CLASSE 3 A APPUNTI DAL CORSO DI COSTRUZIONI LA DEFORMAZIONE DEI MATERIALI SOTTO CARICO

Transcript

1 the design of he Forth Bridge (Scotland) by Sir John Fowler and Sir Benjamin Baker Nessun effetto è in natura sanza ragione; intendi la ragione e non ti bisogna sperienzia. Leonardo da Vinci CLASSE 3 A APPUNTI DAL CORSO DI COSTRUZIONI LA DEFORMAZIONE DEI MATERIALI SOTTO CARICO L EQUILIBRIO TRA LE SOLLECITAZIONI ESTERNE E LE TENSIONI INTERNE DELLE SEZIONI RESISTENTI 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 1

2 Premessa Nel dimensionamento di un sistema strutturale resistente, la definizione della soluzione equilibrata del modello rigido (in pratica la soluzione delle reazioni vincolari) costituisce il primo passo della soluzione strutturale. I diagrammi delle sollecitazioni rappresentano la misura delle azioni che tendono a spostare la generica sezione dell elemento dalla configurazione iniziale (scarica) definita dagli assi locali. Lo spostamento può prevedere una traiettoria di traslazione lungo l asse locale x (sforzo normale assiale) oppure lungo l asse z (sforzo di taglio); una rotazione intorno all asse locale y o Z (momento flettente), una rotazione intorno all asse locale x (sforzo di torsione), oppure mista (sforzo di pressoflessione, flessione deviata, flessione associata al taglio). L esperienza mostra come la rottura interna sia causata dal superamento del limite di deformabilità del materiale impiegato nell elemento strutturale. Definite tutte le proprietà elastiche di un materiale, il contenimento delle deformazioni entro un limite definito si realizza attraverso la scelta della appropriata inerzia (in pratica la forma) della sezione resistente. Il modello elastico dei materiali I materiali impiegati nel campo delle costruzioni vengono studiati dal punto di vista del comportamento sotto carico attraverso delle prove di laboratorio (tipo UNI-EN) con provini e procedure standardizzate. La prova principale per valutare la deformabilità di un materiale sia sotto l aspetto qualitativo sia per quello quantitativo è la prova di trazione o compressione monoassiale. Per alcuni materiali (ad esempio il legno) la descrizione del comportamento elastico deve essere completata con prove di deformabilità a flessione. Il motivo di ciò risiede nel fatto che il legno presenta delle elasticità direzionali legate all andamento delle fibre rispetto alla direzione delle sollecitazioni. Prendiamo in esame un elemento rettilineo di un determinato materiale, lunghezza iniziale l 0, sezione A. Se applichiamo una forza crescente con incrementi lenti vediamo che per ogni misura di N (N 1, N 2, N 3, N 4,..) otteniamo un corrispondente valore dell allungamento L ( L1, L2, L3, L4, ). Se poniamo su di un sistema di assi cartesiani: 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 2

3 ε = L / l 0 in ascissa; σ = N / A in ordinata Otteniamo che il legame tra la forza e l allungamento viene descritto attraverso i termini σ (tensione normale) e ε ( deformazione unitaria) indipendenti dai valori di l 0 e A e per questo rappresentativi del comportamento del materiale e non dell elemento. La relazione tra σ e ε prende il nome di legame costitutivo. Possiamo ripetere la prova di carico invertendo la direzione della azione sottoponendo cosi l asta ad una sollecitazione di compressione. Se otteniamo un diagramma simmetrico questo vuol dire che il materiale si comporta indifferentemente a compressione o trazione. In questo caso si dice che il materiale ha un comportamento OMOGENEO. Se i grafici i sono diversi il comportamento del materiale può dirsi NON OMOGENEO. 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 3

