BILATERE e TRILATERE
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- Sabina Pinto
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2 ILTERE e TRILTERE Chiameremo bilatera la sequenza di due lati consecutivi facenti parte di un indefinito perimetro e caratterizzati dall angolo tra essi compreso. Chiameremo trilatera la sequenza di tre lati consecutivi facenti parte di un indefinito perimetro e caratterizzati dai due angoli tra essi compresi e dalla lunghezza del lato centrale. a Le singole operazioni di frazionamento delle aree non riguardano l intera particella originaria, ma piuttosto una parte di essa, delimitata da una dividente e da una parte del confine originario (perlopiù una bilatera o una trilatera.
3 3 LE DIVIDENTI Le dividenti sono segmenti rettilinei (più raramente spezzate con le quali vengono frazionate le superfici degli appezzamenti di terreno. er la loro definizione è necessario determinare le posizioni degli estremi e le loro lunghezze. Le dividenti (convenzionalmente disegnate in colore rosso sono quasi sempre vincolate da due diverse condizioni geometriche: 1. dividenti passanti per un punto (sul confine, interno o esterno all appezzamento;. dividenti con direzione assegnata (perlopiù parallele o normali a una data direzione
4 ILTER CON VERTICE IN roblema: staccare le aree, s, s 3 con dividenti uscenti da sul confine. = d sen ( = d sen d h ( + s 3 = d sen 1 s s 3 3 Triangoli con stessa altezza h = --- ( ( = = --- ( + s 3 ( + s 3 =
5 TRILTER CON VERTICI IN E roblema: staccare le aree, s, s 3 con dividenti uscenti da sul confine. S m + a d = ½ d a sen =arccos m= d + a ad a cos ma s 3 3 Se < S 1 è su = d sen d a s1 - S s m 1 Se > S è dopo in alternativa: ( S = m sen ( =da sen + a sen d sen (+ ( + s 3 S = m sen 5 5
6 TRILTER CON VERTICI IN E roblema: staccare le aree, s, s 3 con dividenti uscenti da interno al confine. 3 S = ½ d a sen m= d + a ad a cos Se < S 1 è su m + a d =arccos ma = d sen d a m s s 3 - S 1 Se > S è dopo ( S = m sen in alternativa: (s1 +s =da sen + a sen d sen ( + ( + s 3 S = m sen 6 6
7 ILTER CON VERTICE IN ROLEM GENERLE: staccare un area S con dividente uscente da interno al confine. H V Si adotta un sistema cartesiano obliquo ( 90 con origine in e assi (che indicheremo con V e U coincidenti con i lati della bilatera. Indichiamo con m e n le coordinate oblique di (note. v s m n S ± S S m n sen v = m sen S u = v sen u U G Il problema presenta 1 soluzione se: S = S m n sen Il problema presenta soluzioni se: S > S m n sen Il problema non presenta soluzioni se: S < S m n sen 7 7
8 DETERMINZIONE DELLE COORDINTE OLIQUE M, N Note le coordinate polari di V Note le coordinate cartesiane di V H H N Y ϑ 1 n ϑ d m δ n G U m m n y G U=X = ϑ ϑ 1 δ = 00 C [ +(00 C ] d sen m = sen d sen δ n = sen y n = sen m = y cotg 8 8
9 ILTER CON VERTICE IN : SOLUZIONE DELL FLS OSIZIONE roblema: staccare un area s con dividente uscente da interno al confine. a N s b N δ ω q 1. Si traccia l allineamento arbitrario MN passante per il punto.. Si misurano direttamente le distanze a, b, p, q che determinano sia l allineamento MN sia il punto su esso. 3. L allineamento MN rispetta la condizione geometrica, ma stacca l area S MN e non quella richiesta S. 4. Risolvendo il triangolo MN si ricava l area S MN e gli angoli, δ, ϑ. 5. Si confronta S con S MN : supponiamo S < S MN 6. Si ruota l allineamento provvisorio MN intorno a di un angolo ω ricavabile dalla seguente espressione: ω ϑ M p M p q (S MN S = cotg ω+cotg ϑ cotg ω+cotg δ 7. Con ω si possono risolvere i due triangoli MM e NN per ricavare MM e NN, quindi fissare la dividente definitiva partendo dalla falsa posizione MN. 9 9
