coefficiente di permeabilità:

59 57 3x10-1 (mm/s) per il terreno A 2x10-1 (mm/s) per il terreno B 1x10-1 (mm/s) per il terreno C 1) Determinare il rapporto delle permeabilità medie nella direzione orizzontale e verticale. 2) Nell'ipotesi che al disotto del deposito vi sia uno strato di terreno ghiaioso e una falda artesiana, e che il livello di falda nel deposito coincida col piano di campagna e che nello strato di terreno A vi sia una perdita di carico di 150 mm, determinare la pressione dell'acqua nello strato ghiaioso. Dati: H A = 1 (m) k A = 3.0E-01 (mm/s) 3.0E-04 (m/s) H B = 2 (m) k B = 2.0E-01 (mm/s) 2.0E-04 (m/s) H C = 3 (m) k C = 1.0E-01 (mm/s) 1.0E-04 (m/s) H = 6 (m) (spessore del deposito) z w = 0 (m) (altezza di falda rispetto al piano di campagna) H A = 150 (mm) (perdita di carico nello strato A) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Soluzione: 1) Si calcola la permeabilità nella direzione parallela agli strati k H = (H A K A + H B k B + H C k C )/H = 1.67E-04 (m/s) Si calcola la permeabilità nella direzione perpendicolare agli strati agli strati k V = H/ (H A /K A + H B /k B + H C /k C ) = 1.4E-04 (m/s) Si calcola il rapporto tra la permeabilità orizzontale e verticale: k H /k V = ) Con il livello di falda nel deposito coincidente col p.c.e la base del deposito come quota di riferimento il carico piezometrico al p.c. risulta h 0 = 6 (m) Assumendo che sia uguale la portata che attraversa ciascun strato, essa risulta pari a quella che attraversa il primo strato, cioè, con riferimento ad una sezione unitaria, A = 1 m 2 : q = k A A ( H A /H A ) = (m 3 /s) Il carico piezometrico all'interfaccia tra lo strato A e B, è pari a : h A = h 0 + h A 6.15 (m) La perdita di carico in corrispondeza dello strato B, è pari a : H B = q H B /(k B A) = 0.45 (m) Il carico piezometrico all'interfaccia tra lo strato B e C è pari a : h B = h A + h B 6.60 (m) La perdita di carico in corrispondeza dello strato C, è pari a : H C = q H C /(k C A) = 1.35 (m) Il carico piezometrico all'interfaccia tra lo strato B e C è pari a : h C = h B + h C 7.95 (m) Il valore della pressione nello strato ghiaioso è pari a : u c = h C γ w = 78 (kpa) Esercizio 9 Uno strato di argilla limosa superficiale, di spessore H pari a 8 m, è seguito da uno strato di ghiaia contenente acqua in pressione. Un piezometro installato al tetto dello strato di ghiaia rivela un'altezza d'acqua H w = 2 m al di sopra del piano di campagna. Lo strato di argilla è caratterizzato da un contenuto d'acqua w del 30% e da una gravità specifica dei solidi, Gs = 2.7; la permeabilità dello strato k è di 3.0 x 10-8 m/s.

60 58 Viene progettato uno scavo di 2 m dal piano di campagna allo scopo di realizzare una fondazione che, una volta realizzata, eserciterà sul terreno sottostante una pressione uniforme p di 100 kn/m 2. Determinare, nell'ipotesi che la falda nello strato di argilla sia a livello del piano di campagna: 1) la portata unitaria d' acqua in m 3 per anno attraverso lo strato di argilla limosa prima dell'inizio dei lavori; 2) il fattore di sicurezza contro il sollevamento alla fine dello scavo e dopo la realizzazione della fondazione. Dati: H = 8 (m) H w = 2 (m) w = 30 (%) G S = 2.7 (-) k = 3.0E-08 (m/s) H sc = 2 (m) (profondità dello scavo dal paino di campagna) p = 100 (kn/m 2 ) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Z w = 8 (m) (altezza di falda misurata a partire dalla base dello strato) Soluzione: 1) Il carico piezometrico alla base e al tetto dello strato di argilla è rispettivamente: h A = 10 (m) h B = 8 (m) Il gradiente idraulico esistente tra la base dello strato di argilla e la superficie è: i = (h a - h b ) /H = 0.25 (-) La portata attraverso lo strato di argilla riferita ad un'area A unitaria è q = v A = k i A= 7.5E-09 (m 3 /s) 0.24 (m 3 /anno) 2) Si determina l'indice dei vuoti dell'argilla,satura, dalla relazione: e = w G s = 0.81 ed il peso di volume saturo: γ sat = (G s +e)/(1+e) γ w = (kn/m 3 ) Si determina la pressione esercitata verso il basso dal terreno sovrastante lo strato di ghiaia dopo lo scavo: P down1 =γ sat (H - H sc ) = (kn/m 2 ) e dopo la costruzione: P down2 = P down1 + p = (kn/m 2 ) Si determina la pressione esercitata dall'acqua all'interfaccia tra i due strati P up = γ w h a = (kn/m 2 ) Si determina il fattore di sicurezza contro il sollevamento: dopo lo scavo: F 1 = P down1 /P up = 1.2 e dopo la realizzazione della fondazione: F 2 = P down2 /P up = 2.2 Esercizio 10 Su un campione di limo argilloso, di diametro D = 10 cm e lunghezza L = 10 cm, è stata eseguita una prova di permeabilità a carico variabile (con diametro della buretta d = 3 mm), i cui risultati in termini di tempo t dall'inizio della prova e altezza h nella buretta sono di seguito riportati. Determinare il valore medio del coefficiente di permeabilità del terreno considerato.

61 59 t (s) h (mm) Dati: D (cm) = 10 L (cm) = 10 d (mm) = 3 t (s) = h (mm) = h 0 (mm) = 1000 h Soluzione: 0 a l log 10 Si applica la formula: k = 2.3 h A t ed affinchè le misure ottenute siano affidabili, i valori di log 10 (h o /h) ottenuti in funzione del tempo t devono disporsi si una retta. t (s) = log 10 (h o /h) y = x R 2 = log 10 (h 0 /h) t (s) Dalla pendenza della retta p (1/s) = si ricava la permeabilita': a (mm 2 ) = A (mm 2 ) = k (cm/s) = 6.E-05 k (m/s) = 6.42E-07 k = 2.3 (a l p)/a Esercizio 11 Su un campione cilindrico di terreno di lunghezza L = 15 cm,diametro D = 8 cm e peso W = 17.68N viene eseguita una prova di permeabilità a carico costante. La quantità d'acqua raccolta in 15 secondi sotto l'azione di un carico costante di 24 cm è di 40.5 cm 3. Determinare il coefficiente di permebilità, la velocità di filtrazione apparente ed effettiva, sapendo che il contenuto naturale d'acqua è w = 15 % e il peso specifco dei grani solidi è γ s = 25 kn/m 3.

62 60 Dati: Soluzione: L (cm) = 15 A = π D 2 /4 = (cm 2 ) D (cm) 8 k = (CL)/(AHt) = (cm/s) 0.03 W (N) v a = k i = (cm/s) 0.05 γ s (kn/m 3 ) = 25 W = W s + w W s = (N) w (%) = 15 W s = W/(1+w) = (N) t (s) = 15 V s = W s /γ s = (m 3 ) 6.15E-04 C (cm 3 ) = 40.5 V = V s +V v = (m 3 ) 7.54E-04 H (cm) = 24 V v = V - V s = (m 3 ) 1.39E-04 n = (V v /V) 100 = (%) v = v a /n = (cm/s) 0.29

63 61 ESERCIZI DA ESAMI ( ) L'acqua nel terreno: forze di filtrazione e gradiente idraulico critico Esercizio 1 Determinare la portata di filtrazione e disegnare il grafico delle pressioni litostatiche nelle condizioni stratigrafiche e geotecniche di figura. Dati: Altezze d'acqua: h w = 1m Acqua h wg = 12 m γ w = 9.81 kn/m 3 h w Strato 1: Sabbia fine h 1 = 4m Sabbia fine h 1 h wg γ 1 = 18 kn/m 3 K 0,1 = 0.43 k 1 = 1.00E-06 m/s Limo h 2 Strato 2: Limo h 2 = 2m Argilla h 3 γ 2 = 19 kn/m 3 K 0,2 = 0.55 Ghiaia k 2 = 4.00E-07 m/s Strato 3: Argilla h 3 = 3m γ 3 = 20 kn/m 3 K 0,3 = 0.63 k 3 = 3.00E-09 m/s Soluzione: Si assume come piano di riferimento l'estradosso dello strato di ghiaia. Carico idraulico dovuto alla pressione artesiana: h wg = 12 m Carico idraulico alla superficie del terreno: h w + h 1 + h 2 + h 3 = 10 m Perdita di carico per filtrazione: h = 2m Lunghezza del percorso di filtrazione: L = h 1 + h 2 + h 3 = 9m Gradiente idraulico medio: i m = h / L = Coeff. di perm. medio per filtrazione in serie: k m = L / (h 1 /k 1 + h 2 /k 2 + h 3 /k 3 ) = 8.92E-09 m/s Portata di filtrazione (per A = 1 m 2 ) : q = v A = k m i m A = 1.98E-09 m 3 /s La portata di filtrazione è la stessa per tutti gli strati, i gradienti idraulici e le perdite di carico sono differenti: Strato 1: Sabbia fine i 1 = (q/a) / k 1 = h 1 = i 1 h 1 = m Strato 2: Limo i 2 = (q/a) / k 2 = h 2 = i 2 h 2 = m Strato 3: Argilla i 3 = (q/a) / k 3 = h 3 = i 3 h 3 = m Con riferimento ad un asse Z verticale discendente con origine alla superficie dell'acqua affiorante: le pressioni neutre valgono: u = γ w (Z + Σ h i ) le pressioni totali verticali valgono: σ v0 = γ w h w + Σ γ i h i le pressioni efficaci verticali valgono: σ' v0 = σ v0 - u le pressioni efficaci orizzontali valgono: σ' h0 = K 0 σ v0

64 62 le pressioni totali orizzontali valgono: σ h0 = σ' h0 + u Z Z (m) Σ h i (m) u (kpa) σ vo (kpa) σ' vo (kpa) σ' ho (kpa) σ ho (kpa) h w h w + h h w + h 1 + h h w + h 1 + h 2 + h tensioni geostatiche (kpa) u sig-v0 sig-h0 sig'-v0 sig'-h0 4 Z (m)

65 63 Esercizio 2 Con riferimento allo schema di figura, sapendo che: a) la perdita di carico nel terreno B è n volte maggiore della perdita di carico nel terreno A, b) il coefficiente di permeabilità del terreno A vale K A, determinare: 1) la portata di filtrazione, 2) il coefficiente di permeabilità del terreno B, 3) la pressione neutra nel terreno B alla quota Z*. Q h H Z A A B Q L A L B Dati: n = 14 K A = 2.0E-05 m/s A = 1.00E-03 m 2 h = 0.15 m L A = 0.2 m L B = 0.2 m Z* = 0.15 m H = 0.75 m γ w = kn/m 3 Soluzione: h = h A + h B = h A + n h A = (1 + n) h A = 0.15 m h A = h / (1 + n) = 0.01 m h B = h - h A = 0.14 m i A = h A / L A = 0.05 i B = h B / L B = 0.7 1) Q = v A = K A i A A = 1.0E-09 m 3 /s 2) K B = K A (i A / i B ) = 1.43E-06 m/s 3) u(z*) = γ w (H - Z*) - i B γ w Z* = 4.85 kpa Esercizio 3 Un profilo di terreno è costituito da uno strato superficiale di spessore H 1 di argilla con peso di volume γ 1, da uno strato di spessore H 2 di sabbia con peso di volume γ 2, e da un substrato roccioso impermeabile. La falda è al livello del piano campagna. In un tubo piezometrico inserito nello strato sabbioso l'acqua sale di H w sopra il piano campagna. a) tracciare i diagrammi delle tensioni verticali totali, efficaci e neutre con la profondità b) tracciare i diagrammi subito dopo che il carico artesiano nella sabbia si è ridotto di H w /2 c) tracciare i diagrammi molto tempo dopo tale riduzione di carico Dati: H 1 (m) = 4 γ 1 (kn/m 3 ) = 19 H 2 (m) = 2 γ 2 (kn/m 3 ) = 18 H w (m) = 2 γ w (kn/m 3 ) = 10

66 64 Soluzione: a) z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) tetto strato base strato tetto strato base strato (kpa) s u s' z (m) b) z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) tetto strato base strato tetto strato base strato (kpa) s u s' z (m) c) z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) tetto strato base strato tetto strato base strato (kpa) s u s' z (m) Esercizio 4 Con riferimento allo schema di figura, fino a quale profondità H s si può scavare nello strato di argilla satura prima che avvenga il collasso per sifonamento? H argilla satura H 1 H s Dati: H = H 1 = 8 m 4m sabbia argilla satura: G s = γ s / γ w = 2.7 w = 32 % γ w = 9.81 kn/m 3 Soluzione: La pressione verticale efficace all'interfaccia argilla - sabbia si annulla quando

67 65 (H - H s ) γ sat - H 1 γ w = 0 dunque: e = w G s = γ sat = (G s + e) γ w / (1 + e) = kn/m 3 H s = H - H 1 (γ w / γ sat ) = 5.91 m Esercizio 5 Una formazione sabbiosa composta da 3 strati appoggia su una ghiaia molto permeabile. Le caratteristiche geometriche ed idrauliche sono le seguenti: Hw = 1 m sopra il p.c. H1 = 2 m k1 = 3.0E-05 m/s H2 = 1 m k2 = 2.0E-06 m/s H3 = 3 m k3 = 1.0E-05 m/s in un piezometro posto nella ghiaia l'acqua risale fino a quota: Hw,gh. = 3 m da p.c. Calcolare: a) la differenza di carico h D - h A b) la permeabilità del mezzo isotropo equivalente c) e diagrammare la pressione neutra nella formazione sabbiosa Dati: Hw = 1 m H1 = 2 m k1 = 3.0E-05 m/s H2 = 1 m k2 = 2.0E-06 m/s H3 = 3 m k3 = 1.0E-05 m/s Hw,gh. = 3 m Soluzione: si assume γw = 10 kn/m 3 h A = 7m z A = 6m h D = 9m z D = 0m a) h D - h A = 2 m b) k = ΣHi/(ΣHi/ki) = 6.92E-06 m/s i = v = 2.31E-06 m/s h B = h A + v (H1/k1) = 7.15 m z B = 4m h C = h B + v (H2/k2) = 8.31 m z C = 3m c) u = γw (h-z) u A = 10.0 kn/m 2 u B = 31.5 kn/m 2 u C = 53.1 kn/m 2 u D = 90.0 kn/m 2 Esercizio 6 Determinare le tensioni normali al piano X-X nei due casi indicati in figura. Dati: a = 1 m γ sat = 20 kn/m 3 γ w = kn/m 3

68 66 2a a X 2a X 2a caso 1 caso 2 Soluzione caso 1: filtrazione discendente σ = γ w (2a + a) + γ sat 2a = 69.4 kpa i = (2a)/(4a) = 0.5 u = γ w (2a + a + 2a) - i γ w 2a = 39.2 kpa σ' = σ - u = 30.2 kpa caso 2: filtrazione ascendente σ = γ w a + γ sat 2a = 49.8 kpa i = (2a)/(4a) = 0.5 u = γ w (a + 2a) + i γ w 2a = 39.2 kpa σ' = σ - u = 10.6 kpa Esercizio 7 Gli strati di un fondovalle pianeggiante sono costituiti da h1 metri di ghiaia grossolana giacente sopra h2 metri di argilla. Al di sotto dell'argilla si trova un'arenaria fratturata con permeabilità relativamente alta. Il livello della falda nella ghiaia è a hw1 metri sotto la superficie del piano campagna. L'acqua nell'arenaria è in pressione artesiana corrispondente ad un'altezza piezometrica hw2 metri sopra il piano campagna. h1 (m) = 3 h2 (m) = 12 hw1 (m) = 0.6 hw2 (m) = 6 I pesi di volume del terreno sono i seguenti: ghiaia al di sopra della falda γ1 = 16 kn/m 3 ghiaia al di sotto della falda γ1sat = 20 kn/m 3 argilla satura γ2 = 22 kn/m 3 a) Calcolare e diagrammare le tensioni verticali totali, neutre ed efficaci in funzione della profondità; 1) con i livelli iniziali dell'acqua sotterranea, 2) nell'ipotesi che il livello dell'acqua nella ghiaia si sia abbassato di hw1 metri per il pompaggio ma che la pressione dell'acqua nell'arenaria resti immutata, 3) nell'ipotesi che il livello dell'acqua nella ghiaia sia mantenuto come nel caso 2) ma che i pozzi di

69 67 drenaggio facciano scendere il carico dell'acqua nell'arenaria di hw2 metri, 4) nell'ipotesi che i pozzi di drenaggio vengano poi attivati per ridurre il livello dell'acqua nell'arenaria fino a (h1+h2) metri al di sotto del piano campagna. hw1 (m) = 2 hw2 (m) = 5.5 b) A quale profondità può essere spinto uno scavo ampio entro l'argilla, mantenendo lo scavo asciutto mediante pompaggio, prima che si verifichi il sollevamento del fondo (trascurando il taglio laterale), ipotizzando il livello iniziale della falda sotterranea: 1) con la pressione artesiana iniziale nell'arenaria? 2) con pozzi di drenaggio che riducono la pressione artesiana di hw2 metri? 3) con pozzi di drenaggio attivati per ridurre la pressione a (h1+h2) metri sotto il p.c.? c) Occorre eseguire uno scavo di H metri di profondità al di sotto del piano campagna. Se è richiesto un coefficiente di sicurezza FS, definito dal rapporto fra pressione verticale totale e la pressione neutra di sollevamento, di quanto si dovrebbe ridurre il carico piezometrico nell'arenaria? H (m) = 9 FS = 1.3 hw1 hw2 h1 ghiaia h2 argilla arenaria Dati: h1 (m) = 3 ghiaia al di sopra della falda γ1 = 16 h2 (m) = 12 ghiaia al di sotto della falda γ1sat = 20 hw1 (m) = 0.6 argilla satura γ2 = 22 hw2 (m) = 6 hw1 (m) =2 H (m) = 9 hw2 (m) =5.5 FS = 1.3 Soluzione: a-1) z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) p.c hw h h1+h a-2) z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) p.c hw1+ hw h h1+h a-3) z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa)

70 68 p.c hw1+ hw h h1+h a-4) z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) p.c hw h h1+h a1 a σ, σ', u (kpa) σ u σ σ, σ', u (kpa) σ u σ z (m) z (m) a3 a σ, σ', u (kpa) σ u σ σ, σ', u (kpa) σ u σ z (m) z (m) b1) Profondità D di scavo da p.c. per la quale la pressione totale alla profondità (h1+h2) eguaglia la pressione neutra (h1+h2-d)*γ2 = (h1+h2+hw2)*10 D (m) = b2) (h1+h2-d)*γ2 = (h1+h2+hw2- hw2)*10

71 69 D (m) = b3) (h1+h2-d)*γ2 = 0 D (m) = 15 c) γ2 (h1+h2-h)/fs = 10 (h1+h2+hw2- h) h (m) = Esercizio 8 In figura è rappresentata la sezione trasversale di una lunga trincea scavata nel letto di un fiume ed il relativo reticolo idrodinamico. Le pareti dello scavo sono sostenute da palancole accostate e infisse, a tenuta idraulica. La stratigrafia è costituita da 10 m di limo sabbioso, con coefficiente di permeabilità k e peso di volume saturo γ, su un substrato roccioso impermeabile. Deteminare: 1) la quantità di acqua che deve essere pompata per mantenere lo scavo asciutto, 2) il coefficiente di sicurezza nei confronti del sifonamento per la superficie AB, 3) le pressioni verticali efficaci nei punti C e D, dati: k = 4.0E-07 m/s γ = 20 kn/m 3 γ w = 9.8 kn/m 3 Soluzione 1) numero dei canali di flusso: N 1 = 10 numero dei dislivelli di carico: N = 11 perdita di carico totale: h (m) = 5.5 da cui q = k h N 1 /N = 2.0E-06 m 3 /s per metro di lunghezza di trincea ovvero, q = 7.2 lt/h per metro di lunghezza di trincea 2) dislivello piezometrico fra due linee equipotenziali successive: h (m) = h/n = 0.5 lunghezza del percorso di filtrazione fra le due ultime linee equipotenziali: s (m) = 0.7 gradiente idraulico di efflusso: i E = h/ s = gradente idraulico critico: i c = γ'/γ w = da cui coefficiente di sicurezza nei confronti del sifonamento: F = i c /i E = ) punto C z C (m) = 2.5 pressione verticale totale: σ C = γ z C = 50.0 kpa numero di dislivelli di carico: n C = 2.4

72 70 carico totale: h C = n C h/n = 1.2 m pressione neutra: u C = γ w (z C + h C ) = 36.3 kpa pressione efficace: σ' C = σ C - u C = 13.7 kpa punto D z D (m) = 4.5 pressione verticale totale: σ D = γ (z D + 2,5) + γ w 3 = kpa numero di dislivelli di carico: n D = 7.3 carico totale: h D = n D h/n = 3.7 m pressione neutra: u D = γ w (z D + h D ) = 79.9 kpa pressione efficace: σ' D = σ D - u D = 89.5 kpa Esercizio 9 Calcolare e disegnare i profili delle tensioni verticali totale, efficace e neutra per le condizioni stratigrafiche e geotecniche indicate in figura. (Lo strato inferiore di sabbia è sede di una falda artesiana). Z sabbia argilla sabbia Soluzione: prof. Z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) z w h s h s + h a h s +h a +h s h w h s h a h s z w dati: h w = 4m z w = 2m h s = 4m h a = 4m γ w = 9.81 kn/m 3 peso di volume della sabbia: γ 1 = 16.5 kn/m 3 sopra falda γ 2 = 19 kn/m 3 sotto falda peso di volume dell'argilla: γ 3 = 20 kn/m 3 profondità (m) tensioni verticali (kpa) sv u s'v Esercizio 10 Calcolare le pressioni a lungo e a breve termine esercitate dal terreno sul paramento verticale di un muro di sostegno, nell'ipotesi di assenza di attrito e di flusso.

73 71 q O A sabbia 1 zw1 zw2 z B argilla 1 dati: z A (m) = 1.5 z B (m) = 4 C sabbia 2 z C (m) = 6 z D (m) = 8 z w1 (m) = 0.5 D argilla 2 z w2 (m) = 2.5 q (kpa) = 50 strato γ (kn/m3) φ' ( ) c' (kpa) φ u ( ) c u (kpa) sabbia argilla sabbia argilla Dati: za (m) = 1.5 strato g (kn/m3) f' ( ) c' (kpa) fu ( ) cu (kpa) zb (m) = 4 sabbia zc (m) = 6 argilla zd (m) = 8 sabbia zw1 (m) = 0.5 argilla zw2 (m) = 2.5 q (kpa) = 50 Soluzione: condizioni a lungo termine punto strato z(m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) σ' ha (kpa) σ ha (kpa) K A O sabbia a falda sabbia A sup sabbia A inf argilla B sup argilla B inf sabbia C sup sabbia C inf argilla D argilla condizioni a breve termine punto strato z(m) σ v (kpa) σ ha (kpa) O sabbia a falda sabbia A sup sabbia A inf argilla B sup argilla

74 72 B inf sabbia C sup sabbia C inf argilla D argilla tensioni (kpa) condizione a lungo termine Z (m) tensioni (kpa) condizione a breve termine Z (m) Esercizio 11 Con riferimento al diaframma rappresentato in figura determinare la profondità di infissione x tale che il fattore di sicurezza nei confronti del sifonamento risulti F = 3 a b fald si assuma: γ w = 10 kn/m 3 γ = 19 kn/m 3 a = 2 m b = 4 m z sabbia medio - fine Dati: Soluzione: a (m) = 2 gradiente idraulico critico: i c = 0.90 b (m) = 4 gradiente idraulico amm.: i c / F = 0.30 γ (κν/µ3) = 19 in 1 a approssimazione i = b/(b + 2x) da cui: x (m) = 4.67 F = 3

75 73 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Principio delle tensioni efficaci, tensioni geostatiche e storia dello stato tensionale Esercizio 1 Si consideri la seguente successione di strati orizzontali (dall'alto al basso): da (m) a (m) terreno γ (kn/m 3 ) K sabbia sabbia argilla sabbia la falda è alla profondità z w (m) = 2 si assuma: γ w (kn/m 3 ) = 10 a) determinare e disegnare i profili delle tensioni totali ed efficaci, verticali ed orizzontali, b) determinare e disegnare i cerchi di Mohr in termini di tensioni totali ed efficaci nei punti: z (m) O 0 A 2 B 5 C 9 D 14 Dati: da (m) a (m) terreno γ (kn/m 3 ) K sabbia sabbia argilla sabbia la falda è alla profondità z w (m) = 2 Soluzione: si assume γ w (kn/m 3 ) = 10 punto z (m) K 0 u (kpa) σ v (kpa) σ' v (kpa) σ' h (kpa) σ h (kpa) O A Bsup Binf Csup Cinf D

76 74 Esercizio 2 Con riferimento ai dati ed alla figura valutare: a) le tensioni totali ed efficaci nei punti A e B prima dell'erosione; b) le tensioni totali ed efficaci, nei punti A e B dopo l'erosione; prima dell'erosione il terreno è N.C. p.c. prima dell'erosione c terreno eroso d a (m) = 5 b (m) = 25 c (m) = 5 d (m) = 25 A a b γ (kn/m 3 ) = 19.8 φ' ( ) = 30 c' (kpa) = 0 B Dati: a (m) = b (m) = c (m) = d (m) = γ (kn/m 3 ) = φ' ( ) = c' (kpa) = 5 H13 25 H14 5 H15 25 H H18 30 H19 0 H20 Soluzione: a) tensioni prima dell'erosione z σ v01 u 01 σ' v01 K 0,NC σ' h01 σ h01 (m) (kpa) (kpa) (kpa) ( - ) (kpa) (kpa) A B b) tensioni dopo l'erosione z σ v02 u 02 σ' v02 OCR K 0,OC σ' h01 σ h01 (m) (kpa) (kpa) (kpa) ( - ) ( - ) (kpa) (kpa) A B Esercizio 3 Un deposito di terreno è costituito da uno strato orizzontale di sabbia di spessore H 1 sovrastante uno strato orizzontale di argilla, di permeabilità molto bassa, di spessore H 2. La profondità della falda freatica è z w. Il peso di volume della sabbia al di sopra del livello di falda è γ 1 e al di sotto di tale livello è γ 1sat. Il coefficiente di spinta a riposo della sabbia è K 01. Il peso di volume dell'argilla è γ 2. Il coefficiente di spinta a riposo dell'argilla è K 02. Determinare lo stato tensionale nei punti A e B alle profondità rispettivamente z A e z B. Nell'ipotesi che il livello di falda si innalzi in un tempo molto breve della quantità z w e permanga a lungo a tale nuova profondità, si determini lo stato tensionale nei punti A e B, subito dopo e

77 75 molto tempo dopo l'innalzamento di falda. dati: H 1 = 9m γ 1 = 16 kn/m 3 K 01 = 0.47 H 2 = 6m γ 1sat = 19 kn/m 3 z w = 6m γ 2 = 20 kn/m 3 K 02 = 0.63 z A = 8m γ w = 9.8 kn/m 3 z B = 12 m z w = 3m z* w Sabbia z w z w z A H 1 z B A Argilla B H 2 Soluzione: Prima dell'innalzamento della falda (condizioni idrostatiche): punto A σ v = γ 1 z w + γ 1sat (z A - z w ) = kpa u = γ w (z A - z w ) = kpa σ' v = σ v - u = kpa σ' h = K 01 σ' v = kpa σ h = σ' h + u = kpa punto B σ v = γ 1 z w + γ 1sat (H 1 - z w ) + γ 2 (z B - H 1 ) = kpa u = γ w (z B - z w ) = kpa σ' v = σ v - u = kpa σ' h = K 02 σ' v = kpa σ h = σ' h + u = kpa Subito dopo l'innalzamento di falda Nello strato di sabbia, molto permeabile, la pressione neutra è governata dal nuovo livello di falda, mentre nello strato di argilla, molto poco permeabile, essa è ancora governata dal precedente livello di falda. Inoltre l'incremento di pressione verticale totale dovuto all'incremento del peso di volume da γ 1 a γ 1sat nella fascia di terreno di spessore z w produce istantaneamente un eguale incremento di pressione neutra nello strato di argilla. Pertanto si ha: z w * = z w - z w = 3m punto A σ v = γ 1 z w * + γ 1sat (z A - z w *) = kpa u = γ w (z A - z w *) = kpa σ' v = σ v - u = kpa

78 76 σ' h = K 01 σ' v = σ h = σ' h + u = punto B σ v = γ 1 z w * + γ 1sat (H 1 - z w *) + γ 2 (z B - H 1 ) = u = γ w (z B - z w ) + (γ 1sat - γ 1 ) z w = σ' v = σ v - u = σ' h = K 02 σ' v = σ h = σ' h + u = kpa kpa kpa kpa kpa kpa kpa Molto tempo dopo l'innalzamento della falda (condizioni idrostatiche): punto A (come subito dopo l'innalzamento della falda) σ v = γ 1 z w * + γ 1sat (z A - z w *) = kpa u = γ w (z A - z w *) = kpa σ' v = σ v - u = kpa σ' h = K 01 σ' v = kpa σ h = σ' h + u = kpa punto B σ v = γ 1 z w * + γ 1sat (H 1 - z w *) + γ 2 (z B - H 1 ) = kpa u = γ w (z B - z w *) = kpa σ' v = σ v - u = kpa σ' h = K 02 σ' v = kpa σ h = σ' h + u = kpa Esercizio 4 Con riferimento alle tre situazioni schematizzate in figura: a) determinare i valori di σ v0, σ' v0 e u 0 nei punti A, B e C. b) Stimare negli stessi tre punti il valore di σ' h0 nell'ipotesi che lo strato di argilla sia NC e che il suo inviluppo a rottura sia caratterizzato da: φ' ( ) = 28 e c' = 0. c) Se nella situazione a si verifica un fenomeno di erosione di 2 m, accompagnato da un abbassamento di falda della stessa entità: c1) determinare il valore del grado di sovraconsolidazione OCR nel punto B. c2) stimare il valore di σ' h0 nel punto B. A A A H/2 argilla NC B B B H/2 C C C sabbia situazione a situazione b situazione c Dati: peso di volume dell'argilla NC: γ = 18 kn/m 3 H = 10 m H w = 2 m γ w = 9.8 kn/m 3 Soluzione: a) b) K 0 (NC) = 1 - senφ' = H w

79 77 situazione a punto z (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ' h0 (kpa) A B C situazione b i = H w / H = punto z (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ' h0 (kpa) A B C situazione c punto z (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ' h0 (kpa) A B C c) dopo l'erosione (situazione a) K 0 (OC) = K 0 (NC) OCR 0.5 punto z (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) OCR K 0 (OC) σ' h0 (kpa) B Esercizio 5 Calcolare e disegnare i profili delle tensioni verticali totale, efficace e neutra per le condizioni stratigrafiche e geotecniche indicate in figura. (Lo strato inferiore di sabbia è sede di una falda artesiana). h w sabbia h s z w Z argilla sabbia h a h s dati: h w = 4m z w = 2m h s = 4m h a = 4m γ w = 9.81 kn/m 3 peso di volume della sabbia: γ 1 = 16.5 kn/m 3 sopra falda γ 2 = 19 kn/m 3 sotto falda peso di volume dell'argilla: γ 3 = 20 kn/m 3 Soluzione: prof. Z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) z w h s

80 78 h s + h a h s +h a +h s tensioni verticali (kpa) sv u s'v profondità (m) Esercizio 6 In un punto M del terreno la pressione neutra u e le tensioni totali normali σ e tangenziali τ valgono: u (kpa) = 10 σ (kpa) τ (kpa) sul piano orizzontale: sul piano verticale: Determinare le tensioni principali totali ed efficaci. Soluzione: τ u σ 1 (kpa) = σ 3 (kpa) = σ' 1 (kpa) = σ' 3 (kpa) = τ σ' 3 σ' 1 σ 3 σ 1 σ' h σ' v σ h σ v Esercizio 7 Un rilevato di grande estensione, altezza H = 8 m e peso per unità di volume γ = 21.5 kn/m 3 è stato realizzato su un deposito di argilla normalconsolidata (ϕ' = 26 ; γ sat = 18.5 kn/m 3 ). Dopo molti anni il rilevato viene rimosso. Determinare come variano a lungo termine le tensioni totali ed efficaci, orizzontali e verticali alle profondità di 1 m, 5 m e 10 m dal piano di campagna attuale, supponendo che il livello di falda, ad 1 m di profondità, non vari. Dati: H R = 8 (m) γ R = 21.5 (kn/m 3 ) ϕ' = 26 ( )

81 79 γ sat,c = 18.5 (kn/m 3 ) Ζ w = 1 (m) Ζ A = 1 (m) Ζ B = 5 (m) Ζ C = 10 (m) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Soluzione Si calcolano le tensioni efficaci verticali, σ' vo, alle profondità Z A, Z B e Z C dopo la realizzazione del rilevato e dopo un tempo tale da potersi considerare terminato il processo di consolidazione. Si determina il coefficiente di spinta a riposo, che essendo l'argilla NC, è dato da: k 0 = 1 - sinϕ' (Jaki, 1944) k 0 = 0.56 Quindi si calcolano le tensioni efficaci orizzontali,σ' ho = k o σ' v0 e totali σ ho = σ' ho + u Dopo la completa rimozione del rilevato, si suppone che le sovrappressioni negative generate si siano interamente dissipate e che il livello di falda sia rimasto invariato. Quindi si calcolano i nuovi valori delle tensioni efficaci verticali, σ' vf, e il valore del grado di sovraconsolidazione OCR = σ' vo /σ' vf, alle profondità Z A, Z B e Z C dopo la realizzazione del rilevato e le tensioni efficaci orizzontali,σ' ho = k o σ' v0 e totali σ ho = σ' ho + u, assumendo k o (OC) = k 0 (NC) OCR 0.5 Prof (m) σ' vo (kpa) u 0 (kpa) σ vo (kpa) σ' ho (kpa) σ ho (kpa) σ' vf (kpa) u f (kpa) σ vf (kpa) OCR (-) k 0 (-) σ' hf (kpa) σ hf (kpa)

82 80 ESERCIZI DA ESAMI ( ) La diffusione delle tensioni nel terreno Esercizio 1 L'area flessibile su semispazio elastico omogeneo e isotropo mostrata in figura è caricata uniformemente. Calcolare e disegnare la tensione verticale indotta in corrispondenza del punto A. dati: B = 8 B R H = 3 R = H/2 = 1.5 m q = 150 kpa H A Soluzione Il punto A è di spigolo per due rettangoli di dimensioni B x H/2 e corrisponde al centro di metà di un'area circolare di raggio R = H/2. Si applicano dunque le formule: σ R R R z q = arc tan π = (b + z ) = (a = (a z + b 2 2 ) z ab zr 2 ) abz R 3 1 R R 2 2 con a = B = b = H/2 = q = 8 m 1.5 m 150 kpa σ z = q R z 2 3 R = 1.5 m z/b z (m) R1 R2 R3 σ z (kpa)

83 σ z (kpa) z (m) Esercizio 2 Calcolare l'incremento di pressione verticale indotta dall'applicazione del carico q sull'area rettangolare ABCD alla profondità z in corrispondenza della verticale dei punti A e P. A F c E P b d B G a q (kpa) = 100 z (m) = 5 a (m) = 10 b (m) = 15 c (m) = 5 d (m) = 5 D Dati: q (kpa) = z (m) = a (m) = b (m) = c (m) = d (m) = H 100 kpa 5 m 10 m 15 m 5 m 5 m C

84 82 Soluzione: punto A utilizzando la formula relativa al calcolo di σ z sotto lo spigolo (Holl, 1940): R 1 = m R 2 = m R 3 = m σ z = kpa punto P si procede con la stessa formula per sovrapposizione di effetti: rettangolo a (m) b (m) R 1 (m) R 2 (m) R 3 (m) σ z (kpa) AEPF EBGP GCHP HDFP totale Esercizio 3 Una fondazione nastriforme di larghezza B trasmette alla superficie del terreno una pressione verticale uniforme q. Il terreno di fondazione è sabbia con peso di volume γ e coefficiente di spinta a riposo K 0. La falda freatica coincide con il piano campagna. Determinare lo stato di tensione prima e dopo l'applicazione del carico q nei punti alla profondità z situati in asse alla stricia di carico (punto A) e sulla verticale per il bordo (punto B). Per il calcolo della diffusione delle tensioni si utilizzi la soluzione di striscia indefinita di carico verticale uniforme su semispazio elastico omogeneo e isotropo. σ z = (q/π) [α + senα cos(α+2β)] B σ x = (q/π) [α - senα cos(α+2β)] q σ y = (2q/π) ν α x τ xy = (q/π) [senα sen(α+2β)] β α z P Dati: B (m) = 2 q (kpa) = 250 γ (kn/m 3 ) = 20 K 0 = 0.6 z (m) = 3 γ w (kn/m 3 ) = 9.81 ν = 0.2 Soluzione Lo stato di tensione prima dell'applicazione del carico q è dovuto al solo peso proprio del terreno ed è lo stesso nei punti A e B. Per simmetria le tensioni verticali ed orizzontali sono principali. tensione verticale totale: σ z = σ v0 = γ Z = 60.0 kpa pressione neutra: u 0 = γ w Z = 29.4 kpa tensione verticale efficace: σ' z = σ' v0 = σ v0 - u 0 = 30.6 kpa tensione orizzontale efficace: σ' x = σ' y = σ' h0 = K 0 σ' v0 = 18.3 kpa tensione orizzontale totale: σ x = σ y = σ h0 = σ' h0 + u 0 = 47.8 kpa Per un punto P di coordinate (x, y, z) è: (α + β) = arctan[(x + B/2) / z] β = arctan[(x - B/2) / z] dunque per i punti A e B è:

85 83 punto x (α + β) β α σ z σ x σ y τ xy (m) (rad) (rad) (rad) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) A B Poiché il terreno è sabbia, e dunque molto permeabile, il carico q non induce sovrapressioni neutre. Pertanto lo stato tensionale finale nei punti A e B vale: σ x σ y σ z τ xy u = u 0 σ' x σ' y σ' z (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) A B Esercizio 4 Su un semispazio continuo elastico omogeneo e isotropo è applicata una pressione verticale uniforme, di intensità p, sull'area rappresentata in figura. Determinare le tensioni verticali indotte alla profondità z in corrispondenza dei punti: 0, 1, 2 e 3, e tracciarne il grafico. Dati: y L = 5 m l = 2 p = 100 kpa 2L 2l L x z = x 0 = x 1 = x 2 = x 3 = 3 m 0m l L l + L 2l p Soluzione: Si procede per sovrapposizione di effetti applicando l'equazione che fornisce la tensione verticale indotta da un'area rettangolare di carico uniforme verticale in corrispondenza di uno spigolo. verticale per il punto 0 rettangolo n. segno a b R1 R2 R3 σ z verticale per il punto 1 rettangolo n. segno a b R1 R2 R3 σ z verticale per il punto 2 rettangolo n. segno a b R1 R2 R3 σ z verticale per il punto 3 rettangolo n. segno a b R1 R2 R3 σ z

86 84 punto x (m) σ z (kpa) σz (kpa) x (m) Esercizio 5 Una fondazione superficiale quadrata di lato L trasmette al terreno una pressione uniforme q. Determinare l'incremento di tensione verticale alla profondità z = 2L in corrispondenza dei punti: A (di spigolo), B (al centro di un lato), e C (al centro del quadrato). Confrontare i valori ottenuti con quelli che si otterrebbero assumendo l'intero carico concentrato nel punto C. Dati: q (kpa) = 100 L (m) = 12 Soluzione: Nel caso di superficie rettangolare di lati (a x b), con carico uniforme q, l'incremento di tensione verticale alla profondità z in corrispondenza di uno spigolo vale: σ(z) = (q / 2π) [arctan( ab / zr 3 ) + (abz / R 3 ) (1/R /R 2 2 )] con: R 1 = (b 2 + z 2 ) 0.5 R 2 = (a 2 + z 2 ) 0.5 R 3 = (a 2 + b 2 + z 2 ) 0.5 procedendo per sovrapposizione di effetti: z (m) = 24 punto a b n. A L L 1 B L L/2 2 C L/2 L/2 4 punto a b R 1 R 2 R 3 σ(z) Σ σ(z) A B C Risultante del carico applicato: Q = q L 2 = kn Incremento di tensione verticale prodotto da un carico concentrato Q in un punto del semispazio alla profondità z e alla distanza x dalla verticale di applicazione: σ(z) = 3Qz 3 / 2πR 5 R = (x 2 + z 2 ) 0.5 punto x (m) R (m) σ(z) (%) A B C

87 85 Esercizio 6 Determinare la tensione verticale indotta da una pressione uniforme di intensità p, agente su una corona circolare di raggio interno Ri e raggio esterno Re = 2Ri, su semispazio elastico omogeneo e isotropo, in corrispondenza del centro dell'area di carico alle profondità Z indicate in tabella. Dati: p = 150 kpa Ri = 6 m Z = 0 0,5Ri Ri 1,5Ri 2Ri 5Ri 10Ri 20Ri Soluzione La tensione verticale indotta da una pressione uniforme agente su un'area circolare di raggio R su semispazio elastico omogeneo e isotropo, in corrispondenza del centro alla profondità z è data da: σ z = p [1-1 / [1 + (r / z) 2 ] 3/2 ] La soluzione si ottiene sovrapponendo gli effetti. Z/Ri Z (m) Ri/Z σ z /p σ z (kpa) Z/Ri Z (m) Ri/Z σ z /p σ z (kpa) Z (m) σ z (kpa)

88 Esercizio 7 Calcolare e disegnare i grafici delle tensioni indotte da una striscia indefinita di carico uniforme di intensità p e larghezza 2b, agente su un semispazio elastico omogeneo e isotropo, su un piano orizzontale alla profondità b. (Calcolare i valori nei punti indicati in figura). b 2b p x Dati: b = 3 m a = b/3 p = 100 kpa E = 10 MPa ν = 0.4 a z Soluzione: Con riferimento alla simbologia di figura, si utilizzano le seguenti formule: (gli angoli sono espressi in radianti) 2b p x σ z = (p / π) [α + senα cos(α + 2δ)] σ x = (p / π) [α - senα cos(α + 2δ)] σ y = 2 (p / π) (ν α) τ xy = (p / π) senα sen(α + 2δ) (α + δ) = arctan[(x + b) / z] δ = arctan[(x - b) / z] z α δ

89 87 x (m) z (m) α + δ δ α σ z σ x σ y τ xy tensioni alla profondità b (kpa) sigma-z sigma-x sigma-y tau-xy x (m) Esercizio 8 Calcolare e disegnare il profilo delle tensioni verticali indotte in un semispazio elastico omogeneo e isotropo da una pressione uniforme q distribuita su un'area quadrata di lato L in corrispondenza delle verticali per il centro e per lo spigolo dell'area fino ad una profondità pari a 5L. Dati: L = q = 2 m 250 kpa Soluzione: Si applica l'equazione per il calcolo della tensione in corrispondenza di uno spigolo di un'area a x b.: σ R R R z q = arc tan 2π = (b + z ) = (a = (a z + b 2 2 ) z 2 ab zr ) abz 1 + R 3 R R 2 2

90 88 per il centro 4 quadrati di lato L/2 per lo spigolo 1 quadrato di lato L n = 4 n = 1 a = L/2 = 1 a = L = 2 b = L/2 = 1 b = L = 2 verticale per il centro verticale per lo spigolo z/l z (m) R 1 = R 2 R 3 σ z (kpa) R 1 = R 2 R 3 σ z (kpa) σ v (kpa) z (m) 6 8 centro spigolo 10

91 89 Esercizio 9 Determinare la pressione verticale indotta alla profondità Z in corrispondenza dei punti a, b, c, d, e, f da un carico uniformemente distribuito di intensità q sull'area indicata in figura. a L b c L / 2 Dati: L (m) = 30 Z (m) = 10 q (kpa) = 200 L b e e d L / 2 cc L / 2 d L / 2 f Soluzione: Si procede per sovrapposizione di effetti utilizzando la relazione con la quale si calcola la pressione indotta da una superficie rettangolare (bxl) uniformemente caricata alla profondità z in corrispondenza di uno spigolo: rettangolo dimens. l (m) b (m) R 1 (m) R 2 (m) R 3 (m) σ v /q r 1 (L x L) r 2 (L x L/2) r 3 (L/2 x L/2) R1 R2 R3 l b z I rett. 1 L x L/ rett. 2 L x L rett. 3 L/2 x L/ punto σ v (kpa) a 2r 2 - r b r 2 + r c r 1 - r 2 + r d 2r 2 - r e 3r f r 1 - r σ v q lb lbz 1 1 = arc tan π zr3 R3 R1 R2 R = l + z R = b + z R = l + b + z Esercizio 10 Un serbatoio cilindrico di raggio R trasmette alla superficie del terreno una pressione verticale uniforme di intensità p. Il terreno di fondazione è costituito da sabbia medio fine N.C. avente peso di volume saturo γ e angolo di resistenza al taglio φ'. La falda è a piano campagna. Determinare le tensioni totali ed efficaci, verticali e orizzontali, prima e dopo la costruzione del

92 90 serbatoio nei punti sulla verticale del centro e del perimetro dell'area di carico alle profondità relative indicate in tabella e tracciarne i profili. Dati: Per il calcolo degli incrementi di tensione si utilizzino le seguenti R (m) = 20 equazioni valide per semispazio elastico omogeneo e isotropo. p (kpa) = 200 σ z = p I z (coordinate cilindriche) γ (kn/m 3 ) = 20.1 σ r = p I r φ' ( ) = 35 σ θ = p I θ γ w (kn/m 3 ) 10 I valori dei coefficienti I z, I r e I θ sono i seguenti (per µ = 0.15). centro bordo centro bordo centro bordo z/r I z I z I r I r I θ I θ Soluzione: K 0 = (1 - sen φ') = γ' (kn/m 3 ) = γ - γ w = 10.1 tensioni geostatiche: incrementi di tensione efficace: tensioni finali: σ v0 = γ z σ' v = σ z u = u 0 u 0 = γ w z σ' hr = σ r σ' v = σ' v0 + σ' v σ' v0 = γ' z = σ v0 - u o σ' hθ = σ θ σ' h = σ' h0 + σ' h σ' h0 = K 0 σ' v0 sulla verticale per il centro: σ v = σ' v + u σ h0 = σ' h0 + u 0 σ' hr = σ' hθ σ h = σ' h + u Le lunghezze sono espresse in metri e le tensioni in kpa. Tensioni iniziali z/r z σ v0 u 0 = u σ' v0 σ' h0 σ h Incrementi di tensione e tensioni finali al centro z/r σ' v σ' hr = σ' hθ σ' v σ' h σ v σ h Incrementi di tensione al centro Tensioni finali al centro

93 0 Incrementi di tensione al centro Tensioni finali al centro z [m] z [m] sv u s'v s'h sh Ds'v Ds'h σ [kpa] -45 σ, σ', u [kpa] 0 incrementi di tensione al bordo tensioni finali al bordo z [m] z [m] sv u s'v s'hr s'hq shr shq Ds'v Ds'hr Ds'hq σ, σ', u [kpa] σ, σ', u [kpa] Esercizio 11 Una fondazione a base rettangolare (6m x 4m) trasmette al terreno sottostante una pressione verticale uniforme di intensità p = 150 kpa. Il terreno sottostante è costitutito da uno strato di sabbie mediamente addensate NC (γ 1 = 19.1 kn/m 3 ; ϕ 1 = 24 ) di spessore H = 6 m, seguito da uno strato di sabbie moltoaddensate NC (γ 2 = 20.1 kn/m 3 ; ϕ 2 = 34 ). La falda è a 3 m dal piano di campagna. Determinare in corrispondenza del centro della fondazione e di uno spigolo, l'andamento con la profondità delle tensioni verticali ed orizzontali, totali ed efficaci, in assenza e in presenza della fondazione e disegnarne i profili.

94 92 Per il calcolo dell'incremento delle tensioni verticali ed orizzontali in corrispondenza dello spigolo della fondazione si utilizzino le formule di Steinbrenner: p LB LBz 1 1 σ y z = arctan π zr3 R3 R1 R2 L p LB LBz σ x = arctan 2 2π zr3 R1 R3 B p LB LBz O x σ = y arctan 2 2π zr3 R2 R3 con: R1 = L + z R2 = B + z P R3 = L + B + z Dati: L (m) = 6 z B (m) = 4 p (kpa) = 150 γ 1 (kn/m 3 ) =19.1 ϕ 1 ( ) = 24 γ 2 (kn/m 3 ) =20.1 ϕ 2 ( ) = 34 Ζ w (m) = 3 γ w (kn/m 3 ) 10 Soluzione: Calcolo di σ allo spigolo della fondazione z [m] 2 R 1 [m 2 ] 2 R 2 [m 2 ] R 3 [m] σ v [kpa] σ x [kpa] σ y [kpa]

95 93 al centro della fondazione L/2 (m)= 3 B/2 (m)= 2 σ = 4 σ i R 1 2 R 2 2 z [m] [m 2 ] [m 2 ] R 3 [m] σ vi [kpa] σ xi [kpa] σ yi [kpa] z [m] σ v [kpa] σ x [kpa] σ y [kpa] K 01 = (1 - sen φ 1 ') = K 02 = (1 - sen φ 2 ') = γ 1 ' (kn/m 3 ) = γ 1 - γ w = 9.1 γ 2 ' (kn/m 3 ) = γ 2 - γ w = 10.1 tensioni geostatiche: incrementi di tensione efficace: tensioni finali: σ v0 = γ z σ' v = σv u = u 0 u 0 = γ w z σ' hx = σx σ' v = σ' v0 + σ' v σ' v0 = γ' z = σ v0 - u o σ' hy = σy σ' hx = σ' h0 + σ' hx σ' h0 = K 0 σ' v0 σ' hy = σ' h0 + σ' hy σ h0 = σ' h0 + u 0 σ v = σ' v + u Tensioni geostatiche iniziali (kpa) σ hx = σ' hx + u z σ v0 u 0 = u σ' v0 σ' h0 σ h0 σ hy = σ' hy + u

96 94 Tensioni finali allo spigolo (kpa) z σ' v σ' hx σ' hy σ v σ hx σ hy Tensioni finali al centro (kpa) z σ' v σ' hx σ' hy σ v σ hx σ hy Tensioni geostatiche iniziali (kpa) sv0 2 u0 s'v0 3 4 s'h0 sh0 Tensioni finali allo spigolo (kpa) sv s'v0 s'hx shx s'hy shy Z (m) 5 6 Z (m)

97 95 Z (m) Tensioni finali al centro 0 50 (kpa) sv0 2 3 s'v0 s'hx shx 4 s'hy shy

98 96 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Compressibilità edometrica e consolidazione dei terreni Esercizio 1 Una fondazione rettangolare flessibile di dimensioni B x L trasmette una pressione verticale uniforme di intensità p alla profondità D dal piano campagna. Il terreno di fondazione è costituito, dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia fine di spessore H 1, da uno strato di argilla di spessore H 2, quindi da sabbia e ghiaia fino a grande profondità. La falda freatica è alla profondità Z w da piano campagna. Il terreno è saturo anche sopra falda. La sabbia ha un indice dei vuoti medio e 1, e gravità specifica dei costituenti solidi G s,1. L'argilla ha gravità specifica dei costituenti solidi G s,2, indice di compressione C c e indice di ricompressione C r. Stimare il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei casi in cui: a) l'argilla sia normalmente consolidata (OCR = 1) ed abbia un contenuto in acqua medio w a. b) l'argilla sia debolmente sovraconsolidata (OCR = 1.5 ) c) l'argilla sia fortemente sovraconsolidata (OCR = 5 ) Dati: B = 10 m H 1 = 10 m L = 20 m e 1 = 0.76 D = 4 m G s,1 = 2.65 p = 200 kpa H 2 = 2.5 m Z w = 3m G s,2 = 2.7 γ w = 9.8 kn/m 3 C c = C r = w a = 43 % Soluzione: Il peso di volume saturo della sabbia del primo strato è: γ 1,sat = γ w (G s,1 + e 1 ) / (1 + e 1 ) = kn/m 3 La tensione litostatica verticale efficace alla profondità D è: σ' v0,d = γ 1,sat Z w + (γ 1,sat - γ w ) (D - Z w ) = kpa La tensione verticale netta trasmessa dalla fondazione alla profondità D è: p = p - σ' v0,d = kpa Nel caso a) di argilla N.C. l'indice dei vuoti medio dell'argilla è: e a = (w a / 100) G s,2 = ed il peso di volume saturo dell'argilla è: γ 2a,sat = γ w (G s,2 + e a ) / (1 + e a ) = kn/m 3 La profondità del punto medio dello strato di argilla dal piano campagna è: Z a = H 1 + H 2 / 2 = m La tensione litostatica verticale efficace alla profondità Z a è: σ' v0,a = γ 1,sat Z w + (γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + (γ 2a,sat - γ w ) H 2 / 2 = kpa L'incremento di tensione verticale, alla profondità del punto medio dello strato di argilla in corrispondenza del centro dell'area caricata, prodotto dalla pressione trasmessa dalla fondazione, si ottiene, nell'ipotesi di semispazio elastico omogeneo e isotropo, con l'equazione: σ' v,a = (2 p/π) [arctan(ab/zr 3 ) + (abz/r 3 ) (1/R /R 2 2 )] in cui:

99 97 a = B / 2 = 5 m R 1 = (a 2 + z 2 ) 0,5 = 8.81 m b = L / 2 = 10 m R 2 = (b 2 + z 2 ) 0,5 = m z = Z a - D = 7.25 m R 3 = (a 2 + b 2 + z 2 ) 0,5 = m σ' v,a = kpa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla N.C. è: e a = C c log[(σ' v0,a + σ' v,a ) / σ' v0,a ] = Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso a) di terreno normalmente consolidato (OCR = 1) vale: H 2,a = H 2 e a / (1 + e a ) = 7.60 cm Nel caso b) di argilla debolmente sovraconsolidata con OCR = 1.5 la pressione di consolidazione è: σ' c,b = OCR σ' v0,a = kpa l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è: e c,b = e a - C c log(σ' c,b / σ' v0,a ) = e l'indice dei vuoti medio iniziale è: e b = e c,b + C r log(σ' c,b / σ' v0,a ) = N.B. In realtà si è commesso un piccolo errore di approssimazione, poiché all'indice dei vuoti e b corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: γ 2b,sat = γ w (G s,2 + e b ) / (1 + e b ) = kn/m 3 e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è: σ ' v0,b = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2b,sat - γ w ) H 2 / 2 = kpa lievemente maggiore di σ ' v0,a = kpa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla debolmente sovraconsolidato OCR = 1.5 è e b = (e b - e c,b ) + C c log[(σ' v0,b + σ' v,a ) / σ' c,b ] = Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso b) di terreno debolmente sovraconsolidato (OCR = 1,5) vale: H 2,b = H 2 e b / (1 + e b ) = 2.35 cm Nel caso c) di argilla fortemente sovraconsolidata con OCR = 5 la pressione di consolidazione è: σ' c,c = OCR σ' v0,a = kpa l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è: e c,c = e a - C c log(σ' c,c / σ' v0,a ) = e l'indice dei vuoti medio iniziale è: e c = e c,c + C r log(σ' c,c / σ' v0,a ) = N.B. In questo caso l'errore di approssimazione è un po maggiore. Infatti all'indice dei vuoti e c corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: γ 2c,sat = γ w (G s,2 + e c ) / (1 + e c ) = kn/m 3 e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è: σ ' v0,c = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2c,sat - γ w ) H 2 / 2 = kpa poco maggiore di σ ' v0,a = kpa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla fortemente sovraconsolidato OCR = 5 è e c = C r log[(σ' v0,c + σ' v,a ) / σ' v0,c ] = Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso c) di terreno fortemente sovraconsolidato (OCR = 5) vale: H 2,c = H 2 e c / (1 + e c ) = 1.11 cm grafico edometrico:

100 98 σ' v (kpa) linea NC: linea OCR = 1, linea OCR = punti σ' v (kpa) e e e σ' v (kpa) Esercizio 2 Con riferimento alle condizioni stratigrafiche e geotecniche nel seguito descritte stimare il cedimento di compressione edometrica, il cedimento per compressione secondaria al tempo t e il cedimento totale al tempo t dello strato di argilla. q Dati: q = 50 kpa z w z w = 2.5 m H S = 7m H S H A = 5m γ w = 9.81 kn/m 3 Sabbia t = 10 anni Sabbia sopra falda γ = 16.5 kn/m 3 sotto falda γ sat = kn/m 3 H A Argilla Argilla γ sat = kn/m 3 Sabbia e 0 = 0.9 w L = 50 % σ' p = 125 kpa C s = C c / 6 t 100 = 3.5 anni C α = Soluzione: a metà dello strato di argilla: σ' v0 = γ z w + (γ sat, sabbia - γ w ) (H S - z w ) + (γ sat, arg. - γ w ) H A / 2 = kpa OCR = σ' p / σ' v0 = 1.19 si stima l'indice di compressione con la correlazione di Terzaghi e Peck (1967): C c = 0,009 (w L - 10) = 0.36

101 99 C s = C c / 6 = 0.06 cedimento di compressione edometrica: H ed = H A /(1 + e 0 ) (C s log(σ' p / σ' c0 ) + C c log [(σ' v0 + q) / σ' p ]) = cedimento di compressione secondaria: H s = H A C α log(t / t 100 ) = cedimento totale: H = H ed + H s = 2.7 cm 12.8 cm 10.1 cm Esercizio 3 Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B. L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da a per un incremento di pressione da 120 kpa a 180 kpa. L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da a per lo stesso incremento di pressione. Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Ciononostante il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione è 3 volte maggiore per il provino B che per il provino A. Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B? Dati: A B e 0 = e 1 = σ' 0 (kpa) = σ' 1 (kpa) = H A = 1.5 H B t 50 (A) = t 50 (B) Soluzione: a v = e/ σ' = 1.12E E-04 m 2 /kn m v = a v /(1+e 0 ) = 7.10E E-04 m 2 /kn M = 1/m v = kpa c v (A) = (t 50 (B)/t 50 (A)) (H A /H B ) 2 c v (B) = 6.75 c v (B) k = c v m v γ w k A /k B = (c v (A)/c v (B)) (m v (A)/m v (B)) = 31 Esercizio 4 Durante la prova edometrica un campione di argilla satura ha subito una riduzione di altezza da mm a mm a causa di un incremento della pressione verticale da 150 kpa a 300 kpa. Determinare gli indici dei vuoti corrispondenti alle due pressioni, essendo: γ s = kn/m 3 H 0 = 20 mm γ d = kn/m 3 Dati: H 1 (mm) = σ' v1 = 150 kpa γ s = kn/m 3 H 2 (mm) = σ' v2 = 300 kpa γ d = kn/m 3 H 0 (mm) = 20 Soluzione: e 0 = e 1 = e 2 = Esercizio 5 Un rilevato a sezione trapezia, di peso di volume γ(ril.) = 20 kn/m 3, ha la seguente geometria: base maggiore 2a = 24 m base minore 2a' = 16 m altezza h = 2 m ed è fondato su uno strato di argilla omogenea satura N.C. avente le seguenti caratteristiche:

102 100 H = 14 m (a profondità maggiori il terreno è pressoché incompressibile) γ = 19 kn/m 3 e 0 = 0, z(m) C c = (valore medio di calcolo) c v = 3.40E-07 m 2 /s (valore medio di calcolo) la falda freatica è alla quota del p.c. Calcolare: 1) il cedimento edometrico in corrispondenza della mezzeria (suddividere in 10 sottostrati) 2) i tempi necessari affinché si realizzino il 20%, il 50% e il 70% del cedimento edometrico calcolato. Soluzione pressione trasmessa dal rilevato in superficie: p = γ(ril.) h = 40 kpa spessore del sottostrato: z = H / 10 = 1.4 m pressione litostatica verticale efficace: σ' v = (γ - γ w ) z incremento di pressione verticale in asse: σ' v = 2p / [(a - a') π] [a arctan(a/z) - a' arctan(a'/z)] s-strato i z i (m) e 0, i σ' v, i (kpa) σ' v, i (kpa) H i (cm) H = cm altezza di drenaggio: H dr = H/2 = 7m tempo di consolidazione: t = T v H 2 dr / c v U m (%) T v t (sec) t (gg) t (anni) E E E Esercizio 6 Sono eseguite prove edometriche su due provini di argilla, A e B. L'indice dei vuoti dell'argilla A si riduce da e 0 = a e 1 = per un incremento di pressione da σ' 0 = 120 a σ' 1 = 180 kpa. L'indice dei vuoti dell'argilla B si riduce da e 0 = a e 1 = per lo stesso incremento di pressione. Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Ciononostante il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione è 3 volte maggiore per il provino B che per il provino A. Quale è il rapporto fra i coefficienti di permeabilità dei provini A e B? Soluzione: k = c v m v γ w k A / k B = (c v m v ) A / (c v m v ) B c v = T v H 2 / t a v = e / σ' m v = a v / (1 + e 0 ) ed essendo: T v (A) = T v (B) e σ' (A) = σ' (B) risulta:

103 101 k A / k B = (c v m v ) A / (c v m v ) B = (H A /H B ) 2 (t B /t A ) ( e A / e B ) (1+e 0 ) B /(1+e 0 ) A H A /H B = 1.5 t B /t A = 3 e A = e B = (1+e 0 ) A = (1+e 0 ) B = k A / k B = 30.9 Esercizio 7 In un sito avente le condizioni stratigrafiche e geotecniche indicate in figura è posto un riporto di grande estensione e di spessore costante. Calcolare e rappresentare in grafico il decorso dei cedimenti edometrici nel tempo del piano campagna originario. dati: H profondità della falda da p.c. originario R Riporto z w = 1.2 m γ w = 9.81 kn/m 3 H 1 H 2 H 3 H 4 z Sabbia sciolta Argilla limosa Sabbia sciolta Limo argilloso Sabbia e ghiaia addensate Strato di riporto H R = 3.2 m γ R = 18 kn/m 3 Strato 1: sabbia sciolta H 1 = 4.3 m γ 1 = 17.8 kn/m 3 sopra falda γ 1 = 18.1 kn/m 3 sotto falda D R = 40 % C c /(1+e 0 ) = Strato 2: argilla limosa N.C. H 2 = 4.5 m γ 2 = 19.5 kn/m 3 w = 36.5 % w L = 40.4 % Strato 4: limo argilloso NC w P = 25.2 % H 4 = 6.2 m C c = 0.33 γ 4 = 19.2 kn/m 3 e 0 = 0.96 w = 25 % c v = 3.52E-07 m 2 /s w L = 31.2 % Strato 3: sabbia sciolta w P = 17.5 % H 3 = 3.8 m C c = γ 3 = 18.5 kn/m 3 e 0 = 0.74 D R = 60 % c v = 2.50E-06 m 2 /s C c /(1+e 0 ) = Soluzione Calcolo dei cedimenti di consolidazione H = H 0 C c /(1+e 0 ) log[(σ' v0 + σ' v )/σ' v0 ] La pressione verticale efficace iniziale σ' v0 è calcolata a metà di ciascuno strato: Strato 1 σ' v0,1 = γ 1 z w + γ' 1 (H 1 /2 - z w ) = kpa 2 σ' v0,2 = σ' v0,1 + γ' 1 H 1 /2 + γ' 2 H 2 /2 = kpa 3 σ' v0,3 = σ' v0,2 + γ' 2 H 2 /2 + γ' 3 H 3 /2 = kpa

104 4 σ' v0,4 = σ' v0,3 + γ' 3 H 3 /2 + γ' 4 H 4 /2 = kpa L'incremento di pressione verticale efficace è eguale per tutti gli strati e vale: σ' v = γ R H R = 57.6 kpa I cedimenti per consolidazione edometrica valgono dunque: Strato H 0 (cm) C c /(1+e 0 ) σ' v σ' v0 H (cm) Totale = cm La consolidazione edometrica degli strati 1 e 3, incoerenti e molto permeabili, è immediata. Il decorso dei cedimenti nel tempo per gli strati 2 e 4 è calcolato nel modo seguente: per un assegnato valore del tempo t si calcola il fattore tempo T v = t c v / H 2 essendo H l'altezza di drenaggio, pari a metà dello spessore dello strato, quindi il grado di consolidazione medio U m = f(t v ) infine il cedimento occorso al tempo t, H(t) = U m H. Utilizzando come unità di misura del tempo il giorno: 1 giorno = 24 x 3600 = sec strato 2: c v = 3.52E-07 m 2 /s = 3.04E-02 m 2 /giorno c v /H 2 = 6.01E-03 g -1 strato 4: c v = 2.50E-06 m 2 /s = 2.16E-01 m 2 /giorno c v /H 2 = 2.25E-02 g -1 Per il calcolo del grado di consolidazione medio si utilizza l'equazione approssimata di Sivaram e Swamee (1977): U m = (4T v /π) 0.5 / [1+(4T v /π) 2.8 ] Strato 1 Strato 3 Strato 2 Strato 4 t (giorni) H 1 (cm) H 3 (cm) T v U m (%) H 2 (cm) T v U m (%) H 2 (cm) e quindi complessivamente: t (giorni) H (cm) H (cm) t (giorni)

105 H (cm) t (giorni) Esercizio 8 La platea di un fabbricato industriale di grande estensione trasmette una pressione uniforme sul terreno di fondazione, costituito da uno strato di argilla satura di spessore H, sovrastante uno strato rigido di sabbia e ghiaia di grande spessore. Lo strato di argilla, prima della costruzione del fabbricato, aveva mediamente peso di volume γ 1 e contenuto naturale in acqua w 1. Al termine del processo di consolidazione i valori medi del peso di volume e del contenuto naturale in acqua dello strato di argilla risultarono rispettivamente γ 2 e w 2. Stimare il cedimento finale della fondazione nell'ipotesi che le deformazioni trasversali siano trascurabili. Tracciare la curva dei cedimenti nel tempo nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati. Dati: γ 1 = 19.5 kn/m 3 γ 2 = 19.9 kn/m 3 w 1 = 29.2 % w 2 = 26.6 % H = 2.5 m γ w = 9.81 kn/m 3 c v = 5.0E-07 m 2 /sec Soluzione: posto: P s = 1 kn e1 = P w1 = w 1 P s / 100 = kn P w2 = w 2 P s / 100 = kn P 1 = P s + P w1 = kn P 2 = P s + P w2 = kn V 1 = P 1 / γ 1 = m 3 V 2 = P 2 / γ 2 = m 3 V w1 = P w1 / γ w = m 3 V w2 = P w2 / γ w = m 3 V = V 1 - V 2 = m 3 ε v = ( V/V 1 ) 100 = % ε a = ε v = % ipotesi edometrica H = (ε a /100) H 1 = m = 10.0 cm cedimento finale H (t) / H = U T v = f(u) t = T v (H/2) 2 / c v U (%) T v H (t) [cm] t (gg)

106 104 t (gg) H (cm) Esercizio 9 Deve essere realizzato un rilevato autostradale di grande larghezza su un deposito di argilla molle. Si ipotizzi che lo strato di argilla sia drenato da entrambi i lati e che il carico sia applicato istantaneamente. Si trascuri la consolidazione secondaria. In esercizio, l'estradosso del rilevato (pavimentazione esclusa), dovrà essere alla quota H dal p.c. iniziale. La pavimentazione stradale può tollerare un assegnato cedimento massimo. Stimare: 1. dopo quanto tempo dall'applicazione del carico può essere messa in opera la pavimentazione, 2. Il cedimento atteso dopo un assegnato tempo t dall'applicazione del carico. Per la messa in opera del rilevato occorre un tempo t R. Si ipotizzi che il carico sia applicato per intero e istantaneamente al tempo t R / 2. Stimare: 3. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione del rilevato può essere messa in opera la pavimentazione, 4. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione si avrà il cedimento il cedimento calcolato al punto 2. Per mettere in opera la pavimentazione dopo un tempo t P dall'inizio della costruzione, minore del tempo calcolato al punto 3, si applica un sovraccarico addizionale elevando temporaneamente il rilevato. 5. Stimare l'incremento temporaneo di altezza del rilevato. Dati: quota dell'estradosso del rilevato dal p.c. iniziale: H = 5 m peso di volume del terreno del rilevato: γ R = 21.6 kn/m 3 spessore dello strato di argilla molle: H A = 8m coefficiente di compressibilità medio dell'argilla: m v = 0.5 m 2 /MN coefficiente di consolidazione medio dell'argilla: c v = 10 m 2 /anno cedimento massimo ammissibile per la posa in opera della pavimentazione: S = 50 mm tempo al quale è richiesta la stima del cedimento: t = 5 mesi tempo di costruzione del rilevato: t R = 3 mesi tempo dall'inizio costruzione per la messa in opera la pavimentazione: t P = 15 mesi Soluzione: Sussistono le condizioni di carico edometrico.

