La circonferenza Capitolo

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1 Archi, core, angoli erifica per la classe prima Core Quesiti 1.a Due core congruenti AB e CD si intersecano nel punto. Dimostrare che si formano triangoli congruenti. (Chiamano H e K i punti mei elle core AB e CD, consierare i triangoli OH e OK...) 2.a ero o falso? Giustificare la risposta: 1. Se AB CD allora OH OK. 2. Se AB CD allora AB CD. 3. Se AB CD allora AÔB CÔD. 4. Se AB CD allora AÔB AĈB. Angoli 2. ero o falso? 1. In una stessa circonferenza core congruenti sottenono archi congruenti. 2. In una stessa circonferenza se ue core sono una il oppio ell altra allora anche gli archi sottesi sono uno il oppio ell altro. 3. In una stessa circonferenza ue archi sono sottesi a ue angoli al centro, uno la metà ell altro; allora gli archi sono rispettivamente uno la metà ell altro. 4. Tutti gli angoli alla circonferenza che sottenono lo stesso arco sono congruenti allo stesso angolo al centro.. Gli angoli alla circonferenza che sottenono la stessa cora, ma a parti opposte, sono complementari. 6. Il settore circolare è ato all intersezione i un angolo con una circonferenza. 7. La cora è un segmento circolare. 8. Le core sono sempre perpenicolari alle rette tangenti negli estremi. 3.a Completare: Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco sono Inicare l angolo alla circonferenza e l angolo al centro in fig. A; valutare il rapporto tra le loro ampiezze. 2. Inicare l arco su cui insiste l angolo alla circonferenza i fig. B. Qual è l ampiezza massima che può avere in generale un angolo alla circonferenza? 3. Inicare gli angoli congruenti in fig. C. 207

2 Capitolo La circonferenza Tangenti a una circonferenza - Posizioni mutue erifica per la classe prima Costruzioni geometriche Tangenti 1.a Da un punto P esterno alla circonferenza vengono tracciate le tangenti alla che toccano la circonferenza nei punti A e B. Dimostrare che ogni punto Q appartenente all arco i circonferenza AB a parte opposta i P è il vertice i un angolo AQˆB complementare i APˆO. Posizioni mutue Costruzioni (Richiamare il teorema elle tangenti e il teorema egli angoli al centro e alla circonferenza...) 2.a Descrivere le iverse posizioni mutue i ue circonferenze (aventi raggi ifferenti) nel piano isegnano le figure e inicano per ciascuna posizione la relazione che lega la istanza tra i centri e le tangenti comuni alle ue circonferenze. 3.a Costruire un triangolo ABC rettangolo in  che aia il lato BC lungo 10 cm e 1 un angolo acuto i ampiezza pari a i un angolo retto. 4 Descrivere il proceimento utilizzato per la costruzione forneno una giustificazione ai vari passaggi. 3. Date ue rette t e s incienti tra loro, costruire le circonferenze i raggio pari a r tangenti a entrame le rette. Descrivere il proceimento utilizzato per la costruzione forneno una giustificazione ai vari passaggi. 3.c acoltativo. Dimostrare che il quarilatero formato ai centri elle circonferenze è un romo. Quale angolo evono formare le rette s e t affinché il quarilatero sia un rettangolo? 208

3 Circonferenza Test a risposta multipla per la classe prima Riportare in taella le lettere corrisponenti alle risposte esatte Quale elle seguenti è sempre una figura convessa? a arco i circonferenza segmento circolare c settore circolare angolo al centro 2. Quale elle seguenti affermazioni è vera? a L intersezione tra una retta e una circonferenza è una cora. L intersezione tra una retta e un cerchio è un cerchio. c Una cora è l intersezione tra una retta e un cerchio. Una cora è l intersezione tra una retta e un segmento circolare. 3. Due archi sono congruenti se hanno a angoli al centro e core che li sottenono congruenti. angoli al centro congruenti e centri coincienti. c raggi congruenti e centri coincienti. core che li sottenono congruenti e centri coincienti. 4. Quale elle seguenti affermazioni è falsa? a Un settore circolare è l intersezione tra un angolo al centro e un cerchio. Una semicirconferenza è sottesa a un angolo alla circonferenza i 90. c Tra ue core i una stessa circonferenza la maggiore ista più ella minore al centro O. La tangente a una circonferenza è perpenicolare al raggio nel punto i contatto.. Due core AB e CD i una stessa circonferenza sono parallele. Quale è falsa? a AD BC AB CD c AC BD AC BD 6. Quale elle seguenti affermazioni è falsa? Due angoli alla circonferenza sono congruenti se a c sottenono core congruenti. hanno lo stesso angolo al centro. sottenono lo stesso arco. hanno la stessa ampiezza. 7. La somma i ue angoli alla circonferenza che sottenono la stessa cora AB a parti opposte a c ipene alla lunghezza ella cora. è sempre pari a un angolo piatto. è sempre pari a un angolo giro. ipene alla istanza ella cora al centro. 8. Osservano la figura si euce che: a AÔB 2 # BÔC c BÔC AĈB CÂB 7 AĈB AÔB 2 # AĈB 209