4 Se consideriamo un diagramma N, L possiamo individuare in ogni prodotto Forza x Spostamento un area rettangolare rappresentativa di un lavoro meccanico compiuto dalla Forza applicata alla sezione. La superficie sottesa dal diagramma corrisponde al lavoro complessivo compiuto dalla forza variabile da zero a Nmax L TOT = i n N i x Li Per il principio di conservazione dell energia meccanica tale lavoro deve trovare compenso in una uguale energia immagazzinata dall asta. Alle stesse conclusioni si arriva utilizzando il diagramma tra σ, ε. Materiali dal comportamento perfettamente elastico Se carichiamo un asta con un azione variabile da zero ad N max otterremo in corrispondenza del valore massimo una deformazione massima L(MAX) Lo sforzo nel materiale (tensione normale) varierà anch essa da zero ad un valore σ MAX e cosi può dirsi della deformazione unitaria ε MAX. Se facciamo decrescere l azione N dal valore max a zero avremo un diagramma di ritorno in cui l energia precedentemente immagazzinata viene spesa dal sistema per riportare l asta nella configurazione iniziale indeformata. Se i diagrammi di carico e scarico risultano coincidenti allora si dice che il materiale ha un comportamento perfettamente elastico. In un materiale avente comportamento elastico lineare (cioè dove la curvatura del diagramma può approssimarsi ad una retta) le tensioni normali σ e le deformazioni unitarie ε sono direttamente proporzionali. Indicando con E la costante di proporzionalità si ottiene l equazione della retta rappresentata nel piano cartesiano (n.b. è uno spazio affine) : σ = ε x E (LEGGE DI HOOKE) 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 4

5 La costante E viene detta costante elastica di un dato materiale o più precisamente modulo elastico longitudinale e rappresenta un valore tipico per ogni tipo di materiale. Dato che la deformazione unitaria è un numero puro la unità di misura del modulo elastico è la stessa della tensione normale: N/mmq N.B. nei materiali perfettamente elastici è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti che consente di risolvere l equilibrio elastico della sezione nelle situazioni di sollecitazioni composte (come vedremo in seguito) Materiali dal comportamento perfettamente plastico Un materiale presenta un comportamento perfettamente plastico se la deformazione indotta dalla azione N permane totalmente al cessare di quest ultima. Materiali dal comportamento elasto-plastico I materiali dal comportamento elasto-plastico presentano un diagramma mistilineo in cui una prima parte di tipo elastico lineare è seguita da un tratto orizzontale raggiunto il quale la struttura al cessare delle azioni presenta una deformazione residua. L entità del tratto orizzontale del diagramma definisce una importante proprietà dei materiali da costruzione che prende il nome di DUTTILITA. La duttilità è preziosa perché costituisce una riserva di sicurezza nei riguardi dell evento della rottura dell elemento strutturale, che, in questo caso si verifica dopo evidenti segnali premonitori. 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 5

6 Nelle zone sismiche la duttilità delle sezioni resistenti costituisce una proprietà decisiva ai fini della resistenza strutturale poiché consente una maggiore capacità dissipativa dell energia meccanica prodotta dall evento sismico. STATI DI SOLLECITAZIONE NORMALE (perpendicolari alla sezione) Come descritto in precedenza ogni spostamento della sezione (ε) dovuto ad una traiettoria lineare o composta produce per effetto della legge di Hooke uno stato di sollecitazione σ che la sezione dovrà, con la propria inerzia, contenere, al fine di evitare il raggiungimento della deformazione limite di rottura. La rappresentazione di un moncone di trave realizzata con un materiale perfettamente elastico è la seguente: Gli assi locali x,y,z (assi principali) hanno origine nel baricentro della sezione della trave. per semplicità possiamo disporre l asse locale x in verticale (come se si trattasse di un pilastro). Aggiungiamo al sistema una risultante delle caratteristiche di sollecitazione N qualsiasi in modo da produrre una configurazione deformata. CASO GENERALE 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 6

7 Essendo il materiale di cui è composta la trave perfettamente elastico è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti (P.S.E.). Lo stato di sollecitazione indotto dalla azione N eccentrica è equivalente a quello prodotto da una forza N centrata a cui si sommano gli effetti prodotti da due momenti Mz e My prodotti rispettivamente dalle eccentricità y c e z c.. Per l equilibrio della sezione il sistema deve produrre una risposta per ognuna delle tre azioni elementari N produce una traslazione lungo l asse x-x My = N*Zc produce una rotazione intorno all asse y-y Mz = N*Yc produce una rotazione intorno all asse z-z La sezione per equilibrare le azioni N,Mz,My deve produrre delle forze e dei momenti uguali e contrari. Considerando un elementino i-esimo da di dimensione 1mm x 1mm, possiamo definire per questa areola un accorciamento (o allungamento unitario) ε i. Applicando la legge di Hooke, per ogni deformazione unitaria è associabile localmente una tensione normale: σ i = ε i x E Il prodotto tra σ i e una superficie da produce una forza i-esima del tipo,, per cui possiamo determinare la risposta della sezione, in termini di N, come la somma del contributo di tutte le areole di 1mm 2 La condizione di equilibrio alla traslazione verticale fornisce la seguente espressione:. Per quanto riguarda l equilibrio alle due rotazioni, ogni areola di 1mm 2 produce, rispetto all asse di riferimento un momento che è il risultato di prodotti del tipo: ; 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 7

