Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente e Territorio Corso di Integrato di Sismica Applicata e Geotecnica Modulo di Geotecnica

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1 Esercitazione 1 #a. Dati i valori del peso del terreno trattenuto ad ogni staccio e della lettura del densimetro, completare l interpretazione della prova granulometrica riportata nell allegato A. Rappresentare la curva sul grafico allegato, indicare la classificazione granulometrica e calcolare il coefficiente di uniformità. #b. Dati i valori di peso umido, peso secco, peso e dimensioni della fustella, completare la tabella dell allegato B calcolando i valori medi delle caratteristiche fisiche del terreno: contenuto di acqua, w; peso umido dell unità di volume, ; peso secco dell unità di volume, d ; peso specifico relativo, G s ; porosità, n; indice dei vuoti, e; e grado di saturazione S r. #c. Per lo stesso terreno analizzato al punto #b, sono state effettuate le prove per la determinazione dei limiti di Atterberg. Completare le tabelle dell allegato C e valutare: il limite di plasticità, w P ; il limite di liquidità, w L ; l indice di plasticità, I P ; l indice di consistenza, I C, e l indice di attività I A del terreno. Classificare, infine, il terreno attraverso la carta di plasticità allegata.

2 Allegato A: Analisi granulometrica Stacciatura a secco q tot = g Sedimentazione (sul passante allo staccio 2 d <.75 mm) Idrometro 152H (C d C T ) = 3.5; C m = 1; q s = 5 g; G S = 2.676; a =.994; H r = R m Staccio Diametro Trattenuto Passante Orario lettura Tempo trascorso Temperatura Lettura aerometro n d parz. totale Tr. P t T R R c P [mm] q [g] Σq [g] [%] [%] [min] [ C] a ( 1 2 a Rc qs R m H r d K H ) [%] ( 2 ) ( 3 K r t ) [cm] [mm] ( 4 ) 1 2.% 1.% 9: % % 99.8% 9: % % 98.2% 9: % % 89.2% 9: % % 69.5% 9: % % 49.3% 9: % : % : % : % : % <.75 mm : Note: ( 1 ) Rc = Ra (Cd CT); ( 2 ) P2 = percentuale del passante allo staccio da cui si è prelevato il terreno per la sedimentazione ( 3 ) Rm = Ra + Cm; ( 4 ) Hr espresso in cm, t espresso in minuti. Le conversioni necessarie sono incluse nel coefficiente k. Lettura corretta Passante Correz. menisco Profondità Costante Diametro passante in peso, p (%) Classifica granulometrica: Argilla Limo Sabbia Ghiaia diametro, d (mm) Ghiaia [%] Dmax [mm].85 Sabbia [%] 55 D6 [mm].12 Limo [%] 34 D1 [mm].8 Argilla [%] 11 Coefficiente di uniformità: 6 1 sabbia con limo argillosa CU D D 15

3 Allegato B: Caratteristiche Fisiche generali Contenitore n Contenitore 4 Contenitore 7 Contenitore 12 Contenitore 15 Peso contenitore, P c [g] D [mm] (H [mm]) 35.7 (25.2) 2 3 D Volume, V [cm ] H Peso lordo umido, P u [g] Peso lordo secco, P s [g] Valore medio Pu Ps Contenuto d acqua, w P P s c 3 Pu Pc Peso umido unità di volume, [g/cm ] V Peso umido unità di volume, [kn/m ] Ps Pc Peso secco unità di volume, d [g/cm ] V Peso seccp unità di volume, d [kn/m ] Peso specifico del solido, s [kn/m ] s Peso specifico relativo, Gs [ ] w d Porosità, n s s Indice dei vuoti, e d Grado di saturazione, s w S G e

4 Allegato C: Proprietà indice e di stato Limite di Plasticità Pu Ps Contenitore n Peso contenitore, P c [g] Peso lordo umido, P u [g] Peso lordo secco, P s [g] Contenuto d acqua, w P P Limite di Liquidità Metodo di Casagrande (ASTM) Limite di plasticità, w P (valore medio) =.165 Metodo con penetrometro 6 g 6 (SGI) Numero di colpi, N Affondamento, i [mm] Contenitore n Contenitore n Peso contenitore, P c [g] Peso contenitore, P c [g] Peso lordo umido, P u [g] Peso lordo umido, P u [g] Peso lordo secco, P s [g] Peso lordo secco, P s [g] Contenuto d acqua, Contenuto d acqua, Pu Ps w Pu Ps w P P P P s c s c s c contenuto d'acqua, w [-] Numero di colpi affondamento, i [mm] Contenuto di acqua, w [-].4 Limite di liquidità ASTM, w L =.322 Limite di liquidità SGI, w L =.331 Indice di plasticità, I P = w L w P 16.6% Indice di consistenza, I C = (w L w)/i P.24 (molle) Frazione argillosa (d < 2 m), CF 11% Indice di attività, I A = I P /CF 1.51 (alta attività)