4 9. Osservano la figura, quale elle seguenti affermazioni è falsa? a ABˆC 90 ABC è una semicirconferenza. c 10. Se AB è il iametro perpenicolare alla cora CD, allora a CÂD CBˆD c DB AC 11. Due circonferenze e i raggi r e r e centri O e O si intersecano in ue punti istinti se: a OO 6 r r c OO 6 r r CÂB 1 2 BÔC AC 2AB AĈB ADˆB OO 7 r r OO 7 r r 12. Due circonferenze e si intersecano. Sapeno che r r, quale elle seguenti affermazioni è falsa? a AB OO OO è l asse i AB. AO ˆ B 7 AÔB c AB è l asse i OO. AD BC 13. Se la istanza i una retta al centro i una circonferenza è pari al raggio, allora la retta è a tangente c esterna secante interna 14. Quale elle seguenti affermazioni è falsa? a Due rette parallele possono essere entrame tangenti alla stessa circonferenza se istano quanto il iametro ella circonferenza. Le core sono perpenicolari al iametro passante per il punto meio. c Gli angoli alla circonferenza possono avere un ampiezza massima pari a un angolo piatto. La isettrice i un angolo alla circonferenza iseca la cora sottesa all angolo stesso. 1. Due circonferenze istinte hanno a sempre almeno ue rette tangenti in comune. sempre almeno quattro rette tangenti in comune. c tre rette tangenti se OO r r. una sola retta tangente se OO r r. 16. Quante sono le circonferenze i ato raggio r tangenti a ue rette istinte? a Due se le rette sono incienti. Quattro se le rette sono incienti. c Due se le rette sono parallele. Quattro se le rette sono parallele. 17. Quale elle seguenti affermazioni è falsa? a La circonferenza è simmetrica rispetto al centro. La circonferenza è simmetrica rispetto a qualsiasi iametro. c La circonferenza è simmetrica rispetto a qualsiasi suo punto. La circonferenza ha infiniti assi i simmetria. 210

5 Tangenti a una circonferenza - erifica per la classe prima Costruzioni geometriche Prolema. Da un punto P esterno a una circonferenza i centro O tracciare le ue rette tangenti che incontrano la circonferenza in A e B. Che tipo i triangolo è ABP? PAB ˆ PBA ˆ Quanto vale il rapporto elle ampiezze? AOB ˆ 1. Disegnare la Circonferenza i centro O. 2. issare sul foglio un punto P (Nomi ). Costruzione elle tangenti alla per P 3. Congiungere P con O costrueno il Segmento OP. 4. Determinare il Punto meio i OP e chiamarlo M.. Disegnare una circonferenza i centro M e iametro OP. 6. erifica ella costruzione 6.a Muoveno il punto P sul piano sia internamente sia esternamente alla circonferenza, quante sono le intersezioni ella circonferenza con la nuova? 6. Se P è esterno chiamare A e B i punti i intersezione e congiungere P con A e con B isegnano le rette AP e BP. 6.c Misurare con lo strumento Misura ell angolo gli angoli PÂO e PBˆO : PÂO... ; PBˆO Teoria 7.a Scrivere la efinizione i tangente. 7. Che tipo i angoli sono OÂP e PBˆO? 7.c Deurre che AP e BP sono le tangenti alla circonferenza. 7. Come sono tra loro i triangoli AOP e OBP? Perché? 7.e Come sono tra loro AP e PB? Perché? 7.f Che tipo i triangolo è ABP? 8. Misurare gli angoli PÂB e PBˆA : PÂB... ; PBˆA Misurare l angolo AÔP.... PÂB PBˆA 10. Con lo strumento Calcolatrice calcolare il valore el rapporto.... AÔB 11. erifica ella costruzione 11.a Muoveno il punto P sul piano esternamente alla circonferenza valutare se e come camia il rapporto calcolato al punto preceente. 11. ornire una imostrazione el risultato numerico a cui si è pervenuti. 12. Determinare sulla circonferenza un altro punto C tale che AĈB PÂB e un punto D tale che ADˆB sia supplementare i PÂB. 13. erifica ella costruzione 13.a Dove si possono trovare i punti C e D? Perché? DÂC DBˆC 13. Calcolare il valore el rapporto. AĈB ADˆB c Giustificare il risultato ottenuto. 211