10 OLILTER CON VERTICI IN,, C, D roblema: staccare le aree, s, s 3 con dividenti uscenti da su un lato della polilatera. n S C =½ m C sen S CD =½C DC sen γ m S 1 M γ S S1+S S C C γ γ S 3 (S 1 +S +S 3 S CD δ y N δ δ D z Q ε ε E S DE =½D DE sen δ supponiamo S 1 < S C = S 1 / m sen supponiamo S 1 +S >S C e S 1 +S >S CD y = (S 1 +S S C / C sen γ supponiamo S 1 +S +S 3 >S CD e S 1 +S +S 3 >S CDE z = (S 1 +S +S 3 S CD / D sen δ 10 10
11 11 11 ILTER CON VERTICE IN roblema: staccare le aree, s, s 3 con dividenti formanti un angolo ϕ con un lato della bilatera. y 1 ϕ 1 s s 3 3 ϕ = (cotg + cotg ϕ sen ( + ϕ = sen sen ϕ ( +s sen (+ϕ = sen sen ϕ ( +s +s 3 sen (+ϕ = sen sen ϕ = ---- ( = ---- ( +s +s 3 TRINGOLI SIMILI y 1 = sen ( y = sen ( +s +s 3 y 3 = sen = s 3 =
12 TRILTER CON VERTICI IN E O roblema: staccare le aree, s con dividenti formanti un angolo ϕ con un lato della trilatera. ω r q y 1 a ω = + 00 C 1 ϕ 1 s a sen q = sen ω ϕ ϕ a sen r = sen ω = ( + (cotg ω + cotg ϕ ( + sen (ω+ϕ = q sen ω sen ϕ ( + y 1 = r sen ω ( +s + sen (ω +ϕ = q sen ω sen ϕ ( + y = r sen ω NOT La dividente dell area S (di forma trapezia potrebbe essere determinata con una diversa procedura =½ q r sen ω 1 1
13 ROLEM DEL TREZIO roblema: staccare da una trilatera un area S con dividente parallela al lato mediano della trilatera. S = /sen a sen + sen M D sen (+ S = a + a sen sen sen ( a + S = 0 sen sen (cotg + cotg a + S = 0 a a sen sen (+ sen sen sen S C N /sen NOTE L equazione di grado fornisce due soluzioni e. Se una di esse è negativa viene scartata. Se sono entrambe positive viene adottata quella che più si avvicina al rapporto S/a
14 ESEMIO roblema: staccare le aree, s, s 3 con dividenti ortogonali al lato (ϕ=90. y /sen δ /sen δ c N D δ δ δ d d cos m=d sen 90 M 90 y s y a Q γ s 3 C b 0 (cotg δ + cotg 90 m + ( = 0 quindi M = d cos + ; DN = / sen δ MN = m + cos δ 0 y (cotg δ + cotg 90 MN y + s = 0 y quindi Q = M+y; D = DN + y / sen δ Q = MN+ y cos δ deve essere: D c 1414
15 ESEMIO 15 roblema: staccare le aree, s, s 3 con dividenti parallele al lato. F E D D N Q y S S DD CH S MNCD δ λ δ S S DD CH S 1 S MNCD S MNCD = S CD S 1 H γ C M +CD C S CD = sen poniamo: S 1 <S CD (cotg + cotg + S 1 = 0 da cui quindi M; MC; MN; N; ND ; D D poniamo: S 1 +S 1 >S DHC y (cotg δ + cotg λ HD y + (S S DD CH S MNCD = 0 da cui y quindi DQ; H; Q
16 ESEMIO (METODO DELL FLS OSIZIONE roblema: staccare l area S con dividente uscente dal punto interno all appezzamento. 1. Si traccia l allineamento arbitrario HK passante per misurando in campagna le lunghezze m, n, p, q. H λ. Nel poligono HCDK si calcola l area =S HCDK e gli angoli λ e ϕ. p M C γ m S ω ω n δ D ϕ ϕ q K ε N E 3. Supponiamo l area >S 4. Ruotiamo l allineamento HK attorno a di un angolo ω. 5. L allineamento MN definisce l area S da staccare; l angolo incognito ω viene determinato con la seguente relazione: S = S HM + S NK m n (S = cotg ω+cotg λ cotg ω+cotg ϕ ricavando y = cotg ω si ottiene ω = arctg (1/y 16 16
17 ESEMIO (METODO DELL FLS OSIZIONE 17 roblema: staccare l area S con dividente uscente dal punto interno all appezzamento. n ω H λ λ M 1. Si traccia l allineamento arbitrario HK passante per misurando in campagna le lunghezze m, n, p, q.. Nel poligono HCDK si calcola l area =S HCDK e gli angoli λ e ϕ. p C γ S m (S NK S MK ε N E 3. Supponiamo l area <S. 4. Ruotiamo l allineamento HK attorno a di un angolo ω. 5. L allineamento MN definisce l area S da staccare; l angolo incognito ω viene determinato con la seguente relazione: ϕ ϕ δ q K S = +(S NK S MH D (m+n n (S = cotgω+cotgϕ cotg ω+cotg λ Da cui cotg ω = y quindi ω = arctg (1/y
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ESERCIZI SVOLTI Svolgimento dell esercizio Sessione unica 975 Parte planimetrica Calcoliamo in primo luogo la lunghezza dei rettifili: A B = 00 (,70,00) sen 85 = 69,509 m B C = 00 (,45,56) sen 86 7 = 9,4
: : 2 (29)
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