5 Allegato C: Proprietà indice e di stato 8 Carta di plascità 7 indice di plascità, I P [%] CL ML CL CH linea A OH MH 1 OL ML limite di liquidità, w L [%] M = limi C = argille O = sostanze organiche L = bassa plasticità H = alta plasticità ML CL OL MH CH OH Limi inorganici da bassa a media plasticità Argille inorganiche da bassa a media plasticità Limi e argille organiche di bassa plasticità Limi inorganici di alta plasticità Argille inorganiche di alta plasticità Argille organiche da media a alta plasticità

6 Esercitazione 2 #a Con riferimento alla stratigrafia allegata (allegato A), calcolare e rappresentare graficamente gli andamenti con la profondità delle tensioni litostatiche (verticali ed orizzontali) totali, efficaci e della pressione interstiziale (ipotizzando condizioni idrostatiche). Si consideri saturo il terreno sopra del pelo libero della falda, posto a 4 m di profondità dal piano campagna. #b Per la seguente sequenza di stati tensionali in condizioni di simmetria assiale, rappresentare graficamente i percorsi di carico in termini di tensioni totali (q p) ed in termini di tensioni efficaci (q p'). a (kpa) r (kpa) u (kpa) #c Con riferimento ai punti P 1 e P 2 della successione stratigrafica del quesito #a, si rappresentino graficamente i percorsi di tensione nel piano p q e p q, conseguenti ad un abbassamento di 4 m della superficie piezometrica. Si proceda abbassando il pelo libero della falda di 1 m per volta fino a raggiungere la profondità di 9 m. Per ciascuna posizione del pelo libero si ipotizzi che: a) la distribuzione delle pressioni interstiziali sia idrostatica e b) il valore del coefficiente di spinta in quiete K rimanga costante. #d Con riferimento allo stato di tensione piano indicato in figura, determinare le tensioni principali ed i piani sui quali esse agiscono. x z σ z σ x = 4 kpa τ zx τ xz σ x σ z = 2 kpa τ xz = 1 kpa #e Valutare le tensioni efficaci agenti alla profondità h = 6 m su un pendio con inclinazione i = 1 per le giaciture parallela e ortogonale al pendio. Il terreno ha un peso saturo dell unità di volume sat = 18.5 kn/m 3, il coefficiente di spinta a riposo è K =.3 e la superficie piezometrica coincide ed è parallela al piano campagna. Disegnare il cerchio di Mohr in tensioni efficaci, determinare le tensioni principali ed i piani sulle quali esse agiscono. * NOTE: 1) Nel tracciare gli andamenti con la profondità delle tensioni, essendo il legame σ z lineare in uno strato omogeneo, è sufficiente calcolare i valori alle profondità in cui sono presenti discontinuità nel profilo stratigrafico (p.es. l interfaccia tra gli strati omogenei, superficie piezometrica/freatica) e poi congiungere linearmente i valori calcolati. 2) Nel tracciare i percorsi tensionali (#b e #c) e i cerchi di Mohr (#d ed #e), utilizzare grafici e scale isometriche.

7 Esercitazione 2: Risoluzione #a Tensioni litostatiche verticali e orizzontali Punto di calcolo z u [m] [kn/m 3 K v v ' h ' ] O h A B P C D P F Pressioni interstiziali: u wzzw con: zzw z profondità del punto di calcolo; zw = profondità della sup. freatica; 3 1 kn/m w Tensioni verticali: n1 n1 v() z ihi nzhi i1 i1 i indice di strato n numero di strati fino alla profondità z hi spessore dello strato i esimo i peso dell'unità di volume dello strato i esimo n peso dell'unità di volume dello strato n esimo () z () z u(z) v v Tensioni orizzontali: h() z K v() z h() z h() z u(z) K coefficiente di spinta a riposo dello strato alla profondità z; nota: all'interfaccia tra due terreni, h() z e h() z si devono calcolare due volte, considerando K del terreno superiore e quello del terreno inferiore a parità di v(). z

8 2 4 6 Allegato A O A sabbia con limo γ [kn/m 3 ] 2. K [-] σ v, u, σ v u σ v σ v σ h, σ h B 8 profondità, z [m] P 1 argilla con limo C limo sabbioso D P 2 limo argilloso E 34

9 Esercitazione 2: Risoluzione #b Percorsi tensionali: compressione cilindrica a r u q p p' q = a r p = ( a + 2 r )/ p' = p u q' = q = a ' r ' #c Percorsi tensionali radiali z w [m] σ v σ h P1; z P1 = 14 m; K =.6 P2; z P2 = 26 m; K =.4 u q p p' σ v σ h u q p p' 2 15 q 1 5 P1 TT P1 TE P2 TT P2 TE p; p'