107 Affinché al termine della consolidazione edometrica la quota di estradosso del rilevato dal p.c. iniziale sia H occorre mettere in opera un rilevato di altezza H R = H + S ed, avendo indicato con S ed il cedimento finale (edometrico). L'incremento di pressione verticale vale: σ = γ R H R Il cedimento finale (edometrico) vale: S ed = m v H A σ = m v H A γ R (H + S ed ) = = (m v H A γ R H) / (1 - m v H A γ R ) = m Altezza di rilevato da mettere in opera: H R = H + S ed = m Incremento di pressione verticale: σ = γ R H R = kpa Il grado di consolidazione medio al quale può essere messa in opera la pavimentazione vale: U m = 100 (S ed - S) / S ed = 89.4 % cui corrisponde un fattore di tempo: T v = 1,781-0,933 log (100-U m ) = e quindi il tempo dall'applicazione del carico al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale: 1) t p = T v (H A / 2) 2 / c v = anni = mesi Il fattore di tempo per: t = 5 mesi vale: T v = c v t / (H A / 2) 2 = cui corrisponde un grado di consolidazione medio: U m = 100 (4T v /π) 0,5 = 57.6 % 2) pertanto il cedimento al tempo t vale: S(t) = U m S ed / 100 = m il tempo dall'inizio della costruzione al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale: 3) t p1 = t p + t R / 2 = 17.3 mesi il cedimento calcolato al punto 2 si avrà dopo un tempo dall'inizio della costruzione: 4) t 1 = t + t R / 2 = 6.5 mesi Il tempo dall'applicazione virtuale istantanea del carico al quale si vuole mettere in opera la pavimentazione è: t PV = t P - t R / 2 = 13.5 mesi Il fattore di tempo per t = t PV vale: T v = c v t PV / (H A / 2) 2 = cui corrisponde un grado di consolidazione medio: U m = 85.7 % al tempo t = t PV il cedimento deve essere quello ammissibile per la messa in opera della pavimentazione, pertanto il cedimento edometrico finale in presenza del sovraccarico risulta S ed1 = (S ed -S) / (U /100), da cui: S ed1 = m che verrebbe prodotto da una pressione: σ 1 = S ed1 / (m v H A ) = kpa ovvero da un'altezza di rilevato: H R1 = σ 1 / γ R = 5.71 m dunque l'incremento temporaneo di altezza del rilevato è: 5) H R = H R1 - H R = m Esercizio 10 Sulla superficie del deposito di terreno indicato in figura è applicato istantaneamente un carico uniforme ed infinitamente esteso di intensità q. Nel punto A vi è una cella piezometrica. 1. Prima dell'applicazione del carico q il piezometro in A segnala il valore di pressione idrostatica u 0,A. Quanto vale u 0,A? 2. Quale pressione neutra sarà segnalata dal piezometro immediatamente dopo l'applicazione del carico? 3. Dopo un tempo t 1 dall'applicazione del carico il piezometro segnala una pressione neutra u A1 Quanto vale il grado di consolidazione in A al tempo t 1 dall'applicazione del carico, U A (t 1 )? 4. Quale pressione neutra segnalerà il piezometro quando il grado di consolidazione nel punto A sarà U A (t 2 )? 5. Quale sarà, approssimativamente, il cedimento finale per consolidazione edometrica dello strato di argilla? 6. Quanto tempo sarà necessario per avere un grado di consolidazione medio U m (%) =

108 Quale incremento di carico q si dovrebbe applicare in superficie affinché il cedimento calcolato al punto 5 si verifichi nel tempo t? H 1 H 2 q sabbia argilla N.C. A sabbia z w z A Dati: H 1 = 6.5 m γ w = 9.81 kn/m 3 H 2 = 4 m q = 120 kpa z w = 1.5 m u A1 = 135 kpa z A = 8.7 m U A (t 2 ) = 60 % t = 90 gg. sabbia: γ 1 = 17 kn/m 3 (sopra falda) γ 1sat = 19.5 kn/m 3 (sotto falda) argilla N.C.: γ 2 = 20.2 kn/m 3 w = 35.6 % w L = 40 % I P = 15 % G s = γ s / γ w = 2.7 c v = 1.40E-07 m 2 / s Soluzione: 1. u 0,A = γ w (z A - z w ) = kpa 2. u A0 = u 0,A + u A0 = u 0,A + q = kpa 3. u A1 = u A1 - u 0,A = kpa U A (t 1 ) = 1 - ( u A1 / u A0 ) = = % 4. u A2 = [1 - U A (t 2 )] u A0 = 48 kpa u A2 = u 0,A + u A2 = kpa 5. pressione litostatica verticale efficace a metà dello strato di argilla: σ' v0 = γ 1 z w + (γ 1sat - γ w ) (H 1 - z w ) + (γ 2 - γ w ) H 2 / 2 = kpa indice dei vuoti iniziale: e 0 = w G s = stima dell'indice di compressione con la correlazione di Terzaghi e Peck: C c = 0,009 (w L - 10) = 0.27 H 2 = H 2 /(1 + e 0 ) C c log[(σ' v0 + q) / σ' v0 ] = cm 6. U m = 80 % H dr = H 2 / 2 = 2m T v = t 80 = T v H 2 dr / c v = 1.62E+07 s = 188 gg 7. T v (t) = t c v / H 2 dr = U m (t) = % il cedimento finale sotto il carico incrementato (q* = q + q) sarà dunque: H 2 * = H 2 / U m (t) = cm q* = σ' v0 10^[( H 2 * (1 + e 0 ) / (C c H 2 )] - σ' v0 = 290 kpa q = q* - q = 170 kpa Esercizio 11 Durante una prova edometrica un provino di argilla satura, di altezza iniziale H 0, ha subito una riduzione di altezza da H 1 a H 2 a causa di un incremento di pressione verticale da σ' v1 a σ' v2. Determinare l'indice dei vuoti corrispondente alle tensioni σ' v1 e σ' v2.

109 107 Dati: H 0 = 20 mm H 1 = mm σ' v1 = 150 kpa H 2 = mm σ' v2 = 300 kpa γ s = kn/m 3 γ d = kn/m 3 Soluzione: e 0 = γ s /γ d - 1 = H/H 0 = - e/(1+e 0 ) da cui: e 1 = e 2 = Esercizio 12 Nei grafici sono rappresentate le curve di consolidazione edometrica in funzione del logaritmo del tempo e della radice quadrata del tempo di uno stesso provino di argilla di spessore H = 2.5 cm per un assegnato gradino di carico Determinare: a) il coefficiente di consolidazione c v con i metodi di Casagrande e di Taylor b) il tempo necessario per il 60% della consolidazione se lo spessore fosse Hs (m) = 1.5 utilizzando un valore medio di cv

110 108 Dati: H = 2.5 cm t = 7.6 min 0.5 t 90 = min. = sec. t 50 = 20 min. = 1200 sec. Soluzione: a) c v90 = (H/2) 2 /t 90 = 3.82E-04 cm 2 /sec Taylor c v50 = (H/2) 2 /t 50 = 2.57E-04 cm 2 /sec Casagrande b) c v (med.) = 3.19E-04 cm 2 /sec U = 60 % T v (60%)= Hs = 1.5 m = 150 cm t 60 = 5.04E+06 sec = 58 giorni Esercizio 13 t (min) lett. (mm) Durante una prova di compressione edometrica su un provino di argilla satura (G s = γ s /γ w = 2.73 ), per l'incremento di pressione verticale applicata da 214 a kpa, sono state eseguite le letture (L) al comparatore centesimale indicate in tabella. Dopo il tempo t = 1440 min lo spessore del provino era H 1 = mm e il contenuto in acqua w = 35.9 % Determinare con le costruzioni grafiche di Casagrande e di Taylor il coefficiente di consolidazione verticale, ed il coefficiente di permeabilità Soluzione: La variazione totale di altezza per l'incremento di carico è: H = L 0 - L 1 = 2.39 mm Lo spessore iniziale del provino è: H 0 = H 1 + H = mm Lo spessore medio del provino è: H m = H 1 + H / 2 = mm La lunghezza del percorso di drenaggio è: d = H m / 2 = mm

111 109 t (min) H (mm) t 0, H (mm) t (min) assumo: t 1 = 1 min t 1 /4 = 0.25 min la variazione di altezza tra t 1 e t 1 /4 è a = 0.14 mm il grado di consolidazione U = 0% corrisponde all'altezza H (U=0%) = H(t 1 ) + 2a = 15.8 mm Osservando il grafico: La retta tangente alla parte finale della curva è la retta congiungente gli ultimi due punti. Essa ha equazione: y1 = log(t) La retta tangente al punto di inflessione corrisponde alla retta congingente i punti a 25 min e a 36 min. Essa ha equazione: y2 = log(t) Il punto di intersezione fra le rette y1 e y2 ha coordinate: y (mm) = log(t) = t (min) = il grado di consolidazione U=100% corrisponde all'altezza H (U=100%) = y = mm il grado di consolidazione U=50% corrisponde all'altezza H (U=50%) = mm il tempo t 50 vale: min Il coefficiente di consolidazione risulta: c v = d 2 /t 50 = mm 2 /min a = c v = d 2 /t 50 = 1.55E-08 m 2 /s b = logt 50 = Linee di costruzione per il grafico di Casagrande x y x y x y x y x y x y

112 110 x y Linee di costruzione per il grafico di Taylor: y1 = t a = y2 = t b = x y1 x y2 x y x = x y x y y = x y i coefficienti della regressione nella caselle K138 e M c v = d 2 /t 90 = 1.42E-08 m 2 /s dalla costruzione di Casagrande si ottiene: per U = 0 % H iniz = mm per U = 100 % H 100 = mm per U = 50 % H 50 = mm t 50 = min Il coefficiente di consolidazione risulta: c v = d 2 /t 50 = mm 2 /min Il coefficiente di permeabilità si stima con l'equazione: k = c v m v γ w m v = ( H/H 0 )/ σ' v = 695 mm 2 /kn γ w = kn/m 3 k = 1.06E-10 m/s dalla costruzione di Taylor si ottiene: per U = 0 % H iniz = mm per U = 90 % H 90 = mm t = t 90 = min per U = 100 % H 100 = mm da cui: c v = d 2 /t 90 = mm 2 /min k = 9.67E-11 m/s H (mm) t 0.5

113 t 111 Esercizio 14 Con una prova di compressione edometrica su un provino di argilla satura sono ottenuti i seguenti risultati: σ' v (kpa) e (-) Uno strato di quest'argilla, di spessore H, giace sotto uno strato di sabbia di spessore H S. La falda freatica è al piano campagna. Il peso di volume di entrambi i terreni vale γ. Al piano campagna, ovvero sulla sabbia, e per una grande estensione, è posto uno strato di terreno di riporto di spessore H R e peso di volume γ R. 1) Determinare il cedimento finale per consolidazione dell'argilla (dividere in 4 sottostrati di eguale spessore). 2) Se il terreno di riporto fosse rimosso dopo la fine della consolidazione, quale sollevamento potrebbe verificarsi per rigonfiamento dell'argilla? 3) Se il terreno di riporto fosse messo in opera molto rapidamente, quale sarebbe la sovrapressione neutra al centro dello strato di argilla dopo un periodo di tempo t dall'applicazione del carico, nell'ipotesi di drenaggio sia superiore che inferiore, essendo c v il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla. Dati: H = 8 m H R = 4 m H S = 4 m γ R = 21 kn/m 3 γ = 19 kn/m 3 t = 1.2 anni c v = 2.4 m 2 /anno γ w = kn/m 3 Soluzione C c = C s = γ R H R = 84 kpa e rette di compressione e di scarico x y σ' v (kpa) 1000 Calcolo del cedimento edometrico: i z i (m) H i (m) σ' 0,i (kpa) σ' fin,i (kpa) e 0 e fin H i (cm) s = Σ H i = cm

114 112 Calcolo del sollevamento per scarico: 2 i z i (m) H i (m) σ' 0i (kpa) σ' fin,i (kpa) e 0 e fin H i (cm) s = Σ H i = cm 3 d = H/2 = 4 m u p = γ w (H s + d) = 78.5 kpa T v = c v t / d 2 = 0.18 U(T v ) = 2 (T v /π) 0.5 = u 0 = γ R H R = 84 kpa u e (t) = (1 - U) u 0 = 43.8 kpa Esercizio 15 Con i risultati di una prova di compressione edometrica su un provino di argilla sottoriportati: 1. Disegnare la curva e - σ' v nel piano semi logaritmico e determinare l'indice di compressione, C c, 2. stimare l'indice dei vuoti per la pressione di: 1000 kpa. Dati: σ' v (kpa) H (mm) diametro del provino: D = 63 mm altezza del provino a inizio prova: H 0 = 25.4 mm peso del provino secco: W d = N peso specifico dei costituenti solidi: γ s = 27.2 kn/m Soluzione: Immaginando di separare la parte solida dai vuoti, all'inizio della prova, (e tenuto conto delle unità di misura), si calcola: altezza della parte solida, H s = 4 W d /(π D 2 γ s ) = mm costante altezza della parte occupata da vuoti: H v0 = H 0 - H s = mm indice dei vuoti iniziale, e 0 = V v0 /V s = H v0 /H s = σ' v (kpa) H (mm) H v (mm) e = H v /H s con riferimento al tratto finale della curva e - σ' v (log) σ' 1 = 400 e 1 = σ' 2 = 800 e 2 = σ' 3 = C c = (e 1 - e 2 )/log(σ' 2 /σ' 1 ) = e 3 = e 2 - C c log(σ' 3 /σ' 2 ) = 0.575

115 e σ' v (kpa) Esercizio 16 Un deposito di terreno a stratificazione orizzontale è costituito, dall'alto verso il basso, da: - uno strato di sabbia di spessore H 1 = 8m - uno strato di argilla N.C. di spessore H 2 = 6m - un substrato roccioso impermeabile. Il livello della falda freatica è alla profondità: z w = 2 m da p.c. Il peso di volume della sabbia sopra falda è: γ 1 = 17 kn/m 3 e sotto falda: γ 1sat = 19 kn/m 3 Il peso di volume dell'argilla è: γ 2sat = 20 kn/m 3 Il peso specifico dell'acqua è: γ w = kn/m 3 La relazione fra indice dei vuoti e pressione verticale efficace per l'argilla è la seguente: e = log (σ' v / 100) con σ' v espresso in kpa Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è: c v = 1.26 m 2 /anno Uno strato di terreno di riporto di spessore: H R = 3m e avente peso di volume: γ R = 20 kn/m 3 è posto in opera su un'area molto estesa. a) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo un tempo t = 2.5 anni dall'applicazionedel carico. b) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo 2,5 anni dall'applicazione del carico, nell'ipotesi che lo strato di argilla sia interrotto da un sottile strato drenante di sabbia alla distanza a = 1.5 m dal substrato roccioso di base. Soluzione Poiché il terreno di riporto copre un'area molto estesa il problema è monodimensionale. a) Considerando un unico strato per l'argilla il cedimento edometrico finale risulta: H = H 0 /(1 + e 0 ) C c log (σ' vfin / σ' v0 ) in cui: H 0 = H 2 = 600 cm C c = 0.32 σ' v0 e σ' vfin sono le tensioni efficaci verticali iniziale e finale a metà dello strato di argilla. σ' v0 = γ 1 z w + (γ 1sat - γ w ) (H 1 - z w ) + (γ 2sat - γ w ) H 2 / 2 = kpa σ' v = γ R H R = 60 kpa σ' vfin = σ' v0 + σ' v = kpa e 0 = log (σ' v0 / 100) = s fin = H = cm

116 114 Se invece, per maggiore precisione, si suddivide lo strato di argilla in 4 sottostrati si calcola: sottostrato H 0 (cm) z m (m) σ' v0 (kpa) σ' vfin (kpa) e 0 H (cm) s fin = Σ H = cm Lo strato di argilla è drenato da un solo lato, dunque il massimo percorso di filtrazione è d = H 2. Il fattore di tempo dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale: T v = c v t / d 2 = cui corrisponde un grado di consolidazione medio pari a circa: U m = (stimato con la formula di Sivaram & Swamee) Pertanto il cedimento dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale: s (t) = U m s fin = 6.17 cm b) Il cedimento finale, trascurando lo spessore del sottile strato drenante, sarà lo stesso, ovvero: s fin = cm Lo strato di argilla è suddiviso in due sottostrati: Il sottostrato superiore, 2a, di spessore H 2 - a = 4.5 m drenato da entrambi i lati e quindi con massimo percorso di filtrazione pari a d sup = (H 2 - a)/2 = 2.25 m e il sottostrato inferiore, 2b, di spessore a = 1.5 m drenato da un solo lato e quindi con massimo percorso di filtrazione pari a d inf = a = 1.5 m Il fattore di tempo dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale: per il sottostrato 2a: T v = c v t / d 2 sup = cui corrisponde: U msup = (dalla formula di Sivaram & Swamee) per il sottostrato 2b: T v = c v t / d 2 inf = cui corrisponde: U minf = (dalla formula di Sivaram & Swamee) Il sottostrato superiore avrà un cedimento finale s fin,2a = cm Il sottostrato inferiore avrà un cedimento finale s fin,2b = 4.00 cm Dunque dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico essi saranno rispettivamente: s 2a (t) = U m,sup s fin,2a = cm s 2b (t) = U m,inf s fin,2b = 3.87 cm complessivamente s (t) = cm corrispondente al 85.6 % del cedimento finale. Esercizio 17 E' costruito un rilevato di grande lunghezza avente le dimensioni indicate in figura. Il terreno di fondazione è costituito da uno strato di argilla limosa con tracce di torba normalconsolidata di spessore H, sovrastante un deposito di sabbia e ghiaia. La falda freatica è al livello del piano campagna. Su un campione indisturbato del terreno di fondazione sono state eseguite prove di laboratorio i cui risultati sono riportati nel seguito. a) disegnare il grafico e - σ' v in scala semilogaritmica e determinare l'indice di compressione C C, b) disegnare la curva di consolidazione edometrica e determinare il coefficiente di consolidazione verticale c v con il metodo di Casagrande, c) determinare e disegnare i profili della pressione litostatica e dell'incremento di pressione verticale in asse al rilevato, d) calcolare il cedimento edometrico atteso in asse al rilevato e il tempo necessario affinché si realizzi la metà del cedimento edometrico atteso. Dati: 2a (m) = 18 h (m) = 4 γ ril (kn/m 3 ) 21 Campione indisturbato C1 2a' (m) = 6 H (m) = 6 prof. di estrazione (m) 3

117 115 b (m) = 6 γ sat (kn/m 3 ) 17.1 b 2a 2a' b γ s (kn/m 3 ) = 26.6 w (%) = 46.8 w L (%) = 69 w P (%) = 30 q u (kpa) = 61 f.f. argilla limosa e torbosa N.C. h H prova edometrica dimensioni del provino: alt. iniziale h 0 (mm) = 25 diametro d (mm) = 70 e 0 = h/h 0 = e/(1+e 0 ) sabbia e ghiaia C c = Soluzione: curva pressione - cedimenti σ' v (kpa) h (mm) e e σ' v (kpa) curva tempo cedimenti per σ' v da 100 a 200 kpa t t (sec) h (mm) h (mm) 1 = 15 s = 30 s = 1' = 2'' = 4" = 8" = 16" = 32" = 1 h = 2 h = 4 h h (mm) E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05

118 12 = 8 h = 16 h tempo (sec.) 14 = 24 h costruzione di Casagrande t 1 (sec) = 60 h (t 1 ) = a (mm) = 0.02 t 1 /4 (sec) = 15 h (t 1 /4) = h (U=0%) = punto di intersezione fra la retta A fra i punti 13 e 14 e la retta B fra i punti 8 e 9: h = a log(t) + b a b retta A h (A-B) = retta B t (A-B) = h (U=50%) x y t 50 (sec) = Tv (50%) = c v (cm 2 /s) = 1.23E E+01 1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E Tensioni verticali efficaci e calcolo del cedimento edometrico p' (kpa) = 84 a (m) = 9 a' (m) = 3 -z (m) σ' v (kpa) σ' v (kpa) e 0i H i (cm) strato iesimo i = s = Σ H i = 81.1 cm tempo di consolidazione 50% -z (m) t 50 = T v (H/2) 2 / c v Tv = H (m) = 6 c v (cm 2 /s) = 1.23E σ' v e σ' v (kpa) t 50 (sec) = 1.44E+08 t 50 (anni)= s 50 (cm) = 40.5 Esercizio 18 Sia t 50 il tempo necessario per ottenere il 50% della consolidazione edometrica di un provino di terreno di diametro D 0 e altezza H 0, rappresentativo di uno strato di argilla di spessore S. Determinare il tempo necessario per ottenere il 50% e il 90% della consolidazione edometrica dello strato di argilla in sito nelle ipotesi: a) di drenaggio da entrambi i lati e b) di drenaggio da un solo lato.

119 117 Dati: t 50 = 10 min. S = 12 m D 0 = 80 mm H 0 = 20 mm Soluzione T v (50) = T v (90) = t 90 = t 50 T v (90) / T v (50) = 4.30 t 50 L'altezza di drenaggio in prova edometrica è: (H dr ) lab = H 0 /2 = 10 mm a) nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati, l'altezza di drenaggio in sito è: (H dr ) sito = S/2 = 6m t 50,sito = t 50 (H dr ) 2 sito / (H dr ) 2 lab = 3.60E+06 min = anni t 90,sito = 4,30 t 50,sito = 1.55E+07 min = anni b) nell'ipotesi di drenaggio da un solo lato, l'altezza di drenaggio in sito è: (H dr ) sito = S = 12 m t 50,sito = t 50 (H dr ) 2 sito / (H dr ) 2 lab = 1.44E+07 min = anni t 90,sito = 4,30 t 50,sito = 6.20E+07 min = anni Esercizio 20 Si considerino le condizioni stratigrafiche e geotecniche di figura. Si assuma γ w = 10 kn/m 3. L'argilla è satura e normalmente consolidata. a) Calcolare le tensioni verticali efficaci nei punti A, B e C prima dell'inizio dei lavori. b) Rappresentare su un grafico edometrico (σ' (log) - e) il punto (O) che indica lo stato del terreno in B e le linee di compressione vergine e di scarico-ricarico supposte coincidenti. c) Allo scopo di costruire un edificio di N piani si realizza uno scavo di profondità d. La falda è abbattuta simultaneamente nei due strati di sabbia a 1 m sotto il fondo dello scavo mediante un pozzo che attraversa i due strati. c1. calcolare il rigonfiamento dell'argilla nell'ipotesi che vi sia il tempo necessario alla completa deconsolidazione, (eseguire il calcolo con riferimento al punto B senza dividere in sottostrati); c2. rappresentare nel grafico edometrico il punto (1) che indica lo stato del terreno in B dopo l'esecuzione dello scavo; c3. calcolare il tempo necessario per avere la completa deconsolidazione, nell'ipotesi che ciò corrisponda a Tv = 1. d) Ogni piano da costruire corrisponda ad un incremento p di pressione verticale sul terreno. L'edificio sia interamente costruito senza fare variare il livello di falda. Determinare il cedimento a fine consolidazione dell'edificio nell'ipotesi che non vari il livello di falda. Rappresentare sul grafico edometrico il punto (2) che indica lo stato del terreno in B a cedimento avvenuto. e) A cedimento avvenuto la falda è fatta risalire al suo livello naturale. Calcolare il rigonfiamento dell'argilla e rappresentare sul grafico edometrico il punto (3) che indica lo stato del terreno in B. f) Invece di costruire interamente l'edificio senza modificare il livello di falda, essa viene fatta risalire di 1 m dopo la costruzione del primo piano. Calcolare il cedimento finale dell'edificio a consolidazione avvenuta e rappresentare sul grafico edometrico il punto (4) che indica lo stato del terreno in B. g) Confrontare i due metodi di costruzione, dire quale dei due è preferibile e perché, e se gli stati (3) e (4) corrispondono a terreno normalmente consolidato o sovraconsolidato.

120 118 a sabbia d piano campagna piano di scavo A a (m) = 7 b (m) = 4 c (m) = 6 d (m) = 5 N = 12 p (kpa) = 10 sabbia: γ (kn/m 3 ) = 20 b argilla B C argilla: γ (kn/m 3 ) = 18 γ s (kn/m 3 ) = 27 C c = 0.2 C s = 0.04 c sabbia c v (m 2 /s) = 1.00E-06 Dati: a (m) = 7 sabbia: b (m) = 4 γ (kn/m 3 ) = 20 c (m) = 6 d (m) = 5 argilla: N = 12 γ (kn/m 3 ) = 18 p (kpa) = 10 γ s (kn/m 3 ) = 27 C c = 0.2 γ w (kn/m 3 ) = 10 C s = 0.04 c v (m 2 /s) = 1.00E-06 soluzione: a) tabella per grafico σ' v (A) = 70 kpa σ' v e σ' v (B) = 86 kpa scarico - ricarico σ' v (C) = 102 kpa B B2' b) B0 σ' v (BO) = 86 kpa B4 e 0 = B B B compressione vergine

121 119 c) σ v (B1) = u (B1) = σ' v (B1) = 76 kpa 30 kpa 46 kpa h o (0-1) = cm e (0-1) = e(b1) = t = 4.00E+06 sec. t = 46.3 gg. d) σ v (B2) = 196 kpa u (B2) = 30 kpa σ' v (B2) = 166 kpa h o (1-2) = cm e (1-2) = e(b2) = e σ'v (kpa) e) σ v (B3) = u (B3) = σ' v (B3) = σ' v (2-3) = 196 kpa 90 kpa 106 kpa -60 kpa h o (2-3) = cm e (2-3) = e(b3) = f) dopo la costruzione del primo piano prima di fare risalire la falda: σ v (B2') = 86 kpa u (B2') = 30 kpa σ' v (B2') = 56 kpa h o (1-2') = 0.64 cm e (1-2') = e(b2') = a edificio costruito e consolidazione avvenuta: σ v (B4) = 196 kpa u (B4) = 90 kpa σ' v (B4) = 106 kpa h o (2'-4) = 4.82 cm e (2'-4) = e(b4) = g) con il primo metodo (percorso 1-2-3) il cedimento dell'edificio risulta di cm e il terreno di fondazione nello stato finale è sovraconsolidato con il secondo metodo (percorso 1-2'-4) il cedimento dell'edificio risulta di cm 5.46

122 120 e il terreno di fondazione nello stato finale è normalmente consolidato E' preferibile il secondo metodo. Esercizio 21 Sul terreno naturale è messo in opera uno strato di riporto di terreno costipato di grande estensione. A consolidazione terminata, sul terreno di riporto è costruito un serbatoio circolare per acqua. In figura è rappresentato lo schema stratigrafico e geotecnico di progetto. Determinare il cedimento di consolidazione dovuto al peso dello strato di riporto e al peso del serbatoio pieno in corrispondenza del centro dell'area circolare caricata. Dati: Strato di riporto costipato: Serbatoio: (pareti e fondo di spessore trascurabile) H R = 3m H = 10m C r / (1+ e 0 ) = D = 20 m (diametro) γ R = 19.2 kn/m 3 W = 2900 kn (peso serbatoio vuoto) H w = 9.5 m Sabbia limosa N.C.: γ w = 9.81 kn/m 3 H 1 = 3.5 m C c / (1+ e 0 ) = sopra falda: H 1A = 1.5 m γ 1A = 18.5 kn/m 3 sotto falda: H 1B = 2m γ 1B = 19.5 kn/m 3 Argilla N.C. H 2 = 10 m C c / (1+ e 0 ) = 0.19 γ 2 = 16.5 kn/m 3 D Hw H Riporto costipato H R Sabbia limosa N.C. H 1A H 1B H 1 Argilla N.C. H 2 Sabbia densa e ghiaia

123 121 Soluzione: 1) Cedimento dovuto al peso dello strato di riporto. Carico infinitamente esteso e uniformemente distribuito di intensità: q R = γ R H R = 57.6 kpa si divide: lo strato di sabbia limosa sopra falda in due sottostrati di eguale spessore H 1A / 2, lo strato di sabbia limosa sotto falda in due sottostrati di eguale spessore H 1B / 2, lo strato di argilla in cinque sottostrati di eguale spessore H 2 / 5. strato H i (m) z mi (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ v = q R C c /(1+ e 0 ) H i (cm) 1A A B B cedimento dovuto al peso dello strato di riporto s (cm) = ) Cedimento dovuto al peso del serbatoio pieno Raggio: R = 10 m Area di impronta: A = m 2 Peso del serbatoio: W = 2900 kn Peso dell'acqua: W w = kn Pressione media: q = kpa Per il calcolo dei cedimenti di consolidazione divido lo strato di riporto in due sottostrati di eguale spessore, e gli strati 1 e 2 come per il calcolo del cedimento dovuto al peso del riporto. strato H i (m) z mi (m) σ v0 (kpa) u 0 (kpa) σ' v0 (kpa) σ v (kpa) C c /(1+ e 0 ) H i (cm) Riporto Riporto A A B B cedimento dovuto al peso del serbatoio pieno s (cm) = Esercizio 22 Un plinto a base quadrata di lato B trasmette al terreno di fondazione un carico verticale centrato di risultante P. Si faccia l'ipotesi di diffusione della tensione verticale media con pendenza 2:1. Il plinto è posto su uno strato di argilla limosa satura normalmente consolidata di spessore H, sovrastante uno strato di sabbia e ghiaia molto rigido e di grande spessore. Il livello della falda è alla quota del piano di fondazione. Al di sopra del piano di fondazione è messo in opera un riporto di spessore H R e peso di volume γ R. Stimare: 1) il cedimento edometrico,

124 122 2) il tempo occorrente per la metà della consolidazione. Dati: plinto: strato di argilla limosa: B (m) = 1.5 H (m) = 2.4 P (kn) = 250 γ (kn/m 3 ) = 18.3 w (%) = 35 riporto: w L (%) = 40 H R (m) = 1.2 I P (%) = 15 γ R (kn/m 3 ) 21.2 C c = 0.32 C s = 0.02 c v (cm 2 /s) = 3.50E-03 Soluzione: - indice dei vuoti dell'argilla limosa in sito: e = w γ / [γ w - w (γ - γ w )] = pressione litostatica verticale a metà dello strato di argilla limosa: p = γ H/2 = kpa totale p' = γ' H/2 = kpa efficace - incremento di pressione uniforme dovuto al riporto: p R = γ R H R = kpa - incremento addizionale di pressione sotto il plinto a quota fondazione: p P = P/B 2 - p R = kpa - incremento di pressione verticale a metà dello strato di argilla limosa: p = p R + p P B 2 /(B+H/2) 2 = kpa - cedimento edometrico atteso: s = [H / (1+ e)] C c log[(p' + p) / p'] = 31.1 cm - tempo occorrente per metà consolidazione (U m = 50%, Tv = 0.197) t = (T v / c v ) (H / 2) 2 = s = 9.4 giorni Esercizio 23 Nella tabella sottostante sono riportate le misure eseguite al termine della consolidazione durante una prova di compressione edometrica su un provino di argilla. punto n σ' v (kpa) h (mm) L'altezza iniziale del provino era: h 0 (mm) = 20 La massa specifica relativa dei grani è: G s = ρ s / ρ w = 2.75 I dati per il calcolo del contenuto in acqua al termine della prova sono: massa del contenitore vuoto: m c = 4.97 g massa del contenitore + provino umi m c + m = g massa del contenitore + provino sec m c + m s = g Calcolare in contenuto in acqua e l'indice dei vuoti a fine prova, assumendo che il provino sia saturo. Si faccia riferimento alla teoria dello stato critico e al modello Cam clay. Disegnare il grafico volume specifico v - logaritmo naturale della pressione verticale efficace σ' v Calcolare la pressione di consolidazione e le pendenze delle linee di compressione edometrica vergine e di scarico-ricarico. Soluzione: massa del provino umido a fine prova: m = g massa del provino secco a fine prova: m s = g massa dell'acqua nel provino a fine prova: m w = m - m s = 3.33 g

125 123 contenuto in acqua a fine prova: w = 100 m w / m s = % indice dei vuoti a fine prova: e fin = V w / V s = (w/100) G s = volume specifico a fine prova: v fin = 1 + e fin = indice dei vuoti a inizio prova: e 0 = (e fin + 1) h 0 /h fin - 1 = volume specifico a inizio prova: v 0 = 1 + e 0 = In generale: v = (v 0 /h 0 ) h v 0 /h 0 = punto n v ln(σ' v ) v 1.62 v ln (σ' v ) σ' v (kpa) linea di ricarico (tra i punti 1 e 2) x y pendenza κ = intercetta v κ = linea di carico vergine (tra i punti 4 e 5) x y pendenza λ = intercetta N = linea di scarico (tra i punti 6 e 7) x y pendenza κ = intercetta v κ = ascissa del punto di intersezione tra le linee di ricarico e di carico vergine: ln (σ' vc ) = pressione di consolidazione σ' vc = 154 kpa Esercizio 24 Due serbatoi cilindrici eguali trasmettono al terreno una pressione verticale uniforme. Le condizioni geometrichee geotecniche sono indicate in figura. 1) Stimare i cedimenti di consolidazione edometrica dei punti A, B, C e D, situati in superficie, sulla retta congiungente i centri dei due serbatoi, nelle posizioni indicate in figura. 2) Stimare i cedimenti dopo il tempo t dall'applicazione del carico nell'ipotesi che vi siano sottili e continui strati drenanti di sabbia alle profondità: 0.3R, 0.5R, 0.7R, R, 1.5R, 2R, 2.5R, 3R, 5R, 7R

126 e 10R. In tabella sono riportati i coefficienti I z per il calcolo della tensione verticale σ z indotta da una superficie circolare di raggio R, flessibile e uniformemente caricata con pressione p, su semispazio elastico (σ z = p I z ). r è la distanza in orizzontale del punto considerato dal centro della superficie circolare caricata, z è la profondità. r / R = z / R R A B L = 4R C Dati: 2R = 12 m livello di falda H = 60 m p = 67 kpa D proprietà geotecniche dell'argilla N.C.: w L = 47 % w P = 18.8 % I P = 28.2 % w = 42.3 % c u /σ' v0 = 0.24 γ = 17.8 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 H Argilla N.C. Sabbia e 0 = C c = C s = c v = 3.20E-03 cm 2 /s t = 1 mesi Soluzione: Pressione verticale litostatica efficace σ' vo = (γ - γ w ) z =γ' z Considero n. 11 strati con profondità del punto medio z m e spessore H 0. Calcolo la pressione indotta per sovrapposizione di effetti. A σ' v (A) = p [I z (r/r=0) + I z (r/r=4)] B σ' v (B) = p [I z (r/r=1) + I z (r/r=3)] C σ' v (C) = p [I z (r/r=2) + I z (r/r=2)] D σ' v (D) = p [I z (r/r=1) + I z (r/r=5)] I coefficienti I z non in tabella sono ottenuti per interpolazione lineare. Strato n. z m (m) H 0 (m) σ' v0 (kpa) σ' v (A) σ' v (B) σ' v (C) σ' v (D)

127 ) Il cedimento di consolidazione è stimato con l'equazione: s = Σ H = C c /(1+e 0 ) Σ[H 0 log((σ' v0 + σ' v )/σ' v0 )] C c /(1+e 0 ) = cost. = A B C D Strato n. H (cm) H (cm) H (cm) H (cm) s = Σ H = cm 2) Il grado di consolidazione medio per ciascuno strato e quindi il cedimento avvenuto al tempo t dall'applicazione del carico è calcolato con l'equazione approssimata di Sivaram e Swamee (1977): U m = (4T v /π) 0.5 /[1+(4T v /π) 2.8 ] con Tv = (c v t) / (H 0i /2) 2 c v t = m 2 A B C D Strato n. z m (m) H 0i (m) Tv U m (%) H (t) H (t) H (t) H (t) s (t) = Σ H (t) = (cm) Esercizio 25 Il calcolo del cedimento di un'opera fondata su uno strato di argilla drenato superiormente e inferiormente ha dato i seguenti risultati: cedimento totale: 20 cm cedimento dopo un tempo di 3 anni dall'applicazione del carico: 8 cm a) nell'ipotesi che lo strato di argilla possa drenare da un solo lato, calcolare il cedimento totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento di 8 cm b) un'indagine integrativa ha confermato l'esistenza di uno strato sabbioso drenante alla base dello strato di argilla, e mostrato la presenza di livelli sabbiosi continui a 1/3 e a 2/3 dello spessore dello strato di argilla. Calcolare il cedimento totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento di cm

128 c) i risultati di prove di compressibilità su campioni prelevati nello strato di argilla sono leggermente differenti dai valori considerati nel calcolo preliminare: l'indice di compressione misurato, Cc, è l' 80 % del valore inizialmente stimato, il coefficiente di consolidazione, cv, è il 70 % del valore inizialmente stimato, calcolare il cedimento totale ed il tempo necessario a ottenere un cedimento di cm 8 Dati: cedimento totale: 20 cm cedimento dopo un tempo di 3 anni dall'applicazione del carico: 8 cm livelli drenanti a 1/3 e 2/3 dello spessore l'indice di compressione misurato, Cc, è l' 80 % del valore inizialmente stimato, il coefficiente di consolidazione, cv, è il 70 % del valore inizialmente stimato, Soluzione: a) il cedimento totale rimane invariato: s tot = 20 cm posto: t1 = tempo relativo al drenaggio su un solo lato t2 = tempo relativo al drenaggio da entrambi i lati = 3 anni t1 = 4 t2 = 12 anni (il tempo è proporzionale al quadrato dell'altezza di drenaggio) b) il cedimento totale rimane invariato: s tot = 20 cm posto: t3 = tempo relativo a strati di spessore 1/3 drenati da entrambi i lati t3 = t2/9 = 0.33 anni = 4 mesi c) il cedimento finale risulta: 16 cm il cedimento s (cm) = 8 corrisponde: 1) nel caso di drenaggio superiore e inferiore dello strato di argilla (h(1) = H/2) e cedimento totale s tot (cm) = 20 a U(%) = 40 e Tv (1) = è inoltre t(1) = t2 = 3 anni = 36 mesi 2) nel caso di livelli drenanti supplementari a 1/3 e 2/3 di H (h(2) = H/6) e cedimento totale s tot (cm) = 16 a U(%) = 50 e Tv (2) = è inoltre cv(2)/cv(1) = 0.7 quindi t(2) = [Tv(2)/Tv(1)] x [(cv(1)/cv(2) x (2/6)^2 x t(1) = 8.93 mesi Esercizio 26 Durante una prova edometrica un provino di argilla satura di spessore d 1 raggiunge il 50% della consolidazione in un tempo t 1. Quanto tempo occorre ad uno strato della stessa argilla di spessore d 2 per raggiungere lo stesso grado di consolidazione nelle stesse condizioni di tensione e di drenaggio? Quanto ne occorre per raggiungere il grado di consolidazione 30%? dati: d 1 = 19 mm d 2 = 5m t 1 = 20 min Soluzione U = f (Tv) = f (4c v t / d 2 ) quindi se c v è costante: (t 1 / d 2 1 ) = (t 2 / d 2 2 ) da cui, per U = 50%: t 2 = min = anni per U < 60% con buona approssimazione si può porre: T v = (π/4) U 2 dunque: t 30% = t 50% (30/50) 2 = anni Esercizio 27 Uno strato di argilla di spessore H è sottoposto ad un carico verticale uniforme infinitamente esteso di intensità q. Dopo un tempo t dall'applicazione del carico la consolidazione media è del 50%. a) Quanto vale il coefficiente di consolidazione verticale nell'ipotesi di drenaggio nelle due direzioni? b) Se il coefficiente di permeabilità vale k, quale è il cedimento al tempo t? dati: H (m) = 6 t (anni) = 1 γ w (kn/m 3 ) =

129 127 q (kpa) = 60 k (m/anno) = 0.03 Dati: H (m) = 6 t (anni) = 1 γ w (kn/m 3 ) = 10 q (kpa) = 60 k (m/anno) = 0.03 Soluzione: a) c v = T v (H/2) 2 /t = m 2 /anno 5.62E-08 m 2 /s b) m v = k/(c v γ w ) = m 2 /kn s fin = q H m v = m s 50% = 0.5 s fin = m Esercizio 28 Uno strato di terreno di riporto sabbioso (γ = 19 kn/m 3 ) viene distribuito su un'area molto grande, per uno spessore H = 3 m, su uno strato di argilla, di spessore H 1 = 8 m e con il livello di falda al piano di campagna. Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è c v = 8 m 2 /anno, e il peso di volume saturo è γ sat = 22 kn/m 3. Determinare la pressione neutra e la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla 3 mesi dopo la realizzazione del rilevato, nell'ipotesi che esso sia collocato istantaneamente e che lo strato di argilla sia drenato inferiormente da uno strato di materiale permeabile. Dati: H R = 3 (m) γ R = 19 (kn/m 3 ) H 1 = 8 (m) γ sat = 22 (kn/m 3 ) Ζ w = 0 (m) c v = 8 (m 2 /anno) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) t = 3 (mesi) Soluzione: Si determina la pressione neutra e la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla prima dell'applicazione del sovraccarico. Quindi noto il sovraccarico, σ' v, applicato si determina la sovrappressione iniziale, u 0, al centro dello strato di argilla Prof (m)* σ' vo (kpa) u 0 (kpa) σ' v (kpa) u 0 (kpa) * dal piano di campagna originale Si ricava il fattore di tempo adimensionale, T v, corrispondente a t = 3 mesi, dalla relazione: T v = (c v t)/h 2 e il grado di consolidazione medio, Um = [u(z,0) - u(z,t)]/u(z,0) dal diagramma di Taylor (1948): T v = z/h d = 1 U m = 0.1 Da cui si ricava l'eccesso di pressione neutra, ut, dissipata e quindi la pressione neutra,u t, all'istante considerato: Prof (m) u t (kpa) u f (kpa) σ vf (kpa) σ' vf (kpa) Esercizio 29 Una prova edometrica eseguita su un campione di argilla satura ha dato i seguenti risultati relativamente all'incremento di pressione da 100 a 200 kpa.

130 128 Abbassamento, H (mm) Tempo, t (min) Abbassamento, H (mm) Tempo, t (min) Conoscendo l'altezza iniziale del provino H 0 = 19 mm, determinare il coefficiente di compressibilità, m v, il coefficiente di consolidazione verticale, c v, e il coefficiente di permeabilità, k, del terreno. Dati: H 0 (mm) = 19 H (mm) H (mm) t (min) (t) 1/2 (min) 1/ Pressione di consolidazione iniziale, σ' i (kpa)= 100 Pressione di consolidazione finale, σ' f (kpa) = 200 γ w (kn/m 3 ) = 9.81 Soluzione: Retta con a) Si applica il metodo di Taylor per determinare il t 90 ascisse incrementate H (t) 1/2 y = x (mm) (min) 1/2 H (mm) H 90 (t 90 ) 1/2 R 2 = (t) 1/2 (min) 1/

131 129 Equazione della retta interpolatrice: m= q= Equazione della retta con ascisse incrementate di 1.15: m' = m/1.15 q' =q y=mx+q y=m'x+q' Da cui (t 90 ) 1/2 = 1.85 (min) 1/2 e quindi (t 90 )= 3.42 (min) L'altezza corrispondente è: H 90 = (mm) L'altezza iniziale corretta è data dall'interecetta della retta interpolatrice: H i = (mm) L'altezza del provino alla fine del processo di consolidazione è: H f = Hi-(10/9) (H i -H 90 ) = (mm) L'altezza media del provino durante l'incremento di carico è: H m = (mm) Da cui si ricava l'altezza di drenaggio: H = H m /2 = (mm) Il fattore di tempo adimensionale corrispondente a U m = 90% è: T V = da cui si ricava il coefficiente di consolidazione verticale: c v = (H 2 T v )/t 90 = 19.7 (mm 2 /min) c v = 3.3E-07 (m 2 /s) Si determina il coefficiente di compressibilità, m v = ε v / σ' v = 0.57 (m 2 /MN) Si ottiene così il coefficiente di permeabilità medio, k = c v γ w m v = 1.83E-09 (m/s) Esercizio 30 Un deposito di terreno, delimitato inferiormente da un basamento roccioso, è costitutito a partire dal piano di campagna da uno strato sabbioso di spessore 5 m e peso di volume saturo γ sat = 19 kn/m 3, seguito da uno strato argilloso, caratterizzato da una permeabilità k = 1.2x10-7 m/s e un modulo edometrico M = 1.57 MN/m 2, e avente uno spessore 6 m e peso di volume saturo, γ sat = 20 kn/m 3. Uno strato di terreno di riporto di spessore 4 m e peso di volume γ = 20 kn/m 3 viene posizionato sulla superficie del deposito lungo un'area molto estesa. Il livello di falda è al piano di campagna Determinare: a) il tempo necessario per raggiungere un grado di consolidazione del 70% b) l'andamento con la profondità della tensione efficace verticale nello strato di argilla: subito dopo la realizzazione del terrapieno (nell'ipotesi venga realizzato rapidamente), al 70% della consolidazione e alla fine del processo di consolidazione. Dati: H A = 5 (m) H B = 6 (m) γ sata = 19 (kn/m 3 ) γ satb = 20 (kn/m 3 ) k B = 1.2E-08 (m/s) M = 1.57 (MN/m 2 ) H R = 4 (m) γ R = 20 (kn/m 3 ) U z = 70 (%) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Soluzione:

132 a) Noto il modulo edometrico si può ricavare il coefficiente di compressibilità di volume: m v = 1/M = (m 2 /MN) e quindi il coefficiente di consolidazione verticale: c V = k/(γ W m V ) = 1.92E-06 (m 2 /s) Da cui per un grado di consolidazione medio Um = 70%, si ottiene: Tv = c V t /H 2 = Essendo l'altezza di drenaggio: H = 6 (m) Si puoò ricavare il tempo necessario alla consolidazione: t = 87.4 (giorni) a) All'inizio del processo di consolidazione la sovrappressione, nell'ipotesi di carico uniforme ed infinitamente esteso, è costante con la profondità e pari al sovraccarico apllicato, cioè: u(z,t) = u 0 = γ R H R = 80 (kn/m 2 ) (al variare della profondità) mentre alla fine del processo di consolidazione si suppone sia completamente dissipata: u(z,t) = 0 (kn/m 2 ) (al variare della profondità) Quindi con riferimento alle profondità, misurate a partire dal tetto dello strato di argilla:z/h (z = 1,2,,H) si determina l'andamento della tensione efficace verticale σ' v (z/h,t) = σ v (z/h,t) - u(z/h,t) dove u(z/h,t)= u 0 + u(z/h,t) Immediatamente dopo l'applicazione del carico (t = 0): z (m) z/h σ v (kn/m 2 ) u(z,t) (kn/m 2 ) u 0 (kn/m 2 ) u (kn/m 2 ) σ' v (kn/m 2 ) Alla fine del processo di consolidazione: z (m) z/h σ v (kn/m 2 ) u(z,t) (kn/m 2 ) u 0 (kn/m 2 ) u (kn/m 2 ) σ' v (kn/m 2 ) Per determinare il profilo delle tensioni al 70% della consolidazione, si fa riferimento al diagramma di Taylor (1948), dove si possono determinare per le profondità z/h considerate e per il valore di di T V calcolato, i valori del grado di consolidazione U z (z/h,t V ) = (u 0 - u(z/h,t v ))/u 0 : e quindi della sovrappressione interstiziale: 130

133 131 z (m) u 0 (kn/m 2 ) σ' v (kn/m 2 ) z/h σ v (kn/m 2 ) Uz (-) u(z,t) (kn/m 2 ) u (kn/m 2 ) U m = 0 % U m = 70 % U m = 100 % z/h σ' v (kn/m 2 ) Um = 0 % Um = 100 % Um = 70 % Esercizio 31 Un rilevato di grande estensione trasmette una pressione verticale uniforme di intensità p ad uno strato di argilla torbosa NC di spessore H sovrastante un substrato rigido. La falda freatica coincide con il piano campagna. Sono noti i valori medi del peso di volume, γ, dell'indice dei vuoti iniziale, e 0, e dell'indice di compressione, C c, dell'argilla torbosa. Confrontare le stime del cedimento edometrico che si ottengono: a) dividendo lo strato H in 2 sottostrati di eguale spessore, b) dividendo lo strato H in 4 sottostrati di eguale spessore, c) per integrazione. N.B. Si ricorda che: ( + b) dz = ( az+ b) log( az+ b) log az ( az b) ( ) ln a Dati: p = 18 kpa γ = 16 kn/m 3 H = 12 m e 0 = 1.8 γ w = 9.8 kn/m 3 C c = 0.7 Soluzione: C c / (1 + e 0 ) = 0.25 σ' v0i = γ' Zi σ' v = p γ' = γ - γ w = 6.2 kn/m 3 H = Σ Hi = Cc/(1+e 0 ) Hi Σ log [(σ' v0i + σ'vo)/σ' v0i ] a) suddivisione di H in 2 sottostrati Hi = H/2 = 6 m

134 132 i Zi σ' v0i σ' v Hi (m) (kpa) (kpa) (cm) H = 62.3 cm b) suddivisione di H in 4 sottostrati Hi = H/4 = 3 m i Zi σ' v0i σ' v Hi (m) (kpa) (kpa) (cm) H = 69.9 cm c) per integrazione Cc H ( γ' z + p) H = log = ( 1 + e0 ) 0 Cc ( γ' H + p) ( 1 + e ) γ' γ' H = H = kpa 79.8 cm γ' z log dz = p ( γ' H + p) log( p) H log( γ' H ) Esercizio 32 Un serbatoio cilindrico di raggio r = 10 m trasmette al terreno sottostante una pressione uniforme di intensità p = 100 kpa. Il deposito sottostante è costitutito da uno strato di sabbia (γ = 18 kn/m 3 ;γ sat = 19.4 kn/m 3 ) di spessore H 1 = 3 m, seguito da uno strato di argille e limi (w = 62%;G S = 2.7) di spessore H 2 = 4 m e poggia su un basamento roccioso. Il livello di falda è a 2 m dal piano di campagna. Al centro dello strato di terreno coesivo è stato prelevato un campione su cui è stata effettuata una prova edometrica. I risultati in termini di indice dei vuoti, e, in funzione dell'incremento di tensione verticale applicata, σ' v, e di abbassamento, H, in funzione del tempo,t, (per una tensione verticale di 200 kpa) sono di seguito riportati. L'altezza iniziale del provino è 20 mm σ' v (kpa) e ( ) γ' t (min) H (mm) t (min) 100 H (mm) 0.93 Determinare: a) il grado di sovraconsolidazione dell'argilla; b) il diagramma H - t e il cedimento di consolidazione verticale c v ; c) il cedimento di consolidazione primaria dello strato di terreno coesivo assumendo che l'incremento della tensione verticale indotto dal serbatoio sia uniforme a parità di profondità e pari a quello calcolato in corrispondenza dell'asse.

135 133 e Dati: r (m) = 10 p (kpa) = 100 γ (kn/m 3 ) = 18 γ sat (kn/m 3 ) 19.4 H 1 (m) = 3 w (%) = 62 G S (-) = 2.7 H 2 (m) = 4 Ζ w (m) = 2 γ w (kn/m 3 ) 9.81 H 0 (mm) = 20 Soluzione: σ' v (log) [kpa] a) Calcolo della pressione di preconsolidazione σ' p col metodo di Casagrande σ' p (kpa) = 62 Calcolo dell'indice dei vuoti iniziale e 0 dell'argilla satura e 0 (-) = Calcolo del peso di volume saturo dell'argilla γ sat γ sat (kn/m3) 16.0 Calcolo della tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla σ' v0 σ' v0 (kpa) = Calcolo del grado di sovraconsolidazione OCR OCR (-) = 1.1 L'argilla è normalconsolidata b) t (min) H (mm) t (min) 10 H (mm) 0.93

136 134 H [mm] t A [min 1/2 ] 0 t ta t B (min 1/2 ) = 2 t (min 1/2 B ) = 2.3 t (min 1/2 ) = t 90 (min) = 1.2 t Si calcola l'altezza finale del provino allo step 200 kpa di consolidazione, H f e = H (mm) = H f (mm) = Si calcola l'altezza iniziale del provino allo step 200 kpa di consolidazione, H i e = H (mm) = 0.93 H i (mm) = Si calcola l'altezza media del provino allo step 200 kpa di consolidazione, H m H m (mm) = Si calcola il percorso di drenaggio H dr H dr (mm) = Si calcola il coefficiente di consolidazione verticale, c v (T V = per U m = 90%) c v (m 2 /s) = 1.01E-06 c) L'argilla è NC per cui si applica la formula: c c (-) = 0.45 H = H 0 cc 1+ e 0 σ' v0 + σ v log σ' v0 Lo strato di argilla viene suddiviso in 4 sottostrati di di spessore 1 m h i (m) = 1 Per il calcolo dell'incremento della tensione verticael sotto l'asse della fondazione si adotta la formula: z σ' v0 σ' v Η Strato (m) (kpa) (kpa) (mm) σ' v = p r z Si calcola il cedimento totale H (mm) = / 2

137 135 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Cerchi di Mohr Esercizio 1 In un punto M del terreno la pressione neutra u e le tensioni totali normali σ e tangenziali τ valgono: u (kpa) = 10 σ (kpa) τ (kpa) sul piano orizzontale: sul piano verticale: Determinare le tensioni principali totali ed efficaci. Soluzione: τ u σ 1 (kpa) = σ 3 (kpa) = σ' 1 (kpa) = σ' 3 (kpa) = τ σ' 3 σ' 1 σ 3 σ 1 σ' h σ' v σ h σ v Esercizio 2 Si consideri la seguente successione di strati orizzontali (dall'alto al basso): da (m) a (m) terreno γ (kn/m 3 ) K sabbia sabbia argilla sabbia la falda è alla profondità z w (m) = 2 si assuma: γ w (kn/m 3 ) = 10 a) determinare e disegnare i profili delle tensioni totali ed efficaci, verticali ed orizzontali, b) determinare e disegnare i cerchi di Mohr in termini di tensioni totali ed efficaci nei punti: z (m) O 0 A 2 B 5 C 9 D 14 Dati: da (m) a (m) terreno γ (kn/m 3 ) K sabbia sabbia argilla sabbia la falda è alla profondità z w (m) = 2

138 136 Soluzione: si assume γ w (kn/m 3 ) = 10 punto z (m) K 0 u (kpa) σ v (kpa) σ' v (kpa) σ' h (kpa) σ h (kpa) O A Bsup Binf Csup Cinf D

139 137 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Prova di taglio diretto e ad espansione laterale libera (ELL) Esercizio 1 In tabella sono riportati i risultati di prove di taglio diretto su una sabbia. Stimare i parametri di resistenza al taglio e verificare se il seguente stato di tensione (σ', τ) in un punto di un piano all'interno della sabbia è compatibile con l'equilibrio. Dati: risultati delle prove TD stato di tensione da verificare σ' (kpa) τ f (kpa) σ' (kpa) = τ (kpa) = Soluzione: τ (kpa) τ f = 0,7796σ' R 2 = 0, σ' (kpa) dunque tanφ' = φ' = 37.9 per σ' (kpa) = 246 τ f (kpa) = > 122 Il punto rappresentativo dello stato di tensione è sotto la linea inviluppo di rottura. La verifica è soddisfatta. Esercizio 2 L'angolo di resistenza al taglio di un'argilla N.C., determinato con prove TxCID, è φ' ( ) = 25 La resistenza a compressione semplice di un provino della stessa argilla è q u (kpa) = Determinare la pressione neutra a rottura nella prova di compressione semplice.

140 138 Soluzione: τ R φ' R = q u / 2 = OC = R / senφ' = u f = OC - R = kpa kpa kpa O C σ, σ' q u Esercizio 3 Prove di taglio diretto su 4 provini di sezione quadrata: L (cm) = 6.2 H (cm) = 2 ricavati dallo stesso campione di terreno hanno dato i seguenti risultati a rottura: provino n. N (N) T (N) determinare i valori di c' e di φ' Soluzione: L (cm) = 6.2 A (cm 2 ) = provino n. N (N) T (N) σ' (kpa) τ (kpa) con regressione lineare si calcola: R 2 = c' = 6.0 kpa φ' = 26.9 OUTPUT RIEPILOGO Statistica della regressione R multiplo R al quadrato R al quadrato corretto Errore standard Osservazioni 4 ANALISI VARIANZA gdl SQ MQ F Significatività F Regression Residuo Totale Errore standard Valore di significativit à Inferiore 95% Superiore 95% Inferiore 95.0% Superiore 95.0% Coefficienti Stat t Intercetta Variabile X

141 139 Esercizio 4 Si esegue una prova di taglio diretto CD su una sabbia. La tensione normale è σ (kpa) = 200 la tensione tangenziale a rottura è τ (kpa) = 115 sul piano di taglio. Determinare le tensioni principali a rottura sul piano di taglio. Dati: σ (kpa) = 200 da cui φ' (rad) = = φ' ( ) = τ (kpa) = 115 Soluzione: τ A r OA = r = OC = σ 1 = σ 3 = 231 kpa 133 kpa 266 kpa 399 kpa 133 kpa O C σ Esercizio 5 Un provino di argilla satura sovraconsolidata ha avuto resistenza a rottura in prova di compressione con espansione laterale libera: q u = 141 kpa. Il coefficiente A di Skempton a rottura vale: A f = -0.2 I parametri di resistenza al taglio dell'argilla, in termini di tensioni efficaci, valgono: c' = 7 kpa φ' = 20. Quanto valeva, nel provino d'argilla, la pressione neutra iniziale, u 0 (prima della prova ELL)? Soluzione: τ tensioni totali tensioni efficaci c' A O E D C B φ' σ' σ AO = c' / tanφ' = OD = q u = σ a = BC = q u / 2 = AC = BC / senφ' = u f = -OE = -(AC-BC-AO) = u f = A f σ a = u 0 = u f - u f = kpa 141 kpa 70.5 kpa kpa kpa kpa kpa Esercizio 6 I risultati di una prova di taglio diretto eseguita su tre provini dello stesso terreno sono di seguito riportati, l'area della sezione trasversale del provino è di 3600 mm 2. a) Disegnare il grafico sforzi-deformazioni indicando il tipo di comportamento del terreno b) Determinare i parametri di resistenza del terreno.

142 Carico assiale (kn) Deformaz. (%) Forza di taglio (N) Carico assiale (kn) Deformaz. (%) Dati: N (kn) σ (kn/m 2 ) ε (%) T (N) τ (kn/m 2 ) L'area del provino è : A = 3600 (mm 2 ) Soluzione: a) Si determina la tensione di taglio corrispondente alle forze di taglio T applicate: τ = T/A e si riportano in funzione delle corrispondenti deformazioni tangenziali: Forza di taglio (N) 140

143 τ (kn/m 2 ) ε (-) Dall'analisi dlle curve sforzi-deformazioni non è identificabile un valore di piccco (comportamento contraente tipico di sabbie sciolte o terreni NC) Si determinano quindi i valori della tensione tangenziale a rottura (come i valori massimi o di picco): τ r (kn/m 2 ) σ r (kn/m 2 ) provino provino provino e si plottano sul piano di Mohr τ (kn/m 2 ) σ' (kn/m 2 ) y = x R 2 = dalla retta di inviluppo si ricavano i parametri di resistenza: c' = 13 (kn/m2) ϕ' = 25 ( )

144 142 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Prove triassiali Esercizio 1 Un provino di argilla è consolidato isotropicamente in cella triassiale con: pressione di cella: σ c = 400 kpa contropressione neutra: B.P. = 200 kpa Dopo avere chiuso i drenaggi la pressione di cella è incrementata fino al valore: σ c0 = 500 kpa La pressione neutra misurata è: u 0 = 297 kpa Viene poi applicata una forza assiale che, in un dato istante t, corrisponde ad una tensione deviatorica: q (t) = 645 kpa e ad una pressione neutra: u (t) = 435 kpa Determinare i parametri A e B di Skempton all'istante t. Soluzione: Per compressione isotropa non drenata: B = u / σ u = u 0 - B.P. = 97 kpa σ = (σ c0 - σ c ) = 100 kpa B = 0.97 Durante l'applicazione della tensione deviatorica in condizioni non drenate è: u (t) = B [ σ 3 + A (t) ( σ 1 - σ 3 )] u (t) = u(t) - B.P. = 235 kpa B = 0.97 σ 3 = σ = 100 kpa ( σ 1 - σ 3 ) = q = 645 kpa da cui: A (t) = [( u (t) / B) - σ 3 ] / ( σ 1 - σ 3 ) = Esercizio 2 Un'argilla satura è caratterizzata dai seguenti parametri di resistenza al taglio espressi in termini di tensioni efficaci: c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 20 Essa è stata assoggettata a prove di compressione triassiale CIU e CID. In ciascuno di questi casi la pressione nella cella triassiale era pari a 200 kpa. a) nella prova CIU a rottura è risultato: (σ 1 -σ 3 ) = 175 kpa. Determinare il valore di u a rottura b) la prova CD si è svolta in presenza di una "back pressure" u 0 = 60 kpa. Determinare il valore di (σ 1 - σ 3 ) a rottura. Dati: c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 20 = φ' (rad) = a ) nella prova TxCIU: b) nella prova TxCID: σc (kpa) = 200 σc (kpa) = 200 (σ 1 - σ 3 )f = 175 u 0 (kpa) = 60 M = Soluzione: a) prova TxCIU b) prova TxCID p' c = σ c = 200 kpa p' c = 140 kpa q f = 175 kpa p f = kpa p' f = q f /M = kpa q f = kpa = (σ 1 -σ 3 ) f

145 143 p = q f /3 = p f = u = kpa kpa kpa Esercizio 3 I risultati di una serie di prove TxCIU su 4 provini di argilla satura N.C. sono indicati in tabella. La pressione di cella coincide con la pressione di consolidazione. Determinare i parametri di resistenza al taglio del terreno. Un 5 provino della stessa argilla è consolidato isotropicamente in cella triassiale alla pressione σ' c. Sono poi chiusi i drenaggi e la pressione di cella è portata al valore σ cell. Stimare lo stato tensionale a rottura del provino 5. Dati: provino σ 3 (σ 1 σ 3 ) f u f provino No 5 No (kpa) (kpa) (kpa) σ' c = 250 kpa σ cell = 350 kpa Soluzione: σ' 3f = σ 3 - u f provino σ' 3f σ' 1f s' t t/s' σ' 1f = (σ 1 - σ 3 ) f + σ' 3f No (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) s' = (σ' 1 + σ' 3 ) f / t = (σ' 1 - σ' 3 ) f / t = a' + s' tanα τ = c' + σ' tanφ' c' = a' tanφ' / tanα media t/s' = tanα = senφ' = tanα I parametri a' e tanα si stimano per via grafica o con regressione lineare, oppure, essendo per un'argilla N.C. c' = a = 0, tanα può essere stimato dal valore medio del rapporto t/s' da cui: c' = a' = 0 kpa tanα = φ' = t = 0,4336 s' R2 = 0,9999 t (kpa) s' (kpa) Provino No 5 La tensione deviatorica a rottura (σ 1 - σ 3 ) f dipende solo dalla pressione di consolidazione. Per i primi 4 provini la pressione di consolidazione coincide con la pressione di cella σ 3.

146 144 Per il provino No 5, saturo, l'incremento della pressione di cella a consolidazione avvenuta ed a drenaggi chiusi determina l'insorgere di una pressione neutra di eguale valore (B = 1) ma non varia la pressione di consolidazione. Dunque si ha: σ' c = 250 kpa provino σ 3 = σ' c (σ 1 σ 3 ) f (σ 1 σ 3 ) f / σ' c u 0 = 100 kpa No (kpa) (kpa) (σ 1 σ 3 ) f = kpa K p = tan 2 (45 + φ'/2) = σ' 1f = K p σ' 3f σ' 1f σ' 3f = kpa σ' 3f = kpa media di (σ 1 σ 3 ) f / σ' c = σ' 1f = σ 3f = σ cell = u f = u f = σ 1f = kpa 350 kpa kpa kpa kpa Tabella riassuntiva n. 1 σ 3 σ 1 u σ' 3 σ' 1 s s' t stato iniz stato fin n. 2 stato iniz stato fin n. 3 stato iniz stato fin n. 4 stato iniz stato fin n. 5 stato iniz stato fin Esercizio 4 Un'argilla NC ha resistenza al taglio nota, data dall'equazione τ = σ' tanφ'. Un provino di tale argilla è sottoposto a prova TxCIU. La pressione di consolidazione (e di cella) è σ' c. La tensione deviatorica a rottura risulta pari a q u. Quanto dovrà risultare la pressione neutra a rottura, u f? Se la prova fosse condotta in condizioni drenate (TxCID) che valore avrebbe la tensione deviatorica a rottura, q d? Dati: φ' = 28 σ' c = 105 kpa q u = 97 kpa Soluzione: Nella prova TxCIU, a rottura, le tensioni totali principali sono: σ 3 = σ' c = 105 kpa σ 1 = σ 3 + q u = 202 kpa il raggio del cerchio di Mohr vale: R = q u / 2 = 48.5 kpa Il cerchio di Mohr a rottura in pressione efficaci, ha eguale raggio ed è tangente alla retta di inviluppo a rottura. Pertanto l'ascissa del centro del cerchio di Mohr in pressione efficaci vale: (σ 1 ' + σ 3 ') / 2 = R / senφ' = kpa e le tensioni efficaci principali a rottura valgono:

147 145 σ 3 ' = 54.8 kpa σ 1 ' = kpa e la pressione neutra a rottura: u f = 50.2 kpa Se la prova fosse condotta in condizioni drenate, a rottura risulterebbe: σ' 3 = σ' c = 105 kpa σ' 1 = σ' 3 tan 2 (π/4 + φ'/2) = kpa q d = (σ' 1 σ' 3 ) = kpa Esercizio 5 E' eseguita una prova TxCIU a pressione di cella costante: σ c (kpa) = 300 La pressione neutra iniziale era: u 0 (kpa) = 100 Le dimensioni iniziali ed il volume specifico iniziale del provino erano: d 0 (mm) = 38 H 0 (mm) = 76 v 0 = 2.19 In tabella sono indicati i valori registrati durante la compressione di: forza assiale (F a ), variazione di altezza ( H) e pressione neutra (u). punto F a (N) H (mm) u (kpa) ε s (%) q (kpa) p' (kpa) Completare la tabella e disegnare i grafici: ε s -q, p-q, p'-q (la 1 a variabile in ascissa) A 0 = π d 2 0 /4 = 1134 mm 2 σ r = σ c = 300 kpa V 0 = A 0 H 0 = cost. = mm 3 σ a = σ r + F a /A H = H 0 + H q = (σ a - σ r ) A = V 0 / H p = (σ a + 2 σ r ) / 3 ε s (%) = ε a (%) = - ( H/H 0 ) 100 p' = p - u punto H (mm) A (mm 2 ) ε s (%) σ a (kpa) q (kpa) p (kpa) p' (kpa) q (kpa) q (kpa) eps.s (%) p, p' (kpa)

148 146 Esercizio 6 Un provino di terreno è consolidato in cella triassiale sotto una pressione isotropa σ c. Dopo avere chiuso i drenaggi la pressione di cella è portata al valore σ c0 e si misura una pressione neutra u 0. Si procede quindi all'applicazione del carico assiale in condizioni non drenate fino alla rottura del provino. Durante tale fase si eseguono le misure indicate in tabella. 1. Determinare il valore del coefficiente B di Skempton. 2. Calcolare e rappresentare in grafico la variazione del coefficiente A di Skempton in funzione della deformazione assiale ε a. Dati: σ c = 200 kpa ε a (σ 1 -σ 3 ) u σ c0 = 350 kpa (%) (kpa) (kpa) u 0 = 144 kpa Soluzione: 1 B = u/ σ = u 0 /(σ c0 - σ c ) = A = u/ σ 1 = (u-u 0 )/(σ 1 -σ 3 ) ε a u σ 1 A (%) (kpa) (kpa) A ε a (%) Esercizio 7 I risultati di una prova triassiale consolidata drenata (TxCID) su un provino di argilla normalmente consolidata sono i seguenti: pressione di cella e di consolidazione: σ' c = 112 kpa tensione deviatorica a rottura: (σ' 1 - σ' 3 ) f = 175 kpa Determinare: 1. L'angolo di resistenza al taglio, φ', 2. L'angolo θ che il piano di rottura forma con il piano orizzontale, 3. Lo stato di tensione (σ', τ) sul piano di rottura, 4. La tensione normale efficace sul piano di massima tensione di taglio.

