Analisi Matematica 3 - Soluzioni Tutorato 2

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1 Analisi Matematica 3 - Soluzioni Tutorato 2 Università degli Studi Roma Tre - Dipartimento di Matematica Docente: Luca Biasco Tutori: Patrizio Caddeo, Jacopo Tenan 31 ottobre Sia f : R n R una funzione continua su R n e di classe C 1 in R n \{0}, positivamente omogenea di grado α. Provare ce: Se α > 1 allora f è differenziabile in 0. Come visto a lezione, le derivate parziali di f sono omogenee di grado α 1, e quindi se α > 1 esse anno grado maggiore di 0, e quindi sono continue. Per il Teorema del Differenziale Totale 1, otteniamo ce f è differenziabile nell origine. Se α < 1 allora f non è differenziabile in 0 (ammenocé α non sia 0 ed f sia costante). ( ) Se f è costante ovviamente è differenziabile. Supponiamo quindi ce f non sia costante: - Se α 0 allora f non è continua e quindi non è differenziabile (questo caso in realtà era persino escluso dalla traccia dal momento ce abbiamo assunto f continua). - Se 0 < α < 1 allora f è continua con f(0) = 0. Tuttavia, se scegliamo y R n in modo ce f(y) 0 (f non è costante, quindi non può essere nulla in ogni punto) e consideriamo il percorso in R n convergente all origine dato da ty per t R, t 0 + (prendiamo t positivi per comodità), otteniamo f(ty) f(0) f(0) ty ty = f(ty) f(0) ty ty = tα f(y) t f(0) y t y = f(y) f(0) y t 1 α y ce tende a + o (a seconda del segno di f(y)) per t 0 + in quanto 1 α > 0, e tutti i termini a parte t 1 α sono costanti f(x) f(0) f(0) x (ed f(y) 0). Pertanto il limite lim x 0 x non può essere nullo (abbiamo trovato un percorso convergente all origine in cui esso vale + o ), e quindi f non è differenziabile nell origine. Nota: Si potrebbe essere portati a risolvere l esercizio semplicemente osservando, come nel primo punto, ce le derivate parziali 1 Una funzione f : A R, A R n aperto, ce ammette derivate parziali in A continue in un punto di A è differenziabile in tale punto. 1

2 di f sono omogenee di grado α 1, e quindi di grado negativo e in quanto tali non continue nell origine (sempre assumendo ce esistano in tale punto). Ciò tuttavia non dimostra a priori nulla, percé una funzione differenziabile in un punto deve sì ammettere derivate parziali in tale punto, ma non necessariamente continue! Se α = 1 allora f è differenziabile in 0 f(x 1,..., x n ) = a 1 x a n x n, per certi a j R (ossia f è lineare). ( ) = Se f(x 1,..., x n ) = a 1 x a n x n ciaramente f è differenziabile, in quanto somma di funzioni differenziabili. = Fissiamo x = (x 1,..., x n ) R n \{0} e consideriamo ancora il percorso (convergente all origine) di punti del tipo tx, con t R e t 0 +. Per differenziabilità di f: 0 = lim t 0 + f(tx) f(0) f(0) tx tx = lim t 0 + tf(x) t f(0) x t x = lim t 0 + f(tx) f(0) tx = lim t 0 + f(x) f(0) x x tx = ma il termine nell ultima espressione è costante (ossia non dipende da t), pertanto l unico caso in cui tale limite è 0 è il caso in cui tale termine è sempre nullo, e pertanto deve valere f(x) = f(0) x. Ma quindi, scrivendo f(0) = (a 1,..., a n ) ( f(0) è un vettore fissato), otteniamo f(x) = (a 1,..., a n ) x = a 1 x a n x n. 2. Studiare la continuità e la