10 #d Cerchio di Mohr e tensioni principali Esercitazione 2: Risoluzione Dati: x = 2 kpa segno positivo perché di compressione z = 4 kpa segno positivo perché di compressione xz = 1 kpa segno positivo perché da rotazione antioraria zx = 1 kpa segno negativo perché da rotazione oraria Cerchio di Mohr: s = (z + x)/2 = 3. kpa (centro del cerchio di Mohr) D = ((z x) 2 + (zx xz) 2 ).5 = kpa (diametro del cerchio di Mohr) t = D/2 = kpa (raggio del cerchio di Mohr) 1 = s + t kpa (tensione principale maggiore) 3 = s - t kpa (tensione principale minore) = π/2 Arctan [ zx /( 1 x )] = 22.5 (inclinazione del piano si cui agisce σ 1 rispetto all asse x (+ antiorario)) = π/2 + α = 67.5 (inclinazione del piano si cui agisce σ 3 rispetto all asse x (+ antiorario)) 3 z A P C A' x 2 25 asse 1 asse

11 Esercitazione 2: Risoluzione #e Stato tensionale su pendio e costruzione del cerchio di Mohr 2 hcos i z x hsenicosi xz 2 K z K h cos i dove: peso immerso dell'unità di volume sat w 'x = kpa segno positivo perché di compressione 'z = kpa segno positivo perché di compressione xz = 8.72 kpa segno negativo perché da rotazione oraria zx = 8.72 kpa segno positivo perché da rotazione antioraria Cerchio di Mohr: s' = ('z + 'x)/2 = 32.2 kpa (centro del cerchio di Mohr) D = (('z 'x) 2 + (zx xz) 2 ).5 = 38.8 kpa (diametro del cerchio di Mohr) t = D/2 = kpa (raggio del cerchio di Mohr) ' 1 = s' + t kpa (tensione principale maggiore) ' 3 = s' t kpa (tensione principale minore) = π/2 Arctan [ zx /( ' 1 ' x )] = (inclinazione del piano si cui agisce σ 1 rispetto all asse x (+ antiorario)) = π/2 + α = (inclinazione del piano si cui agisce σ 3 rispetto all asse x (+ antiorario)) 3 2 z asse 1 asse 3 1 P A' C x 1 A

12 Esercitazione 3 Moti di filtrazione 1D #a Con riferimento allo schema mostrato in Fig. 1,: calcolare la tensione verticale totale, la pressione interstiziale e la tensione verticale efficace alle profondità indicate dai punti O, A, B, C, D, E, F, G e H, ipotizzando che i livelli della superficie libera dell acqua (a monte e a valle) siano mantenuti costanti (moto stazionario). Verificare, inoltre, la possibilità di instaurarsi di un fenomeno di sifonamento e valutare la portata d acqua in uscita (assumere pari a 2.5 m il diametro del recipiente). (a+) Come cambierebbero la tensione verticale totale, la pressione interstiziale e la tensione verticale efficace se se la permeabilità, k 2, del terreno T2 fosse m/s? Fig.1 5 m T1) Sabbia limosa: 1 = 18 kn/m 3 k 1 = m/s T2) Sabbia fine: 2 = 19 kn/m 3 k 2 = m/s Profondità, z [m] T1 T2 O A B C D E F G H #b In un area di notevoli dimensioni, una campagna di sondaggi ha permesso di ricostruire il profilo stratigrafico descritto in Fig. 2, e di ottenere i parametri dei terreni indicati nella tabella. Sono stati, inoltre, installati due piezometri P1 e P2 con profondità di pescaggio rispettivamente di 7 e 35 m dal p.c. Prima dell emungimento, entrambi i piezometri indicano la superficie freatica a 3 m dal p.c. (32 m per il piezometro P2 e 4 m per il piezometro P1) (falda in condizioni idrostatiche). A seguito dell emungimento di acqua dal banco C, l altezza piezometrica è risultata pari a 19 m per il piezometro P2 e 4 m per il piezometro P1. Determinare l andamento con la profondità delle tensione verticali, totali ed efficaci, nella condizione di moto permanente; l entità del cedimento prodotta dall emungimento. Fig.2 Profondità, z [m] P2 P1 Terreno A Sabbia limosa Terreno B Limo sabbioso con argilla Terreno C Sabbia ghiaiosa Roccia (impermeabile) Tab.1 Terreno prof. min max [m] [kn/m 3 ] k [cm/s] E ed [MPa] A B C

13 Esercitazione 3 Moti di filtrazione 1D #c Con riferimento alla Fig. 3, determinare la profondità di scavo cui corrisponde un valore del coefficiente di sicurezza al sifonamento, FS = i crit /i es, pari a 2. Con riferimento alla Fig. 4, valutare la stabilità del fondo di scavo posto a 3.5 m dal piano campagna. Determinare la profondità di scavo, s, corrispondente al verificarsi dei fenomeni di instabilità per sollevamento del fondo di scavo. profondità (m). 1.? s =? Sabbia fine γ=19 kn/m 3 k= m/s 8. Fig. 3 Ghiaia γ=21 kn/m 3 k= m/s profondità (m) s =? Argilla limosa γ=17.5 kn/m 3 ; k= m/s Fig. 4 Ghiaia sabbiosa γ=21 kn/m 3 ; k= m/s

