161. Intersezione di insiemi convessi: il Teorema di Helly di Andreana Zucco

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1 161. Intersezione i insiemi convessi: il Teorema i Helly i Anreana Zucco Se in una pinacoteca, comunque scelti tre quari, c è un posto a ove è possibile rimirarli tutti e tre, allora esiste un posto ove è possibile veere tutti i quari i questa pinacoteca senza spostarsi. Forse il visitatore avrà bisogno i una vista lunga o i un teleobiettivo, ma a un punto potrà rimirarli tutti, stano magari comoamente seuto. Questo risultato è un corollario al famoso teorema i Helly. Un cenno storico Euar Helly (Vienna 1884-Chicago 194), matematico austriaco, ebbe una vita talmente travagliata, che non gli consentì i fare lunghe ricerche e i ottenere i riconoscimenti che avrebbe meritato. Si laureò nel 1907 a Vienna. Negli anni successivi insegnò in un ginnasio, pubblicò quattro volumi su problemi i geometria e aritmetica e nel 1914 si arruolò nell esercito austriaco. Durante la prima guerra moniale fu catturato ai russi e rimase prigioniero in Siberia fino al Tornato a Vienna, per vivere lavorò in banca fino al 1929, ma la banca fallì. Fu assunto a una compagnia i assicurazioni, ma nel 198 fu licenziato, perché ebreo. Fu costretto a emigrare negli Stati Uniti ove morì nel 194. Le sue ricerche furono poche, ma ricche i risultati importanti per l analisi funzionale. Tuttavia, il teorema i cui ci occuperemo riguara la geometria convessa. Tale teorema fu scoperto a Helly nel 191 e lo comunicò a Raon, il quale ne pubblicò una prima imostrazione nel Premesse Come premesse al teorema i Helly, veiamo alcuni esercizi. Esercizio 1. Se una famiglia finita è formata a segmenti chiusi [a 1,b 1 ],, [a m,b m ] i una stessa retta aventi un punto comune a ue a ue, allora questa famiglia ha intersezione non vuota. Infatti se inichiamo con b s il minimo fra tutti i b i, al fatto che l intersezione fra qualsiasi segmento [a i,b i ] e il segmento [a s,b s ] non è vuota segue che b s a i e pertanto b s appartiene a tutti i segmenti ella famiglia. Così anche il massimo egli a i, sia a t, appartiene a tutti gli intervalli ella famiglia, per cui anche tutti i punti fra a t e b s sono comuni Prima i veere l esercizio successivo occorre premettere la seguente efinizione. 20

2 Definizione 1. Un insieme i punti el piano è etto convesso se conteneno ue punti, contiene anche il segmento che li congiunge. A esempio un ellisse piena è una figura convessa, mentre una corona circolare non lo è. Esercizio 2. Date nel piano quattro figure convesse tali che ogni loro terna abbia un punto comune, allora tutte e quattro le figure hanno almeno un punto comune. Dimostrazione. Siano A 0, A 1, A 2, A le quattro figure convesse e siano: - a 0 il punto comune i A 1, A 2, A, - a 1 il punto comune i A 0, A 2, A, - a 2 il punto comune i A 0, A 1, A, - a il punto comune i A 0, A 1, A 2. Poiché i punti a 0, a 1, a 2 appartengono tutti al convesso A, tutto il triangolo appartiene a A e così per le altre terne i punti. Si possono presentare ue casi: 1. Uno ei quattro punti a 0, a 1, a 2, a (per esempio a 0 ) appartiene al triangolo iniviuato agli altri tre (a 1, a 2, a ). In tal caso a 0 appartiene anche a A 0, per cui a 0 appartiene a A 1 A 2 A A 0. L osservazione resta valia anche se a esempio il triangolo conv(a 1, a 2, a ) iventa un segmento [a 1, a ]. Infatti in tal caso a 2 [a 1, a ], quini a 2 A 2 ( perché a 1 A 2 e a A 2 ) perciò a 2 A 1 A 2 A A I quattro punti sono vertici i un quarilatero (come nel isegno), in tal caso l intersezione elle ue iagonali è un punto i A 1 A 2 A A 0 A 2 a 0 a a 1 A 0 A 1 a 2 A Osservazione 1. L ipotesi i convessità è essenziale. Come contro-esempio costruiamo una famiglia F costituita a tre cerchi A 1, A 2, A che si intersecano (vei figura) e a una corona circolare A 4 (che non è convessa) che intersechi A 1 A 2, A A 1, A 2 A, ma non A 1 A 2 A. L intersezione i tre sottoinsiemi qualsiasi non è vuota, mentre non esiste un punto comune ai quattro insiemi. A 2 A 1 A 4 A Il teorema Teorema i Helly (nel piano, caso finito). Date n figure convesse nel piano tali che ogni loro terna abbia un punto comune, allora tutte le n figure hanno un punto comune. Dimostrazione. Si imostra per inuzione. Se il numero elle figure è quattro, il teorema vale come provato nell esercizio preceente. Supponiamo vero il teorema per k figure e lo imostriamo per k+1 figure. Siano B 1, B 2,, B k, B k + 1 le k + 1 figure convesse e sia B = B k B k + 1 che esseno intersezione i ue convessi è convesso. Consieriamo le k figure convesse B 1, B 2,, B k 1, B: se sono istinte a B, ogni tre hanno un punto comune per ipotesi, ma anche B j, B l, B hanno un punto comune perché B j, B l, B k, B k + 1 sono quattro convessi tali che ogni tre hanno un punto comune quini esiste un punto comune a tutte e quattro (per quanto imostrato nell esercizio preceente) che è anche punto comune a B j, B l, B. Poiché per ogni tre figure c è un punto comune, per l ipotesi inuttiva esiste un punto comune a tutte le k figure B 1, B 2,, B k 1, B quini anche a B 1, B 2,, B k, B k