differenziabilità delle seguenti funzioni in tutto il loro dominio: Ricordiamo ce una funzione f : A R 2 R, A aperto, è differenziabile in (x 0, y 0 ) A se e soltanto se 2 f ammette tutte le derivate parziali in (x 0, y 0 ) e si a f(x 0 +, y 0 + k) f(x 0, y 0 ) x f(x 0, y 0 ) k y f(x 0, y 0 ) lim = 0. (,k) (0,0) 2 + k 2 (In generale, una funzione f : A R n R, A aperto, è differenziabile in x 0 A se e solo se f ammette tutte le derivate parziali in x 0 e si a lim 0 f(x 0 +) f(x 0 ) f(x 0 ) = 0.) L esistenza delle derivate parziali in un punto non è sufficiente a garantire la differenziabilità in tale punto, ma se ance una sola derivata parziale non esiste nel punto allora possiamo concludere ce la funzione non è differenziabile nel punto. 2 La definizione vera di differenziabilità in un punto (x 0, y 0) riciede l esistenza di un applicazione lineare L (x0,y 0 ) tale ce f(x 0 +, y 0 + k) = f(x 0, y 0) + L (x0,y 0 )(, k) + o( 2 + k 2 ), ma come visto a lezione se una tale applicazione esiste essa non è altro ce quella la cui matrice (in questo caso vettore) associata è il gradiente di f nel punto (x 0, y 0) (e dunque L (x0,y 0 ) = f(x 0, y 0) (, k)). Da questo si ritrova la definizione data sopra. 2

3 Una condizione sufficiente per la differenziabilità è quella data dal Teorema del Differenziale Totale: se per una f : A R n R, A aperto, esistono le derivate parziali in x 0 A ed esse sono continue in x 0, allora f è differenziabile in tale punto. Va notato comunque ce una funzione differenziabile non a necessariamente derivate parziali continue (sebbene ammetta sicuramente le derivate parziali)! Sappiamo infine ce una funzione differenziabile in un punto è continua in tale punto (ma ciaramente la continuità non è sufficiente a garantire la differenziabilità), pertanto se una funzione è discontinua in un punto possiamo subito concludere ce la funzione non è ivi differenziabile. { sin[(x 2 +y 2 ) 2 ] x 2 +y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) f è continua nell origine, infatti: (a) f(x, y) = sin[(x lim 2 +y 2 ) 2 ] sin[(x (x,y) (0,0) = lim 2 +y 2 ) 2 ] x 2 +y 2 (x,y) (0,0) (x 2 + y 2 ) = 0 (x 2 +y 2 ) 2 percé sin[(x2 +y 2 ) 2 ] 1, mentre x 2 + y 2 0. Calcoliamo ora le (x 2 +y 2 ) 2 derivate parziali nell origine: sin( 4 ) x f(0, 0) = lim 2 0 sin( 0 = lim 4 ) sin( 0 = lim 4 ) 3 0 = 0 4 sin( 4 ) y f(0, 0) = lim 2 0 sin( 0 = lim 4 ) sin( 0 = lim 4 ) 3 0 = 0 4 Proviamo ora a stabilire se f è differenziabile nell origine: f(,k) f((0,0) f(0,0) (,k) lim (,k) (0,0) = 2 +k 2 lim (,k) (0,0) f(,k) f((0,0) xf(0,0) k yf(0,0) 2 +k 2 = sin[( 2 +k 2 ) 2 ] lim 2 +k k 0 (,k) (0,0) 2 +k 2 = lim (,k) (0,0) sin[( 2 +k 2 ) 2 ] ( 2 +k 2 ) 3 2 lim (,k) (0,0) sin[( 2 +k 2 ) 2 ] ( 2 +k 2 ) k 2 = 0. Concludiamo dunque ce f è differenziabile nell origine. Nota: Si poteva notare ce sin[(x 2 + y 2 ) 2 ] = (x 2 + y 2 ) 2 g(x, y), con g(x, y) funzione differenziabile e tendente a 1 per (x, y) (0, 0) (g proviene dallo sviluppo di Taylor del seno), e pertanto f(x, y) = (x 2 + y 2 )g(x, y) e una funzione differenziabile nell origine in quanto prodotto di funzioni ivi differenziabili. Detto ancora in altri termini, si poteva notare ce f(x, y) = sin[(x 2 +y 2 ) 2 ] x 2 +y 2 = (x 2 + y 2 ) + o(x 2 + y 2 ) = o( x 2 + y 2 ), e pertanto f soddisfa la definizione di differenziabilità nell origine (dato ce f(0, 0) = 0), ossia f è differenziabile nell origine con f(0, 0) = (0, 0). { xy x 2 +y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) Fuori dall origine f è ciaramente continua e differenziabile (in (b) f(x, y) = = 3