149 147 Soluzione: τ σ' 3 σ' 1 σ' 1 θ σ' 3 φ' per un'argilla normalmente consolidata l'inviluppo a rottura ha equazione: τ = σ' tan φ' le tensioni principali a rottura valgono: σ' 3f = σ' c = 112 kpa σ' 1f = σ' 3f + (σ' 1 - σ' 3 ) f = 287 kpa B AB = (σ' 1 - σ' 3 ) f / 2 = 87.5 kpa OA = (σ' 1 + σ' 3 ) f / 2 = kpa 2θ sen φ' = AB/OA = σ' O σ' 3 A σ' 1 φ' = rad = 26 θ = π/4 + φ'/2 = rad = 58 OB = OA sen(π - 2θ) = kpa sul piano di rottura (punto B): σ' = OB cos φ' = kpa τ = OB sen φ' = 78.6 kpa sul piano di massima tensione di taglio (vertice del cerchio): σ' = OA = kpa τ = AB = 87.5 kpa Esercizio 8 E' eseguita una prova TxCIU su un provino di argilla satura N.C. consolidato con una pressione di cella σ c = 600 kpa e una back pressure B.P. = 200 kpa. Durante la fase di taglio sono stati registrati i valori di tensione deviatorica (σ 1 - σ 3 ) e di pressione neutra u indicati in tabella. Tracciare i percorsi tensionali nel piano t-s,s' e determinare il valore del coefficiente A di Skempton a rottura. (σ 1 - σ 3 ) u [ kpa ] [ kpa ] Soluzione: (σ 1 - σ 3 ) u σ 1 σ 1 ' σ 3 ' t s s' [ kpa ] [ kpa ] [ kpa ] [ kpa ] [ kpa ] [ kpa ] [ kpa ] [ kpa ] A f = [ u / (σ 1 - σ 3 )] f = 0.730

150 t TSP 40 ESP s, s' [kpa] Esercizio 9 E' eseguita una prova TxCID a pressione di cella e back pressure costanti: σ c (kpa) = 300 u 0 (kpa) = 100 Le dimensioni iniziali ed il volume specifico iniziale del provino erano: d 0 (mm) = 38 H 0 (mm) = 76 v 0 = 2.19 In tabella sono indicati i valori registrati durante la compressione di: forza assiale (F a ), variazione di altezza ( H) e variazione di volume ( V). punto F a (N) H (mm) V (mm 3 ) ε s (%) ε v (%) v q (kpa) p' (kpa) Completare la tabella e disegnare i grafici: ε s -q, p'-q, ε s -ε v, p'-v Soluzione: A 0 = π d 2 0 /4 = 1134 mm 2 V 0 = A 0 H 0 = mm 3 V = V 0 + V H = H 0 + H A = V / H σ r = σ c = 300 kpa ε v (%) = - ( V/V 0 ) 100 σ a = σ r + F a /A ε a (%) = - ( H/H 0 ) 100 u = u 0 = 100 kpa ε r (%) = (ε v - ε a ) / 2 q = (σ a - σ r ) ε s (%) = 2 (ε a - ε r ) / 3 p = (σ a + 2 σ r ) / 3 v = v 0 (1 - ε v /100) p' = p - u

151 149 punto V (mm 3 ) H (mm) A (mm 2 ) ε v (%) ε a (%) ε r (%) ε s (%) v punto σ a (kpa) q (kpa) p (kpa) p' (kpa) q (kpa) 200 q (kpa) eps.s (%) p' (kpa) eps.v (%) v eps.s (%) p' (kpa) Esercizio 10 Durante una prova triassiale non drenata, eseguita con pressione di cella costante, σ c, e pressione interstiziale iniziale, u 0, sono state eseguite le misure riportate in tabella.

152 150 Calcolare e disegnare i grafici: ε a -q, ε a -u, p'-q Dati: pressione di cella: σ c = 300 kpa pressione interstiziale iniziale: u 0 = 100 kpa diametro iniziale del provino: D 0 = 38 mm altezza iniziale del provino: H 0 = 76 mm volume specifico: v = 2.19 Forza Variazione Pressione assiale di altezza neutra F a (N) H (mm) u (kpa) Soluzione: area iniziale del provino: A 0 = π D 2 0 / 4 = mm 2 = 1.134E-03 m 2 volume costante del provino: V = V 0 = A 0 H 0 = mm 3 = 8.619E-05 m 3 ad ogni istante della prova, si ha: deformazione assiale: ε a (%) = - H/H 0 x 100 area media del provino: A = A 0 / (1 - ε a / 100) pressione totale radiale: σ 3 = σ r = σ c = 300 kpa pressione totale assiale: σ 1 = σ a = σ r + F a / A pressione efficace radiale: σ' 3 = σ 3 - u pressione efficace assiale: σ' 1 = σ 1 - u pressione media efficace: p' = (σ' σ' 3 ) / 3 tensione deviatorica: q = σ 1 - σ 3 dunque si ottiene: ε a (%) A (m 2 ) σ 1 (kpa) σ' 3 (kpa) σ' 1 (kpa) p' (kpa) q (kpa) E E E E E E

153 q (kpa) 60 q (kpa) ε a (%) p' (kpa u (kpa) ε a (%) Esercizio 11 Un'argilla con parametri di resistenza al taglio in termini di tensioni efficaci c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 20 è sottoposta ad una prova TxUU, ad una prova TxCIU e ad una prova TxCID. In ciascuna prova la pressione di cella è stata di 210 kpa. a) nella prova TxUU a rottura la pressione neutra vale uf (kpa) = 140 Quanto vale la tensione deviatorica? b) nella prova TxCIU a rottura la tensione deviatorica vale σ1-σ3 (kpa) = 175 Quanto vale la pressione neutra? c) nella prova TxCID si impone una back-pressure di 50 kpa. Quanto vale la tensione deviatorica a rottura? Dati: c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 20 φ' (rad) = σc (kpa) = 210 a) b) c) u f (kpa) = 140 (σ 1 -σ 3 ) = 175 B.P. (kpa) 50 kpa Soluzione: kp = 2.040

154 152 a) b) c) σ 3 = σc = 210 kpa (σ' 1 -σ' 3 ) = 175 kpa σ' 3 = σ χ -BP 160 kpa σ' 3 = 70 kpa σ' 3 = kpa σ'1 = kpa σ' 1 = kpa σ 3 = σc = 210 kpa (σ 1 -σ 3 ) = kpa (σ 1 -σ 3 ) = 72.8 kpa u = 41.7 kpa Esercizio 12 Una serie di 4 provini di argilla è consolidata isotropicamente in cella triassiale alla pressione σ' P. Essi sono poi decompressi in condizioni drenate alle pressioni di cella σ c indicate in tabella, e successivamente portati a rottura per compressione assiale in condizioni non drenate. In tabella sono indicati per i 4 provini i valori della tensione deviatorica e dell'incremento di pressione neutra a rottura. Determinare le caratteristiche di resistenza al taglio in termini di tensioni efficaci dell'argilla e la variazione del coefficiente A f di Skempton con il grado di sovraconsolidazione isotropo. Dati: σ' P = 800 kpa provino n. σ c (kpa) (σ 1 - σ 3 ) f (kpa) u f (kpa) Soluzione: σ' 3f = σ c - u f σ' 1f = σ' 3f - (σ 1 - σ 3 ) f s' f = (σ' 1f + σ' 3f ) / 2 t f = (σ' 1f - σ' 3f ) / 2 OCR = σ' P / σ c A f = u f / q f provino n. σ' 3f (kpa) σ' 1f (kpa) s' f (kpa) t f (kpa) OCR A f t f = 0,5224 s' f + 11,408 R 2 = 0, t f (kpa) s' f (kpa)

155 f ( ) 153 La retta di regressione fra i punti corrispondenti alle condizioni di rottura nel piano s' - t, ha equazione: t f = d + s' f tanα essendo: d = c' cosφ' tanα = sinφ' Nel caso presente risulta: d = tanα = da cui: kpa φ' = arcsen(tanα) = rad = 31.5 c' = d / cosφ' = 13.4 kpa A f OCR Esercizio 13 Una serie di prove triassiali drenate su provini di argilla satura ha dato, a rottura, i valori indicati in tabella. Determinare i valori dei parametri di resistenza al taglio c' e φ'. Dati: diametro iniziale dei provini: D 0 = 38 mm altezza iniziale dei provini: H 0 = 76 mm provino N pressione di cella σ 3 (kpa): accorciamento assiale H (mm): forza assiale (N): variazione di volume V (cm 3 ): Soluzione: Sezione retta iniziale dei provini: A 0 = π D 2 0 /4 = cm 2 Volume iniziale dei provini: V 0 = A 0 H 0 = cm 3 σ = σ' ε V (%) = 100 V/V 0 ε a (%) = 100 H/H 0 A = A 0 (100 - ε v )/(100 - ε a ) (σ 1 - σ 3 ) = N/A

156 154 provino ε v ε a A N (σ 1 - σ 3 ) σ' 1 s' t N. (%) (%) (cm 2 ) (N) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) dalla regressione lineare nel piano s'-t tan α = sen φ' = φ' ( ) = 28.2 t 0 = kpa c' = t 0 tan φ' / tan α = kpa t (kpa) t = 0,473 s' + 13,015 R 2 = s' (kpa) Esercizio 14 Durante una prova triassiale drenata, eseguita con pressione di cella costante, σ c, e pressione interstiziale costante, u, sono state eseguite le misure riportate in tabella. Calcolare e disegnare i grafici: ε a -q, ε a -ε v, p'-q, p'-v. Dati: pressione di cella: σ c = 300 kpa pressione interstiziale: u = 100 kpa diametro iniziale del provino: D 0 = 38 mm altezza iniziale del provino: H 0 = 76 mm volume specifico iniziale: v 0 = 2.19 Forza Variazione Variazione assiale di altezza di volume F a (N) H (mm) V (cm 3 ) Soluzione: area iniziale del provino: A 0 = π D 2 0 / 4 = mm 2 = 1.134E-03 m 2 volume iniziale del provino: V 0 = A 0 H 0 = mm 3 = 8.619E-05 m 3 ad ogni istante della prova, si ha: deformazione assiale: ε a (%) = - H/H 0 x 100 deformazione volumetrica: ε v (%) = - V/V 0 x 100 volume specifico: v = v 0 (1 - ε v /100)

157 155 area media del provino: A = A 0 (1 - ε v / 100) / (1 - ε a / 100) pressione totale radiale: σ 3 = σ r = σ c = 300 kpa pressione totale assiale: σ 1 = σ a = σ r + F a / A pressione efficace radiale: σ' 3 = σ 3 - u = 200 kpa pressione efficace assiale: σ' 1 = σ 1 - u pressione media efficace: p' = (σ' σ' 3 ) / 3 tensione deviatorica: q = σ 1 - σ 3 dunque si ottiene: ε a (%) ε v (%) v A (m 2 ) σ 1 (kpa) σ' 1 (kpa) p' (kpa) q (kpa) E E E E E E q (kpa) ε a (%) q (kpa) p' (kpa) εv (%) v (-) ε a (%) p' (kpa)

158 Esercizio 15 Durante una prova TxCID nello stato i-esimo sia: σ' r,i = 200 kpa tensione radiale σ' a,i = 350 kpa tensione assiale In seguito ad un incremento di tensione assiale δσ' a = 10 kpa si registrano i seguenti incrementi di deformazione: δε a = 0.05 % incremento di deformazione assiale δε r = % incremento di deformazione radiale Determinare, per l'incremento di tensione assiale considerato: 1) l'incremento di tensione deviatorica, δq 5) il modulo di taglio, G 2) l'incremento di tensione media efficace, δp' 6) il modulo di dilatazione cubica, K' 3) l'incremento di deformazione di taglio, δε s 7) il modulo di Young, E' 4) l'incremento di deformazione volumetrica, δε v 8) il coefficiente di Poisson, ν Soluzione: 1) δq = δσ' a - δσ' r = 10 kpa 5) G = δq/(3 δε s ) = 8333 kpa 2) δp' = (δσ' a + 2 δσ' r )/ kpa 6) K' = δp'/δε v = kpa 3) δε s = 2 (δε a - δε r ) /3 = 0.04 % 7) E' = δσ' a /δε a = kpa 4) δε v = δε a + 2 δε r = 0.03 % 8) ν' = -δε r /δε a = 0.2 Esercizio 16 In una prova triassiale drenata su un campione di sabbia secca e pulita, si è verificata la rottura per σ 1 = 423 kpa e σ 3 = 138 kpa. Determinare: a) l'angolo di resistenza al taglio φ'; b) le tensioni normale σ e tangenziale τ sul piano di rottura; Dati: σ 1 (kpa) = 423 σ 3 (kpa) = 138 Soluzione: a) φ' = arcsen[(σ 1 -σ 3 )/(σ 1 +σ 3 )] = rad. = b) τ = (σ 1 -σ 3 ) cosφ'/2 = kpa σ = τ / tanφ' = kpa Esercizio 17 I parametri di resistenza al taglio in termini di tensioni efficaci per un'argilla satura sono: c' = 15 kpa φ' = 29 Per un provino della stessa argilla, in una prova TxUU con pressione di cella σ c = 100 kpa, la tensione deviatorica a rottura è risultata: σ 1 - σ 3 = 170 kpa. Quanto valeva la pressione neutra a rottura nel provino? Soluzione: nel piano t-s' la retta che rappresenta la resistenza al taglio ha equazione: t = a' + s' tan (α) (1) con: a' = c' cos φ' = kpa e α = arctan (sen φ') = rad = Il punto di vertice del cerchio di Mohr a rottura in termini di tensioni totali ha coordinate: s = (σ 1 + σ 3 ) / 2 = 185 kpa t = (σ 1 - σ 3 ) / 2 = 85 kpa Il punto di vertice del cerchio di Mohr a rottura in termini di tensioni efficaci appartiene alla retta 1 156

159 157 ed ha coordinata t = 85 kpa. Quindi ha coordinata s' = (t - a') / tan(α) = u f = (s - s') = kpa kpa e la pressione neutra a rottura vale: Esercizio 18 Su tre campioni di sabbia sciolta viene eseguita una prova triassiale consolidata non drenata (TXCU) con misura delle pressioni neutre. I valori misurati delle tensioni e della pressione neutra a rottura sono riportati in tabella. Per ciascuno dei campioni esaminati: a) disegnare i cerchi di Mohr, in termini di tensioni efficaci; b) determinare l'angolo di resistenza al taglio ϕ' ; c) calcolare il parametro A di Skempton a rottura; d) determinare l'orientazione rispetto all'orizzontale del piano di rottura, α, e del piano di massima tensione di taglio, β. N. Campione σ 3r (σ 1 -σ 3 ) r u r (kpa) (kpa) (kpa) Soluzione: c' = 0 σ 1r = σ 1 -σ 3 ) r + σ 3r σ ' 1r = σ 1r -u r σ ' 3r = σ 3r -u r ϕ' = arcsin (σ 1 -σ 3 ) r / (σ 1 +σ 3 )r Α = u r /(σ 1 -σ 3 ) r α = 45 +ϕ'/2 β = 45 σ 3r (σ 1 -σ 3 ) r u r σ 1r σ ' 1r σ ' 3r ϕ' Α α (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) ( ) (-) ( ) Esercizio 19 I risultati di una prova triassiale consolidata isotropa non drenata eseguita su un provino di argilla satura, alla pressione di confinamento p c = 300 kpa e con una back pressure di 100 kpa, sono di seguito riportati in termini di deviatore applicato, σ 1 - σ 3, e di sovrappressione, u: ε v (-) σ 1 -σ 3 (kpa) u (kpa) Disegnare i percorsi tensionali, efficaci e totali, sul piano (p',q), (p,q), (s,t) e (s',t) e la variazione del coefficiente di Skempton A durante la prova. Dati: pc (kpa) = 300 u 0 (kpa) = 100 ε v (-) σ 1 -σ 3 (kn/m 2 ) u (kn/m2)

160 Soluzione: Si determina il coefficiente A = u/ σ 1 = u/(σ 1 -σ 3 ), e essendo σ 3 = p'c + u 0 costante durante la prova, si puo' determinare σ 3 ' = σ3 - u - u o, σ 1 = σ 1 + σ 3, e quindi σ 1 ' = σ 1 - u-u o Da cui si ricavano i valori di p,p',q,s,s' e t σ 1 -σ 3 (kn/m 2 ) u (kn/m 2 ) A (-) σ 3 (kn/m 2 ) σ' 3 (kn/m 2 ) σ 1 (kn/m 2 ) σ' 1 (kn/m 2 ) p' (kn/m 2 ) p (kn/m 2 ) q (kn/m 2 ) s' (kn/m 2 ) s (kn/m 2 ) t (kn/m 2 ) ESP (s',t) ESP(p',q) TSP (s,t) TSP (p,q) q,t (kn,m2) p,p',s,s' (kn/m2) TSP (p,q) ESP(p',q) TSP (s,t) ESP (s',t) A (-) ε v (-)

161 159 Esercizio 20 I risultati di una prova di compressione triassiale consolidata non drenata eseguita su un campione di argilla satura sono di seguito riportati, in termini di deviatore a rottura, σ' 1r - σ' 3r, e di pressione neutra a rottura, u r. Ai tre provini, consolidati a differenti valori della pressione di cella, σ 3c, è stata applicata la stessa back pressure u 0 = 200 kpa. Provino 1 Provino 2 Provino 3 σ 3c (kpa) σ' 1r -σ' 3r (kp u r (kpa) a) disegnare i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni efficaci; b) determinare le caratteristiche di resistenza al taglio del materiale; c) calcolare il parametro A di Skempton. Dati: σ 3c (kpa) σ' 1r -σ' 3r (kp u r (kpa) u 0 (kpa) Soluzione: σ 3r = σ 3c Provino 1 Provino 2 Provino σ ' 3r = σ 3r -u r σ ' 1r = (σ 1 -σ 3 ) r + σ' 3r Centro del cerchio,c σ ' 3r + (σ 1 -σ 3 ) r /2 Raggio del cerchio,r (σ 1 -σ 3 ) r /2 ϕ' 12 = arcsin[(r 1 -R 2 )/(O 1 -O 2 )] c' 1 = (R 1 /sinϕ' - O 1 ) tgϕ' ϕ' 12 ( ) = 32.0 ϕ' 23 ( ) = 27.7 ϕ' ( ) = 29.8 c' 1 (kpa) = 6.1 c' 2 (kpa) = 9.2 c' (kpa) = 7.7 u r = u r - u 0 Α = u r /(σ 1 -σ 3 ) r N. Provino σ 3r u r σ ' 3r σ ' 1r C R u r Α (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (-)

162 160 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Spinta delle terre Esercizio 1 Calcolare le pressioni a lungo e a breve termine esercitate dal terreno sul paramento verticale di un muro di sostegno, nell'ipotesi di assenza di attrito e di flusso. q O A sabbia 1 zw1 zw2 z argilla 1 B dati: z A (m) = 1.5 sabbia 2 z B (m) = 4 C z C (m) = 6 z D (m) = 8 argilla 2 z w1 (m) = 0.5 z w2 (m) = 2.5 D q (kpa) = 50 strato γ (kn/m3) φ' ( ) c' (kpa) φ u ( ) c u (kpa) sabbia argilla sabbia argilla Dati: z A (m) = 1.5 strato γ (kn/m3) φ' ( ) c' (kpa) φ u ( ) c u (kpa) z B (m) = 4 sabbia z C (m) = 6 argilla z D (m) = 8 sabbia z w1 (m) = 0.5 argilla z w2 (m) = 2.5 q (kpa) = 50 Soluzione: condizioni a lungo termine punto strato z(m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) σ' ha (kpa) σ ha (kpa) K A O sabbia a falda sabbia A sup sabbia A inf argilla B sup argilla B inf sabbia C sup sabbia C inf argilla D argilla

163 161 condizioni a breve termine punto strato z(m) σ v (kpa) σ ha (kpa) O sabbia a falda sabbia A sup sabbia A inf argilla B sup argilla B inf sabbia C sup sabbia C inf argilla D argilla tensioni (kpa) condizione a lungo termine Z (m) tensioni tensioni (kpa) (kpa) condizione a breve termine Z (m) Esercizio 2 Calcolare e disegnare la distribuzione della pressione attiva sulla superficie verticale di figura. Calcolare la spinta totale (attiva + idrostatica) sulla parete e determinarne la quota di applicazione. Si assuma δ = 0, γ w = 9.81 kn/m 3. f.f. H 1a H 1 H 1b H 2 H 3 Dati: H 1a (m) = 3 γ 1a (kn/m 3 ) = 16 H 1b (m) = 2 γ 1b (kn/m 3 ) = 19 c' 1 (kpa) = 0 φ' 1 ( ) = 35 H 2 (m) = 3 γ 2 (kn/m 3 ) = 20 c' 2 (kpa) = 17 φ' 2 ( ) = 27 H 3 (m) = 4 γ 3 (kn/m 3 ) = 21 c' 3 (kpa) = 0 φ' 3 ( ) = 42

164 162 Soluzione: I coefficienti di spinta attiva per i tre tipi di terreno valgono: K a1 = tan 2 (45 - φ' 1 /2) = K a2 = tan 2 (45 - φ' 2 /2) = K 0.5 a2 = K a3 = tan 2 (45 - φ' 3 /2) = Distribuzione di pressione: prof. terreno σ v u σ' v K a σ' ha σ ha (m) tipo (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) (kpa) σ' ha (kpa) u (kpa) z (m) z (m) area forma base altezza forza braccio momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (knm/m) 1 triang rettang triang rettang triang rettang triang triang Spinta attiva del terreno, Sa = kn/m Quota di applicazione di Sa, ha = 7.58 m Spinta idrostatica, Sw = kn/m Quota di applicazione di Sw, hw = 9.00 m Spinta totale: S = kn/m Quota di applicazione di S, h = 8.57 m Esercizio 3 Determinare la spinta attiva in condizioni statiche e sismiche (con il metodo di Mononobe-Okabe) sul muro di sostegno a gravità indicato in figura, e calcolarne le quote di applicazione.

165 163 H β i Dati: H = 6 m β = 20 i = 15 terreno sostenuto: γ = 18 kn/m 3 φ' = 30 δ = 2/3 φ' coefficienti sismici: k H = 0.1 k V = 0 Soluzione: θ = arctan(k H / (1 - k V )) = rad i = rad φ' = rad δ = 2/3 φ' = rad β = rad K A = E A = 0,5 γ H 2 K A = kn/m Spinta attiva in condizioni statiche H A = H / 3 = 2.00 m Quota di applicazione di E A K AE = E AE = 0,5 γ H 2 (1-k V ) K AE = kn/m Spinta attiva in condizioni sismiche E E = E AE - E A = kn/m Incremento sismico della spinta H E = 2H / 3 = 4.00 m Quota di applicazione di E E H AE = (E A H A + E E H E ) / E AE = 2.43 m Quota di applicazione di E AE Esercizio 4 E' eseguito uno scavo sostenuto da un diaframma in c.a. secondo lo schema stratigrafico e geotecnico di figura. Il terreno è saturo per capillarità fino a piano campagna. Si assuma γ w = 10 kn/m 3. a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2, D. Utilizzando lo schema semplificato di calcolo all'equilibrio limite con spinta passiva a monte rappresentata da una forza concentrata al piede, e calcolando i coefficienti di spinta con l'equazione di Coulomb, determinare: b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva, c) le pressioni orizzontali sul diaframma e disegnarne il grafico, d) i valori massimi delle sollecitazioni di taglio e momento flettente nel diaframma.

166 164 H D D s A B z w a q sabbia fine limo sabbioso Dati: H (m) = 5 D (m) = 7 s (m) = 0.8 q (kpa) = 10 z w (m) = 2 a (m) = 4 δ = φ' / 2 angolo d'attrito terra-m strato 1) sabbia fine: γ 1 (kn/m 3 ) = 19 φ' 1 ( ) = 38 k 1 (m/s) = C2 C1 strato 2) limo sabbioso: γ 2 (kn/m 3 ) = 20 φ' 2 ( ) = 34 coefficiente di permeabilità in direzione verticale k 2v (m/s) = 5.00E-06 coefficiente di permeabilità in direzione orizzontale k 2h (m/s) = 1.50E-05 Soluzione: a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2, D. coefficiente di permeabilità medio efficace per filtrazione in serie: k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) i tratto d i (m) k i (m/s) d i /k i (s) h i (m) 1 A-B 2 4.0E B-C E C1-C E C2-D 7 5.0E Σ i = k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) = 5.83E-06 m/s carico idraulico in A: h A (m) = 10 h i = v d i /k i carico idraulico in D: h D (m) = 7 perdita di carico tra A e D: h = (h A - h D ) = 3m lunghezza di filtrazione tra A e D: L = Σd i = 17.8 m gradiente idraulico tra A e D: i = h/l = velocità di filtrazione tra A e D: v = k m i = 9.82E-07 m/s h = z + u/γ w punto z (m) h (m) u/γ w (m) u (kpa) h = carico idraulico A z = altezza geometrica B u/γ w = altezza di pressione C C D b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva coefficienti di spinta: attiva passiva σ = σ' + u φ' (rad) δ (rad) K A K P σ' h = K σ' v strato a monte K = K A strato a valle K = K P / F punto z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) σ' h (kpa) σ' hp (kpa)

167 165 O A B (str. 1) B (str. 2) C C D O A B z w a H D C2 C1 D 3 4 pressioni neutre z pressioni orizzontali efficaci R Area forma base altezza superficie quota bar. momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (kn m/m) 1 triang rettang triang triang rettang triang rettang triang rettang triang triang /F /F /F Forza R R Equilibrio alla rotazione intorno al piede del diaframma: /F =0 da cui: F = 1.57 Area forma base altezza superficie quota bar. momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (kn m/m) 11 triang ΣM = 0 Equilibrio alla traslazione orizzontale: R = 0 da cui: R = kn/m ΣH = 0 c) le pressioni orizzontali sul diaframma punto z (m) u (valle) u (monte) σ' h (valle) σ' h (monte) p h (kpa) t (kn/m) m (knm/m) O A B (str. 1) B (str. 2) D C

168 166 z (m) p h (kpa) d) i valori massimi di taglio e momento flettente. il taglio massimo è alle sezioni di pressione zero: 1) in prossimità del piede del diaframma: z (m) = 0 t = R (kn/m) = ) nel tratto infisso C-D alla quota: z (m) = 5.64 t (kn/m) = il momento massimo è alla sezione di taglio zero: z si determina risolvendo l'equazione: a z 2 + b z + c = 0 a = b = c = da cui: z (m) = 2.91 t (kn/m) = 0 p h (kpa) = m = knm/m Esercizio 5 Si consideri un terrapieno costituito da argilla satura caratterizzata da un peso di volume γ = 21 kn/m 3, da un angolo di resistenza al taglio ϕ' = 25 e da una coesione c' = 10 kpa. Il terrapieno e' sostenuto per la sua intera altezza, H = 6 m, da una parte verticale scabra dotata di un attrito δ = 3/4 ϕ'. Nell'ipotesi che sul terrapieno agisca un sovraccarico uniformemente distribuito q = 10 kpa e che il livello di falda sia a 3 m dal piano di campagna, determinare la forza risultante che il terrapieno esercita sulla parete ed il suo punto di applicazione. Dati: γ (kn/m 3 ) = 21 ϕ' ( ) = (rad) c' (kpa) = 10 H (m) = 6 δ ( ) = (rad) q (kpa) = 10 z w (m) = 3 γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Soluzione: Si determina la tensione efficace verticale alla estremità superiore, A, ed inferiore della parete, C. e in corrispondenza della falda, B, assumendo il peso di volume uguale sopra e sotto la falda. assumendo il peso di volume uguale sopra e sotto la falda. σ' va (kpa) = 0.0 σ' vb (kpa) = 63.0 σ' vc (kpa) = 96.6 Si determina il coefficiente di spinta attiva ad esempio adottando la soluzione di Coulomb: (superficie di rottura piana) K a = 0.36 e quindi la distribuzione delle pressioni limite attive, comprensive del contributo del sovraccarico K a q σ' aa (kpa) = -8.4 σ' ab (kpa) = 14.2

169 σ' ac (kpa) = 26.2 da cui si ricava la profondità z 0 del punto O di annullamento delle pressioni limite attive: z 0 (m) = 1.11 Si trascura a favore di sicurezza il contributo negativo delle pressioni limite attive e si calcola la risultante delle pressioni limite attive tra O e B è pari a: S a1 (kpa) = 1/2 σ' ab (z w -z 0 ) = ed il braccio del punto di applicazione rispetto al piede della parete: x 1 (m) = H-z w +(z w -z 0 )/3= 3.63 Invece tra i punti B e C agsicono le forze: S a2 (kpa) = σ' ab (H-z w ) = S a3 (kpa) = (σ' ac σ' ab ) (H-z w )/2 = con i relativi bracci: x 2 (m) = (H-z w )\2 = 1.50 x 3 (m) = (H-z w )\3 = 1.00 Si calcola la spinta idrostatica ed il relativo braccio: S w (kpa) = 1/2 γ w (H-z w ) 2 = x w (m) = (H-z w )\3 = 1.00 Quindi si determina la risultante delle azioni che il terrapieno esercita sulla parete e il relativo punto di applicazione: P (kpa) = S a1 + S a2 + S a3 + S w = x P (m) = (S a1 x 1 + S a2 x 2 + S a3 x 3 + S w x w )/P=

170 168 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Capacità portante di fondazioni superficiali Esercizio 1 Una fondazione rettangolare di dimensioni BxL è posta alla profondità D da p.c. su un terreno costituito da sabbia, avente angolo di resistenza al taglio φ' e peso di volume γ. La falda freatica è a grande profondità. Sulla fondazione agisce un carico centrato di intensità P con componente verticale V e orizzontale H nel piano trasversale. Determinare, disegnare nel piano H-V e commentare il dominio di rottura che si ottiene utilizzando i fattori correttivi di inclinazione del carico di Vesic, che per terreno incoerente sono: i q = (1 - tanα) m+1 i γ = (1 - tanα') m con α = arctan(h / V) m = (2 + B/L) / (1 + B/L) Dati: B (m) = 3 φ' ( ) = 35 L (m) = 9 γ (kn/m 3 ) = 19 D (m) = 1.5 Soluzione: Nel caso in esame la capacità portante è data dall'equazione: q f = q 0 N q s q d q i q + 0,5 γ B N γ s γ i γ in cui: q 0 = γ D = 28.5 kpa per φ' = 35 = rad N q = secondo Prandtl e Reissner N γ = secondo Vesic s q = s γ = secondo Meyerhof d q = secondo Hansen per D < B α = arctan(h / V) i q = (1 - tanα) m+1 secondo Vesic m = 1.75 i γ = (1 - tanα') m secondo Vesic Q f = V = q f B L (kn) da cui: 80 Dominio di rottura 60 V (MN) H (MN)

171 169 Il dominio mostra che la rottura può prodursi per capacità portante o per slittamento della fondazione sul piano di posa. Infatti a parità di componente orizzontale H vi sono due valori limite della componente verticale V che producono la rottura: il valore limite inferiore corrisponde alla rottura per slittamento, il valore limite superiore corrisponde alla rottura per capacità portante. α ( ) tan α i q i γ Q f = V H = V tanα P

172 170 Esercizio 2 Una fondazione rettangolare di dimensioni B x L è posta alla profondità D dal p.c. su uno strato di argilla consistente e satura di grande spessore. La falda freatica è alla profondità D w dal p.c. Stimare la capacità portante per carico verticale centrato a breve e a lungo termine della fondazione. Dati: B = 2.5 m c u = 65 kpa L = 3.5 m c' = 3 kpa D = 1.7 m φ' = 27 D w = 1.2 m γ = 21.5 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 Soluzione: Capacità portante a breve termine (condizioni non drenate): q f = c u N c s c d c + q 0 N q s q d q per φ = 0 q 0 = γ D = kpa N c = 5.14 s c = 1 + 0,2 B/L = N q = 1 s q = 1 + 0,1 B/L = d c = 1 + 0,4 D/B = (D < B) da cui: d q = 1 q f = 525 kpa Q f = 4592 kn Capacità portante a lungo termine (condizioni drenate): q f = c' N c s c d c + q' 0 N q s q d q + 0,5 γ' B N γ s γ d γ per φ' = 27 = rad N c = (N q - 1) cotanφ' = N q = tan 2 (π/4 + φ'/2) exp(π tanφ') = N γ = 2 (N q + 1) tanφ' = q' 0 = γ D w + (γ - γ w ) (D - D w ) = kpa s c = 1 + 0,2 (B/L) (1+senφ') / (1-senφ') = s q = s γ = 1 + 0,1 (B/L) (1+senφ') / (1-senφ') = d c = 1 + 0,4 D/B = (D < B) d q = tanφ' (1 - senφ') 2 (D/B) = (D < B) d γ = 1 da cui: q f = 978 kpa Q f = 8554 kn Esercizio 3 Determinare la forza Q lim che produce la rottura a breve e a lungo termine della fondazione nastriforme di calcestruzzo rappresentata in figura. Il terreno di fondazione è omogeneo e NC. f.f. = p.c. B Qlim D Dati: D = 2 m B = 2.5 m γ cls = 25 kn/m 3 γ = 19.8 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 c u = 30 kpa φ' = 25

173 171 Soluzione: a breve termine: essendo: Q lim + W = B (c u N c + γ D) W = γ cls B D = 125 kn/m N c = risulta: Q lim = kn/m a lungo termine: essendo: Q lim + W' = B (0.5 γ' B N γ + γ' D N q ) W' = (γ cls - γ w ) B D = kn/m φ' = rad N γ = N q = γ' = γ - γ w = 9.99 kn/m 3 risulta: Q lim = kn/m Esercizio 4 Eseguire le verifiche di capacità portante a breve e a lungo termine per una fondazione a base quadrata su argilla NC. Le caratteristiche geometriche della fondazione, le azioni applicate, e la resistenza al taglio a breve e a lungo termine dell'argilla sono le seguenti: lato della fondazione: B (m) = 2.7 profondità del piano di fondazione: D (m) = 2.2 azioni trasmesse al piano di fondazione: a breve termine a lungo termine N (kn) = Mx (kn m) My (kn m) falda coincidente con il piano campagna proprietà geotecniche: γ (kn/m 3 ) = 19 c u (kpa) = 60 c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 25 Dati: lato della fondazione: B (m) = 2.7 profondità del piano di fondazione: D (m) = 2.2 azioni trasmesse al piano di fondazione: a breve termine a lungo termine N (kn) = M x (kn m) = M y (kn m) = falda coincidente con il piano campagna proprietà geotecniche: γ (kn/m 3 ) = 19 c u (kpa) = 60 c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 25 Soluzione: verifica a breve termineq lim = c u N c s 0 c d 0 c + q e x = M x /N = m L eq = B - 2 e x = m e y = M y /N = m B eq = B - 2 e y = m

174 172 φ = φ u = 0 N c = (2 + π) = s 0 c = (B eq /L eq ) = d 0 c = (D/B eq ) = q = γ D = 41.8 kpa q lim = 542 kpa q a = N/A eq = FS = (q lim - q)/(q a - q) = 2.52 A eq = L eq B eq = m kpa verifica a lungo termineq lim = 0.5 γ' B eq N γ s γ + c' N c s c d c + q' N q s q d q e x = M x /N = m L eq = B - 2 e x = m e y = M y /N = m B eq = B - 2 e y = m A eq = L eq B eq = m 2 γ'=γ-γ w = 9 kn/m 3 φ = φ' = 25 = rad N q = s q = d q = N c = s c = d c = N γ = s γ = q' = γ' D = 19.8 kpa q lim = 491 kpa q a = N/A eq = FS = (q lim - q)/(q a - q) = kpa Esercizio 5 Un muro di sostegno grande lunghezza ha larghezza della fondazione B = 3 m ed è interrato a valle per una profondità D = 1 m. La falda è molto profonda. La risultante delle azioni trasmesse in fondazione ha componente verticale V = 282 kn/m e orizzontale H = 102 kn/m, ed eccentricità e = 0.4 m. I parametri rappresentativi della resistenza al taglio del terreno di fondazione sono: c' (kpa) = 0 φ' ( ) = 34 Il peso di volume è γ = 18 kn/m 3. Determinare il fattore di sicurezza a rottura. Soluzione Larghezza efficace di calcolo (Meyerhof): B' = B - 2e = 2.2 m I fattori di capacità portante per φ' = 34 = rad sono (Meyerhof): N q = exp(π tanφ') tan 2 (π/4 + φ'/2) = N γ = (N q - 1) tan(1,4 φ') = L'angolo α di inclinazione della risultante del carico rispetto alla verticale è: α = arctan (H / V) = rad = I fattori di inclinazione valgono (Meyerhof): i γ = (1 - α / φ') 2 = i q = (1-2α / π) 2 = La capacità portante vale: q lim = γ D N q i q + 0,5 γ B' N γ i γ = 428 kpa La capacità portante netta vale: q n, lim = q lim - γ D = 410 kpa La pressione netta alla base vale: q e = V / B' - γ D = 110 kpa Il fattore di sicurezza a rottura è: FS = q n, lim / q e = 3.72

175 173 Esercizio 6 Un serbatoio cilindrico per petrolio ha diametro Φ. La fondazione, di rigidezza trascurabile, è posta alla profondità D. Il carico totale massimo trasmesso dal serbatoio al terreno di fondazione vale Q. Il livello di falda coincide con il piano campagna. Il terreno di fondazione è costituito. da un deposito omogeneo di argilla N.C. di cui sono note le caratteristiche geotecniche medie. Determinare la capacità portante ed il coefficiente di sicurezza a breve e a lungo termine. Dati: Φ = 30 m w L = 71 (%) γ = 20 kn/m 3 D = 1 m w P = 24 (%) c u (kpa) = 60 kpa Q = 100 MN w = 50 (%) φ' = 22 Soluzione: A = π Φ 2 /4 = 707 m 2 q = 1000 Q/A = 141 kpa capacità portante di fondazione circolare: q lim = c N c ζ c + γ D N q ζ q γ Φ N γ ζ γ coefficienti di forma: fattori di capacità portante: ζ c = 1 + N q /N c N c = (N q - 1) cotφ ζ q = 1 + tanφ N q = tan 2 (45 + φ/2) exp(π tanφ) ζ γ = 0.6 N γ = 2 (N q + 1) tanφ a breve termine: (φ = φ u = 0 ) φ = φ u = 0 = rad 0 c = c u = 60 kpa γ = γ sat = 20 kn/m 3 N c = 5.14 ζ c = N q = 1.00 ζ q = 1 N γ = 0.00 ζ γ = 0.6 q lim = 388 kpa coeff. di sicurezza: FS = q lim /q = 2.75 a lungo termine: (c = c' = 0; φ = φ' ) φ = φ' = 22 = rad c = c' = 0 kpa γ = γ' = 10 kn/m 3 N c = ζ c = N q = 7.82 ζ q = N γ = 7.13 ζ γ = 0.6 q lim = 751 kpa coeff. di sicurezza: FS = q lim /q = 5.31 Esercizio 7 Determinare i coefficienti di sicurezza rispetto alla rottura a breve e a lungo termine della trave di fondazione in c.a. rappresentata in figura. La falda freatica coincide con il piano di fondazione. Le azioni sono trasmesse alla sommità della trave da pilastri eguali a interasse L. Si trascuri la resistenza al taglio del terreno di riporto. Dati: trave di fondazione D = 1.5 m B = 1.2 m a = 0.5 m

176 174 D a M b B N H terreno di fondazione terreno di riporto b = 0.4 m γ ca = 25 kn/m 3 terreno di riporto: γ R = 18 kn/m 3 terreno naturale: γ sat = 20 kn/m 3 φ' = 24 c' = 10 kpa c u = 80 kpa interasse pilastri: L = 8 m Azioni trasmesse alla base da ciascun pilastro: a) di breve durata: N a = 1200 kn H a = 80 kn M a = 15 kn m b) di lunga durata: N b = 900 kn H b = 70 kn M b = 12 kn m Soluzione: Azioni trasmesse al terreno di fondazione per ogni metro lineare di trave: Carico verticale 1) peso della trave: γ ca [B a + b (D-a)] = 25 kn/m 2) peso del terreno sovrastante la trave: γ R (B-b) (D-a) = 14.4 kn/m 3a) car. vert. trasmesso dai pilastri a breve termine: N a /L = 150 kn/m 3b) car. vert. trasmesso dai pilastri a lungo termine: N b /L = kn/m carico verticale in fondazione a breve termine: 1) + 2) + 3a) = n a = kn/m carico verticale in fondazione a lungo termine: 1) + 2) + 3b) = n b = kn/m Carico orizzontale a breve termine: H a /L = h a = 10 kn/m a lungo termine: H b /L = h b = 8.75 kn/m Momento al piano di fondazione: a breve termine: (M a + H a D)/L = m a = kn m/m a lungo termine: (M b + H b D)/L = m b = kn m/m Eccentricità della risultante: a breve termine: e a = m a /n a = m a lungo termine: e b = m b /n b = m Inclinazione della risultante: a breve termine: α a = arctan(h a /n a ) = rad = a lungo termine: α b = arctan(h b /n b ) = rad = Capacità portante formula generale di Meyerhof: q lim = 0,5 γ B N γ λ γ d γ i γ + c N c λ c d c i c + q N q λ q d q i q a) a breve termine, in condizioni non drenate, in termini di pressioni totali, si ha: c = c u = 80 kpa fattori di capacità portante φ = φ u = 0 N γ = 0 N c = N q = 1 fattori di forma, λ, e fattori di profondità, d tutti eguali a 1. fattori di inclinazione del carico: i c = i q = (1-2α/π) = i γ = (1-α/φ) 2 per φ>α, i γ = 0 per φ<=α i γ = 0 larghezza equivalente per eccentricità della risultante: B' = B - 2e = B - 2e a = m γ = γ sat = 20 kn/m 3

177 175 q = γ R D = q lim = Q lim = q lim B' = 27 kpa 424 kpa 433 kn/m FS = (Q lim - qb)/(n a - qb) = 2.55 b) a lungo termine, in condizioni drenate, in termini di pressioni efficaci, si ha: c = c' = 10 kpa fattori di capacità portante φ = φ' = 24 N γ = N c = N q = fattori di forma, λ, e fattori di profondità, d tutti eguali a 1. fattori di inclinazione del carico: i c = i q = (1-2α/π) = i γ = (1-α/φ) 2 per φ>α i γ = 0 per φ<=α i γ = larghezza equivalente per eccentricità della risultante: B' = B - 2e = B - 2e a = m γ = γ' = kn/m 3 q = γ R D = 27 kpa q lim = 472 kpa Q lim = q lim B' = 476 kn/m FS = (Q lim - qb)/(n b - qb) = 3.91 Esercizio 8 Una fondazione superficiale rettangolare, di dimensioni BxL, è posta alla profondità D su un terreno coesivo saturo, avente peso di volume γ, resistenza al taglio non drenata c u, e parametri di resistenza al taglio c' e φ'. La profondità della falda acquifera non è nota. Sulla fondazione agisce un carico verticale V con eccentricità e, ed un carico orizzontale H. La direzione dell'eccentricità e del varico verticale e la direzione della forza H non sono note. Verificare le condizioni di stabilità della fondazione a breve e a lungo termine. Dati: B (m) = 3 V (kn) = 1200 c u (kpa) = 60 L (m) = 4 H (kn) = 280 c' (kpa) = 0 D (m) = 1 e (m) = 0.2 φ' ( ) = 38 γ (kn/m 3 ) = Soluzione: Si fanno le seguenti ipotesi che corrispondono alle condizioni più critiche: 1. falda coincidente con il piano campagna, 2. eccentricità e forza orizzontale nella direzione del lato minore B Larghezza ridotta equivalente: B' = B - 2e = 2.6 m B'/L = 0.65 Stabilità a breve termine L e H q f = c u N c s c i c d c + γ D N c = 5.14 s c = 1 + (B/L) (1/N c ) = m = [2 + (B'/L)] / [1 + (B'/L)] = ic = 1 - m H / (B' L c u Nc) = d c = 1 + 0,4 D/B' = B q f (breve termine) = kpa

178 176 FS = q f B' L / V = 3.16 Stabilità a lungo termine q f = γ' D N s i d + 0,5 γ' B' N s i q q q q γ γ γ φ' (rad) = N q = N γ = γ' = γ - γ w = kn/m 3 s q = 1 + (B'/L) tanφ' = s γ = (1-0,4 B'/L) = i q = [1 - H / (V + B' L c' cotg φ')] m = i γ = i q (m+1)/m = d q = tan φ' (1 - sen φ') 2 D/B = q f (lungo termine) = FS = q f B' L / V = kpa Esercizio 9 Una fondazione rettangolare di dimensioni B x L è posta alla profondità D dal p.c. su uno strato di argilla consistente e satura di grande spessore. La falda freatica è alla profondità D w dal p.c. Stimare la capacità portante per carico verticale centrato a breve e a lungo termine della fondazione. Dati: B = 2.5 m c u = 65 kpa L = 3.5 m c' = 3 kpa D = 1.7 m φ' = 27 D w = 1.2 m γ = 21.5 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 Soluzione Capacità portante a breve termine (condizioni non drenate): q f = c u N c s c d c + q 0 N q s q d q per φ = 0 q 0 = γ D = kpa N c = 5.14 s c = 1 + 0,2 B/L = N q = 1 s q = 1 + 0,1 B/L = d c = 1 + 0,4 D/B = (D < B) da cui: d q = 1 q f = 525 kpa Q f = 4592 kn Capacità portante a lungo termine (condizioni drenate): q f = c' N c s c d c + q' 0 N q s q d q + 0,5 γ' B N γ s γ d γ per φ' = 27 = rad N c = (N q - 1) cotanφ' = N q = tan 2 (π/4 + φ'/2) exp(π tanφ') = N γ = 2 (N q + 1) tanφ' = q' 0 = γ D w + (γ - γ w ) (D - D w ) = kpa s c = 1 + 0,2 (B/L) (1+senφ') / (1-senφ') = s q = s γ = 1 + 0,1 (B/L) (1+senφ') / (1-senφ') = d c = 1 + 0,4 D/B = (D < B) d q = tanφ' (1 - senφ') 2 (D/B) = (D < B) d γ = 1

179 177 da cui: q f = Q f = 978 kpa 8554 kn Esercizio 10 Una fondazione nastriforme di larghezza B è posta alla profondità D da piano campagna. Il terreno di fondazione è un'argilla satura avente peso di volume γ, resistenza al taglio media in condizioni non drenate c u, e parametri di resistenza al taglio c' e φ'. La falda freatica si trova alla profondità Z w = D dal p.c. Stimare la capacità portante per carico verticale centrato a breve e a lungo termine della fondazione (si trascuri il coefficiente di profondità). Dati: B = 2 m γ = 20 kn/m 3 D = 1 m c u = 80 kpa Z w = D = 1 m c' = 10 kpa φ' = 25 Soluzione: capacità portante a breve termine: capacità portante a lungo termine: q lim = c u N c + γ D q lim = c' N c + γ D N q + 0,5 γ' B N γ N c = 5.14 γ' = γ - γ w = kn/m 3 q lim = kpa φ' = rad N c = (N q - 1) cotgφ' = N q = tg 2 (π/4 + φ'/2) exp(π tgφ') = N γ = 2 (N q + 1) tgφ' = q lim = kpa Esercizio 11 La fondazione nastriforme rappresentata in figura è soggetta a pressoflessione. In condizioni di esercizio agisce una forza verticale Q 0 ed un momento M 0 = Q 0 e 0. 1) Calcolare e disegnare il dominio di rottura nel piano M (in ordinata) - N (in ascissa) della fondazione. 2) Calcolare l'incremento di forza verticale che produce la rottura a eccentricità e 0 costante. 3) Calcolare l'incremento di eccentricità che produce la rottura a forza verticale Q 0 costante. 4) Calcolare l'incremento di forza verticale che produce la rottura a momento M 0 costante. 5) Rappresentare nel dominio di rottura i punti corrispondenti alle condizioni di carico di esercizio e di rottura sopradette. e 0 D terreno incoerente asciutto Q 0 B Dati: larghezza della fondazione: B = 0.8 m profondità del piano di fondazione: D = 1.2 m peso di volume del terreno: γ = 19 kn/m 3 angolo di resistenza al taglio del terreno: φ' = 36 = rad coesione del terreno: c' = 0 kpa

180 178 forza verticale in condizioni di esercizio: Q 0 = 200 kn/m eccentricità di Q 0 : e 0 = 0.12 m Soluzione: 1. Dominio di rottura Q lim = B' (c N c + γd N q + 0,5 γb' N γ ) in condizioni di rottura N = Q lim B' = B - 2e γd = 22.8 kpa N q = N γ = Sostituendo e risolvendo si ottiene l'equazione: N = a e 2 + b e + c (1) in cui: a = 2 γ N γ = b = -2 γ (B N γ + D N q ) = c = γ B (D N q B N γ ) = M = N e e lim = B/2 = 0.4 m per l'equilibrio al ribaltamento alcuni punti del dominio di rottura: e N M = Ne dominio di rottura (m) (kn/m) (kn m/m) M (kn m/m) Condizioni di esercizio: e 0 Q 0 M 0 N (kn/m) (m) (kn/m) (kn m/m) punto 1 del grafico nella pagina seguente Incremento di forza verticale che produce la rottura a eccentricità e 0 costante. dalla (1) posto e = e 0 e risolvendo per N, si ottiene (equazione di 1 grado): Q lim (2) = 0.01 kn/m e = e 0 = 0.12 m Q (2) = kn/m M = 0.00 kn m/m punto 2 del grafico 3) Incremento di eccentricità che produce la rottura a forza verticale Q 0 costante. dalla (1) posto N = Q 0 e risolvendo per e, si ottiene (equazione di 2 grado): e lim (3) = m N = Q 0 = 200 kn/m e (3) = m M = kn m/m punto 3 del grafico 4) Incremento di forza verticale che produce la rottura a momento M 0 costante. dalla (1) posto e = M 0 /N e risolvendo per N, si ottiene (equazione di 3 grado): A N 3 + B N 2 + C N + D = 0 in cui: A = 1 B = -c =

181 179 C = -b M 0 = D = -a M 2 0 = a) soluzione analitica: p = E+05 y1 = q = E+07 N1 = kn/m Q = E+13 y2 = cos α = N2 = kn/m α = b) soluzione numerica (ricerca obiettivo F(N) = 0 al variare di N): N1 = kn/m N = N2 = kn/m F(N) = c) soluzione grafica (dal dominio di rottura) punti 4a e 4b del grafico 100 dominio di rottura 80 2 M (kn m/m) b 1 4a N (kn/m) coordinate per il grafico: punti linee x = N y = M x = N y = M a b Esercizio 12 Viene realizzata, per un muro di sotegno a mensola, una fondazione a base quadrata, di larghezza B = 2m,ad un aprofondità D = 1 m dal piano di campagna in un deposito di sabbia di elevato spessore. Tale deposito è caratterizzato da un peso di volume γ = 18 kn/m 3 sopra falda e da un peso di volume saturo γ sat = 20 kn/m 3 sotto falda e da un angolo di resistenza al taglio ϕ' = 35. Determinare la capacità portante della fondazione nell'ipotesi che il livello di falda sia: a) 5 m al di sotto della base del muro; b) 1 m al di sotto della base del muro; c) coincidente con la base del muro;

182 180 d) a 0.5 m dal piano di campagna e) coincidente col piano di campagna. Dati: B =L (m) = 2 D (m) = 1 γ (kn/m 3 ) = 18 γ sat (kn/m 3 ) 20 γ w (kn/m 3 ) 9.81 γ' (kn/m 3 ) = ϕ' ( ) = (rad) z w1 (m) = 6 z w2 (m) = 2 z w3 (m) = 1 z w4 (m) = 0.5 z w5 (m) = 0 Kp (-) = 3.7 Soluzione: Si determinano i fattori di capacità portante, di forma e di profondità della fondazione adottando la soluzione di Meyerhof (i fattori relativi alla coesione, Nc, s c e d c, non compaiono e la verifica viene effettuata in condizioni drenate dato il tipo il terreno di fondazione). N q (-) = e π tgϕ' tg(45 +ϕ'/2)= 33.3 N γ (-) = (N q - 1) tg(1.4 ϕ') = 37.2 s γ = s q (-) = B/L (tg(45 +ϕ')) (condizioni drenate) d γ = d q (-) = D/B tg(45 +ϕ') = 1.10 a) In tal caso la profondità della falda z w è maggiore di D+B, per cui è asciutto sia il terreno che costituisce il sovraccarico che quello interessato dalla rottura: q lim (kpa) = 1/2 γ B N γ s γ d γ + γ D N q s q d q = 1903 b) In tal caso la profondità della falda z w è compresa tra D e D+B, per cui è asciutto il terreno che costituisce il sovraccarico ma non quello interessato dalla rottura: q lim (kpa) = 1/2 [γ' +(γ-γ') (z w -D)/B] B N γ s γ d γ + γ D N q s q d q = 1685 c) In tal caso la profondità della falda z w è pari a D, per cui il terreno che costituisce il sovraccarico è asciutto mentre quello interessato dalla rottura è completamente saturo: q lim (kpa) = 1/2 γ' B N γ s γ d γ + γ D N q s q d q = 1467 d) In tal caso la profondità della falda z w è compresa tra 0 e D, per cui il terreno che costituisce il sovraccarico è in parte asciutto e in parte saturo, mentre quello interessato dalla rottura è completamente saturo: q lim (kpa) = 1/2 γ' B N γ s γ d γ + [γ z w + γ' (D-z w )] N q s q d q = 1272 e) In tal caso la profondità della falda z w è zero per cui sia il terreno che costituisce il sovraccarico che quello interessato dalla rottura sono completamente saturi: q lim (kpa) = 1/2 γ' B N γ s γ d γ + γ' D N q s q d q = 1077

183 181 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Costipamento Esercizio 1 Deve essere costruito un rilevato autostradale di larghezza B e di altezza H. Il terreno prescelto per la costruzione del rilevato è una sabbia, estratta da una cava di prestito, avente contenuto naturale in acqua w n, indice dei vuoti e 0 e gravità specifica G s. Le disposizioni di Capitolato impongono che il terreno del rilevato abbia peso di volume secco non inferiore a γ d. Determinare, per ogni km di rilevato: a) il peso di terreno da prelevare dalla cava, b) il numero di viaggi di camion, aventi capacità C, necessari per il trasporto del terreno, c) il peso dell'acqua trasportata per ogni viaggio di camion, d) il grado di saturazione del terreno in sito. Dati: B = 30 m w n = 15 % γ d = 18 kn/m 3 H = 1.5 m e 0 = 0.69 γ w = 9.8 kn/m 3 C = 10 m 3 G s = 2.7 Soluzione Il volume di un km di rilevato è: V = 1000 B H = m 3 corrispondente ad un peso secco minimo: P s = γ d V = kn ed ad un volume di solido: V s = P s / (G s γ w ) = m 3 Nella cava di prestito la quantità di terreno da estrarre per ogni km di rilevato ha: volume dei vuoti: V v = e 0 V s = m 3 volume totale: V in cava = V s + V v = m 3 peso di acqua: P w = w n P s / 100 = kn peso totale: P = P s + P w = kn volume di acqua: V w = P w / γ w = m 3 dunque: a) il peso di terreno da prelevare dalla cava è: P = MN b) il numero di viaggi di camion necessari per il trasporto è: N = V in cava / C = 5173 c) il peso dell'acqua trasportata per ogni viaggio di camion è: P w / N = 23.5 kn d) il grado di saturazione del terreno in sito è: S r = (V w / V v ) 100 = 58.7 % Esercizio 2 Un campione di terreno sabbioso costipato di peso W e volume V ha contenuto in acqua w e peso specifico dei costituenti solidi γ s. Calcolare:a) peso di volume, b) peso di volume secco, c) indice dei vuoti, d) grado di saturazione. Dati: W (N) = = W s + W w γ w (kn/m 3 ) = 9.81 V (cm 3 ) = 944 = V s + V v = V s + V w + V g w (%) = 15 = (W w /W s )*100 γ s (kn/m 3 ) = = W s /V s Soluzione: a) peso di volume, γ γ = W/V = N/cm 3 = kn/m 3 b) il peso di volume secco, γ d γ d = W s /V W s = W/(1+w/100) = N γ d = N/cm 3 = kn/m 3

184 182 c) indice dei vuoti, e e = V v /V s V s = W s /γ s = cm 3 V v = V - V s = cm 3 e = d) grado di saturazione, S r S r = (V w /V v )*100 V w = (W - W s )/γ w = cm 3 S r = 84.5 % Esercizio 3 In tabella sono riportati i risultati di una prova Proctor normale (AASHTO standard). Il recipiente cilindrico metallico ha una massa M m = kg. Il peso specifico dei grani del terreno vale G s = γ s /γ w = a) calcolare il peso di volume secco, γ d, e il contenuto in acqua, w, per ogni punto sperimentale, b) calcolare e disegnare le curve che rappresentano la variazione di γ d con w per Sr = 100% e per Sr = 80%, c) disegnare la curva di costipamento e determinare il contenuto in acqua optimum, w opt, ed il peso di volume secco maximum, γ dm. In tabella sono indicati con: M ms la massa del recipiente cilindrico metallico e del terreno costipato, M v la massa del recipiente di vetro in cui si pone il terreno da pesare, M lu la massa del recipiente di vetro e del provino di terreno umido, la massa del recipiente di vetro e del provino di terreno essiccato, M ls determinazione n M ms (kg) M v (g) M lu (g) M ls (g) Soluzione Il volume del cilindro metallico di prova è: V m = 945 cm 3 = m 3 Per ogni punto sperimentale: il peso di volume vale: γ = (M ms - M m ) g / V m, essendo g = 9,807 m/s 2 l'accelerazione di gravità, il contenuto in acqua vale: w = (M lu - M ls ) x 100 / (M ls - M v ), il peso di volume secco vale: γ d = γ / (1 + w/100), dunque si ottiene: a) determinazione n γ (kn/m 3 ) w (%) γ d (kn/m 3 )

185 183 b) Si utilizza l'equazione: γ d = (γ w S r G s ) / ( S r + w G s ), ottenendo: Sr (%) c) w (%) γ d (kn/m 3 ) γ d (kn/m 3 ) w opt = 11.7 % γ dm = kn/m x y Sr = 80% Sr = 100% sperim. γd (kn/m 3 ) w (%) Esercizio 4 Il terreno di un rilevato è messo in opera e costipato con peso di volume γ e contenuto in acqua w. Il peso specifico dei costituenti solidi è γ s. Calcolare il peso di volume secco, γ d, l'indice dei vuoti, e, ed il grado di saturazione, S r, del terreno in opera. Verificare se è possibile costipare il terreno con contenuto in acqua w 1 e peso di volume secco γ d1. Dati: γ = 21.5 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 w = 12 % w 1 = 13.5 % γ s = 26.5 kn/m 3 γ d1 = 20 kn/m 3 Soluzione: posto: Ps = 1

186 184 segue: Pw = w Ps / 100 = γ d = Ps / V = kn/m 3 P = Ps + Pw = e = Vv / Vs = V = P / γ = S r = 100 Vw / Vv = 85.2 % Vw = Pw / γw = Vs = Ps / γs = Vv = V - Vs = Vg = Vv - Vw = A parità di contenuto in acqua la massima densità secca si ha per il terreno saturo. posto: Ps = 1 Pw1 = w 1 Ps / 100 = Vw = Vv = Pw1 / γ w = Vs = Ps / γ s = V = Vs + Vv = γ d,max = Ps / V = kn/m 3 < 20 kn/m 3 Non è possibile costipare il terreno con contenuto in acqua w 1 e peso di volume secco γ d1.

