Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica. Tutorato di AM120

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Mariangela Mura
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1 Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di AM A.A. - - Docente: Prof. G.Mancini Tutore: Matteo Bruno ed Emanuele Padulano Soluzioni 9 - Maggio. a b cos + 5 : Ricordiamo che D[fg] f gg per la regola della catena, ergo, essendo D[tanf] abbiamo che cos + 5 f cos f cos + 5 tan c ; + cos : Qui dobbiamo applicare la regola di integrazione per parti con f + e g cos. Quindi + cos + sin + sin + sin++ cos 6 + cos + sin + + cos 6 + sin 6 cos + c ove in abbiamo applicato la regola di integrazione per parti con f + e g sin e in ancora una volta la stessa regola con f + e g cos ; cosh + c cosh sinh + + c ; d sin cos+ cos c cos+ sin+ cos utilizzando due volte la regola di integrazione per parti in maniera analoga a quanto visto per l esercizio b ; 5 + e f ln ln arctan + c ; + + ln + +. Ora + + A + B + C + + A + B + A + C B + A C + + A + B A + C B A C + + A B C + + ln + + +

2 g ln ln +++ ln ln ln + +. Abbiamo che arctan + c ; A + B A + B A B h i j k { A + B A B { A B ln ln + c ; e sin cos e sin + c ; cosh sinh sinh sinh cosh + c 9 utilizzando la regola di integrazione per parti con f e g cosh ; log log log log + c log + c utilizzando la regola di integrazione per parti con f log e g ; : Abbiamo che A B + C + 9 A + B + C + 5B + 9A + 5C A + B 5 A C + 5B B 9A + 5C C ln+5+ ln ln+5+ ln +9 + ln+5+ ln +9 arctan c ; l A + + B + C A + B + A + B + C + A + C + se e solo se + A + B A + B + C A + C A 9 B 5 9 C 9

3 m n o + 9 ln ln ln ln ln + 9 ln ln + c 5 + ove in abbiamo usato la formula di integrazione per parti con f e g ; arcsin arcsin arcsin + arcsin + + c applicando la regola di integrazione per parti con f arcsin e g ; sign + c ; + arctan : Applichiamo la regola di integrazione per parti con f arctan e g + ottenendo che + arctan arctan + arctan arctan + +. Essendo + A + B + C + A + B + C + A + A B C abbiamo che + ln ln + + c ln + + c p e + arctan + + Ora + arctan +ln + c ; A + B + + C + D + +

4 A + B + C + E + G A B + D E + F + G + H A + B + E F + G + H + E + F G + H + A B + F + H A + B E G A B + E F G H A + B C E + F G H A B D F H A B C D E dopo MOLTI conti F 6 G H ln ln+ arctan ln ln arctan + c.. a b c e logsinh + cosh : Essendo abbiamo che ln e sinh + cosh e e logsinh + cosh e + e + e e ln e e [log]e ; ln e + e e + e e + e + [ lne + ] ln ln ln + ln ln ln ; sinarccos : Essendo sin cos sinarccos cos arccos abbiamo che sinarccos. Quando [, ] la funzione y rappresenta il quarto di circonferenza unitaria che si trova nel primo quadrante. Pertanto il valore dell integrale é

5 5 pari ad un quarto dell area della circonferenza unitaria! Essendo l area della circonferenza di raggio r pari a r abbiamo che ; d e f e cos + sin sin + sin sin [ + cos] + ; log : Abbiamo che e [arcsinlog] arcsin sin + sin + sin 6 ; g h A + B + A + B + C B C A C + A + B + C + B C A A B C [ ln ln ] ln + 7 [ ] ln ln ln ; arctane 96 arctane 96 sin arctane 96 cos + sin sin cos [lnsin lncos]arctane96 sin cos arctane 96 [ln tan]arctane96 ln ln ; cot + tan 8.. Per iniziare il calcolo di questo integrale dobbiamo effettuare una integrazione per parti con f cos n e g cos. In tal modo abbiamo che I n cos n [ ] cos n sin +n cos n sin n cos n cos n I n n I n ni n n I n I n n I n. n A questo punto dobbiamo fare una piccola distinzione tra n pari ed n dispari : il procedimento di iterazione, difatti, ci permette di continuare ad applicare la formula fino a che n per gli n dispari e fino ad n per gli n pari.

6 6 a Sia n k + : In tal caso abbiamo che I k+ Tuttavia k k + I k I k k + I k!! k +!! I. cos [sin] possiamo concludere che I k+ k N. b Sia n k : In tal caso abbiamo che I k k k I k k k I k!! k!! I. Essendo abbiamo che I [ + sin cos cos I k k!! k!! k. Anche in questo caso effettuiamo l integazione per parti con f sin n e g sin. Con gli stessi conti dell integrale precedente otteniamo che ] Essendo e I I possiamo concludere che sin n sin I n n n I n. sin [cos] cos cos n se n k + k!! k!! se n k.

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