4 quanto somma, prodotto, composizione e rapporto di funzioni continue e differenziabili). f non è tuttavia continua nell origine, in quanto omogenea di grado 0 e non costante (in particolare, i percorsi (x, 0) e (x, x) portano rispettivamente a limiti 0 e 1 2 ). Pertanto, f non è neance differenziabile nell origine. { x y 2 se (x, y) (0, 0) (c) f(x, y) = x 2 +y 2 0 se (x, y) = (0, 0) La funzione e continua su tutto il dominio e differenziabile fuori dall asse y (origine compresa). Infatti: Continuità: La funzione è continua in tutto il dominio in quanto continua fuori dall origine (rapporto di funzioni continue) e omogenea di grado 1. Differenziabilità: Non è garantita la differenziabilità nei punti in cui x = 0 (ossia nei punti del tipo (0, y 0 )), in quanto la funzione x non è derivabile in x = 0 e quindi non differenziabile se vista come funzione di due variabili. In particolare, quello ce bisogna verificare è se esista o meno la derivata parziale rispetto ad x nei punti del tipo (x 0, y 0 ) = (0, y 0 ), con y 0 R. Supponiamo y 0 0 (il caso (0, 0) è un po diverso) e calcoliamo quindi la derivata parziale rispetto ad x nel punto (0, y 0 ): y y f(,y lim 0 ) f(0,y 0 ) 0 = lim 0 = lim 0 ce non esiste (limite destro e limite sinistro non coincidono). Nota: Ce la derivata parziale rispetto ad x nel punto (0, y 0 ) (con y 0 0) non esista si poteva vedere ad occio, dal momento ce se g(x) := x y 0 2 x 2 +y 2 0 funzione g(x) x2 +y 2 0 fosse derivabile in x = 0, lo sarebbe ance la y 2 0 = x in quanto prodotto di funzioni derivabili. Concludiamo quindi ce la funzione non è differenziabile nei punti (0, y 0 ) con y 0 0 (in quanto non ammette una delle derivate parziali). Infine, per quanto riguarda l origine: la funzione è omogenea di grado 1, e quindi non può essere differenziabile nel punto (0, 0). Nota: In realtà il Teorema sulla differenziabilità delle funzioni omogenee (esercizio 1) viene solitamente enunciato con l ipotesi ce f sia C 1 (e quindi differenziabile) fuori dall origine, cosa ce in questo caso non è vera. Tuttavia è facile rendersi conto ce una funzione omogenea di grado 1 (e non lineare) non è in ogni caso differenziabile nell origine, e in questo caso possiamo verificarlo facilmente ance senza fare appello al Teorema: le derivate parziali nell origine esistono e sono nulle (sono nulli tutti i numeratori dei rapporti incrementali), tuttavia: 4