14 #a Filtrazione 1D ascendente Esercitazione 3 Risoluzione Dati: Calcolo delle perdite di carico: perdita di carico complessiva: Δh [m] = 5 perdita di carico terreno T1: Δh 1 [m] = 3.33 permeabilità terreno T1: k 1 [m/s] =.4 perdita di carico terreno T2: Δh 2 [m] = 1.67 permeabilità terreno T2 k 2 [m/s] =.2 spessore terreno T1: L 1 [m] = 2 kl 2 1 h1 h spessore terreno T2: L 2 [m] = 5 kl 1 2 kl 2 1 h hh Calcolo delle pressioni interstiziali e delle tensioni efficaci: Terreno T1 T2 Punti di calcolo [kn/m 3 ] z [m] ζ [m] h(z) = α. z + β h [m] 2 1 u σ v O A cond. al contorno h v σ v ' B α 1 = β 1 = 6.33 C cond. al contorno h v +Δh D E F α 2 = G β 2 = H 19 8 cond. al contorno h m ihi/ Li; ihvi, hi / Li zvi, con: i= indice dello strato ( i=1, 2) ; h = cond. al contorno di valle; z = prof. in cui il carico noto vale h u ( ) w h v come eserc. 2 v v u Calcolo della portata: Diametro: D [m] = 2.5 Area sezione del tubo: A [m 2 ] = 4.91 Portata: Q [m 3 /s ]=A. k 1. Δh 1 /L 1 =.33 Q [l/s ]= Verifica a sifonamento terreno T1: vi, vi, vi, (*) i cr = γ /γ w =.8 i es = Δh 1 /L 1 = F sif = i cr /i es =.48 nota: per entrambi i terreni non si può valutare i cr con la relazione (*) la verifica è soddisfatta se in ogni punto dello strato σ v >

15 Esercitazione 3 Risoluzione #a+ Filtrazione 1D ascendente Dati: Calcolo delle perdite di carico: perdita di carico complessiva: Δh [m] = 5 perdita di carico terreno T1: Δh 1 [m] =.98 permeabilità terreno T1: k 1 [m/s] =.4 perdita di carico terreno T2: Δh 2 [m] = 4.9 permeabilità terreno T2 k 2 [m/s] =.2 Δh 1 Δh 2 Δh 1 spessore terreno T1: L 1 [m] = 2 kl 2 1 h1 h spessore terreno T2: L 2 [m] = 5 kl 1 2 kl 2 1 h hh 2 1 Calcolo delle pressioni interstiziali e delle tensioni efficaci: Terreno T1 T2 Punti di calcolo [kn/m 3 ] z [m] ζ [m] h(z) = α. z + β h [m] u σ v O A B Cond. idrostatiche σ v ' C cond. al contorno h v D E α 2 = F β 2 = G H 19 8 cond. al contorno h m ihi/ Li; ihvi, hi / Li zvi, con: i= indice dello strato ( i=1, 2) ; h = cond. al contorno di valle; z = prof. in cui il carico noto vale h u ( ) w h v come eserc. 2 v v u vi, vi, vi,

16 #b Filtrazione 1D discendente Esercitazione 3 Risoluzione Condizioni litostatiche/idrostatiche iniziali (vedi esercitazione 2) terreno A B C z [m] σ v u σ v Profondità, z Tensioni verticali TE TT 4 45 A seguito dell emungimento profondo soil A B C z [m] σ v h [m] u σ' v Δσ' v idrostatico h m h v idrostatico nota bene: non essendo richiesto il calcolo della pressione neutra o delle tensioni efficaci all interno del banco in cui avviene la filtrazione (terreno B) non è necessario valutare la funzione lineare h(z) ma sono sufficienti i soli valori al contorno noti. Profondità, z Tensioni verticali TT TE iniziale a regime Calcolo dei cedimenti w B [m] =.26 w C [m] =.13 w tot [cm] = 39. w B whl 2E ; w hl B w C C ed,b Eed, C

17 Esercitazione 3 Risoluzione #c Sifonamento e instabilità del fondo scavo 1) Dati (Fig.3): T1 [ kn/m 3 ] = 19 z w,m [m]= 1 z L [m] = 8 FS = 2 peso dell'unità di volume del terreno interessato nel sifonamento profondità falda a monte della paratia profondità del letto del banco di terreno in cui avviene la filtrazione (dominio di filtrazione) Fattore di sicurezza a sifonamento i cr = / w =.9 i es =FS/i cr =.45 s [m] = i FS/ i i es cr ieszl zw, m h s zwm, s es 1 i es L zl s 2) Dati (Fig.4): [kn/m 3 ] = 17.5 peso dell'unità di volume del terreno coinvolto nella filtrazione z w,m [m] = profondità del pelo libero della falda a monte z L [m] = 12 profondità del letto del banco di terreno coinvolto nella filtrazione 2a) Verifica instabilità del fondo di scavo: σ v = u = 12. FS = σ v (z L )/u(z L ) = b) Massima profondità del fondo dello scavo s [m] = 6.86 ( ) (, ) v z w zl z L w m FS 1 ( zl s) w( zl zw, m) szl uz ( ) L