187 185 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Stato critico Esercizio 1 Nella tabella sottostante sono riportate le misure eseguite al termine della consolidazione durante una prova di compressione edometrica su un provino di argilla. punto n σ' v (kpa) h (mm) L'altezza iniziale del provino era: h 0 (mm) = 20 La massa specifica relativa dei grani è: G s = ρ s / ρ w = 2.75 I dati per il calcolo del contenuto in acqua al termine della prova sono: massa del contenitore vuoto: m c = 4.97 g massa del contenitore + provino um c + m = g massa del contenitore + provino sm c + m s = g Calcolare in contenuto in acqua e l'indice dei vuoti a fine prova, assumendo che il provino sia saturo. Si faccia riferimento alla teoria dello stato critico e al modello Cam clay. Disegnare il grafico volume specifico v - logaritmo naturale della pressione verticale efficace σ' v Calcolare la pressione di consolidazione e le pendenze delle linee di compressione edometrica vergine e di scarico-ricarico. Soluzione: massa del provino umido a fine prova: m = g massa del provino secco a fine prova: m s = g massa dell'acqua nel provino a fine prova: m w = m - m s = 3.33 g contenuto in acqua a fine prova: w = 100 m w / m s = % indice dei vuoti a fine prova: e fin = V w / V s = (w/100) G s = volume specifico a fine prova: v fin = 1 + e fin = indice dei vuoti a inizio prova: e 0 = (e fin + 1) h 0 /h fin - 1 = volume specifico a inizio prova: v 0 = 1 + e 0 = In generale: v = (v 0 /h 0 ) h v 0 /h 0 = punto n v ln(σ' v ) v 1.62 v ln (σ' v ) σ' v (kpa)

188 186 linea di ricarico (tra i punti 1 e 2) x y pendenza κ = intercetta v κ = linea di carico vergine (tra i punti 4 e 5) x y pendenza λ = intercetta N= linea di scarico (tra i punti 6 e 7) x y pendenza κ = intercetta v κ = ascissa del punto di intersezione tra le linee di ricarico e di carico vergine: ln (σ' vc ) = pressione di consolidazione σ' vc = 154 kpa Esercizio 2 Due provini di argilla satura N.C. sono consolidati isotropicamente alle pressioni σ' c (A) e σ' c (B). Al termine della consolidazione isotropa gli indici dei vuoti dei due provini sono rispettivamente e 0 (A) e e 0 (B). Il parametro di stato critico Γ dell'argilla è noto. Se i provini sono portati a rottura in condizioni drenate, la tensione deviatorica a rottura (e allo stato critico) del provino B vale q f (B). Determinare i valori dei parametri di stato critico N, λ, M dell'argilla. Determinare l'indice dei vuoti e lo stato tensionale a rottura in condizioni drenate dei provini A e B. Stimare l'indice dei vuoti e lo stato tensionale a rottura in condizioni non drenate dei provini A e B. Dati: σ' c (A) = 150 kpa e 0 (A) = 0.75 σ' c (B) = 300 kpa e 0 (B) = 0.65 q f (B) = 368 kpa Γ = 2.37 Soluzione I punti rappresentativi dello stato di tensione dei due provini al termine della consolidazione sono sulla linea di consolidazione normale (NCL) che ha equazione: v 0 = N - λ ln σ' c v 0 (A) = 1 + e 0 (A) = N - λ ln σ' c (A) v 0 (A) = 1.75 ln σ' c (A) = v 0 (B) = 1 + e 0 (B) = N - λ ln σ' c (B) v 0 (B) = 1.65 ln σ' c (A) = da cui: λ = N = Rottura in condizioni drenate Il percorso tensionale del provino B, portato a rottura in condizione drenate, ha pendenza 3:1 nel piano p'-q, dunque: p' f (B) = σ' c (B) + q f (B)/3 = kpa M = q f (B) / p' f (B) = v f (B) = Γ - λ ln p' f (B) = e f (B) = v f (B) - 1 = Per il provino A, portato a rottura in condizioni drenate, è: p' f (A) = σ' c (A) + q f (A)/3 = q f (A) / M da cui: q f (A) = σ' c (A) 3M / (3 - M) = kpa p' f (A) = kpa v f (A) = Γ - λ ln p' f (A) = e f (A) = v f (A) - 1 = Rottura in condizioni non drenate Il volume, e quindi l'indice dei vuoti, dei due provini in condizioni non drenate non varia. v f (A) = v 0 (A) = 1.75 e f (A) = e 0 (A) = 0.75

189 187 v f (B) = v 0 (B) = 1.65 e f (B) = e 0 (B) = 0.65 p' f (A) = exp[(γ - v f (A)) / λ] = p' f (B) = exp[(γ - v f (B)) / λ] = q f (A) = M p' f (A) = q f (B) = M p' f (B) = p f (A) = σ' c (A) + q f (A)/3 = p f (B) = σ' c (B) + q f (B)/3 = u f (A) = p f (A) - p' f (A) = u f (B) = p f (B) - p' f (B) = 73.5 kpa kpa 64.0 kpa kpa kpa kpa 97.8 kpa 24.3 kpa Esercizio 3 Alcuni provini ricostituiti di argilla satura, sono consolidati isotropicamente in cella triassiale alla stessa pressione media efficace p' A. L'argilla è caratterizzata dalle seguenti costanti, note, del modello di stato critico: λ, κ, Γ, Μ. Una volta terminata la consolidazione (in assenza di back pressure): 1. il provino n. 1 è portato a rottura in condizioni non drenate, 2. il provino n. 2 è portato a rottura in condizioni drenate, 3. Il provino 3 è scaricato isotropicamente fino alla pressione media efficace p' B e successivamente portato a rottura in condizioni non drenate, 4. Il provino 4 è scaricato isotropicamente fino alla pressione media efficace p' B e successivamente a rottura in condizioni drenate, 5. Il provino 5 è scaricato isotropicamente fino alla pressione media efficace p' c e successivamente portato a rottura in condizioni non drenate, 6. Il provino 6 è scaricato isotropicamente fino alla pressione media efficace p' c e successivamente portato a rottura in condizioni drenate, Determinare lo stato tensionale e deformativo (p', p, q, v, u) dei 6 provini a rottura. Si assuma valida la seguente relazione del modello Cam Clay modificato: Ν = Γ + (λ - κ) ln2 Dati: λ = p' A = 400 kpa κ = p' B = 320 kpa Γ = 2.00 p' C = 100 kpa Μ = 0.9 Soluzione: Ν = Γ + (λ - κ) ln2 = Il punto rappresentativo dello stato dei 6 provini al termine della consolidazione sotto la pressione p' A è sulla linea NCL. Dunque lo stato tensionale e deformativo iniziale dei 6 provini è: p' = p' A = 400 kpa p = p A = 400 kpa q = q A = 0 kpa v A = Ν - λ lnp' A = u A = 0 kpa provino n. 1 (a rottura in condizioni non drenate) v f (1) = v A = Γ - λ ln(p' f (1)) = da cui: p' f (1) = exp[(γ - v A ) / λ] = kpa q f (1) = Μ p' f (1) = kpa p f (1) = p A + q f (1) / 3 = kpa u f (1) = kpa provino n. 2 (a rottura in condizioni drenate)

190 188 q f (2) = Μ p' f (2) = 3 (p' f (2) - p' A ) da cui: p' f (2) = 3 p' A / (3 - Μ) = kpa p f (2) = p' f (2) = kpa q f (2) = Μ p' f (2) = kpa v f (2) = Γ - λ ln(p' f (2)) = u f (2) = 0 kpa provino n. 3 (scarico isotropo fino a p' B quindi a rottura in condizioni non drenate) v B = v A + κ ln(p' A / p' B ) = v f (3) = v B = v f (3) = Γ - λ ln(p' f (3)) da cui: p' f (3) = exp[(γ - v f (3)) / λ] = kpa q f (3) = Μ p' f (3) = kpa p f (3) = p' B + q f (3) / 3 = kpa u f (3) = kpa provino n. 4 (scarico isotropo fino a p' B quindi a rottura in condizioni drenate) v B = v A + κ ln(p' A / p' B ) = q f (4) = Μ p' f (4) = 3 (p' f (4) - p' B ) da cui: p' f (4) = 3 p' B / (3 - Μ) = kpa p f (4) = p' f (4) = kpa q f (4) = Μ p' f (4) = kpa v f (4) = Γ - λ ln(p' f (4)) = u f (4) = 0 kpa provino n. 5 (scarico isotropo fino a p' C quindi a rottura in condizioni non drenate) v C = v A + κ ln(p' A / p' C ) = v f (5) = v C = v f (5) = Γ - λ ln(p' f (5)) da cui: p' f (5) = exp[(γ - v f (5)) / λ] = kpa q f (5) = Μ p' f (5) = kpa p f (5) = p' c + q f (5) / 3 = kpa u f (5) = -8.4 kpa provino n. 6 (scarico isotropo fino a p' C quindi a rottura in condizioni drenate) v C = v A + κ ln(p' A / p' C ) = q f (6) = Μ p' f (6) = 3 (p' f (6) - p' C ) da cui: p' f (6) = 3 p' C / (3 - Μ) = kpa p f (6) = p' f (6) = kpa q f (6) = Μ p' f (6) = kpa v f (6) = Γ - λ ln(p' f (6)) = u f (6) = 0 kpa

191 v C B A p' (kpa) q (kpa) C 200 B Tabella riassuntiva: provino n. p' f (kpa) p f (kpa) q f (kpa) v f u f (kpa) A Esercizio 4 I risultati di una prova di compressione isotropa su un provino di terreno sono indicati in tabella. Disegnare il grafico ln(p')-v e determinare i parametri: λ, κ, N e v κ. p' (kpa) v A p' (kpa)

192 190 Dati: p' (kpa) v ln (p') Soluzione: da regressione lineare: N = λ = v κ = κ = v = Ln(p') R 2 = 1 v 2 v = Ln(p') R 2 = p' (kpa) Esercizio 5 Un provino di argilla satura N.C., di volume iniziale V iniz, è isotropicamente consolidato in cella triassiale alla pressione p' c. Durante la fase di consolidazione si registra una riduzione di volume V cons. Il provino è portato a rottura in condizioni drenate. I valori di tensione deviatorica ( σ' a - σ' r ) e di variazione di volume V al crescere della deformazione assiale ε a sono riportati in tabella. Sono inoltre noti i valori dei parametri Ν e λ del terreno. Calcolare e disegnare le curve: ε a -q, ε a -ε v, p'-v, e (p'/p' e )-(q/p' e ). N.B.: p' e è la pressione efficace equivalente, per definizione: p' e = exp[(ν - v) / λ] Dati: V iniz = 86.2 ml ε a (σ' a - σ' r ) V p' c = 300 kpa (%) (kpa) (ml) V cons = 6.2 ml Ν = λ = a rottura Soluzione

193 191 Il volume al termine della fase di consolidazione vale: V 0 = V iniz - V cons = 80 ml la deformazione volumetrica è per definizione: ε v (%) = V/V il volume specifico è per definizione: v = v 0 (1 - ε v /100) il volume specifico a fine consolidazione è: v 0 = Ν - λ lnp' c = la tensione deviatorica è: q = (σ' a - σ' r ) la tensione media efficace è: p' = q/3 + p' c dunque: ε a q V ε v v p' e p' p' / p' e q / p' e (%) (kpa) (ml) (%) ( - ) (kpa) (kpa) ( - ) ( - ) q (kpa) ε a (%) ε v (%) ε a (%) v p' (kpa) q/p' e p'/p' e Esercizio 6 Un provino di argilla N.C. avente le seguenti caratteristiche: M = 1.02 Γ = 3.17 per p' = 1 kpa λ = 0.2 N = 3.32 per p' = 1 kpa κ = 0.05 è sottoposto a prova TxCID. Lo stato tensionale efficace iniziale (A) del provino è il seguente:

194 192 p' (A) = 30 kpa q (A) = 0 kpa Lo stato tensionale efficace a fine consolidazione (B) è il seguente: p' (B) = 150 kpa q (B) = 0 kpa determinare: a) le tensioni principali, il volume specifico e l'indice dei vuoti nello stato A b) le tensioni principali, il volume specifico e l'indice dei vuoti nello stato B c) lo stato tensionale (p', q), le tensioni principali, il volume specifico e l'indice dei vuoti allo stato critico (C) d) l'angolo di resistenza al taglio, φ', l'indice di compressione, Cc, e l'indice di rigonfiamento, Cs. Dati: M = 1.02 Γ = 3.17 λ = 0.2 N = 3.32 κ = 0.05 p' (A) = 30 q (A) = 0 p' (B) = 150 q (B) = 0 Soluzione: a) le tensioni principali, il volume specifico e l'indice dei vuoti nello stato A σ' 1 (A) = 30 kpa σ' 3 (A) = 30 kpa v(a) = e(a) = b) le tensioni principali, il volume specifico e l'indice dei vuoti nello stato B σ' 1 (B) = 150 kpa σ' 3 (B) = 150 kpa v(b) = e(b) = c) lo stato tensionale (p', q), le tensioni principali, il volume specifico e l'indice dei vuoti allo stato critico (C) p'(c) = 227 kpa q(c) = 232 kpa σ' 1 (C) = 382 kpa σ' 3 (C) = 150 kpa v(c) = e(c) = d) l'angolo di resistenza al taglio, φ', l'indice di compressione, Cc, e l'indice di rigonfiamento, Cs φ' ( ) = 25.8 Cc = Cs = Esercizio 7 Un provino di terreno N.C., di cui sono noti i parametri λ, κ e Ν, è soggetto alla sequenza di carico isotropo indicata in tabella. Determinare il valore del parametro v κ, e calcolare e disegnare il percorso tensionale nel piano p'-v e lnp'-v. Dati λ = 0.20 punto A B C D E κ = 0.05 p' (kpa) Ν = 3.25

195 193 Soluzione: eq. della NCL: v = Ν - λ lnp' da cui si ricavano i valori di v per i punti A, B e C il punto C è intersezione della NCL con la linea di scarico di eq. : v = v κ - κ lnp' per cui: v κ = Ν - (λ - κ) lnp'(c) I valori di v per i punti D ed E si ottengono con l'eq.: v = v κ - κ lnp' punto A B C D E v κ = p' (kpa) ln(p') x y v v p' (kpa) v ln (p')

196 194 Esercizio 8 In tabella 1 sono raccolti i valori di p', q, e v in condizioni di stato critico ottenuti su 6 provini dello stesso terreno. Rappresentare la CSL nel piano p' - q e nel piano ln(p') - v, e determinare iparametri: M, λ e Γ. Tabella 1 prova p' (kpa) q (kpa) v ln (p') Con il medesimo terreno sono preparati 4 provini (A, B, C e D) sottoposti a percorsi tensionali isotropi con pressione neutra costante u 0 (kpa) = 100 fino a raggiungere gli stati indicati in tabella 2. Tabella 2 provino p' 0 (kpa) v 0 OCR A B C D I provini A e C sono portati allo stato critico applicando una tensione deviatorica a pressione media totale costante in condizioni drenate. I provini B e D sono portati allo stato critico applicando una tensione deviatorica a pressione media totale costante in condizioni non drenate. Calcolare per i 4 provini i valori di p', v, q ed u allo stato critico e rappresentare i rispettivi percorsi tensionali nel piano p'-q e nel piano (lnp')-v. Soluzione: q (kpa) v p' (kpa) p' (kpa) Statistica della regressione R multiplo R al quadra R al quadra Errore stan Osservazio 6

197 195 ANALISI VARIANZA gdl SQ MQ F gnificatività F Regression E-09 Residuo E E-06 Totale Coefficientirore standa Stat t e di significanferiore 95%uperiore 95feriore 95.0iore 95.0% Intercetta E Variabile X E da regressione lineare con intercetta zero: da regressione lineare: M = λ = p' q Γ = p' v linea di stato critico (CSL): q = M p' v = Γ - λ ln(p') linea di consolidazione normale (NCL): q = 0 v = N - λ ln(p' 0 ) da cui: N = v + λ ln(p' 0 ) v = 1.97 p' 0 = 600 kpa N = linea di scarico - ricarico cui appartengono i punti A-B e C-D: q = 0 v = v κ - κ ln(p' 0 ) da cui: κ = (v 0A - v 0C ) / (ln(p' 0 ) C - ln(p' 0 ) A ) v κ = v 0A - κ ln(p' 0 ) A = NCL p' v v scarico - ricarico p' v C-D A-B p' (kpa) 1000 Provini A e C, condizioni drenate, pressione media efficace costante: Provino A Provino C st. iniz.: st. critico: st. iniz.: st. critico: p' (kpa) = p' (kpa) = v = v = q (kpa) = q (kpa) = u (kpa) = u (kpa) =

198 196 Provini B e D, condizioni non drenate, volume specifico costante: Provino B Provino D st. iniz.: st. critico: st. iniz.: st. critico: p' (kpa) = p' (kpa) = v = v = q (kpa) = q (kpa) = u (kpa) = u (kpa) = provino A p' q v provino C p' q v provino B p' q v provino D p' q v q (kpa) A 200 B D C p' (kpa) v 2.1 C D B 1.9 A p' (kpa) Esercizio 9 In tabella sono raccolti i valori di q f, p' f e v f in condizioni di stato critico, ottenuti in una serie di prove triassiali drenate condotte su campioni N.C. e O.C. dello stesso terreno. Disegnare i punti rappresentativi nei piani p' - q e ln(p') - v e determinare i parametri Μ, λ e Γ. prova q f (kpa) p' f (kpa) v f ( - ) A B C D E F Soluzione:

199 da cui: Μ = q f (kpa) q f = 1,0221 p' f R 2 = 1 prova ln(p' f ) A B C D E F p' f (kpa) v = -0,201 ln(p' f ) + 3,1008 R 2 = 0,9998 da cui: λ = Γ = v ( - ) ln(p' f ) Esercizio 10 Un'argilla satura NC è caratterizzata dai seguenti parametri di stato: Ν = 2.48 λ = 0.12 Γ = 2.41 Μ = 1.35 Determinare i valori della tensione deviatorica e dell'indice dei vuoti a rottura in prova triassiale non drenata e drenata su provini consolidati a pressione isotropa p' c = 300 kpa Soluzione: A fine consolidazione isotropa il volume specifico dei provini è: v c = Ν - λ ln(p' c ) = In prova TxCIU su provino saturo il volume rimane costante, quindi l'indice dei vuoti a rottura vale: e f = v f -1 = v c - 1 = Per terreno NC la rottura coincide con lo stato critico. La pressione efficace media allo stato critico, e quindi a rottura, si desume dall'equazione: v = Γ - λ ln(p') e vale: p' f = 167 kpa La tensione deviatorica a rottura vale: q f = Μ p' f = 226 kpa In prova TxCID su provino saturo la pendenza del percorso tensionale nel piano q-p' è 3, dunque per la tensione deviatorica a rottura è:

200 198 q f = 3 (p' f - p' c ) = 3 (q f /Μ - p' c ) da cui: q f = (3Μp' c )/(3-Μ) = 736 kpa p' f = q f /Μ = v f = Γ - λ ln(p' f ) = e f = v f -1 = kpa Esercizio 11 I parametri di stato critico di un'argilla N.C. siano i seguenti: Γ = 2.5 λ = 0.15 M = 0.9 N = 2.65 Due provini sono consolidati in cella triassiale alla pressione isotropa p 0 ' (kpa) 200 Uno dei due provini (A) è sottoposto a prova TxCID, l'altro (B) a prova TxCIU. Determinare per i due provini a rottura: a) le tensioni media efficace, p', e deviatorica, q b) le tensioni principali efficaci, σ' 1 e σ' 3 c) il volume specifico, v, e l'indice dei vuoti, e Dati: Γ = 2.5 p 0 ' = 200 kpa λ = 0.15 q 0 = 0 kpa M = 0.9 N = 2.65 soluzione: da l'equazione della linea NCL: v 0 = N - λ ln p' 0 = e 0 = v 0-1 = provino A - prova TxCID - percorso tensionale con q/ p' = 3 a) q f = M p' f p' f = p' 0 + q f /3 da cui: q f = p' 0 /(1/M - 1/3) = 257 kpa p' f = 286 kpa b) σ' 3f =(3p' f - q f )/3 = 200 kpa σ' 1f = q f + σ' 3f = 457 kpa c) da l'equazione della linea CSL: v = Γ - λ ln p' v f = e f = provino B - prova TxCIU - percorso tensionale a volume costante a) da l'equazione della linea CSL: v = Γ - λ ln p' q = M p' f = 66 kpa p' f = exp[(γ - v)/λ] = 74 kpa b) σ' 3f =(3p' f - q f )/3 = 52 kpa σ' 1f = q f + σ' 3f = 118 kpa c) v f = e f = Esercizio 12 Un provino di argilla satura è consolidato in cella triassiale con pressione isotropa σ' c0. Al termine della consolidazione il volume del provino è V 0 e l'indice dei vuoti e 0. La pressione isotropa di cella è portata fino al valore σ' c1 e, a fine consolidazione, il provino ha espulso un volume d'acqua V w1. La pressione isotropa di cella è poi ridotta fino al valore σ' c2, e ciò determina l'assorbimento di un volume d'acqua V w2. Determinare i valori dei parametri N, Γ, λ e κ del modello Cam Clay (teoria dello stato critico), tenendo presente che vale la relazione: N = Γ + λ - κ

201 199 Dati: σ' c0 = 200 kpa σ' c1 = 400 kpa σ' c2 = 300 kpa V 0 = 86 cm 3 V w1 = cm 3 V w2 = cm 3 e 0 = 1.6 Soluzione: A fine consolidazione sotto la pressione isotropa di cella σ' c0 il volume specifico vale: v 0 = 1 + e 0 = 2.6 essendo: V = V s + V v = V s (1 + V v / V s ) = V s (1 + e) = V s v V s è costante, quindi: V = V v = V s v il volume dei solidi è: V s = V 0 / v 0 = cm 3 ed il volume dei vuoti, eguale al volume dell'acqua in quanto il provino è saturo, vale: V v = V w = V - V s = cm 3 La variazione di volume specifico in seguito all'applicazione della pressione di cella σ' c1 vale: v 1 = - V v1 /V s = - V w1 /V s = La pendenza λ della linea di consolidazione normale NCL vale: λ = - v / ln(p') = - v1 / ln(σ' c1 /σ' c0 ) = Durante la fase di scarico la variazione di volume specifico è: v 2 = V v2 /V s = V w2 /V s = La pendenza κ della linea di scarico - ricarico vale: κ = - v / ln(p') = - v 2 / ln(σ' c2 /σ' c1 ) = La NCL ha equazione v = N - λ lnp' il punto di coordinate: v = v 0 = 2.6 lnp' = ln(σ' c0 ) = appartiene alla NCL, dunque N = v 0 + λ ln(σ' c0 ) = essendo: N = Γ + λ - κ risulta Γ = Esercizio 13 In tabella sono riportati i risultati ottenuti da una serie di prove triassiali non drenate (TxCIU) e da una serie di prove triassiali drenate (TxCID) su provini di un'argilla N.C. in assenza di back pressure. Assumendo G s = 2.75 : 1. Determinare i parametri di stato critico Μ, Ν, Γ e λ; 2. Stimare i valori a rottura di q, p', u e v per un provino della stessa argilla consolidato alla pressione p' c e portato a rottura in condizioni non drenate; 3. Stimare i valori a rottura di q, p' u e v per un provino della stessa argilla consolidato alla pressione p' c e portato a rottura in condizioni drenate. Legenda: σ r = tensione radiale u f = pressione neutra a rottura σ af = tensione assiale a rottura w f = contenuto in acqua a rottura prove TxCIU prove TxCID σ r σ af - σ r u f w f σ' af - σ' r w f (kpa) (kpa) (kpa) (%) (kpa) (%) p' c = 300 kpa Soluzione: v = 1 + e = 1 + (w f / 100) G s

202 200 a fine consolidazione: q f = 0 p' f = σ r w = w f di prova TxCIU in prove non drenate: q f = (σ af - σ r ) p' f = (σ af + 2 σ r ) / 3 - u f = [(σ af - σ r ) + 3 σ r ] / 3 - u f in prove drenate: q f = (σ' af - σ' r ) p' f = (σ' af + 2 σ' r ) / 3 = [(σ' af - σ' r ) + 3 σ' r ] / 3 dunque: a fine consolidazione p' (kpa) q (kpa) v (-) ln (p') a rottura in prova TxCIU a rottura in prova TxCID p' f (kpa) q (kpa) v (-) ln (p' f ) p' f (kpa) q (kpa) v (-) ln (p' f ) linea di consolidazione normale (NCL): linea di stato critico (CSL): a fine consolidazione a rottura per terreno N.C. q = 0 q = Μ p' f v = Ν - λ ln(p') v = Γ - λ ln(p' f ) p' f (kpa) q (kpa) v (-) ln (p' f ) x y x y

203 CSL v = -0,0878 ln(p' f ) + 2,0474 R 2 = 0,9925 NCL v = -0,0877 ln(p') + 2,0811 R 2 = 0,9956 v NCL TxCIU TxCID CSL Lineare (NCL) Lineare (CSL) ln (p') x y x y CSL qf = 0,8339 p'f 800 R2 = 0,9974 qf (kpa) TxCIU TxCID Lineare (CSL) p'f (kpa) da cui: Μ = Ν = λ = Γ =

204 202 A fine consolidazione i provini consolidati isotropicamente alla pressione p' c = hanno volume specifico: v = Ν - λ ln(p') = kpa Il provino portato a rottura in condizioni non drenate allo stato critico ha: tensione media efficace: p' f = exp[(γ - Ν + λ ln(p' c )) / λ] = kpa tensione deviatorica: q f = Μ p' f = kpa pressione neutra: u = p' c + q f /3 - p' f = kpa volume specifico: v = Il provino portato a rottura in condizioni drenate allo stato critico ha: tensione media efficace: p' f = 3 p' c / (3 - Μ) = kpa tensione deviatorica: q f = Μ p' f = kpa pressione neutra: u = 0.0 kpa volume specifico: v f = Γ - λ ln(p' f ) = 1.518

205 203 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Cedimenti di fondazioni superficiali Esercizio 1 Una fondazione rettangolare flessibile di dimensioni B x L trasmette una pressione verticale uniforme di intensità p alla profondità D dal piano campagna. Il terreno di fondazione è costituito, dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia fine di spessore H 1, da uno strato di argilla di spessore H 2, quindi da sabbia e ghiaia fino a grande profondità. La falda freatica è alla profondità Z w da piano campagna. Il terreno è saturo anche sopra falda. La sabbia ha un indice dei vuoti medio e 1, e gravità specifica dei costituenti solidi G s,1. L'argilla ha gravità specifica dei costituenti solidi G s,2, indice di compressione C c e indice di ricompressione C r. Stimare il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei casi in cui: a) l'argilla sia normalmente consolidata (OCR = 1) ed abbia un contenuto in acqua medio w a. b) l'argilla sia debolmente sovraconsolidata (OCR = 1.5 ) c) l'argilla sia fortemente sovraconsolidata (OCR = 5 ) Dati: B = 10 m H 1 = 10 m L = 20 m e 1 = 0.76 D = 4 m G s,1 = 2.65 p = 200 kpa H 2 = 2.5 m Z w = 3m G s,2 = 2.7 γ w = 9.8 kn/m 3 C c = C r = w a = 43 % Soluzione: Il peso di volume saturo della sabbia del primo strato è: γ 1,sat = γ w (G s,1 + e 1 ) / (1 + e 1 ) = kn/m 3 La tensione litostatica verticale efficace alla profondità D è: σ' v0,d = γ 1,sat Z w + (γ 1,sat - γ w ) (D - Z w ) = kpa La tensione verticale netta trasmessa dalla fondazione alla profondità D è: p = p - σ' v0,d = kpa Nel caso a) di argilla N.C. l'indice dei vuoti medio dell'argilla è: e a = (w a / 100) G s,2 = ed il peso di volume saturo dell'argilla è: γ 2a,sat = γ w (G s,2 + e a ) / (1 + e a ) = kn/m 3 La profondità del punto medio dello strato di argilla dal piano campagna è: Z a = H 1 + H 2 / 2 = m La tensione litostatica verticale efficace alla profondità Z a è: σ' v0,a = γ 1,sat Z w + (γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + (γ 2a,sat - γ w ) H 2 / 2 = kpa L'incremento di tensione verticale, alla profondità del punto medio dello strato di argilla in corrispondenza del centro dell'area caricata, prodotto dalla pressione trasmessa dalla fondazione, si ottiene, nell'ipotesi di semispazio elastico omogeneo e isotropo, con l'equazione: σ' v,a = (2 p/π) [arctan(ab/zr 3 ) + (abz/r 3 ) (1/R /R 2 2 )] in cui:

206 204 a = B / 2 = 5 m R 1 = (a 2 + z 2 ) 0,5 = 8.81 m b = L / 2 = 10 m R 2 = (b 2 + z 2 ) 0,5 = m z = Z a - D = 7.25 m R 3 = (a 2 + b 2 + z 2 ) 0,5 = m σ' v,a = kpa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla N.C. è: e a = C c log[(σ' v0,a + σ' v,a ) / σ' v0,a ] = Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso a) di terreno normalmente consolidato (OCR = 1) vale: H 2,a = H 2 e a / (1 + e a ) = 7.60 cm Nel caso b) di argilla debolmente sovraconsolidata con OCR = 1.5 la pressione di consolidazione è: σ' c,b = OCR σ' v0,a = kpa l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è: e c,b = e a - C c log(σ' c,b / σ' v0,a ) = e l'indice dei vuoti medio iniziale è: e b = e c,b + C r log(σ' c,b / σ' v0,a ) = N.B. In realtà si è commesso un piccolo errore di approssimazione, poiché all'indice dei vuoti e b corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: γ 2b,sat = γ w (G s,2 + e b ) / (1 + e b ) = kn/m 3 e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è: σ ' v0,b = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2b,sat - γ w ) H 2 / 2 = kpa lievemente maggiore di σ ' v0,a = kpa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla debolmente sovraconsolidato OCR = 1.5 è e b = (e b - e c,b ) + C c log[(σ' v0,b + σ' v,a ) / σ' c,b ] = Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso b) di terreno debolmente sovraconsolidato (OCR = 1,5) vale: H 2,b = H 2 e b / (1 + e b ) = 2.35 cm Nel caso c) di argilla fortemente sovraconsolidata con OCR = 5 la pressione di consolidazione è: σ' c,c = OCR σ' v0,a = kpa l'indice dei vuoti in corrispondenza della pressione di consolidazione è: e c,c = e a - C c log(σ' c,c / σ' v0,a ) = e l'indice dei vuoti medio iniziale è: e c = e c,c + C r log(σ' c,c / σ' v0,a ) = N.B. In questo caso l'errore di approssimazione è un po maggiore. Infatti all'indice dei vuoti e c corrisponde un peso di volume saturo dell'argilla: γ 2c,sat = γ w (G s,2 + e c ) / (1 + e c ) = kn/m 3 e quindi la tensione litostatica verticale efficace, alla profondità Z a è: σ ' v0,c = γ 1,sat Z w + ( γ 1,sat - γ w ) (H 1 - Z w ) + ( γ 2c,sat - γ w ) H 2 / 2 = kpa poco maggiore di σ ' v0,a = kpa La riduzione dell'indice dei vuoti per compressione edometrica dello strato di argilla fortemente sovraconsolidato OCR = 5 è e c = C r log[(σ' v0,c + σ' v,a ) / σ' v0,c ] = Il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla in corrispondenza del centro della fondazione, nei caso c) di terreno fortemente sovraconsolidato (OCR = 5) vale: H 2,c = H 2 e c / (1 + e c ) = 1.11 cm

207 205 grafico edometrico: σ' v (kpa) linea NC: linea OCR = 1, linea OCR = punti σ' v (kpa) e e e s'v (kpa) 1000 Esercizio 2 Un campione di terreno ha le seguenti proprietà: peso specifico dei costituenti solidi: γ s = kn/m 3 porosità: n = 41.9 % contenuto in acqua: w = 21.3 % Calcolarne il grado di saturazione, S r, ed il peso di volume, γ. Soluzione: posto V = 1 m 3 γ w = kn/m 3 V v = n V / 100 = m 3 V s = V - V v = m 3 W s = γ s V s = kn W w = w W s / 100 = kn V w = W w / γ w = m 3 S r = (V w / V v ) 100 = % W = W s + W w = kn γ = W / V = kn/m 3 Esercizio 3 In un sito avente le condizioni stratigrafiche e geotecniche indicate in figura è posto un riporto di

208 206 grande estensione e di spessore costante. Calcolare e rappresentare in grafico il decorso dei cedimenti edometrici nel tempo del piano campagna originario. Dati: H profondità della falda da p.c. originario R Riporto z w = 1.2 m γ w = 9.81 kn/m 3 H 1 H 2 H 3 H 4 Sabbia sciolta z Argilla limosa Sabbia sciolta Limo argilloso Sabbia e ghiaia addensate Strato di riporto H R = 3.2 m γ R = 18 kn/m 3 Strato 1: sabbia sciolta H 1 = 4.3 m γ 1 = 17.8 kn/m 3 sopra falda γ 1 = 18.1 kn/m 3 sotto falda D R = 40 % C c /(1+e 0 ) = Strato 2: argilla limosa N.C. H 2 = 4.5 m γ 2 = 19.5 kn/m 3 w = 36.5 % w L = 40.4 % Strato 4: limo argilloso NC w P = 25.2 % H 4 = 6.2 m C c = 0.33 γ 4 = 19.2 kn/m 3 e 0 = 0.96 w = 25 % c v = 3.52E-07 m 2 /s w L = 31.2 % Strato 3: sabbia sciolta w P = 17.5 % H 3 = 3.8 m C c = γ 3 = 18.5 kn/m 3 e 0 = 0.74 D R = 60 % c v = 2.50E-06 m 2 /s C c /(1+e 0 ) = Soluzione: Calcolo dei cedimenti di consolidazione H = H 0 C c /(1+e 0 ) log[(σ' v0 + σ' v )/σ' v0 ] La pressione verticale efficace iniziale σ' v0 è calcolata a metà di ciascuno strato: Strato 1 σ' v0,1 = γ 1 z w + γ' 1 (H 1 /2 - z w ) = kpa 2 σ' v0,2 = σ' v0,1 + γ' 1 H 1 /2 + γ' 2 H 2 /2 = kpa 3 σ' v0,3 = σ' v0,2 + γ' 2 H 2 /2 + γ' 3 H 3 /2 = kpa 4 σ' v0,4 = σ' v0,3 + γ' 3 H 3 /2 + γ' 4 H 4 /2 = kpa L'incremento di pressione verticale efficace è eguale per tutti gli strati e vale: σ' v = γ R H R = 57.6 kpa I cedimenti per consolidazione edometrica valgono dunque: Strato H 0 (cm) C c /(1+e 0 ) σ' v σ' v0 H (cm) Totale = cm La consolidazione edometrica degli strati 1 e 3, incoerenti e molto permeabili, è immediata. Il decorso dei cedimenti nel tempo per gli strati 2 e 4 è calcolato nel modo seguente:

209 per un assegnato valore del tempo t si calcola il fattore tempo T v = t c v / H 2 essendo H l'altezza di drenaggio, pari a metà dello spessore dello strato, quindi il grado di consolidazione medio U m = f(t v ) infine il cedimento occorso al tempo t, H(t) = U m H. Utilizzando come unità di misura del tempo il giorno: 1 giorno = 24 x 3600 = sec strato 2: c v = 3.52E-07 m 2 /s = 3.04E-02 m 2 /giorno c v /H 2 = 6.01E-03 g -1 strato 4: c v = 2.50E-06 m 2 /s = 2.16E-01 m 2 /giorno c v /H 2 = 2.25E-02 g -1 Per il calcolo del grado di consolidazione medio si utilizza l'equazione approssimata di Sivaram e Swamee (1977): U m = (4T v /π) 0.5 / [1+(4T v /π) 2.8 ] Strato 1 Strato 3 Strato 2 Strato 4 t (giorni) H 1 (cm) H 3 (cm) T v U m (%) H 2 (cm) T v U m (%) H 2 (cm) e quindi complessivamente: t (giorni) H (cm) DH (cm) t (giorni) DH (cm) t (giorni) Esercizio 4 La platea di un fabbricato industriale di grande estensione trasmette una pressione uniforme sul

210 208 terreno di fondazione, costituito da uno strato di argilla satura di spessore H, sovrastante uno strato rigido di sabbia e ghiaia di grande spessore. Lo strato di argilla, prima della costruzione del fabbricato, aveva mediamente peso di volume γ 1 e contenuto naturale in acqua w 1. Al termine del processo di consolidazione i valori medi del peso di volume e del contenuto naturale in acqua dello strato di argilla risultarono rispettivamente γ 2 e w 2. Stimare il cedimento finale della fondazione nell'ipotesi che le deformazioni trasversali siano trascurabili. Tracciare la curva dei cedimenti nel tempo nell'ipotesi di drenaggio da entrambi i lati. Dati: γ 1 = 19.5 kn/m 3 γ 2 = 19.9 kn/m 3 w 1 = 29.2 % w 2 = 26.6 % H = 2.5 m γ w = 9.81 kn/m 3 c v = 5.0E-07 m 2 /sec Soluzione: e1 = posto: P s = 1kN P w1 = w 1 P s / 100 = kn P w2 = w 2 P s / 100 = kn P 1 = P s + P w1 = kn P 2 = P s + P w2 = kn V 1 = P 1 / γ 1 = m 3 V 2 = P 2 / γ 2 = m 3 V w1 = P w1 / γ w = m 3 V w2 = P w2 / γ w = m 3 V = V 1 - V 2 = m 3 ε v = ( V/V 1 ) 100 = % ε a = ε v = % ipotesi edometrica H = (ε a /100) H 1 = m = 10.0 cm cedimento finale H (t) / H = U T v = f(u) t = T v (H/2) 2 / c v U (%) T v H (t) [cm] t (gg) t (gg) DH (cm) Esercizio 5 Deve essere realizzato un rilevato autostradale di grande larghezza su un deposito di argilla molle. Si ipotizzi che lo strato di argilla sia drenato da entrambi i lati e che il carico sia applicato istantaneamen Si trascuri la consolidazione secondaria. In esercizio, l'estradosso del rilevato (pavimentazione esclusa), dovrà essere alla quota H dal p.c. inizial La pavimentazione stradale può tollerare un assegnato cedimento massimo. Stimare: 1. dopo quanto tempo dall'applicazione del carico può essere messa in opera la pavimentazione, 2. Il cedimento atteso dopo un assegnato tempo t dall'applicazione del carico.

211 209 Per la messa in opera del rilevato occorre un tempo t R. Si ipotizzi che il carico sia applicato per intero e istantaneamente al tempo t R / 2. Stimare: 3. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione del rilevato può essere messa in opera la pavimentaz 4. dopo quanto tempo dall'inizio della costruzione si avrà il cedimento il cedimento calcolato al punto 2. Per mettere in opera la pavimentazione dopo un tempo t P dall'inizio della costruzione, minore del tempo calcolato al punto 3, si applica un sovraccarico addizionale elevando temporaneamente il rilevato. 5. Stimare l'incremento temporaneo di altezza del rilevato. Dati: quota dell'estradosso del rilevato dal p.c. iniziale: H = 5 peso di volume del terreno del rilevato: γ R = 21.6 spessore dello strato di argilla molle: H A = 8 coefficiente di compressibilità medio dell'argilla: m v = 0.5 coefficiente di consolidazione medio dell'argilla: c v = 10 cedimento massimo ammissibile per la posa in opera della pavimentazione: S = 50 tempo al quale è richiesta la stima del cedimento: t = 5 tempo di costruzione del rilevato: t R = 3 tempo dall'inizio costruzione per la messa in opera la pavimentazione: t P = 15 Soluzione: Sussistono le condizioni di carico edometrico. Affinché al termine della consolidazione edometrica la quota di estradosso del rilevato dal p.c. iniziale si occorre mettere in opera un rilevato di altezza H R = H + S ed, avendo indicato con S ed il cedimento finale (edometrico). L'incremento di pressione verticale vale: σ = γ R H R Il cedimento finale (edometrico) vale: S ed = m v H A σ = m v H A γ R (H + S ed ) = = (m v H A γ R H) / (1 - m v H A γ R ) = Altezza di rilevato da mettere in opera: H R = H + S ed = Incremento di pressione verticale: σ = γ R H R = Il grado di consolidazione medio al quale può essere messa in opera la pavimentazione vale: U m = 100 (S ed - S) / S ed = 89.4 cui corrisponde un fattore di tempo: T v = 1,781-0,933 log (100 - U m ) = e quindi il tempo dall'applicazione del carico al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale: 1) t p = T v (H A / 2) 2 / c v = anni = Il fattore di tempo per: t = 5 mesi vale: T v = c v t / (H A / 2) 2 = cui corrisponde un grado di consolidazione medio: U m = 100 (4 T v / π) 0,5 = ) pertanto il cedimento al tempo t vale: S(t) = U m S ed / 100 = il tempo dall'inizio della costruzione al quale può mettersi in opera la pavimentazione vale: 3) t p1 = t p + t R / 2 = 17.3 il cedimento calcolato al punto 2 si avrà dopo un tempo dall'inizio della costruzione: 4) t 1 = t + t R / 2 = 6.5 Il tempo dall'applicazione virtuale istantanea del carico al quale si vuole mettere in opera la pavimentazi t PV = t P - t R / 2 = 13.5 Il fattore di tempo per t = t PV vale: T v = c v t PV / (H A / 2) 2 = cui corrisponde un grado di consolidazione medio: U m = 85.7 al tempo t = t PV il cedimento deve essere quello ammissibile per la messa in opera della pavimentazione pertanto il cedimento edometrico finale in presenza del sovraccarico risulta S ed1 = (S ed - S) / (U m / 100),

212 da cui: S ed1 = che verrebbe prodotto da una pressione: σ 1 = S ed1 / (m v H A ) = ovvero da un'altezza di rilevato: H R1 = σ 1 / γ R = 5.71 dunque l'incremento temporaneo di altezza del rilevato è: 5) H R = H R1 - H R = Esercizio 6 Un deposito di terreno a stratificazione orizzontale è costituito, dall'alto verso il basso, da: - uno strato di sabbia di spessore H 1 = 8 m - uno strato di argilla N.C. di spessore H 2 = 6m - un substrato roccioso impermeabile. Il livello della falda freatica è alla profondità: z w = 2 m da p.c. Il peso di volume della sabbia sopra falda è: γ 1 = 17 kn/m 3 e sotto falda: γ 1sat = 19 kn/m 3 Il peso di volume dell'argilla è: γ 2sat = 20 kn/m 3 Il peso specifico dell'acqua è: γ w = kn/m 3 La relazione fra indice dei vuoti e pressione verticale efficace per l'argilla è la seguente: e = log (σ' v / 100) con σ' v espresso in kpa Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è: c v = 1.26 m 2 /anno Uno strato di terreno di riporto di spessore: H R = 3m e avente peso di volume: γ R = 20 kn/m 3 è posto in opera su un'area molto estesa. a) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo un tempo t = 2.5 anni dall'applicazionedel carico. b) Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica finale e dopo 2,5 anni dall'applicazione del carico, nell'ipotesi che lo strato di argilla sia interrotto da un sottile strato drenante di sabbia alla distanza a = 1.5 m dal substrato roccioso di base. Soluzione: Poiché il terreno di riporto copre un'area molto estesa il problema è monodimensionale. a) Considerando un unico strato per l'argilla il cedimento edometrico finale risulta: H = H 0 /(1 + e 0 ) C c log (σ' vfin / σ' v0 ) in cui: H 0 = H 2 = 600 cm C c = 0.32 σ' v0 e σ' vfin sono le tensioni efficaci verticali iniziale e finale a metà dello strato di argilla. σ' v0 = γ 1 z w + (γ 1sat - γ w ) (H 1 - z w ) + (γ 2sat - γ w ) H 2 / 2 = kpa σ' v = γ R H R = 60 kpa σ' vfin = σ' v0 + σ' v = kpa e 0 = log (σ' v0 / 100) = s fin = H = cm Se invece, per maggiore precisione, si suddivide lo strato di argilla in 4 sottostrati si calcola: sottostrato H 0 (cm) z m (m) σ' v0 (kpa) σ' vfin (kpa) e 0 H (cm) s fin = Σ H = cm Lo strato di argilla è drenato da un solo lato, dunque il massimo percorso di filtrazione è d = H

213 211 Il fattore di tempo dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale: T v = c v t / d 2 = cui corrisponde un grado di consolidazione medio pari a circa: U m = (stimato con la formula di Sivaram & Swamee) Pertanto il cedimento dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale: s (t) = U m s fin = 6.17 cm b) Il cedimento finale, trascurando lo spessore del sottile strato drenante, sarà lo stesso, ovvero: s fin = cm Lo strato di argilla è suddiviso in due sottostrati: Il sottostrato superiore, 2a, di spessore H 2 - a = 4.5 m drenato da entrambi i lati e quindi con massimo percorso di filtrazione pari a d sup = (H 2 - a)/2 = 2.25 m e il sottostrato inferiore, 2b, di spessore a = 1.5 m drenato da un solo lato e quindi con massimo percorso di filtrazione pari a d inf = a = 1.5 m Il fattore di tempo dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico vale: per il sottostrato 2a: T v = c v t / d 2 sup = cui corrisponde: U msup = (dalla formula di Sivaram & Swamee) per il sottostrato 2b: T v = c v t / d 2 inf = cui corrisponde: U minf = (dalla formula di Sivaram & Swamee) Il sottostrato superiore avrà un cedimento finale s fin,2a = cm Il sottostrato inferiore avrà un cedimento finale s fin,2b = 4.00 cm Dunque dopo 2.5 anni dall'applicazione del carico essi saranno rispettivamente: s 2a (t) = U m,sup s fin,2a = cm s 2b (t) = U m,inf s fin,2b = 3.87 cm complessivamente s (t) = cm corrispondente al 85.6 % del cedimento finale. Esercizio 7 Stimare il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla normalmente consolidata sottostante la fondazione circolare indicata in figura. Dati: B = 2b = 1.8 m H A = 1.8 m D = 0.9 m H B = 4m B q = 100 kpa γ w = 9.81 kn/m 3 H A H B D Z q sabbia argilla N.C. sabbia D W Strato A di sabbia: γ A = 16.8 kn/m 3 sopra falda γ A,sat = 18.9 kn/m 3 sotto falda D w = 1.4 m Strato B di argilla N.C.: γ B = 18.3 kn/m 3 C c = 0.15 e 0 = 0.8 Soluzione: Divido lo strato di argilla in 5 sottostrati di eguale spessore e calcolo la pressione verticale efficace iniziale a metà di ciascuno di essi (l'origine dell'asse è alla profondità del piano di fondazione): H = H B / 5 = 0.8 m

214 212 sottostrato i Z i (m) σ' v01 = γ A D w + (γ A,sat - γ w ) (H A - D w ) + (γ B - γ w ) H / 2 = kpa σ' v02 = σ' v01 + (γ B - γ w ) H = kpa σ' v03 = σ' v02 + (γ B - γ w ) H = kpa σ' v04 = σ' v03 + (γ B - γ w ) H = kpa σ' v05 = σ' v04 + (γ B - γ w ) H = kpa Determino l'incremento di tensione verticale indotta a metà di ogni sotto-strato dalla pressione uniforme q applicata su un'area circolare di raggio b nell'ipotesi di semispazio elastico, omogeneo e isotropo con l'equazione: ' σ vi = q b Z i Calcolo il cedimento di ciascun sottostrato con l'equazione: C ' σ 2 3 ' + σ sottostrato i Z i (m) σ' vi (kpa) c vi0 vi sottostrato i s i (cm) s i = H log ' 1+ e 0 σ vi il cedimento di consolidazione totale risulta: s = Σs i = 5.41 cm Esercizio 8 Una fondazione quadrata di lato B, posta alla profondità D dal piano campagna, trasmette al terreno una pressione media netta q'. Il terreno di fondazione è sabbia, avente peso di volume γ sopra falda e γ sat sotto falda. La falda freatica è alla profondità Z w da piano campagna. In tabella e in figura è rappresentato il profilo della resistenza penetrometrica di punta, q c. Stimare il cedimento della fondazione con il metodo di Schmertmann, trascurando il cedimento secondario. Dati: B = 3 m γ = 16 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 D = 1.2 m γ sat = 19 kn/m 3 Z w = 3m q' = 130 kpa z (m) q c (MPa) qc (MPa)

215 z (m) Soluzione: si utilizza l'equazione: s = C 1 C 2 q' Σ(I z z / E') in cui: C 1 = (1-0.5 σ' v0 / q') coefficiente di approfondimento relativo della fondazione la pressione verticale litostatica efficace alla profondità della fondazione vale: σ' v0 = γ D = 19.2 kpa C 1 = C 2 = 1 poiché si trascura il cedimento secondario H = 2B = 6 m profondità significativa per fondazione quadrata z = 0.4 m spessore degli strati in cui è suddivisa la profondità H la pressione verticale litostatica efficace alla profondità B/2 dal piano di fondazione vale: σ' vi = γ (D + B/2) = 43.2 kpa E' = 2,5 q c modulo di deformazione per fondazione quadrata I z = fattore di influenza funzione della geometria e della pressione che varia linearmente tra: I z = 0.1 al piano di fondazione I max = ( q'/σ' vi ) 0,5 = alla profondità B/2 dal piano di fondazione I z = 0 alla profondità 2B dal piano di fondazione tabella di calcolo: z (m) q c (MPa) (z - D) / B I z E' (MPa) I z z / E'

216 214 Σ = m 3 /MN da cui: s = 2.19 cm Esercizio 9 Un plinto a base quadrata di lato B trasmette al terreno di fondazione un carico verticale centrato di risultante P. Si faccia l'ipotesi di diffusione della tensione verticale media con pendenza 2:1. Il plinto è posto su uno strato di argilla limosa satura normalmente consolidata di spessore H, sovrastante uno strato di sabbia e ghiaia molto rigido e di grande spessore. Il livello della falda è alla quota del piano di fondazione. Al di sopra del piano di fondazione è messo in opera un riporto di spessore H R e peso di volume γ R. Stimare: 1) il cedimento edometrico, 2) il tempo occorrente per la metà della consolidazione. Dati: plinto: strato di argilla limosa: B (m) = 1.5 H (m) = 2.4 P (kn) = 250 γ (kn/m 3 ) = 18.3 w (%) = 35 riporto: w L (%) = 40 H R (m) = 1.2 I P (%) = 15 γ R (kn/m 3 ) 21.2 C c = 0.32 C s = 0.02 c v (cm 2 /s) = 3.50E-03 Soluzione: - indice dei vuoti dell'argilla limosa in sito: e = w γ / [γ w - w (γ - γ w )] = pressione litostatica verticale a metà dello strato di argilla limosa: p = γ H/2 = kpa totale p' = γ' H/2 = kpa efficace - incremento di pressione uniforme dovuto al riporto: p R = γ R H R = kpa - incremento addizionale di pressione sotto il plinto a quota fondazione: p P = P/B 2 - p R = kpa - incremento di pressione verticale a metà dello strato di argilla limosa: p = p R + p P B 2 /(B+H/2) 2 = kpa - cedimento edometrico atteso: s = [H / (1+ e)] C c log[(p' + p) / p'] = 31.1 cm - tempo occorrente per metà consolidazione (U m = 50%, Tv = 0.197) t = (T v / c v ) (H / 2) 2 = s = 9.4 giorni Esercizio 10 Il calcolo del cedimento di un'opera fondata su uno strato di argilla drenato superiormente e inferiorment ha dato i seguenti risultati: cedimento totale: 20 cm cedimento dopo un tempo di 3 anni dall'applicazione del carico: 8 cm a) nell'ipotesi che lo strato di argilla possa drenare da un solo lato, calcolare il cedimento totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento di 8 cm b) un'indagine integrativa ha confermato l'esistenza di uno strato sabbioso drenante alla base dello strato di argilla, e mostrato la presenza di livelli sabbiosi continui a 1/3 e a 2/3 dello spessore dello strato di argilla. Calcolare il cedimento totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento di cm c) i risultati di prove di compressibilità su campioni prelevati nello strato di argilla sono leggermente diffe renti dai valori considerati nel calcolo preliminare: l'indice di compressione misurato, Cc, è l' 80 % del valore inizialmente stimato,

217 215 il coefficiente di consolidazione, cv, è il 70 % del valore inizialmente stimato, calcolare il cedimento totale ed il tempo necessario a ottenere un cedimento di cm 8 Dati: cedimento totale: 20 cm cedimento dopo un tempo di 3 anni dall'applicazione del carico: 8 cm livelli drenanti a 1/3 e 2/3 dello spessore l'indice di compressione misurato, Cc, è l' 80 % del valore inizialmente stimato, il coefficiente di consolidazione, cv, è il 70 % del valore inizialmente stimato, Soluzione: a) il cedimento totale rimane invariato: s tot = 20 cm posto: t1 = tempo relativo al drenaggio su un solo lato t2 = tempo relativo al drenaggio da entrambi i lati = 3 anni t1 = 4 t2 = 12 anni (il tempo è proporzionale al quadrato dell'altezza di drenaggio) b) il cedimento totale rimane invariato: s tot = 20 cm posto: t3 = tempo relativo a strati di spessore 1/3 drenati da entrambi i lati t3 = t2/9 = 0.33 anni = 4 mesi c) il cedimento finale risulta: 16 cm il cedimento s (cm) = 8 corrisponde: 1) nel caso di drenaggio superiore e inferiore dello strato di argilla (h(1) = H/2) e cedimento totale s tot (cm) = 20 a U(%) = 40 e Tv (1) = è inoltre t(1) = t2 = 3 anni = 36 mesi 2) nel caso di livelli drenanti supplementari a 1/3 e 2/3 di H (h(2) = H/6) e cedimento totale s tot (cm) = 16 a U(%) = 50 e Tv (2) = è inoltre cv(2)/cv(1) = 0.7 quindi t(2) = [Tv(2)/Tv(1)] x [(cv(1)/cv(2) x (2/6)^2 x t(1) = 8.93 mesi

218 216 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Stabilità delle opere di sostegno Esercizio 1 Verificare la stabilità, in assenza di falda, del muro di sostegno a gravità mostrato in Figura. H A B α β dati: H = 5.00 m A = 1.60 m B = 2.50 m β = 15 terrapieno e terreno di fondazione: γ = 19.5 kn/m 3 c' = 0 kpa φ' = 38 muro: γ m = 24 kn/m 3 δ = 26 (ang. d'attrito terreno muro) Soluzione Peso del muro: A x H x γ m = 192 kn/m A/2 = 0.8 m (B-A) x (H/2) x γ m = 54 kn/m A + (B-A)/3 = 1.90 m P m = 246 kn/m peso del muro X m = 1.04 m ascissa di applicazione del peso del muro dallo spigolo esterno Coefficiente di spinta attiva (secondo Coulomb): α = π -arctan[h/(b-a)] = rad = β = 15 = rad φ' = 38 = rad δ = 26 = rad λ = α - π/2 = rad = 10.2 K A = cos 2 λ cos ( λ + δ ) cos 1 + ( φ' λ) sen( δ + φ' ) sen( φ' β ) cos( λ + δ ) cos( λ β ) Spinta attiva: P A = (1/2) K A γ H 2 = kn/m quota di applicazione di P A : H (P A ) = H/3 = 1.67 m ascissa di applicazione di P A : X (P A ) = A+(B-A) 2/3 = 2.20 m angolo di inclinazione di P A rispetto all'orizzontale: ε = λ + δ = rad = componente verticale di P A : P AH = P A cosε = kn/m componente orizzontale di P A : P AV = P A senε = kn/m Verifica al ribaltamento: Momento stabilizzante rispetto allo spigolo esterno: M S = P m X m + P AV X(P A ) = Momento ribaltante rispetto allo spigolo esterno: 2 2 K A = 0.363

219 217 M R = P AH H(P A ) = FS (ribaltamento) = M S / M R = knm/m Verifica allo slittamento: Forza orizzontale massima resistente: T F = (P m + P AV ) tanδ = kn/m Forza orizzontale spingente: T = P AH = kn/m FS (slittamento) = T F / T = 2.04 Azioni risultanti trasmesse in fondazione: Q V = P m + P AV = kn/m Q H = P AH = kn/m e = B/2 - (M S - M R )/Q V = 0.40 m La risultante è interna al nocciolo centrale d'inerzia. Q V Q H e p max = (Q V / B) (1+ 6e/B) = p min = (Q V / B) (1-6e/B) = kpa 3.5 kpa p max B p min Verifica di capacità portante: B' = B - 2e = N N q γ = e = 2 π tgϕ tg 2 (45 + ( N 1) tg ϕ q ϕ ) m N q = 48.9 N γ = 74.9 i γ = (1 - Q H /Q V ) 3 = q lim = 0,5 γ B' N γ i γ = kpa si trascura l'effetto stabilizzante del peso del terrapieno FS (capacità portante) = q lim B' / Q V = 3.08

220 218 Esercizio 2 Viene costruito un rilevato di sabbia sostenuto da un muro a gravità. Il terreno di fondazione è argilla. I dati geometrici sono indicati in figura. A a sabbia di riporto: γ d = 16 kn/m 3 φ' = 36 sabbia argilla s c argilla satura: h valori riferiti al centro dello strato γ = 19 kn/m 3 γ s = 27 kn/m 3 B E C c = 0.38 d C s = 0.04 C D c v = 2.9E-07 m 2 /s b σ' c = 37.5 kpa q u = 120 kpa s (m) = 3 a rottura in prova TxCID c (m) = 6 σ' 3 = 40 kpa a (m) = 1 σ' 1 = 140 kpa h (m) = 4 a rottura in prova TxCIU b (m) = 2 σ 3 = 240 kpa d (m) = 1 σ 1 = 560 kpa u = 80 kpa sabbia muro: γ = 25 kn/m 3 acqua: γ w = 10 kn/m 3 a) determinare per lo strato di argilla satura: - l'indice dei vuoti - i parametri di resistenza al taglio a breve e a lungo termine b) nell'ipotesi che il riporto di sabbia trasmetta allo strato di argilla una pressione verticale uniforme dovuta al peso proprio, determinare: - lo stato di consolidazione dell'argilla alla messa in opera del riporto - il cedimento finale dello strato di argilla - il cedimento dopo un anno dalla messa in opera del riporto c) verificare la stabilità del muro a breve e a lungo termine rispetto a - capacità portante della fondazione - slittamento - ribaltamento (calcolare le spinte con il metodo di Rankine trascurando la spinta passiva sulla parete ED) d) calcolare il cedimento finale del muro nell'ipotesi che le sovrapressioni verticali dovute al peso del muro nello strato di argilla siano costanti e pari a quelle trasmesse dalla base CD dati: σ (µ) = 3.00 argilla satura: sabbia di riporto: c (m) = 6 valori riferiti al centro dello strato gd = 16 kn/m3 α (µ) = 1.00 g = 19 kn/m3 f' = 36 η (µ) = 4.00 gs = 27 kn/m3 b (m) = 2.00 Cc = 0.38 muro: d (m) = Cs = 0.04 g = 25 kn/m3 cv = 2.9E-07 m2/s acqua:

221 219 s'c = 37.5 kpa gw = 10 kn/m3 qu = 120 kpa a rottura in prova TxCIU a rottura in prova TxCID s3 = 240 kpa s'3 = 40 kpa s1 = 560 kpa s'1 = 140 kpa u = 80 kpa soluzione: a) e = indice dei vuoti c u = 60 kpa resistenza al taglio a breve termine a rottura in termini di tensioni efficaci (kpa): σ' 3 σ' 1 u σ 3 σ 1 TxCID TxCIU da cui: Ka = φ' (rad) = = φ' ( ) = resistenza al taglio a lungo termine c' (kpa) = 7.92 b) tensione verticale efficace a metà dello strato di argilla prima della messa in opera del riporto: σ' o = 27 kpa OCR = 1.39 grado di sovraconsolidazione σ = 48 kpa incremento di tensione dovuta al peso del riporto c (fin.) = m cedimento finale dello strato di argilla Tv = fattore tempo a 1 anno U (%) = 93 grado di consolidazione a 1 anno c (1 a) = m cedimento dello strato di argilla a 1 anno c) tensioni orizzontali e spinte attive sul muro nella sabbia a breve e a lungo termine: Ka = σ' h (A) = 0 kpa σ' h (B) = kpa F 1 = kn/m spinta attiva dovuta al riporto sabbioso d 1 = 2.00 m altezza di applicazione di F 1 rispetto alla base del muro nell'argilla a breve termine: σ h (B) = kpa tensioni negative (di trazione), non se ne tiene conto nel calcolo σ h (C) = kpa delle spinte sul muro nell'argilla a lungo termine: σ' h (B) = 7.53 kpa F 2 = 7.53 kn/m σ' h (C) = kpa d 2 = 0.5 m F 2 + F 3 = 9.12 kn/m F 3 = 1.59 kn/m d (F 2 +F 3 ) = m d 3 = 0.33 m Spinta attiva sul muro a breve termine: F = kn/m Quota di applicazione rispetto alla base: d (F) = 2.00 m Spinta attiva sul muro a lungo termine: F = kn/m Quota di applicazione rispetto alla base: d (F) = 1.50 m Peso del muro e ascissa di applicazione verso sinistra rispetto al punto D W = kn/m W 1 = 100 kn/m x = 1.15 m x 1 = 1.5 m

222 220 e = 0.15 m W 2 = 25 kn/m x 2 = W 3 = x 3 = 0.5 m 37.5 kn/m 0.67 m Sottospinta idraulica (per il calcolo in termini di tensioni efficaci): U = -20 kn/m Risultanti delle azioni alla base del muro per le verifiche di stabilità: V H M e δ δ (kn/m) (kn/m) (knxm/m) (m) (rad) ( ) A breve termine A lungo termine verifica della capacità portante a breve termine B = m q lim = 370 kpa c u = 60 kpa Q lim = 683 kn/m N c = FS = 4.2 coefficiente di sicurezza s 0 c = 1 d 0 c = i 0 c = b 0 c = 1 g 0 c = 1 q = 19 kpa verifica della capacità portante a lungo termine B = m q lim = 319 kpa c' = 7.92 kpa Q lim = 563 kn/m φ' = rad FS = 4.0 coefficiente di sicurezza tan φ' = Kp = γ' = 9 kn/m 3 q' = 9 kpa N c = N q = N γ = s c,q,γ = 1 i c = i q = i γ = b c,q,γ = 1 g c,q,γ = 1 d c = d q = Verifica allo slittamento: H V tan φ c b T max FS (kn/m) (kn/m) (kn/m) (kn/m) a breve termine a lungo termine

223 221 Verifica al ribaltamento: M resist M ribalt FS (knxm/m) (knxm/m) a breve termine a lungo termine d) calcolo del cedimento del muro σ' = kpa H = 5 m C c = 0.38 C s = 0.04 σ' c = 37.5 kpa e = σ' o = 31.5 kpa H = m Esercizio 3 In figura è rappresentata la sezione di un muro di sostegno a gravità. Il peso specifico del materiale costituente il muro è: γ cls = 23.5 kn/m 3 Il peso di volume del terreno di fondazione e a tergo del muro è: γ = 19 kn/m 3 I valori di progetto dei parametri di resistenza al taglio sono: c' = 0 kpa φ' = 36 L'angolo di attrito fra il muro e il terreno è: δ = 25 Verificare la stabilità del muro. a b c d e β = 20 B = 4 m β H = 7.5 m s = 1 m s1 = 0.5 m s2 = 0.5 m H a = 0.8 m b = 0.7 m c = 0.5 m s2 s1 Soluzione B s α = arctan[h / (d + e)] = β = δ = φ' = d = e = rad rad rad rad 1.75 m 0.25 m Pv Ka (Coulomb) = Pa Pa = 0.5 γ H 2 Ka= kn/m 2 Ph = Pa cos(π/2 - α + δ) = kn/m Ph Pv = Pa sen(π/2 - α + δ) = kn/m O α Si considerano i momenti rispetto allo spigolo anteriore della fondazione del muro, O:

224 222 Forza (kn/m) Braccio (m) Momento (kn m/m) 1 0,5 γ cls d (H - s) = x 2.58 = γ cls c (H - s) = x 1.75 = ,5 γ cls b (H - s) = x 1.27 = γ cls B s = x 2.00 = ,5 γ cls a s = x 0.27 = -2.5 Pv x 3.33 = Rv = Mv = Ph = Rh = Mh = ΣM = Distanza della risultante da O: ΣM / Rv = 1.52 m Eccentricità della risultante: e = B/2 - ΣM / Rv = 0.48 m Pressioni agli spigoli della base (metodo del trapezio): p max = Rv/B (1 + 6e/B) = 222 kpa p min = Rv/B (1-6e/B) = 37 kpa Verifica al ribaltamento: FS = Mv / Mh = Verifica alla traslazione: FS = Rv tanδ / Rh = Verifica di capacità portante della fondazione con carico eccentrico ed inclinato: Q ult = B' (cn c i c + γdn q i q + 0,5 γ B' N γ i γ ) c = D = 0 B' = B - 2e = 3.05 m N q = tan 2 (π/4 + φ'/2) exp(π tanφ') = N γ = 2 (N q + 1) tanφ' = inclinazione della risultante rispetto alla verticale: θ = arctan(rh/rv) = rad i γ = (1 - θ/φ') 2 = Q ult = 0.5 γ B' 2 N γ i γ = kn/m FS = Q ult /R v = Esercizio 4 Determinare la profondità di infissione corrispondente ad un fattore di sicurezza FS=2 applicato al coefficiente di spinta passiva, e la forza nei tiranti di ancoraggio del diaframma in c.a. rappresentato in figura. Il livello dell'acqua libera a valle coincide con il livello di falda a monte. a dati geometrici: H = 8 m H w acqua tirante H terreno di riporto a = 1.5 m i = 2.5 m i = interasse fra i tiranti H w = 3m d terreno naturale di fondazione dati geotecnici: terreno naturale di fondazione γ sat = 21 kn/m 3 c' = 10 kpa φ' = 27 terreno di riporto γ sat = 20 kn/m 3 sopra falda γ = 17 kn/m 3 c' = 0 kpa φ' = 35

225 223 FS = 2 Soluzione per il terreno di riporto: φ' = 35 = rad K A = γ' = kn/m 3 per il terreno naturale di fondazione: φ' = 27 = rad K A = K P = γ' = kn/m 3 Lo schema della distribuzione delle pressioni esercitate dal terreno è mostrato in figura. Le spinte dell'acqua si bilanciano (condizione idrostatica). a T 1 H H w d Forze (F), bracci (b) e momenti (M) rispetto al punto di ancoraggio, a metro lineare di struttura: 1 F1 = 0,5 x 0,271 x 17 x (8-3) 2 = kn/m b1 = (8-3) x 2/3-1,5 = 1.83 m M1 = F1 x b1 = kn m/m 2 F2 = 0,271 x 17 x (8-3) x 3 = kn/m b2 = (8-3) x 3/2-1,5 = 5 m M2 = F2 x b2 = kn m/m 3 F3 = 0,5 x 0,271 x 10,19 x 3 2 = kn/m b3 = 8-3/3-1,5 = 5.5 m M3 = F3 x b3 = kn m/m 4 F4 = 0,376 x [17 x (8-3) + 10,19 x 3] x d = d kn/m b4 = 8-1,5 + 0,5 x d = ,5d m M4 = F4 x b4 = d d 2 kn m/m 5 F5 = 0,5 x 0,376 x 11,19 x d 2 = d 2 kn/m b5 = 8-1,5 + 2/3 d = ,667d m M5 = F5 x b5 = d d 3 kn m/m 6

226 224 F6 = - 2 x 10 x 0,376 0,5 x d = d kn/m b6 = 8-1,5 + 0,5 d = ,5d m M6 = F6 x b6 = d d 2 kn m/m 7 F7 = -0,5 x 11,19 x (2,663/2) x d 2 = d 2 kn/m b7 = 8-1,5 + 2/3 d = ,667d m M7 = F7 x b7 = d d 3 kn m/m 8 F8 = -2 x 10 x (2,663/2) 0,5 d = d kn/m b8 = 8-1,5 + 0,5d = ,5 d m M8 = F8 x b8 = d d 2 kn m/m Equazione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di ancoraggio: ΣM = d d d = 0 da cui: d = 4.02 m F1 = kn/m F2 = kn/m F3 = kn/m F4 = kn/m F5 = kn/m F6 = kn/m F7 = kn/m F8 = kn/m ΣF = kn/m Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: ΣF + T = 0 da cui T = kn/m La forza nei tiranti di ancoraggio vale: t = - T i = kn Si prevede una profondità di infissione D = 1,2 d = 4.8 m Esercizio 5 Con riferimento al diaframma con un ordine di tiranti rappresentato in figura, utilizzando il metodo del supporto libero, determinare: a) la profondità minima di infissione D min, b) la forza F H a b F dati: Sabbia densa e ghiaia omogenea φ' = 37 γ = kn/m 3 γ' = 9.68 kn/m 3 H w a = b = H w = 3 m 1 m 6m D FS = 1.5 da applicare a K p

227 225 Soluzione a b F A 1 Coefficienti di spinta: K a = 0.25 K p / FS = 2.68 H H w d p A 2 d a R a D R p A 4 A 3 Metodo del supporto libero Risultanti del diagramma di pressione: A 1 = γ K a (a + b) 2 / 2 = A 2 = γ K a (a + b) (H w + D) = D A 3 = γ' K a (H w + D) 2 / 2 = D D 2 R a = A 1 + A 2 + A 3 = D D 2 R p = A 4 = -γ' K p D 2 / 2 = D 2 Quote di applicazione rispetto al punto di ancoraggio: d 1 = (2b - a) / 3 = d 2 = b + (H w + D) / 2 = D d 3 = b + (H w + D) 2 / 3 = D d 4 = d p = b + H w + 2D / 3 = D Momenti rispetto al punto di ancoraggio: A 1 d 1 = A 2 d 2 = D D 2 A 3 d 3 = D D D 3 A 4 d 4 = D D 3 Σ(A i d i ) = D D D 3 Σ(A i d i ) = 0 da cui: D min = 4.11 m R a = kn / m R p = kn / m F = kn / m Esercizio 6 Eseguire le verifiche di stabilità al ribaltamento, allo slittamento e di capacità portante a breve termine in condizioni statiche e sismiche (con il metodo pseudostatico di normativa) del muro di sostegno a gravità indicato schematicamente in figura. Per la verifica allo slittamento si assuma che la resistenza al taglio tra fondazione e terreno sia dovuta solo ad aderenza e che c a = c u. Per il fattore di inclinazione del carico si assuma: i c = (1-2α/π) 2 essendo α l'angolo di inclinazione del carico rispetto alla verticale (in radianti). Determinare la distribuzione delle tensioni normali alla base della fondazione nell'ipotesi di linearità (sezione non reagente a trazione).

228 226 y B x H sabbia di argilla satura muro: H = 3.5 m B = 1.2 m b = 1 m γχλσ = 24 kn/m3 sabbia di riporto: γ = 19.6 kn/m φ = 35 δ = (2/3) φ (αττριτο µυρο τερρενο) argilla satura: cu = 100 kpa Coefficiente di intensità sismica: C = (S - 2) / 100 = 0.07 grado di sismicità: S = 9 peso del muro: W = γ cls (B+b) H/2 = 92.4 kn/m forza sismica d'inerzia: F i = C W = kn/m posizione del baricentro: A (m 2 ) x (m) y (m) Ax (m 3 ) Ay (m 3 ) triangolo: rettangolo: totale = x w = y w b φ' = rad δ = (2/3) φ' rad y F i W x F P A = H θ = arctanc rad β = 0 rad i = 0 rad A = β' = β + θ = rad i' = i + θ = rad B Coefficiente di spinta attiva in condizioni statiche: K A Coefficiente di spinta attiva in condizioni sismiche: K AE γ H 2 / 2 = kn/m F' = kn/m Spinta (kn/m) Quota di applicazione (m) condizioni statiche: P A = F = H/3 = condizioni sismiche: P AE = F s = incremento sismico: F = H/3 = componente orizzontale di F: F h = F cos δ kn/m componente verticale di F: F v = F sen δ kn/m componente orizzontale di F: F h = F cos δ kn/m componente verticale di F: F v = F sen δ kn/m

229 227 Verifiche di stabilità 1a. Verifica al ribaltamento in condizioni statiche: Momento stabilizzante della forza peso: Ms = W x w = kn m/m Momento ribaltante della spinta attiva: Mr = F h H/3 - F v B = kn m/m Coefficiente di sicurezza: FS = Ms / Mr = b. Verifica al ribaltamento in condizioni sismiche: Momento stabilizzante della forza peso: Ms = W x w = kn m/m Momento ribaltante a) della forza d'inerzia del muro: Fi y w = kn m/m b) della spinta attiva: F h H/3 - F v B = kn m/m c) dell'incremento sismico della spint F h 2H/3 - F v B = kn m/m complessivamente Mr kn m/m Coefficiente di sicurezza: FS = Ms / Mr = a. Verifica allo slittamento in condizioni statiche: Forza resistente alla base del muro: c a B = c u B = 120 kn/m Forza instabilizzante (comp. orizz. spinta attivf h = kn/m Coefficiente di sicurezza: FS = c u B / F h = b. Verifica allo slittamento in condizioni sismiche: Forza resistente alla base del muro: c a B = c u B = 120 kn/m Forza instabilizzante forza d'inerzia del muro: Fi = kn/m comp. orizz. della spinta attiva: F h = kn/m comp. orizz. dell'incr. di spinta: F h = kn/m complessivamente kn/m Coefficiente di sicurezza: FS = c u B / ΣF h = Azioni trasmesse in fondazione (carico inclinato ed eccentrico): e N R T B a) in condizioni statiche: Forza verticale: N = W + F v = kn/m Forza orizzontale: T = F h = kn/m Risultante: R = (N 2 + T 2 ) 0.5 = kn/m Angolo di incl. di R rispetto alla verticale: α = arctan(t/n) = rad Momento rispetto al centro della fondazione: M = W (x w - B/2) + F v B/2 - F h H/3 = knm/m Eccentricità e = -M/N = m b) in condizioni sismiche: Forza verticale: N = W + F v + F v = kn/m Forza orizzontale: T = F i + F h + F h = kn/m Risultante: R = (N 2 + T 2 ) 0.5 = kn/m Angolo di incl. di R rispetto alla verticale: α = arctan(t/n) = rad Momento rispetto al centro della fondazione: W (x w - B/2) - F i y w + (F v + F v ) B/2 - F h H/3 - F h 2H/3 = knm/m Eccentricità e = -M/N = m

230 Verifiche di capacità portante a breve termine (condizioni non drenate) q lim = c u N c (1-2α/π) 2 c u = 100 kpa B' = B - 2e N c = Q lim = q lim B' B = 1.2 m FS = Q lim / N B/6 = 0.2 m 3a) cond. statiche 3b) cond. sismiche α (rad) i c N (kn/m) e (m) B' (m) q lim (kpa) Q lim (kn/m) FS Tensioni normali alla base della fondazione per e < B/6 sezione interamente compressa per e > B/6 sezione parzializzata σ max = N/B (1 + 6e/B) σ max = 4N/[3 (B - 2e)] σ min = N/B (1-6e/B) d = 3e - B/2 N N e σ m B σ min σ max B d 4a) cond. statiche 4b) cond. sismiche B (m) N (kn/m) e (m) sez. parzializzata sez. parzializzata σ max (kpa) σ min (kpa) 3 0 d (m) Esercizio 7 Determinare la spinta attiva in condizioni statiche e sismiche (con il metodo di Mononobe-Okabe) sul muro di sostegno a gravità indicato in figura, e calcolarne le quote di applicazione. H β i dati: H = 6 m β = 20 i = 15 terreno sostenuto: γ = 18 kn/m 3 φ' = 30 δ = 2/3 φ' coefficienti sismici: k H = 0.1 k V = 0

231 229 Soluzione: θ = arctan(k H / (1 - k V )) = i = rad φ' = rad δ = 2/3 φ' = rad β = rad K A = rad E A = 0,5 γ H 2 K A = kn/m Spinta attiva in condizioni statiche H A = H / 3 = 2.00 m Quota di applicazione di E A K AE = E AE = 0,5 γ H 2 (1-k V ) K AE = kn/m Spinta attiva in condizioni sismiche E E = E AE - E A = kn/m Incremento sismico della spinta H E = 2H / 3 = 4.00 m Quota di applicazione di E E H AE = (E A H A + E E H E ) / E AE = 2.43 m Quota di applicazione di E AE Esercizio 8 Verificare la stabilità del muro di sostegno indicato in figura. La falda freatica è a grande profondità. Nelle verifiche al ribaltamento e di capacità portante non si tenga conto della spinta passiva anteriore Nella verifica alla traslazione orizzontale si tenga conto della spinta passiva anteriore, e si assuma: aderenza base del muro - terreno: c a = (2/3) c 2 angolo d'attrito base del muro - terreno: δ = (2/3) φ 2 dati a = 0.7 m b = 0.7 m c = 2.6 m d = 1.5 m e = 0.5 m H 1 = m = c tanβ H 2 = 6 H 3 = 0.7 m β = 10 β = rad γ 1 = 18 kn/m 3 φ 1 = 30 φ 1 = rad c 1 = 0 kpa γ 2 = 19 kn/m 3 φ 2 = 20 φ 2 = rad c 2 = 40 kpa γ cls = 24 kn/m 3 Soluzione H' = H 1 + H 2 + H 3 = m P a = 0,5 γ 1 H' 2 K a K a cos β = cos β cos β + cos cos 2 2 β cos β cos 2 2 ϕ ϕ soluzione di Rankine

232 230 cos β = cos φ 1 = K a = P a = P v = P a sin β = kn/m 28.0 kn/m P h = P a cos β = kn/m Verifica al ribaltamento (rispetto al punto C) zona area peso braccio momento n. (m 2 ) (kn/m) (m) (kn m/m) P v = ΣV = ΣM = = M S (momento stabilizzante) momento ribaltante: M R = P h H' / 3 = kn m/m Fattore di sicurezza al ribaltamento: FS rib = 2.99 Verifica allo scorrimento c a = 26.7 kpa B = a + b + c = 4 m δ = 13.3 tan δ = K p = P p = 0,5 K p γ 2 d c 2 K 0,5 p d = kn/m Fattore di sicurezza allo scorrimento: FS sc = (ΣV tan δ + c a B + P p ) / P h = 2.73 Verifica di capacità portante eccentricità della risultante: E = B/2 - (M S - M R ) / ΣV = m la risultante cade entro il terzo medio, essendo < B / 6 = Le pressioni alle estremità della fondazione in campo elastico alla Winkler risultano: σ max = (ΣV / B) (1 + 6E / B) = kpa σ min = (ΣV / B) (1-6E / B) = 46.2 kpa Fondazione superficiale con carico eccentrico ed inclinato: q LIM = 0,5 γ B' N γ i γ + c N c d c i c + q N q d q i q γ = γ 2 = 19 kn/m 3 φ = φ 2 = rad c = c 2 = 40 kpa B' = B - 2E = 3.19 m q = γ 2 d = 28.5 kpa tan α = P h / ΣV = α = rad N γ = soluzione di Vesic i γ = N c = i c = d c = N q = i q = d q = q LIM = kpa Q LIM = q LIM B' = 1840 kn / m Fattore di sicurezza per capacità portante: FS = Q LIM / ΣV = 3.89 Esercizio 9 In figura è rappresentato un tirante di ancoraggio di un opera di sostegno. Il terreno di fondazione è una ghiaia sabbiosa, avente φ' crit ( ) = 35 Si assuma che: - la rottura possa avvenire per scorrimento fra il bulbo di ancoraggio e il terreno circostante, - l'angolo di attrito fra bulbo e terreno sia pari all'angolo di resistenza al taglio critico del terreno, - la tensione efficace in ogni punto del terreno sia la stessa in tutte le direzioni.