5 lim (,k) (0,0) f(,k) f(0,0) 0 0 k 2 +k 2 = lim (,k) (0,0) k 2 ce non esiste in quanto 1 2 k 2 ( 2 +k 2 ) 3 2 ( 2 +k 2 ) 3 2 è omogenea di grado 0 e non costante (in particolare, i percorsi (0, k) e (, ) danno rispettivamente limiti 0 e 1 8 ). { e y cos x y se (x, y) (0, 0) (d) f(x, y) = x 2 +y 2 0 se (x, y) = (0, 0) La funzione è continua e differenziabile fuori dall origine in quanto rapporto di funzioni continue e differenziabili. La funzione è continua ance nell origine in quanto: e y cos x y = 1+y+ 1 2 y2 +o(y 2 ) x2 +o(x 3 ) y = 1 2 (x2 +y 2 )+o(x 3 )+o(y 2 ) = x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 x 2 + y 2 + x3 o(1) + y2 o(1) 0 x 2 +y 2 x 2 +y 2 in quanto tutti i termini tendono a 0 (le frazioni per omogeneità). Le derivate parziali non esistono nell origine, infatti: f(,0) f(0,0) 1 cos lim 0 = lim 0 ce non esiste in quanto limite destro e limite sinistro valgono rispettivamente 1 2 e 1 2. Per la derivata parziale in y il risultato è lo stesso, ma in realtà non serve nemmeno provare a calcolarla, in quanto possiamo concludere ce f non è differenziabile nell origine semplicemente dal fatto ce non esiste la derivata parziale in x. { 2xz 3 +3x 2 y 2 +4y 3 z se (x, y, z) (0, 0, 0) (e) f(x, y, z) = 4x 4 +2y 4 +3z 4 0 se (x, y, z) = (0, 0, 0) f è omogenea di grado 2, continua nell origine 3 (e come al solito continua e differenziabile fuori dall origine), pertanto per Teorema sulla differenziabilità delle funzioni omogenee (Esercizio 1) concludiamo ce f è differenziabile nell origine (fuori di essa ovviamente f è continua e differenziabile). { e xy 1 (f) f(x, y) = x + y se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0) La funzione e continua in tutto il dominio e differenziabile in tutto R 2 meno gli assi cartesiani (in particolare, sull asse x essa non ammette derivata parziale rispetto ad y, mentre sull asse y non ammette quella rispetto ad x). Infatti: - Continuità: fuori dall origine la funzione è ovviamente continua in quanto rapporto tra funzioni continue. Nell origine abbiamo 0 per omogeneità. e xy 1 x + y = xy (1+o(1)) x + y 3 Va sempre comunque controllato ce il valore della funzione omogenea nell origine sia 0, altrimenti essa presenta una discontinuità (eliminabile). 5

6 - Differenziabilità: La funzione è differenziabile fuori dagli assi cartesiani in quanto rapporto di funzioni differenziabili (sugli assi x e y invece, dove i moduli rispettivi non sono derivabili, non possiamo dire nulla a priori). Discutiamo innanzitutto il caso di punti sull asse x diversi dall origine (tale caso è leggermente diverso), ossia stabiliamo se la funzione ammette derivate parziali ed è eventualmente differenziabile in punti del tipo (x 0, 0), con x 0 0. La derivata potenzialmente problematica è quella rispetto ad y, quindi proviamo a calcolarla: f(x lim 0,0+) f(x 0,0) 0 x lim 0 0 x 0 = lim 0 e x 0 1 x = lim 0 x 0 (1+o(1)) ( x 0 + ) = (1 + o(1)) = lim 0 dove bisogna ricordare ce nei vari passaggi x 0 è un numero fissato (e non nullo). Ovviamente l ultimo limite non esiste (limite destro e sinistro non coincidono), e quindi concludiamo ce f non ammette derivata parziale rispetto ad y nel punto (x 0, 0). Pertanto, f non puo essere differenziabile nei punti (x 0, 0), con x 0 0. Per simmetria, nei punti del tipo (0, y 0 ) (con y 0 0) la funzione non ammette derivata parziale rispetto ad x. Ance in tali punti, quindi, f risulta non differenziabile. Discutiamo ora il caso dell origine: f(0+,0) f(0,0) lim 0 = 0 f(0,0+) f(0,0) lim 0 = 0 ossia f ammette entrambe le derivate parziali nell origine (entrambe nulle). Verificiamo la