8 La condizione di equilibrio rispetto alle due rotazioni è data dalle seguenti espressioni: Le incognite σ i del problema sono infinite dal momento che sono legate alle deformazioni unitarie ε sono diverse da una areola da ad un'altra. Se ipotizziamo la sezione infinitamente rigida nel proprio piano*. Potendo applicare il P.S.E. si può esprimere una generica deformazione unitaria dell elemento da i-esimo mediante la sommatoria di contributi elementari delle deformazioni prodotte da ogni azione singolarmente. Attraverso la legge di Hooke possiamo passare dalle deformazioni unitarie alle tensioni: 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 8

9 *N.B. ciò corrisponde nel ritenere valida l ipotesi di Bernoulli-Navier per cui le sezioni trasversali rette di una trave, piane prima della deformazione, rimangono tali anche all atto della deformazione, in questo modo le deformazioni in caso di traslazione rigida sono tutte uguali per gli elementini da. Nel caso di rotazione rigida la relazione che lega l entità delle deformazioni unitarie dalla distanza dell elementino da dall asse neutro è di tipo lineare Sostituendo ad ogni deformazione unitaria il proprio valore si ottiene: Possiamo sostituire il valore della σ i alle equazioni di equilibrio precedenti ottenendo: I termini tra parentesi hanno il seguente significato: Facendo le seguenti considerazioni le espressioni si semplificano: - Il momento statico di una sezione, calcolato rispetto ad un asse baricentrico risulta nullo - Il momento d inerzia misto (centrifugo) calcolato rispetto a due assi principali d inerzia (z,y) è nullo 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 9

10 Le equazioni di equilibrio diventano: : 0 0 : Quindi possiamo calcolare il valore della tensione normale in una generica areola da Sostituiamo: Che consente di calcolare la tensione normale in ogni punto della sezione. L espressione: prende il nome di formula trinomia di Navier. Il segno ± è legato alla posizione relativa delle coordinate y i e z i rispetto ad un asse detto asse neutro che rappresenta il luogo geometrico di tutti i punti della sezione con ε nulla e come tale rappresenta il riferimento rispetto al quale si misurano e si assegnano i segni alle coordinate y i e z i. Per determinare la posizione dell asse neutro basta porre la condizione: 0 Sostituendo le espressioni di, α, β e ponendo M y = N*z c e M z = N*y c Moltiplichiamo tutto x E Dividiamo tutto x N Le intersezioni della retta con gli assi di riferimento (principali) sono date da: sull asse z (y=0) mentre sull asse y (z=0) la retta che unisce i due punti è l asse neutro della sezione. L espressione che abbiamo visto rappresenta il caso generale, nei casi particolari l espressione si semplifica. 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 10

11 SFORZO NORMALE CENTRATO CASI PARTICOLARI In questa condizione la sezione è soggetta ad una sollecitazione semplice di carico normale centrato In questo caso l espressione generale che definisce il valore dello sforzo sull i-esimo clementino: Essendo: α = 0 ; β = 0 ; Diventa semplicemente: σ = E x ε = N/A essendo ε identiche in ogni areola da per l ipotesi di complanarità della sezione E possibile graficizzare l andamento delle deformazioni e la conseguente distribuzione dello stato tensionale delle areole da 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 11

12 FLESSIONE RETTA In questa condizione la sezione è soggetta ad una sollecitazione semplice di momento flettente retto In questo caso l espressione generale che definisce il valore dello sforzo sull i-esimo clementino: Essendo: α = 0 ; ; 0 Diventa semplicemente: σ = E x = M y z i / J y essendo variabile linearmente in ragione della distanza dell elementino da dal baricentro si ha un andamento delle deformazioni unitarie ed in conseguenza dello sforzo normale come in figura: L asse baricentrico Y-Y, nel caso di flessione retta agente su di un asse principale di una sezione omogenea, possiede la proprietà di contenere le fibre della sezione che pur deformandosi mantengono la loro lunghezza inalterata. N.B. con identica procedura si giunge ad analoghe conclusioni (basta scambiare le lettere) nel caso di flessione retta con momento agente intorno all asse Z 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 12

