Analisi Matematica 3 - Soluzioni Tutorato 10

Transcript

1 Analisi Matematica 3 - Soluzioni Tutorato 0 Università degli Studi Roma Tre - Dipartimento di Matematica Docente: Luca Biasco Tutori: Patrizio Caddeo, Jacopo Tenan 0 gennaio 08. Risolvere i seguenti problemi: ẍ(t) x(t) = + t + sinh t (a) x(0) = 0 ẋ(0) = Il polinomio caratteristico è λ, che ha radici λ = ± (entrambe con molteplicità ). La soluzione dell omogenea associata è pertanto x h (t) = ae t + be t. Per la soluzione particolare, notiamo che sinh(t) = et e t, e pertanto cerchiamo una soluzione della forma x p (t) = c + dt + fte t + gte t. (0 non è radice del polinomio caratteristico e quindi + t non entra in risonanza, mentre sia e t che e t lo fanno in quanto e sono radici). Derivando due volte, inserendo nell equazione e imponendo poi le condizioni iniziali su x(t) = x h (t)+x p (t) otteniamo x(t) = 5 4 et 4 e t 4 t + 4 tet + 4 te t. { ẋ(t) + max{t, t (b) }x(t) = 0 x(0) = L equazione è del primo ordine, lineare e a coefficienti non costanti. Si può procedere o per separazione di variabili o applicando la formula per la soluzione di equazioni lineari del primo ordine. Utilizzando quest ultima, otteniamo x(t) = x(0)e A(t), dove A(t) = 0 max{τ, τ 0 τ dτ t 0 }dτ = t 0 τdτ 0 t 0 τdτ + τ dτ t Pertanto, dal momento che x(0) =, otteniamo e t3 3 t 0 x(t) = e t 0 t. e t3 3 6 t t 3 3 t 0 = t 0 t. t t

2 (c) Nota: Nella traccia non era specificato cosa si intendese con risolvere l equazione. In generale, un equazione differenziale ha soluzione solo localmente (ossia per tempi vicini al tempo iniziale, che in questo caso è t 0 = 0), tuttavia l equazione in questione ammette una soluzione globale che si può esprimere facilmente per tutti i tempi. Era a vostra discrezione risolvere l equazione solo localmente (e dunque curandovi solo di t vicino a 0, trascurando cosa succede per t ) o trovare la soluzione massimale. x (3) (t) x () (t) = + t + sin(t) + e t x(0) = 0 x () (0) = 0 x () (0) = 0 Il polinomio caratteristico è λ 3 λ, che ha radici λ = 0 (con molteplicità ) e λ = (con molteplicità ). La soluzione dell omogenea associata è pertanto x h (t) = a + bt + ce t. Per la particolare, cerchiamo una soluzione della forma x p (t) = t (d+ft)+g cos(t)+h sin(t)+lte t = dt +ft 3 +g cos(t)+h sin(t)+lte t (0 è radice del polinomio caratteristico con molteplicità doppia, i = 0 + i non è radice mentre è radice con molteplicità ). Derivando tre volte, inserendo nell equazione e imponendo poi le condizioni iniziali su x(t) = x h (t)+x p (t) otteniamo x(t) = t 3 8 t t3 + 6 cos(t) + 6 sin(t) + 4 tet. Nota: In alternativa, si poteva porre z(t) = x (t), risolvere z (t) z(t) = + t + sin(t) + e t con la condizione iniziale z(0) = x (0) = 0 e poi risolvere z(t) = x (t) integrando e usando le rimanenti condizioni iniziali. { ẋ(t) + (d) t x(t) = t x() = L equazione è del primo ordine, lineare e a coefficienti non costanti. Utilizzando la formula per la soluzione di equazioni lineari del primo ordine, otteniamo x(t) = e A(t) (x() + e A(τ) τ dτ), dove A(t) = log τdτ = log t e x() =. Dal momento che risolviamo l equazione per t > 0 (il tempo iniziale è positivo e l equazione non è definita per t = 0), il modulo in realtà è ininfluente, e quindi In conclusione: e A(τ) τ dτ = e log τ τdτ = τ = t x(t) = e log t ( + t3 3 3 ) = t 3 + 3t. (e) { ẋ(t) = t sinh(x(t)) x(0) =