differenziabilità: lim (,k) (0,0) f(0+,0+k) f(0,0) 0 0 k k (1+o(1)) lim (,k) (0,0) ( + k ) 2 +k 2 (g) f(x, y) = 2 +k 2 = lim (,k) (0,0) e k ( + k ) 2 +k 2 k 1 + k = 2 +k 2 = lim (,k) (0,0) ce non esiste in quanto la funzione è omogenea di grado 0 e non costante (in particolare, i percorsi (0, k) e (, ) danno rispettivamente limiti 0 e 1 2 ). Concludiamo ce f non è differenziabile 2 nell origine. { (1+x 2 y 2 ) 1 3 e 2 3 x2 cos y 2 3 x2 1 2 y2 se (x, y) (0, 0) x 3 + y 3 1 se (x, y) = (0, 0) La funzione è continua su tutto il dominio e differenziabile fuori dall origine. Infatti: Continuità: La funzione è continua fuori dall origine in quanto rapporto tra funzioni continue. Per quanto riguarda l origine: (1+x 2 y 2 ) 3 1 e 2 3 x2 cos y 2 3 x2 1 2 y2 = x 3 + y x2 y 2 +o(x 3 y 3 ) (1 2 3 x2 +o(x 3 ))(1 1 2 y2 +o(y 3 )) 2 3 x2 1 2 y2 = o(x3 y 3 )+o(x 3 )+o(y 3 ) x 3 + y 3 x 3 + y 3 ce tende a 0 in quanto spezzando la frazione in tre parti, ciascu- 6

7 no dei termini risulta infinitesimo (il primo diventa un omogenea di grado 3 moltiplicata per o(1), gli altri due diventano omogenee di grado 0, e quindi limitate, moltiplicate per o(1)). Differenziabilità: La funzione è differenziabile fuori dall origine in quanto rapporto tra funzioni differenziabili. Nota: Il fatto ce siano presenti moduli al denominatore non deve trarre in inganno: è vero ce la funzione x non è derivabile, ma la funzione x 3 lo è (in quanto derivata destra e sinistra sono entrambe nulle, o ance percé x 3 è omogenea di grado 3), e quindi x 3 + y 3 è una funzione differenziabile. Per quanto riguarda l origine, si verifica ce le derivate parziali non esistono: lim 0 f(,0) f(0,0) e = lim = lim (1 + o(1)) ce non esiste in quanto limite destro e limite sinistro sono rispettivamente 4 9 e 4 9. Ance senza calcolare la derivata parziale rispetto ad y (ce comunque darebbe lo stesso risultato) possiamo concludere ce la funzione non è differenziabile nell origine. x 1 3 y se (x, y) (0, 0) () f(x, y) = x y se (x, y) = (0, 0) La funzione è continua in tutto il dominio e differenziabile nell origine e fuori dagli assi cartesiani. Infatti: Continuità: La funzione è continua fuori dall origine in quanto rapporto tra funzioni continue. Per quanto riguarda l origine: x 1 3 y x 1 3 y 7 1 x 1 3 ( y x 2 3 ) x y 1 7 x y 7 1 x y 1 7 = x e quindi f è continua nell origine. Differenziabilità: La funzione è sicuramente differenziabile nei punti (x 0, y 0 ) in cui sia x 0 ce y 0 sono diversi da 0, mentre nei punti (x 0, 0) e (0, y 0 ) non è assicurata la differenziabilità in quanto non sono derivabili i vari moduli e radici di y e x, rispettivamente. Studiamo separatamente i punti del tipo (x 0, 0) (x 0 0), quelli del tipo (0, y 0 ) (y 0 0) e il punto (0, 0): - Per i punti del tipo (x 0, 0) con x 0 0, stabiliamo se la derivata problematica (quella rispetto ad y) esiste o meno: f(x lim 0,) f(x 0,0) x 0 = lim = lim ( x x 0 ) x ce non esiste in quanto limite destro e limite sinistro valgono rispettivamente 1 x e 1 x Concludiamo pertanto ce f non è differenziabile nei punti del tipo (x 0, 0), con x Per i punti del tipo (0, y 0 ) con y 0 0, stabiliamo se la derivata problematica (quella rispetto ad x) esiste o meno: 1 3 7