233 231 Stimare la forza di trazione che produce la rottura per sfilamento dell'ancoraggio nelle ipotesi: a) di terreno secco avente γ d = 18 kn/m 3 b) di terreno saturo avente γ sat = 20 kn/m 3 e falda freatica a profondità z w = 2 m a b L z w L a = 2 m b = 3.5 m L = 8 m d = 0.15 m b d Soluzione: Superficie laterale del bulbo di ancoraggio: A = π d L = 3.77 m 2 Profondità media del bulbo di ancoraggio: z = a + b + b/2 = 7.25 m Coefficiente d'attrito bulbo-terreno f = tan φ' crit. = a) Pressione efficace alla profondità media z σ' = γ d z = kpa Tensione d'attrito alla profondità media z τ = f σ' = 91.4 kpa Forza di trazione che produce la rottura T = τ A = kn b) Pressione efficace alla profondità media z σ' = γ sat z w + γ' (z-z w ) = 93.5 kpa Tensione d'attrito alla profondità media z τ = f σ' = 65.5 kpa Forza di trazione che produce la rottura T = τ A = kn Esercizio 10 Con riferimento allo schema di figura determinare la profondità di infissione della paratia D 0. (Utilizzare il metodo semplificato all'equilibrio limite dividendo per F il coefficiente di spinta passiva e calcolare la profondità di infissione aumentando del 20% il valore minimo teorico). dati: h = 3 m z w = 4.5 m h F = 2 coeff. di sicurezza z terreno omogeneo sabbia, con: γ = 17 kn/m 3 sopra falda D γ sat = 20 kn/m 3 0 sotto falda φ' = 36 Soluzione φ' = 36 = rad K A = K P / F = γ' = γ sat - γ w = kn/m 3 d = h + D 0 - z w incognita z w - h 4 1 z w triangolo 1 base = b 1 = γ z w K A = d R

234 232 altezza = h 1 = z w = 4.5 area = A 1 = b 1 h 1 / 2 = braccio = br 1 = d + h 1 / 3 = d rettangolo 2 base = b 2 = b 1 = altezza = h 2 = d / 2 = 1 d = area = A 2 = b 2 h d = braccio = br 2 = d / 2 = 0.5 d = triangolo 3 base = b 3 = γ' d K A = d = altezza = h 3 = 1 d = area = A 3 = b 3 h 3 / 2 = d 2 = braccio = br 3 = d / 3 = d = triangolo 4 base = b 4 = - γ (z w - h) K P / F = altezza = h 4 = z w - h = 1.5 area = A 4 = b 4 h 4 / 2 = braccio = br 4 = d + (z w - h) / 3 = d rettangolo 5 base = b 5 = b 4 = altezza = h 5 = d = 1 d = area = A 5 = b 5 h d = braccio = br 5 = d / 2 = 0.5 d = triangolo 6 base = b 6 = - γ' d K P / F = d = altezza = h 6 = 1 d = area = A 6 = b 6 h 6 / 2 = d 2 = braccio = br 6 = d / 3 = d = Equazione di equilibrio alla rotazione intorno al punto di estremità inferiore: ΣM i = ΣA i br i = d d d = 0 da cui risolvendo si ottiene: ΣM i = per d = m Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: ΣA i + R = 0 da cui si ottiene: R = kn/m Profondità di infissione: D 0 = 1,2 (z w - h + d) = m Esercizio 11 Utilizzando il metodo del supporto libero, verificare la stabilità della palancola con un ordine di tiranti, schematicamente indicata in figura. Il livello della falda a valle è alla profondità dello scavo. dati q sabbia satura (anche sopra falda) γ = γ sat = 20 kn/m 3 H D t T Z w Z φ' = 38 Z w = 3m q = 20 kpa H = 5 m t = 2 m D = 3.5 m γ w = 9.81 kn/m 3

235 233 Soluzione φ' (rad) = coefficiente di spinta passiva: K A = coefficiente di spinta attiva: K P = gradiente idraulico: i = h/ l = (H - Zw) / (2D + H - Z w ) = pressione neutra a contatto con la palancola: a monte (filtrazione discendente) a valle (filtrazione ascendente) prof. Z (m) u (kpa) prof. Z (m) u (kpa) H 5 0 Zw 3 0 H + D H + D pressione verticale totale ed efficace a monte a valle prof. Z (m) σ v0 (kpa) σ' v0 (kpa) prof. Z (m) σ v0 (kpa) σ' v0 (kpa) H Zw H + D H + D pressione orizzontale efficace limite a monte (attiva) a valle (passiva) prof. Z (m) σ' ha (kpa) prof. Z (m) σ' hp (kpa) H 5 0 Zw H + D H + D Spinte e profondità di applicazione Spinta dell'acqua a monte: Spinta dell'acqua a valle: S w,m = kn/m S w,v = kn/m Z (S w,m ) = 6.67 m Z (S w,v ) = 7.33 m Spinta attiva a monte: Spinta passiva a monte: 1. dovuta al sovraccarico q S p = S a,1 = kn/m Z(S p ) = 7.33 Z(S a,1 ) = 4.25 m 2. dovuta al terreno sopra falda S a,2 = kn/m Z(S a,2 ) = 2m 3. dovuta al terreno sotto falda (rettangolo) S a,3 = kn/m Z(S a,3 ) = 5.75 m 4. dovuta al terreno sotto falda (triangolo) S a,4 = kn/m Z(S a,4 ) = 6.67 m Momento, rispetto al punto di applicazione del tirante: - della spinta dovuta all'acqua a monte: M w,m = knm/m - della spinta dovuta all'acqua a valle: M w,v = knm/m - della spinta attiva a monte: 1. M 1 = knm/m 2. M 2 = 0.00 knm/m 3. M 3 = knm/m 4. M 4 = knm/m Somma ΣM = knm/m - della spinta passiva a valle, interamente mobilitata: M p = knm/m

236 234 La stabilità è verificata con un coefficiente di sicurezza, applicato alla spinta passiva: FS = -M p / ΣM = 1.49 M p / FS = knm/m La forza T nel tirante vale: kn/m p h (kpa) Z (m) Esercizio 12 Utilizzando lo schema di calcolo con estremo libero valutare la profondità di infissione, d, e il tiro nell'ancoraggio, T, per una palancola che sostiene H (m) = 7 di terreno incoerente asciutto aven φ ( ) = 30 γ (kn/m 3 ) = 18 L'ancoraggio è posto a 1 m da p.c. Si calcolino le spinte con il metodo di Rankine e si applichi un coefficiente di sicurezza = 2 alla spinta passiva. dati: H (m) = 7 t (m) = 1 φ ( ) = 30 = rad Ka = γ (kn/m 3 ) =18 Kp/F = 1.5 F = 2 si risolvono le equazioni di equilibrio alla traslazione e alla rotazione nelle incognite d e T d (m) T (kn/m) Sa (kn/m) Sp/F f(d) Esercizio 13 E' eseguito uno scavo sostenuto da un diaframma in c.a. secondo lo schema stratigrafico e geotecnico di figura. Il terreno è saturo per capillarità fino a piano campagna. Si assuma γ w = 10 kn/m 3. a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2, D. Utilizzando lo schema semplificato di calcolo all'equilibrio limite con spinta passiva a monte rappresenta da una forza concentrata al piede, e calcolando i coefficienti di spinta con l'equazione di Coulomb, dete b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva, c) le pressioni orizzontali sul diaframma e disegnarne il grafico, d) i valori massimi delle sollecitazioni di taglio e momento flettente nel diaframma.

237 235 H D D s A B z w a q sabbia fine limo sabbioso dati: H (m) = 5 D (m) = 7 s (m) = 0.8 q (kpa) = 10 zw (m) = 2 a (m) = 4 δ = φ / 2 angolo d'attrito terra-m strato 1) sabbia fine: γ1 (κν/µ3) = 19 φ 1 ( ) = 38 k1 (m/s) = C2 C1 strato 2) limo sabbioso: γ2 (κν/µ3) = 20 φ 2 ( ) = 34 coefficiente di permeabilità in direzione verticale k2v (m/s) = 5.00E-06 coefficiente di permeabilità in direzione orizzontale k2h (m/s) = 1.50E-05 Soluzione a) determinare la pressione neutra nei punti A, B, C1, C2, D. coefficiente di permeabilità medio efficace per filtrazione in serie: k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) i tratto d i (m) k i (m/s) d i /k i (s) h i (m) 1 A-B 2 4.0E B-C E C1-C E C2-D 7 5.0E Σ i = k m = Σ i d i / Σ i (d i /k i ) = 5.83E-06 carico idraulico in A: h A (m) = 10 h i = v d i /k i carico idraulico in D: h D (m) = 7 perdita di carico tra A e D: h = (h A - h D ) = 3m lunghezza di filtrazione tra A e D: L = Σd i = 17.8 m gradiente idraulico tra A e D: i = h/l = velocità di filtrazione tra A e D: v = k m i = 9.82E-07 m/s h = z + u/γ w punto z (m) h (m) u/γ w (m) u (kpa) h = carico idraulico A z = altezza geometrica B u/γ w = altezza di pressione C C D b) il fattore di sicurezza applicato al coefficiente di spinta passiva coefficienti di spinta: attiva passiva σ = σ' + u φ' (rad) δ (rad) K A K P σ' h = K σ' v strato a monte K = K A strato a valle K = K P / F

238 236 punto z (m) σ v (kpa) u (kpa) σ' v (kpa) σ' h (kpa) σ' hp (kpa) O A B (str. 1) B (str. 2) C C D O A B z w a H D C2 C1 D pressioni neutre z pressioni orizzontali efficaci R Area forma base altezza superficie quota bar. momento (kpa) (m) (kn/m) (m) (kn m/m) 1 triang rettang triang triang rettang triang rettang triang rettang triang triang /F /F /F Forza R R Equilibrio alla rotazione intorno al piede del diaframma: /F =0 da cui: F = triang ΣM = Equilibrio alla traslazione orizzontale: R = 0 0 da cui: R = kn/m ΣH = 0 c) le pressioni orizzontali sul diaframma punto z (m) u (valle) u (monte) σ' h (valle) σ' h (monte) p h (kpa) t (kn/m) m (knm/m) O A B (str. 1) B (str. 2) D C

239 z (m) d) i valori massimi di taglio e momento flettente. il taglio massimo è alle sezioni di pressione zero: 1) in prossimità del piede del diaframma: z (m) = 0 t = R (kn/m) = ) nel tratto infisso C-D alla quota: z (m) = 5.64 t (kn/m) = il momento massimo è alla sezione di taglio zero: z si determina risolvendo l'equazione: a z 2 + b z + c = 0 a = b = c = da cui: z (m) = 2.91 t (kn/m) = 0 p h (kpa) = m = knm/m p h (kpa) Esercizio 14 Determinare con metodo all'equilibrio limite semplificato la profondità di infissione della palancola a sbalzo in terreno limo - sabbioso sopra falda indicata in figura. q dati h D 0 γ, φ' Z q = 10 kpa h = 5 m γ = 20 kn/m 3 φ' = 35 F = 2 F = fattore di sicurezza da applicare al coefficiente di spinta passiva Soluzione φ' = 35 = rad con la teoria di Rankine: Ka = Kp = Kp,r = Kp / F = pressione attiva a monte: p a,m = (q + γ Z) Ka = q Ka + γ Ka Z = Z kpa pressione passiva ridotta a valle: p pr,v = γ (Z - h) Kp,r = - γ h Kp,r + γ Kp,r Z = Z kpa

240 238 Schema di calcolo h 1 Z 2 d 3 R d d 2 area 1 forma: rettang. base: altezza: 5 + d = area: d = momento: d d 2 = area 2 forma: triang. base: d = altezza: 5 + d = area: = momento: d d d 3 = area 3 forma: triang. base: d = altezza: d = 6.12 area: d 2 = momento: d 3 = Equilibrio alla rotazione alla profondità di R ΣM = d d d 3 = 0 ΣM = 0.00 per d = 6.12 m Equilibrio alla traslazione ΣH = R = 0 R = kn/m Profondità di infissione: D 0 = 1.2 d = 7.3 m

241 239 ESERCIZI DA ESAMI ( ) Stabilità dei pendii Esercizio 1 Si vuole eseguire uno scavo di sbancamento in un deposito di argilla omogenea satura sovrastante uno stato rigido (bedrock). Determinare con il metodo di Taylor la pendenza necessaria per avere coefficiente di sicurezza F = 2 I dati geometrici e geotecnici sono i seguenti: H (m) = 6 profondità di scavo H 1 (m) = 9 spessore del deposito di argilla γ (kn/m 3 ) = 18 peso di volume dell'argilla c u (kpa) = 40 resistenza al taglio media in termini di tensioni totali Dati: F = 2 H (m) = 6 H 1 (m) = 9 γ (kn/m 3 ) = 18 c u (kpa) = 40 Soluzione: Hc (m) = 12 altezza critica Ns = 5.4 fattore di stabilità n d = 1.5 fattore di profondità dal grafico di Taylor si ricava: β ( ) = 55 Esercizio 2 Deve essere eseguito uno scavo di sbancamento per un'altezza H in un'argilla satura O.C., sopra il livello di falda. L'argilla ha peso di volume γ e resistenza al taglio in condizioni non drenate c u. Lo strato di argilla ha spessore H 1 ed appoggia sul substrato roccioso. Calcolare il coefficiente di sicurezza per i seguenti casi e schemi: 1. Scavo in parete verticale, metodo di Taylor. 2. Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno non fratturato. 3. Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità H 2, fratture vuote d'acqua. 4. Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità H 2, fratture piene d'acqua. 5. Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, metodo di Taylor. 6. Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno non fratturato. 7. Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità H 2, fratture vuote d'acqua. 8. Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità H 2, fratture piene d'acqua. Dati: H = 10 m γ = 20 kn/m 3 γ w = 10 kn/m 3 c u = 60 kpa

242 240 H 1 = 20 m H 2 = 5m tanβ = 2 Soluzione: caso 1: Scavo in parete verticale, metodo di Taylor. n d = H 1 /H = 2 β = 90 H N s = 3.85 H c = N s c u /γ = m H FS = H c /H = cerchio di piede caso 2: H caso 3: Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno non fratturato. H H 1 peso del cuneo: W = γ H 2 /2 = 1000 kn/m componente di W nella direzione del piano di scorrimento: T(W) = W sin(π/4) = kn/m lunghezza della superficie di scorrimento: l = H/sin(π/4) = m Forza di taglio resistente: T f = c u l = kn/m Forza di taglio motrice: T = T(W) = kn/m FS = T f /T = Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità H 2, fratture vuote d'acqua. H H-H 2 H 2 H-H 2 H 1 peso del cuneo: W = γ (H+H 2 )(H-H 2 )/2 = 750 kn/m componente di W nella direzione del piano di scorrimento: T(W) = W sin(π/4) = kn/m lunghezza della superficie di scorrimento: l = (H-H 2 )/sin(π/4) = 7.07 m Forza di taglio resistente: T f = c u l = kn/m Forza di taglio motrice: T = T(W) = kn/m FS = T f /T = caso 4: Scavo in parete verticale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata a 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità H 2, fratture

243 241 H piene d'acqua. H-H 2 H 2 H-H 2 H 1 peso del cuneo: W = γ (H+H 2 )(H-H 2 )/2 = 750 kn/m componente di W nella direzione del piano di scorrimento: T(W) = W sin(π/4) = kn/m spinta dell'acqua nelle fratture: S w = γ w H 2 2 /2 = 125 kn/m componente di S w nella direzione del piano di scorrimento: T(S w ) = S w cos(π/4) = kn/m lunghezza della superficie di scorrimento: l = (H-H 2 )/sin(π/4) = 7.07 m Forza di taglio resistente: T f = c u l = kn/m Forza di taglio motrice: T = T(W) + T(S w ) = kn/m FS = T f /T = caso 5: Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, metodo di Taylor. H β H 1 n d = H 1 /H = 2 β = N s = 5.05 H c = N s c u /γ = m FS = H c /H = cerchio di piede caso 6: Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno non fratturato. H H/2 H/2 β H 1 peso del cuneo: W = γ H 2 /4 = 500 kn/m componente di W nella direzione del piano di scorrimento: T(W) = W sin(π/4) = kn/m lunghezza della superficie di scorrimento: l = H/sin(π/4) = m Forza di taglio resistente: T f = c u l = kn/m Forza di taglio motrice: T = T(W) = kn/m FS = T f /T = caso 7: Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di

244 242 scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità H 2, fratture vuote d'acqua. H H/2 H/2-H 2 β H 2 H 1 peso del cuneo: W = γ (H 2 /4 - H 2 2 /2) = 250 kn/m componente di W nella direzione del piano di scorrimento: T(W) = W sin(π/4) = kn/m lunghezza della superficie di scorrimento: l = (H-H 2 )/sin(π/4) = 7.07 m Forza di taglio resistente: T f = c u l = kn/m Forza di taglio motrice: T = T(W) = kn/m FS = T f /T = caso 8: Parete dello scavo inclinata di β rispetto al piano orizzontale, ipotesi di superficie di scorrimento piana passante per il piede dello scavo e inclinata di 45, terreno con fratture verticali fino alla profondità H 2, fratture piene d'acqua. H H/2 H/2-H 2 β H 2 H 1 peso del cuneo: W = γ (H 2 /4 - H 2 2 /2) = 250 kn/m componente di W nella direzione del piano di scorrimento: T(W) = W sin(π/4) = kn/m spinta dell'acqua nelle fratture: S w = γ w H 2 2 /2 = 125 kn/m componente di S w nella direzione del piano di scorrimento: T(S w ) = S w cos(π/4) = kn/m lunghezza della superficie di scorrimento: l = (H-H 2 )/sin(π/4) = 7.07 m Forza di taglio resistente: T f = c u l = kn/m Forza di taglio motrice: T = T(W) + T(S w ) = kn/m FS = T f /T = Tabella di sintesi caso FS Esercizio 3 Utilizzando il metodo di Fellenius, determinare per il pendio di terreno omogeneo rappresentato in

245 243 figura i coefficienti di sicurezza a breve e a lungo termine associati alla linea di scorrimento potenziale indicata. Dati: falda pendenza 1.5 : 1 H ( m) = c' (kpa) = 20 H 4 φ' ( ) = 29 3 γ = 18.7 kn/m 3 sopra falda 2 γ sat = 19.3 kn/m 3 sotto falda 1 c u (kpa) = 60 γ w = 9.81 kn/m 3 concio i-esimo hi z w i concio n. h (m) x (m) z w (m) α ( ) αi xi Verifica a lungo termine (tensioni efficaci) e a breve termine (tensioni totali) h w = h - z w peso del concio i-esimo: W i = [(z wi + z wi+1 )γ + (h wi + h wi+1 )γ sat ] x/2 pressione neutra media alla base del concio i-esimo: u i = γ w (h wi + h wi+1 )/2 lunghezza della base del concio i-esimo: l i = x i /cosα i elem. sommatoria a numeratore (stab.) cond. drenate: ms i /r = c' l i + (W i cosα i - u i l i ) tanφ' elem. sommatoria a numeratore (stab.) cond. non dren.: msu i /r = c u li elemento della sommatoria a denominatore (instab.): mr i /r = W i senα i concio n. h w (m) W (kn/m) u (kpa) l (m) α (rad) ms/r msu/r mr/r Σ = a lungo termine: FS = a breve termine: FS = Esercizio 4 Uno scavo in un deposito di argilla di grande spessore ha altezza H e angolo di pendio β, rispetto l'orizzontale. L'argilla ha peso di volume saturo γ e resistenza al taglio media in condizioni non drenate, c u. Stimare il coefficiente di sicurezza rispetto alla rottura a breve termine. Dati: H = 9 m γ = 20.2 kn/m 3

246 244 β = 70 c u = 55 kpa Soluzione: FS = H c / H H c = N s c u / γ Secondo Taylor, in assenza di un terreno di base compatto,: N s = 5.52 per 0 < β < 53 N s = a + b β per 53 < β < 90 N s = 3.85 per β = 90 da cui: a = b = per β = 70 N s = H c = m FS = 1.44 Esercizio 5 Si è riattivato un movimento franoso di spessore medio h in un pendio illimitato in argilla N.C., con filtrazione parallela al pendio e falda a profondità z w, come schematicamente indicato in figura. 1. Stimare l'angolo di resistenza al taglio residua dell'argilla. 2. Determinare di quanto deve essere abbassato il livello di falda per ottenere un coefficiente di sicurezza FS. 1 Dati: β h = 5.4 m z w = 1.20 m γ sat = 20.2 kn/m 3 h z w γ w = 9.81 kn/m 3 β = 13 FS = 1.12 Soluzione: 1. γ' = γ sat - γ w = kn/m 3 peso totale del concio di larghezza unitaria: W = γ sat 1 h = kn/m sottospinta idraulica verticale alla base del concio: U = γ w 1 (h - z w ) = kn/m componente di W nella direzione del pendio: T = W senβ = kn/m tensione di taglio mobilitata per l'equilibrio: τ = T / (1/cosβ) = kpa peso efficace del concio di larghezza unitaria: W' = W - U = kn/m componente di W' nella direzione ortogonale al pendio: N' = W' cosβ = kn/m tensione efficace normale alla superficie di scorrimento: σ' = N' / (1/cosβ) = kpa tensione di taglio limite di rottura: τ f = σ' tanφ' R imponendo τ = τ f si ricava: tanφ' R = τ / σ' = da cui: φ 'R = Dopo l'abbassamento del livello di falda è: FS = τ f / τ = 1.12 τ f = FS τ = kpa σ' = τ f / tanφ' R = kpa N' = σ' / cosβ = kn/m

247 245 W' = N' / cosβ = kn/m U = W - W' = kn/m = γ w 1 [h - (z w + z w )] da cui: z w = h - z w - U/γ w = 0.83 m Esercizio 6 Si consideri un terrapieno avente la geometria riportata in Figura e costitutito da terreno coesivo (c u = 20 kn/m 2 ; γ = 19 kn/m 3 ). Nell'ipotesi che il terrapieno poggi su uno strato di terreno più resistente e che la superficie di di rottura sia circolare con le dimensioni riportate in Figura ed assumendo che il peso del terreno W da essa delimitato sia di 346 kn e con un'eccentricità e = 5 m rispetto al centro di rotazione, determinare il fattore di sicurezza contro lo scivolamento. Determinare inoltre come cambierebbe tale fattore di sicurezza,a parità di superficie di rottura considerata: a) qualora la porzione di rilevato trattegggiata in Figura venisse rimossa; b) qualora si sviluppassero delle fessurazioni nella parte alta del rilevato. Dati: c u = 20 (kn/m 2 ) γ = 19 (kn/m 3 ) r = 9 (m) (raggio della superficie di rottura) θ = 70 ( ) (angolo che sottende la superficie di rottura) e = 5 (m) a = 3 (m) (distanza tra la base dello scavo e la base del pendio) b = 1.5 (m) (ampiezza di base dello scavo) H = 6 (m) (altezza del pendio) W = 346 (kn) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) i = 42.3 ( ) (pendenza) Soluzione: Si effettua una verifica a breve termine.breve termine. Si calcola il momento ribaltante: M rib = W e = 1730 (kn m) Si calcola il momento resistente con riferimento ad una sezione di larghezza unitaria: M res = c u l r = c u r 2 θ = 1979 (kn m) Si calcola il fattore di sicurezza corrispondente: FS = M res /M rib = 1.1 a) Si calcola l'area della porzione di rilevato rimossa: Arim = 4.5 (m 2 ) Si calcola il peso corrispondente, riferito ad una sezione di larghezza unitaria: W rim = 85.5 (kn) e l'eccentricità rispetto al centro O e 1 = 5.7 (m) ed il momento corrispondente: M rim = 487 (kn m) Il fattore di sicurezza risulterà allora: FS 1 = M res /(M rib -M rim ) = 1.6 b) Si calcola la profondità delle fessurazioni hc = 2 c u /γ = 2.1 (m) Si calcola la lunghezza della porzione della superficie di rottura interessata dalle fessurazioni: OD = r cosθ = 3.1 (m) OC = OD + h c = 5.2 (m) α = θ - arccos(oc/r) = 15.2 ( )

248 l 1 = r α = 2.4 (m) (BB') Si calcola il momento resistente modificato: M res1 = c u (l - l 1 ) r = c u r 2 (θ α) = 1550 (kn m) Il fattore di sicurezza risulterà pari a : FS 2 = M res1 /M rib =

249 247 Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 26 gennaio Esercizio 1 Per realizzare una diga in terra sono necessari 1 milione di m 3 di terreno compattato ad un indice dei vuoti pari a 0.8. In prossimità della diga da realizzare sono stati identificati 3 possibili siti in cui il terreno presenta le caratteristiche desiderate. Nell'ipotesi che i costi di acquisto e di escavazione siano gli stessi e che cambi solo il costo di trasporto del terreno, come indicato in tabella, determinare la scelta più economicamente conveniente. Sito Indice dei vuoti [-] Costo di trasporto [Euro/m 3 ] Dati: Volume di terreno compattato necessario: V f = 1.0E+06 (m 3 ) Indice dei vuoti del terreno compattato: e f = 0.8 (-) Indice dei vuoti del terreno in sito: e 01 = 1.8 (-) e 02 = 0.9 (-) e 03 = 1.5 (-) Costo unitario di trasporto del terreno: UC 1 = 0.6 (Euro/m 3 ) UC 2 = 1 (Euro/m 3 ) UC 3 = 0.75 (Euro/m 3 ) Soluzione: Si adotta la relazione: V/V 0i = (V f - V 0i )/V 0i = e/(1+e 0 ) = (ef - e 0i )/(1+e 0i ) da cui si ricava il volume V 0i di materiale da estrarre da ciascuna cava: V 0i = Vf*(1 + e 0i )/(1+e f ) V 01 = 1.56E+06 (m 3 ) V 02 = 1.06E+06 (m 3 ) V 01 = 1.39E+06 (m 3 ) e quindi il costo di trasporto complessivo: C 1 = 933,333 C 2 = 1,055,556 C 3 = 1,041,667 Da cui si deduce che la cava economicamente più conveniente è la prima. Esercizio 2 Si consideri un deposito di terreno omogeneo costitutito da sabbia NC (γ sat = 18 kn/m 3, ϕ' = 30 ) e con livello di falda al di sotto del piano di campagna di 1m. Determinare l'incremento di tensione efficace verticale che porta a rottura un elemento di terreno situato a 3 m di profondità nell'ipotesi che l'incremento di tensione efficace orizzontale sia pari al 20% dell'incremento della tensione efficace verticale. Dati: profondità della falda: z w = 1 (m) peso di voulme acqua: γ w = 9.81 (kn/m 3 ) peso di volume saturo: γ sat = 18 (kn/m 3 ) angolo di resistenza al taglio: ϕ' = 30 ( ) B = σ' h / σ' v = 20 (%) profondità dell'elemento di terreno z: 3 (m)

250 248 Soluzione: Assumendo il terreno al di sopra del livello di falda saturo, si determina la tensione efficace verticale iniziale alla profondita z: σ' v0 = (kpa) Quindi si determina il coefficiente di spinta a riposo k 0 adottando la relazione, valida per le sabbie: k 0 = 1-sinϕ' = 0.5 (-) e la tensione efficace orizzontale iniziale: σ' h0 = (kpa) A rottura l'elmento di terreno raggiunge una situazione di equilibrio limite attiva e la tensione efficace orizzontale a rottura è data, in base alla teoria di Rankine, da (ricordando che il terreno è incoerente): σ' ha = k a σ' v dove il coefiiciente di spinta attiva è: k a = (1-sinϕ')/(1+sinϕ') = 0.33 (-) e: σ' ha = σ' h0 + σ' h σ' v = σ' v0 + σ' v da cui: σ' h0 + σ' h = σ' h0 + B σ' v = k a (σ' v0 + σ' v ) da cui si ricava : σ' v = (kpa) Esercizio 3 Si classifichino secondo il sistema USCS i due terreni A e B, di cui sono riportati i risultati dell'analisi granulometrica ed i limiti di Atterberg. Terreno A Terreno B (w l = 26%; w p = 19%) Diametro [mm] Passante [%] Diametro [mm] Passante [%] Dati: Terreno A Diametro [mm] Terreno B Passante [%] Diametro [mm] w l = 26 (%) w p = 19 (%) Passante [%]

251 249 Soluzione: Terreno A: Si determina la percentuale dei costituenti del terreno A: Ghiaia (D > 4.76 mm) 16 (%) Sabbia (4.76 mm < D < 0,074 mm) 64 (%) Limo (0.002 mm < D < mm) 20 (%) Argilla (D < mm) 0 (%) Si considera il passante al setaccio N.200 (D = mm): P 200 = 20 (%) < 50% per cui si tratta di un terreno a grana grossa. Si stima dal grafico della curva granulometrica il passante al setaccio N.4 (D = 4.76 mm): P 4 = 84 (%) > 50% per cui si tratta di sabbia (S) Quindi si calcola il coefficiente di uniformità e di curvatura: UC = D 60 /D 10 = 12.0 (-) CC = D 2 30 /(D 10 *D 60) = 0.4 D 60 = 1.2 (mm) D 30 = 0.21 (mm) D 10 = 0.1 (mm) Essendo la percentuale di fine maggiore del 12% va analizzata e dalla granulometria risulta che essa è limosa per cui si tratta di sabbia limosa: SM 100 Curve granulometriche Terreno A Terreno B P (%) D (mm) log Terreno B: Si determina la percentuale dei costituenti del terreno B: Ghiaia (D > 4.76 mm) 0 (%) Sabbia (4.76 mm < D < 0,074 mm) 19 (%) Limo (0.002 mm < D < mm) 51 (%) Argilla (D < mm) 30 (%) Si considera il passante al setaccio N.200 (D = mm): P 200 = 81 > 50% per cui si tratta di un terreno a grana fine. Si calcola l'indice di plasticità: I p = w l - w p = 7 (%) Il valore corrispondente sulla retta A della carta di plasticità, è 0.73 (W L - 20) = 4.38 Quindi il punto si trova al di sopra della retta A e il limite di liquidità: w l = 26 < 50%

252 250 Considerato il valore dell'indice di plasticità e la composizione del materiale (prevalentemente limoso) il terreno si colloca al di sopra della retta A tra i terreni a bassa plasticità (L) nella zona tratteggiata (CL-ML). Esercizio 4 Il sito prescelto per la realizzazione di un edificio è costituito da un deposito di sabbia fine (e = 0.76, G S = 2.7) di spessore 10.4 m poggiante su uno strato di argilla soffice sovraconsiolidata (OCR = 2.5) di spessore 2 m, seguito da uno strato di sabbia grossolana. Determinare il cedimento di consolidazione edometrica assumendo il livello di falda a 3 m dal piano di campagna e le seguenti proprietà per lo strato di argilla: w N = 38%, C r = 0.05, G S = 2.7.Il carico verticale trasmesso dall'edificio che si assume uniformemente distribuito ed infinitamente esteso, è di 140 kpa. Dati: Spessore dello strato di sabbia sovrastante: H 1 = 10.4 (m) Spessore dello strato di argilla: H = 2.0 (m) Livello di falda: z w = 3.0 (m) Indice dei vuoti della sabbia: e = 0.8 (-) Grado di sovraconsolidazione: OCR = 2.5 (-) Contenuto d'acqua naturale: w N = 38.0 (%) Indice di ricompressione: C r = 0.05 (-) Peso specifico dei grani solidi: G S = 2.7 (-) Carico trasmesso: q = (kpa) peso di voulme acqua: γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Soluzione: Trattandosi di uno strato di terreno di spessore limitato si può calcolare il cedimento facendo riferimento all'intero strato senza suddividerlo. Si determina il peso di volume saturo della sabbia: γ sat,s = γ w *(Gs + e)/(1+e) = 19.3 (kn/m 3 ) l'indice dei vuoti iniziale dell'argilla (satura): e 0 = w*g S = 1.03 (-) ed il peso di volume saturo dell'argilla: γ sat,c = γ w *(Gs + e)/(1+e) = 18.0 (kn/m 3 ) Si calcola la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla: σ' v0 (z = 11.4 m) = (kpa) si determina la pressione di preconsolidazione: σ' p = OCR*σ' vo = (kpa) Essendo: σ' vf = σ' v0 + σ' v = σ' v0 + q = (kpa) < σ' p = (kpa) Allora: H = H 0 /(1 + e 0 ) C r LN (σ' vfin / σ' v0 ) = (m) = 15.2 (mm) Esercizio 5 Una prova di compressione semplice viene effettuata su un provino di argilla satura avente diametro D = 38 mm e altezza H = 76 mm. Il massimo carico sostenuto è di 127 N e l'abbassamento verticale corrispondente è di 0.8 mm. Disegnare il cerchio di Mohr a rottura e determinare la resistenza al taglio non drenata del materiale. Dati: Diametro del provino: D 0 = 38 (mm) Altezza del provino: H 0 = 76 (mm) Carico assiale: P = 127 (N) Abbassamento: H = 0.8 (mm) Soluzione: Si determina l'area iniziale della sezione provino:

253 251 A 0 = π D 0 2 /4 = (mm 2 ) e quella finale dalla relazione (ricordando che la prova avviene in condizioni non drenate ed ε v = 0): A 1 = A 0 (1-ε v )/(1-ε z ) = A 0 /(1-ε z ) = (mm 2 ) con: ε z = H/H 0 = (-) Si determina la tensione principale maggiore a rottura (quella verticale): σ 1r = P/A 1 = (kpa) mentre quella inferiore (orizzontale) è nulla: σ 3r = 0 (kpa) e la resistenza al taglio non drenata: c u = (σ 1r - σ 3r )/2 = 55.4 (kpa)

254 Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 9 febbraio Esercizio 1 Un muro di sostegno a gravità, le cui caratteristiche geometriche sono riportate in Figura, viene realizzato per sostenere un terrapieno di altezza H. Il terreno di fondazione è costitutito da sabbia limosa mediamente addensata (γ sat2, ϕ 2 '), mentre il terrapieno è costitutito da sabbia fine addensata (γ sat1, ϕ 1 '). Alla base del muro è stato realizzato un sistema di drenaggio che consente di mantenere il livello di falda a 4.5 m al di sotto della base del muro. Assumendo un angolo di attrito tra la base del muro e il terreno di fondazione δ b = 2/3 ϕ' e trascurando la resistenza passiva a valle del muro, verificare la stabilità del muro alla traslazione ed alla rotazione nelle seguenti ipotesi: a) assenza di attrito lungo il parametro interno del muro (δ = 0) b) presenza di attrito lungo il parametro interno del muro (δ = 20 ) Qualora il sistema di drenaggio si occluda e, a causa del suo malfunzionamento, il livello di falda risalga fino alla superficie del terrapieno, verificare, con riferimento ai casi a) e b) precedentemente considerati e trascurando eventuali forze di filtrazione, che il muro rimanga stabile. Si assuma un peso di volume per l'acqua di γ w = 9.81 kn/m 3 e per il muro di γ c = 24 kn/m 3. Dati: a = 0.6 (m) b = 4.2 (m) H = 5 (m) D = 1 (m) γ sat1 = 18 (kn/m 3 ) γ sat2 = 20 (kn/m 3 ) ϕ 1 ' = 30 ( ) ϕ 2 ' = 28 ( ) γ c = 24 (kn/m 3 ) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) z w = 4.5 (m) Cls ( γ c ) C a B Filtro drenante Sabbia ( γ sat1, ϕ 1 ) H D O b D A Sabbia ( γ sat2, ϕ 2 ) z w Soluzione: Si determina il sistema di forze che agisce sul muro ed i relativi punti di applicazione. Nel caso in cui il sistema di drenaggio funzioni, la falda si trova al di sotto della base del muro per cui si può considerare asciutto sia il terreno di fondazione che il terrapieno. Per il calcolo della spinta attiva che il terrapieno esercita sul parametro interno del muro, trattandosi di terreno incoerente ed omogeneo, si ha, con riferimento ad un tratto di muro di lunghezza unitaria, nel caso: a) δ ( ) = 0 posso applicare la teoria di Rankine: k a = tg 2 (45 - ϕ'/2) = 0.33 (-) S a = 1/2 k a γ sat1 H 2 = 75 (kn) La spinta è orizzontale ed applicata ad una distanza dalla base del muro: z A = 1.67 (m) b) δ = 20 ( ) posso applicare la teoria di Coulomb: η = 0 ( ) β = 0 ( ) ϕ' = ϕ 1 ' = 30 ( ) 2 cos ( ϕ' η )

255 k a = cos 2 η cos ( η + δ ) cos ( ϕ' η ) sin cos ( ϕ' + δ ) sin( ϕ' β ) ( η + δ ) cos( η β ) k a = 0.30 (-) S a = 1/2 k a γ sat1 H 2 = 66.9 (kpa) La spinta è inclinata di δ rispetto al parametro interno del muro (orizzontale), per cui le componenti orizzontali e verticali sono: S ah = S a cos δ = 62.9 (kn) S av = S a sin δ = 22.9 (kn) ed è applicata ad una distanza dalla base del muro: z A = 1.67 (m) Per il calcolo del peso del muro, esso viene scomposto nelle sezioni OCD e ABCD e i pesi, sempre riferiti ad una lunghezza unitaria del muro, risultano rispettivamente: W 1 = γ c (b-a) h /2 = (kn) W 2 = γ c a h = 72.0 (kn) e sono applicati ad una distanza dal punto O: x 1 = 2/3 (b-a) = 2.4 (m) x 2 = (b-a)+ a/2 = 3.9 (m) W = W 1 + W 2 = (kn) La risultante delle azioni verticali agenti sul muro è data nel caso: a) R v = W = (kn) b) R v = W + S av = (kn) La resistenza che il terreno esercita sul muro, e che si oppone allo scorrimento, è data da: a) T =R v tg δ b = R v tg(2/3 ϕ 2 ') = 97.3 (kn) b) T =R v tg δ b = R v tg(2/3 ϕ 2 ') = (kn) La risultante delle azioni orizzontali, trascurando la spinta passiva, è data da: a) R H = T - S a = 22.3 (kn) b) R H = T - S ah = 42.2 (kn) Il momento risultante delle forze che agiscono sul muro è dato da: a) M = W 1 x 1 + W 2 x 2 - S a z a = (kn m) b) M = W 1 x 1 + W 2 x 2 + Sa v b - S ah z a = (kn m) La distanza del punto di applicazione della risultante rispetto al punto O è paria a: x R = M/R v = 2.34 (m) x R = M/R v = 2.54 (m) Per la verifica al ribaltamento si controlla che la risultante delle azioni agenti sul muro ricada nel terzo medio: a) e = b/2 - x R = 0.24 (m) < b/6 = 0.70 (m) b) e = b/2 - x R = 0.44 (m) < b/6 = 0.70 (m) Il momento stabilizzante risulta pari a : a) M S = W 1 x 1 + W 2 x 2 = (kn m) b) M S = W 1 x 1 + W 2 x 2 + S av b = (kn m) Il momento ribaltante risulta pari a : a) M R = S a z a = (kn m) b) M R = S ah z a = (kn m) (kn m) Quindi il fattore di sicurezza nei confronti del ribaltamento rispetto al punto O risulta: a) FS = M s /M r = 6.4 > 1.5 Soddisfatta b) FS = M s /M r = 5.6 > 1.5 Soddisfatta Per la verifica lla traslazione orizzontale si calcola il fattore di sicurezza: a) FS = T/S a = 1.3 > 1.3 Soddisfatta

256 b) FS = T/S ah = 1.7 > 1.3 Soddisfatta Nel casodi malfunzionamento del sistema di drenaggo, la presenza dell'acqua con livello di falda al piano di campagna modifica il valore della spinta attiva: a) S a = 1/2 k a γ' 1 H 2 = 34.1 (kn) La spinta è orizzontale ed applicata ad una distanza dalla base del muro: z A = 1.67 (m) b) S a = 1/2 k a γ' 1 H 2 = 30.4 (kpa) La spinta è inclinata di δ rispetto al parametro interno del muro (orizzontale), per cui le componenti orizzontali e verticali sono: S ah = S a cos δ = 28.6 (kn) S av = S a sin δ = 10.4 (kn) ed è applicata ad una distanza dalla base del muro: z A = 1.67 (m) In entrambi i casi a) e b) agisce anche una spinta idrostatica, per unità di lunghezza del muro: S w = 1/2 γ w H 2 = (kn) La spinta è orizzontale ed applicata ad una distanza dalla base del muro: z w = 1.67 (m) La risultante delle azioni verticali agenti sul muro è data nel caso: a) R v = W = (kn) b) R v = W + S av = (kn) La resistenza che il terreno esercita sul muro, e che si oppone allo scorrimento, è data da: a) T =R v tg δ b = R v tg(2/3 ϕ 2 ') = 97.3 (kn) b) T =R v tg δ b = R v tg(2/3 ϕ 2 ') = (kn) La risultante delle azioni orizzontali, trascurando la spinta passiva, è data da: a) R H = T - S a - S w = (kn) b) R H = T - S ah - S w = (kn) Il momento risultante delle forze che agiscono sul muro è dato da: a) M = W 1 x 1 + W 2 x 2 - S a z a - S w z w = (kn m) b) M = W 1 x 1 + W 2 x 2 + S av b - S ah z a - S w z w = (kn m) La distanza del punto di applicazione della risultante rispetto al punto O è paria a: x R = M/R v = 1.87 (m) x R = M/R v = 2.24 (m) Per la verifica al ribaltamento si controlla che la risultante delle azioni agenti sul muro ricada nel terzo medio: a) e = b/2 - x R = 0.23 (m) < b/6 = 0.70 (m) b) e = b/2 - x R = 0.14 (m) < b/6 = 0.70 (m) Il momento stabilizzante risulta pari a : a) M S = W 1 x 1 + W 2 x 2 = (kn m) b) M S = W 1 x 1 + W 2 x 2 + S av b = (kn m) Il momento ribaltante risulta pari a : a) M R = S a z a + S w z w = (kn m) b) M R = S ah z a + S w z w = (kn m) Quindi il fattore di sicurezza nei confronti del ribaltamento rispetto al punto O risulta: a) FS = M s /M r = 3.1 > 1.5 Soddisfatta b) FS = M s /M r = 3.3 > 1.5 Soddisfatta Per la verifica lla traslazione orizzontale si calcola il fattore di sicurezza: a) FS = T/(S a +S w ) = 0.6 < 1.3 Non Soddisfatta b) FS = T/(S ah +S w ) = 0.7 < 1.3 Non Soddisfatta L'innalzamento della falda rende il muro instabile alla traslazione orizzontale. 254

257 Esercizio 2 L'indice dei vuoti di un campione di argilla satura sottoposto ad una prova edometrica ad incrementi di carico, in corrispondenza di una tensione efficace verticale di 200 kpa, è a) Nell'ipotesi che il provino si trovi sul tratto di compressione vergine (NCL) e che un incremento di carico di 150 kpa riduca l'indice dei vuoti a 1.43, determinare l'indice di compressione, Cc. b) Nell'ipotesi che il provino venga successivamente scaricato fino a 200 kpa e l'indice dei vuoti aumenti fino a 1.45, determinare l'indice di ricompressione, Cr. c) Determinare il grado di sovraconsolidazione dell'argilla al punto b). d) Se il provino viene infine ricaricato ad una tensione efficace verticale di 500 kpa quale è l'indice dei vuoti raggiunto? Dati: σ' va = 200 (kpa) e A = 1.52 (-) σ 1 = 150 (kpa) e B = 1.43 (-) σ' vc = 200 (kpa) e C = 1.45 (-) σ' vd = 500 (kpa) Soluzione: a) Il provino si trova sulla linea di normalconsolidazione (punto A) con pendenza C c. Aumentando la tensione fino a (punto B): σ' vb = σ' va + σ 1 = 350 (kpa) nota la tensione efficace iniziale e l'indice dei vuoti iniziale e finale si ricava l'indice di compressione : C c = - e/ logσ' v = - (e B - e A )/(log σ' vb - log σ' va ) = (-) b) Il provino viene scaricato alla tensione iniziale (punto C), quindi muovendosi su un tratto di pendenz C r = - e/ logσ' v = - (e B - e C )/(log σ' vb - log σ' vc ) = (-) c) La pressione di preconsolidazione, cioè la massima pressione subita dal provino, è quella raggiunta in B, cioè: σ' p = σ' vb = 350 (kpa) Nel caso b) la tensione efficace veritcale del provino è di: σ' v0 = σ' vc = 200 (kpa) Quindi il grado di sovraconsolidazione è pari a : OCR = σ'p/σ' v0 = 1.75 (-) d) In fase di ricarico viene superata la pressione di preconsolidazione σ' vd = 500 (kpa) > σ' p = σ' vb = 350 (kpa) quindi ci muoviamo sul tratto di normalconsolidazione di pendenza C c dal punto B al punto D e l'indice dei vuoti al punto D è dato da : e D = e C - C c (log σ' vd - log σ' vb ) = 1.37 (-) A 1.48 e [-] C B log σ' v [kpa] D 1000

258 Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 19 aprile Esercizio 1 Un canale di irrigazione, limitatamente ad un tratto di lunghezza L = 7 km, non è rivestito e scorre parallelamente ad un corso d'acqua come mostrato nella sezione trasversale in Figura. Il terreno sottostante è argilla attraversata da una lente di sabbia (k = 9x10-2 cm/s) di spessore S = 0.2 m. Si determini la perdita d'acqua dovuta alla filtrazione, attraverso lo strato di sabbia, dal canale al corso d'acqua m s.l.m. Canale Argilla Lente di sabbia 37 m s.l.m. 150 m 0.2 m Fiume Argilla Dati: Quota del livello d'acqua nel canale: h 1 = 57 (m) s.l.m. Quota del livello d'acqua nel fiume: h 2 = 37 (m) s.l.m. Lunghezza del percorso di filtrazione: H = 150 (m) Lunghezza del tratto filtrante: L = 7000 (m) Spessore della lente di sabbia: s = 0.2 (m) Permeabilità della lente di sabbia: k = 9.E-04 (m/s) Soluzione: Si determinala differenza di carico che si instaura tra il canale e il corso d'acqua: h =h 1 - h 2 = 20 (m) ed il gradiente idraulico corrispondente: i = Dh /H = (-) e, applicando la legge di Darcy, la velocità di filtrazione v = k i = 1.2E-04 (m/s) e con riferimento all'area della sezione attraversata: A = sxl = 1400 (m 2 ) si trova la portata di acqua filtrante: Q = v A = 1.7E-01 (m 3 /s) = (m 3 /mese) Esercizio 2 Si consideri la stratigrafia riportata in Figura e, nell'ipotesi che, su un'area molto estesa, venga realizzato un terrapieno di spessore (H = 3.5 m) e caratteristiche uniformi (γ = 19.7 kn/m 3 ), si determini e si disegni l'andamento con la profondità della pressione idrostatica, della sovrappressione indotta e della pressione neutra risultante, ad un tempo t r = 10 anni dalla realizzazione del terrapieno. Terreno di riempimento 3 γ = 19.7 kn/m Sabbia fine γ = 19.0 kn/m3 γ = 19.2 kn/m sat Argilla -3 2 c v= 3 x 10 m /giorno 3 γ = 14.8 kn/m Cc/( 1+e 0) = 0.21 Cr/( 1+e ) = m 3.5 m 5 m 10 m Sabbia limosa

259 257 Dati: Spessore del terrapieno: H r = 3.5 (m) Spessore dello strato 1 (sabbia fine): H 1 = 5.0 (m) Spessore dello strato 2 (argilla): H 2 = 10.0 (m) Peso di volume del terrapieno: γ r = 19.7 (kn/m 3 ) Peso di volume dello strato 1: γ 1 = 19.0 (kn/m 3 ) γ 1sat = 19.2 (kn/m 3 ) Peso di volume dello strato 2: γ 2 = 14.8 (kn/m 3 ) Coefficiente di consolidazione verticale: c v = 3.0E-03 (m 2 /gior) = 3.5E-08 (m 2 /s) Tempo di consolidazione: t r = 10 (anni) Quota della falda rispetto al piano di campagna originario: z w = 3 (m) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Soluzione: Si determina il massimo percorso di filtrazione nello strato di argilla (drenato da entrambi i lati): H = H 2 /2 = 5 (m) Si determina il fattore di tempo adimensionale corrispondente al tempo di consolidazione fissato, Tr: T v = (c v t r )/H 2 = ed l'incremento di carico σ' v indotto dalla realizzazione del terrapieno: σ v = γ r H r = (kpa) Ad intervalli di 1 m di profondità,z, misurata a partire dal piano di campagna originario, si trova la pressione idrostatica, u 0 = γ w (z-z w ) e la sovrappressione neutra indotta dal carico applicato al tempo t r, u e, ottenuta dal seguente diagramma: dove si considera, per interpolazione, la curva corrispondente a T v = e misurando la profondità z dr a partire dal tetto dello strato e quindi il rapporto z dr /H, si ricava il corrispondente valore del grado di consolidazione:

260 258 U z = (u e,0 - u e )/u e,o = ( σ v - u e )/ σ v, quindi u e e infine la pressione neutra u = u 0 + u e. z (m) Terreno u o (kpa) z dr (m) z dr /H (-) U z (-) u e (kpa) u (kpa) Sabbia limosa Argilla Limo sab Pressione (kpa) pressione 2 idrostatica sovrappressione 4 pressione neutra Profondità (m) Esercizio 3 Un palo elettrico trasmette al terreno un carico puntiforme di 150 kn. Con riferimento alla stratigrafia riportata in Figura, si calcolino le tensioni geostatiche ed indotte dal carico applicato in superficie, totali ed efficaci, orizzontali e verticali nel punto A, ubicato ad una profondità Z = 2.8 m dal piano di campagna, ad una distanza dall'asse di applicazione del carico, X = 1 m in direzione Est e Y = 2 m in direzione N.

261 k N Te rreno di riporto 3 γ = 19.0 kn/m 1.0 m 2.8 m 1.0 m Sabbia fine γ= 19.2 kn/m 3 γ = 19.6 kn/m3 sat K 0= 0.68 υ = 0.45 A 4.5 m Dati: Carico trasmesso dal palo: Q = 150 kn Spessore dello strato di riporto: H r = 1 (m) Spessore dello strato di sabbia fine: H= 4.5 (m) Peso di volume del riporto: γ r = 19 (kn/m 3 ) Peso di volume dello strato: γ 1 = 19.2 (kn/m 3 ) γ 1sat = 19.6 (kn/m 3 ) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) Coefficiente di spinta a riposo: Κ 0 = 0.68 (-) Coefficiente di Poisson: υ = 0.45 (-) Profondità della falda dal p.c.: z w = 2 (m) Coordinate del punto A: x A = 1 (m) y A = 2 (m) z A = 2.8 (m) Soluzione: Si calcola la tensione verticale totale nel punto A: σ V,0 = γ r H r + γ 1 (z w - H r ) + γ 1sat (z A - z w ) = (kpa) la pressione neutra: u 0 = γ w (z A - z w ) = 7.8 (kpa) la tensione litostatica efficace verticale: σ' v,0 = σ 0 - u 0 = 46.0 (kpa) la tensione litostatica efficace orizzontale: σ' x,0 = σ' y,0 = σ' h,0 = K 0 σ' v,0 = 31.3 (kpa) la tensione orizzontale totale: σ x,0 = σ y,0 = σ h,0 = σ' h,0 + u 0 = 39.1 (kpa) Adottando il metodo di Boussinesq si determina l'incremento delle tensioni totali, verticali ed orizzontali, conseguente all'applicazione del carico: σ σ σ z x y = = 3Q 2 3 z π 5 R x π R 3Q 2 2 3Q y = 2π R 2 R = x + y + z 2 2 z 1 2ν + 3 R 5 z 1 2ν + 3 R ( R + z) 1 ( R + z) ( 2R + z) x 3 R ( R + z) 2 2 R 2 ( 2R + z) y z ( ) R R + z R z 3

262 R = r = σ v = σ x = 3.58 (m) 2.24 (m) 2.66 (kpa) 0.29 (kpa) σ y = 1.27 (kpa) Quindi si calcolano le tensioni totali verticali e orizzontali finali: σ v = σ v,0 + σ v = (kpa) σ x = σ h,0 + σ x = (kpa) σ y = σ h,0 + σ y = (kpa) e le tensioni efficaci verticali e orizzontali (trattandosi di terreno sabbioso non vi sono sovrappressioni: indotte dall'applicazione del carico): σ' v = σ v - u 0 = (kpa) σ' x = σ x - u 0 = (kpa) σ' y = σ y - u 0 = (kpa) 260

263 Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 21 giugno Esercizio 1 Con riferimento alla Figura di 3 γ = kn/m seguito riportata, si determini la resistenza al taglio del terreno nei punti A, B e C relativamente al piano verticale ed orizzontale. Limo sab bioso 3 γ = 17.5 kn/m c = 10 kpa ϕ = 28 K = m A 4.9 m 3.0 m 5.0 m B Sabbia media 3 γ = 18 k N/m c = 0 kpa ϕ = 37 K = Dati: Strato A (limo sabbioso): Peso di volume : γ 1 = 17.0 (kn/m 3 ) γ 1sat = 17.5 (kn/m 3 ) Coesione: c 1 ' = 10 (kpa) Angolo di resistenza al taglio: ϕ 1 ' = 28 ( ) Coefficiente di spinta a riposo: Κ 01 = 0.54 ( ) Spessore : sopra falda Η 1 = 3 (m) sotto falda Η 2 = 5 (m) Strato B (limo sabbioso): Peso di volume : γ 2sat = 18.0 (kn/m 3 ) Coesione: c 2 ' = 0 (kpa) Angolo di resistenza al taglio: ϕ 2 ' = 37 ( ) Coefficiente di spinta a riposo: Κ 02 = 0.8 ( ) Livello di falda: z w = 3 (m) Profondità dei campioni z A = 1.1 (m) dal livello di falda: z B = 4.9 (m) z C = 5.1 (m) γ w = 9.8 (kn/m 3 ) C 0.1 m Soluzione: Si determinano le tensioni efficaci verticali ed orizzontali nei punti A, B e C. Nel punto A: σ' va = γ 1 H 1 + (γ 1sat -γ w ) z A = 59.5 (kn/m 2 ) σ' ha = K 01 σ' va = 32.1 (kn/m 2 ) Nel punto B: σ' vb = γ 1 H 1 + (γ 1sat -γ w ) z B = 88.7 (kn/m 2 ) σ' hb = K 01 σ' vb = 47.9 (kn/m 2 ) Nel punto C: σ' vc = γ 1 H 1 + (γ 1sat -γ w ) H 2 + (γ 2sat -γ w ) (z C -H 2 ) = 90.3 (kn/m 2 ) σ' hc = K 02 σ' vc = 72.2 (kn/m 2 )

264 262 Per il calcolo della resistenza al taglio del terreno si applica il criterio di Mohr-Coulomb: τ = σ' tgϕ' + c' e ricordando che σ' rappresenta la componente normale della tensione agente rispetto al piano considerato, si determina la resistenza al taglio agente sul piano orizzontale: τ AH = σ' va tgϕ 1 ' + c 1 ' = 41.6 (kn/m 2 ) τ BH = σ' vb tgϕ 1 ' + c 1 ' = 57.2 (kn/m 2 ) τ CH = σ' vc tgϕ 2 ' + c 2 ' = 68.0 (kn/m 2 ) e sul piano verticale: τ AV = σ'h A tgϕ 1 ' + c 1 ' = 27.1 (kn/m 2 ) τ Bv = σ' hb tgϕ 1 ' + c 1 ' = 35.5 (kn/m 2 ) τ Cv = σ' hc tgϕ 2 ' + c 2 ' = 54.4 (kn/m 2 ) Esercizio 2 Una prova triassiale consolidata isotropa non drenata viene eseguita su un provino di argilla satura normalconsolidata ad una pressione di cella di 150 kpa. Il valore del deviatore a rottura è di 160 kpa e la pressione neutra corrispondente è di 54 kpa. Si determini l'angolo di resistenza la taglio e la coesione non drenata del terreno e si disegnino i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni totali ed efficaci. Dati: Pressione di cella: σ c = (kpa) Deviatore a rottura: q f = (σ 1f - σ 3f ) = (σ' 1f - σ' 3f ) = 160 (kpa) Pressione neutra a rottura: u f = 54 (kpa) Soluzione: La tensione totale radiale σ 3 rimane sempre costante durante la prova e paria quella di cella, σ c : σ 3f = σ c = (kpa) σ 1f = σ 3f + (σ 1f - σ 3f ) = (kpa) σ' 3f = σ 3f - uf = 96.0 (kpa) σ' 1f = σ 1f - uf = (kpa) La coesione non drenata risulta pari a: c u = (σ 1f - σ 3f ) /2 = 80.0 (kpa) L'angolo di resistenza al taglio (ricordando che il terreno è NC e perciò c' = 0): ϕ' = arcsin[(σ' 1f -σ' 3f )/(σ' 1f +σ' 3f )] = 27 ( ) τ [kpa] ϕ c u Tensioni efficaci Tensioni totali σ 1f σ 1f σ 3f σ 3f σσ, [kpa ] Esercizio 3 Rispondere alle seguenti domande: 1. Viene eseguita una prova edometrica su un provino di altezza 20 mm ed il tempo corrispondente ad un grado di consolidazione medio del 50% è di 4 min, il coefficiente di consolidazione verticale è: a) 4.90 (mm/min):

265 b) 4.02 (mm/min): c) 5.96 (mm/min): 2. La teoria di Coulomb per il calcolo della spinta delle terre in generale sovrastima a) la spinta atttiva b) la spinta passiva c) la spinta a riposo 3. Una parete verticale di altezza 3 m priva di attrito sostiene un terrapieno omogeneo caratterizzato da γ sat = 18 kn/m 3, ϕ' = 30. c' = 0; la spinta attiva agente sul muro (in kn), nell'ipotesi di livello di falda coincidente con il piano di campagna orizzontale, è (assumendo γ w = 9.81 kn/m 3 ): a) 51.5 b) 241 c) Un terreno è sottoposto ad una tensione verticale di 140 kpa, una tensione orizzontale di 80 kpa, e ad una tensione di taglio di 40 kpa. La tensione principale maggiore è (in kpa): a) 110 b) 60 c) Un provino cilindrico di terreno di diametro pari a 50 mm e altezza di 100 mm, sottoposto ad uno stato tensionale assial-simmetrico riduce la sua altezza di 3 mm ed incrementa il suo raggio di 0.5 mm. La deformazione volumetrica corrispondente è: a) b) c) Soluzione: 1. a) 2 H Tv Si applica la formula: cv = = 4.90 (mm/min) t con H = 10 mm; t = 4 min; Tv = b) La teoria di Coulomb sovrastima la spinta passiva (l'errore commesso nella stima della spinta attiva è in genere trascurabile). 3. c) Si applica la formula: S a = K A γ' H 2 /2 + γ w H 2 /2 = (kn) calcolata, per unità di alrghezza della parete, con K A = tan 2 (π/4 - ϕ'/2) = 0.33 e H = 3 m 4. c) Si considerano i punti sul piano di Mohr di coordinate (140,40) e (80, -40) appartenenti al cerchio di Moh da cui si ricavano le coordinate del centro del cerchio (C,0), con C = 110 kpa, e il raggio R = 50 kpa, e quindi la tensione principale maggiore: σ 1 = C+ R = 160 kpa 5. c) Si applica la definizione: ε v = ε a + 2 ε r = H/H 0 + e R/R 0 = (3)/100-2 (0,5)/25 =

266 Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 21 giugno Esercizio 1 Con riferimento alla Figura di 3 γ = kn/m seguito riportata, si determini la resistenza al taglio del terreno nei punti A, B e C relativamente al piano verticale ed orizzontale. Limo sab bioso 3 γ = 17.5 kn/m c = 10 kpa ϕ = 28 K = m A 4.9 m 3.0 m 5.0 m B Sabbia media 3 γ = 18 k N/m c = 0 kpa ϕ = 37 K = Dati: Strato A (limo sabbioso): Peso di volume : γ 1 = 17.0 (kn/m 3 ) γ 1sat = 17.5 (kn/m 3 ) Coesione: c 1 ' = 10 (kpa) Angolo di resistenza al taglio: ϕ 1 ' = 28 ( ) Coefficiente di spinta a riposo: Κ 01 = 0.54 ( ) Spessore : sopra falda Η 1 = 3 (m) sotto falda Η 2 = 5 (m) Strato B (limo sabbioso): Peso di volume : γ 2sat = 18.0 (kn/m 3 ) Coesione: c 2 ' = 0 (kpa) Angolo di resistenza al taglio: ϕ 2 ' = 37 ( ) Coefficiente di spinta a riposo: Κ 02 = 0.8 ( ) Livello di falda: z w = 3 (m) Profondità dei campioni z A = 1.1 (m) dal livello di falda: z B = 4.9 (m) z C = 5.1 (m) γ w = 9.8 (kn/m 3 ) C 0.1 m Soluzione: Si determinano le tensioni efficaci verticali ed orizzontali nei punti A, B e C. Nel punto A: σ' va = γ 1 H 1 + (γ 1sat -γ w ) z A = 59.5 (kn/m 2 ) σ' ha = K 01 σ' va = 32.1 (kn/m 2 ) Nel punto B: σ' vb = γ 1 H 1 + (γ 1sat -γ w ) z B = 88.7 (kn/m 2 ) σ' hb = K 01 σ' vb = 47.9 (kn/m 2 ) Nel punto C: σ' vc = γ 1 H 1 + (γ 1sat -γ w ) H 2 + (γ 2sat -γ w ) (z C -H 2 ) = 90.3 (kn/m 2 ) σ' hc = K 02 σ' vc = 72.2 (kn/m 2 )

267 265 Per il calcolo della resistenza al taglio del terreno si applica il criterio di Mohr-Coulomb: τ = σ' tgϕ' + c' e ricordando che σ' rappresenta la componente normale della tensione agente rispetto al piano considerato, si determina la resistenza al taglio agente sul piano orizzontale: τ AH = σ' va tgϕ 1 ' + c 1 ' = 41.6 (kn/m 2 ) τ BH = σ' vb tgϕ 1 ' + c 1 ' = 57.2 (kn/m 2 ) τ CH = σ' vc tgϕ 2 ' + c 2 ' = 68.0 (kn/m 2 ) e sul piano verticale: τ AV = σ'h A tgϕ 1 ' + c 1 ' = 27.1 (kn/m 2 ) τ Bv = σ' hb tgϕ 1 ' + c 1 ' = 35.5 (kn/m 2 ) τ Cv = σ' hc tgϕ 2 ' + c 2 ' = 54.4 (kn/m 2 ) Esercizio 2 Una prova triassiale consolidata isotropa non drenata viene eseguita su un provino di argilla satura normalconsolidata ad una pressione di cella di 150 kpa. Il valore del deviatore a rottura è di 160 kpa e la pressione neutra corrispondente è di 54 kpa. Si determini l'angolo di resistenza la taglio e la coesione non drenata del terreno e si disegnino i cerchi di Mohr a rottura in termini di tensioni totali ed efficaci. Dati: Pressione di cella: σ c = (kpa) Deviatore a rottura: q f = (σ 1f - σ 3f ) = (σ' 1f - σ' 3f ) = 160 (kpa) Pressione neutra a rottura: u f = 54 (kpa) Soluzione: La tensione totale radiale σ 3 rimane sempre costante durante la prova e paria quella di cella, σ c : σ 3f = σ c = (kpa) σ 1f = σ 3f + (σ 1f - σ 3f ) = (kpa) σ' 3f = σ 3f - uf = 96.0 (kpa) σ' 1f = σ 1f - uf = (kpa) La coesione non drenata risulta pari a: c u = (σ 1f - σ 3f ) /2 = 80.0 (kpa) L'angolo di resistenza al taglio (ricordando che il terreno è NC e perciò c' = 0): ϕ' = arcsin[(σ' 1f -σ' 3f )/(σ' 1f +σ' 3f )] = 27 ( ) τ [kpa] ϕ c u Tensioni efficaci Tensioni totali σ 1f σ 1f σ 3f σ 3f σσ, [kpa ] Esercizio 3 Rispondere alle seguenti domande: 1. Viene eseguita una prova edometrica su un provino di altezza 20 mm ed il tempo corrispondente ad un grado di consolidazione medio del 50% è di 4 min, il coefficiente di consolidazione verticale è: a) 4.90 (mm/min):

268 b) 4.02 (mm/min): c) 5.96 (mm/min): 2. La teoria di Coulomb per il calcolo della spinta delle terre in generale sovrastima a) la spinta atttiva b) la spinta passiva c) la spinta a riposo 3. Una parete verticale di altezza 3 m priva di attrito sostiene un terrapieno omogeneo caratterizzato da γ sat = 18 kn/m 3, ϕ' = 30. c' = 0; la spinta attiva agente sul muro (in kn), nell'ipotesi di livello di falda coincidente con il piano di campagna orizzontale, è (assumendo γ w = 9.81 kn/m 3 ): a) 51.5 b) 241 c) Un terreno è sottoposto ad una tensione verticale di 140 kpa, una tensione orizzontale di 80 kpa, e ad una tensione di taglio di 40 kpa. La tensione principale maggiore è (in kpa): a) 110 b) 60 c) Un provino cilindrico di terreno di diametro pari a 50 mm e altezza di 100 mm, sottoposto ad uno stato tensionale assial-simmetrico riduce la sua altezza di 3 mm ed incrementa il suo raggio di 0.5 mm. La deformazione volumetrica corrispondente è: a) b) c) Soluzione: 1. a) 2 H Tv Si applica la formula: cv = = 4.90 (mm/min) t con H = 10 mm; t = 4 min; Tv = b) La teoria di Coulomb sovrastima la spinta passiva (l'errore commesso nella stima della spinta attiva è in genere trascurabile). 3. c) Si applica la formula: S a = K A γ' H 2 /2 + γ w H 2 /2 = (kn) calcolata, per unità di alrghezza della parete, con K A = tan 2 (π/4 - ϕ'/2) = 0.33 e H = 3 m 4. c) Si considerano i punti sul piano di Mohr di coordinate (140,40) e (80, -40) appartenenti al cerchio di Moh da cui si ricavano le coordinate del centro del cerchio (C,0), con C = 110 kpa, e il raggio R = 50 kpa, e quindi la tensione principale maggiore: σ 1 = C+ R = 160 kpa 5. c) Si applica la definizione: ε v = ε a + 2 ε r = H/H 0 + e R/R 0 = (3)/100-2 (0,5)/25 =

269 Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 5 luglio Esercizio 1 Verificare la stabilità alla traslazione ed alla rotazione del muro di sostegno a gravità riportato in Figura, assumendo un angolo di attrito tra la base del muro e il terreno di fondazione δ b = 2/3 ϕ' e trascurando la resistenza passiva a valle del muro. Si asuma un angolo di attrito lungo il parametro interno del muro δ = 20, un peso di volume per l'acqua di γ w = 9.81 kn/m 3 e per il muro di γ c = 24 kn/m Dati: a = 0.6 (m) b = 4.2 (m) H = 5 (m) D = 1 (m) γ sat1 = 17 (kn/m 3 ) γ sat2 = 20 (kn/m 3 ) ϕ 1 ' = 32 ( ) ϕ 2 ' = 27 ( ) γ c = 24 (kn/m 3 ) γ w = 9.81 (kn/m 3 ) z w = 3 (m) Cls ( γ c ) a Filtro d renante Sabbia ( γ sat1, ϕ 1 ) H D b Sabbia ( γ sat2, ϕ 2 ) z w Es. 2 Su tre campioni di sabbia viene eseguita una prova triassiale consolidata non drenata. I valori misurati delle tensioni e della pressione neutra a rottura sono riportati in in tabella. Per ciascuno dei campioni esaminati: a) disegnare i cerchi di Mohr, in termini di tensioni efficaci; b) determinare l'angolo di resistenza al taglio ϕ' ; c) calcolare il parametro A di Skempton a rottura; Campione σ 3f (σ 1 -σ 3 ) f u f (kpa) (kpa) (kpa)

270 Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 6 settembre Esercizio 1 Allo scopo di determinare la densità di un terreno argilloso è prelevato un campione indisturbato con un tubo campionatore di volume m 3. Sono state ottenute le seguenti misure: Massa del tubo (vuoto): (kg) Massa del tubo e del campione: (kg) Massa del tubo e del campione dopo l'essiccamento in forno: (kg) Calcolare il contenuto di acqua, la densità secca e, nell'ipotesi che la gravità specifica sia 2.69, l'indice dei vuoti e il grado di saturazione dell'argilla. Dati: Massa del tubo, M v : (kg) Massa del tubo e del campione, M t : (kg) Massa del tubo e del campione dopo l'essiccamento in forno, M t1 : (kg) Volume del campionatore, V: (m 3 ) Gravità specifica, G S : 2.69 (-) Soluzione: Si calcola la massa dell'acqua contenuta nel campione: M w = M t1 - M t = (kg) e la massa della fase solida del campione: M s = M t1 - M v = (kg) e quindi il contenuto d'acqua: w = (M w /M s ) 100 = 28.3 (%) La densità secca è: ρ d = M s /V = 1.48 (Mg/m 3 ) Essendo G s = ρ s /ρ w si ricava: ρ s = M s /V s = 2.69 (Mg/m 3 ) e quindi: V s = M s /ρ s = (m 3 ) e V v = V - V s = (m 3 ) L'indice dei vuoti risulta: e = V v /V s = 0.82 Si calcola il volume dell'acqua contenuta nel campione, V w = M w /ρ w = (m 3 ) e quindi il grado di saturazione, Sr = (Vw/Vv) 100 = 92.7 (%) Esercizio 2 Sono di seguito riportati i risultati di una prova triassiale consolidata isotropa non drenata eseguita ad una pressione di cella di 300 kn/m 2 su un campione di terreno compattato. Prima dell'applicazione della pressione di cella la pressione dell'acqua interstiziale all'interno del campione è nulla. 268 Deformazione assiale (%) σ 1 (kn/m 2 ) u (kn/m 2 ) a) Si determini il valore del coefficiente B di Skempton e lo stato di saturazione del campione b) Si disegni la variazione della tensione deviatorica con la deformazione c) Si disegni la variazione del coefficiente A di Skempton con la deformazione

271 269 Dati: Pressione di cella, σ 3c = 300 (kpa) Incremento di pressione iniziale, u c = 120 (kpa) Deformazione assiale, ε a (%) σ 1 (kn/m 2 ) u (kn/m 2 ) Soluzione: a) Il coefficiente B di Skempton è : B = u c /σ c = 0.4 ed essendo minore di 1 il campione non è saturo. b) Si calcola la tensione deviatorica σ 1 - σ 3 = σ 1 - σ c c) e il coefficiente A di Skempton, A = A/B = [ u d /( σ 1 - σ 3 )]/B = [(u - u c )/(σ 1 - σ 3c )]/B ε a u d ( σ 1 - σ 3 ) (%) (kpa) (kpa) Α Α Tensione deviatorica (kpa) Deformazione assiale (%) Coefficiente A di Skempton Deformazione assiale (%) Esercizio 3 Con riferimento alla parete verticale riportata in Figura, si disegni il diagramma delle pressioni limite attive agenti sulla parete e si determini la spinta attiva risultante nell'ipotesi a) di parete liscia b) di presenza di attrito (δ = φ'/2).

