9. Nel triangolo ABC, rettangolo in A, gli angoli acuti di vertici B e C misurano rispettivamente b e

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1 4^ - MTEMTI compito n Un settore circolare ha perimetro m ed area 9 m alcola la misura del raggio e dell'angolo al centro (in radianti ed in gradi) partire dal triangolo equilatero (in nero), di lato m, viene costruito il triangolo mistilineo (in viola), delimitato da tre archi di circonferenza di centro,, e raggio uguale al lato del triangolo alcola con tre cifre significative l'area del triangolo mistilineo 3 Dato il punto 0,, calcola le coordinate del punto ' ottenuto da tramite una rotazione di un angolo = /3 di centro l'origine 4 alcola seno, coseno e tangente di un angolo a tale che sen =cos e 3/ 5 Dato il punto P cos, sen nel primo quadrante, e costruito il parallelogramma OPQ, traccia la circonferenza di centro O e raggio OQ che incontra l'asse delle ascisse in Q' alcola l'ascissa di Q' 6 La retta di equazione x y 6=0 forma un angolo a con il semiasse positivo delle ascisse alcola cos 7 Verifica la seguente identità: sen 4 4 sen cos 4 = ctg 4 4 ctg 3 ctg 4 ctg 8 Traccia il grafico della curva di equazione y= sen x /6, spiegando come puoi dedurlo da quello della curva di equazione y=sen x 9 Nel triangolo, rettangolo in, gli angoli acuti di vertici e misurano rispettivamente b e g, l'angolo esterno di vertice misura d e tg =/3 alcola sen e tg 0Esprimi in funzione di cos e/o sen : sen cos 3 tg 3 ctg 3 sen cos alcola: sen sen sen 3 sen357 sen 358 sen 359

2 4^ - orrezione compito n Ricordiamo che la lunghezza dell'arco di circonferenza e l'area del settore circolare sono date rispettivamente da: l= r, S= r / { Imponiamo quindi: r r= Ricaviamo dalla seconda: = 8 r /=9 r r ar a Sostituiamo nella prima: r 8 r = r r 8=0 r 3 r=3 Quindi il raggio misura r=3 m e l'angolo al centro = rad 4,6 L'area del triangolo mistilineo si ottiene sommando le aree dei tre settori circolari (tutti uguali tra loro) e togliendo due volte l'area del triangolo equilatero: tr mist =3 sett circ tr eq =3 3 l 3 4 l = 3 m,8 m 3 Il punto ' viene ottenuto dal punto tramite una rotazione di 0 in senso antiorario intorno all'origine, e quindi le sue coordinate sono: ' cos 30, sen 30 3/, / 4 sen = cos tg = sen cos = ; Per la prima relazione fondamentale: sen cos = 4 cos cos = cos = 5 cos = 5 ; sen = cos = 5, avendo utilizzato la condizione 3 5 Osserviamo che x P y P =cos sen =, per cui il punto P appartiene alla circonferenza goniometrica Di conseguenza O=PQ= e OQ= x Q y Q = cos sen = cos sen sen = sen Infine x Q ' =OQ= sen 6 Sappiamo che tg =m=/ Quindi sen cos = Sostituendo nella prima relazione fondamentale: 5 sen = sen = 5 cos = sen cos = 5, in quanto 0 7 Partiamo dal secondo membro, applichiamo la definizione di cotangente e moltiplichiamo numeratore e denominatore per sen 4 : a '

3 ctg 4 4 ctg 3 ctg 4 ctg = cos 4 4 cos sen 3 sen 4 cos 4 cos sen sen 4 = cos 4 4 sen sen 3 sen 4 =sen 4 4 sen cos 4 cvd cos sen bbiamo utilizzato sia a numeratore che a denominatore la prima relazione fondamentale 8 Una volta tracciato il grafico della funzione y=sen x, applichiamo su di esso: una traslazione orizzontale di /6 verso sinistra; una dilatazione verticale di un fattore ; una simmetria rispetto all'asse delle ascisse; una traslazione di unità verso l'alto; il valore assoluto (per cui applichiamo la simmetria rispetto all'asse delle ascisse solo agli intervalli in cui la funzione assume segno negativo) Poiché la funzione ha periodo, possiamo rappresentarla nell'intervallo [0, ] 9 Poiché tg = sen cos = 3 sen = 3 cos cos cos = 3 9 cos = cos = 3 3 Vediamo che =90 e =80 =90 Quindi: sen =sen 90 =cos = 3 3 e tg =tg 90 = ctg = 3 sen cos 3 tg 3 ctg 3 sen cos = sen cos 3 ctg 3 ctg 3cos sen = cos Dei 359 termini della somma, uno è direttamente uguale a zero sen80, mentre gli altri formano 79 coppie del tipo: sen sen 359, sen sen 358 e, in generale: sen n sen 360 n che sono uguali a zero per le formule degli archi associati Quindi l'intera somma ha come risultato zero d g b