6 Capitolo La circonferenza Archi, core, angoli erifica per la classe prima Prolema. Tutte le isettrici egli angoli alla circonferenza che insistono su uno stesso arco si incontrano in un punto. Di quale punto si tratta? 1. Disegnare la Circonferenza i centro O. 2. issare sulla circonferenza tre punti A, B e C con Punto su un oggetto. 3. Disegnare l angolo alla circonferenza AĈB con Segmento. 4. Disegnare la isettrice ell angolo AĈB con il comano Bisettrice.. erifica ella costruzione.a Misurare i ue angoli formati alla isettrice.. La isettrice poteva essere costruita anche senza l uso el pulsante i Cari; escrivere la costruzione. 6. Disegnare sulla circonferenza, alla stessa parte i C, un punto D in moo a avere l angolo ADˆB e isegnare la sua isettrice. 7. Determinare il punto P comune alle ue isettrici con Intersezione i ue oggetti. 8. erifica ella costruzione 8.a Muoveno il punto C sulla circonferenza valutare come varia la posizione el punto P. 8. Determinare se P appartiene alla circonferenza utilizzano lo strumento Appartiene a...?. 8.c Misurare la lunghezza i AP e i PB. 8. Quale punto è per la circonferenza il punto P? Dimostrare il risultato. Prolema. Due core i una stessa circonferenza sono iseguali. Come sono le loro istanze al centro ella circonferenza? 1. Sul isegno preceente misurare la lunghezza elle core AB e CD con Distanza o lunghezza. 2. Misurare le istanze AB, CD elle ue core al centro ella circonferenza. 3. erifica ella costruzione / Teoria 3.a Quale segmento rappresenta sul isegno la istanza el centro ella circonferenza a AB? 3. Definire la istanza i un punto a una retta. 3.c Inserire i segni i,, relativamente alla figura; se AB... CD 1 AB... CD. 4. Con lo strumento Compasso riisegnare la cora CD in moo che sia AB CD.. erifica ella costruzione / Teoria.a Quante core congruenti a AB si possono isegnare in una stessa circonferenza?. In questo caso come sono tra loro AB e CD? AB... CD.c ornire una imostrazione el risultato.. Muovere il punto C sulla circonferenza e con lo strumento Traccia isegnare il luogo geometrico eterminato al punto meio M ella cora CD..e Quale figura geometrica si ottiene? Perché? 212

7 Archi, core, angoli: verifica, prova strutturata a risposta multipla e laoratorio i Cari Oiettivi erifica Test Definire core, angoli al centro, alla circonferenza... Confrontare archi o core i una stessa circonferenza Dimostrare/Applicare i principali teoremi sulle core, gli archi, gli angoli 1.a; 2. 1.a; 2.a; 2. 1.a; 2.a; 2.; 3a 1, 2 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 13, 14, 1, 16 La. Cari Teoria al paragrafo 3, 6 3, 6 3, 6 Soluzioni egli esercizi 2.a 2. 3.a ; 2. ; 1. ; 2. ; 3. ; congruenti 1. ABC ˆ alla circonferenza; AOC ˆ al centro; 3. ; ;. ; 6. ; 2. BDA; ; ABD ˆ ACD ˆ ; BAC ˆ BDC ˆ AOC ˆ 2 # ABC ˆ tempo previsto: 60 min Soluzioni quesiti prova strutturata a risposta multipla tempo previsto: 4 min c a c a c c a c c Tangenti a una circonferenza - Posizioni mutue Costruzioni geometriche: verifica, prova strutturata a risposta multipla e laoratorio i Cari Oiettivi erifica Test Definire una retta esterna, secante, tangente a una circonferenza Costruire un triangolo rettangolo Costruire circonferenze tangenti e le tangenti a una circonferenza Dimostrare/Applicare il teorema elle tangenti Iniviuare le posizioni reciproche tra retta e circonferenza e tra ue circonferenze Iniviuare simmetrie nella circonferenza 1.a 3.a 3.; 3.c 1.a 2.a 11, 12, 13, 14, 1, 16 11, La. Cari Teoria al paragrafo 4 9 8, 9 7 4, 3 213