272 270 Piano di campagna 3 m 3 γ = 16 kn/m φ = 30 c = m 3 γ = 24 kn/m φ = 20 c = 0 Dati: Peso di volume dello strato superiore, γ 1 = 16 (kn/m 3 ) Peso di volume dello strato superiore, γ 2 = 24 (kn/m 3 ) Angolo di resistenza al taglio dello strato superiore, ϕ' 1 = 30 ( ) Angolo di resistenza al taglio dello strato inferiore, ϕ' 2 = 20 ( ) Coesione dello strato superiore, c 1 ' = 0 (kpa) Coesione dello strato inferiore, c 2 ' = 0 (kpa) Spessore dello strato superiore, H 1 = 3 (m) Spessore dello strato inferiore, H 2 = 4.50 (m) Attrito tra terreno e muro (strato superiore), δ 1 = ϕ' 1 /2 = 15 ( ) Attrito tra terreno e muro (strato superiore), δ 2 = ϕ' 2 /2 = 10 ( ) Inclinazione del parametro interno del muro, η = 0 ( ) Inclinazione del terrapieno, β = 0 ( ) Soluzione: a) Si determina il coefficiente di spinta attiva dello strato superiore: K a1 = (1 - sin φ' 1 )/(1 + sin φ 1 ') = 0.33 Pressione limite attiva agente in cima allo strato superiore, σ' a1 = 0.00 (kpa) Pressione limite attiva agente alla base dello strato superiore, σ' a2 = K a1 γ 1 H 1 = (kpa) Si determina il coefficiente di spinta attiva dello strato inferiore: K a2 = (1 - sin φ 2 ')/(1 + sin φ 2 ') = 0.49 Pressione limite attiva agente in cima allo strato inferiore, σ' a3 = K a2 γ 1 H 1 = (kpa) Pressione limite attiva agente alla base dello strato inferiore, σ' a4 = k a2 (γ 1 H 1 + γ 2 H 2 ) = (kpa) La spinta attiva parziale esercitata dallo strato superiore è S 1 = (σ' a1 H 1 )/2 = 24 (kn/m) La spinta attiva parziale esercitata dallo strato inferiore è S 2 = (σ' a3 + σ' a4 ) H 2 /2 = (kn/m) La spinta attiva risultante è S = (kn/m) b) Si determina il coefficiente di spinta attiva dello strato superiore applicando la seguente formula: 2 cos ( ϕ' η ) ka = 2 2 sin ( ) ( ϕ' + δ ) sin( ϕ' β ) cos η cos η + δ 1 + cos( η + δ ) cos( η β ) K a1 = 0.30 La spinta attiva parziale esercitata dallo strato superiore è S 1 = (K a1 γ 1 H 1 2 )/2 = (kn/m) e la componente orizzontale è S 1h = (kpa)

273 271 Si determina il coefficiente di spinta attiva dello strato inferiore: K a2 = 0.45 La spinta attiva parziale esercitata dallo strato inferiore è S2 = [K a2 γ 1 H 1 + K a2 (γ 1 H 1 + γ 2 H 2 )] H 2 /2 = e la componente orizzontale è S 2h = (kn/m) Prof. (m) Pressione (Rankine) (kpa) Pressione limite attiva (kpa) (kpa) Profondità (m)

274 Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 8 novembre Esercizio 1 Viene realizzato uno scavo in un deposito di argilla satura consistente, che poggia su uno strato sabbioso. Con riferimento alle condizioni idrauliche e geometriche riportate in Figura si determini l'altezza d'acqua h che si deve realizzare nello scavo per garantire la stabilità dello strato di argilla. 272 S = 6 m 1 H = 4.8 m h Argilla satura 3 ( ρ = 1.92 Mg/m ) sat H = 3.2 m S = 2 m 2 A Sabbia 3 ( ρ = 1.84 Mg/m ) sa t Esercizio 2 Con riferimento alla mezzeria di uno strato di argilla NC di spessore 4 m e drenato da un lato solo, siano noti la tensione litostatica σ' v0 = 200 kpa, l'incremento della tensione verticale σ v = 200 kpa, l'indice dei vuoti all'inizio, e 0 = 1.22, e alla fine del processo di consolidazione primaria, e = Si determini, supponendo che il coefficiente di permeabilità sia k = 0.61x10-4 m/giorno: a) Il tempo necessario per raggiungere il 60% della consolidazione b) Il cedimento corrispondente al 60% della consolidazione Esercizio 3 Una parete di altezza H = 6m sostiene un terrapieno di argilla soffice satura (γ sat = 15.7 kn/m 3, c u = 17 kpa). Con riferimento a condizioni non drenate si determini: a) la massima profondità fino a cui si estendono le fessurazioni nel terreno b) la spinta attiva del terreno nell'ipotesi che non si siano ancora formate le fessure (terreno aderente al muro) c) la spinta attiva del terreno successiva alla formazione delle fessure

275 Prova scritta di Geotecnica (N.O.) del 24 gennaio Esercizio 1 Una fondazione rettangolare, di dimensioni B = 2m e L = 4m, trasmette al terreno sottostante un carico di esercizio Q es = 800 kn, centrato rispetto alla fondazione, giacente sul piano verticale parallelo alla dimensione minore, e inclinato di un angolo α 30 rispetto alla verticale. Il terreno compreso tra il piano di posa, orizzontale e a profondità D = 1.5 m, e il piano campagna, anch'esso orizzontale, è formato da materiale di riporto (γ = 17 kn/m 3 ; φ' = 23 ). Il terreno di fondazione è invece costituito da sabbia densa (γ d = 17 kn/m 3 ; γ s = 26 kn/m 3 ; φ' = 34 ). La falda si trova a profondità z w dal piano di campagna. Assumendo un fattore di sicurezza F = 3, si verifichi la stabilità della fondazione con riferimento alla situazione più criitca: a) nel caso di terreno asciutto e al variare dell'angolo α, ; b) nel caso di carico verticale, al variare della posizione della falda (z w 0,5 ). Dati: Larghezza della fondazione: B (m) = 2 Lunghezza della fondazione: L (m) = 4 Profondità del piano di posa: D (m) = 1.5 Carico di esercizio: Q es (kn) = 800 Inclinazione del carico rispetto alla verticale: α ( ) 30 Inclinazione dela proiezione del carico rispetto alla dimensione maggiore: θ ( ) = 90 Fattore di sicurezza: F = 3 Profondità della falda: zw 0.5 Terreno di riporto: Peso di volume: γ r (kn/m 3 ) = Angolo di resistenza al taglio: φ' r ( ) = 23 Terreno di fondazione: Peso di volume secco: γ d (kn/m 3 ) = Peso specifico dei costituenti solidi: γ s (kn/m 3 ) = Angolo di resistenza al taglio: φ' ( ) = 34 Profondità della falda: z w (m) 0.5 Peso di volume dell'acqua: γ w (kn/m 3 ) = 9.81 Soluzione: Essendo il terreno di fondazione di tipo incoerente (c' = 0) verrà effettuata una verifica a lungo termine (in termini di pressioni efficaci) calcolando la capacità portante secondo la seguente formula: 1 q lim = γ ' B' N γ s γ d γ i γ b γ g γ + q' N q s q d q i q b q g q 2 dove essendo il piano di campagna e di posa della fondazioni orizzontali risulta: g γ = g q = 1 b γ = b q = 1 essendo il carico centrato risulta B' = B 273 I fattori di capacità portante vengono determinati con le formule: π tg ϕ 2 φ N q = e tg (45 + ) = N = 2 N 1 tg = q γ ( ) φ

276 274 I fattori di forma della fondazione sono calcolati con le seguenti formule (per fondazione rettangolare): B s q = 1 + tan φ L = 1.34 B s γ = 1 0,4 = 0.80 L I fattori di profondità si calcolano con la formula (essendo D/B = ) 2 D dq = 1+ 2 tanφ( 1 senφ ) = 1.20 B d γ = 1 Trattandosi di terreno di riporto si assume cautelativamente: d q = 1.2 Per determinare i fattori di inclinazione del carico si considerano le formule: i q H 1 V i γ = 1 dove: H/V = tg α m = m m = m + 1 L H V cos B 2 ϑ + m = m B 2 + m L = 1.67 B = B 1 + L a) La situazione più critica corrisponde al valore massimo di α, cioè: α ( ) = 30 da cui si ricava che: i q = 0.24 i γ = 0.10 Si suppone il terreno di fondazione asciutto, cioè z w D + B = 3.5 per cui: 1/2 γ' B 1/2 γ d B q' q = γ r D = 25.5 (kpa) Si determina la capacità portante: q lim = (kpa) e la pressione ammissibile: q lim q q (kpa) amm = + q FS e quindi il carico ammissibile: Q amm = q amm B L = (kn) (non c'e' sottospinta idraulica) La componente verticale del carico di esercizio è: Q es,v = Q es cosα = (kn) Q es,v = < Q amm La verifica è soddisfatta. b) La situazione più critica corrisponde a: z w (m) = 0.5 B sen 2 ϑ

277 275 e nell'ipotesi di carico verticale: α ( ) = 0 i q = 1 i γ = 1 1/2 γ' B 1/2 γ' B Per trovare il peso di volume saturo dell'argilla si sfruttano le relazioni: γ d = P S /V γ s = P S /V S γ w = P w /V w Si assume: V = V s + V W = 1 (terreno saturo) Risolvendo il sistema di 4 equazioni in 4 incognite si ottiene: P S = (kn) V S = 0.65 (m 3 ) V W = 0.35 (m 3 ) P w = 3.40 (kn) P = P w + P S = (kn) γ sat = P/V = (kn/m 3 ) γ' = γ sat - γ w = (kn/m 3 ) Il peso di volume alleggerito del terreno di riporto risulta: γ' r = γ r - γ w = 7.19 (kn/m 3 ) q' q' = γ' r (D-z w ) + γ r z w = (kpa) Si determina la capacità portante: q lim = (kpa) e la pressione ammissibile: q amm q lim q' = + q' = FS (kpa) e quindi il carico ammissibile: Q amm = q amm B L = (kn) La sottospinta idraulica è pari a: Sw = γ w B L (D-z w ) = (kn) Q'es = Q es - S W = < Q amm = (kn) La verifica è soddisfatta. Esercizio 2 Una prova di consolidazione edometrica, condotta su un provino di altezza H 0 = 20 mm, ha prodotto i seguenti risultati: σ 1 ' = 50 kn/m 2 ; e 1 = 0.92; σ 2 ' = 120 kn/m 2 ; e 2 = 0.78; t 50 = 2.5 min Si determini, limitatamente all'intervallo di carico considerato, il coefficiente di permeabilità k del terreno (si assuma l'indice dei vuoti iniziale e 0 = e 1 ). Dati: Altezza iniziale del provino: H 0 (mm) = 20 Indice dei vuoti iniziale: e 0 (-) = 0.92 σ 1 ' (kn/m 2 ) = 50 σ 2 ' (kn/m 2 ) = 120 e 1 (-) = 0.92

278 276 e 2 (-) = 0.78 t 50 (min) = 2.5 Peso di volume dell'acqua: γ w (kn/m 3 ) = 9.81 Soluzione: Si utilizza la definizione di coefficiente di consolidazione verticale per determinare il coefficiente di permeabilità: K = c v a v γ w /(1+e 0 ) dove: a v = - e/ σ' = (e 2 -e 1 )/(s' 2 -s' 1 ) = (m 2 /kn) c v = (T V,50 H 2 )/t 50 Per un grado di consolidsazione medio Um = 50%, si ha che: T V,50 = Essendo il provino drenato da entrambi i lati: H = H 0 /2= (m) da cui: c v = 7.88E-06 (m 2 /min) Il coefficiente di permeabilità risulta quindi: k = 8.05E-08 (m/min) = 1.34E-09 (m/s) Esercizio 3 Una prova di taglio diretto eseguita su un provino di sabbia satura (avente dimensioni 60mmx60mmx25mm) ha fornito come risultato una forza di taglio a rottura T f = 262 N in corrispondenza di un carico verticale P = 350 N. Adottando la relazione, valida per le sabbie, tgφ' = 0.65/e, si determini il peso di volume del terreno (G S = 2.65, γ w = 10 kn/m 3 ). Dati: Lunghezza del provino, L (mm) = 60 Larghezza del provino (mm), B = 60 Altezza del provino, H (mm) = 25 Forza di taglio a rottura, T f (N) = 262 Carico verticale, P (N) = 350 G S (-) = 2.65 Peso di volume dell'acqua: γ w (kn/m 3 ) = 9.81 Soluzione: Il peso di volume del terreno (saturo) è dato da: γ sat = P/V Dove il volume del provino è : V = B L H = V V + V s = V W + V S = 9.00E-05 (m 3 ) P = P w + P S Trattandosi di un terreno incoerente, vale il criterio di rottura di Mohr-Coulomb nella forma: τ f = σ' tgφ' dove : τ f = T f /A = T f /(BL) = (kpa) σ' = N/A = (kpa) da cui si ricava : φ' = arctg(τ f /σ') = 36.8 ( ) e quindi dalla relazione adottata, si ricava: e = V V /V S = 0.65/tgφ' = (-) Quindi si ricava: γ S = P S /V S = G S γ w = 26.0 (kn/m 3 ) Essendo:

279 277 V w /V S = P S /V S = 26.0 V W + V S = 9.00E-05 P w /V w = 9.81 Si rsolve il sistema di 4 equazioni in 4 incognite: V S = 4.82E-05 (m 3 ) V w = 4.18E-05 (m 3 ) P S = 1.25 (N) P w = 0.41 (N) P = P w + P S = 1.66 (N) da cui si ricava : γ sat = P/V = 18.5 (kn/m 3 )

280 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 7 febbraio Esercizio 1 Una parete verticale liscia di altezza H = 6 m sostiene un terrapieno, costituito da uno strato superficiale di sabbia mediamente addensata (γ 1 = 16.5 kn/m 3 ; φ' = 30 ) di spessore H 1 = 1.2 m, seguito da uno strato di di sabbia densa (γ 2,sat = 19.2 kn/m3; φ' = 35 ). Nell'ipotesi di piano di campagna orizzontale e di falda a profondità z w = 1.2 m dal piano di campagna, e trascurando eventuali moti di filtrazione: a) disegnare i profili, con la profondità, della pressione limite attiva, σ' a, e della pressione interstiziale, u; b) determinare la risultante, e il relativo punto di applicazione, delle azioni che il terrapieno esercita sulla parete. Dati: Altezza della parete: H(m) = 6 Spessore dello strato superficiale: H 1 (m) = 1.20 Strato superficiale Strato sottostante Peso di volume: γ 1 (kn/m 3 ) = γ 2,sat (kn/m 3 ) = Angolo di resistenza al taglio: φ 1 ( ) = 30 φ 2 ( ) = 35 Profondità della falda: z w (m) = 1.20 Peso di volume dell'acqua: γ w (kn/m 3 ) = 9.81 Soluzione: a) Trattandosi di una parete liscia si può applicare il metodo di Rankine. Si determina il coefficiente di spinta attiva del terreno costituente lo strato piu' superficiale e lo strato sottostante: k a1 (-) = (1 - sinφ 1 ')/(1+sin φ 1 ') = 0.33 k a2 (-) = (1 - sinφ 2 ')/(1+sin φ 2 ') = 0.27 Si determina il valore della tensione veritcale totale, della pressione neutra, della tensione efficace verticale, e della pressione limite attiva, in corrispondenza del piano di campagna (punto A), dell'interfaccia dei due strati (punto B) e della base della parete (punto C): 278 Punto A z = 0 σ v (kpa) = 0 u (kpa) = 0 σ' v (kpa) = σ v - u = 0 σ' a (kpa) = k a1 σ' v = 0 Punto B z = 1.20 σ v (kpa) = γ 1 H 1 = 19.8 u (kpa) = γ w (z - z w ) = 0 σ' v (kpa) = σ v - u = 19.8 σ' - a (kpa) = k a1 σ' v = 6.6 σ' + a (kpa) = k a2 σ' v = 5.4 Profondità (m) Pressione limite attiva, σ' a (kpa) S S S Punto C z = 6.00 σ v (kpa) = γ 1 H 1 + γ 2 (H-H 1 ) = u (kpa) = γ w (z - z w ) =

281 279 σ' v (kpa) = σ v - u = σ' a (kpa) = k a2 σ' v = 17.6 z (m) σ' a (kpa) u (kpa) Si determina la spinta attiva: S 1 = 1/2 σ' - a (B) H 1 = 3.96 (kn/m) S 2 = (H - H 1 ) σ' + a (B) = (kn/m) S 3 = 1/2 (σ' a (C) - σ' + a (B)) (H-H 1 ) = (kn/m) S a = S 1 + S 2 + S 3 = (kn/m) e la spinta idrostatica: S w = 1/2 γ w (H - z w ) 2 = (kn/m) e la spinta totale: S = S a + S w = (kn/m) ed il momento risultante rispetto alla base del muro: M = (kn) e quindi si ricava il punto di applicazione: z A = M/S = 1.80 (m) Profondità (m) Pressione neutra, u (kpa) S w Esercizio 2 Da un'analisi preliminare effettuata sul terreno di fondazione di un edificio, consistente in un deposito di sabbia contenente al suo interno uno strato di argilla compressibile sotto falda, è stato stimato un cedimento di consolidazione primaria h = 50 mm. L'incremento della tensione efficace verticale medio trasmesso dall'edificio allo strato di argilla è di 150 kpa. Da un'analisi più approfondita è risultato che lo strato di argilla ha uno spessore maggiore del 30% di quello stimato inizialmente ed il livello di falda si trova due metri al di sotto di quello inizialmente considerato. Determinare il nuovo valore del cedimento di consolidazione primaria. Dati: Cedimento stimato: H ini (mm) = 50 Incremento di carico: σ v (kpa) = 150 Errore sullo spessore dello strato ε H (%) = 30 Errore sulla posizione della falda: z w (m) = 2 Peso di volume dell'acqua: γ w (kn/m 3 ) 9.81 Soluzione: Per stimare il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla satura si adotta la formula: H = H 0 m V σ v e nell'ipotesi che il coefficiente di compressibilità di volume m v sia lo stesso,a parità di incremento di tensione verticale σ v, il cedimento è proporzionale allo spessore dello strato, da cui: H corr / H ini = H 0,corr /H 0,ini da cui: H corr = H ini * (H 0,ini + ε H H 0,ini /100)/H 0,ini = 65 (mm)

282 280 L'abbassamento della falda di 2 m comporta un incremento della tensione efficace verticale: γ w z w = (kpa) per cui a parità sempre di m v e ora anche dello spessore, il cedimento risulta proporzionale all'incremento della tensione verticale: H corr '/ H corr = ( σ v + γ w z w )/ σ v = da cui: H corr ' = H corr *( σ v + γ w z w )/ σ v = 73.5 (mm) Esercizio 3 Viene realizzato uno scavo in uno strato di argilla limosa (G s = 2.7, e = 0.62) di spessore H = 14.2 m, che insiste su uno strato di sabbia. Il livello di falda si trova a 2 m dal piano di campagna. Si determini la profondità critica di escavazione (relativamente al problema del sollevamento del fondo scavo). Dati: Gravità specifica: Gs (-) = 2.70 Indice dei vuoti: e (-) = 0.62 Spessore dello strato di argilla: H (m) = 14.2 Profondità della falda: z w (m) = 2.00 Peso di volume dell'acqua: γ w (kn/m 3 ) = 9.81 Soluzione: Si determina il peso di volume saturo dell'argilla: γ s = G s γ w = P S /V S = (kn/m 3 ) γ w = P w /V w = 9.81 (kn/m 3 ) e = V V /V S = V W /V S = 0.62 (-) Si assume: V = V s + V v = V s + V w = 1 (m 3 ) (terreno saturo) Risolvendo il sistema di 4 equazioni in 4 incognite si ottiene: V S = 0.62 (m 3 ) V w = 0.38 (m 3 ) P W = 3.75 (kn) P S = (kn) P = P w + P S = (kn) γ sat = P/V = (kn/m 3 ) Essendo lo scavo realizzato in un terreno a grana fine occorre ragionare, con riferimento al breve termine in termini di tensioni totali e si determina il fattore di sicurezza, definito mediante il rapporto tra la pressione verticale totale e la pressione interstiziale all intradosso dello strato di argilla a valle γ D FS = γ w H w dove D è la distanza del fondo scavo dalla base dello strato, incognita, e H w la distanza della falda dalla base dello strato: H w = H - z w = (m) Quindi ponendo FS = 1 si ottiene il valore critico di D: D cr = 5.95 (m) e quindi la profondità di escavazione critica: h cr = (Η D cr ) = 8.25 (m)

283 281 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 18/04/ Esercizio 1 I risultati di una prova triassiale consolidata isotropa non drenata condotta su tre provini, completamente saturi, di un campione di argilla sono di seguito riportati. La back pressure applicata per ciascuno dei tre provini è 200 kpa. Provino 1 Provino 2 Provino 3 Pressione di cella, σ c (kpa) Deviatore a rottura, q f (kpa) Pressione neutra a rottura, u f (kpa) Si disegnino i cerchi di Mohr a rottura, si determinino le tensioni principali a rottura, i parametri di resistenza al taglio e il coefficiente di Skempton, a rottura, A f. Esercizio 2 Uno strato di terreno di riporto sabbioso (γ = 16 kn/m 3 ) di spessore 3 m viene distribuito su una vasta area sopra uno strato di argilla di spessore 8 m e con il livello di falda coincidente con il preesistente piano di campagna. Il coefficiente di consolidazione verticale dell'argilla è pari a 8 m 2 /anno ed il peso di volume è 20 kn/m 3. Si determini la pressione intersitiziale e la tensione efficace verticale al centro dello strato di argilla 3 mesi dopo la sistemazione del terreno di riporto, nell'ipotesi che questo venga applicato istantaneamente e che lo strato di argilla sia drenato inferiormente. Esercizio 3 Una fondazione nastriforme di larghezza B = 3 m viene realizzata ad una profondità D = 1.5 m dal piano di campagna in un deposito di sabbia asciutta e densa di elevato spessore. L'angolo di resistenza al taglio della sabbia è 35 e il peso di volume è 19 kn/m 3. Si determini: a) il carico ammissibile per un fattore di sicurezza FS = 3; b) il carico limite nell'ipotesi che il carico trasmesso alla fondazione abbia una componente verticale di 220 kn/m con eccentricità di 0.3 m rispetto alla larghezza B e una componente orizzontale di 50 kn/m applicata alla base.

284 282 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 20/06/ Esercizio 1 Una fondazione avente la forma rappresentata in Figura (area tratteggiata) esercita sul terreno sottostante una pressione uniforme di 420 kpa. Si determini l'incremento di tensione verticale indotta ad una profondità di 3 m lungo la verticale condotta dal punto A. 6 m 2 m 5 m 2 m A Esercizio 2 Su un campione estratto al centro di uno strato di argilla satura di spessore 3.5 m viene eseguita una prova di consolidazione edometrica i cui risultati sono riassunti in Figura. Si determini l'incremento di tensione efficace verticale che produce un cedimento di 12 cm, nell'ipotesi di a) terreno NC b) terreno OC con OCR = 3 Esercizio 3 Vengono prelevati tre campioni indisturbati da un terreno di riporto compattato e sottoposti a prove triassiali consolidate isotrope non drenate, i cui risultati sono di seguito riassunti. Si assuma la back pressure uguale a 0 ed i provini cilindrici di altezza 76.2 mm e diametro 38.1 mm. Pressione di cella Carico assiale a rottura Pressione interstiziale a rottura (kpa) (N) (kpa) Si determini il valore della coesione e dell'angolo di resistenza al taglio.

285 283 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 4/07/ Esercizio 1 Un muro di sostegno in c.a.(riportato in figura) sostiene un terrapieno costituito da argilla NC (γ 1 = 18 kn/m 3 ) ed è fondato su uno strato di ghiaia (γ 2 = 19 kn/m 3, ϕ' = 32 ). Assumendo le dimensioni del muro riportate in figura e la falda molto profonda, utilizzando i risultati, di seguito riportati, della prova triassiale consolidata isotropa non drenata eseguita su tre provini estratti nello strato di argilla di argilla NC: a) si determinino le azioni che agiscono sull'opera di sostegno, assumendo un angolo di attrito δ = 2ϕ'/3, i punti di applicazione ed il momento risultante rispetto al piede del muro (O) b) si effettui una verifica della capacità portante del terreno di fondazione. σ c [kpa] (σ 1 -σ 3 ) r [kpa] u r [kpa] Provino A Provino B Provino C (back pressure u 0 = 200 kpa) Dati: Dati geometrici: H = B = s = D = a = b = 5.00 m 3.60 m 0.50 m 1.60 m 0.50 m 1.80 m O Sovraccarico agente a monte del muro: q m = 70 kpa Sovraccarico agente a valle del muro: q v = 50 kpa Peso di volume dell'argilla : γ 1 = 18.0 kn/m 3 Peso di volume della ghiaia : γ 2 = 19.0 kn/m 3 Angolo di resistenza al taglio della ghiaia: φ' 2 = 32 = rad Peso di volume del muro : γ ca = 25.0 kn/m 3 Risultati della prova TXCIU: σ c [kpa] (σ 1 -σ 3 ) r [kpa] u r [kpa] Provino A Provino B Provino C back pressure u 0 = 200 (kpa) Soluzione: a)

286 Si determinano i parametri di resistenza al taglio dell'argilla NC a partire dai risultati della prova TXCIU: vengono calcolate le tensioni principali a rottura, σ' 1r e σ' 3r, per i tre provini e il raggio, R, e l'ascissa del centro, C, dei cerchi di Mohr a rottura corrispondenti: Provino A σ' 3r = σ c -u 0 - u r = R A = (σ' 1r -σ' 3r )/2 = kpa raggio cerchio di Mohr A σ' 1r = (σ 1 -σ 3 ) r +σ' 3r = C A = (σ' 1 +σ' 3 )/2 = kpa centro cerchio di Mohr A Provino B σ' 3r = σ c -u 0 - u r = R B = (σ' 1 -σ' 3 )/2 = kpa raggio cerchio di Mohr B σ' 1r = (σ 1 -σ 3 ) r +σ' 3r = C B = (σ' 1 +σ' 3 )/2 = kpa centro cerchio di Mohr B Provino C σ' 3r = σ c -u 0 - u r = R C = (σ' 1 -σ' 3 )/2 = kpa raggio cerchio di Mohr C σ' 1r = (σ 1 -σ 3 ) r +σ' 3r = C C = (σ' 1 +σ' 3 )/2 = kpa centro cerchio di Mohr C φ' 1,AB = arcsin [(R B -R A )/(C B -C A )] = rad = φ' 1,AC = arcsin [(R C -R A )/(C C -C A )] = rad = φ' 1,BC = arcsin [(R C -R B )/(C C -C B )] = rad = si assume il valore medio φ' 1 = rad = c' A = (R A /sinφ' 1 -C A )tgφ' 1 = 0.22 kpa c' B = (R B /sinφ' 1 -C B )tgφ' 1 = 0.11 kpa c' C = (R C /sinφ' 1 -C C )tgφ' 1 = 0.20 kpa si assume il valore medio c' 1 = 0.00 kpa 284 τ [kpa] σ' [kpa] Si detrminano i coefficienti di spinta attiva e passiva per lo strato di argilla: K A = (Muller-Breslau) K P = (Rankine) Si assume il il valore più cuatelativo (Rankine) Si calcolano le azioni verticali e i rispettivi bracci rispetto al punto O: Trascurando il contributo stabilizzante della parte del carico accidentale, q m, agente sul piede di fondazione si W 1 = bx[q m + γ 1 xh]= kn/m W 2 = γ ca xhxa = kn/m W 3 = γ ca xbxs = kn/m W 4 = (B-b-a)*[q v +γ 1 x(d-s)]= kn/m W tot = kn/m b 1 = B-b/2= 2.70 m

287 285 b 2 = B-b-a/2= 1.55 m b 3 = B/2= 1.80 m b 4 = (B-b-a)/2= 0.65 m b tot = 2.09 m Si determinano le spinte esercitate dal terrapieno sul muro ed i relativi bracci: Si determina la spinta attiva agente alle spalle del muro dovuta al terrapieno ed al sovraccarico, inclinata di δ rispetto alla normale rispetto al parametro interno del muro. Si assume un angolo di attrito: δ 1 = 2φ' 1 /3 = rad = SPINTA S 1 S 1 = q m xk A1 x(h+s)= kn/m S 1h = S 1 xcosδ 1 = kn/m b 1z = (H+s)/2 = 2.75 m S 1v = S 1 xsinδ 1 = kn/m b 1x = B = 3.60 m SPINTA S 2 S 2 =γ 1 xk a x(h+s)^2/2 = kn/m S 2h = S 2 xcosδ 1 = kn/m b 2z = (H+s)/3 = 1.83 m S 2v = S 2 xsinδ 1 = kn/m b 2x = B = 3.60 m Si determina la spinta passiva agente al piede del muro dovuta al terrapieno ed al sovraccarico, inclinata di δ rispetto alla normale rispetto al parametro interno del muro. SPINTA S 3 S 3 = q v xdxk P = kn/m b 3z = D / 2 = 0.80 m S 3h = S 3 xcosδ 1 = kn/m b 3x = 0.00 m S 3v = S 3 xsinδ 1 = kn/m SPINTA S 4 S 4 =γ 1 xd 2 xk P / 2 = kn/m b 4z = D/3 = 0.53 m S 4h = S 4 xcosδ 1 = kn/m b 4x = 0.00 m S 4v = S 4 xsinδ 1 = kn/m Si determina il momento risultante delle azioni stabilizzanti che agiscono sul muro: considerando, cautelativamente le spinte che agiscono al piede, S 3 e S 4, pari a metà del proprio valore. M r =W tot x b tot + (S 3h /2)xb 3z +(S 4h /2)xb 4z +(S 1v xb 1x + S 2v xb 2x + S 3v xb 3x +S 4v xb 4x ) = knm/m (azione resistente) nel caso in cui, come previsto dalla normativa, si ipotizzino le spinte passive orizzontali, allora: M r1 =W tot x b tot + (S 3 /2)xb 3z +(S 4 /2)xb 4z +(S 1v xb 1x + S 2v xb 2x ) = knm/m Si determina il momento risultante delle azioni instabilizzanti che agiscono sul muro: M i =S 1h xb iz + S 2h xb 2z = knm/m (azione instabilizzante)

288 286 nel caso in cui, come previsto dalla normativa, si ipotizzino le spinte passive orizzontali, allora: M i1 =S 1 xb iz + S 2 xb 2z = knm/m (azione instabilizzante) e quindi il momento risultante: M tot = Mr - Mi = knm/m M tot,1 = Mr1 - Mi1 = knm/m b) Si determina la componente verticale e orizzontale della risultante delle azioni trasmesse al terreno di fondazione: Carico verticale totale N = W tot + S 1v + S 2v - S 3v - S 4v = kn/m N 1 = W tot + S 1v + S 2v = kn/m Carico orizzontale totale H = S 1h +S 2h -(S 3h +S 4h )/2-Ntgδ = kn/m (orientato verso il piede H 1 = S 1h +S 2h -(S 3 +S 4 )/2 - Ntgδ = kn/m Inclinazione della risultante rispetto alla verticale α = arctg(h/n) = rad = 9.44 α 1 = arctg(h 1 /N 1 ) = rad = 7.33 Fattori di capacità portante e di inclinazione del carico secondo Meyerhof N q = e π tg φ' tg 2 (π/4+φ'/2) = N γ = (Nq - 1)tg(1,4φ') = i q = (1-α/90 ) 2 = 0.80 i γ = (1-α/φ') 2 = 0.50 Momento ribaltante rispetto a B/2 (+ antiorario) M B/2 = S 1h xb 1z + S 2h xb 2z -(S 1v + S 2v + S 3v + S 4v )xb/2-w tot x(b tot -B/2)-(S 3h /2)xb 3 z-(s 4h /2)xb 4z = kn/m M B/2,1 = S 1h xb 1z + S 2h xb 2z -(S 1v + S 2v )xb/2-w tot x(b tot -B/2)-(S 3 /2)xb 3 z-(s 4 /2)xb 4z = kn/m Eccentricità e = M B/2 /N = m e < B/6 ---> sezione completamente reagente e 1 = M B/2,1 /N 1 = m e < B/6 ---> sezione completamente reagente Pressione di contatto massima σ max = Nx(1+6e/B)/B = kpa/m σ max,1 = N 1 x(1+6e 1 /B)/B = kpa/m Dimensione ridotta della fondazione B' = B-2e = 3.5 m B 1 ' = B-2e 1 = 3.1 m Carico limite q lim = 0,5xγ 2 xb'xn γ xi γ + σ' v (A)xN q xi q = kpa/m q lim,1 = 0,5xγ 2 xb'xn γ xi γ + σ' v (A)xN q xi q = kpa/m FS q1 = q lim /σ max = VERIFICA SODDISFA FS q2 = q lim B'/N = Esercizio 2 Sono di seguito riportati i risultati di una prova di consolidazione edometrica eseguita su un campione di argilla satura in termini di pressione applicata e di altezza raggiunta dal campione al termine della consolidazione: Pressione Altezza (kpa) (mm)

289 Al termine della prova il valore del contenuto d'acqua del provino è del 25%. Assumendo un valore della gravità specifica G s pari a 2.65, si disegni la curva e-σ' v e si determini il valore del coefficiente di compressibilità di volume m v nell'intervallo kpa. Dati: σ' i H i (kpa) (mm) i = i = i = i = i = i = i = 6 w (%) = 25 (i = 6) σ' i (kpa) = 250 G s (-) = 2.65 σ' f (kpa) = 350 Soluzione: Si determina il valore dell'indice dei vuoti corrispondente a ciascun gradino di carico: essendo il provino saturo vale la relazione e = w Gs al termine della prova (i = 6) il valore dell'indice dei vuoti corrispondente risulta allora: e 6 = w 6 G s = corrispopndente ad un'altezza del provino: H 6 = (mm) Quindi si sfrutta la relazione H/H 0 = e/(1+e 0 ) da cui: (H i+1 -H i )/H i = (e i+1 - e i )/(1+e i ) per i = 1, 6 da cui noto H i+1 - H i ed ei, si ricava e i+1 - e i e quindi e i : i σ' i H i H i - H i-1 e i - e i-1 e i (kpa) (mm) (mm) (-) (-) Si disegna la curva e-σ'v corrispondente: ndice dei vuoti, e

290 288 indic σ' v (kpa) Si determina il valore del coefficiente di compressibilità di volume m v : Si calcola: a v = e/ σ' v = (e e 350 )/( ) = dove : e 250 = e 350 = e quindi: m v = a v /(1+e 250 ) = 6.00E-05 (m 2 /kn) (m 2 /kn)

291 289 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 5/09/ Esercizio 1 Un campione di sabbia secca, con peso dell' unità di volume di 16.5 kn/m 3 e gravità specifica G s = 2.70, viene esposto alla pioggia. Sotto la pioggia il volume del campione rimane inviariato mentre il grado di saturazione aumenta del 40%. Determinare il peso di volume del campione e il contenuto d'acqua dopo l'esposizione alla pioggia. Esercizio 2 Si determini la grandezza e la direzione delle tensioni principali per l'elemento piano e quadrato di lato L = 2 m riportato in figura. 40 kn 160 kn kn 80 kn Esercizio 3 Una prova di carico su piastra, condotta fino a rottura del terreno, fornisce un valore della pressione di rottura di 345 kn/m 2. La piastra è quadrata con lato di 0.3 m e viene posta ad una profondità di 0.9 m dal piano di campagna. Il peso dell'unità di volume del terreno è di 17.7 kn/m 3. Nell'ipotesi di terreno omogeneo, determinare il carico limite di una fondazione quadrata di lato pari a 1.8 m da poggiare sullo stesso terreno ad una profondità dal piano di campagna di 0.9 m. Esercizio 4 Con riferimento allo schema riportato in figura si determini il profilo, con la profondità, dell'altezza geometrica z, dell'altezza di pressione u/γ w e del carico piezometrico h, nonché la velocità di filtrazione reale ed apparente attraverso i due tipi di terreno indicati in figura. 1.2 m A= 0.37 m n = 0.5 k = 1 cm/s 2 A A 1.2 m 2 A = m n = 0.5 k = 0.5 cm/s A A 0.6 m 0.6 m

292 290 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 13/12/ Esercizio 1 Una parete rigida e liscia di altezza H = 6m sostiene un terrapieno costituito da due strati. Lo strato superiore, di spessore pari a 1.2 m, è costituito da argilla sabbiosa (γ = 16.4 kn/m 3 ; c' = kpa; ϕ' = 24 ). Lo strato inferiore è costituito da sabbia normalconsolidata (γ = kn/m 3 ; ϕ' = 30 ). Si disegni il diagramma delle pressioni agenti sul parametro interno del muro, la risultante ed il relativo punto di applicazione nell'ipotesi che la falda sia assente. Esercizio 2 I valori della resistenza alla punta q c e dell'attrito laterale f s misurati durante una prova CPT, eseguita con un penetrometro elettrico, ad una profondità z = 14.5 m sono rispettivamente MN/m 2 e MN/m 2. Assumendo la falda a 3 m dal piano di campagna ed un peso di volume costante per il terreno sovrastante (uguale sopra e sotto falda), pari a 18 kn/m 3, si classifichi il terreno alla profondità di misura e si stimi la coesione non drenata c u. Esercizio 3 Un provino saturo di sabbia limosa normalconsolidata viene sottoposto ad una prova TXCIU. Sapendo che il deviatore a rottura misura 482 kn/m 2 ed il piano di rottura risulta inclinatodi 60 rispetto all'orizzontale, si determinino le tensioni principali. Quanto misurerebbe il deviatore a rottura e la tensione totale principale maggiore se venisse ripetuta la prova TXCIU su un provino dello stesso materiale con una pressione di cella di 200 kn/m 2 ed una pressione a rottura di 57 kpa? Esercizio 4 Le indagni eseguite in corrispondenza di un deposito di terreno hanno fornito le seguenti informazioni: - è presente sabbia fine fino ad una profondità di 10.6 m seguita da uno strato di argilla soffice di spessore pari a 7.60 m; - la falda si trova ad una profondità di 4.60 m dal piano di campagna; - il peso di volume della sabbia al di sopra della falda è pari a 17.6 kn/m 3 e il peso di volume alleggerito è di 10.4 kn/m 3 ; - il contenuto d'acqua dell'argilla normalconsolidata è di 40%, il limite liquido è 45% (Gs = 2.78). Si determini il cedimento medio dello strato di argilla nell'ipotesi che la costruzione progettata trasmetta al terreno sottostante una pressione netta di 120 kpa (stimata al centro dello strato di argilla).

293 291 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 10/01/ Esercizio 1 Uno strato di argilla satura relativamente impermeabile di spessore 12 m giace su un acquifero in pressione costituito prevalentemente da ghiaia. Il livello dell'acqua raggiunto all'interno di un tubo piezometrico applicato in corrispondenza tetto dello strato di ghiaia è di 3 m al di sopra del tetto dello strato di argilla. Le proprietà dello strato di argilla sono le seguenti: e = 1.2, G s = 2.7 e γ sat = 17.4 kn/m 3. SI determini: a) il gradiente idarulico critico per lo strato di argilla; b) la tensione efficace verticale in corrispondenza del contatto tra lo strato di ghiaia e di argilla; c) la profondità massima di escavazione nello strato di argilla nei confronti del fenomeno del sollevament del fondo scavo, assumendo un fattore di sicurezza di 1.1 Esercizio 2 Una fondazione di forma anulare, avente diametro esterno di 8 m e diametro interno di 4 m è ubicata ad una profondità di 2 m dal piano di campagna. La pressione agente sul terreno sottostante in corrispondenza del piano di posa è di 150 kpa, il peso di volume del terreno compreso tra piano di campagna e piano di posa della fondazione è di 18.3 kn/m 3, mentre il terreno di fondazione ha un peso di volume pari a 19.8 kn/m 3. Nell'ipotesi di terreno asciutto, si determini la tensione efficace veriticale ad una profondità di 2.4 m dal piano di posa della fondazione, in corrispondenza : a) dell'asse della fondazione b) ad una distanza di 4 m dall'asse della fondazione Esercizio 3 Una fondazione rettangolare di larghezza 3 m e lunghezza 5 m è ubicata ad una profondità di 2 m dal piano di campagna, su un argilla normalconsolidata (c' = 10 kpa, c u = 80 kpa, ϕ' =26 ) caratterizzata da un peso di volume sopra falda pari a kn/m 3 e sotto falda pari a 18.5 kn/m 3. La falda si trova a 5 m dal piano di campagna. Si determini in un grafico come varia il carico ammissibile Q, supposto verticale e con riferimento a condizioni a lungo termine, assumendo un fattore di sicurezza pari a 3, man mano che si innalza il livello di falda rispettivamente: a) ad 1.25 m al di sotto del piano di posa della fondazione b) alla quota del piano di posa della fondazione c) ad 1.25 m al di sopra del piano di posa della fondazione d) alla quota del piano di campagna

294 292 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 20/03/ Esercizio 1 Il risultato dell'analisi granulometrica eseguita su un campione di terreno è di seguito riportato: N Setaccio (ASTM) Diametro [mm] Peso trattenuto [N] Sapendo che il peso del materiale raccolto nel recipiente posto al di sotto dell'ultimo setaccio è di 1.1 N, che l'indice dei vuoti del terreno è di 0.85 ed il peso specifico dei costituenti solidi è 26.6 kn/m 3 : a) si disegni la curva granulometrica del terreno b) si determini la classe del terreno secondo il sistema di classificazione USCS c) si stimi l'errore percentuale che si commetterebbe nel calcolo del peso di volume del terreno qualora si assumesse un grado di saturazione del 100% anziche del 95%. Esercizio 2 Si determini l'incremento della tensione verticale indotto dai carichi trasmessi al terreno da tre fondazioni rettangolari, delle dimensioni e nella posizione riportate in figura, ad una profondità z = 2m dal piano di campagna al di sotto del punto A 3 m 2.5 m 6 m 2.5 m 5 m q = 90 kpa 1 A q = 120 kpa 2 3 m 4 m q = 100 kpa 3 4 m Esercizio 3 Durante un prova edometrica ad incrementi di carico eseguita su un provino avente diametro di 75 mm ed altezza di 20 mm, vengono registrate le seguenti letture in corrispondenza di un incremento di carico di 20 kpa: tempo[min] (24h) H[mm] (0.89 Si determini il rapporto tra il valore del coefficiente di consolidazione verticale ottenuto con il metodo di Taylor e quello ottenuto con il metodo di Casagrande. Esercizio 4 Con riferimento alla figura di seguito riportata si determini in quale delle due situazioni agisce sul muro la spinta orizzontale maggiore. H = 3 m γ = 18 kn/m 3 c =0 ϕ = 30 δ = 15 H = 3 m β = 60 β = 60

295 293 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 10/07/ Esercizio 1 Un campione saturo di argilla normalconsolidata (G s = 2.65) è stato estratto al centro di uno strato omogeneo di spessore 6.1 m, dove la tensione efficace misura kpa. Su un provino realizzato dal campione viene eseguita una prova di consolidazione edometrica ad incrementi di carico. I risultati della prova, in termini di pressioni applicate e di altezze finali raggiunte alla fine del processo di consolidazione, sono di seguito riportati. Pressione di consolidazione Altezza finale del provino (kn/m 2 ) (mm) Al termine della prova viene misurato il contenuto d'acqua dell'argilla che risulta pari a 30.2%. a) Si disegnino le curve e-σ' v e e-log σ' v. b) Si calcoli il valore dell'indice di compressione del terreno. c) Nell'ipotesi che una fondazione superficiale trasferisca al centro dello strato un incremento della tensione efficace verticale pari a 80.5 kn/m 2, si calcoli l'entita del cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla, sia utilizzando l'indice di compressione che il coefficiente di compressibilità di volume e si confrontino i risultati. Esercizio 2 Uno strato di argilla soffice normalconsolidata ( γ sat = 18 kn/m 3 ) ha spessore pari a 9.25 m e la tensione efficace verticale calcolata al centro dello strato è di 85 kpa. Su due provini indisturbati estratti al centro dello strato sono state eseguite prove triassiali consolidate non drenate, i cui risultati sono di seguito riportati in termini di deformazione assiale ε a, tensione deviatorica q e pressione interstiziale, u: Pressione di cella = Pressione di cella = 35 kpa 70 kpa ε a (%) q (kpa) u (kpa) q (kpa) u (kpa) Sul tetto dello strato è prevista la realizzazione di una fondazione flessibile e gli incrementi della tensione efficace verticale ed orizzontale calcolati al centro dello strato al di sotto della fondazione sono rispettivamente di 28.8 kpa e 19.2 kpa. Si calcolino le tensioni verticali e orizzontali,efficaci e totali al centro dello strato prima e dopo la realizzazione della fondazione nell'ipotesi di falda al piano di campagna. Esercizio 3 Si consideri una fondazione avente la forma e le dimensioni indicate in figura che trasmette al terreno sottostante una pressione uniforme di 40 kn/m 2. 3m 3 m 3m 2m 2m 0.5 m 1.5 m Si determini l'incremento di tensione verticale indotto dalla fondazione 5 m al di sotto del punto indicato in Figura con X.

296 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 18/12/ Esercizio 1 Su un campione di argilla satura, del volume di 1 m 3 e con una massa paria 1.98 Mg, vengono determinati i limiti di Atterberg (w L = 48%, w P = 31%, w S = 12%). Successivamente viene estratto un provino cilindrico di diametro 38 mm e altezza 76 mm, su cui viene eseguita una prova di compressione semplice (ELL), che ha dato i seguenti risultati in termini di carico assiale applicato N e di altezza h raggiunta dal provino: N (N) h(mm) N (N) h(mm) a) Si disegni il cerchio di Mohr a rottura e si determini il valore della coesione non drenata del terreno. b) Nell'ipotesi che su un provino estratto dallo stesso campione venga eseguita una prova TXUU con pressione di cella pari a 200 kpa, si determinino i valori delle tensioni principali a rottura. c) Con riferimento alla tabella sotto riportata ed assumendo per il terreno una densita' dei grani solidi di 2.75 Mg/m 3, si valuti la coerenza tra il valore stimato della resistenza a compressione e quello misurato. Indice di consistenza Resistenza alla compressione semplice, q u (kg\cm 2 ) I c < <I c < <I c < <I c <1 I c >1(w>w S ) Ic>1(w<w S ) < > 4 Esercizio 2 In un deposito di terreno coesivo, con falda a 3.5 m dal piano di campagna, viene estratto a una profondita' di 10 m un campione con peso di volume γ = 20 kn\m 3, da cui vengono estratti tre provini su cui vengono eseguite le prove di laboratorio con gli esiti di seguito riportati: Provino Prova Pressione di cella (kpa) Back pressure (kpa) Deviatore a rottura (kpa) Pressione a rottura (kpa) 1 TXCID non misurata 2 TXCIU TXCIU non misurata a) Si determini il valore dei parametri di resistenza al taglio c' e ϕ' dell'argilla, del coefficiente di proporzionalita' λ tra la coesione non drenata e la pressione di consolidazione e quindi lo stato di consolidazione dell'argilla. b) Si determini il valore della coesione non drenata dell'argilla a 10 m di profondita'. c) Nell'ipotesi che venga realizzato un rilevato di grande estensione, avente altezza 5 m e costituito da materiale con peso di voulme γ = 21 kn/m 3, si stimi quale sara' il valore della coesione non drenata alla profondita' di 10 m quando l'argilla avra' raggiunto il 50% della consolidazione. Esercizio 3 Una parete verticale liscia di altezza 6 m sostiene un fronte di terreno costituito da argilla (γ = 19 kn\m 3, c u = 50 kpa, c' = 10 kpa, ϕ' = 26, k 0 = 0.87) dove il livello di falda si trova a 2 m dal piano di campagna. a) Si determini il diagramma delle spinte che il fronte esercita sulla parete con riferimento a condizioni di breve e lungo termine e le relative risultanti, trascurando il moto di filtrazione dell'acqua. b) Con riferimento al lungo termine si disegnino i cerchi di Mohr corrispondenti allo stato tensionale nei punti A, B e C. A 2m c) Nell'ipotesi di attrito (δ = 12 ) come si modificherebbe il cerchio di Mohr 6m nel punto B? d) Nell'ipotesi che a valle della parete il piano di campagna, come il livello di falda, sia allo stesso livello di quello a monte, quale sarebbe il diagramma delle spinte esercitate dal terreno sulla 2m parete a monte e a valle? C B Esercizio 4 La stratigrafia di un deposito alluvionale e' costituita, partendo dal piano di campagna, da uno strato di ghiaia (γ 1 = 17 kn\m 3, γ 1sat = 19 kn\m 3 ) di spessore 2 m, seguito da uno strato di argilla (γ 2 = 21 kn\m 3 ) di 10m che insiste su un basamento roccioso formato da arenaria fratturata con permeabilita' relativamente alta. In corrispondenza dello strato di ghiaia vi e' una falda con superficie piezometrica a 0.5m dal piano di campagna, mentre in corrispondenza dell'arenaria vi e' una falda in pressione la cui altezza piezometrica si trova 7m sopra il piano di campagna. a) Calcolare e diagrammare le tensioni verticali totali ed efficaci e le pressioni interstiziali in funzione della profondita'.

297 b) A quale profondita' puo' essere spinto uno scavo di grandi dimensioni nello strato di argilla prima che si verifichi il 295 sollevamento del fondo scavo, nell'ipotesi che lo scavo venga mantenuto asciutto mediante pompaggio? c) Qualora occorresse eseguire uno scavo di 8 m di profondita' al di sotto del piano di campagna, di quanto si dovrebbe ridurre l'altezza piezometrica nello strato di arenaria per garantire la stabilita' nei confornti del sollevamento del fondo scavo con un fattore di sicurezza pari a 1.5?

298 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 09/01/ Esercizio 1 Viene realizzato un rilevato molto esteso, in materiale granulare (γ R = 18 kn/m 3 ) e di altezza 1 m, su uno strato omogeneo di argilla satura (γ sat = 16 KN/m 3, w N = 66%, C C = 0.7, G s = 2.72) di spessore 12 m e con livello di falda coincidente col piano di campagna. a) Nell'ipotesi di terreno NC, si confronti il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla che si ottiene prima considerando un unico strato, poi suddividendo lo strato in 4 sotto-strati di uguale spessore e infine per integrazione (si ricordi che 1 az ( ) ( ) ( ) ). log az + b dz = az + b log az + b a ln10 b) Si supponga che la parte superiore dello strato di argilla, di spessore 1.5 m, a causa di fenomeni di essiccamento, sia sovraconsolidata e che la pressione di preconsolidazione vari linearmente con la profondità da 18 kpa, al tetto dello strato, fino a ritornare uguale alla tensione litostatica a 1.5 m di profondità dal tetto dello strato. Si calcoli di quanto varia il cedimento dello strato di argilla rispetto al caso a) assumendo C s = 0.1 C C. Esercizio 2 Su un campione di argilla NC viene eseguita una prova triassiale consolidata non drenata ad una pressione di cella di 250 kpa e con una back pressure di 100 kpa, i cui risultati sono di seguito riportati: Deformazione assiale ε a (%) Deviatore σ 1 -σ 3 (kpa) Sovrappressione u (kpa) Si calcolino: a) I parametri di resistenza al taglio del terreno b) L'angolo di inclinazione del piano di rottura rispetto al piano orizzontale c) Il coefficiente di Skempton A a rottura d) Con riferimento alle variabili t = (σ 1 - σ 3 ) /2 e s = (σ 1 + σ 3 ) /2 si disegnino sul piano s,t i percorsi tensionali del provino in termini di tensioni totali ed efficaci. Esercizio 3 Deve essere progettata una fondazione superficiale quadrata per trasmettere un carico verticale centrato di 2270 kn ad uno strato di argilla omogenea di elevato spessore (γ = 16 kn\m 3, γ sat = 18 kn\m 3, c u = 100 kpa, ϕ' = 30, c' = 30 kpa). Assumendo la falda coincidente col piano di posa della fondazione, e quest'ulitmo a una profondità di 1 m dal piano di campagna, si determini: a) la lunghezza minima del lato della fondazione che garantisce un fattore di sicurezza pari a 3 all'istante di applicazione del carico b) la pressione limite ed il corrispondente fattore di sicurezza al termine della consolidazione avvenuta sotto l'effetto dell'applicazione del carico, assumendo le dimensioni della fondazione calcolate al punto a). Nell'ipotesi che alla profondità di 4 m dal piano di campagna la coesione non drenata si riduca, se ne trovi il valore minimo che garantisce la stabilità a breve termine con il fattore di sicurezza riportato nel punto a). Si assuma per il calcolo della diffusione delle tensioni la formula di Steinbrenner riportata nelle Dispense.

299 297 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 09/01/ Esercizio 1 Viene realizzato un rilevato molto esteso, in materiale granulare (γ R = 19 kn/m 3 ) e di altezza 2 m, su uno strato omogeneo di argilla satura (γ sat = 17 KN/m 3, w N = 60%, C C = 0.6, G s = 2.72) di spessore 12 m e con livello di falda coincidente col piano di campagna. a) Nell'ipotesi di terreno NC, si confronti il cedimento di consolidazione primaria dello strato di argilla che si ottiene prima considerando un unico strato, poi suddividendo lo strato in 3 sotto-strati di uguale spessore e infine per integrazione (si ricordi che 1 az ). log( az + b) dz = ( ) ( ) az + b log az + b a ln 10 b) Si supponga che la parte superiore dello strato di argilla, di spessore 2 m, a causa di fenomeni di essiccamento, sia sovraconsolidata e che la pressione di preconsolidazione vari linearmente con la profondità da 38 kpa, al tetto dello strato, fino a ritornare uguale alla tensione litostatica a 2 m di profondità dal tetto dello strato. Si calcoli di quanto varia il cedimento dello strato di argilla rispetto al caso a) assumendo C s = 0.1 C C. Esercizio 2 In fase progettuale è stato stimato che un'opera realizzata su un deposito di terreno coesivo saturo e omogeneo, drenato sia superiormente che inferiormente, determinerà un cedimento di consolidazione primaria totale dell'ordine di 28 cm e,dopo due anni dalla realizzazione dell'opera, un cedimento parziale di 10 cm. a) Si ricalcoli il cedimento di consolidazione primaria totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento parziale di 10 cm nel caso in cui lo strato di argilla sia drenato da un lato solo. b) Un sondaggio stratigrafico ha rilevato l'esistenza di uno strato sabbioso drenate alla base dello strato argilloso e la presenza di livelli sabbiosi, di modesto spessore ma continui per l'intera estensione dell'opera, ad 1/3 e 2/3 dello spessore dello strato di argilla. Si ricalcoli in questo caso il cedimento di consolidazione primaria totale e il tempo necessario ad ottenere un cedimento parziale di 10 cm. c) Prove di compressione edometriche eseguite successivamente su campioni prelevati nello strato di argilla hanno fornito valori dell'indice di compressione e del coefficiente di consolidazione verticale inferiori rispettivamente del 70% e del 60% rispetto a quelli inizialmete stimati. Si determini di quanto varia il cedimento di consolidazione primaria totale ed il tempo necessario ad ottenere un cedimento parziale di 10 cm rispetto al caso di drenaggio da entrambi i lati e rispetto al caso b). Esercizio 3 Deve essere progettata una fondazione superficiale quadrata per trasmettere un carico verticale centrato di 3000 kn ad uno strato di argilla omogenea di elevato spessore (γ = 17 kn\m 3, γ sat = 19 kn\m 3, c u = 80 kpa, ϕ' = 28, c' = 25 kpa). Assumendo la falda coincidente col piano di campagna e il piano di posa della fondazione a una profondità di 1,5 m dal piano di campagna, si determini: a) la lunghezza minima del lato della fondazione che garantisce un fattore di sicurezza pari a 3 all'istante di applicazione del carico b) la pressione limite ed il corrispondente fattore di sicurezza al termine della consolidazione avvenuta sotto l'effetto dell'applicazione del carico, assumendo le dimensioni della fondazione calcolate al punto a). Nell'ipotesi che alla profondità di 5 m dal piano di campagna la coesione non drenata si riduca, se ne trovi il valore minimo che garantisce la stabilità a breve termine con il fattore di sicurezza riportato nel punto a). Si assuma per il calcolo della diffusione delle tensioni la formula di Steinbrenner riportata nelle Dispense.

300 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 27/03/ Esercizio 1 Per sostenere le parte di uno scavo di altezza H = 10 m, realizzato in un deposito di sabbia densa omogeneo (γ = 19.2 kn/m 3 ; γ sat = 20.5 kn/m 3 ; ϕ' = 37 ) viene utilizzata una parete verticale liscia. Nell'ipotesi che il livello di falda sia a z w = 4m dal piano di campagna (e rimanga tale anche dopo lo scavo) ed applicando un fattore di sicurezza FS = 1.5 al coefficiente di spinta passiva, si determini la profondità minima di infissione, D, e la forza orizzontale F (per unità di larghezza della parete) da applicare alla parete ad una profondità a = 3m dal piano di campagna per garantire la stabilità nei confronti della traslazione orizzontale e della rotazione rispetto al punto di applicazione di F. a F z w H D Esercizio 2 Deve essere progettata una fondazione a base quadrata di lato B = 2.7 m su un deposto di argilla NC (γ = 19 kn/m 3 ; c u = 60 kpa; ϕ' = 25 ) ad una profondità dal piano di campagna pari a D = 2.2 m. Tenendo conto che le azioni che la fondazione dovrà trasmettere al terreno sottostante, riferite al piano di posa della fondazione, sono diverse a breve (N = 1500 kn, M x = 100 kn m, M y = 200 kn m) e a lungo termine (N = 1200 kn, M x = 60 kn m, M y = 60 kn m), si esegua la verifica della capacità portante della fondazione supponendo che la falda sia al piano di campagna. Esercizio 3 Un deposito di terreno stratificato orizzontalmente è costituito, dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia di spessore H 1 = 8 m (γ 1 = 17 kn/m 3 ; γ 1sat = 19 kn/m 3 ), uno strato di argilla NC di spessore H 2 = 6m (γ 2sat = 20kN/m 3 c v = 1.26 m 2 /anno, e = log(σ' v /100) con σ' v in kpa) ed un basamento roccioso impermeabile. Nell'ipotesi in cui venga posto in opera su un'area molto estesa uno strato di terreno di riporto di spessore H R = 3m e con peso di volume γ R = 20 kn/m 3, e che la falda si trovi a 2 m dal piano di campagna: a) si calcoli il cedimento di consolidazione primaria finale e dopo un tempo t = 2.5 anni dall'applicazione del carico. b) si determini come i cedimenti calcolati al punto a) si modificano nell'ipotesi che lo strato di argilla sia interrotto (ad una distanza di a = 2.0 m dal substrato roccioso) da uno strato di sabbia molto permeabile di piccolo spessore

301 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 16/04/ Esercizio 1 Viene realizzato un muro di sostegno a gravità in c.a.(γ m = 25 kn/m 3 ), della forma e delle dimensioni riportate in Figura, per sostenere un terrapieno omogeneo costituito prevalentemente da sabbia (γ = 19.5 kn/m 3, ϕ' =38 ) e con piano di campagna inclinato di un angolo β = 15. Si consideri la presenza dell'attrito tra terreno e muro (δ = 25 ) e si supponga che il terreno di fondazione abbia le stesse caratteristiche del terrapieno e che la falda sia a grande distanza dal piano di campagna. 1.6 m Si determini: 15 a) la risultante delle componenti orizzontali e verticali delle forze che agiscono sul muro, distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; b) il momento risultante rispetto al piede esterno del muro sempre distinguendo tra forze stabilizzanti e instabilizzanti; c) Si verifichi la stabilità della fondazione scegliendo la condizione più cautelativa (trascurando o meno la presenza del terrapieno). 5 m α Esercizio 2 Un deposito è costitutito, nell'ordine procedendo dal piano di campagna verso il basso, da: - uno strato di sabbia sciolta (spessore H 1 = 4.1 m,γ 1 = 17.8 kn/m 3, γ 1sat = 18.1 kn/m 3, D r = 44%, c c /(1+e 0 ) = 0.008) - uno strato di argilla limosa NC (spessore H 2 = 4.6 m, γ 2sat = 19.5 kn/m 3, w = 37.5%, w L = 42.4%, w P = 24.8%, c C = 0.37, e 0 = 0.94, c V = m 2 /s) - uno strato di sabbia sciolta (spessore H 3 = 3.8 m, γ 3 = 18.5 kn/m 3, D r = 54%, c c /(1+e 0 ) = ) - uno strato di limo argilloso NC (spessore H 4 = 6.8 m, γ 4 = 19.2 kn/m 3, w = 28%, w L = 31.6%, w P = 15.5%, c C = 0.287, e 0 = 0.77, c V = m 2 /s) Il basamento del deposito è costituito da sabbie e ghiaie addensate e la falda si trova a 1.4 m dal piano di campagna. Su tale deposito viene posto un terrapieno (γ R = 18 kn/m 3 ) di grande estensione e spessore costante pari a H R = 3.8 m a) Stimare il cedimento di consolidazione primaria finale del piano campagna originario (considerando anche il contributo degli strati sabbiosi). b) Calcolare e rappresentare in grafico il decorso dei cedimenti edometrici nel tempo (espresso in giorni e con incremento logaritmico, es. 0.1 g, 0.2 g, 0.5 g, 1g, 2g, 5g..). Esercizio 3 E' eseguito uno scavo di profondità h = 4 m in un terreno costituito da uno strato superficiale di sabbia fine (γ 1 = 18 kn/m ϕ 1 ' = 36, k 1 = m/s) di spessore H 1 = 3 m, seguito da uno strato di limo sabbioso (γ 2 = 20 kn/m 3, ϕ' 2 = 32, k 2v = m/s, k 2h = m/s) e sul quale agisce un sovraccarico di intensità q = 20 kpa. La falda si trova a z w = 1,5 m dal piano di campagna originario ed il terreno è saturo per capillarità fino a piano campagna. Per sotenere lo scavo viene utilizzato un diaframma in c.a. di spessore s = 0.7 m e con profondità di infissione d = 6 m Nell'ipotesi che a valle della parete il livello di falda venga mantenuto al fondo dello scavo, determinare nei punti A, B, C 1, C 2, D riportati in Figura: a) la pressione interstiziale, la tensione verticale efficace e totale b) le tensioni efficaci orizzontali nelle condizioni di equilibrio limite. O q 2.7 m h D A B z w H 1 sabbia fine limo sabbioso d limo sabbioso C 2 C 1 s

302 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 26/06/ Esercizio n. 1 Deve essere realizzato un terrapieno di spessore 3m per una grande estensione e con materiale di riporto avente peso di volume pari a 20.5 kn/m 3. Per caratterizzare il deposito sottostante è stato realizzato un sondaggio geotecnico che ha rilevato la presenza di uno strato di sabbia superficiale di spessore 4 m, seguito da uno strato di argilla pressochè omogeneo di spessore pari a 10 m. Nella parte terminale del sondaggio è stata rilevata la presenza di un substrato marnoso di cui però non si conosce lo spessore né il grado di alterazione e fratturazione. Da prove di laboratorio eseguite su campioni estratti in corrispondenza dei materiali incontrati è stato stimato sia per la sabbia che per l'argilla un peso di volume di 19.2 kn/m 3. La falda è pressochè coincidente col piano di campagna. Infine dai risultati di una prova edometrica eseguita su un campione di argilla è stato stimato un valore del coefficiente di consolidazione verticale pari a 2.2m 2 /anno e sono stati determinati i punti della curva edometrica [σ' v (kpa),e (-)] : [(27, 1.181) (54, 1.156) (107, 1.087) (214, 1.015) (429, 0.944) (214, 0.951) (107, 0.961) (54, 0.972)] a) Si stimi il cedimento finale del deposito dopo la messa in opera del rilevato, trascurando il contributo dello strato di sabbia (si divida lo strato di argilla in almeno 4 sottostrati). b) Qualora il rilevato venga messo in opera molto rapidamente quanto varrebbe la pressione interstiziale al centro dello strato di argilla inizialmente e dopo 1 anno? c) Come e di quanto varierebbe il piano di posa del rilevato nell'ipotesi che il rilevato venga rimosso? Esercizio 2 Si consideri un blocco in calcestruzzo di larghezza B = 2.6 m, altezza D = 2.2 m ed estensione molto grande, interrato in un deposito di argilla omogenea e NC (γ = 20.2 kn/m 3, c u = 35 kpa, ϕ' = 26 ). Si supponga che la profondità di interramento coincida con D, che il piano di campagna sia orizzontale e la falda coincida col piano di campagna. Si determini il valore limite che deve raggiungere, prima di portare il terreno sottostante alla rottura, un carico verticale centrato applicato in superficie e centrato rispetto al blocco sia con riferimento a condizioni a breve termine che a lungo termine. Si assuma γ w = 9.81 kn/m 3 e γ cls = 24.5 kn/m 3. Esercizio 3 Su un provino cilindrico di argilla di diametro pari 38 mm e altezza di 76 mm viene eseguita una prova triassiale consolidata isotropa e drenata. La pressione di cella applicata è di 200 kpa e la pressione efficace di consolidazione raggiunta è di 120 kpa. L'indice dei vuoti iniziale misurato è di Durante l'applicazione del deviatore,q, vengono misurati i valori della forza assiale applicata F a (N), della variazione di altezza del provino, H (mm) e del volume d'acqua che fuoriesce dal provino V (cm 3 ) e sono di seguito riportati: (0,0,0); (69, -1.95, -0.89); (141, , -3.76); (195, -11.7, -7.14); (236, , -8.48); (275, , -8.48) Calcolare e disegnare i grafici: ε a -q, ε a -ε v, p'-q, p'-e.

