PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare

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Agnolo Ferretti
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1 PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare In un laboratorio sono disponibili due contatori A, B di batteri. Il contatore A può essere azionato da un laureato che guadagna 20 euro per ora. In media il contatore A è in grado di stimare 6 campioni l ora. Il contatore B è più veloce, ma anche più perfezionato, solo una persona più esperta, che guadagni 50 euro per ora, può usarlo. Con la stessa precisione di A, il contatore B consente in media la stima di 10 campioni l ora. Si devono stimare 1000 campioni in un periodo di tempo non superiore a 80 ore. Come conviene procedere?

2 PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare Contatore Campioni stimati per ora Retribuzioni orarie in euro Numero di ore di funzionamento A 6 20 x B y Poiché il lavoro deve essere eseguito in 80 ore, si ha: 0 x 80, 0 y 80 Inoltre, 6x + 10y = 1000, con costo 20x + 50y che vorremmo minimo.

3 PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare Dobbiamo considerare i punti del piano che soddisfano a tutte le condizioni elencate. Abbiamo il quadrato[0, 80]x[0, 80], intersecato dalla retta 6x+10y=1000. Questa intersezione è data dal segmento di estremi i punti (100/3,80) e (80,52). Il costo totale 20x + 50y può essere espresso nella sola incognita x; infatti, dalla relazione 6x + 10y =1000, ricaviamo y=-0.6x + 100, quindi Costo= 20x + 50(-0.6x + 100)= -10x

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5 PIANO CARTESIANO: un problema di programmazione lineare Costo= 20x + 50(-0.6x + 100)= -10x C(x) = x, il costo diminuisce all aumentare di x Per x= 100/3 il costo C(100/3) 4667 euro Per x=80 il costo C(80)=4200 euro La spesa minima si ottiene facendo lavorare il contatore A per 80 ore e il contatore B per 52 ore A controlla 480 campioni e B ne controlla 520 (da Batschelet, pag 81)

6 FUNZIONI LINEARI Una funzione è lineare se il suo valore varia in modo proporzionale alla variazione del suo argomento. Supponiamo che l argomento vari da x 0 a x, la variazione dell argomento è, dunque, Δx= x - x 0. Se f: R R è una funzione lineare, la variazione Δf = f(x) - f(x 0 ) deve essere proporzionale a x - x 0, vale a dire deve esistere una costante m tale che f(x) - f(x 0 ) = m (x - x 0 ), Δf = m Δx, dunque f(x) =mx + q, dove si è posto q= f(x 0 ) - m x 0

7 FUNZIONI LINEARI Viceversa, se f: R R è una funzione f(x) =mx + q, dove m e q sono costanti, allora f(x) - f(x 0 )=mx+q -(mx 0 +q)= m (x - x 0 ), quindi f è lineare. Le funzioni lineari sono tutte e sole le funzioni del tipo f(x) = mx + q, dove m e q sono opportune costanti reali.

8 FUNZIONI LINEARI: un problema di crescita Supponiamo di voler studiare la crescita di una radice di pianta di mais, la cui lunghezza verrà espressa in mm, in funzione del contenuto di saccarosio, espresso in gr/l, nel terreno di coltura. Per un contenuto di saccarosio (s) di 15 gr/l, si è ottenuto una lunghezza (l) di 62 mm, mentre con 25 gr/l si è ottenuto una lunghezza di 74 mm. Puoi determinare l(s), supponendo che la relazione sia lineare?

9 FUNZIONI LINEARI: un problema di crescita Vogliamo esprimere l(s)=ms +q Determiniamo m = m (25-15), da cui m=1.2 Determiniamo q q= = 44 l(s) = 1.2s + 44 Quale sarà la lunghezza della radice per un contenuto di saccarosio di 20 gr/l? l(20) = = 68 mm

10 FUNZIONI LINEARI: un problema di crescita l(s) = 1.2s + 44 Per quale contenuto di saccarosio la radice avrà una lunghezza di 80 mm? 80= 1.2s + 44, da cui s = (80-44)/1.2 = 30 gr/l

11 FUNZIONI LINEARI: un problema di crescita Le osservazioni di cui disponiamo danno per la variabile libera s i due valori 15 e 25, per cui 20 è un valore interno a questo intervallo, la predizione per l(20)=68 è frutto di una interpolazione dei dati; il valore s=30 ottenuto nella seconda domanda è esterno all intervallo dei dati, per cui la predizione l(30) =80 è frutto di una estrapolazione dei dati Attenzione! Per un contenuto 0 di saccarosio una lunghezza di 44 mm sarà ragionevole? Se mettessimo 100 gr/l la previsione di una lunghezza di 164 mm è ragionevole?