8 f(,y lim 0 ) f(0,y 0 ) 3 1 y 0 = lim 0 0 = lim ( y y ) y ce non esiste in quanto limite destro e limite sinistro valgono rispettivamente + e. - Per il punto (0, 0), vediamo facilmente ce le derivate parziali esistono e sono nulle (sono nulli tutti i numeratori dei rapporti incrementali). Cerciamo quindi di stabilire se f sia o meno differenziabile nell origine: lim (,k) (0,0) f(0+,0+k) f(0,0) 0 0 k 2 +k 2 = lim (,k) (0,0) 1 3 k e abbiamo ce 1 3 k ( k 1 7 ) 2 +k 2 = ( 2 +k 2 ) k k 1 7 k k k k 1 7 ( k 1 7 ) 2 +k 2 2 +k k 2 = in quanto la funzione nell ultima espressione è omogenea di grado = 4 21 > 0. Concludiamo pertanto ce la funzione è differenziabile nell origine. 3. Determinare i punti stazionari delle seguenti funzioni e stabilire quali tra essi sono punti di massimo o di minimo (locali): Ricordiamo ce un punto stazionario per una funzione f : R n R è un punto x 0 R n in cui f ammette derivate parziali e si a f(x 0 ) = 0 (ossia x 0 è un punto ce annulla il gradiente di f, o equivalentemente ce annulla tutte le derivate parziali di f ). Un punto stazionario x 0 per f può essere di 3 tipi: 1) Un punto di minimo se esiste un intorno U ce lo contiene in cui f(x) f(x 0 ) x U. 2) Un punto di massimo se esiste un intorno U ce lo contiene in cui f(x) f(x 0 ) x U. 3) Un punto di sella se intorno U ce lo contiene, x 1, x 2 U tali ce f(x 1 ) < f(x 0 ), f(x 2 ) > f(x 0 ) (ossia se x 0 non è né massimo né minimo). Più precisamente, un punto stazionario sopra descritto è detto punto di minimo/massimo/sella locale, nel senso ce è tale in un intorno ce lo contiene. Quando per un punto stazionario le proprietà sopra descritte valgono in tutto il dominio di f, tale punto è detto punto di minimo/massimo/sella assoluto. Se f è una funzione di classe C 2, la natura (locale) di un suo punto stazionario è determinata dalla matrice Hessiana f (nel punto), a patto ce questa sia non degenere, ossia ce abbia determinante non nullo. In particolare si trova ce, se x 0 è un punto stazionario per f tale ce det(f (x 0 )) 0, allora: 8

9 - x 0 è un punto di minimo se f (x 0 ) è definita positiva (dal momento ce f è simmetrica 4, ciò equivale a dire ce i suoi autovalori sono tutti positivi). - x 0 è un punto di massimo se f (x 0 ) è definita negativa (dal momento ce f è simmetrica, ciò equivale a dire ce i suoi autovalori sono tutti negativi). - x 0 è un punto di sella se f (x 0 ) è indefinita (dal momento ce f è simmetrica, ciò equivale a dire ce essa ammette autovalori di segno misto). Per concludere, ricordiamo ce per una matrice 2 2 esistono delle condizioni più immediate da verificare per stabilirne il segno, condizioni ce sfruttano le proprietà di invarianza del determinante e della traccia 5 (tenere a mente ce per una matrice simmetrica, o più generalmente per una matrice diagonalizzabile, il determinante coincide col prodotto degli autovalori, contati con la loro molteplicità, della matrice, mentre la traccia coincide con la loro somma): - Se det(f (x 0 )) < 0, x 0 è un punto di sella. - Se det(f (x 0 )) > 0, x 0 è un punto di minimo se TrA > 0, un punto di massimo se TrA < 0. - Se det(f (x 0 )) = 0, come al solito non possiamo concludere