303 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 10/07/ Esercizio 1 Si consideri un deposito costituito, procedendo dall'alto verso il basso, da uno strato di sabbia di spessore 4 m, seguito da uno strato di argilla omogenea di spessore 6 m e ancora dalla sabbia per uno spessore di 4m. In corrispondenza dello strato superficiale di sabbia è stata rilevata una falda libera (con livello di falda a 2 m sotto il piano di campagna), mentre nello strato di sabbia più profondo una falda in pressione. Un piezomentro posto alla sommità dello strato di sabbia più profondo ha rilevato un altezza d'acqua di 14 m, inoltre è stato prelevato un campione di argilla avente peso di N e volume di 6226 cm 3, contenuto d'acqua pari al 23.2%. Assumendo per l'argilla γ s = 26 kn/m 3 e per la sabbia un peso di volume sopra falda di 16.5 kn/m 3 e sotto falda di 18 kn/m 3 : a) verificare il grado di saturazione dell'argilla e determinarne l'indice dei vuoti, la prosità e il peso di volume secco; b) calcolare e disegnare i profili delle pressioni verticali totale, efficace e interstiziale (γ w = 9.81 kn/m 3 ). Esercizio 2 Per determinare le caratteristiche di resistenza al taglio di un argilla vengono eseguite delle prove triassiali su 4 provini, i quali prima vengono consolidati ad una medesima pressione di 1000 kpa e poi decompressi, a drenaggi aperti e sempre in condizioni isotrope, fino a pressioni rispettivamente di: 100, 200, 400 e 600 kpa. Successivamente tali provini vengono portati a rottura per compressione assiale, a drenaggi chiusi. Noti per ciascuno dei 4 provini i valori a rottura della tensione deviatorica (rispettivamente 430, 546, 756 e 1029 kpa) e della variazione della pressione interstiziale (rispettivamente di -68, -11, 84 e 189 kpa): a) si disegnino i cerchi di Mohr a rottura per i 4 provini e si determinino le caratteristiche di resistenza al taglio dell'argilla b) si determini e si disegni la variazione del coefficiente A di Skempton a rottura in funzione del grado di sovraconsolidazi isotropo. Esercizio 3 Si determini il fattore di sicurezza, nei confronti della capacità portante, di un muro di sostegno a gravità di larghezza 3.6 m e lunghezza molto grande, interrato a valle per una profondità di 1.2 m. La risultante delle azioni trasmesse dal muro al terreno di fondazione ha una componente verticale di 423 kn/m con eccentricità 0.4 m e componente orizzontale di 153 kn/m. Si supponga il terreno di fondazione normalconsolidato (γ = 18.5 kn/m 3, ϕ' = 32 ) e con livello di falda molto profondo. Come varierebbe il fattore di sicurezza qualora il livello di falda si sollevasse fino a raggiungere il piano di campagna?

304 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 11/09/ Esercizio 1 Si consideri un deposito di terreno costituito da uno strato di argilla omogenea e satura (γ = 20 kn/m 3, γ s = 27.2 kn/m 3 ) di spessore 5 m, poggiante su uno strato di sabbia. È prevista la realizzazione di un terrapieno in sabbia (γ d = 18 kn/m3, ϕ' = 38 ) di spessore 4 m, che dovrà essere sostenuto per l'intera altezza da una parete verticale infissa nell'argilla per una profondità di 1 m. Il livello di falda viene mantenuto al tetto dello strato di argilla. Da un campione estratto al centro dello strato di argilla vengono estratti più provini su cui vengono eseguite le prove di seguito elencate con i relativi risultati: (i) prova di compressione edometrica (σ' p = 35 kpa, C c = 0.25; C s = 0.01, c v = m 2 /s) (ii) prova di compressione semplice (q u = 180 kpa) (iii) prova TXCID (σ' 1f = 150 kpa, σ' 3f = 40 kpa) (iv) prova TXCIU (σ 1f = 600 kpa, σ 3f = 250 kpa, u f = 90 kpa) a) Determinare l'indice dei vuoti e i parametri di resistenza al taglio dell'argilla (in termini di tensioni totali ed efficaci). b) Determinare lo stato di consolidazione dell'argilla prima della messa in opera del riporto. c) Calcolare il cedimento dello strato di argilla per effetto del peso del terrapieno, ipotizzato come infinitamente esteso, alla fine della consolidazione primaria e dopo un anno dalla realizzazione del terrapieno. d) Disegnare il diagramma delle spinte agenti sulla parete verticale (supposta liscia) a breve e a lungo termine e la loro risultante. Esercizio 2 Viene eseguita una prova di compressione edometrica su un provino di argilla satura (G s = 2.72); il percorso tensionale applicato durante la prova nella fase di carico e scarico e i corrispondenti valori dell'altezza misurati al termine di ciascuna fase di consolidazione sono di seguito riportati: σ' v (kpa) h (mm) L'altezza iniziale del provino è di 20 mm. Al termine della prova viene misurato il contenuto d'acqua del provino (massa del contenitore vuoto = 4.64 g; massa del contenitore + provino umido = g; massa del contenitore + provino secco = g). a) Calcolare in contenuto in acqua e l'indice dei vuoti al termine della prova. b) Rappresentare il grafico indice dei vuoti e - logaritmo naturale della pressione verticale efficace σ' v c) Calcolare la pressione di consolidazione e le pendenze delle linee di compressione edometrica vergine e di scarico-ricarico.

305 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 12/12/ Esercizio 1 Con riferimento a un deposito di argilla sovraconsolidata (γ sat = 20 kn/m 3, ϕ' = 20, OCR = 10) infinitamente esteso in direzione orizzontale e con piano di campagna orizzontale, si consideri un elemento di terreno a profondità z = 6 m dal piano di campagna. Assumendo il livello di falda coincidente col piano di campagna (γ w = 9.81 kn/m 3 ): a ) si calcolino le tensioni (efficaci e totali) agenti allo stato attuale sull'elemento e si disegnino i cerchi di Mohr che ne rappresentano lo stato tensionale. b) si determini il modulo della tensione agente su un piano inclinato di β = 15 in senso antiorario rispetto all'orizzontale c) si individui il piano su cui agisce la massima tensione (intesa in modulo). d) si determini e si disegni lo stato di sforzo massimo (totale ed efficace) a cui l'elemento è stato sottoposto nella sua storia Esercizio 2 Si riportano i dati di una prova TXCIU condotta a pressione di cella costante, pari a 400 kpa, e con back pressure di 100 kpa su un provino di argilla. All'inizio della prova il campione ha lunghezza L 0 = 78 mm e diametro D 0 = 38 mm. Considerando le eventuali variazioni dell'area della sezione del provino durante la prova: a) si disegni l'andamento del deviatore con la deformazione assiale e si definisca lo stato di consolidazione del provino b) si disegni l'andamento della pressione interstiziale con la deformazione assiale c) si disegnino i cerchi di Mohr che rappresentano lo stato tensionale a fine consolidazione e a rottura d) si determinino le caratteristiche di resistenza al taglio del materiale Forza assiale, Variazione di lunghezza, Sovrapressione interstiziale, , , , , ,5 232 Esercizio 3 Uno strato omogeneo di argilla NC di spessore 5 m e delimitato inferiormente da una superficie impermeabile e superiormente da uno strato di sabbia di spessore 3 m, il cui tetto definisce il piano di campagna, su cui è applicato un carico uniformemente distribuito e infinitamente esteso di 200 kpa. Il livello di falda si trova a 1.5 m al di sotto del piano di campagna. La pressione interstiziale misurata al confine impermeabile inferiore dello strato di argilla, dopo 18 mesi dall'applicazion del carico, è di kpa, mentre il cedimento di consolidazione corrispondente dello strato di argilla è di 230 mm. Assumendo per la sabbia ρ d = 1.75 Mg/m 3 e ρ sat = 2 Mg/m 3 e per l'argilla: ρ sat = 1.95 Mg/m 3 e e 0 = 0.8 (γ w =9.81 kn/m 3 ) a) determinare i valori di c v e di C c relativi allo strato di argilla b ) stimare il cedimento di consolidazione primaria finale dello strato di argilla c) stimare il cedimento dello strato di argilla e la pressione interstiziale alla base di tale strato dopo tre anni dall'applicazione del carico.

306 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 08/01/ Esercizio 1 Una parete verticale di altezza 12 m sostiene, per la sua intera altezza, un terrapieno costituito da uno strato superficiale di altezza 5 m (c u = 12 kpa, ϕ u = 0, γ = 17 kn/m 3 ) seguito da uno strato di altezza 7 m (c u = 35 kpa, ϕ u = 0, γ = 18 kn/m 3 ). Utilizzando il poligono delle forze ed applicando il criterio dell'equilibrio limite globale al cuneo di rottura, si determini l'ampiezza della spinta attiva in termini di tensioni totali (con riferimento a condizioni di breve termine) e l'inclinazione del piano di rottura (si tenga conto anche del contributo dell'acqua di infilitrazione superficiale). Si assuma al contatto tra terreno e parete un angolo di attrito δ = 0 e un coefficiente di adesione C a = 10 kpa e γ w = 9.81 kn/m 3. Esercizio 2 In un punto all'interno di un deposito (ϕ' =30, c' = 20 KPa), la tensione efficace orizzontale è di 100 kpa, mentre la tensione tangenziale agente sul piano orizzontale è di 50 kpa. Nell'ipotesi che il terreno venga portato a rottura per incremento della tensione verticale, mantenendo costante quella orizzontale e tangenziale, si determini: a) la tensione efficace verticale che determina la rottura nel terreno b) la tensione normale e tangenziale agenti in corrispondenza della superficie di rottura c) l'inclinazione del piano di rottura rispetto all'orizzontale d) le tensioni principali a rottura Esercizio 3 Durante una prova edometrica ad incrementi di carico, passando da un carico verticale di 60 kpa a 120 Kpa, è stato osservato, dalla misura delle sovrappresioni interstiziali, che il tempo richiesto per il 50% della consolidazione primaria del provino è di 154 sec ed il cedimento corrispondente è di 1.25 mm. Sapendo che l'indice dei vuoti iniziale è di 0.65 e l'altezza iniziale del campione è 20 mm, determinare: a) il coefficiente di permeabilità in m/s b) il tempo richiesto per il 90% della consolidazione c) l'indice di compressione d) Inoltre si disegni sul piano e - log σ' v il percorso tensionale in termini di tensioni totali ed efficaci, evidenziando l'evoluzione delle sovrappressioni interstiziali.

307 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 27/03/ Esercizio 1 (valore: 8/30) Viene realizzato uno scavo in un deposito secondo la geometria e la stratigrafia riportate in figura. Il livello di falda, all'interno dello scavo, viene abbassato fino al fondo e mantenuto tale per un tempo sufficientemente lungo da instaurare un moto di filtrazione. a) Si determini il gradiente idraulico critico. b) Si calcolino i valori delle tensioni efficaci nei punti A, B e C e si verifichi la stabilità del fondo scavo (con riferimento a un valore medio del gradiente idraulico). c) Per una verifica più accurata della stabilità del fondo scavo di quali altri dati avrei avuto bisogno? Argilla limosa (γ 1 = kn/m 3 ) Sabbia grossolana (γ = kn/m 3 ) A B C 0.5 m 1.5 m 2.5 m 2 m 2 m 3.5 m Esercizio 2 (valore: 8/30) Si riportano i risultati di una prova TXCID a pressione di cella costante di 300 kn/m 2 e pressione interstiziale costante di 100 kn/m 2. All'inizio della prova il diametro e l'altezza del provino sono rispettivamente 38 mm e 76 mm. a) Si disegnino i grafici q/ε a e ε v /ε a. b) Si stabilisca se il terreno può essere considerato NC oppure OC. c) Si possono stimare i parametri c', ϕ' e c u dai soli risultati di questa prova? Nel caso, calcolarne il valore, in caso contrario suggerire delle prove alternative. Forza assiale Variazione di altezza Volume di acqua espulso F a (N) H (mm) V w (mm 3 ) , , , , , Esercizio 3 (valore: 14/30) In Figura è riportato uno scatolare (s = 0.15 m, t = 0.4 m, B = 2.7 m, H = 2.2 m) in c.a. (γ ca = 25 kn/m 3 ), interrato in un deposito omogeneo di sabbia sciolta (γ = 17 kn/m 3 ; γ sat = 19 kn/m 3, ϕ' = 32 ). La profondità di interramento d è pari a 1.05 m e la profondità della falda, z w, è di 1 m dal piano di campagna. Assumendo γ w = 10 kn/m 3, trascurando il carico accidentale q agente in superficie e nell'ipotesi che lo scatolare rimanga vuoto al suo interno: a) si determini il fattore di sicurezza nei confronti del galleggiamento al variare della profondità della falda z w dal piano di campagna (si assuma z w = 0;1;2;4 m) e si indichi il valore minimo (condizione più gravosa), b) si effettui la verifica della capacità portante del terreno di fondazione della struttura, Infine si calcoli e si disegni lo schema delle pressioni di contatto tra la superficie esterna dello scatolare e il terreno nella condizione di carico in cui è presente il massimo carico accidentale di superficie (q = 10 kpa) e lo scatolare è vuoto al suo interno. Sez. 1-1 Sez. 2-2 q d Z w s s s 2 H 2 B s 1 s B s 1 B t s

308 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 10/04/ Si risponda alle seguenti domande, giustificando con i calcoli o considerazioni teoriche ciascuna risposta: 1. La consolidazione è: a) un processo indipendente dal tempo b) un processo dipendente dal tempo in terreni a grana grossa c) un processo dipendente dal tempo in terreni a grana fine 2. La consolidazione è il risultato della: a) compressione dei grani solidi b) diminuzione dell'indice dei vuoti c) diminuzione del volume d'aria 3. Viene applicata una tensione totale isotropa di 120 kpa ad un terreno saturo, l'incremento della pressione interstiziale all'istante di applicazione del carico è di: a) 120 kpa b) 0 kpa c) 60 kpa 4. Viene applicata, in condizione edometriche, una tensione totale verticale di 120 kpa ad un terreno saturo, l'incremento della pressione interstiziale dopo due anni dall'applicazione del carico è di 30 kpa, la variazione delle tensioni efficaci è di: a) 90 kpa b) 0 kpa c) 30 kpa 5. Viene eseguita una prova edometrica su un provino di altezza 20 mm ed il tempo corrispondente ad un grado di consolidazione medio del 50% è di 4 min, il coefficiente di consolidazione verticale è: a) 4.92 (mm 2 /min): b) 4.02 (mm 2 /min): c) 5.96 (mm 2 /min): 6. Una parete verticale di altezza 3 m priva di attrito sostiene un terrapieno omogeneo caratterizzato da γ sat = 18 kn/m 3, ϕ' = 30, c' = 0; la spinta totale agente sul muro (in kn), nell'ipotesi di livello di falda coincidente con il piano di campagna orizzontale e di assenza di attrito, è (assumendo γ w = 9.81 kn/m 3 ): a) 51.5 b) 241 c) La spinta attiva eserciata in condizioni non drenate da un terrapieno omogeneo caratterizzato da γ sat = 20 kn/m 3, ϕ' = 32 e c u = 20 kpa su una parete verticale, priva di attrito e di altezza H = 4m, è, nell'ipotesi di terreno saturo e di adesione tra terreno e muro (espressa in kn): a) 0 b) 5 c) Un provino cilindrico di terreno di diametro pari a 50 mm e altezza di 100 mm, sottoposto ad uno stato tensionale assial-simmetrico riduce la sua altezza di 3 mm ed incrementa il suo raggio di 0.5 mm. La deformazione volumetrica corrispondente è: a) b) c) Si dimostrino le seguenti relazioni: a) e G S + S r e w G n = b) γ = γ w c) S r = 1 + e 1 + e e 10. Sono di seguito riportate le proprietà di due campioni di terreno. Si individuino i valori poco plausibili fornendone le motivazioni. γ sat [kn/m 3 ] γ d [kn/m 3 ] e 0 [-] e max, e min [-] w N [%] w L [%] w P [%] Sabbia fine addensata 12,7 16,6 0, , Argilla molto consistente 17,4 18,4 2, s

309 Prova scritta di Fondamenti di Geotecnica del 10/04/ Si risponda alle seguenti domande, giustificando con i calcoli o considerazioni teoriche ciascuna risposta: 1. La consolidazione è: a) un processo indipendente dal tempo b) un processo dipendente dal tempo in terreni a grana grossa c) un processo dipendente dal tempo in terreni a grana fine 2. La consolidazione è il risultato della: a) compressione dei grani solidi b) diminuzione dell'indice dei vuoti c) diminuzione del volume d'aria 3. Viene applicata una tensione totale isotropa di 120 kpa ad un terreno saturo, l'incremento della pressione interstiziale all'istante di applicazione del carico è di: a) 120 kpa b) 0 kpa c) 60 kpa 4. Viene applicata, in condizione edometriche, una tensione totale verticale di 120 kpa ad un terreno saturo, l'incremento della pressione interstiziale dopo due anni dall'applicazione del carico è di 30 kpa, la variazione delle tensioni efficaci è di: a) 90 kpa b) 0 kpa c) 30 kpa 5. Viene eseguita una prova edometrica su un provino di altezza 20 mm ed il tempo corrispondente ad un grado di consolidazione medio del 50% è di 4 min, il coefficiente di consolidazione verticale è: a) 4.92 (mm 2 /min): b) 4.02 (mm 2 /min): c) 5.96 (mm 2 /min): 6. Una parete verticale di altezza 3 m priva di attrito sostiene un terrapieno omogeneo caratterizzato da γ sat = 18 kn/m 3, ϕ' = 30, c' = 0; la spinta totale agente sul muro (in kn), nell'ipotesi di livello di falda coincidente con il piano di campagna orizzontale e di assenza di attrito, è (assumendo γ w = 9.81 kn/m 3 ): a) 51.5 b) 241 c) La spinta attiva eserciata in condizioni non drenate da un terrapieno omogeneo caratterizzato da γ sat = 20 kn/m 3, ϕ' = 32 e c u = 20 kpa su una parete verticale, priva di attrito e di altezza H = 4m, è, nell'ipotesi di terreno saturo e di adesione tra terreno e muro (espressa in kn): a) 0 b) 5 c) Un provino cilindrico di terreno di diametro pari a 50 mm e altezza di 100 mm, sottoposto ad uno stato tensionale assial-simmetrico riduce la sua altezza di 3 mm ed incrementa il suo raggio di 0.5 mm. La deformazione volumetrica corrispondente è: a) b) c) Si dimostrino le seguenti relazioni: a) e G S + S r e w G n = b) γ = γ w c) S r = 1 + e 1 + e e 10. Sono di seguito riportate le proprietà di due campioni di terreno. Si individuino i valori poco plausibili fornendone le motivazioni. γ sat [kn/m 3 ] γ d [kn/m 3 ] e 0 [-] e max, e min [-] w N [%] w L [%] w P [%] Sabbia fine addensata 12,7 16,6 0, , Argilla molto consistente 17,4 18,4 2, s

310 Prova scritta di Geotecnica (V.O.) del 26 gennaio Esercizio 1 Con riferimento allo schema di figura determinare l'altezza d'acqua h nella trincea necessaria per evitare il sifonamento. B dati B = 8 m H = 4 m H H W = 5m H A argilla acqua H H A = 6m h W H B = 3m γ A = 20 kn/m 3 H B sabbia O γ B = 18 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m roccia Soluzione Nel punto O la pressione verticale totale è: σ vo = γ w h + γ A (H A - H) e la pressione neutra vale: u O = γ w H w il sifonamento si verifica quando σ' vo = σ vo - u O = γ w h + γ A (H A - H) - γ w H w = 0 h = H w - (γ A / γ w ) (H A - H) = 0.92 m dunque Esercizio 2 In una prova edometrica standard su un provino di argilla normalmente consolidata di spessore medio 2H, per l'incremento di pressione da σ' v a 2σ' v l'indice dei vuoti si riduce di e e il 50% della consolidazione si raggiunge in un tempo t 50. Determinare il coefficiente di permeabilità e l'indice di compressione dell'argilla. dati 2H = 2.4 cm e = 0.11 γ w = 9.81 kn/m 3 σ' v = 100 kpa t 50 = 12 min. e 0 = Soluzione k = c v m v γ w T v = c v t / H 2 per U m = 50% T v = 0,197 dunque: c v = T v H 2 / t 50 = cm 2 /min = 3.94E-08 m 2 /s m v = [ e / (1 + e 0 )] / σ' v σ' v = 2σ' v - σ' v = σ' v = 100 kpa m v = 5.63E-04 m 2 / kn da cui: k = 2.17E-10 m / s C c = e / log (2σ' v / σ' v ) = e / log (2) = Esercizio 3 Stimare il cedimento di consolidazione edometrica dello strato di argilla normalmente consolidata sottostante la fondazione circolare indicata in figura. dati B = 2b = 1.8 m H A = 1.8 m D = 0.9 m H B = 4m

311 309 H A H B D Z q B sabbia argilla N.C. sabbia D W q = 100 kpa γ w = 9.81 kn/m 3 Strato A di sabbia: γ A = 16.8 kn/m 3 sopra falda γ A,sat = 18.9 kn/m 3 sotto falda D w = 1.4 m Strato B di argilla N.C.: γ B = 18.3 kn/m 3 C c = 0.15 e 0 = 0.8 Soluzione Divido lo strato di argilla in 5 sottostrati di eguale spessore e calcolo la pressione verticale efficace iniziale a metà di ciascuno di essi (l'origine dell'asse è alla profondità del piano di fondazione): H = H B / 5 = 0.8 m sottostrato i Z i (m) σ' v01 = γ A D w + (γ A,sat - γ w ) (H A - D w ) + (γ B - γ w ) H / 2 = kpa σ' v02 = σ' v01 + (γ B - γ w ) H = kpa σ' v03 = σ' v02 + (γ B - γ w ) H = kpa σ' v04 = σ' v03 + (γ B - γ w ) H = kpa σ' v05 = σ' v04 + (γ B - γ w ) H = kpa Determino l'incremento di tensione verticale indotta a metà di ogni sotto-strato dalla pressione uniforme q applicata su un'area circolare di raggio b nell'ipotesi di semispazio elastico, omogeneo e isotropo con l'equazione: ' σ vi = q b Z i Calcolo il cedimento di ciascun sottostrato con l'equazione: 2 3 sottostrato i Z i (m) σ' vi (kpa) ' ' C c σ vi0 + σ vi sottostrato i s i (cm) s i = H log ' 1+ e 0 σ vi il cedimento di consolidazione totale risulta: s = Σs i = 5.41 cm Esercizio 4 Con riferimento al profilo stratigrafico di figura, nota la pressione di consolidazione σ' pa determinata in laboratorio su un campione di argilla estratto alla profondità del punto A, stimare la resistenza al taglio non drenata dell'argilla a tale profondità, assumendo che valgano le relazioni: c u c c = 0,11 + 0,0037 ' I u u 0,8 P OCR ' ' σ = v 0 σ v 0 σ v 0 NC OC NC

312 310 dati: H = H w = 2.2 m Z A = 6m γ w = 9.81 kn/m 3 Sabbia: γ = 17.1 kn/m 3 Argilla: G s = 2.72 w = 32 % w L = 54 % w P = 33 % σ' pa = 140 kpa H = H w sabbia sopra falda argilla sotto falda A Z A Soluzione Il peso di volume saturo dell'argilla vale: γ a,sat = (G s γ w + w G s γ w ) / (1 + w G s ) = 18.8 kn/m 3 la pressione verticale efficace alla profondità Z A vale: σ' v,a = γ H + (γ a,sat - γ w ) (Z A - H) = 71.9 kpa quindi il grado di sovraconsolidazione è: OCR = σ' pa / σ' v,a = 1.95 (c u / σ' va ) NC = 0,11 + 0,0037 (w L - w P ) = (c u / σ' va ) OC = (cu / σ' va ) NC OCR 0,8 = da cui: c u = 23.0 kpa

313 Prova scritta di Geotecnica (V.O.) del 9 febbraio Esercizio 1 Il terreno di un rilevato è messo in opera e costipato con peso di volume γ e contenuto in acqua w. Il peso specifico dei costituenti solidi è γ s. Calcolare il peso di volume secco, γ d, l'indice dei vuoti, e, ed il grado di saturazione, S r, del terreno in opera. Verificare se è possibile costipare il terreno con contenuto in acqua w 1 e peso di volume secco γ d1. dati γ = 21.5 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 w = 12 % w 1 = 13.5 % γ s = 26.5 kn/m 3 γ d1 = 20 kn/m 3 Soluzione posto: Ps = 1 segue: Pw = w Ps / 100 = γ d = Ps / V = kn/m 3 P = Ps + Pw = e = Vv / Vs = V = P / γ = S r = 100 Vw / Vv = 85.2 % Vw = Pw / γw = Vs = Ps / γs = Vv = V - Vs = Vg = Vv - Vw = A parità di contenuto in acqua la massima densità secca si ha per il terreno saturo. posto: Ps = 1 Pw1 = w 1 Ps / 100 = Vw = Vv = Pw1 / γ w = Vs = Ps / γ s = V = Vs + Vv = γ d,max = Ps / V = kn/m 3 < 20 kn/m 3 Non è possibile costipare il terreno con contenuto in acqua w 1 e peso di volume secco γ d1. Esercizio 2 Un provino di argilla satura N.C., di volume iniziale V iniz, è isotropicamente consolidato in cella triassiale alla pressione p' c. Durante la fase di consolidazione si registra una riduzione di volume V cons. Il provino è portato a rottura in condizioni drenate. I valori di tensione deviatorica (σ' a - σ' r ) e di variazione di volume V al crescere della deformazione assiale ε a sono riportati in tabella. Sono inoltre noti i valori dei parametri Ν e λ del terreno. Calcolare e disegnare le curve: ε a -q, ε a -ε v, p'-v, e (p'/p' e )-(q/p' e ). N.B.: p' e è la pressione efficace equivalente, per definizione: p' e = exp[(ν - v) / λ] dati: V iniz = 86.2 ml ε a (σ' a - σ' r ) V p' c = 300 kpa (%) (kpa) (ml) V cons = 6.2 ml Ν = λ = a rottura 311

314 312 Soluzione Il volume al termine della fase di consolidazione vale: V 0 = V iniz - V cons = 80 ml la deformazione volumetrica è per definizione: ε v (%) = V/V il volume specifico è per definizione: v = v 0 (1 - ε v /100) il volume specifico a fine consolidazione è: v 0 = Ν - λ lnp' c = la tensione deviatorica è: q = (σ' a - σ' r ) la tensione media efficace è: p' = q/3 + p' c dunque: ε a q V ε v v p' e p' p' / p' e q / p' e (%) (kpa) (ml) (%) ( - ) (kpa) (kpa) ( - ) ( - ) q (kpa) ε a (%) εv (%) ε a (%) v p' (kpa) q/p' e p'/p' e Esercizio 3 Un versante naturale di argilla sovraconsolidata fessurata può essere schematizzato come pendio indefinito con angolo di inclinazione β rispetto all'orizzontale. Il livello di falda coincide con il p.c. e la filtrazione è parallela al pendio. La superficie di scorrimento potenziale è alla profondità z. L'argilla ha peso di volume saturo γ sat. I parametri di resistenza al taglio di picco sono c' p e φ' p. I parametri di resistenza al taglio residua sono c' r e φ' r.

315 313 a) Determinare il coefficiente di sicurezza con riferimento alla resistenza al taglio di picco. b) Determinare il coefficiente di sicurezza con riferimento alla resistenza al taglio residua. Per migliorare le condizioni di stabilità del pendio si mette in opera un sistema di drenaggio che produce un abbassamento del livello di falda della quantità z/2. Il terreno sopra falda rimane saturo. Determinare i coefficienti di sicurezza dopo la messa in opera del sistema drenante: c) con riferimento alla resistenza al taglio di picco, d) con riferimento alla resistenza al taglio residua. dati β = 12 c' p = 10 kpa c' r = 0 kpa z = 5 m φ' p = 26 φ' r = 18 γ sat = 20 kn/m 3 γ w = 9.81 kn/m 3 Soluzione Il coefficiente di sicurezza del pendio è: F = τ f / τ Indicando con mz l'altezza del piano di falda rispetto al piano di scorrimento potenziale, nell'ipotesi che il terreno sia saturo anche sopra il livello di falda, è: τ f = c' + (σ - u) tanφ' σ = γ sat z cos 2 β τ = γ sat z sinβ cosβ u = γ w mz cos 2 β dunque: F = [c' + (γ sat - mγ w ) z cos 2 β] / (γ sat z sinβ cosβ) eseguendo il calcolo dei 4 casi si ottiene: caso m c' (kpa) φ' (rad) τ f (kpa) σ (kpa) τ (kpa) u (kpa) F a b c d Nel caso b) il pendio risulta instabile.

316 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 19 aprile Esercizio 1 In figura è rappresentato un permeametro a carico costante. Il cilindro graduato rappresentato in basso a destra della figura raccoglie un volume V di acqua in un intervallo di tempo t. Determinare il coefficiente di permeabilità del terreno sottoposto a prova. dati V = 892 cm 3 t = 112 sec. Serbatoio d = 18 cm superiore h 1 = cm h 4 = cm s = 16.7 cm Uscita acqua in eccesso Piezometri 314 h 1 Ingresso acqua Valvola h 4 s Serbatoio superiore d Valvola Cilindro graduato Soluzione Q = V / t = 7.96 cm 3 / sec A = π d 2 / 4 = cm 2 v = Q / A = 3.1E-02 cm /sec h = h 1 - h 4 = 64.4 cm L = 3 s = 50.1 cm i = h / L = 1.29 k = v / i = 2.4E-02 cm /sec

317 315 Esercizio 2 Uno strato di terreno di riporto, costipato, di grande estensione e di spessore costante, è posto in opera su un deposito di terreno il cui profilo stratigrafico è indicato in figura. Prove di consolidazione edometrica condotte sui campioni A e B hanno dato i risultati riportati in tabella. Calcolare il cedimento di consolidazione edometrica dovuto al peso del rilevato. dati strato di terreno di riporto camp. A camp. B H R = 8.5 m C c γ R = 20.3 kn/m 3 C s strato 1: argilla limosa e H 1 = 9m σ' c (kpa) γ 1 = 18.3 kn/m 3 sopra falda γ 1,sat = 19 kn/m 3 sotto falda Z w = 2m strato 2: argilla molto consistente Z A = 4m H 2 = 18 m Z B = 19 m γ 2 = 19.5 kn/m 3 strato 3: arenaria H R riporto γ w = 9.81 kn/m 3 H 1 strato 1 A Z W.L. H 2 strato 2 B strato 3 Soluzione incremento di tensione verticale trasmessa dal rilevato: σ z = γ R H R = kpa costante con la profondità. γ' 1 = γ 1,sat - γ w = 9.19 kn/m 3 γ' 2 = γ 2 - γ w = 9.69 kn/m 3 assumo che i campioni A e B siano rappresentativi di tutto lo strato cui appartengono. Cs / (1+ e 0 ) Cc / (1+ e 0 ) σ' c (kpa) strato strato divido gli strati 1 e 2 in sottostrati: nel punto medio del sottostrato strato H (m) Z (m) σ' z0 (kpa) σ' zf (kpa) s (cm) s (cm) = 83.2

318 316 Esercizio 3 Con riferimento alla figura determinare il fattore di sicurezza del pendio in termini di tensioni totali per la superficie circolare rappresentata. N.B. In figura la coesione non drenata (c u ) è indicata con il simbolo s u. Soluzione Il fattore di sicurezza FS è il rapporto tra il momento delle forze stabilizzanti M s e il momento delle forze ribaltanti M r : FS = M s / M r in cui: M s = r Σ i (τ f,i l i ) in condizioni non drenate, in termini di tensioni totali: τ f,i = s u,i r è il raggio del cerchio, l i è l'arco di circonferenza del concio i-esimo si approssima l'arco l i con la corda. M r = r Σ i (W i senα i ) W i è il peso del concio i-esimo, α i è l'angolo che la corda dell'arco i-esimo forma con l'orizzontale. Con riferimento alla figura, si determinano le coordinate dei punti di estremità della base dei conci. Si sceglie un sistema di riferimento con origine nel centro del cerchio, asse x orizzontale e positivo verso destra, asse y verticale positivo verso il basso. x i = (x i+1 - x i ) y i = (y i+1 - y i ) l i = ( x 2 i + y 2 i ) 0,5 L'arco α i è calcolato con l'equazione: α i = -arctan( y i / x i ) r = 23.6 m i x i (m) y i (m) Concio γ (kn/m 3 ) Ai (m 2 ) Wi (kn/m)

319 317 Concio x i (m) y i (m) l i (m) α i ( ) τ f,i (kpa) W i (kn/m) τ f,i l i W i senα i M s / r = 3015 M r / r = 1676 FS = 1.80

320 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 21 giugno Esercizio 1 Per tre provini della stessa argilla satura sono stati misurati a rottura in prove TxUU i valori di tabella. Determinare la tensione deviatorica a rottura e la resistenza al taglio di ciascun provino. provino σ cella H F assiale altezza iniziale H 0 = 76 mm No (kpa ) ( mm ) ( N ) diametro iniziale D 0 = 38 mm Soluzione La sezione retta iniziale dei provini è: A 0 = π D 2 0 / 4 = 1134 mm 2 Il volume iniziale dei provini è: V 0 = A 0 H 0 = mm 3 Durante la prova, in condizioni non drenate, il volume non varia (essendo i provini saturi), dunque a rottura si ha: H f = H 0 - H altezza del provino a rottura A f = V 0 / H f area della sezione retta media del provino a rottura (σ 1 σ 3 ) f = F assiale /A f tensione deviatorica a rottura c u = (σ 1 σ 3 ) f / 2 resistenza al taglio 318 provino H f A f (σ 1 σ 3 ) f (σ 1 σ 3 ) f c u No ( mm ) ( mm 2 ) ( N / mm 2 ) ( kpa ) ( kpa ) Esercizio 2 Per tre provini della stessa argilla satura sono stati misurati a rottura in prove TxCIU i valori di tabella. Determinare le tensioni principali efficaci a rottura per ciascun provino, e stimare i parametri c' e φ'. provino σ cella (σ 1 σ 3 ) f u f altezza iniziale H 0 = 76 mm No (kpa ) ( kpa ) ( kpa ) diametro iniziale D 0 = 38 mm back pressure BP = 300 kpa Soluzione σ' 3,f = σ cella - u f t f = a + s' f tanα graficamente o da retta di regressione σ' 1,f = (σ 1 - σ 3 ) f + σ' 3,f φ' = arcsen (tanα) per definizione s' f = (σ' 1 + σ' 3 ) f / 2 c' = a / cos φ' per definizione t f = (σ' 1 - σ' 3 ) f / 2 provino σ' 3,f σ' 1,f s' f t f No ( kpa ) ( kpa ) ( kpa ) ( kpa )

321 t f (kpa) tf = 0,5928s'f + 14,963 R 2 = 1 a = kpa tanα = α = 30.7 φ' = 36.4 c' = 18.6 kpa s' f (kpa) Esercizio 3 Per tre provini della stessa argilla satura sono stati misurati a rottura in prove TxCID i valori di tabella. Determinare le tensioni principali efficaci a rottura per ciascun provino, e stimare i parametri c' e φ'. provino σ cella F assiale Η V No ( kpa ) ( N ) ( mm ) ( cm 3 ) altezza iniziale H 0 = diametro iniziale D 0 = 76 mm 38 mm Soluzione La sezione retta iniziale dei provini è: A 0 = π D 2 0 / 4 = 1134 mm 2 Il volume iniziale dei provini è: V 0 = A 0 H 0 = mm 3 Durante la prova, in condizioni drenate, il volume varia dunque a rottura si ha: H f = H 0 - H altezza del provino a rottura V f = V 0 - V volume del provino a rottura A f = V f / H f area della sezione retta media del provino a rottura σ' 3,f = σ cella tensione efficace minore a rottura (σ' 1 σ' 3 ) f = F assiale /A f tensione deviatorica a rottura s' f = (σ' 1 + σ' 3 ) f / 2 t f = (σ' 1 - σ' 3 ) f / 2 t f = a + s' f tanα graficamente o da retta di regressione φ' = arcsen (tanα) per definizione c' = a / cos φ' per definizione provino H f V f A f σ' 3,f (σ' 1 σ' 3 ) f σ' 1,f s' f t f No ( mm ) ( mm 3 ) ( mm 2 ) ( kpa ) ( kpa ) ( kpa ) ( kpa ) ( kpa )

322 t f (kpa) t f = 0,4988 s' f + 11,825 R 2 = 1 a = kpa tanα = α = 26.5 φ' = 29.9 c' = 13.6 kpa s' f (kpa) Esercizio 4 Un carico è applicato sulla superficie di uno strato di argilla N.C. di spessore H, sovrastante il bedrock. Il livello di falda è alla profondità Z W da p.c. Il peso di volume, γ, il peso specifico dei costituenti solidi, γ s, e l'indice di compressione, C c, dell'argilla sono costanti con la profondità. L'incremento di tensione verticale, σ v, e il contenuto naturale in acqua, w 0, al variare della profondità sono indicati in tabella. Calcolare il cedimento del piano campagna con il metodo edometrico. dati H = 8 m Z (m) σ v (kpa) w 0 (%) Z W = 4m γ = 18.5 kn/m γ s / γ w = C c = Soluzione Si divide lo strato di spessore H in 4 sottostrati di spessore h = H/4. A metà di ciascuno di essi si calcola: e 0 = w 0 (γ s / γ w ) indice dei vuoti naturale σ' v0 tensione verticale litostatica efficace h = h C c /(1 + e 0 ) log(1 + σ v /σ' v0 ) h = H/4 = 2 m sottostrato Z m (m) e 0 σ' v0 (kpa) h (cm) H = Σ h = cm

323 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 5 luglio Esercizio 1 Un provino di un'argilla N.C., caratterizzata dai seguenti parametri di stato critico: Γ = 2.4 λ = 0.15 κ = 0.05 Μ = 0.9 è consolidato in cella triassiale alla pressione isotropa: p' 0 = 500 kpa quindi decompresso in condizioni drenate alla pressione isotropa: p' 1 = 300 kpa poi assialmente caricato in condizioni drenate fino alla pressione: p' 2 = 350 kpa le deformazioni assiali e volumetriche prodottesi nel percorso 1-2 valgono rispettivamente: ε a = ε 1 = 6.5E-03 ε v = 7.0E-03 Utilizzando il modello Cam Clay Modificato: (si ricorda che per il modello Cam Clay Modificato è : Ν = Γ + (λ - κ) ln2 ) a) verificare se il percorso tensionale di carico 1-2 è totalmente elastico, b) stimare i parametri elastici K' e G del terreno nel percorso tensionale 1-2. Alla pressione p' 2, il drenaggio viene chiuso e la compressione continua in condizioni non drenate. Calcolare i valori di v, p', q ed u: c) quando il percorso tensionale perviene alla superficie di plasticizzazione (punto 3), d) a rottura (punto 4). e) disegnare il percorso tensionale. Soluzione Ν = Γ + (λ - κ) ln2 = alla fine della consolidazione isotropa è: v 0 = Ν - λ lnp' 0 = la pressione di consolidazione è: p' c = p' 0 = 500 kpa la linea di scarico-ricarico, direttrice della parete elastica, ha equazione: v = v κ - κ ln p' con v κ = Ν - (λ - κ) lnp' 0 = al termine della decompressione drenata isotropa è: v 1 = v 0 + κ ln(p' 0 /p' 1 ) = al termine della fase di compressione drenata, alla pressione efficace media p' 2, corrisponde una tensione deviatorica q 2 = 3 (p' 2 - p' 1 ) = 150 kpa L'ellisse di plasticizzazione ha equazione: (p') 2 -p' p' c + (q / Μ) 2 = 0 Nel piano p'-q il punto 2 di coordinate: p' 2 (kpa) = 350 q 2 (kpa) = 150 è interno all'ellisse, poiché la tensione deviatorica limite elastico per p' = p' 2 vale: q le2 = Μ (p' 2 p' 0 - p' 2 2 ) 0,5 = kpa > 150 kpa = q 2 dunque il percorso tensionale 1-2 è totalmente elastico, e si svolge sulla parete elastica 0-1. Il volume specifico allo stato 2 vale: v 2 = v κ - κ ln p' 2 = Il modulo di deformazione cubica nel percorso 1-2 vale: K' = p' / ε v = 7143 kpa La deformazione deviatorica nel percorso 1-2 vale: ε s = ε 1 - ε v / 3 = 4.17E-03 Il modulo di taglio nel percorso 1-2 vale: G = q / (3 ε s ) = kpa Alla pressione p' 2 il drenaggio viene chiuso e la compressione continua in condizioni non drenate. Il volume specifico rimane costante e pari a: v 2 = Fino al raggiungimento della superficie di plasticizzazione il percorso avviene sulla parete elastica e sul piano non drenato, dunque è parallelo all'asse q. Il percorso interseca l'ellisse di plasticizzazione nel punto 3 di coordinate: p' 3 = p' 2 = 350 kpa q 3 = q le2 = kpa v 3 = v 2 = la pressione media totale nel punto 3 vale: p 3 = p' 1 + q 3 / 3 = kpa dunque la pressione neutra nel punto 3 vale: u 3 = p 3 - p' 3 = 18.7 kpa Il percorso elasto-plastico 3-4 avviene sempre a volume costante (v 4 = v 3 = v 2 ) fino al valore di pressione media efficace che, sulla linea di stato critico, corrisponde al volume v 4. Dunque risulta: v 4 = v 3 = v 2 = p' 4 = exp((γ - v 4 ) / λ) = kpa q 4 = Μ p' 4 = kpa p 4 = p' 1 + q 4 / 3 = kpa 321

324 u 4 = p 4 - p' 4 = kpa v ( - ) Percorso tensionale punto p' (kpa) q (kpa) v ( - ) CSL NCL URL ESP p' (kpa) CSL Ellisse 0 Ellisse 4 ESP q (kpa ) p' (kpa) Esercizio 2 Utilizzando il metodo del supporto libero, verificare la stabilità della palancola con un ordine di tiranti, schematicamente indicata in figura. Il livello della falda a valle è alla profondità dello scavo.

325 323 H D q t T Z w Z dati sabbia satura (anche sopra falda) γ = γ sat = 20 kn/m 3 φ' = 38 Z w = 3m q = 20 kpa H = 5 m t = 2 m D = 3.5 m γ w = 9.81 kn/m 3 Soluzione φ' (rad) = coefficiente di spinta passiva: K A = coefficiente di spinta attiva: K P = gradiente idraulico: i = h/ l = (H - Zw) / (2D + H - Z w ) = pressione neutra a contatto con la palancola: a monte (filtrazione discendente) a valle (filtrazione ascendente) prof. Z (m) u (kpa) prof. Z (m) u (kpa) H 5 0 Zw 3 0 H + D H + D pressione verticale totale ed efficace a monte a valle prof. Z (m) σ v0 (kpa) σ' v0 (kpa) prof. Z (m) σ v0 (kpa) σ' v0 (kpa) H Zw H + D H + D pressione orizzontale efficace limite a monte (attiva) a valle (passiva) prof. Z (m) σ' ha (kpa) prof. Z (m) σ' hp (kpa) H 5 0 Zw H + D H + D Spinte e profondità di applicazione Spinta dell'acqua a monte: Spinta dell'acqua a valle: S w,m = kn/m S w,v = kn/m Z (S w,m ) = 6.67 m Z (S w,v ) = 7.33 m Spinta attiva a monte: Spinta passiva a monte: 1. dovuta al sovraccarico q S p = S a,1 = kn/m Z(S p ) = 7.33 Z(S a,1 ) = 4.25 m 2. dovuta al terreno sopra falda S a,2 = kn/m Z(S a,2 ) = 2m 3. dovuta al terreno sotto falda (rettangolo) S a,3 = kn/m Z(S a,3 ) = 5.75 m 4. dovuta al terreno sotto falda (triangolo) S a,4 = kn/m Z(S a,4 ) = 6.67 m Momento, rispetto al punto di applicazione del tirante:

326 324 - della spinta dovuta all'acqua a monte: M w,m = knm/m - della spinta dovuta all'acqua a valle: M w,v = knm/m - della spinta attiva a monte: 1. M 1 = knm/m 2. M 2 = 0.00 knm/m 3. M 3 = knm/m 4. M 4 = knm/m Somma ΣM = knm/m - della spinta passiva a valle, interamente mobilitata: M p = knm/m La stabilità è verificata con un coefficiente di sicurezza, applicato alla spinta passiva: FS = -M p / ΣM = 1.49 M p / FS = knm/m La forza T nel tirante vale: kn/m p h (kpa) Z (m)

327 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 6 settembre Esercizio 1 Un'argilla è caratterizzata dai seguenti valori dei parametri di stato critico: λ = 0.1 κ = 0.05 Γ = 1.8 Μ = provini (A, B, C, D, E, F) di tale argilla sono isotropicamente consolidati con una pressione di cella p' 0 = 600 kpa in assenza di back-pressure. Il provino A è portato a rottura in condizioni drenate (TxCID) Il provino B è portato a rottura in condizioni non drenate (TxCIU) Il provino C è scaricato isotropicamente in condizioni drenate fino ad una pressione media efficace pari a 2/3 di p' 0 e poi portato a rottura in condizioni drenate (TxCID) Il provino D è scaricato isotropicamente in condizioni drenate fino ad una pressione media efficace pari a 2/3 di p' 0 e poi portato a rottura in condizioni non drenate (TxCIU) Il provino E è scaricato isotropicamente in condizioni drenate fino ad una pressione media efficace pari a 1/3 di p' 0 e poi portato a rottura in condizioni drenate (TxCID) Il provino F è scaricato isotropicamente in condizioni drenate fino ad una pressione media efficace pari a 1/3 di p' 0 e poi portato a rottura in condizioni non drenate (TxCIU) Utilizzando il modello Cam Clay Modificato: (si ricorda che per il modello Cam Clay Modificato è : Ν = Γ + (λ - κ) ln2 ) calcolare i punti significativi e disegnare i percorsi tensionali dei 6 provini nel piano p'-q e nel piano p'-v. Soluzione la linea di consolidazione normale (NCL) dell'argilla ha equazione: q = 0 v = Ν - λ lnp' con Ν = Γ + (λ - κ) ln2 = Lo stato 0 dei 6 provini, al termine della consolidazione isotropa è: p' 0 = 600 kpa q 0 = 0 kpa v 0 = Provino A prova TxCID su argilla NC nel piano p'-q l'esp è una retta di pendenza 3:1 fino all'intersezione con la CSL: p' A = 3 p' 0 / (3 - Μ) = kpa q A = Μ p' A = kpa v A = Γ - λ ln(p' A ) = Provino B prova TxCIU su argilla NC Il percorso tensionale è a volume costante p' B = exp[(γ - v B ) / λ] = kpa q B = Μ p' B = kpa v B = v 0 = Provino C prova TxCID su argilla debolmente OC il percorso di scarico tensionale isotropo avviene sulla URL passante per il punto 0 v κ = Ν - (λ - κ) lnp' 0 = al termine dello scarico tensionale il punto C1 ha coordinate: p' C1 = 2 p' 0 / 3 = 400 kpa q C1 = 0 kpa v C1 = v 0 + κ ln(p' 0 /p' C1 ) = Nella fase di carico drenato il percorso tensionale nel piano p'-q sempre ha pendenza 3:1 Fino all'intersezione con la superficie di plasticizzazione, nel punto C2, il percorso si svolge sulla 325

328 326 superficie elastica che ha come traccia sul piano p'-v la URL passante per il punto 0. Le coordinate p' e q del punto il punto C2 si ottengono dall'intersezione dell'ellisse di equazione: (p') 2 - p' p' 0 + (q / Μ) 2 = 0 con il percorso tensionale di equazione: q = 3 (p' - p' C1 ) il volume specifico del punto C2 si ottiene imponendo l'appartenenza alla superficie elastica posto: A = (9 + Μ 2 ) = 9.81 B = -(p' 0 Μ p' C1 ) = C = 9 p' 2 C1 = si risolve l'equazione: A p' 2 C2 + B p' C2 + C = 0 le coordinate del punto C2 risultano: p' C2 = kpa q C2 = kpa v C2 = Dopo l'intersezione con la superficie di plasticizzazione il percorso abbandona la superficie elastica fino a pervenire nel punto C3 alla CSL le coordinate del punto C3 risultano: p' C3 = 3 p' C1 / (3 - Μ) = kpa q C3 = Μ p' C3 = kpa v C3 = Γ - λ ln(p' C3 ) = Provino D prova TxCIU su argilla debolmente OC il percorso di scarico tensionale isotropo avviene sulla URL passante per il punto 0 v κ = Ν - (λ - κ) lnp' 0 = al termine dello scarico tensionale il punto D1 ha coordinate: p' D1 = 2 p' 0 / 3 = 400 kpa q D1 = 0 kpa v D1 = v 0 + κ ln(p' 0 /p' D1 ) = Nella fase di carico non drenato il percorso tensionale avviene sempre a volume costante Fino all'intersezione con la superficie di plasticizzazione, nel punto D2, il percorso nel piano p'-q è verticale. le coordinate del punto D2 risultano: p' D2 = p' D1 = 400 kpa q D2 = Μ (p' D2 p' 0 - p' 2 D2 ) 0,5 = kpa v D2 = v D1 = Dopo l'intersezione con la superficie di plasticizzazione il percorso abbandona la superficie elastica fino a pervenire nel punto D3 alla CSL p' D3 = exp[(γ - v D3 ) / λ] = kpa q D3 = Μ p' D3 = kpa v D3 = v D1 = Provino E prova TxCID su argilla fortemente OC il percorso di scarico tensionale isotropo avviene sulla URL passante per il punto 0 v κ = Ν - (λ - κ) lnp' 0 = al termine dello scarico tensionale il punto E1 ha coordinate: p' E1 = p' 0 / 3 = 200 kpa q E1 = 0 kpa

329 327 v D1 = v 0 + κ ln(p' 0 /p' E1 ) = Nella fase di carico drenato il percorso tensionale nel piano p'-q sempre ha pendenza 3:1 Fino all'intersezione con la superficie di plasticizzazione, nel punto E2, il percorso si svolge sulla superficie elastica che ha come traccia sul piano p'-v la URL passante per il punto 0. Le coordinate p' e q del punto il punto E2 si ottengono dall'intersezione dell'ellisse di equazione: (p') 2 - p' p' 0 + (q / Μ) 2 = 0 con il percorso tensionale di equazione: q = 3 (p' - p' E1 ) il volume specifico del punto E2 si ottiene imponendo l'appartenenza alla superficie elastica posto: A = (9 + Μ 2 ) = 9.81 B = -(p' 0 Μ p' E1 ) = C = 9 p' 2 E1 = si risolve l'equazione: A p' 2 C2 + B p' C2 + C = 0 le coordinate del punto E2 risultano: p' E2 = kpa q E2 = kpa v E2 = Dopo l'intersezione con la superficie di plasticizzazione il percorso abbandona la superficie elastica e torna indiedro, nel piano p'-v, fino a pervenire nel punto E3 alla CSL le coordinate del punto E3 risultano: p' E3 = 3 p' E1 / (3 - Μ) = kpa q E3 = Μ p' E3 = kpa v E3 = Γ - λ ln(p' E3 ) = Provino F prova TxCIU su argilla fortemente OC il percorso di scarico tensionale isotropo avviene sulla URL passante per il punto 0 v κ = Ν - (λ - κ) lnp' 0 = al termine dello scarico tensionale il punto F1 ha coordinate: p' F1 = p' 0 / 3 = 200 kpa q F1 = 0 kpa v F1 = v 0 + κ ln(p' 0 /p' F1 ) = Nella fase di carico non drenato il percorso tensionale avviene sempre a volume costante Fino all'intersezione con la superficie di plasticizzazione, nel punto F2, il percorso nel piano p'-q è verticale. le coordinate del punto F2 risultano: p' F2 = p' F1 = 200 kpa q F2 = Μ (p' F2 p' 0 - p' 2 F2 ) 0,5 = kpa v F2 = v F1 = Dopo l'intersezione con la superficie di plasticizzazione il percorso abbandona la superficie elastica fino a pervenire nel punto F3 alla CSL, con contrazione della superficie di plasticizzazione p' F3 = exp[(γ - v F3 ) / λ] = kpa q F3 = Μ p' F3 = kpa v F3 = v F1 = percorso del provino A percorso del provino B p' (kpa) q (kpa) v ( - ) p' (kpa) q (kpa) v ( - ) punto punto punto A punto B percorso del provino C percorso del provino D p' (kpa) q (kpa) v ( - ) p' (kpa) q (kpa) v ( - ) punto punto 0

330 punto C punto D punto C punto D punto C punto D3 percorso del provino E percorso del provino F p' (kpa) q (kpa) v ( - ) p' (kpa) q (kpa) v ( - ) punto punto punto E punto F punto E punto F punto E punto F3 328 q (kpa) sup. plast. CSL ESP A ESP B ESP C ESP D ESP E ESP F p' (kpa) v ( - ) CSL NCL ESP A ESP B URL ESP C ESP D ESP E ESP F p' (kpa) Esercizio 2 Durante una prova edometrica su un provino di argilla N.C. di altezza iniziale H 0, per un incremento di pressione verticale da σ' v a (σ' v + σ' v ), si è misurato un abbassamento H. a) Quale abbassamento H 1 si misurerà per un incremento di pressione da (σ' v + σ' v ) a (σ' v + 2 σ' v )? b) Quale incremento di pressione verticale σ' v1 dovrebbe essere applicato alla pressione iniziale

331 329 (σ' v + σ' v ) per ottenere un abbassamento H? dati H 0 = 20 mm σ' v = 100 kpa H = 0.03 mm σ' v = 20 kpa Soluzione Si applica l'equazione: ' ' H C σ + σ ( ) c v v = log + ' H 0 1 e 0 σ v C c / (1 + e 0 ) = a) da (σ' v + σ' v ) a (σ' v + 2 σ' v ) H 1 = mm b) incremento di pressione verticale σ' v1 da applicare alla pressione iniziale (σ' v + σ' v ) per ottenere un abbassamento H σ' v1 = 24 kpa

332 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 8 novembre Esercizio 1 E' eseguita una prova di pompaggio in emungimento da un acquifero confinato (falda artesiana) di sabbia, secondo lo schema di figura. dati: lo spessore dello strato di argilla: H A = 5.5 m lo spessore dello strato di sabbia: H S = 3.5 m la portata emunta a regime: Q = 0.3 m 3 /min La distanza dal pozzo ed il livello dell'acqua in due piezometri di controllo è: piezometro N distanza dal pozzo r(m) livello dell'acqua da p.c. z(m) Determinare: Bedrock 1. Il coefficiente di permeabilità della sabbia. 2. Il livello dell'acqua in un terzo piezometro posto alla distanza di 7 m dal pozzo. Soluzione Si utilizza l'equazione: Argilla Sabbia pozzo piezometri H A H S 330 k = r2 ln( ) Q r1 2π b (h h ) 2 1 con: Q = 0.3 m 3 /min = m 3 /sec b = H S = 3.5 m r 2 = 48 m h 2 = H A + H S - z 2 = 6.2 m r 1 = 14 m h 1 = H A + H S - z 1 = 5.6 m si stima: k = 4.7E-04 m/s Q r 2 e, utilizzando la stessa equazione in modo inverso: h 1 = h2 ln posto 2π b k r1 r 1 = 7m si stima h 1 = 5.26 m da cui z 1 = H A + H S - h 1 = 3.74 m Esercizio 2 In tabella sono riportati i risultati di una prova edometrica eseguita su un provino di argilla satura. Il peso specifico normalizzato dei costituenti solidi vale: G s = γ s /γ w = 2.7 Il contenuto in acqua del terreno a fine prova vale: w fin = 27.3 %

333 331 pressione altezza 1. Determinare i valori dell'indice dei vuoti al termine di ciascun (kpa) (mm) incremento di carico e disegnare i grafici e-σ' v in scala naturale e in scala semilogaritmica; Determinare l'indice di compressione, C c ; Soluzione A fine prova: w fin 100 = P w /P s = (γ w V w )/(γ s V s ) = (γ w V v )/(γ s V s ) = e fin /G s = da cui: e fin = w fin G s = H 0 = mm H fin = mm H = (H 0 - H fin ) = mm e = e 0 - e fin H/H 0 = e/(1+e 0 ) da cui: e 0 = C c = σ' v H H/H 0 e (kpa) (mm) (%) ( - ) e σ' v (kpa) e σ' v (kpa)

334 332 Esercizio 3 Un pendio indefinito è costituito da uno strato di spessore costante H di sabbia fine limosa sovrastante la roccia di base. Il pendio ha inclinazione β sull'orizzontale. La falda è parallela al pendio ed è posta ad una profondità Z w, variabile nel tempo con l'intensità e la durata delle precipitazioni atmosferiche. Determinare la profondità critica della falda per la quale si verificano condizioni di equilibrio limite. Determinare la profondità della falda per la quale il fattore di sicurezza vale: FS = 1.3 Determinare l'errore che si commette assumendo γ = γ sat. dati: Spessore della coltre di sabbia limosa: H = 14 m Angolo di inclinazione del pendio: β = 16 Peso di volume medio sopra falda: γ = 18.2 kn/m 3 Peso di volume saturo: γ sat = 20.5 kn/m 3 Angolo di resistenza al taglio: φ' = 26.5 Peso specifico dell'acqua: γ w = 9.81 kn/m 3 Soluzione tanφ' = tanβ = γ' = γ sat - γ w = kn/m 3 Il fattore di sicurezza è dato dalla seguente equazione: in cui m = 1 - Z w /H 0 m 1 FS = [(1 m) γ + m γ' ] tan φ' [(1 m) γ + m γ ] tan β sat e, risolvendo per m, m = tan β ( γ γ sat ) FS ( γ γ' ) γ FS tan tan β 1 φ' tan φ' le condizioni di equilibrio limite si verificano per FS = 1. FS m Z w (m) Assumendo γ = γ sat l'equazione del fattore di sicurezza si semplifica nel modo seguente: FS = ( γ m γ ) sat che, risolta per m, diviene: γ sat tan φ' tan β FS m Z w (m) w m = γ γ sat w 1 FS tan tan β φ'

335 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 24 Gennaio Esercizio 1 In tabella sono riportati i risultati di una prova triassiale consolidata non drenata (TxCIU) su un provino di argilla satura. Le condizioni di prova sono le seguenti: pressione di cella: σ c = 600 kpa contropressione neutra: B.P. = 400 kpa (all'inizio della prova) σ a (kpa) u (kpa) Determinare la variazione del parametro di Skempton A durante la prova, calcolare e disegnare i percorsi tensionali totale ed efficace nel piano t-s, s' e nel piano q-p, p'. Soluzione u = B [ σ 3 + A ( σ 1 - σ 3 )] σ 3 = σ c = cost. = 600 kpa B = 1 (terreno saturo), σ 1 = σ a σ 3 = 0 t = (σ 1 - σ 3 )/2 q = (σ 1 - σ 3 ) σ 1 = σ a s = (σ 1 + σ 3 )/2 p = (σ σ 3 )/3 A = u/ σ a s' = s - u p' = p - u σ 1 (kpa) u (kpa) u (kpa) A σ 1 (kpa) t (kpa) s (kpa) s' (kpa) q (kpa) p (kpa) p' (kpa) TSP ESP TSP ESP t (kpa) q (kpa) s, s' (kpa) p, p' (kpa)

336 334 Esercizio 2 In una prova edometrica su un'argilla NC è: σ' v0 = 200 kpa e = e 0 = 1.22 σ' v0 + σ' v = 400 kpa e = 0.98 Il coefficiente di permeabilità nel campo delle tensioni considerato vale: k = 6.1E-05 m/giorno Uno strato di quell'argilla in sito ha spessore H = 4 m ed è drenato da un solo lato. Dopo quanti giorni lo strato avrà raggiunto il 60 % della consolidazione edometrica e che cedimento avrà avuto? Soluzione Il coefficiente di compressibilità dell'argilla vale: a v = e/ σ' v = 1.20E-03 m 2 /kn Il coefficiente di compressibilità di volume vale: m v = a v /(1+e 0 ) = 5.41E-04 m 2 /kn Il coefficiente di consolidazione vale: c v = k / (γ w m v ) = 1.15E-02 m 2 / giorno Il fattore di tempo per U m = 60 % vale: T v = L'altezza di drenaggio in sito è: H dr = H = 4m da cui: t 60 = T v H 2 dr /c v = 404 giorni Il cedimento edometrico finale sarà: H = H 0 σ' v m v = 43.2 cm Per un grado di consolidazione medio U m = 60 % il cedimento sarà: 25.9 cm Esercizio 3 Verificare la stabilità, in assenza di falda, del muro di sostegno a gravità mostrato in Figura. H A B α β dati: H = 5.00 m A = 1.60 m B = 2.50 m β = 15 terrapieno e terreno di fondazione: γ = 19.5 kn/m 3 c' = 0 kpa φ' = 38 muro: γ m = 24 kn/m 3 δ = 26 (ang. d'attrito terreno muro) Soluzione Peso del muro: A x H x γ m = 192 kn/m A/2 = 0.8 m (B-A) x (H/2) x γ m = 54 kn/m A + (B-A)/3 = 1.90 m P m = 246 kn/m peso del muro X m = 1.04 m ascissa di applicazione del peso del muro dallo spigolo esterno Coefficiente di spinta attiva (secondo Coulomb): α = π -arctan[h/(b-a)] = rad = β = 15 = rad φ' = 38 = rad δ = 26 = rad λ = α - π/2 = rad = 10.2

337 335 K A = cos 2 λ cos ( λ + δ ) cos 1 + ( φ' λ) sen( δ + φ' ) sen( φ' β ) cos( λ + δ ) cos( λ β ) Spinta attiva: P A = (1/2) K A γ H 2 = kn/m quota di applicazione di P A : H (P A ) = H/3 = 1.67 m ascissa di applicazione di P A : X (P A ) = A+(B-A) 2/3 = 2.20 m angolo di inclinazione di P A rispetto all'orizzontale: ε = λ + δ = rad = componente verticale di P A : P AH = P A cosε = kn/m componente orizzontale di P A : P AV = P A senε = kn/m Verifica al ribaltamento: Momento stabilizzante rispetto allo spigolo esterno: M S = P m X m + P AV X(P A ) = Momento ribaltante rispetto allo spigolo esterno: M R = P AH H(P A ) = knm/m FS (ribaltamento) = M S / M R = 3.12 Verifica allo slittamento: Forza orizzontale massima resistente: T F = (P m + P AV ) tanδ = kn/m Forza orizzontale spingente: T = P AH = kn/m FS (slittamento) = T F / T = K A = Azioni risultanti trasmesse in fondazione: Q V = P m + P AV = kn/m Q H = P AH = kn/m e = B/2 - (M S - M R )/Q V = 0.40 m La risultante è interna al nocciolo centrale d'inerzia. Q V Q H e p max = (Q V / B) (1+ 6e/B) = p min = (Q V / B) (1-6e/B) = kpa 3.5 kpa p max B p min Verifica di capacità portante: B' = B - 2e = N N q γ = e = 2 π tgϕ tg 2 (45 + ( N 1) tg ϕ q ϕ ) m N q = 48.9 N γ = 74.9 i γ = (1 - Q H /Q V ) 3 = q lim = 0,5 γ B' N γ i γ = kpa si trascura l'effetto stabilizzante del peso del terrapieno FS (capacità portante) = q lim B' / Q V = 3.08

338 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 7 Febbraio Esercizio 1 Un campione di terreno ha: peso specifico dei costituenti solidi: γ s = 26.9 kn/m 3 indice dei vuoti: e = 0.65 contenuto in acqua: w = 10 % determinare: il peso di volume, γ, il peso di volume secco, γ d, e il grado di saturazione, S r. Soluzione posto V s = 1 m 3 si ha: P s = γ s V s = 26.9 kn V v = e V s = 0.65 m 3 V = V s + V v = 1.65 m 3 P w = (w/100) P s = 2.69 kn P = P s + P w = kn V w = P w /γ w = m 3 da cui: γ = P/V = kn/m 3 γ d = P s /V = kn/m 3 S r = (V w /V v ) 100 = 42.2 % Esercizio 2 Uno strato di argilla di spessore 2 m è compreso tra due strati di terreno granulare molto permeabile. Il coefficiente di consolidazione dell'argilla è c v = m 2 /giorno. Il cedimento per consolidazione edometrica dello strato di argilla, conseguente all'applicazione di un carico in superficie, è stimato 4 cm. Quanto tempo occorrerà perché il cedimento sia di 2 cm? Quanto varrà il cedimento dopo 1 anno dall'applicazione del carico? Soluzione L'altezza di drenaggio vale H dr = H/2 = 1m Il cedimento di 2 cm corrisponde ad un grado di consolidazione medio del: U m = 50 % ed a un fattore di tempo: Tv π/4 U 2 m = da cui: t 50 = T v H 2 dr / c v = 196 gg dopo un tempo t = 1 anno dall'applicazione del carico il fattore tempo vale: T v = t c v / H 2 dr = cui corrisponde U m 200 (T v /π) 0,5 = 68 % e quindi il cedimento s 2.7 cm. Esercizio 3 Stimare la capacità portante di un palo battuto in terreno sabbioso con le seguenti caratteristiche: palo in c.a.p. a sezione quadrata di lato: L p = 0.3 m e lunghezza: L = 10 m terreno di fondazione omogeneo costituito da sabbia di media densità, avente: peso di volume medio sopra falda: γ = 19.6 kn/m 3 peso di volume immerso: γ' = 10 kn/m 3 angolo di resistenza al taglio: φ' = 37 profondità della falda freatica: Z w = 3m Soluzione Q lim = Q p + Q s (si trascura il peso del palo) Q p = A p q p = A p σ' v0,p N q Q s = A s K tanδ σ' v0,m A p = L 2 p = 0.09 m 2 σ' v0,p = γ Z w + γ' (L - Z w ) = kpa tensione verticale efficace alla punta 336

