Per studiare lo spostamento prodotto R*T ragioniamo nel modo seguente:

Transcript

1 DECIMA LEZIONE COMPOSIZIONE DI ISOMETRIE Stiamo studiando la composizione delle isometrie elementari: 1. Traslazioni e rotazioni, che sono isometrie dirette; 2. Riflessioni e glisso-riflessioni, che sono isometrie inverse. Nel seguito indicheremo brevemente con le lettere T, R, S, G una generica traslazione, rotazione, riflessione o glisso-riflessione ed indicheremo col simbolo di prodotto, come ad esempio in R*T, la loro composizione. La proprietà notevole è che le isometrie elementari sono "chiuse" per composizione (si dice che formano un gruppo ): il risultato finale della composizione è ancora una isometria elementare. Abbiamo verificato questa proprietà nel caso delle riflessioni. Oggi vediamo tre nuovi casi, ottenuti componendo una qualsiasi coppia di isometrie estratta dalla terna (T,R,S). Caso 1: R*T traslazione seguita da una rotazione Dico che la composizione di una traslazione di vettore V e di una rotazione R (O, ), di angolo e di centro O, è ancora una rotazione R (, ) dello stesso angolo attorno ad un nuovo centro. (La traslazione sposta il centro senza cambiare l'angolo) Per studiare lo spostamento prodotto R*T ragioniamo nel modo seguente: Anzitutto osserviamo che le traslazioni e le rotazioni sono isometrie dirette che non cambiano l orientazione dei triangoli; quindi anche il loro prodotto non cambia l orientazione dei triangoli e perciò è una isometria diretta. Se accettiamo che il prodotto di isometrie elementari sia una isometria elementare, ne deduciamo che il prodotto R*T non può essere altro che una traslazione o una rotazione. Per vedere quale dei due casi si realizza seguiamo l'idea della ricerca dei punti fissi: se l'isometria prodotto è una rotazione deve avere un punto fisso; questo punto fisso è costruito cercando quel punto del piano per il quale lo spostamento dovuto alla traslazione è annullato (o compensato) dallo spostamento dovuto alla rotazione. Il punto è individuato dalla seguente costruzione (vedi figura 1) fig. 1

2 1. da O si manda la perpendicolare n al vettore della traslazione; 2. si ruota la perpendicolare n attorno ad O dell'angolo + nel senso della rotazione; si ottiene la retta a 3. si prende su a il punto che dista da n di (cioè di metà della traslazione), in senso opposto al verso della traslazione. Il punto è il punto fisso cercato: infatti la traslazione manda nel simmetrico O I rispetto ad n e la rotazione riporta O I in (vedi figura 2) Fig. 2 Adesso abbiamo tutti gli elementi per studiare l isometria prodotto R*T. Dobbiamo verificare che lo spostamento che un generico punto P del piano subisce a causa della traslazione di vettore V seguita dalla rotazione di angolo attorno ad O coincide esattamente con lo spostamento prodotto dalla singola rotazione di angolo attorno ad. Verifica: consideriamo il caso concreto in cui O sia l origine del piano cartesiano, la rotazione attorno ad O sia di 90 in senso antiorario e la traslazione avvenga lungo l asse delle ascisse e sia di lunghezza di quattro quadretti. In questo caso il punto ha ascissa x=-2 e ordinata y=+2. Infatti la retta a è nel nostro esempio ruotata rispetto all asse delle ordinate di 45 in senso antiorario. Fig. 3

3 Studiamo lo spostamento che l origine O subisce separatamente nel prodotto R*T e nella rotazione di 90 attorno ad : nel prodotto R*T: la traslazione T manda l origine O nel punto O dell asse delle ascisse a distanza di quattro quadretti da O ; la successiva rotazione di 90 porta l asse delle ascisse sull asse delle ordinate e manda il punto O nel punto O di ordinata quattro quadretti (vedi figura 3) nella rotazione attorno a : il punto si trova sull asse del segmento O O e l angolo O O è di 90 ; quindi la rotazione antioraria di 90 attorno ad porta direttamente O in O (vedi figura 3) I due spostamenti di O coincidono. Lo stesso vale per qualunque altro punto del piano. Lo studente può verificare questa affermazione nel caso dei punti O ed O. Rimane così dimostrato che il prodotto R*T è la rotazione di 90 attorno ad. Caso 2: S*T traslazione seguita da riflessione Dico che la composizione di una traslazione e di una riflessione è una glisso-riflessione lungo un asse traslato (la traslazione sposta l'asse della riflessione e produce uno scivolamento lungo il nuovo asse). Spieghiamo come si ottiene il nuovo asse e come si calcola lo scorrimento: Il nuovo asse m è ottenuto traslando il vecchio asse l di in senso opposto alla traslazione; lo scorrimento s lungo m è pari alla proiezione di V lungo m (vedi figura 4) Fig. 4 Verifica: Verifichiamo che il prodotto S*T è la glisso-riflessione di asse m e scorrimento s seguendo al solito lo spostamento di un punto P prima nella traslazione e nella successiva riflessione (percorso rosso) e poi nella glisso-riflessione equivalente (percorso blù) (vedi figura 5)

4 Fig. 5 Nel percorso rosso ho eseguito prima la traslazione da P a P e poi la riflessione da P a P rispetto ad l. Nel percorso blu ho eseguito prima la riflessione da P a P rispetto ad m e poi lo scorrimento di due quadretti lungo m ( i due quadretti dello scorrimento sono la componente parallela ad l della traslazione). Caso 3: S*R rotazione seguita da una riflessione Dico che la composizione di una rotazione e di una riflessione è una glisso-riflessione; il nuovo asse m è ruotato rispetto all'asse l originale dell angolo 1/2 in senso opposto al verso della rotazione. Spieghiamo come si costruisce il nuovo asse m e lo scorrimento lungo m. m = asse della glissoriflessione AB = scorrimento Fig. 6 dal centro O della rotazione abbassiamo la perpendicolare all asse l della riflessione fino al punto B (vedi figura 6) tracciamo quindi la circonferenza di centro O e raggio OB; supposto che la rotazione attorno ad O avvenga in senso antiorario, mi sposto sulla circonferenza a partire da B in senso orario (se la rotazione attorno ad O fosse in senso orario mi sposterei sulla circonferenza a partire da B in senso antiorario) mi sposto da B fino a giungere al punto A individuato dal raggio OA che forma con il raggio OB un angolo pari all angolo della rotazione attorno ad O. La retta AB è l asse m della glisso-riflessione; il segmento AB è lo scorrimento della glisso-riflessione. Verifica: Anche in questo caso ci limitiamo a verificare l enunciato in un caso concreto. Supponiamo che l asse della riflessione sia orizzontale e che la rotazione sia di 90 in senso antiorario attorno ad un centro O che dista due quadretti dall asse l (vedi figura 7)

5 P I = rotazione rispetto ad O P II = riflessione per l = 90 Fig. 7 Seguiamo lo spostamento (percorso rosso) che il punto medio P del segmento AB (vedi figura 6) compie nella rotazione del centro O e nella successiva riflessione rispetto ad l. Poi seguiamo lo spostamento (percorso blù) che lo stesso punto esegue nella glisso-riflessione di asse m e scorrimento AB. Nel percorso rosso P è andato con la rotazione di 90 in P I e poi in P II con la riflessione rispetto ad l. Nel percorso nero P è scivolato lungo m di AB arrivando ancora in P II.