3 L equazione è del primo ordine e non lineare, ma a variabili separate. integrale associata è da cui otteniamo x(t) sinh(y)dy = 0 t = t, L equazione cosh(x(t)) cosh( ) = cosh(x(t)) cosh() = t, ossia cosh(x(t)) = cosh() + t. Se provassimo ad invertire la relazione sopra scritta utilizzando la funzione arcocoseno iperbolico, che per convenzione ha come codominio l insieme [0, + ), otterremmo x(0) = arccosh(cosh()) =, contro la condizione iniziale x(0) =. Come al solito, il problema risiede nel fatto che quella che per convenzione viene detta arcocoseno iperbolico è sì un inversa della funzione cosh, ma non quella che serve a noi. La vera soluzione dell equazione è x(t) = g(cosh() + t ), dove g : [, + ) (, 0] è l inversa di cosh che ha, per l appunto, codominio (, 0]. In realtà, in questo caso siamo in grado di calcolare esplicitamente la funzione g: poniamo innanzitutto y = cosh x = ex + e x, e moltiplichiamo l equazione per e x, ottenendo ex ye x +. Posto t = e x e moltiplicando l equazione per, otteniamo da cui e quindi t yt + = 0, t = y ± y x = log(y ± y ). Abbiamo quindi stabilito che un inversa della funzione cosh ha la forma di una delle equazioni sopra scritte. Dal momento che vogliamo un inversa che abbia codominio composto di soli valori negativi, dobbiamo scegliere il segno meno, e quindi g(y) = log(y y ). In conclusione: x(t) = log(cosh() + t (cosh() + t ) ). Facciamo il conto esplicito per ricavarla, sebbene essa potrebbe anche essere considerata una funzione nota. 3

4 . Trovare massimo e minimo delle seguenti funzioni nei domini indicati, discutendo anche la natura degli eventuali punti critici interni. Supponiamo di avere una funzione della forma f(x, y) = g(h(x, y)), dove g = g(t) è una funzione (diciamo C ) di una sola variabile (cioè g : R R) ed h è una funzione (diciamo continua) di due variabili (cioè h : R R), e supponiamo che h sia di una forma abbastanza semplice. Come possiamo trovare massimo e minimo assoluto di f su un certo compatto D? Se noi dovessimo studiare massimo e minimo assoluto di g(t) in un certo intervallo [a, b], quello che faremmo è trovare i punti critici interni all intervallo e poi confrontare il valore che g assume in essi con quello che assume agli estremi (e in questo modo il valore più grande sarebbe il massimo assoluto, quello più piccolo il minimo assoluto). Nel nostro caso non abbiamo un intervallo ma un dominio di due variabili, e il ruolo dell argomento t è giocato da h(x, y). Dire t = h(x, y) non significa effettuare un vero e proprio cambio di variabili, in quanto non stiamo trasformando il dominio nel vero senso della parola. Tuttavia ci chiediamo: se h(x, y) gioca il ruolo dell argomento di g, dov è che varia quest argomento (dov è cioè che variano i suoi valori)? La risposta è semplice: varia nell intervallo [a, b], dove a = min D h(x, y) e b = max D h(x, y)! Vale a dire: i valori che assume h(x, y) in D sono tutti e soli quelli compresi tra il minimo assoluto e il massimo assoluto di h su D. Questo implica che, esattamente come nello studio dei massimi e minimi di una funzione di una variabile su un intervallo chiuso, per trovare massimi e minimi di g(h(x, y)) su D è sufficiente trovare i punti critici della funzione (di una variabile) g(t) che sono compresi tra il minimo e il massimo assoluto di h, e poi confrontare il valore che g assume in tali punti con quello nel minimo assoluto di h e nel massimo assoluto di h (ossia gli estremi del nostro intervallo). In definitiva, il procedimento che adottiamo è il seguente: troviamo minimo e massimo assoluto di h(x, y) su D (che chiamiamo rispettivamente a e b), poi troviamo i punti critici c,..., c n di g(t) compresi tra tali valori e infine confrontiamo il valore che g assume in a, b, c,..., c n determinando così (i valori) massimo e minimo assoluto di f. Per quanto riguarda i punti (x, y) di D in cui massimo e minimo assoluto sono effettivamente raggiunti, essi sono tutti i punti (x, y) per cui h(x, y) è uguale ai punti critici o agli estremi che massimizzavano e minimizzavano gli estremi che massimizzavano e minimizzavano g (cioè se ad esempio il minimo assoluto è il valore g(c ) mentre il massimo assoluto è il valore g(a), allora i punti di minimo e massimo assoluto di f(x, y) saranno tutti i punti (x, y) per cui h(x, y) = c e h(x, y) = a, rispettivamente 3 ). Gli esercizi che seguono sono esempi concreti: (a) f(x, y) = 4(x + y ) 3 3(x + y ) D = {x + y }. Abbiamo f(x, y) = g(h(x, y)), dove g(t) = 4t 3 3t e h(x, y) = x + y. Seguendo il procedimento di sempre, la prima cosa che faremmo è cercare i punti critici di f. Notiamo tuttavia che il gradiente di f f = g (h(x, y)) h = [(x + y ) 3](, y) si annulla o quando x + y = ± (ossia quando h(x, y) = x + y è un punto critico di g(t)) o quando si annulla il gradiente di h (ossia quando si annulla (, y)). Quest ultimo caso non si verifica mai, mentre per il primo caso siamo semplicemente portati a concludere che le parabole x + y = ± sono curve di punti critici. Questo è senza dubbio giusto, ma a priori nessuno ci garantisce che tali parabole intersechino il nostro dominio (ossia che esistano punti di tali parabole effettivamente Quest affermazione segue semplicemente dalla continuità di h. 3 Nel caso in cui nell esempio si avesse g(c ) = g(c 4) (o g(c ) = g(b)), i punti di minimo assoluto sarebbero tutti i punti (x, y) in cui h(x, y) = c o h(x, y) = c 4 (o h(x, y) = b) 4

