Esercizi V settimana

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1 Esercizi V settimana 6 ottobre Dire se e dove la funzione F (x, y) = ( xy, y ) x definisce un diffeomorfismo localmente. Determinare quindi gli insiemi A, B R tali che F : A B sia un diffeomorfismo globale e quindi un cambiamento di coordinate.. Determinare massimo e minimo della funzione sull insieme f(x, y, z) = e x +y +z x + y + z E = {(x, y, z) R 3 : x 0, x + 4y + 4z 4}. 3. Determinare massimo e minimo della funzione 3x + y z sull insieme E = {(x, y, z) R 3 : 3x 5y + z = 7, x + y 3z = 1}. 4. Determinare massimo e minimo della funzione f(x) = Ax x, con A R n n matrice simmetrica e x S n 1. Gli esercizi settimanali se svolti consegnati al docente entro la lezione di lunedì 9 ottobre 018, ore 8.30, possono portare punti bonus per l esame scritto. Lo studente può scegliere un esercizio tra quelli proposti; tale esercizio verrà valutato su una scala di 10 punti e può portare fino ad un massimo di 1 punto bonus. I punti bonus sono accumulabili fino da un massimo di 3 con la seguente regola; un bonus aquisito nella prima e seconda settimana è cumulabile con un bonus aquisito nella nona e decima settimana, un bonus aquisito nella terza e quarta settimana è cumulabile con un bonus aquisito nell ottava, nona e decima settimana mentre un bonus aquisito nella quinta e sesta settimana è cumulabile con un bonus aquisito nella settima, ottava, nona e decima settimana. Si possono consegnare anche più di due esercizi settimanali e verranno contati al fine dei bonus le combinazioni più favorevoli. Un terzo bonus è cumulabile se si consegnano esercizi in nove settimane differenti con valutazioni che nella media superino i 7 punti. 1

2 Soluzioni 1. La funzione data è definita per x 0; la sua matrice Jacobiana è data da y x DF (x, y) = y 1 x x e quindi il suo determinante è dato da detdf (x, y) = y x. Siamo in presenza quindi di un diffeomorfismo locale nell insieme E = {(x, y) R : x 0, y 0}. Per vedere se e dove F definisce un diffeomorfismo globale risolviamo il seguente sistema trovando (x, y) in funzione di (u, v): xy = u y (1) x = v. Dovendo essere x 0 e y 0, si nota che deve anche valere u 0, v 0. Ricavando y dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si trova x = u v y = xv. Si nota quindi che u e v devono avere segno concorde ed in tal caso si ricava x = ± u Da questo si deduce che F non è iniettiva ma che se si decide a priori il segno di x, si ha iniettività. Se quindi imponiamo x > 0, allora troviamo che u x = v u y = v Invece, se decidiamo che x < 0, allora si trova che u x = v u y = v In definitiva F : A B diventa un diffeomorfismo globale se si prende B = {(u, v) R : uv > 0}, ()

3 mentre per A si può prendere in alternativa oppure A = {(x, y) R : x > 0, y 0}, A = {(x, y) R : x < 0, y 0}. Se nel sistema (1) si ricavava x = u y, allora potevamo equivalentemente arrivare al sistema x = u y y = uv. Nuovamente si trovava che u e v devono avere segno concorde e che si ha una perdita di iniettività avendo ambiguità nel determinare y. Se però si decide il segno di y allora, se si decide che y > 0 possiamo scrivere x = u uv y = uv, o analogamente, se si decide che y < 0 x = u uv y = uv. In definitiva F : A B è un diffeomorfismo globale se B è come in (), mentre per A possiamo prendere A = {(x, y) R : y > 0, x 0}, o A = {(x, y) R : y < 0, x 0}.. Cerchiamo il massimo e il minimo della funzione prima andando a cercare i punti stazionari interni e poi i punti stazionari vincolati. Per i punti interni, il gradiente di f è dato da f(x, y, z) = (xe x +y +z x, ye x +y +z y, ze x +y +z z) che si annulla esclusivamente per (x, y, z) = (0, 0, 0) che non è interno (è sulla frontiera e quindi lo ritroveremo quando andremo a cercare i punti stazionari vincolati). Per la ricerca dei punti stazionari vincolati, notiamo che E ={x > 0, x + 4y + 4z = 4} {x = 0, x + 4y + 4z < 4} {x = 0, x + 4y + 4z = 4}. Abbiamo quindi che la frontiera di E è composta da tre pezzi distinti; nel primo pezzo possiamo considerare la Lagrangiana e x +y +z x + y + z λ(x + 4y + 4z 4), 3