12 FUNZIONI LINEARI In generale: per una funzione f(x) = mx + q, assegnate due coppie di dati (x 1,y 1 ) e (x 2,y 2 ), per determinare m e q, si pone y 1 - y 2 = f(x 2 )-f(x 1 ) = m(x 2 -x 1 ) m=(y 1 - y 2 )/(x 2 -x 1 ) q= f(x 1 ) -m x 1 = f(x 2 )- mx 2 Due punti bastano per individuare una funzione lineare, viceversa data una funzione lineare, bastano due punti per disegnare il suo grafico.

13 FUNZIONI LINEARI I grafici delle funzioni lineari sono tutte le rette non parallele all asse delle ordinate. Per ottenere tutte le rette dobbiamo considerare, più in generale, l equazione ax + by = c Per b 0 otteniamo y = -(a/b) x + c/b, se a=0 allora y=c/b, vale a dire la retta parallela all asse delle ascisse passante per il punto (0, c/b) Per b=0, a 0 otteniamo x=c/a, vale a dire una retta parallela all asse delle ordinate passante per il punto (c/a,0)

14 FUNZIONI LINEARI Assegnata f(x)=mx+q, conoscendo un valore y=f(x) determinare x, si ottiene: per m 0 x= (y-q)/m, soluzione unica per m=0 se y q, non ci sono soluzioni per m=0 se y=q, ogni valore di x va bene, infinite soluzioni.

15 FUNZIONI MONOTONE Diremo che una funzione f: A R R è crescente se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) f(x 2 ). Diremo che la funzione è strettamente crescente se se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) < f(x 2 ). Diremo che la funzione f è decrescente se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) f(x 2 ). Diremo che la funzione f è strettamente decrescente se per ogni x 1, x 2 A con x 1 < x 2 allora f(x 1 ) > f(x 2 ).

16 FUNZIONI LINEARI Sia f una funzione lineare f(x) = mx + q, come decidere se f è monotona? Sappiamo che m= Δf(x)/ Δx, possiamo quindi dire: se m > 0, quando Δx > 0 anche Δf(x) > 0 quindi f è strettamente crescente se m < 0, quando Δx > 0 allora Δf(x) < 0 quindi f è strettamente decrescente se m=0 la funzione è costante, si ha f(x)=q

17 MAX E MIN Sia f: [a, b] R diremo che x 0 [a, b] è un punto di minimo per f, se per ogni x [a, b] si ha f(x) f(x 0 ). f(x 0 ) è il valore minimo che la funzione f assume nell intervallo [a, b] Sia f: [a, b] R diremo che x 0 [a, b] è un punto di massimo per f, se per ogni x [a, b] si ha f(x) f(x 0 ). f(x 0 ) è il valore massimo che la funzione f assume nell intervallo [a, b]

18 Se f: [a, b] R è crescente MAX E MIN il punto di minimo è a (perché?) ( ed è unico se la funzione è strettamente crescente) ed il valore minimo è f(a); il punto di massimo è b (perché?) (ed è unico se la funzione è strettamente crescente) e il valore massimo assunto da f in [a, b] è f(b).

19 MAX E MIN Se f: [a, b] R è decrescente il punto di minimo è b (ed è unico se la funzione è strettamente decrescente) ed il valore minimo è f(b); il punto di massimo è a (ed è unico se la funzione è strettamente decrescente) e il valore massimo assunto da f in [a, b] è f(a).

20 FUNZIONI LINEARI Se f: [a, b] R è lineare f(x) = mx + q Per m>0 x=a punto di minimo, x=b punto di massimo Per m<0 x=a punto di massimo, x=b punto di minimo f: R R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di massimo né punti di minimo

21 FUNZIONI LINEARI f: R R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di massimo né punti di minimo Infatti se m>0, per ogni M>0, per quanto grande possiamo sceglierlo, esiste un valore x 0 tale che per ogni x x 0 f(x) M basta porre mx+q M e ricavare x 0 = (M-q)/m quindi non si può avere un punto di massimo

22 FUNZIONI LINEARI f: R R tale che f(x) = mx + q non ha né punti di massimo né punti di minimo Infatti se m>0, per ogni M<0, per quanto grande possiamo sceglierlo in valore assoluto, esiste un valore x 0 tale che per ogni x x 0 f(x) M basta porre mx+q M e ricavare x 0 = (M-q)/m quindi non si può avere un punto di minimo

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