nulla sulla natura di x 0. Nei casi in cui lo Hessiano 6 è nullo, l analisi tramite la matrice Hessiana non è sufficiente a stabilire la natura del punto stazionario, e pertanto è necessario studiare manualmente il comportamento della funzione intorno al punto. Tratteremo in dettaglio questi casi nel prossimo tutorato. (a) f(x, y) = (x 2 1)(y 2 1) Il gradiente di f è f(x, y) = (2x(y 2 1), 2y(x 2 1)). Per i punti stazionari, risolvo annullando la prima componente: se x = 0 allora dalla seconda si ottiene y = 0; se x 0 allora deve essere necessariamente y = 1 o y = 1, per cui nella seconda si ottiene x = 1 oppure x = 1. I punti stazionari sono pertanto (0, 0), (±1, ±1), (±1, 1). ( 2(y La matrice Hessiana di f è f (x, y) = 2 ) 1) 4xy 4xy 2(x 2, 1) 4 I dettagli sul Lemma di Scwartz, l esistenza di autovalori reali e la diagonalizzabilità per matrici simmetrice sono stati trattati dal professor Biasco e nei corsi di Geometria. 5 La Traccia di una matrice n n è la somma degli elementi sulla diagonale: TrA := a a nn. 6 Il determinante della matrice Hessiana f. 9

10 ( ) 2 0 Calcolando in (0, 0) troviamo f (0, 0) =, per cui (0, 0) 0 2 è un massimo (autovalori negativi). Negli altri punti notiamo ce det f (±1, ±1) = det f (±1, 1) = 16 < 0, per cui i punti di tipo (±1, ±1) e (±1, 1) sono selle. (b) f(x, y) = x 4 4x 3 + 4x 2 y 4 2y 2 Il gradiente di f è f(x, y) = 4(x(x 2 3x + 2), y(y 2 + 1)) = 4(x(x 1)(x 2), y(y 2 + 1)). La prima componente si annulla per x = 0, x = 1 e x = 2, mentre la seconda si annulla solo per y = 0, per cui otteniamo i 3 punti stazionari ( (0, 0), (1, 0), (2, 0). 3x La matrice Hessiana di f è f (x, y) = 4 2 ) 6x y 2 ; 1 ( ) 8 0 sostituendo si ottiene f (0, 0) = f (2, 0) =, mentre 0 4 ( ) 4 0 f (1, 0) =, per cui (0, 0) e (2, 0) sono selle, mentre 0 4 (1, 0) è un massimo. (c) f(x, y) = 1 + (x 2 + y 2 ) 2 x 2 y 2 Troviamo i punti stazionari: innanzitutto notiamo ce f(x, y) = 1 + x 4 + y 4 + x 2 y 2, e pertanto il gradiente di f è f = (4x 3 + 2xy 2, 4y 3 + 2x 2 y) = (2x(2x 2 + y 2 ), 2y(2y 2 + x 2 )). L unico punto stazionario pertanto è l origine. Lo Hessiano risulta nullo nell origine, e quindi dobbiamo studiare manualmente il comportamento di f in un intorno di esso: innanzitutto f(0, 0) = 1, e pertanto è sufficiente studiare il segno di f(x, y) 1, ossia di x 4 + y 4 + x 2 y 2. Essendo quest ultima quantità positiva comunque si scelga un intorno dell origine, concludiamo ce esso è un punto di minimo. (d) f(x, y) = x(cos y + sin y) Il gradiente di f è f(x, y) = (cos y + sin y, x(cos y sin y)). Imponendo ce la prima componente si annulli troviamo tan y = 1, per cui otteniamo y = π 4 + kπ, k Z. Sostituendo tali valori nella seconda componente, siccome cos y sin y = 2 0, necessariamente deve essere x = 0. I punti stazionari sono dunque tutti quelli del tipo (0, π 4 + kπ), k Z. ( ) La matrice Hessiana di f è f 0 sin y + cos y (x, y) =, sin y + cos y x(sin y + cos y) ( per cui otteniamo f (0, π kπ) = ), ce a deter- 2 0 minante 2 < 0, per cui tutti i punti stazionari trovati sono selle. (e) f(x, y) = x 3 + 2x 2 y 2y 2 x y3 Il gradiente di f è f(x, y) = (3x 2 + 4xy 2y 2, 2x 2 4xy + 2y 2 ). Poste le componenti uguali a 0, le equazioni risultanti non posso- 10

