Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari

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1 Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari Matematica e Statistica I Prova in itinere del 29/10/2009 NOME COGNOME N. Matr. DOMANDE: Dare una sola risposta per ogni domanda, senza giustificarla. La risposta corretta vale 2 punti. Ogni risposta sbagliata alle domande a scelta multipla toglie 1/2 punto. ESERCIZI: Rispondere alla domanda nel modo più completo possibile, cercando di giustificare i passaggi. DOMANDA 1 La media x e la mediana M e dei i numeri dati di seguito valgono x = , M e = x = 175.8, M e = 174 x = 175.8, M e = 172 x = 172, M e = DOMANDA 2 Siano f(x) e g(x) due funzioni da R in R. Sappiamo che g(x) è una funzione pari. Cosa possiamo concludere sulla funzione h = f g? h è una funzione pari h è dispari h è pari solo se f è pari h è pari se f è dispari DOMANDA 3 Quale delle seguenti funzioni ha un minimo in x = 0, è crescente nell intervallo ( 4, 3) e decrescente nell intervallo ( 1, 0)? f(x) = 1 + x x 2 f(x) = 4x x 2 18x 7 f(x) = 4x 3 3x f(x) = 4x x 2 3x DOMANDA 4 Date le funzioni f e g il cui grafico è disegnato in figura, sia v(x) = f(g(x)) e u(x) = g(f(x)). Quanto valgono v (4) e u (9)? v (4) = 1 3 u (9) = 1 v (4) = 1 u (9) = 1 3 v (4) = 1 u (9) = 1 3 v (4) = 1 3 u (9) = 2 DOMANDA 5 Quale tra le seguenti coppie di funzioni diverge con la stessa velocità per x? f(x) = x 4 g(x) = 10 4 x 3 f(x) = 5 x g(x) = 5 x3 f(x) = x g(x) = x2 + 1 f(x) = x3 (x + 2) e x g(x) = e 3x

2 ESERCIZIO 6 (6 punti) In prima approssimazione la pressione atmosferica y diminuisce, all aumentare della della quota x, secondo una legge di tipo y = Ae kx Supponete di misurare la quota x in metri s.l.m. (sul livello del mare) e di misurare la pressione atmosferica mediante un barometro tradizionale, ossia in mm Hg. Sapendo che a quota x 0 = 0 si ha y(x 0 ) = 760 e che la pressione atmosferica risulta dimezzata ad una quota di circa 5500 m s.l.m., determinare: (a) il valore numerico delle due costanti A e k; (b) a quanti metri di quota s.l.m. la pressione è 1 3 della pressione a quota x 0 = 0; Consideriamo un punto a quota x 1 = 250 m s.l.m. e un punto a quota x 2 = 1250 m s.l.m.. Calcolare la variazione di pressione tra x 1 e x 2. Calcolare infine il tasso medio di variazione della pressione tra x 1 e x 2.

3 ESERCIZIO 7 (5 punti) A partire dal grafico di y = x 3, disegnare il grafico di y = 2(x 3) 3 1 tramite opportune trasformazioni (conviene passare per il grafico di y = (x 3) 3, poi di y = 2(x 3) 3 e infine di y = 2(x 3) 3 1). Analogamente, disegnare il grafico di log 2 (x 1), a partire dal grafico di log 2 (x). Sovrapporre i due grafici con una certa attenzione e da ciò concludere quante soluzioni ha l equazione 2(x 3) 3 1 = log 2 (x 1). Se possibile, giustificate la risposta a quest ultima domanda con un ragionamento rigoroso (non solo grafico).

4 ESERCIZIO 8 (5 punti) Considerate un foglio di carta quadrato di lato 18 cm, e immaginate di togliere 2 quadrati di lato x e 2 rettangoli di lati 9 e x agli angoli (vedi figura), e di utilizzare la parte restante per costruire una scatola a base quadrata con coperchio. 1. Scrivete il volume V della scatola risultante in funzione di x; 2. Tracciate il grafico della funzione V (x) (sull intervallo delle x che hanno senso in questo problema), dopo aver trovato le regioni in cui la funzione è crescente o decrescente, concava o convessa; 3. In quale x la funzione prende il valore massimo?

5 ESERCIZIO 9 (6 punti) Considerate la funzione f(x) = x + 1 3x 2 + 2x Trovate qual è l insieme naturale di definizione; 2. Calcolate i limiti per x + e per x. 3. Calcolate la derivata di f. 4. Trovate gli intervalli in cui f è crescente o decrescente, i punti di minimo e di massimo; 5. Discutete quante soluzioni ha l equazione f(x) = k a seconda del valore di k.