3 Osservazione 2. Nel teorema si parla i terne, tale numero non può essere sostituito a un numero più piccolo. Come contro-esempio se nel piano consieriamo la famiglia formata a tre segmenti, lati i un triangolo, ogni coppia i tali insiemi si interseca nei vertici, ma non c è un punto comune a tutti gli elementi ella famiglia. Supponiamo ora che nel piano, la famiglia i convessi consierata non sia finita, ma formata a infinite figure convesse, sempre tali che ogni terna abbia un punto comune. Per il teorema visto nel caso finito, se consieriamo un qualunque numero finito i queste, l intersezione non è vuota. Ciò nonostante non si può ire in generale che le figure ate abbiano un punto comune. Tuttavia il teorema vale ancora anche se la famiglia non è finita, purché formata a insiemi chiusi e limitati. Teorema i Helly (nel piano, caso infinito). Data una famiglia infinita i figure convesse chiuse e limitate nel piano, tali che ogni tre i esse hanno un punto in comune, allora tutte le figure ella famiglia hanno un punto comune. Per la imostrazione si può consultare [Y-Bo]. Osservazione. Se la famiglia non è finita, né formata a insiemi al tempo stesso chiusi e limitati, non vale il teorema. Come primo contro-esempio consieriamo in R 2 la famiglia F, non finita, formata ai semispazi el piano cartesiano x 1, x 2, x,. Tali semispazi sono insiemi convessi, chiusi ma non limitati; l intersezione i un numero finito i essi non è vuota ma non esiste un punto comune a tutti. Come secono contro-esempio consieriamo, sulla retta reale, la famiglia infinita F ei segmenti 1 semiaperti F n = 0, n ove n è un numero naturale e il numero 0 è escluso. Gli elementi i F sono convessi, limitati ma non chiusi; l intersezione i un numero finito i essi non è vuota, ma non esiste un punto comune a tutti. Veiamo ora alcune conseguenze el teorema i Helly, le imostrazioni omesse si possono trovare su [Y-Bo]. Teorema. Se nel piano n punti sono tali che tre i essi, comunque scelti, possono essere racchiusi in un cerchio i raggio r, allora tutti gli n punti possono essere racchiusi in un cerchio i raggio r. Dimostrazione. Dobbiamo provare che esiste nel piano un punto h la cui istanza a tutti gli altri punti non è maggiore i r, cioè che esiste un punto h el piano che appartiene a tutti i cerchi i raggio r aventi centro in uno qualunque ei punti ati. Per il teorema i Helly, affinché n cerchi i raggio r e aventi centro in uno ei punti ati abbiano intersezione non vuota è sufficiente provare che tre qualunque i questi cerchi hanno intersezione non vuota. Per ipotesi ogni terna i punti a, b, c, può essere racchiusa in un cerchio i raggio r e centro x. Poiché la istanza i a a x è minore i r, il punto x sta nel cerchio i centro a e raggio r. Così tale punto x appartiene al cerchio i raggio r e i centro b e al cerchio i raggio r e centro c, in quanto anche la istanza i x a b e a c è minore i r. Perciò possiamo applicare il teorema i Helly e concluere che il punto h esiste c x b a 22