18 Esercitazione 3 Moti di filtrazione 2D #d Con riferimento alla rete idrodinamica tracciata in Fig. 3: a) calcolare la portata da aggottare per mantenere costante il livello dell acqua a valle della paratia; b) rappresentare graficamente la distribuzione delle pressioni interstiziali lungo il setto; c) determinare il livello di risalita dell acqua all interno del piezometro in condizioni di regime. Fig.3 a 5 γ = 18.3 kn/m 3 k = m/s b c d e n m l i g f 1 5 Profondità, z [m] P 1 #e Con riferimento alla traversa indicata in Fig. 4, disegnare una rete idrodinamica e determinare la distribuzione delle pressioni interstiziali sul piano di appoggio della traversa e lungo il setto impermeabile. Fig. 4 3 Profondità, z [m] Limo con sabbia Argilla

19 #d Filtrazione a tergo di una paratia Dati: [kn/m 3 ] = 18 k [m/s]=.1 z RIF [m] = 1 H monte [m] = 15 H valle [m] = 11 # isopieziche = 9 n q = 4 Esercitazione 3 Soluzione numero di tubi di flusso a) Portata da aggottare per mantenere costante il livello dell acqua a valle della paratia n h = # isopieziche 1 = 8 numero di salti Δh ΔH [m]= H monte H valle = 4 perdita di carico totale Δh [m]= ΔH/n h =.5 differenza di carico tra una isopiezica e l'altra Δq [m 3 /s] = k. Δh = 5E 7 portata per singolo tubo di flusso Q [m 3 /s]= Δq. n q = 2.E 6 portata totale b) Distribuzione delle pressioni interstiziali lungo il setto impermeabile punto z [m] ζ [m] h [m] u (da grafico) z z RIF (da grafico) W (h ζ) a b c d e f g i l m n z [m] u u z [m] c) Risalita dell acqua all interno del piezometro P in condizioni di regime z P [m] = (da grafico)= 7 ζ P [m] = z RIF z P = 3 h P [m] = (da grafico)= 14 u P [m] = W (h P ζ P ) = 11 h r [m] = h P ζ P = 11 h r [m] = u P / W = 11 (alternativa)

20 #e Reticolo idrodinamico Esercitazione 3 Soluzione a) Nella figura seguente, ottenuta dai risultati di un analisi numerica del problema, sono riportati 1 salti equipotenziali in modo da rendere possibile, con sufficiente approssimazione, il tracciamento di una rete idrodinamica a maglie quadre (3 tubi di flusso). b) Distribuzione delle pressioni interstiziali sul piano di appoggio della traversa e lungo il setto impermeabile

21 Esercitazione 4 Prova edometrica e Teoria della Consolidazione 1D #a Con riferimento al profilo stratigrafico in Fig. 1 (prima dell applicazione del carico uniformemente ripartito in superficie) e ai risultati della prova di compressione edometrica allegata (Fig. 2), determinare i valori dell'indice di compressibilità C C, dell'indice di rigonfiamento C S, della tensione di snervamento σ vy e del grado di sovraconsolidazione OCR del provino prelevato a 2 m di profondità. #b Calcolare il cedimento finale del piano di campagna conseguente all'applicazione di un carico uniformemente ripartito e infinitamente esteso q pari a 5 kpa, ipotizzando che lo strato di limo argilloso sia normalmente consolidato. Si trascuri l aliquota di cedimento dovuto alla deformabilità dello strato di ghiaia con sabbia. #c Diagrammare l andamento con la profondità del grado di sovraconsolidazione OCR nel caso in cui il deposito sia stato soggetto, nel corso della sua storia geologica, ad un processo di erosione, avvenuto su larga scala, di circa 1 m dello strato di sabbia. #d Calcolare nuovamente, in queste condizioni di sovraconsolidazione, il cedimento finale del piano di campagna conseguente all'applicazione del carico uniformemente ripartito q. A tal fine, per semplicità, si assuma un grado di sovraconsolidazione medio OCR = 2 e un indice dei vuoti iniziale medio e =.75 costante con la profondità. #d+ Che succede per q = 2 kpa? Fig.1 q = 5 kpa 3 12 Sabbia fine: γ = 19 kn/m 3 ; E ED = 12 MPa; K =.45 Profondità [m] 2 3 Argilla limosa: da un campione prelevato a z = 2 m di profondità γ = 18 kn/m 3 ; e =.75; K =.6 Ghiaia con sabbia: γ = 21 kn/m 3 ; E ED = 15 MPa; K =.5