11 no essere risolte indipendentemente, ma notiamo ce sommando membro a membro si ottiene 3x 2 + 4xy 2y 2 + 2x 2 4xy + 2y 2 = 5x 2 = 0, per cui x = 0. Sostituendo nella prima otteniamo 2y 2 = 0, e pertanto y = 0. Quindi l unico punto stazionario di f è (0, 0). ( ) 6x + 4y 4x 4y La matrice Hessiana di f è f (x, y) =, ce 4x 4y 4y 4x si annulla in (0, 0), e pertanto essa non ci dà informazioni sulla natura del punto stazionario (0, 0). Discutiamo manualmente la natura di (0, 0): osserviamo innanzitutto ce f(0, 0) = 0, e quindi dobbiamo stabilire se il punto sia un minimo, un massimo o una sella studiando il segno di f in intorni dell origine. Notiamo ora ce f(x, 0) = x 3, ce cambia segno a seconda ce si consideri x > 0 o x < 0, per cui (0, 0) non può essere né massimo né minimo, in quanto ogni intorno di (0, 0) contiene punti con x sia negative ce positive, e dunque la funzione assume valori sia maggiori ce minori di 0 = f(0, 0) in ogni intorno arbitrariamente piccolo dell origine. Concludiamo quindi ce (0, 0) è una sella. (f) f(x, y) = x 4 y 3 + x 6 y Troviamo i punti stazionari: il gradiente di f è f = (4x 3 y 3 + 5x 5 y, 3x 4 y 2 + x 6 ) = (4x 3 y 3 + 6x 5 y, x 4 (3y 2 + x 2 )). Poste le due componenti uguali a 0, partendo dalla seconda otteniamo ce deve essere necessariamente x = 0, e sostituendo nella prima otteniamo ce essa è verificata qualunque sia la scelta di y. Pertanto i punti stazionari sono tutti e soli quelli del tipo (0, y 0 ), con y 0 R. Si può provare a calcolare la matrice Hessiana, ma si trova ce essa è sempre nulla nei punti stazionari 7, e pertanto essa non fornisce alcuna informazione sulla natura di tali punti. Dobbiamo pertanto studiare la funzione in intorni dei punti stazionari trovati. Cominciamo osservando ce f(0, y 0 ) = 0 y 0 R, e pertanto è sufficiente studiare, negli intorni dei punti stazionari, il segno 8 di f(x, y) (se per un certo punto (0, y 0 ) possiamo trovare un intorno in cui f 0 concludiamo ce il punto è un minimo, se possiamo trovarne uno in cui f 0 il punto è un massimo, mentre se per ogni intorno esistono punti in cui f cambia segno allora il punto è una sella). Notiamo ce f è sempre positiva o nulla nel semipiano dove y 0, mentre è sempre negativa o nulla nel 7 Ci si può aspettare ce sia così ance senza fare calcoli, considerando ce i punti critici anno sempre la componente x nulla e i monomi ce compaiono in f anno sempre termini in x con grado superiore al secondo. 8 In generale, per lo studio di punti stazionari ad Hessiano nullo, conviene studiare il segno di f(x, y) f(x 0, y 0). 11

12 semipiano dove y 0, pertanto in tutti i punti del tipo (0, y 0 ) con y 0 > 0 avremo dei minimi dal momento ce in intorni di tali punti abbastanza piccoli (in questo caso, abbastanza piccoli significa contenuti nel semipiano dove si trova il punto (0, y 0 )) la funzione sarà maggiore o uguale di 0 = f(0, y 0 ), mentre per un ragionamento analogo i punti del tipo (0, y 0 ) con y 0 < 0 sono dei massimi. Infine, dal momento ce un qualsiasi intorno di (0, 0) contiene punti di entrambi i semipiani (in cui in particolare f cambia segno), concludiamo ce (0, 0) è un punto di sella. 12