5 interni a D)! In realtà in questo caso è ovvio (sia facendo un disegno che facendo un paio di prove) che le parabole in questione intersechino il nostro dominio, tuttavia in una situazione leggermente più complicata nessuno non avremmo potuto dirlo a priori. È per questo che, anche nei prossimi esercizi (che sono tutti del tipo che stiamo trattando), partiremo direttamente dal trovare massimo e minimo assoluto della funzione h(x, y), in modo da poter dire per certo se essa raggiunga o meno i punti critici di g (nel caso che stiamo trattando, se x + y raggiunga o meno i valori ± ). Cerchiamo dunque massimo e minimo assoluto di h(x, y) su D: come già notato, h = (, y) non si annulla mai, quindi h non ammette punti critici in D. Per studiare il bordo, utilizziamo i moltiplicatori di Lagrange: = λx y = λy x + y = Dalla seconda equazione, deduciamo che y = 0 oppure λ =. Nel primo caso otteniamo le soluzioni (±, 0), mentre nel secondo otteniamo le soluzioni (, ± 3 ). Confrontando il valore di h nei punti trovati, otteniamo che il minimo e il massimo di h sul bordo (ed anche su tutto D dal momento che all interno non ci sono punti critici) sono rispettivamente (raggiunto nel punto (, 0)) e 5 4 (raggiunto nei punti (, ± 3 )). Possiamo ora dire quali sono punti critici e massimo e minimo assoluto di f: come già notato, g(t) = 4t 3 3t ha come unici punti critici t = ±, e dal momento che abbiamo visto che minimo e massimo assoluto di h(x, y) = x + y valgono e 5 4, entrambi i punti critici sono raggiunti da h e quindi le parabole x + y = ± intersecano il dominio e sono curve di punti critici. In particolare, essendo t = un punto di massimo per g(t) e t = un punto di minimo per g(t), deduciamo che x + y = è una curva di punti di massimo (locale) per f, mentre x + y = è una curva di punti di minimo (locale) per f. Per quanto riguarda massimo e minimo assoluto di f, come spiegato nell introduzione basta confrontare i valori g( ), g( ), g( ) e g( 5 4 ) (nei primi due casi stiamo calcolando g nei suoi punti critici, mentre negli ultimi due stiamo calcolando g nei valori minimo e massimo di h), da cui vediamo subito che il minimo assoluto di f è g( ) = g( ) = (raggiunto quindi sia nel punto (, 0) che sulla parabola x + y = ) e il massimo assoluto di f è g( 5 4 ) = 65 6 (raggiunto quindi nei punti (, ± 3 )). (b) f(x, y) = arctan( 3 ( 3 x + 3 y)3 ( 3 x + 3 y) 6( 3 x + 3 y)) D = { x 9 + y 4 }. Notiamo innanzitutto che, essendo la funzione arcotangente strettamente crescente (e con derivata strettamente positiva), possiamo limitarci a studiare punti critici e massimo e minimo assoluto della funzione f(x, y) = 3 ( 3 x + 3 y)3 ( 3 x + 3 y) 6( 3 x + 3 y). Similmente a prima, abbiamo f(x, y) = g(h(x, y)), dove g(t) = 3 t3 t 6t e h(x, y) = 3 x + 3 y. Cominciamo trovando massimo e minimo assoluto di h su D: poiché h = ( 3, 3 ) non si annulla mai, deduciamo che h non ammete punti critici in D. Per studiare il bordo, utilizziamo i moltiplicatori di Lagrange: 3 = 9 λx 3 = 4 λy x 9 + y 4 = 5