22 Esercitazione 4 Prova edometrica e Teoria della Consolidazione 1D Fig indice dei vuoti, e tensione verticale, σ v

23 Esercitazione 4 Risoluzione #a Parametri di compressibilità da prova edometrica 1) valutazione di C C e C S punti σ' a e (n.c.) e (s.r.) A B C C =.3 C S =.6 C C oppure C s eb ea log B A 2) Valutazione di σ vp e OCR dati: z L [m] [kn/m 3 ] strato strato z w [m] = 3 (prof. sup. freatica) z P [m] = 2 (prof. prelievo campione) σ' v = 22. (tensione efficace litostatica) e [ ] =.75 (indice dei vuoti iniziale del campione) σ' vy 198 (da procedura di Casagrande in rosso nella figura a destra) OCR =.98 1 OCR v vp

24 Esercitazione 4 Risoluzione #b Calcolo dei cedimenti 1) cedimento iniziale w (solo per lo strato di sabbia) w =.5 m q w z z E E ED ED 2) cedimento di consolidazione w c (solo per lo strato di argilla limosa NC) q = 5 #str = 6 Δz [m] = 3 (carico applicato) (# di strati considerati) (intervallo di discretizzazione dello strato di argilla) punti z σ v u σ v ' e OCR σ vp ' σ vf ' Δe Δϵ Δw [m] [ ] [m] w c [m] =.295 v() z e() z e( zr) CC log ; vp() z OCR v(); z vf() z v() z q; v( zr) vf e se OCR 1 e CC log ; ; w z; wc w ; v 1 e #c Sovraconsolidazione h eros [m]= 1 (spessore eroso) q = 19 (carico applicato: q = h eros ) prima dell'erosione dopo del'erosione punti z σ v 1 u σ v 1 ' σ v u σ v ' OCR [m] OCR medio (sabbia) = sabbia limo argilloso z [m] OCR

25 Esercitazione 4 Risoluzione OCR medio (limo argilloso) = 1.94 #d Cedimento di consolidazione w c (solo per lo strato di argilla limosa OC) q = 5 #str = 6 Δz [m] = 3 (carico applicato) (# di strati considerati) (intervallo di discretizzazione dello strato di argilla) punti z σ v u σ v ' e OCR σ vp ' σ vf ' Δe Δϵ Δw [m] [ ] [m] w c [m] =.59 e ( z) assunta costante () z OCR (); z () z () z q; vp v vf v vf e se OCR 1 e vf vp e CS log ; ; w z; wc w ; v 1 e #d+ cedimento di consolidazione w c (solo per lo strato di argilla limosa OC) q = 2 #str = 6 Δz [m] = 3 w [m] =.2 (carico applicato) (# di strati considerati) (intervallo di discretizzazione dello strato di argilla) (cedimento elastico immediato solo per le sabbia) punti z σ v u σ v ' e OCR σ vp ' σ vf ' Δe 1 Δe 2 Δϵ Δw [m] [ ] (ricarico) (n.c.) [m] w c [m] =.173 e e( z) assunta costante; vp() z OCR v(); z vf () z v() z q; ; wz; wc w 1 e vp e1 CS log v se ( vf vp) ( v vp) ee1 e2 vf e2 CC log vp

26 Esercitazione 5 Prova edometrica e Teoria della Consolidazione 1D #a Con riferimento alla situazione stratigrafica riportata in Fig. 1 (Esercitazione n. 4, quesito #b), in seguito all applicazione di un carico uniformemente distribuito di 5 kpa sul piano di campagna si verifica un cedimento immediato w di circa 5 cm (dovuto alla compressibilità del solo strato di sabbia) ed un cedimento di consolidazione w c di circa 3 cm (dovuto alla compressibilità dello strato di argilla limosa); complessivamente w tot = w + w c = 35 cm. Impiegando la teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi (abachi di Fig.2), determinare e rappresentare graficamente: l evoluzione temporale dei cedimenti del piano di campagna; l evoluzione temporale della sovrappressione interstiziale e della tensione verticale efficace alle profondità di 16.5 e 21 m. Ai fini della determinazione del coefficiente di consolidazione c V si utilizzino i risultati (curve cedimento tempo) della prova di compressione edometrica (Fig.3). L altezza iniziale del provino era pari a 2 mm. Fig.1 q = 5 kpa 3 12 Sabbia fine: γ = 19 kn/m 3 ; E ED = 12 MPa; K =.45 Profondità [m] 2 3 Argilla limosa: da un campione prelevato a z = 2 m di profondità γ = 18 kn/m 3 ; e =.75; K =.6 Ghiaia con sabbia: γ = 21 kn/m 3 ; E ED = 15 MPa; K =.5 Fig.2 (a) (b)

27 Esercitazione 5 Prova edometrica e Teoria della Consolidazione 1D Fig.3 tempo [min] kpa 4 kpa cedimento relativo, w [mm] kpa 15 kpa 3 kpa 6 kpa 12 kpa 25 kpa 5 kpa cedimento assoluto, w [mm] kpa 1.4