4 4^ - MTEMTI compito n Esprimi in radianti: =5 Esprimi in gradi: rad = rad Determina, giustificando la risposta, la misura in radianti della somma degli angoli interni di un poligono di n lati Supponendo che il poligono sia regolare, calcola la misura in radianti di ciascuno dei suoi angoli 3 alcola: tg 3 tg 6 cos 3 sen 3 4 Inserisci il simbolo >, = o < giustificando la risposta: cos 40 cos 43 ; sen0 tg 0 ; tg 5 tg 95 ; sen4 sen 4 5 Nel triangolo, rettangolo in, è noto che =3 e sen =/5 alcola e cos 6 alcola seno e coseno dell'angolo a che la retta y= 3 4 x forma con l'asse delle ascisse 7 Utilizzando le relazioni fondamentali, verifica che: sen 4 x cos 4 x= cos x 8 Determina il dominio della funzione y=arc sen x x 9 alcola tg arc sen x In quale intervallo è definito il risultato? ome hai scelto il segno? x=3cos t 0Le equazioni del moto di un punto materiale sono: { y= sen t Determina l'equazione cartesiana della traiettoria, spiega di quale curva si tratta e disegnala Descrivi la funzione f x =3cos x e tracciane il grafico Dal grafico tracciato deduci, spiegando il procedimento, quello della funzione g x = f x

5 4^ - orrezione compito n rad = 80 = 3 5 = rad ; = 80 rad =80 rad=65 La somma degli angoli interni di un poligono di n lati misura n 3 4 radianti, in quanto, tracciando le diagonali uscenti da un vertice, il poligono può essere decomposto in n triangoli, per ciascuno dei quali la somma degli angoli interni è p radianti Se poi il poligono è regolare, allora gli angoli interni sono congruenti, per cui la loro ampiezza è: n n radianti 3 3/3 / 3/ = 3 =0 cos 40 cos 43 perché la funzione y=cos x è decrescente nel quadrante; sen0 tg 0 perché sen0 =tg 0 cos 0 e cos 0 ; tg 5 =tg 95 perché la funzione y=tg x ha periodo T =80 ; sen4 sen 4 perché sen4 5 = sen = 3 /5 =5 ; cos = sen = 5 = 5 6 ; = cos =5 5 6=6 6 ; cos = = 3 5 = Sappiamo che tg =3/4 e che a è un angolo acuto, in quanto m 0 Quindi: cos = tg = 4 3/4 = 5 ; sen = cos = 4 = Scomponiamo e applichiamo due volte di seguito la ^ rel fondamentale: sen 4 x cos 4 x= sen x cos x sen x cos x = cos x cos x = cos x

6 8 Dobbiamo imporre: x x ^ condizione: ^ condizione: x x 0 0 x (che usiamo in seguito) x x x 0 0 x 0 x 0 x x E : x 0 (intersezione delle due condizioni) 9 Poniamo y=arc sen x x=sen y Quindi: tg arc sen x=tg y= sen y cos y = x x Il risultato è definito per x 0 x bbiamo scelto il valore positivo in quanto y, e quindi cos y 0 0Ricaviamo cos t= x 3, sent= y, eleviamo al quadrato e sommiamo Per la ^ rel fondamentale: x 9 y = 4 Si tratta di un'ellisse di centro,, semiassi a=3, b= e assi di simmetria paralleli agli assi cartesiani Si tratta di una funzione armonica, la cui equazione è del genere f x =cos x k avente periodo T = / =, ampiezza =3, traslata verso il basso di k= Essa assume: valore massimo per: x =0 x= 4 ; f(x) p/4 -p/4 x x 3p/4 valore minimo per: x = x= 4 ; ed ha un nodo per: x = x=0 Per tracciare il grafico della funzione g x, ricordiamo che: se f x 0, allora g x ; se f x è crescente, allora g x è decrescente, e viceversa x g(x) / p/4 x -p/4 3p/4 -/4