6 Dalle prime due equazioni otteniamo che 3 y = 3x, ossia y = x. Inserendo tale condizione nell ultima equazione, otteniamo 3 36 x =, ossia x = ± 6 3. Otteniamo quindi le due soluzioni (± 6 3, ± 6 3 ). Confrontando tali valori, deduciamo che il minimo e massimo assoluto di h sul bordo (e quindi anche su tutto D dal momento che h non ammette punti critici interni) sono rispettivamente 3 (raggiunto nel punto ( 6 3, 6 3 )) e 3 (raggiunto nel punto ( 6 6 3, 3 )). Troviamo ora punti critici e massimo e minimo assoluto di f: g(t) = 3 t3 t 6t ha derivata g (t) = t t 6 = (t + )(t 3), quindi i punti critici di g sono t = e t = 3. I punti critici di f sono quelli per cui g ( 3 x+ 3 y) = 0 o per cui ( 3 x+ 3 y)=0: il secondo caso non può verificarsi, mentre il primo si verifica quando 3 x + 3 y = o 3 x + 3 y = 3. Dal momento che 3 < < 3 < 3, entrambe le rette trovate intersecano il dominio (in quanto h(x, y) raggiunge sicuramente sia il valore che il valore 3), e dal momento che t = è un punto di massimo per g e t = 3 è un punto di minimo per g, deduciamo che la retta 3 x + 3 y = è una curva di punti di massimo per f (e per f), mentre la retta 3 x + 3 y = 3 è una curva di punti di minimo per f (e per f). Per quanto riguarda massimo e minimo assoluto di f, come spiegato nell introduzione basta confrontare i valori g( ), g(3), g( 3) e g( 3) (nei primi due casi stiamo calcolando g nei suoi punti critici, mentre negli ultimi due stiamo calcolando g nei valori minimo e massimo di h), da cui vediamo subito che il minimo assoluto di f su D è g(3) = 7 (raggiunto in tutta la retta 3 x + 3 y = 3) e il massimo assoluto di f su D è g( ) = 3 (raggiunto in tutta la retta 3 x + 3 y = ). Per quanto riguarda f, abbiamo quindi che il suo minimo assoluto su D è arctan( 7 ) (raggiunto in tutta la retta 3 x + 3 y = 3) e il suo massimo assoluto su D è arctan( 3 ) (raggiunto in tutta la retta 3 x+ 3 y = ). (c) f(x, y) = x + y x + y D = {x + y }. Notiamo innanzitutto che f(x, y) = g(h(x, y)), dove g(t) = t t e h(x, y) = x + y. A differenza dei casi precedenti, la funzione h(x, y) non è C (non ammette gradiente sugli assi). Il ragionamento fatto nell introduzione tuttavia richiedeva semplicemente la continuità di h (per l esistenza di massimo e minimo e per la proprietà del valor medio), e quindi l unica differenza nel procedimento sarà che dovremo fare le solite considerazioni quando studieremo massimo e minimo di h su D e quando discuteremo i punti critici di f. Cominciamo quindi studiando massimo e minimo assoluto di h: come già notato, la funzione in questione non ammette gradiente sugli assi, e in particolare si vede subito che il suo minimo assoluto vale 0 e viene raggiunto nell origine. È anche chiaro che h non ammette punti critici fuori dagli assi, e si vede subito usando i moltiplicatori (oppure le coordinate polari, che ad esempio nel primo quadrante danno h = cos θ +sin θ = sin(θ + π 4 )) che il suo massimo assoluto vale ed è raggiunto nei quattro punti (±, ± ), (±, ). Troviamo ora punti critici e massimo e minimo assoluto di f: g(t) = t t ha derivata g (t) = ( t ), quindi l unico punto critico di g è t =. Per quanto riguarda i punti critici di f, dal momento che il gradiente di h(x, y) = x + y non si annulla mai essi risultano tutti e soli quelli per cui g ( x + y ) = 0, ossia quelli sul quadrato x + y = (tra questi sono inclusi anche i quattro punti che intersecano gli assi, dove sebbene x + y non sia derivabile, f lo è proprio perché g si annulla in essi). Essendo t = un punto di minimo per g, anche tutti i punti critici in questione risultano punti di minimo per f. Infine, per quanto riguarda massimo e minimo assoluto di f, basta confrontare i valori g(), g(0) e g( ), da cui vediamo subito 6

