Curve e superfici in R 3 1 / 16

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1 Curve e superfici in R 3 1 / 16

2 Curve in R 3 2 / 16 Definizione: γ(t)=[x(t),y(t),z(t)], t (a,b), (1) è una curva regolare in R 3 se le funzioni in (1) hanno derivate continue almeno fino al secondo ordine e γ (t)=[x (t),y (t),z (t)] [0,0,0] t (a,b). (2)

3 Osservazioni 3 / 16 In certe situazioni può essere necessario considerare t [a, b], oppure a= o b=+. Nell ipotesi che γ(t) rappresenti la traiettoria di un punto materiale in R 3 espressa in funzione del tempo, il vettore γ (t) rappresenta il vettore velocità istantanea. Da un punto di vista più geometrico è importante precisare che: γ (t) è parallelo alla retta tangente alla curva nel punto γ(t).

4 Elica cilindrica 4 / 16 Esempio: Poniamo γ(t)=[cos t,sint,t], t R. (3) Si può osservare che i punti di γ soddisfano l equazione che rappresenta un cilindro in R 3. x 2 + y 2 = 1 (4) La curva γ(t) si avvolge sul cilindro (4), pertanto è detta elica cilindrica.

5 Funzione integrale 5 / 16 Sia f :[a,b] R una funzione continua. Fissato a piacere x 0 [a,b], poniamo x F(x)= f(t)dt. (5) x 0 Allora F(x) è una primitiva di f(x), cioè F è derivabile e La F(x) è detta funzione integrale. F (x)=f(x). (6)

6 Ascissa curvilinea 6 / 16 Definizione: Se γ(t) è una curva regolare, definiamo t s(t)= γ (u) du, (7) t 0 dove t 0 (a,b) è un punto fissato. La funzione s(t) è detta ascissa curvilinea misurata dal punto γ(t 0 ).

7 Misura della lunghezza di una curva Ora, poiché ds dt = γ (t), (8) deduciamo che s(t) è una funzione strettamente crescente in quanto, da (2), γ (t) >0 su (a,b). 7 / 16

8 Misura della lunghezza di una curva 8 / 16 Proprietà: Se t> t 0, allora s(t)=l(γ(t 0 ),γ(t)), (9) dove la scrittura in (9) denota la lunghezza dell arco di curva che va da γ(t 0 ) a γ(t): per questo motivo, l ascissa curvilinea è anche chiamata funzione lunghezza d arco. Si noti anche che, se t< t 0, allora la lunghezza del corrispondente arco è data da s(t). Il fatto che l integrale (7) misuri proprio la lunghezza degli archi di curva deriva da un processo di limite, basato sull approssimazione mediante curve rettilinee a tratti (poligonali), costruite congiungendo punti di γ via via più vicini fra loro (dettagli omessi).

9 Esercizio 9 / 16 Esercizio: Sia γ(t) l elica cilindrica definita in (3), ristretta all arco 0 t 1. Calcolare la lunghezza di γ. Soluzione: 1 L(γ)=s(1)= γ (u) du...= 2. (10) 0

10 Parametrizzazione di una superficie regolare 10 / 16 La descrizione di una superficie regolare S in R 3 parte da basi simili a quelle che ci hanno guidato nello studio delle curve regolari, ma con una differenza fondamentale che complica sensibilmente il quadro analitico: per descrivere S sono necessari 2 parametri (tradizionalmente, chiamati u e v), mentre per le curve bastava il solo t (o s).

11 Parametrizzazione di una superficie regolare 11 / 16 Procediamo con ordine: una parametrizzazione di una superficie S in R 3 è un dato del tipo x=x(u,v) y=y(u,v) z=z(u,v) [u,v] Ω, (11) dove Ω è una regione di R 2 (tipicamente, Ω potrebbe essere un rettangolo o un disco). Le funzioni x(u,v), y(u,v) e z(u,v) in (11) sono 3 campi scalari su Ω.

12 Esempio: il grafico di un campo scalare 12 / 16 Esempio: Sia f : Ω R un campo scalare con derivate parziali continue, Ω R 2. Il suo grafico x=u y=v z=f(u,v) è un esempio di superficie regolare in R 3. [u,v] Ω (12) Spesso scriveremo X(u, v) per indicare concisamente una parametrizzazione di tipo (11). Dunque X : Ω R 3 è un campo vettoriale e, geometricamente, possiamo dire che la superficie S coincide con l immagine di X, cioè S=X(Ω).

13 Esempio: il cilindro x 2 + y 2 = 1 Esempio: (Cilindro) Si consideri la seguente parametrizzazione X(u, v): x=sinv y=cos v z=u 0 v<2π,u R. Ora, qui ed in seguito, abbreviamo la scrittura riscrivendo questa parametrizzazione come segue: X(u,v)=[sinv,cos v,u] 0 v<2π,u R. (13) La (13) descrive il cilindro individuato dall equazione (in R 3!) x 2 + y 2 = / 16

14 Esempio: la sfera di centro O e raggio fissato R>0 Esempio: (Sfera di centro O e raggio fissato R>0) Si consideri X(u,v)=[Rsinusin v, Rsinucos v, Rcosu], 0 v<2π,0 u π. (14) Meridiani...Paralleli...Linee coordinate... I vettori X u e X v, calcolati in [u 0,v 0 ], risultano entrambi tangenti alla sfera in P. Il piano tangente a S in P, denotato T P S, è il piano passante per P e parallelo a X u e X v, o, in altre parole: T P S è il piano passante per P e ortogonale a N, dove N = X u X v. (15) 14 / 16

15 Osservazione 15 / 16 Osservazione: Visto che l esistenza di T P S è chiaro requisito geometrico di regolarità della superficie, si pone la seguente: Definizione: Sia, come in (11), X(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)], [u,v] Ω, (16) una parametrizzazione con derivate parziali X u e X v continue su Ω. Diremo che X(u, v) rappresenta una superficie regolare S in R 3 se N = X u X v 0 in Ω. (17)

16 16 / 16 Punti critici: significato geometrico Esercizio: Studiare l equazione del piano tangente in un generico punto di un grafico di un campo scalare dipendente da due variabili. Dedurne il significato geometrico della definizione di punto critico.