28 Esercitazione 5 Risoluzione 1) Valutazione del coefficiente di consolidazione vertcale c v h [mm] = 2 (altezza iniziale del provino) H [m] =.1 (percorso di drenaggio: H =.5. h ) t 5 [min] = 6. (costruzione di Casagrande, Figura a fianco) c v [m 2 /s] = 5.5E H cv t 5 2) Evoluzione temporale dei cedimenti del piano di campagna; H [m] = 9 w [cm] = 5. w c [cm] = 3. (max percorso di drenaggio = spessore del banco che consolida / n. di superfici drenanti (2 in questo caso)) (cedimento immediato elastico del banco di sabbia fine) (cedimento di consolidazione del banco di limo argilloso) U T () () c t TH c t 2 wt Ut w w (da grafico Fig. 2b) [cm] [s] [anni].. 5..E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E infinito 35. infinito inf. / v

29 Esercitazione 5 Risoluzione 3) Evoluzione temporale della sovrappressione interstiziale e della tensione verticale efficace alla profondità di 16.5m; T U (Z,T) t [anni] Δu(z,t) u =u +Δu σ v' = σ v u c v [m 2 /s]= 5.5E 8 (da grafico Fig. 2a) z [m] = H [m] = 9 (altezza di drenaggio) z* [m] = 4.5 (profondità del punto rispetto al tetto del banco di limo) Z = z*/h = q = u = 135 σ v = 174 (pressione neutra iniziale per z =16.5m) (tensione efficace iniziale per z =16.5m) u(1 U) q Uq v Δσ v infinito ) Evoluzione temporale della sovrappressione interstiziale e della tensione verticale efficace alla profondità di 21m; T U (Z,T) t [anni] Δu(z,t) u =u +Δu σ v' = σ v u c v [m 2 /s]= 5.5E 8 (da grafico Fig. 2a) z [m] = H [m] = 9 (altezza di drenaggio) z* [m] = 9 (profondità del punto rispetto al tetto del banco di limo) Z = z*/h = q = u = 18 σ v = 21 (pressione neutra iniziale per z =21m) (tensione efficace iniziale per z =21m) u(1 U) q Uq v Δσ v infinito

30 Esercitazione 5 Risoluzione 6 5 z = 16.5 m z = 21 m u 4 3 ' v z = 16.5 m z = 21 m t [anni] t [anni]

31 Esercitazione 6 Prova edometrica e Teoria della Consolidazione 1D #a Con riferimento alla situazione stratigrafica riportata in Fig. 1 (Esercitazione n. 4, quesito #b), si valuti, applicando il metodo edometrico, il cedimento indotto dall applicazione di una striscia di carico flessibile, di lunghezza infinita, intensità pari a 5 kpa e larghezza pari a 2 m, in corrispondenza dell asse e del bordo del corpo di carico. Si diagrammi inoltre, sempre con riferimento alla verticale passante per l asse e a quella passante per il bordo del corpo di carico, l andamento con la profondità delle deformazioni verticali. Fig.1 B = 2 m q = 5 kpa 3 12 Sabbia fine: γ = 19 kn/m 3 ; E ED = 12 MPa Profondità [m] 2 Argilla limosa: da un campione prelevato a z = 2 m di profondità γ = 18 kn/m 3 ; e =.75 3 Ghiaia con sabbia: γ = 21 kn/m 3 ; E ED = 15 MPa

32 Esercitazione 6 Prova edometrica e Teoria della Consolidazione 1D Fig.2

33 Esercitazione 6 Risoluzione 1) Calcolo dei cedimenti in asse alla fondazione nastriforme z w [m]= 3 profondità piezometrica q = 5 carico applicato w [m] =.46 #str = 6 # di strati considerati w [m] =.174 Δz [m]= 3 intervallo di discretizzazione banco consolidante w T [m] =.219 B* [m]= 1 semilarghezza della fondazione (come da abaco fig. 2) z σ v u σ v ' e σ vp ' z/b Δσ v ' /q Δσ v ' σ vf ' Δw punto [m] [ ] [ ] [ ] Δe Δϵ [m] letto da Fig Sabbia limo argilloso Asse 2) Calcolo dei cedimenti al bordo della fondazione nastriforme z w [m]= 3 profondità piezometrica q = 5 carico applicato w [m] =.25 #str = 6 # di strati considerati w [m] =.129 Δz [m]= 3 intervallo di discretizzazione banco consolidante w T [m] =.153 B* [m]= 1 semilarghezza della fondazione (come da abaco fig. 2) z σ v u σ v ' e σ vp ' z/b Δσ v ' /q Δσ v ' σ vf ' Δw punto [m] [ ] [ ] [ ] Δe Δϵ [m] letto da Fig Sabbia limo argilloso Bordo