7 che il minimo assoluto di f è 4 g() = (raggiunto in tutti i punti del quadrato x + y = ) e il massimo assoluto di f è g(0) = 0 (raggiunto nel punto (0, 0)). (d) f(x, y) = (y xy) 3 3(y xy) (y xy) D = {x + y }. Notiamo innanzitutto che f(x, y) = g(h(x, y)), dove g(t) = t 3 3t t e h(x, y) = y xy. Cominciamo trovando punti critici e massimo e minimo assoluto di h su D: il gradiente di h è h = ( y, y x), che si annulla solo in ( (0, 0). Quest ultimo ) è un punto 0 di sella per h, in quanto la matrice Hessiana di h è (che ha determinante ). Studiamo ora h sul bordo utilizzando i moltiplicatori: y = λx y x = λy x + y = Dalle prime due equazioni deduciamo che y xy + x = 0 (ponendo uguale a 0 il determinante della matrice che ha per righe i gradienti di h e del vincolo oppure dividendo per x nella prima equazione, per y nella seconda ed eguagliando i membri). Completando il quadrato, tale equazione si riscrive che a sua volta si riscrive (x y) y = 0, (x + ( + )y)(x + ( )y) = 0, da cui x = ( ± )y. Nel caso x = ( + )y, l ultima equazione si legge (4 + )y =, da cui y = ± 4+ e5 x = ± 4 (quindi abbiamo i punti (± 4, ± 4+ ). Nel caso x = ( )y, l ultima equazione si legge (4 )y =, da cui y = ± 4 e x = 4+ (quindi abbiamo i punti ( 4+, ± 4 ). Confrontando i valori che h assume nei quattro punti trovati, otteniamo che il minimo assoluto di h su D è (raggiunto nei due punti (± 4, ± 4+ ) e il massimo assoluto di h su D è + (raggiunto nei due punti ( 4+, ± 4 ). Troviamo ora punti critici e massimo e minimo assoluto di f su D: g(t) = t 3 3t t ha derivata g (t) = 6(t t ) = 6(t + )(t ), e quindi i punti critici di g sono i punti t = e t =. Notiamo che < < + <, quindi entrambi i punti critici di g(t) sono fuori dal range di h(x, y) (h assume valori compresi tra il suo massimo e il suo minimo su D, quindi non può assumere i valori e ). I 4 I valori che g assume in e sono molto simili (rispettivamente e ), ma calcolatrice a parte è chiaro che il minimo di g non può essere raggiunto in dal momento che g(t) è crescente dopo t =. 5 Razionalizzando x = ±

8 punti critici di f sono o quelli tali che g (y xy) = 0 oppure quelli che annullano il gradiente di y xy, ma dal momento che il primo caso non può verificarsi (abbiamo appena visto che y xy non assume mai il valore dei punti critici di g) deduciamo che l unico punto critico di f è (0, 0) (che è l unico punto ad annullare il gradiente di h). Abbiamo visto che tale punto è di sella per h(x, y), e quindi vicino a (0, 0) l argomento di g nell espressione di f (che è h(x, y)) assume valori sia minori che maggiori di 0 = h(0, 0), e dal momento che g(t) cresce in t = 0 deduciamo che f(x, y) = g(h(x, y)) assume valori sia minori che maggiori di f(0, 0) in un intorno di (0, 0), che è pertanto un punto di sella anche per f. Infine, per quanto riguarda massimo e minimo assoluto di f, dal momento che i critici di g non giocano alcun ruolo deduciamo che essi vanno cercati semplicemente nei due valori g( ) e g( + ), da cui è chiaro che il minimo assoluto di f su D è g( + ) = (raggiunto nei due punti ( 4+, ± 4 ) e il massimo assoluto di f su D è g( ) = (raggiunto nei due punti (± 4, ± 4+ ). 8