7 4^F - MTEMTI compito n Esprimi in radianti: =44 Esprimi in gradi: rad = 7 36 rad Sapendo che il pentagono DEF in figura è regolare e che il E triangolo è equilatero, calcola l'ampiezza in radianti dell'angolo convesso FD F D 3 alcola: tg 4 sen 4 tg 4 sen 4 sen 3 cos 6 4 Inserisci il simbolo >, = o < giustificando la risposta: sen00 sen05 ; sen 45 cos 45 ; sen 70 tg 70 ; tg 54 tg 54 5 Nel triangolo, rettangolo in, è noto che =0 e cos =/3 alcola e sen 6 alcola seno e coseno dell'angolo a che la retta y= x 5 forma con l'asse delle ascisse 7 Utilizzando le relazioni fondamentali, verifica che: tg x tg x = sen x 8 Determina il dominio della funzione y=arc cos x 9 alcola sen arc tg x In quale intervallo è definito il risultato? 0Le equazioni del moto di un punto materiale sono: { x=tg t y= cos t Determina l'equazione cartesiana della traiettoria, spiega di quale curva si tratta e disegnala Descrivi la funzione f x = sen 3 x e tracciane il grafico Dal grafico tracciato deduci, spiegando il procedimento, quello della funzione g x = f x

8 4^F - orrezione compito n rad = 80 = = 4 5 rad ; = 80 rad= rad=35 La somma delle ampiezze degli angoli interni di un pentagono è 3 80 =540 =3 rad, quindi ciascuno degli angoli interni E misura 540 :5=08 =3 /5 rad Poiché il triangolo è equilatero, ciascuno dei suoi angoli interni misura 60 = /3rad, per cui: F D F= D=08 60 =48 =4 /5 rad Poiché i triangoli F e D sono isosceli di base F e D: F= D= /=66 = /30 rad Quindi: FD conv = =68 =4 /5 rad 3 4 / / / 3/ / 3/ = / / 3/4 = 3/4 sen00 sen05 perché la funzione y=sen x è decrescente nel quadrante; sen 45 =cos 45 perché il raggio vettore giace sulla bisettrice del e 3 quadrante; sen 70 tg 70 perché sen 70 =tg 70 cos 70 e cos 70 ; tg 54 tg 54 perché tg 54 5 sen = cos = 9 = 3 ; = sen =0 3 = cos =0/3 ; = 0 3 ; sen = =0/3 0 = 3 6 Sappiamo che tg = e che a è un angolo ottuso, in quanto m 0 Quindi: cos = tg = = 5 ; sen = cos = 5 = 5 7 pplichiamo prima la ^ rel fondamentale e quindi due volte di seguito la ^: tg x tg x = sen x cos x sen x cos x = cos x sen x cos x cos x cos x sen x =cos x sen x= sen x 0

9 8 Imponiamo: { x 3 x 0 3 x 3 x x 0 x x 3 x x 3 9 Poniamo y=arc tg x x=tg y Quindi: sen arc tg x=sen y= tg y tg y = x x Il risultato è definito per x 0 x R 0Ricaviamo: cos t= y, sen t=x cos t= x y e applichiamo la prima relazione fondamentale: x y y = x y = Si tratta di una iperbole equilatera avente centro nell'origine degli assi, fuochi sull'asse delle ordinate ed asintoti coincidenti con le bisettrici dei quadranti Si tratta di una funzione armonica, la cui equazione è del genere f x = sen x k, di periodo T = / = /3, ampiezza =3, traslata verso l'alto di k= Essa assume: valore massimo per: 3 x = x= 3 ; valore minimo per: 3 x = 3 x= 3 ; x p/3 x f(x) p/3 ed ha un nodo per: 3 x =0 x= 6 Per tracciare il grafico della funzione g x, ricordiamo che: è definita per i valori di x tali che f x 0 ; è tale che g x 0 ; è crescente (decrescente) se f x è crescente (decrescente) 3 g(x) x p/3 x