4 Corollario (Teorema i Jung). Se n punti el piano sono tali che per ogni loro terna nessun lato el triangolo a essa iniviuato è maggiore i, allora tutti gli n punti possono essere racchiusi in un cerchio i raggio. Dimostrazione. Per il teorema preceente è sufficiente provare che tre qualunque ei punti ati, inichiamoli con a, b, c, possono essere racchiusi in un cerchio i raggio r =. Nessun lato el triangolo (a,b,c) è maggiore i per ipotesi. Se il triangolo è ottusangolo oppure rettangolo, è completamente racchiuso al cerchio avente come iametro il lato maggiore. Tale cerchio ha raggio r ovviamente minore i. 2 Se il triangolo (a,b,c) è acutangolo il raggio el cerchio circoscritto è minore o uguale a in quanto uno egli angoli el triangolo, a esempio l angolo in a, è maggiore o uguale i 60. Il lato bc, come cora i un arco con angolo al centro compreso tra 120 e 180, è maggiore o uguale a r, ove r è il raggio circoscritto al triangolo (a,b,c) quini: istanza (b,c) r r Nel seguito ci serviremo ella seguente efinizione:, a cui Definizione 2. Si efinisce iametro i una figura piana la massima istanza fra ue suoi punti. Esempi. Il iametro i un ellisse piena coincie con l asse maggiore; il iametro i un triangolo ottusangolo con la misura el suo lato maggiore. Teorema i Jung. Ogni figura piana (non necessariamente convessa) i iametro può essere inclusa in un cerchio i raggio. Tale risultato può essere illustrato nel seguente moo: se su una tovaglia c è una macchia i iametro, allora si può certamente coprire con un tovagliolo rotono i raggio. Nel teorema seguente (citato all inizio quano abbiamo fatto riferimento alla pinacoteca) per poligono si intene ogni figura piana avente come contorno una poligonale chiusa non intrecciata. Teorema i Krasnosel skii (1946). Se per ogni terna a, b, c i punti i frontiera i un arbitrario poligono K, esiste un punto x tale che tutti e tre i segmenti [x,a],[x,b],[x,c] giacciono internamente al poligono, allora esiste all interno i K un punto h, tale che tutti i segmenti che congiungono h coi punti ella frontiera el poligono K, giacciono internamente al poligono. Osservazione. Una figura K per la quale esiste un punto h tale che tutti i segmenti che congiungono h con i punti i frontiera i K sono contenuti in K, viene etta a forma i stella o stellata. Quini il teorema preceente à una conizione necessaria e sufficiente per un poligono piano i essere a forma i stella (star-shape). Altra conseguenza el teorema i Helly è il seguente teorema, che trova applicazioni nella teoria ella approssimazione i funzioni. Teorema ella trasversale comune. Si consierino nel piano n segmenti i rette parallele, se per ogni terna esiste una retta che li interseca, allora esiste una retta che interseca tutti i segmenti. 2

5 Tale risultato è ovuto a L.A.Santaló (1942) e è stato iscusso in un lavoro i H.Raemacher e I.J.Schoenberger (1950). Per risultati analoghi si può veere l articolo i B.Grünbaum On common Trasversal Arch. Math., vol.9, 1958, oppure [D-G-K]. Per chi ha imestichezza anche con imensioni superiori, osserviamo che il teorema i Helly è vero anche nello spazio euclieo n-imensionale R n, ove n è un numero naturale. Teorema i Helly (191) (nel caso generale). Sia F una famiglia finita i k insiemi convessi i R n, con k > n. Se l intersezione i n + 1 qualsiasi insiemi i F non è vuota, allora esiste un punto comune a tutti gli insiemi i F. La preceente proprietà vale anche per una famiglia infinita i convessi, purché chiusi e limitati. Le imostrazioni i Köning e Raon si trovano a esempio in [F-Z]. A proposito i questa ultima versione el teorema nel caso generale, citiamo il caso el teorema i Kirchberger (190), la cui imostrazione originale era lunga circa 24 pagine. Utilizzano il teorema i Helly, nel 1950 Raemacher e Schoenberger fecero una imostrazione molto più breve, iciamo una pagina. Prima i citarlo, ricoriamo che ue sottoinsiemi A e B i R n si icono separati strettamente a un iperpiano H se appartengono a semispazi aperti ifferenti eterminati a H. Teorema i Kirchberger (190). Siano X e Y ue sottoinsiemi finiti i R n. Se per ogni sottoinsieme S i X Y formato a n + 2 punti, gli insiemi S X e S Y sono separati strettamente a un iperpiano, allora esiste un iperpiano che separa strettamente X e Y. Per conoscere ulteriori notizie e un ampia bibliografia, non ho ubbi nel consigliare ai più esperti il lavoro i J.Eckhoff Helly, Raon an Carathéoory Type Theorems pag i [G-W]. Testi consigliati [Be] M. BERGER, Géométrie, Ceic Nathan, Paris (1977) [D-G-K] L.DANZER-B.GRUNBAUM-V.KLEE, Helly s theorem an its relatives, in Convexity, Proc. of Symposia in Pure Math., vol.vii (Amer. Math. Soc.) (196) [F-Z] P.FAVRO A.ZUCCO, Appunti i Geometria Convessa, quaerno iattico n.4, Dip. Matematica, Univ. Torino (2005) [G-W ] P. M. GRUBER, J. M. WILLS, Hanbook of Convex Geometry, North Hollan Matematical Library (199) [V] F.A.VALENTINE, Convex sets, N.Y. MC Graw-Hill, (1964) [Y-Bo] YAGLOM-BOLTYANSKII, Convex figures, Holt, Rinehart e Winston, New York (1961). 24