4 nel secondo possiamo massimizzare e minimizzare la funzione g(y, z) = f(0, y, z) = e y +z y + z sull aperto 4y + 4z < 4, mentre per il terzo pezzo possiamo equivalentemente considerare la Lagrangiana e x +y +z x + y + z λ(x + 4y + 4z 4) µx, oppure prima sostituire x = 0 e quindi considerare la Lagrangiana e y +z y + z λ(4y + 4z 4), o ancora sostituire x = 0 e parametrizzare il vincolo 4y + 4z = 4 con (y, z) = (cos t, sin t) e studiare la funzione h(t) = f(0, cos t, sin t) = e 1. Iniziamo con l ultimo caso; dato che sul vincolo la funzione è costante, tutti i punti (0, cos t, sin t) sono punti stazionari vincolati e f(0, cos t, sin t) = e 1. Per il secondo vincolo notiamo che g(y, z) = (ye y +z y, ze y +z z) e tale gradiente si annulla esclusivamente per (y, z) = (0, 0) dove la funzione vale g(0, 0) = 1. Per il primo vincolo invece il sistema con la Lagrangiana diventa xe x +y +z x λx = 0 ye x +y +z y 8λy = 0 ze x +y +z z 8λz = 0. Questo sistema, tenendo conto che si deve avere x > 0, ha come soluzione (, 0, 0) con λ = e 4 1 dove la funzione vale f(, 0, 0) = e4. In definitiva troviamo che per confronto mentre min f = 1, assunto in (0, 0, 0), E max E f = e4 1, assunto in (, 0, 0). Notiamo che i conti di questo esercizio potevano essere semplificati se si poneva s = x + y + z ; si aveva infatti che f(x, y, z) = e s s = h(s), s 0; una verifica diretta mediante derivata prima mostra che h è strettamente monotona crescente. Quindi la determinazione del massimo e del minimo di f poteva essere ricondotta alla determinazione dei punti di massima e minima distanza di E dall origine. Potevamo quindi semplicemente massimizzare e minimizzare la funzione x + y + z su di E. 4

5 3. Possiamo procedere in due modi; o introducendo la Lagrangiana 3x + y z λ(3x 5y + z 7) µ(x + y 3z 1), oppure notando che il vincolo è una retta parametrizzata ad esempio da r(t) = (13t, 10t, 11t 19), t R. Conviene considerare il secondo metodo ed ottenere la funzione g(t) = f(r(t)) = 3(13t) + (10t ) (11t 19). Derivando e ponendo a zero si trova t = con g(11/18) = 6. Tale valore deve essere il valore minimo; infatti il massimo non esiste in quanto lim g(t) = +. t 4. Il vincolo che stiamo considerando è dato da x = 1 o equivalentemente x = 1. Possiamo quindi considerare la Lagrangiana Ax x λ( x 1) Un conto diretto mostra che, dato che A è una matrice simmetrica, mentre Ax x = Ax, x = x. Cercare i punti stazionari della Lagrangiana equivale quindi a risolvere il sistema { Ax λx = 0 x = 1. Stiamo quindi cercando gli autovettori unitari e gli autovalori di A. Avremo quindi che f ha n punti stazionari vincolati che corrispondono agli n autovettori unitari v i, i = 1,..., n, e i moltiplicatori λ corrispondono agli n autovalori λ i, i = 1,..., n di A. In corrispondenza di tali punti stazionari abbiamo che f(v i ) = Av i v i = λ i. Il massimo di f corrisponderà quindi al massimo autovalore di A e i punti di massimo saranno dati da tutti gli autovettori corrispondenti a tale autovalore, il minimo di f sarà il minimo autovalore di A e i punti di minimo saranno tutti gli autovettori corrispondenti a tale autovalore. 5