13 PRESSO (TENSO) FLESSIONE RETTA In questa condizione la sezione è soggetta ad una sollecitazione composta di sforzo assiale + momento flettente retto In questo caso l espressione generale che definisce il valore dello sforzo sull i-esimo clementino: Essendo: α = 0 ; ; σ = (E x ε) ± (E x ) = N/A ± M y z i / J y N.B. ovviamente per momenti flettenti agenti intorno all asse z l espressione diventa: σ = N/A ± M z y i / J z FLESSIONE DEVIATA In questa condizione la sezione è soggetta ad una sollecitazione composta di flessione deviata In questo caso l espressione generale che definisce il valore dello sforzo sull i-esimo clementino: Essendo: α = ; ; 0 σ = (E x ) ± (E x ) = M z y i / J z ± M y z i / J y STATI DI SOLLECITAZIONE TANGENZIALE (paralleli alla sezione) 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 13

14 Gli stati di sollecitazione tangenziale sono quelli prodotti dalle tensioni tangenziali (cioè ad andamento parallelo alla sezione ) nelle dimostrazioni sono indicate con la lettera greca τ seguita dalle lettere indicanti il piano che le contiene. Le tensioni tangenziali sono dovute a due tipi di risultanti: - TAGLIO - TORSIONE Nel caso del taglio le tensioni tangenziali sono prodotte dalla necessità di equilibrare l azione traslante indotta dalla sollecitazione sulla sezione stessa; Nel caso della torsione le tensioni tangenziali sono prodotte dalla necessità di equilibrare la rotazione intorno all asse locale X. Come evidenziato in figura, il meccanismo deformativo di una trave soggetta a flessione (e quindi anche taglio) vede la parte superiore della trave scivolare sulla parte sottostante. La forza risultante dall equilibrio delle due sezioni longitudinali prende il nome di forza di scorrimento, che, nella dimostrazione indicheremo con la lettera R. La forza di scorrimento risulterà dalla somma di tutti i contributi da*τ xy essendo le tensioni tangenziali di spigolo uguali (principio della reciprocità delle tensioni tangenziali). Negli spigoli vale la relazione τ zy = τ xy 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 14

15 Assumiamo una semplice trave inflessa soggetta da un carico uniformemente ripartito, rispetto alla quale abbiamo determinato i diagrammi di sollecitazione TAGLIO e MOM. FLETTENTE Se consideriamo il tronco di trave x possiamo analizzare la condizione di equilibrio di tutte le forze verticali: Z = 0 (equilibrio alla traslazione verticale) T (T+ T) = 0 ; in cui T = - q* x M = 0 (equilibrio alla rotazione) - M +(M+ M) = 0 ; in cui M = T* x La presenza del momento flettente produce delle tensioni normali sulla sezione: 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 15

16 Come visto nel caso delle sollecitazioni normali sommando tutti i prodotti da*σ i si ottiene una forza risultante N. Dove la tensione normale è il risultato della applicazione del momento flettente, sostituiamo alla σ i il valore calcolato con le formule viste in precedenza: La risultante N+ N vale: Se consideriamo la sola parte inferiore A 1 possiamo associare la N e la N+ N ad un volume come in figura: Poniamo l equazione di equilibrio rispetto alle traslazioni orizzontali con riferimento alla parte inferiore della trave X = 0 (equilibrio alla traslazione orizzontale) N + R - (N + N) = 0 ; in cui R = N La forza N vale per le considerazioni fatte in precedenza: 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 16

17 Essendo: R 0 ; R M = T* x ; = momento statico della sezione rispetto all asse y (S y ) Δ Δ x A questo punto abbiamo bisogno di una approssimazione circa l andamento delle tensioni tangenziali ripetto ad una corda di larghezza B. Si assume che le tensioni tangenziali distribuite lungo la corda siano costanti (approssimazione di Jourasky). Considerando la reciprocità delle tensioni tangenziali possiamo porre l uguaglianza tra le due espressioni della forza di scorrimento R : essendo: Δ Δ si può porre: Δ x applicando il principio di reciprocità si determina la relazione tra le tensioni tangenziali e le grandezze in gioco: Che rappresenta la formula generale di equilibrio per le sezioni soggette a taglio. 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 17

18 SEZIONE RETTANGOLARE SEZIONE A DOPPIO T CASI PARTICOLARI Nota: Seguono esercitazioni + aggiungere dimostrazione Torsione (analogia di Bredt) 93 Università degli Studi di Roma La Sapienza - appunti per una pubblicazione ad uso didattico S.CATASTA e P.ANTONINI 18