34 Esercitazione 6 Risoluzione 2) Grafici ' v [ ] z [m] 2 z [m] 2 25 Asse Bordo Asse Bordo

35 Esercitazione 7 Spinta delle terre #a Con riferimento al profilo stratigrafico riportato in Fig. 1, calcolare e diagrammare la distribuzione delle tensioni orizzontali totali agenti sulla paratia in condizioni di equilibrio limite attivo e passivo, a breve ed a lungo termine, per le seguenti due condizioni: a) superficie piezometrica alla profondità di 4 m dal piano di campagna originario (a), falda in condizioni idrostatiche; b) superficie piezometrica alla profondità di 2 m dal piano di campagna originario, in condizioni idrostatiche prima dell esecuzione dello scavo (b). Si ipotizzi che la paratia subisca una semplice traslazione orizzontale rigida verso l interno dello scavo e che l attrito all interfaccia paratia terreno sia nullo, utilizzando quindi la teoria di Rankine per la valutazione delle spinte agenti in condizioni di equilibrio limite. Fig.1 q = 2 kpa profondità [m] Limo sabbioso γ=18 kn/m 3 ; k= m/s c u =1 kpa; c'=5 kpa; φ'=2 Sabbia con ghiaia γ=2 kn/m 3 ; k= m/s c'= kpa; φ'=28 (b) (a)

36 Esercitazione 7 Risoluzione a) Falda in condizioni idrostatiche ATTIVA LT BT Punti z [m] σ v u σ' v K a [ ] σ' ha σ ha σ ha O A B C sin Ka ; LT: h, a Ka v 2 c Ka; BT: ha v 2cu 1 sin PASSIVA LT BT Punti z [m] σ v u σ' v K p [ ] σ' hp σ hp σ hp A' B' C' sin K ; LT: K 2 c K ; BT: 2c 1 sin p hp, p v p hp v u b) Moto di filtrazione 1D ascendente a regime ATTIVA LT BT Punti z σ v u σ' v K a σ' ha σ ha σ ha [m] [ ] O A B C PASSIVA LT BT z Punti v h u ' v K P ' hp hp hp [m] [m] [m] [ ] A' B' C' Profondità, z [m] LT 2 BT BT LT h

37 Esercitazione 8 Carico limite delle fondazioni superficiali #a Utilizzando l'espressione di Terzaghi determinare il carico limite, q lim, a breve e a lungo termine, di una fondazione nastriforme posta ad una profondità di 2 m dal piano di campagna ed avente una larghezza B pari a 2 m, per le condizioni stratigrafiche indicate nella Fig. 1. Supporre la superficie piezometrica: 1) coincidente col piano di campagna; 2) coincidente col piano di scavo; 3) a 1 m dal piano di scavo 4) a 4 m dal piano di scavo. Ipotizzando che la fondazione sia costituita da calcestruzzo armato ( cls = 25 kn/m 3 ) si determinino i valori della forza N, a breve e a lungo termine, corrispondenti alla rottura del complesso fondazione terreno nei casi 1), 2) 3) e 4). Ai fini della valutazione dei fattori di capacità portante si impieghino le espressioni riportate di seguito: tan Nq tan e (Prandtl, 1921) N ( N 1) cotan N ( ) 2 (Reissner, 1924) c q c N 2( N q 1) tan (Vesic, 197) Fig.1 N lim =?.75 m.5 m.75 m profondità, z [m] m.5 m Sabbia sciolta: γ=18 kn/m 3 ; c = kpa; ϕ =24 Argilla con limo: γ=17.5 kn/m 3 ; c =1 kpa; ϕ =2 ; c u =25 kpa

38 a) Forze agenti sul piano di posa Esercitazione 8 Risoluzione W T [kn/m] =. A T terreno = (peso del terreno asportato per la messa in opera della fondazione) W T1 [kn/m] =. A T1 terreno = (peso del terreno che grava sulla fondazione) W T2 [kn/m] =. A T2 terreno = (peso del terreno che grava sulla fondazione) W cls [kn/m] =. A cls cls = (peso del manufatto) W NETTO [kn/m] = W cls W T = 13. (peso del manufatto al netto del peso del terreno asportato) b) Carico limite a breve termine (non dipende da posizione della superficie piezometrica) N q [ ] = 1; N c [ ] = 2+π = 5.14; N [ ] = q = σ v (D) = 36. (dove D è la profondità del piano di posa) q lim = q N q +c u N c = N lim [kn/m] = q lim. B (W cls +W T1 +W T2 ) = N lim, NETTO [kn/m] = q lim. B (W NETTO +W T1 +W T2 ) = c) Carico limite a lungo termine (dipende dalla posizione della superficie piezometrica) N q [ ] = 6.4; N c [ ] = 14.83; N [ ] = 5.39 Caso: (1) (2) (3) (4) descrizione z w [m] posizione della falda operativio [kn/m 3 ] zw ( DB) operativo zw D [ ( zw D) ( DBzw)] B Dzw ( DB) q' σ v (z = D) q' lim q N q + c N c + ½ B operativo N q lim q lim + w (D z w ) se: z w < D N lim [kn/m] q lim. B (W cls +W T1 +W T2 ) N lim, NETTO [kn/m] q lim. B (W NETTO +W T1 +W T2 )