339 337 N q = f(φ', L/D) = 76 avendo posto D = L p = 0.3 m L/D = 33 da cui: Q p = 881 kn (secondo Berezantzev, 1961) A s = 4 L L p = 12 m 2 K = 1.5 (per pali battuti di cls. prefabbricato in sabbia di media densità) tanδ = tan(0,75 φ') = 0.53 σ' v0,m è la tensione verticale efficace media nella lunghezza del palo. Si ottiene dividendo per L l'area del diagramma di tensione verticale efficace fino alla profondità L Z (m) σ' v0 (kpa) 0 0 A 1 (triangolo) = 88.2 kn/m A 2 (trapezio) = kn/m A = A 1 +A 2 = kn/m da cui: Q s = 705 kn Q lim = Q p + Q s = 1586 kn σ' vo,m = A/L = kpa Esercizio 4 Stimare il fattore di sicurezza a breve termine di un pendio di scavo in argilla satura omogenea, di altezza H e angolo di pendio β rispetto all'orizzontale, nelle ipotesi: a) di terreno omogeneo fino a grande profondità; b) di presenza di uno strato rigido alla profondità H 1 rispetto al p.c. L'argilla ha peso di volume γ e resistenza al taglio non drenata c u. dati H = 12 m β = 45 γ = 19.5 kn/m 3 H 1 = 12 m c u = 55 kpa Soluzione Si utilizza l'abaco di Taylor per β = 45 a) terreno omogeneo fino a grande profondità N s = 5.52 H cr = N s c u /γ = 15.6 m FS = H cr /H = 1.30 b) di presenza di uno strato rigido alla profondità H1 rispetto al p.c. n d = H 1 /H = 1 N s 6 H cr = N s c u /γ = 16.9 m FS = H cr /H = 1.41

340 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 20 Giugno Esercizio 1 Alcuni dei risultati delle prove di identificazione eseguite sui 10 campioni di terreno sotto elencati sono errati. Individuare quali e perché. campione terreno w (%) γ d (kn/m 3 ) γ s (kn/m 3 ) 1 argilla limo sabbia limo limo argilla sabbia grossa sabbia fine limo argilla Soluzione Sono errati i casi per i quali risulta w > w sat = γ w (100/γ d - 100/γ s ). Assumendo γ w = 9,81 kn/m 3 risulta: campione w sat (%) esito risultato possibile risultato errato risultato possibile risultato errato risultato errato risultato possibile risultato possibile risultato possibile risultato errato risultato possibile Esercizio 2 Le tensioni principali di un elemento di terreno valgono σ 1 (tensione principale maggiore) e σ 3 (tensione principale minore). Determinare le componenti normale e tangenziale della tensione agente sul piano che forma un angolo θ con il piano su cui agisce la tensione principale maggiore. dati σ 1 = 800 kpa θ = 55 σ 3 = 300 kpa Soluzione: θ = 55 = rad σ = σ θ = σ 3 + (σ 1 - σ 3 ) cos 2 θ = 464 kpa τ = τ θ = 0,5 (σ 1 - σ 3 ) sin2θ = 235 kpa 338

341 339 Esercizio 3 Si consideri lo schema di pendio indefinito, costituito da due strati, rappresentato in figura. La filtrazione è parallela al pendio e la falda coincide con il piano campagna. Determinare il gradiente idraulico ed i coefficienti di permeabilità dei due strati. dati H 1 = 5m Z w H 2 = 5m strato 1 Z w = 2.5 m piezometro H 1 k 1 /k 2 = 2 strato 2 Q = 1.732E-03 m 3 /sec/m H 2 Soluzione Lo spessore totale della coltre è: H = H 1 + H 2 = 10 m H senβ = Z w / senβ con β angolo di pendio da cui: β = arcsen[(z w /H) 0,5 ] = rad = 30.0 il gradiente idraulico vale: i = senβ = 0.5 dalla legge di Darcy: Q = Q 1 + Q 2 = v 1 H 1 cosβ + v 2 H 2 cosβ = k 1 i H 1 cosβ + k 2 i H 2 cosβ = k 2 i cosβ (2H 1 + H 2 ) da cui: k 2 = 2.67E-04 m/sec k 1 = 5.33E-04 m/sec Esercizio 4 Uno strato di argilla satura di spessore H, drenata solo superiormente, con coefficiente di consolidazione verticale c v, è caricata istantaneamente al tempo t = 0. Il cedimento finale dello strato è s f. La consolidazione è monodimensionale. Tracciare la curva del cedimento nel tempo. dati H = 5 m c v = 2.50E-08 m 2 /sec s f = 50 cm Soluzione T v = c v t / H 2 U m = f(t v ) = s(t)/s f U m (%) T v s(t) (cm) t (gg) s (cm) t (gg)

342 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 4 Luglio Esercizio 1 Un serbatoio di grandi dimensioni esercita una pressione verticale uniforme di intensità p sulla superficie del deposito di terreno mostrato in figura. Stimare e disegnare la curva del cedimento di consolidazione nel tempo. dati p p = 80 kpa falda freatica coincidente con il piano campagna γ w = 9.81 kn/m 3 H 1 strato 1: argilla N.C. H 1 = H 4m 2 γ 1 = 16 kn/m 3 H 3 e 0,1 = 1.3 C c,1 = 0.6 c v,1 = 4.0E-08 m 2 /sec strato 2: sabbia pressoché incompressibile H 2 = 2m γ 2 = 20 kn/m 3 strato 3: argilla N.C. H 3 = 8m γ 3 = 16 kn/m 3 e 0,3 = 1.2 C c,3 = 0.6 c v,3 = 2.0E-08 m 2 /sec strato 4: sabbia e ghiaia pressoché incompressibile Soluzione Calcolo del cedimento di consolidazione: H 1 = H 1 C c1 / (1+ e 0,1 ) log[(σ' v0,1 + p)/σ' v0,1 ) σ' v0,1 = (γ 1 - γ w ) H 1 / 2 = kpa H 1 = 91.1 cm H 2 = 0.0 cm H 3 = H 3 C c3 / (1+ e 0,3 ) log[(σ' v0,3 + p)/σ' v0,3 ) σ' v0,3 = (γ 1 - γ w ) H 1 + (γ 2 - γ w ) H 2 + (γ 3 - γ w ) H 3 / 2 = 69.9 kpa H 3 = 72.3 cm S = Σ H = cm Gli strati 1 e 3 sono drenati da entrambi i lati, per cui: H dr,1 = H 1 /2 H dr,3 = H 3 /2 per ciascuno dei due strati compressibili, 1 e 3, si stima: il fattore tempo con l'equazione: T v = t c v / H 2 dr e il grado di consolidazione medio con l'equazione approssimata di Brinch-Hansen: U m = [T 3 v / (T 3 v + 0,5)] 1/6 340

343 341 t (gg) T v,1 U m,1 H 1 (cm) T v,3 U m,3 H 3 (cm) H (cm) U m S (cm) t (gg) Esercizio 2 Durante la fase di taglio di una prova triassiale consolidata non drenata su un provino di argilla N.C. satura sono stati misurati i valori di tensione deviatorica (q) e di pressione interstiziale (u) indicati in tabella. Determinare la variazione del parametro A di Skempton durante la prova, calcolare e disegnare i percorsi tensionali totali ed efficaci nel piano s,s'-t, e stimare l'angolo di resistenza al taglio, φ'. dati pressione di cella σ c = 450 kpa Back pressure B.P. = 300 kpa H/H 0 (%) q (kpa) u (kpa) Soluzione A = u/q σ 3 = s c s = (σ 1 + σ 3 )/2 u = u - B.P. σ' 3 = σ 3 - u s' = s - u σ 1 = σ 3 + q t = (σ 1 - σ 3 )/2 σ' 1 = σ' 3 + q

344 342 u (kpa) A σ 3 (kpa) σ' 3 (kpa) σ 1 (kpa) σ' 1 (kpa) s (kpa) s' (kpa) t (kpa) t/s' (t/s') max = φ' = arcsen(t/s) max = rad = s-t s'-t t (kpa) s, s' (kpa) Esercizio 3 Determinare la lunghezza L di un palo trivellato di diametro D che dovrà sostenere in esercizio una forza verticale Q. Il palo sarà realizzato in un sito avente la seguente stratigrafia: - strato superiore di spessore H 1 costituito da argilla avente resistenza al taglio non drenata c u1. - strato inferiore di spessore H 2 costituito da argilla avente resistenza al taglio non drenata c u2. Si assuma: - trascurabile il peso proprio del palo, - che il primo metro di palo non sostenga carico a causa dei fenomeni di ritiro di argilla e calcestruzzo, - come fattore di adesione il valore α = 0,5 Si applichino coefficienti di sicurezza diversi per la capacità portante di base (FS b ) e di aderenza laterale (FS s ), i cui valori sono assegnati. dati D (mm) = 600 H 1 (m) = 8 H 2 (m) = 20 Q (kn) = 1200 c u1 (kpa) = 80 c u2 (kpa) = 120 FS b = 3 FS s = 1.5

345 343 Soluzione Nell'ipotesi che la lunghezza del palo sia maggiore di H 1, la quota del carico di esercizio che può essere sostenuta dal primo strato vale: Q s1 = α c u1 π D (H 1-1) / FS s = 352 kn La quota del carico di esercizio che può essere sostenuta dalla base del palo vale: Q b = π (D 2 /4) c u2 N c / F sb = 102 kn Pertanto la quota del carico di esercizio che deve essere sostenuta per aderenza laterale nel secondo strato, vale: Q s2 = Q - Q s1 - Q b = 746 kn La lunghezza minima del tratto di palo nel secondo strato L 2 vale: L 2 = FS s Q s2 / (α c u2 π D) = 9.9 m Dunque la lunghezza minima richiesta vale: L = H 1 + L 2 = 17.9 m

346 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 18 Aprile Esercizio 1 Con riferimento al diaframma con un ordine di tiranti rappresentato in figura, utilizzando il metodo del supporto libero, determinare: a) la profondità minima di infissione D min, b) la forza F 344 a b F dati: Sabbia densa e ghiaia omogenea φ' = 37 γ = kn/m 3 γ' = 9.68 kn/m 3 H H w a = b = H w = 3 m 1 m 6m D FS = 1.5 da applicare a K p Soluzione a b F A 1 Coefficienti di spinta: K a = 0.25 K p / FS = 2.68 H H w d p A 2 d a R a D R p A 4 A 3 Metodo del supporto libero Risultanti del diagramma di pressione: A 1 = γ K a (a + b) 2 / 2 = A 2 = γ K a (a + b) (H w + D) = D A 3 = γ' K a (H w + D) 2 / 2 = D D 2 R a = A 1 + A 2 + A 3 = D D 2 R p = A 4 = -γ' K p D 2 / 2 = D 2 Quote di applicazione rispetto al punto di ancoraggio: d 1 = (2b - a) / 3 = d 2 = b + (H w + D) / 2 = D d 3 = b + (H w + D) 2 / 3 = D

347 345 d 4 = d p = b + H w + 2D / 3 = D Momenti rispetto al punto di ancoraggio: A 1 d 1 = A 2 d 2 = D D 2 A 3 d 3 = D D D 3 A 4 d 4 = D D 3 Σ(A i d i ) = D D D 3 Σ(A i d i ) = 0 da cui: D min = 4.11 m R a = kn / m R p = kn / m F = kn / m Esercizio 2 Una prova dilatometrica è eseguita in un deposito di argilla. La falda freatica è alla profondità Z w. Alla profondità Z sono misurati i valori di pressione p 0 e p 1. Stimare: a) il coefficiente di spinta a riposo, K 0, DMT ; b) il grado di sovraconsolidazione, OCR DMT ; c) la resistenza al taglio non drenata, c u, DMT ; d) il modulo edometrico, M DMT. dati Z w = 3m p 0 = 280 kpa Z = 8 m p 1 = 350 kpa Soluzione Si assume, in prima approssimazione: peso di volume medio sopra falda: γ = 18.5 kn/m 3 peso di volume immerso: γ' = 9.5 kn/m 3 peso specifico dell'acqua: γ w = 9.8 kn/m 3 da cui: σ' v0 = γ Z w + γ' (Z - Z w ) = 103 kpa pressione verticale efficace u 0 = γ w (Z - Z w ) = 49 kpa pressione interstiziale I D = 0.30 K D = 2.24 E D = 2429 kpa con le equazioni di Marchetti si stima: K 0, DMT = 0.61 OCR DMT = 1.20 c u, DMT = kpa R M = 0.97 M DMT = 2351 kpa Esercizio 3 Uno strato di terreno di riporto di spessore costante e di grande estensione è posto in opera sul deposito di terreno indicato in figura. Calcolare e disegnare il profilo delle pressioni interstiziali al tempo t dalla posa in opera del sovraccarico.

348 346 terreno di riporto strato 1 strato 2 strato 3 dati t = z w = 10 anni 3m terreno di riporto H R = 3.5 m γ R = 19.7 kn/m 3 strato 1 Sabbia limosa (SM) H 1 = 5m γ = 19 kn/m 3 (sopra falda) γ = 19.2 kn/m 3 (sotto falda) strato 2 Argilla N.C. (CH) H 2 = 10 m γ = 14.8 kn/m 3 c v = 3.0E-03 m 2 /giorno C c /(1+e 0 ) = 0.21 C s /(1+e 0 ) = 0.06 strato 3 Limo sabbioso (ML) Soluzione La permeabilità degli strati 1 (SM) e 3 (ML) è molto maggiore della permeabilità dello strato 2 (CH), per cui si può considerare lo strato 2 drenato da entrambi i lati. L'altezza di drenaggio è dunque: H = H 2 /2 = 5m il tempo t, espresso in giorni, è: t = 3650 giorni dopo il tempo t il fattore di tempo vale: T v = c v t / H 2 = l'incremento di tensione verticale è: σ v = γ R H R = kpa La pressione interstiziale prima dell'applicazione del sovraccarico, u p, vale: per z<z w u p = 0 kpa per z>z w u p = γ w (z - z w ) si assume γ w = 9.8 kn/m 3 Per definizione il grado di consolidazione U z (z dr, t) è: U z (z dr, t) = 1 - u e (z dr, t) / u 0 in cui z dr è profondità rispetto al tetto dello strato che consolida: z dr = z - H 1 u e (z dr, t) è l'incremento di pressione interstiziale, e u 0 = σ v è l'incremento al tempo t = 0. Dal grafico che rappresenta le curve (simmetriche) del grado di consolidazione U z in funzione del fattore di tempo, Tv, e di z dr /H, per T v = si stimano i seguenti valori: Z = z dr /H U z Z = z dr /H U z z w H R H 1 H 2 O z

349 347 per cui risulta: z (m) u p (kpa) z dr /H U z u e (kpa) u = u p + u e u p, u e, u (kpa) up (kpa) ue (kpa) u (kpa) z (m)

350 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 5 Settembre Esercizio 1 Una sabbia ha le seguenti caratteristiche fisiche: d 10 = mm d 30 = mm d 60 = mm γ s = 26 kn/m 3 disegnare il grafico del gradiente idraulico critico, i cr, in funzione dell'indice dei vuoti, e. Soluzione i cr = γ' / γ w = γ sat / γ w - 1 e = V v / V s posto V s = 1 e = V v / V s = V v = V w P s = γ s V s = γ s P w = γ w V w = γ w e da cui: γ sat = (P w + P s ) / (V w + V s ) = (γ w e + γ s ) / (1 + e) i cr = [(γ s /γ w ) - 1] / (1 - e) posto: γ w = 9.81 kn/m 3 si ottiene: gradiente idraulico critico, i cr indice dei vuoti, e e γ sat i cr ( kn/m 3 ) Esercizio 2 Un serbatoio cilindrico di raggio R=10m trasmette al terreno di fondazione una pressione uniforme di intensità p alla profondità D=2m dal piano campagna. La falda freatica è alla profondità D. Il sottosuolo è costituito fino a grande profondità da limo sabbioso normalconsolidato saturo. Su un campione di terreno indisturbato, prelevato alla profondità Z 1 =10m da p.c., sono state eseguite prove geotecniche di laboratorio, i cui risultati sono riportati fra i dati. Stimare con il metodo edometrico il cedimento di consolidazione al centro e al bordo del serbatoio.

351 349 dati: Terreno di fondazione Serbatoio risultati di prove di laboratorio eseguite su un campione R = 10 m indisturbato prelevato alla profondità Z 1 da p.c. D = 2 m Z 1 = 10 m p = 80 kpa descrizione: Limo sabbioso 2R peso di volume saturo: γ sat = 18.3 kn/m 3 limiti di Atterberg: w L = 39.6 % w P = 30.4 % p contenuto naturale in acqua: w = 37.1 % peso specifico normalizzato: G s = γ s /γ w = 2.65 indice di compressione: C c = indice di rigonfiamento: C s = Limo sabbioso N.C. saturo D Soluzione pressione litostatica alla profondità del piano di fondazione D: σ v = σ' v = γ sat D = 36.6 kpa pressione netta trasmessa dal serbatoio: q = p - γ sat D = 43.4 kpa peso di volume immerso: γ' = γ sat - γ w = 8.49 kn/m 3 Si assume un sistema di riferimento cilindrico con asse Z verticale e origine alla profondità del piano di fondazione. La variazione della tensione verticale indotta dal carico q in corrispondenza del centro e del bordo del serbatoio è la seguente: centro bordo centro bordo tensione litostatica verticale efficace centro bordo r / R 0 1 Z / R σ v /q Z (m) σ v (kpa) σ' v0 (kpa) σ v /σ' v0 σ v /σ' v Si suddivide il terreno di fondazione in sottostrati e se ne considera il punto medio

352 350 sottostrato centro bordo N da Z (m) a Z (m) Z m (m) H 0 (m) σ' v0 (kpa) σ v (kpa) alla profondità di estrazione del campione: 10 m da piano campagna pari a: 8 m da piano di fondazione la pressione litostatica verticale efficace vale: σ' v10 = 43.4 kpa e l'indice dei vuoti è: e 10 = w G s dunque la curva di compressione vergine ha equazione: e = a - C c log(σ' v ) in cui il coefficiente a vale: e 10 + C c log(σ' v10 ) = Si applica l'equazione per il calcolo del cedimento edometrico sottostrato centro bordo N Z m (m) H 0 (m) e 0 H (cm) Σ H = cm Esercizio 3 In tabella sono riportati i risultati ottenuti in una prova di compressione isotropa su un provino di argilla. Stimare i valori di: λ pendenza della linea di consolidazione normale (NCL) nel piano v : lnp' κ pendenza di una linea di rigonfiamento e ricompressione nel piano v : lnp' Ν volume specifico del terreno NC a p' = 1,0kPa v κ volume specifico del terreno OC a p' = 1,0kPa K' modulo di dilatazione cubica Tabella dei risultati p' (kpa) v

353 351 Soluzione punto N p' (kpa) v ln (p') λ = κ = Ν = v κ = v retta di carico v = -0,1994 ln(p') + 3,2467 retta di scarico v = -0,0498 ln(p') + 2,2137 carico scarico Il modulo di dilatazione cubica K' = p'/ ε v non è una costante ln 4(p') 6 8 da p' (kpa) ε v (%) K' (Mpa) 1 a a a a a

354 352 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 13 Dicembre 2005 Esercizio 1 E' in costruzione un rilevato di altezza H 2 = 6 m su un terreno di fondazione avente le seguenti proprietà geotecniche: c' = 50 kpa φ' = 21 γ = 15.7 kn/m 3 I parametri delle pressioni interstiziali, determinati in laboratorio, sono: A = 0.5 B = 0.9 Quando il rilevato ha raggiunto l'altezza H 1 = 3 m la costruzione viene sospesa per un tempo sufficientemente lungo da permettere la completa dissipazione delle sovra-pressioni interstiziali. Assumendo che la pressione totale orizzontale in ogni punto sia la metà della pressione totale verticale, stimare la resistenza al taglio sul piano orizzontale di fondazione: a) prima della ripresa dei lavori di costruzione del rilevato, b) subito dopo la fine della costruzione del rilevato, c) dopo la fine della costruzione e la completa dissipazioni delle sovrapressioni interstiziali. Soluzione a ) σ v = σ' va = γ H 1 = 47.1 kpa τ = c' + σ' v tanφ' = kpa b ) σ 1 = γ (H 2 - H 1 ) = 47.1 kpa incremento di tensione verticale totale σ 3 = σ 1 /2 = 23.6 kpa incremento di tensione orizzontale totale u = B [ σ 3 + A ( σ 1 - σ 3 )] incremento di pressione interstiziale u = 31.8 kpa σ' vb = σ' va + σ 1 - u = 62.4 kpa τ = c' + σ' vb tanφ' = 74.0 kpa c) σ' vc = σ' va + σ 1 = 94.2 kpa τ = c' + σ' vc tanφ' = 86.2 kpa Esercizio 2 Durante una prova edometrica l'indice dei vuoti di un provino A di terreno decresce dal valore al valore per una variazione di pressione applicata da 122 kpa a 180 kpa. Per la stessa variazione di pressione, l'indice dei vuoti di un altro provino B decresce dal valore al valore Lo spessore del provino A è 1.5 volte quello del provino B. Il tempo necessario per il 50% della consolidazione del provino B è 3 volte maggiore del tempo per il provino A. Determinare il rapporto fra i coefficienti di permeabilità del provino A e del provino B. Soluzione Si indica con: H A lo spessore del provino A H A / H B = 1.5 H B lo spessore del provino B e A l'indice dei vuoti iniziale del provino A e A = e B l'indice dei vuoti iniziale del provino B e B = e A la variazione dell'indice dei vuoti del provino A e A = e B la variazione dell'indice dei vuoti del provino B e B = p A l'incremento di pressione per il provino A p A = 58 p B l'incremento di pressione per il provino B p B = 58 t 50A tempo necessario al 50% della consolidazione per il provino A t 50B tempo necessario al 50% della consolidazione per il provino B t 50B / t 50A = 3

355 353 m va m vb c va c vb k A k B il coefficiente di compressibilità di volume del provino A il coefficiente di compressibilità di volume del provino B il coefficiente di consolidazione del provino A il coefficiente di consolidazione del provino B il coefficiente di permeabilità del provino A il coefficiente di permeabilità del provino B m va /m vb = ( e A / e B ) [(1+e B )/(1+e A )] ( p B / p A ) = c va / c vb = (H A 2 /H B 2 ) (t B /t A ) = 6.75 k A / k B = (m va / m vb ) (c va / c vb ) = 8.74 Esercizio 3 E' eseguita una prova con permeametro a carico variabile su un campione di terreno avente: lunghezza: L = 20 cm area della sezione retta: A = 24 cm 2 L'area della sezione del tubo di adduzione è: a = 2 cm 2 Il campione di terreno è costituito da tre strati. lo strato superiore ha spessore: z 1 = 8cm lo strato intermedio ha spessore: z 2 = 8cm lo strato inferiore ha spessore: z 3 = 4cm il coefficiente di permeabilità dello strato superiore è: k 1 = 2.00E-04 cm / sec il coefficiente di permeabilità dello strato intermedio è: k 2 = 5.00E-04 cm / sec il coefficiente di permeabilità dello strato inferiore è: k 3 = 7.00E-04 cm / sec Stimare il tempo necessario affnché l'altezza di carico passi da: h 1 = 25 cm a h 2 = 12 cm Soluzione Il coefficiente di permeabilità equivalente medio dei tre strati in direzione verticale vale: k v =(z 1 + z 2 + z 3 ) / (z 1 /k 1 + z 2 /k 2 + z 3 /k 3 ) = 3.24E-04 cm / sec invertendo l'equazione: k v = k = 2,3 (al / At) log 10 (h 1 / h 2 ) si ha: t = 2,3 (al / Ak v ) log 10 (h 1 / h 2 ) = 3770 sec = 62.8 min

356 354 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 10 Gennaio 2006 Esercizio 1 Un campione di terreno inorganico ha le seguenti caratteristiche: Apertura w L = 56 % Setaccio ASTM No delle maglie % passante I P = 25 % ( mm ) Classificare il terreno nel sistema HRB (AASHO). Soluzione Il passante al setaccio n. 200 è maggiore del 35%. Calcolo l'indice di gruppo: a = 30 b = 50 c = 16 d = 15 I g = 0,2a + 0,005 ac + 0,01 bd = 15.9 w L - 30 = 26 essendo: il passante al setaccio n. 200 maggiore del 35%. il limite di liquidità non minore del 41% l'indice di plasticità non minore dell'11% l'indice di gruppo non maggiore di 20 l'indice di plasticità minore di w L - 30 il terreno è classificato A-7-5 Esercizio 2 Per costruire una fondazione è scavata una trincea di profondità: H = 4 m e larghezza: B = 2 m Lo scavo è sostenuto da diaframmi di lunghezza: L = 6 m La falda freatica è alla profondità dal piano campagna: Z w = 0.9 m Il fondo scavo è mantenuto asciutto da un sistema di pompe. Il terreno è un deposito omogeneo di sabbia satura avente: e = 0.7 G s = 2.64 Verificare la stabilità al sifonamento fondo scavo B Z w H L Soluzione G s = γ s /γ w = 2.64 γ w = P w /V w = kn/m 3 V v = V w essendo la sabbia satura e = V v /V s = V w /V s = 0.7 γ s = P s /V s = γ w G s = kn/m 3 posto V s = 1 si ha: V v = V w = 0.7 V = V s + V v = 1.7

357 355 P w = P s = P = P s + P w = e quindi: γ = γ sat = kn/m 3 γ' = 9.46 kn/m 3 il gradiente idraulico critico è: i c = γ'/γ w = il gradiente di efflusso è (dal grafico della Figura 4.20b degli appunti): per b = B/2 = 1 m b/d = 0.5 D = L-H = 2 m d/b = 4 d = H = 4 m α = 0.58 h = H-Z w = 3.1 m i E = α h/d = il fattore di sicurezza al sifonamento è: FS = i c / i E = 1.07 Esercizio 3 La costruzione di un edificio è iniziata nel maggio-96 ed è terminata nel maggio-98 Nel maggio-01 è stato misurato un cedimento medio di cm. Il cedimento finale calcolato è di cm circa. Stimare il cedimento medio nel maggio-06 Soluzione Per il calcolo dei cedimenti dopo la fine della costruzione si può assumere che il carico sia stato applicato per intero a metà del periodo di costruzione. Quindi nel maggio-97 Al momento della misura è trascorso un tempo t 1 = 1461 gg ed il grado di consolidazione medio era: U m (t 1 ) = s(t 1 )/s fin = 32.1 % cui corrisponde un fattore tempo: T v (t 1 ) = Nel maggio-06 sarà trascorso un tempo t 2 = 3287 gg dall'applicazione equivalente del carico. Essendo per definizione: c v = T v H 2 /t risulta: T v (t 1 )/t 1 = T v (t 2 )/t 2 da cui: T v (t 2 ) =T v (t 1 ) t 2 /t 1 = cui corrisponde un grado di consolidazione medio U m (t 2 ) = s(t 2 )/s fin = 48.1 % e quindi si prevede un cedimento medio: s(t 2 ) = cm Esercizio 4 Una prova di taglio diretto eseguita su un provino di sabbia ricostituito ha dato i seguenti risultati: forza normale applicata: N = 288 N forza di taglio a rottura: T f = 173 N area della sezione trasversale del provino: A = 36 cm 2 Determinare: a) l'angolo di resistenza al taglio della sabbia, b) il valore e la direzione delle tensioni principali nella zona della rottura. Su un provino della stessa sabbia è eseguita una prova triassiale TxCID con una pressione di confinamento di 60 kpa. Stimare la tensione deviatorica a rottura del provino. Soluzione tensione normale sul piano di rottura: σ = N/A = 8 N/cm 2 = 80 kpa tensione di taglio sul piano di rottura: τ f = T f /A = 4.8 N/cm 2 = 48 kpa poiché per la sabbia è: c' = 0 kpa e la prova è drenata: σ = σ' φ' = arctan(τ f / σ') = 31.0 con riferimento allo schema di figura:

358 356 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 20 Marzo 2006 Esercizio 1 Per la costruzione di un rilevato si deve prelevare il terreno da una cava di prestito. Il peso di volume del terreno indisturbato, in cava, è: γ = 18 kn/m 3 il suo contenuto naturale in acqua è: w = 8 % ed il peso specifico dei costituenti solidi è: γ s = kn/m 3 Il rilevato avrà forma di trapezio, con base maggiore B = 10 m base minore b = 2 m e altezza H = 4 m il terreno del rilevato dovrà avere peso di volume secco γ d,ril = 15 kn/m 3 e contenuto in acqua w ril = 10 % Determinare: a) il volume di terreno da estrarre per metro di lunghezza del rilevato, b) l'indice dei vuoti e il grado di saturazione del terreno in cava, c) l'indice dei vuoti e il grado di saturazione del terreno del rilevato. Soluzione il peso di volume secco del terreno in cava, è: γ d = γ / (1 + w) = kn/m 3 il volume del rilevato per metro di lunghezza è: V = (B + b) H/2 = 24 m 3 / m a) il volume di terreno da scavare è: V sc = V γ d,ril /γ d = 21.6 m 3 / m b) in cava il volume dei solidi è: V s /V = γ d / γ s = il volume dei vuoti è: V v /V = 1 - V s /V = il volume dell'acqua è: V w /V = (V s /V) w γ s /γ w = quindi: e = V v / V s = S r = 100 V w / V v = 37.4 % c) del rilevato il volume dei solidi è: Vs/V = γ dril / γ s = il volume dei vuoti è: V v /V= 1 - V s /V = il volume dell'acqua è: V w /V = (V s /V) w ril γ s /γ w = quindi: e = V v / V s = S r = 100 V w / V v = 35.8 % Esercizio 2 In una prova di consolidazione edometrica un provino di terreno saturo ha altezza iniziale h 0 ed è consolidato con un incremento di pressione verticale p. A equilibrio raggiunto l'altezza del provino risulta h 1. L'incremento di pressione è poi rimosso e il provino rigonfia fino ad un altezza h 2. I contenuto d'acqua in quest'ultimo stato è w 2. La gravità specifica del terreno è G s. Stimare l'indice dei vuoti del terreno iniziale (e 0 ), dopo la consolidazione (e 1 ) e finale (e 2 ). dati h 0 = 3cm p = 200 kpa h 1 = 2.6 cm G s =γ s /γ w = 2.7 h 2 = 2.8 cm w 2 = 24.9 % Soluzione indice dei vuoti finale (dopo il rigonfiamento): e 2 = w 2 Gs = e 2 = w 2 Gs = h w2 /h s = h w2 + h s = h 2 = 2.8 cm da cui: h s = h 2 / (1 + e 2 ) = cm

359 357 h w1 + h s = h 1 = 2.6 cm h w0 + h s = h 0 = cm da cui: h w1 = h 1 - h s = cm h w0 = h 0 - h s = cm e 1 = h w1 /h s = e 0 = h w0 /h s = Esercizio 3 In tabella sono riportati i risultati a rottura di prove triassiali TxUU e TxCID eseguite su provini di un'argilla satura. Le dimensioni dei provini all'inizio della fase di compressione assiale erano: H 0 = 76 mm D 0 = 38 mm Determinare i parametri di resistenza al taglio e la resistenza al taglio non drenata. prova σ 3 (kpa) N f (N) H (mm) V (cm 3 ) TxUU TxUU TxUU TxCID TxCID TxCID N f = carico assiale a rottura Soluzione Sezione retta iniziale di tutti i provini: A 0 = π D 2 0 /4 = mm 2 Volume iniziale di tutti i provini: V 0 = A 0 H 0 = mm 3 Prove TxUU H f = H 0 - H A f = V 0 /H f (σ 1 - σ 3 ) f = N f /A f c u = (σ 1 - σ 3 ) f /2 H f A f (σ 1 - σ 3 ) f c u c u (mm) (mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (kpa) Prove TxCID H f = H 0 - H (σ 1 - σ 3 ) f = N f /A f dalla retta di regressione: V f = V 0 - V σ' 3 = σ 3 t = a' + s' tanα A f = V f /H f σ' 1f = σ 1f = (σ 1 - σ 3 ) f + σ 3 φ' = arcsen(tanα) t f = (σ 1 - σ 3 ) f / 2 c' = a' / cosφ' s' f = (σ' 1 + σ' 3 ) f / 2 H f V f A f (σ 1 - σ 3 ) f σ' 3 σ' 1 t f s' f (mm) (mm 3 ) (mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) (N/mm 2 ) tanα = a' = kpa φ' = 26.3 c' = 19.0 kpa c u = 84.5 kpa

360 t = 0,4434s' + 16,987 R 2 = 0, t (kpa) s' (kpa)

361 359 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 26 giugno 2006 Esercizio 1 E' eseguita una prova di emungimento per la determinazione sperimentale del coefficiente di permeabilità in sito di un acquifero non confinato. Il pozzo di prova, attraversa l'intero spessore dello strato acquifero e si immorsa in uno strato di base pressoché impermeabile. Il diametro del pozzo è: d = 2r 0 = 40 cm l'altezza della falda dallo strato di base è: H = 8 m la portata emunta a regime è: q = 4 m 3 / min. l'abbassamento del livello dell'acqua nel pozzo a regime è: D 0 = 4.5 m il raggio di influenza osservato è: R i = 150 m Stimare il coefficiente di permeabilità del terreno. Soluzione Si applica l'equazione: k = q / [π (H 2 - h 2 0 )] ln(r i /r 0 ) ma, essendh 0 = H - D 0 si può scrivere: k = q / [π D 0 (2H - D 0 )] ln(ri/r 0 ) q = 4 m 3 / min = 6.67E-02 m 3 / sec r 0 = 0.2 m da cui: k = 2.71E-03 m / sec = m /min Esercizio 2 In un deposito di argilla consistente satura è eseguito un grande scavo di sbancamento. Il peso di volume dell'argilla è: γ = 17.3 kn/m 3 Quando la profondità di scavo raggiunge il valore d = 7.5 m compaiono delle fratture dalle quali fuoriesce sabbia e acqua. Perforazioni di sondaggio, eseguite successivamente, rivelano che lo strato di argilla ha spessore H = 11 m, e sovrasta uno strato di sabbia. Quale era la profondità Z w del piano di falda da p.c. prima delle operazioni di sbancamento? Soluzione Lo scavo di sbancamento determina un gradiente idraulico fra il tetto dello strato di sabbia e il fondo dello scavo, e conseguentemente un moto di filtrazione ascendente. A causa della bassa permeabilità dell'argilla la condizione di flusso stazionario richiede un tempo molto lungo, ed è quindi necessario considerare la condizione a breve termine (non drenata). Il fondo scavo è stabile finché la pressione dell'acqua al tetto dello strato di sabbia è inferiore alla pressione verticale totale. Il fenomeno osservato denuncia la condizione di equilibrio B limite. Pertanto: Z σ w v = γ (H - d) u = γ w (H - Z w ) σ v = u da cui: Z w = H - (γ/γ w ) (H - d) = 4.83 m H Esercizio 3 L Stimare il cedimento edometrico e i tempi t 20 e t 80 di uno strato di argilla N.C. drenato da un solo lato conseguenti all'applicazione di un sovraccarico verticale uniforme. dati altezza dello strato H = 3 m coefficiente di permeabilità dell'argilla N.C. k = 4.70E-10 m/sec coefficiente di compressibilità di volume m v = 1.25E-04 m 2 /kn intensità del sovraccarico p = 250 kpa Soluzione cedimento edometrico H = m v H p = m coefficiente di consolidazione c v = k / (γ w m v ) = 3.83E-07 m 2 /sec fattore di tempo per: U m = 20 % T v =

362 360 t 20 = H 2 T v /c v = U m = 80 % T v = t 80 = H 2 T v /c v = 8.6 giorni giorni Esercizio 4 Un'argilla sovraconsolidata ha coesione c' = 80 kpa ed angolo di resistenza al taglio φ' = 20. Se un provino indisturbato di tale argilla è sottoposto a prova triassiale TxCID con pressione di confinamento σ' c = 100 kpa, quale sarà la tensione deviatorica a rottura? Quale l'inclinazione del piano di rottura rispetto all'asse del provino? Soluzione σ' 3 = σ' c = 100 kpa φ' = 20 = rad K P = (1+senφ')/(1-senφ') = σ' 1f = K P σ' 3 + 2c' K 0,5 P = 432 kpa (σ' 1 - σ' 3 ) f = 332 kpa θ = φ'/ = 55 inclinazione del piano di rottura rispetto al piano orizzontale 90 - θ = 35 inclinazione del piano di rottura rispetto all'asse del provino.

363 361 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 10 luglio 2006 Esercizio 1 E' eseguita una prova triassiale TxCID su un provino di sabbia. La pressione di confinamento è: σ' 3 = 100 kpa A rottura il rapporto tra le tensioni principali è: (σ' 1 /σ' 3 ) f = 4 Determinare l'angolo di resistenza al taglio della sabbia e la tensione deviatorica a rottura. Soluzione σ' 3 = 100 kpa σ' 1f = 400 kpa (σ' 1 - σ' 3 ) f = 300 kpa φ' = arcsen[(σ' 1 - σ' 3 )/(σ' 1 + σ' 3 )] = 36.9 Esercizio 2 Stimare i coefficienti di permeabilità equivalenti medi in direzione orizzontale e in direzione verticale di due strati di terreno aventi eguale spessorez 1 = z 2 = 150 cm. Su un campione di terreno di ciascuno dei due strati è eseguita una prova di permeabilità a carico variabile. Il permeametro ha le seguenti caratteristiche: lunghezza del campione: L = 5 cm area della sezione retta: A = 28 cm 2 area della sezione del tubo di adduzione è: a = 4 cm 2 altezza di carico iniziale: h 0 = 100 cm altezza di carico finale: h 1 = 20 cm Il tempo misurato nelle prove sui due campioni è rispettivamente: t 1 = 500 sec t 2 = 15 sec Soluzione Si applica l'equazione: k = 2,3 (al / At) log 10 (h 0 / h 1 ) da cui: k 1 = 2.30E-03 cm/sec k 2 = 7.66E-02 cm/sec k h = (k 1 z 1 + k 2 z 2 ) / (z 1 + z 2 ) = 3.94E-02 cm/sec k v =(z 1 + z 2 ) / (z 1 /k 1 + z 2 /k 2 ) = 4.46E-03 cm/sec Esercizio 3 Determinare le tensioni verticali indotte dal rilevato di forma di trapezia indicato in figura nei punti P 0, P 1, P 2 e P 3 alla profondità z dal piano di fondazione. h z 2a' 2a x dati 2a = 12 m 2a' = 6 m h = 3 m γ = 19 kn/m 3 z = 3 m x 0 = 0m x 1 = 1.5 m x 2 = 4.5 m x 3 = 7.5 m P 0 P 1 P 2 P 3

364 362 Soluzione La pressione massima trasmessa in superficie dal rilevato vale: q = γ h = 57 kpa Per la determinazione della pressione verticale indotta nel punto P 0 si può utilizzare la formula: 2 q a a' σ z( x = 0 ) = ( ) a arctan a' arctan a a' π z z da cui: σ z (P 0 ) = kpa Per la determinazione della pressione verticale indotta nei punti P 1, P 2 e P 3, si deve invece procedere per sovrapposizione di effetti, considerando i contributi del carico rettangolare e dei due carichi triangolari. q Per il carico rettangolare si utilizza la relazione: σ z = [ α + senα cos( α + 2 β) ] π Per i carichi triangolari si utilizza la relazione: q x 1 σ z = α sen 2β π B 2 q / π = kpa carico rettangolare (α + β) = arctan[(x + a')/z] β = arctan[(x - a')/z] Punto x α + β α β σ z (kpa) P P P carico triangolare sinistro B = (a - a') = 3 m x = x i + a (α + β) = arctan(x/z) β = arctan[(x - B)/z] Punto x α + β α β σ z (kpa) P P P carico triangolare destro B = (a - a') = 3 m x = -x i + a (α + β) = arctan(x/z) β = arctan[(x - B)/z] Punto x α + β α β σ z (kpa) P P P Complessivamente: Punto x (m) σ z (kpa) P P P P

365 363 Esercizio 4 Determinare il valore del gradiente idraulico critico per i seguenti materiali: a) Ghiaia grossa b) Limo sabbioso k = 10 cm/sec k = 1.0E-06 cm/sec G s = 2.67 G s = 2.67 e = 0.65 e = 0.80 Soluzione i c = γ'/γ w = (G s - 1)/(1 + e) per cui: a) i c = 1.01 b) i c = 0.93

366 364 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 6 settembre 2006 Esercizio 1 Classificare nel sistema USCS i terreni A, B, C, e D. Composizione granulometrica d A B C D ( mm ) % passante Limiti di Atterberg w L (%) w P (%) Soluzione x y argilla limo limo sabbia ghiaia sabbia fine sabbia media sabbia grossa ghiaia % passante diametro (mm) A B C D Coefficienti di uniformità U e di curvatura C Terreno D 10 (mm) D 30 (mm) D 60 (mm) U C A B C Terreno A La frazione di ghiaia è più del 50%, la frazione di fine è meno del 5%, U>4, 1<C<3. Ghiaia sabbiosa ben gradata GW Terreno B La frazione di sabbia è del 96%, la frazione di fine è meno del 5%, U=1,8, C<1.

367 365 Sabbia poco gradata SP Terreno C La frazione grossa è più del 66%, la frazione di fine è meno del 34%. Il terreno non è plastico. U è molto alto ma C è solo 0,135. Miscela di ghiaia, sabbia e limo GM Terreno D La frazione fine è del 95%, e la frazione di argilla è il 31%. Nella carta di plasticità il punto cade sopra la linea A nella zona CL. Argilla limosa di bassa plasticità CL Esercizio 2 Utilizzando il modello CCM determinare e disegnare per due provini eguali di argilla debolmente sovraconsolidata aventi le seguenti caratteristiche e stato iniziale: Μ = 1.02 p' c = 200 kpa Γ = 3.17 p' 0 = 100 kpa λ = 0.2 q 0 = 0 kpa Ν = 3.32 κ = la linea NCL 2. la linea CSL 3. la linea URL dello stato iniziale 4. la curva di plasticizzazione iniziale (CP 0 ) 5. lo stato iniziale dei provini 6. lo stato del provino al termine della fase elastica in prova TxCID 7. lo stato del provino a rottura in prova TxCID 8. il percorso ESP in prova TxCID nel piano p'-q e nel piano p'-v (qualitativo) 9. la pressione di consolidazione a rottura in prova TxCID 10. la curva di plasticizzazione a rottura in prova TxCID 11. lo stato del provino al termine della fase elastica in prova TxCIU 12. lo stato del provino a rottura in prova TxCIU 13. il percorso ESP in prova TxCIU nel piano p'-q e nel piano p'-v (qualitativo) 14. la pressione di consolidazione a rottura in prova TxCIU 15. la curva di plasticizzazione a rottura in prova TxCIU Soluzione 1. La linea NCL ha equazione: q = 0 v = Ν - λ lnp' Ν = 3.32 λ = La linea CSL ha equazione: q = Μ p' Μ = 1.02 v = Γ - λ lnp' Γ = La linea URL dello stato iniziale ha equazione: q = 0 v κ = Ν - (λ κ) lnp' c = v = v κ - κ lnp' κ = La curva di plasticizzazione iniziale (CP 0 ) ha equazione: (p') 2 - p' p' c + (q/μ) 2 = 0 p' c = 200 kpa 5. Lo stato iniziale dei provini è: p' 0 = 100 kpa q 0 = 0 kpa v 0 = v κ - κ lnp' 0 = Lo stato del provino al termine della fase elastica in prova TxCID è:

368 p' P = kpa a p' P 2 + b p' P + c = 0 q P = 3 (p' P - p 0 ) = kpa a = 1 + 9/M 2 = v P = v κ - κ lnp' P = b = -(p c + 18p' 0 /Μ 2 ) = Lo stato del provino a rottura in prova TxCID è: p' F = 3p' 0 / (3 - Μ) = kpa q F = Μ p' F = kpa v F = Γ - λ lnp' F = Il percorso ESP in prova TxCID nel piano p'-q e nel piano p'-v nel piano p'-q q = 3 (p' - p 0 ) c = 9 (p' 0 /Μ) 2 = nel piano p'-v in fase elastica: v = v κ - κ lnp' in fase elasto-plastica: dal punto P al punto F ESP TxCID p' (kpa) q (kpa) v O P F La pressione di consolidazione a rottura in prova TxCID è: p' cf = (p' 2 F + q 2 F /M 2 ) / p' F = kpa 10. La curva di plasticizzazione a rottura in prova TxCID ha equazione: (p') 2 - p' p' F + (q/μ) 2 = 0 p' F = kpa 366 prova TxCID CP0 CPF CSL ESP q (kpa) p' (kpa)

369 367 prova TxCID 3 NCL CSL URLo ESP TxCID v p' (kpa) 11. Lo stato del provino al termine della fase elastica in prova TxCIU p' P = p' 0 = kpa q P =Μ(p' P p' c -p' P 2 ) 0,5 = kpa v P = v 0 = Lo stato del provino a rottura in prova TxCIU p' F =exp[(γ - v F ) / λ]= kpa q F = Μ p' F = kpa v F = v 0 = Il percorso ESP in prova TxCIU nel piano p'-q e nel piano p'-v Il percorso è a volune costante. Nella prima fase, da O a P, anche a pressione media efficace costante. ESP TxCIU p' (kpa) q (kpa) v O P F La pressione di consolidazione a rottura in prova TxCIU è: p' cf = (p' F 2 + q F 2 /M 2 ) / p' F = kpa 15. La curva di plasticizzazione a rottura in prova TxCIU ha equazione: (p') 2 - p' p' F + (q/μ) 2 = 0 p' F = kpa

370 368 prova TxCIU CP0 CPF CSL ESP q (kpa) p' (kpa) prova TxCIU 3 NCL CSL URLo ESP TxCIU v p' (kpa)

371 369 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 18 dicembre 2006 Esercizio 1 E' eseguita una prova di pompaggio per la determinazione sperimentale del coefficiente di permeabilità in sito di un acquifero non confinato, costituito da uno strato di sabbia e ghiaia, di spessore H = 15.2 m, sovrastante uno strato di argilla. Il livello statico della falda coincide con il piano campagna. Vi sono due pozzi di osservazione, distanti rispettivamente dal pozzo di emungimento: r 1 = 3.05 m e r 2 = 7.6 m. Dopo 24 ore di pompaggio è raggiunta la condizione di regime con portata q = m 3 /min. L'abbassamento del livello dell'acqua nei due pozzi di osservazione è rispettivamente: h 1 = 1.68 m e h 2 = 0.37 m. Stimare il coefficiente di permeabilità del terreno. Soluzione Si applica l'equazione: k = q / [π (h h 2 1 )] ln(r 2 /r 1 ) q = m 3 /min = 3.59E-01 m 3 / sec h 1 = H - h 1 = m h 2 = H - h 2 = m da cui: k = 2.81E-03 m / sec Esercizio 2 Tre provini di argilla satura sono sottoposti a prova TxCIU, i cui risultati sono riportati in tabella. Determinare i parametri di resistenza al taglio. σ 3 (σ 1 - σ 3 ) f u f ( kpa ) ( kpa ) ( kpa ) Soluzione σ 1f = (σ 1 - σ 3 ) f + σ 3 σ 1f σ' 1f σ' 3 t f s' f σ' 1f = σ 1f - u f ( kpa ) ( kpa ) ( kpa ) ( kpa ) ( kpa ) σ' 3 = σ 3 - u f t f = (σ 1 - σ 3 ) f / s' f = (σ' 1 + σ' 3 ) f / dalla retta di regressione: t = a' + s' tanα tanα = a' = φ' = arcsen(tanα) = 29.8 c' = a' / cosφ' = 15.5 kpa t = 0,4968 s' + 13,431 R 2 = 1 t (kpa) s' (kpa)

372 370 Esercizio 3 Determinare la profondità di infissione corrispondente ad un fattore di sicurezza FS=2 applicato al coefficiente di spinta passiva, e la forza nei tiranti di ancoraggio del diaframma in c.a. rappresentato in figura. Il livello dell'acqua libera a valle coincide con il livello di falda a monte. a tirante H terreno di riporto dati geometrici: H = 8 m a = 1.5 m i = 2.5 m i = interasse fra i tiranti H w = 3m H w acqua d terreno naturale di fondazione dati geotecnici: terreno naturale di fondazione γ sat = 21 kn/m 3 c' = 10 kpa φ' = 27 terreno di riporto γ sat = 20 kn/m 3 sopra falda γ = 17 kn/m 3 c' = 0 kpa φ' = 35 FS = 2 Soluzione per il terreno di riporto: φ' = 35 = rad K A = γ' = kn/m 3 per il terreno naturale di fondazione: φ' = 27 = rad K A = K P = γ' = kn/m 3 Lo schema della distribuzione delle pressioni esercitate dal terreno è mostrato in figura. Le spinte dell'acqua si bilanciano (condizione idrostatica). a T 1 H H w d 6 4 5

373 371 Forze (F), bracci (b) e momenti (M) rispetto al punto di ancoraggio, a metro lineare di struttura: 1 F1 = 0,5 x 0,271 x 17 x (8-3) 2 = kn/m b1 = (8-3) x 2/3-1,5 = 1.83 m M1 = F1 x b1 = kn m/m 2 F2 = 0,271 x 17 x (8-3) x 3 = kn/m b2 = (8-3) x 3/2-1,5 = 5 m M2 = F2 x b2 = kn m/m 3 F3 = 0,5 x 0,271 x 10,19 x 3 2 = kn/m b3 = 8-3/3-1,5 = 5.5 m M3 = F3 x b3 = kn m/m 4 F4 = 0,376 x [17 x (8-3) + 10,19 x 3] x d = d kn/m b4 = 8-1,5 + 0,5 x d = ,5d m M4 = F4 x b4 = d d 2 kn m/m 5 F5 = 0,5 x 0,376 x 11,19 x d 2 = d 2 kn/m b5 = 8-1,5 + 2/3 d = ,667d m M5 = F5 x b5 = d d 3 kn m/m 6 F6 = - 2 x 10 x 0,376 0,5 x d = d kn/m b6 = 8-1,5 + 0,5 d = ,5d m M6 = F6 x b6 = d d 2 kn m/m 7 F7 = -0,5 x 11,19 x (2,663/2) x d 2 = d 2 kn/m b7 = 8-1,5 + 2/3 d = ,667d m M7 = F7 x b7 = d d 3 kn m/m 8 F8 = -2 x 10 x (2,663/2) 0,5 d = d kn/m b8 = 8-1,5 + 0,5d = ,5 d m M8 = F8 x b8 = d d 2 kn m/m Equazione di equilibrio alla rotazione rispetto al punto di ancoraggio: ΣM = d d d = 0 da cui: d = 4.02 m F1 = kn/m F2 = kn/m F3 = kn/m F4 = kn/m F5 = kn/m F6 = kn/m F7 = kn/m F8 = kn/m ΣF = kn/m Equazione di equilibrio alla traslazione orizzontale: ΣF + T = 0 da cui T = kn/m La forza nei tiranti di ancoraggio vale: t = - T i = kn Si prevede una profondità di infissione D = 1,2 d = 4.8 m

374 372 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 9 gennaio 2007 Esercizio 1 Deve essere costruito un rilevato molto esteso che trasmette al terreno di fondazione una pressione verticale uniforme q = 65 kpa. Il terreno di fondazione è costituito da uno strato di argilla di spessore H = 10 m, sovrastante un bedrock rigido e impermeabile. L'argilla ha coefficiente di compressibilità di volume medio m v = 0,25 m 2 /MN, coefficiente di consolidazione verticale medio c v = 4,7 m 2 /anno e coefficiente di consolidazione orizzontale medio c h = 7,9 m 2 /anno. E' richiesto che il cedimento di consolidazione residuo dopo 6 mesi dalla costruzione del rilevato non sia superiore a 25 mm. Per raggiungere tale obiettivo si decide di utilizzare pali di sabbia di diametro 400 mm, con funzione di dreni verticali, disposti con maglia quadrata. Calcolare l'interasse dei dreni. Soluzione dati q = 65 kpa t = 6 mesi = 0.5 anni H = 10 m d w = 400 mm = 0.4 m m v = 0.25 m 2 /MN s (t) = 25 mm c v = 4.7 m 2 /anno c h = 7.9 m 2 /anno s fin = m v H q = mm s(t) = s fin - s(t) = mm U(t) = 100 s(t)/s fin = 84.6 % T v = c v t / H 2 = da cui U v (T v ) = 17.3 % U(%) = (1 - U v )(1 - U r )/100 da cui U r (t) = 81.4 % 2 T r = c h t / d e n = d e / d w F = ln(n) - 0,75 U r (%) = 100[1 - exp(-8t r /F)] da cui: T r / F = - (1/8) ln(1 - U r /100) = d e = 3.6 m soluzione per tentativi T r = n = 9 F = T r /F = i = d e π 0,5 / 2 = 3.2 m Esercizio 2 Determinare la larghezza B di una fondazione nastriforme che deve sostenere un carico massimo verticale totale di 800 kn/m. Il piano di posa della fondazione è alla profondità di 0,7m da p.c. Il terreno di fondazione è una sabbia ghiaiosa con angolo di resistenza al taglio φ' = 40 La falda freatica è alla profondità del piano di fondazione. Il peso di volume medio del terreno sopra falda è 17 kn/m 3 e sotto falda 20 kn/m 3. Il fattore di sicurezza richiesto è FS = 3. Soluzione dati Q = 800 kn/m φ' = 40 = rad D = D w = 0.7 m γ = 17 kn/m 3 FS = 3 γ sat = 20 kn/m 3 q = γ D = 11.9 kpa γ' = γ sat - γ w = kn/m 3

375 373 q amm = Q/B = (q lim - q)/fs + q q lim = q N q + 0,5 γ' B N γ N q = N γ = si ottiene un'equazione di secondo grado nell'incognita B: ab 2 + bb + c = 0 in cui: a = 0,5 γ' N γ = b = q (N q FS) = c = -Q FS = da cui: B = 1.50 m q lim = q amm = Q/B = 1575 kpa 533 kpa 533 kpa Esercizio 3 Deve essere eseguito uno scavo di altezza 9 m in un'argilla satura avente peso di volume 19 kn/m 3 e resistenza al taglio non drenata 30 kpa. Alla profondità di 11 m da p.c. è presente un substrato rigido. Determinare per quale angolo di pendio si verifica la condizione di rottura e a quale angolo di pendio corrisponde un fattore di sicurezza 1,2. Soluzione Si utilizza la carta di Taylor. H = 9 m N s = (FS γ H) /c u H 1 = 11 m c u = 30 kpa n d = H 1 /H = 1.22 γ = 19 kn/m 3 FS = 1 FS = 1.2 N s = 5.7 N s = 6.84 β = 50 β = 27

376 374 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 27 marzo 2007 Esercizio 1 In una prova edometrica su un provino di argilla satura (G s = 2,72) la pressione applicata è incrementata da 107 a 214 kpa. Le letture al micrometro comparatore durante la consolidazione sono riportate in tabella. Dopo 1440 min. lo spessore del provino era 15,30 mm ed il contenuto in acqua 23,2%. tempo letture Determinare i valori del coefficiente di consolidazione con i metodi (min) (mm) di Taylor e di Casagrande, del coefficiente di compressibilità di volume, del modulo edometrico, del coefficiente di compressibilità e del coefficiente di permeabilità Esercizio 2 Durante una prova di compressione isotropa di un campione di argilla si sono ottenuti i seguenti valori: p' (kpa) V (mm 3 ) I parametri fisici del terreno sono i seguenti: γ s = kn/m 3 peso specifico dei costituenti solidi γ = 18.6 kn/m 3 peso di volume saturo iniziale w = 34 % contenuto in acqua iniziale V = mm 3 volume iniziale del provino 1. Disegnare la curva v-lnp'. 2. Calcolare i parametri λ, κ, e Ν. 3. Determinare le variazioni del modulo di compressione cubica, K, con la pressione media efficace, p'. Esercizio 3 Stimare la capacità portante a breve e a lungo termine per carico verticale centrato di una fondazione rettangolare di dimensioni 2m x 4m, con piano di fondazione a profondità 1m da p.c., su argilla N.C. satura omogenea avente peso di volume γ = 20kN/m 3, resistenza al taglio non drenata c u = 24kPa, e angolo di resistenza al taglio φ' = 25. La falda freatica è alla profondità di 5m da p.c.

377 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 16 Aprile Esercizio 1 Un provino di argilla satura per prova edometrica ha peso P = N, peso secco P s = N e peso specifico dei costituenti solidi γ s = 26.5 kn/m 3. Determinare: a) il contenuto in acqua, b) l'indice dei vuoti, c) la porosità, d) il peso di volume. Esercizio 2 E' eseguita una prova di pompaggio per la determinazione sperimentale del coefficiente di permeabilità in sito di un acquifero confinato, costituito da uno strato di sabbia compreso tra due strati di argilla. Lo spessore dello strato di sabbia è: H 0 = 4m La portata emunta a regime è: q = 90 lt / ora Vi sono due pozzi di osservazione, distanti rispettivamente dal pozzo di emungimento: r 1 = 3m r 2 = 6m in cui il livello dell'acqua ha altezza, rispetto al tetto dello strato di sabbia, rispettivamente: h 1 = 2.1 m h 2 = 2.7 m Stimare il coefficiente di permeabilità della sabbia. Esercizio 3 Un provino di argilla NC saturo è sottoposto a prova TxCIU. La pressione di cella è: σ c = 150 kpa La tensione deviatorica a rottura è: (σ 1 - σ 3 ) f = 100 kpa La pressione interstiziale a rottura è: u f = 80 kpa Determinare: a) le tensioni principali a rottura, b) i parametri di resistenza al taglio dell'argilla, c) l'angolo che il piano di rottura forma con il piano orizzontale. Esercizio 4 Carico verticale concentrato in superficie su terreno alla Boussinesq. Calcolare e disegnare la curva isobara per un assegnato valore della tensione verticale indotta. dati P = 1000 kn σ z = 40 kpa Esercizio 5 Per costruire una fondazione è scavata una trincea di profondità: H = 4 m e larghezza: B = 2 m Lo scavo è sostenuto da diaframmi di lunghezza: L = 6 m La falda freatica è alla profondità dal piano campagna: Z w = 0.9 m Il fondo scavo è mantenuto asciutto da un sistema di pompe. Il terreno è un deposito omogeneo di sabbia satura avente: e = 0.7 G s = 2.64 Verificare la stabilità al sifonamento fondo scavo B Z w H L

378 376

379 377 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 26 Giugno 2007 Esercizio 1 Un'argilla satura è caratterizzata dai seguenti parametri di stato critico: Γ = 3.16 Μ = 0.94 λ = 0.2 Ν = 3.25 κ = I provini A1 e A2 sono consolidati isotropicamente alla pressione: p' c (A) = 400 kpa Il provino A1 è portato a rottura in prova TxCIU, il provino A2 in prova TxCID. I provini B1 e B2 sono consolidati isotropicamente alla pressione: p' c (B) = 863 kpa quindi sono scaricati fino alla pressione: p' 0 (B) = 40 kpa Il provino B1 è portato a rottura in prova TxCIU, il provino B2 in prova TxCID. Determinare lo stato di tensione ed il volume specifico allo stato critico dei quattro provini. Esercizio 2 Utilizzando il metodo semplificato (D = 1,2d) ed un coefficiente di sicurezza FS = 2 applicato alla spinta passiva, determinare la profondità di infissione e il momento flettente massimo della palancola di Figura. dati: h = 2.5 m Zw h Zw = 1 m φ' = 30 γ = γ sat = 18 kn/m 3 D γ w = 10 kn/m 3

380 378 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 10 Luglio 2007 Esercizio 1 Stimare il cedimento di consolidazione edometrico della fondazione in Figura. B x L p Sabbia γ = 16,5 kn/m 3 Sabbia γ sat = 17,8 kn/m 3 D Z w Η 1 dati: B = L = D = Z w = H 1 = H 2 = p = 1.5 m 3 m 1 m 2.5 m 4m 3m 170 kpa Argilla N.C. γ sat = 18,2 kn/m 3 e 0 = 0,92 C c = 0,27 Η 2 Sabbia Esercizio 2 In un pendio indefinito di terreno omogeneo in assenza di falda, deve essere realizzato uno scavo per la costruzione di una strada in trincea, secondo lo schema di Figura. Nell'ipotesi di superfici di scorrimento piane, verificare come varia il fattore di sicurezza al variare dell'inclinazione del piano di scorrimento considerato. i H β B dati γ = 18 kn/m 3 B = 6 m c' = 10 kpa H = 6 m φ' = 25 tan i = 0.25 tan β = 1.5

381 379 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 11 Settembre 2007 Esercizio 1 Tre provini di argilla N.C. satura, di dimensioni: D = 3.84 cm H = 2D = 7.68 cm con contenuto naturale in acqua: w = 42.9 % e peso specifico dei costituenti solidi: γ s = 26 kn/m 3 sono sottoposti a prova TxCID. I risultati delle prove sono i seguenti: Provino No Pressione di cella, σ' kpa Tensione deviatorica a rottura, (σ 1 - σ 3 ) f kpa Variazione di volume a fine consolidazione, Vc cm 3 Variazione di volume a rottura Vf cm 3 Determinare: a) i parametri di resistenza al taglio, utilizzando il criterio di rottura di Mohr-Coulomb, b) i parametri di stato critico Ν, λ, Γ e Μ. Esercizio 2 Uno strato di argilla è compreso tra due strati di sabbia, come da Figura. La falda freatica è a p.c. Un piezometro P nello strato di sabbia inferiore indica un'altezza d'acqua a quota +4m da p.c. 1. Calcolare le pressioni verticali totale ed efficace e la pressione interstiziale a metà dello strato di argilla. In seguito ad emungimento il piezometro P indica un'altezza d'acqua a quota -2m da p.c. 2. Calcolare le pressioni verticali totale ed efficace e la pressione interstiziale a metà dello strato di argilla. Successivamente sul terreno è posta una piastra in c.a. del peso di 40 kpa. 3. Calcolare le pressioni verticali totale ed efficace e la pressione interstiziale a metà dello strato di P 4 m 4 m 2m dati: Sabbia: γ sat = 20 kn/m 3 Argilla: γ sat = 18 kn/m 3 Acqua: γ w = 10 kn/m 3 8 m Esercizio 3 E' eseguita una prova di carico di progetto su un palo trivellato di diametro 80cm e lunghezza 23,5m. In tabella sono indicati i valori misurati del cedimento della testa del palo in funzione del carico applicato. Stimare la capacità portante con i diversi metodi disponibili. Q (MN) w (mm) Q (MN) w (mm) Q (MN) w (mm)

382 380 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 12 Dicembre 2007 Esercizio 1 Uno strato di argilla di spessore 4 m, drenato da entrambi i lati, è soggetto ad un incremento di tensione media verticale efficace da 185 a 310 kpa. Per tale incremento di tensione si può assumere: m v = 2,5E-04 m 2 /kn c v = 0,75 m 2 /anno Determinare: a) il cedimento finale di consolidazione edometrica, b) il cedimento dopo un anno dall'applicazione dell'incremento di carico, c) il tempo (in giorni) corrispondente ad un grado di consolidazione medio del 50%, d) il tempo (in giorni) perché si determini un cedimento di 25 mm. Esercizio 2 La resistenza a compressione semplice di un provino di argilla satura è q u = 126,6 kpa. L'argilla ha coesione c' = 25 kpa e angolo di resistenza al taglio φ' = 30. Stimare la pressione dei pori iniziale nel provino, assumendo che il parametro A di Skempton sia A = -0,09. Esercizio 3 Una fondazione rettangolare di dimensioni 2 x 20 m, posta sulla superficie di un deposito di sabbia con peso di volume medio 18 kn/m 3, trasmette al terreno una pressione verticale uniforme di 180 kpa. La resistenza media di punta cresce con la profondità secondo la relazione: q c (kpa) = 160 z(m) Stimare il cedimento atteso utilizzando il metodo di Schmertmann. Si trascuri il cedimento viscoso.

383 k = 2 π Q b ( h 2 r 1 h 1 ) 381 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 8 Gennaio 2008 Esercizio 1 E' eseguita una prova di pompaggio in un acquifero confinato di spessore 50 m. La portata emunta in regime di flusso stazionario è di 600 lt/min. Lo spessore dello strato di terreno poco permeabile sovrastante l'acquifero è di 20 m e corrisponde al primo strato di terreno da piano campagna. Il livello piezometrico originale è a 2 m da piano campagna. Nei due pozzi di osservazione, situati a distanza di 50 e di 100 m dal pozzo principale, il livello piezometrico si abbassa a regime rispettivamente di 3 e di 1 m. Calcolare il coefficiente di permeabilità dell'acquifero. Esercizio 2 I valori dei parametri di stato critico di un'argilla sono i seguenti: Ν = 2,1 λ = 0,087 Γ = 2,05 Μ = 0,95 Due provini sono isotropicamente consolidati alla pressione di 300 kpa. Uno dei due è sottoposto a prova TxCID e l'altro a prova TxCIU. Stimare: a) la tensione deviatorica allo stato critico per entrambi i provini, b) la pressione interstiziale allo stato critico per il provino sottoposto a prova TxCIU, c) la deformazione volumetrica allo stato critico per il provino sottoposto a prova TxCID. Esercizio 3 Un deposito di terreno a superficie piana orizzontale è costituito da un primo strato di sabbia di spessore H s = 3 m e da un sottostante strato di argilla normalconsolidata di spessore H a = 5 m che poggia su un bedrock impermeabile. Sul piano campagna è applicato un carico verticale uniforme e infinitamente esteso di intensità q = 200 kpa. Il livello piezometrico è alla profondità Z w = 1,5 m da p.c. La sabbia ha peso di volume totale medio (sopra e sotto falda) γ sab = 18,7 kn/m 3. L'argilla ha peso di volume γ a = 19,5 kn/m 3, indice dei vuoti iniziale e 0 = 0,8, indice di compressione C c = 0,332, coefficiente di consolidazione verticale c v = 2 m 2 /anno e coefficiente di consolidazione orizzontale c h = 4 m 2 /anno. Stimare: a) il cedimento finale dello strato di argilla, b) il cedimento dopo 18 mesi dall'applicazione del carico in superficie, Per accelerare il decorso dei cedimenti nel tempo si vogliono mettere in opera dreni verticali disposti secondo una maglia quadrata. Si vuole che il grado di consolidazione sia del 95% entro 1,5 anni. I dreni prescelti dono dreni in sabbia di diametro d w = 30 cm. Determinare il lato L della maglia quadrata.

384 382 Prova scritta di Geotecnica (P.O.) del 27 Marzo 2008 Esercizio 1 I parametri di stato critico di un'argilla sono i seguenti: Ν = 2,1 λ = 0,095 Μ = 0,857 Γ = 2,05 κ = 0,045 Alcuni provini di terreno sono consolidati isotropicamente e scaricati fino ad ottenere un indice dei vuoti iniziale e 0 = 0,62 a) Determinare il rapporto di sovraconsolidazione isotropa minimo (R 0,min) al di sotto del quale in prova TxCIU la sovrapressione interstiziale allo stato critico risulta negativa b) Stimare la deformazione volumetrica allo stato critico in prova TxCID per tre provini aventi rispettivamente: R 0,1 = 1 R 0,2 = R 0,min e R 0,3 = 8 Esercizio 2 In un deposito di sabbia fine limosa, con falda freatica alla profondità Z w = 1,5 m da p.c. sono eseguite prove SPT i cui risultati sono indicati in tabella. Il terreno ha peso di volume medio sopra falda γ = 18 kn/m 3 Z (m) N 1 N 2 N 3 e sotto falda γ sat = 19,5 kn/m Stimare il cedimento immediato di una fondazione superficiale di dimensioni: B = 3 m L = 5 m alla profondità D = 1,5 m da p.c. che trasmette una pressione verticale media netta q = 200 kpa