Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari. NOME COGNOME N. Matr.

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1 Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Biomolecolari Matematica e Statistica II Prova di esame del 9/9/2013 NOME COGNOME N. Matr. Rispondere ai punti degli esercizi nel modo più completo possibile, cercando di giustificare i passaggi. Alle domande a quiz va indicata una sola risposta (se è corretta essa vale 2 punti; se errata -1/2) Il compito è diviso in due parti. Per essere ammessi all orale è necessario ottenere almeno metà dei punti possibili in ognuna delle parti. PARTE I ESERCIZIO 1 I tempi di attesa ad uno sportello di una farmacia seguono una distribuzione esponenziale con tempo medio di attesa uguale a 10 minuti. 1. Qual è la probabilità di aspettare più di 10 minuti recandomi in farmacia? 2. Se vado allo sportello in 60 giorni diversi, qual è la probabilità che almeno la metà delle volte debba aspettare più di 10 minuti? Scrivere la formula esatta e trovarne un valore numerico approssimato usando un approssimazione appropriata Se non si sa rispondere al punto 1, si può rispondere al punto 2, usando un valore a caso come risposta al punto

2 ESERCIZIO 2 Si effettua il seguente esperimento: dapprima si lancia una moneta (bilanciata). Se il risultato è T (testa) allora si lancia un dado (bilanciato). Se il risultato è C (croce) allora si lanciano due dadi, uno rosso e uno blu, entrambi bilanciati. Rispondere alle seguenti domande: (a) Sapendo che dal lancio della moneta è uscita C, calcolare la probabilità che la somma dei punteggi ottenuti lanciando i 2 dadi (quello rosso e quello blu) sia 5. (b) Calcolare la probabilità di ottenere 5 (vuoi come somma del punteggio dei due dadi lanciati, vuoi come punteggio dell unico dado lanciato). (c) Calcolare la probabilità che sia uscita T, sapendo che abbiamo ottenuto 5. DOMANDA 3 Una sola delle seguenti affermazioni sulla distribuzione di Poisson è corretta Se supponiamo che i semi di una certa pianta cadano casualmente nello spazio, possiamo usare la distribuzione di Poisson per rappresentare il numero di semi in ogni quadrato campione; Ha la propietà di avere la varianza sempre maggiore della media; Si può usare per approssimare la distribuzione binomiale quando n è piccolo; Si può usare per approssimare la distribuzione normale quando n è grande.

3 PARTE II ESERCIZIO 4 (10 punti) Due gruppi di insetti ditteri della specie Cyrtodiopsis dalmati sono stati nutriti con differenti cibi. Un gruppo è stato alimentato con mais (cibo di elevata qualità) mentre l altro è stato alimentato con cotone (cibo di qualità interiore). Ogni maschio è stato allevato singolarmente e, quando è diventato adulto, ne è stata misurata la distanza interoculare. I dati sono rappresentati negli istogrammi in figura e sono riassunti nella tabella: Dieta di mais Frequency Frequency Dieta di cotone Dimensione Media Varianza campione (mm) (mm 2 ) n Dieta di mais Dieta di cotone cotone 1. Calcolate l intervallo di confidenza al 95% per la distanza media interoculare, separatamente per i due gruppi. 2. Studiate, tramite un test studiato nel corso, se la distanza media interoculare sia significativamente diversa nei due gruppi. Specificare le ipotesi esatte usate nel test. 3. Si noterà che non tutte le ipotesi alla base del test appaiono soddisfatte. Quali test si potrebbero effettuare per ovviare a questo problema? 4. Vogliamo studiare se la media della distanza interoculare sia uguale nutrendo gli insetti con del mais OGM, e a questo scopo scegliamo un campione di m larve di quella specie. Supponendo che la varianza fra questi sarà uguale a quella trovata per il gruppo alimentato con il mais normale, quanto deve essere grande m perché, se la media campionaria del gruppo OGM differisse da quella del gruppo mais normale più di 0.1 mm, noi fossimo in grado di rifiutare l ipotesi che le medie siano uguali al livello di significativià dell 1%? [Notare: n è quello di questo esperimento e quindi è uguale a 21.]

4 ESERCIZIO 5 (4 punti) In uno studio sono stati monitorati per 10 anni 410 uomini che avevano 40 anni all inizio dello studio, di cui 209 erano astemi e 201 bevitori moderati. Alla fine del periodo considerato, 12 astemi e 9 bevitori moderati avevano avuto un arresto cardiaco. 1. Calcolare la odds ratio di avere un attacco cardiaco per le due categorie di uomini. Quale sembra la categoria più a rischio? 2. Verificate statisticamente se vi sia differenza nel rischio di attacco cardiaco fra le categorie. DOMANDA 6 In un esperimento si effettua una misura X i prima e una Y i dopo un trattamento, dove i = 1... n rappresenta gli individui nel campione. Vogliamo studiare se in media il valore dopo il trattamento è diverso da quello prima. Allora è opportuno controllare che l effetto del trattamento sia additivo, ossia che la distribuzione della differenza Y i X i sia simmetrica intorno allo zero; è opportuno effettuare il t-test qualora la distribuzione della differenza Y i X i sia bimodale; è opportuno effettuare un test non parametrico, come il test dei segni, qualora la distribuzione della differenza Y i X i sia simmetrica perché è più potente; è preferibile utilizzare il t-test anziché il test dei segni qualora la distribuzione della differenza Y i X i sia simmetrica e unimodale perché è più potente.

5 ESERCIZIO 7 Un esperimento di incrocio di due varietà pure di piselli ha dato, alla generazione F 2, i seguenti risultati D 1 D 2 D 1 r 2 r 1 D 2 r 1 r 2 Totale dove D i e r i rappresentano il gene dominante e quello recessivo al locus i, i = 1, Verificate se tali risultati sono compatibili con le leggi di Mendel che prevederebbero frequenze di 9/16, 3/16, 3/16, 1/16 per i quattro gruppi. 2. Nel caso in cui tali risultati non siano compatibili, discutete (anche con l aiuto di appositi test) a cosa potrebbe essere dovuta la deviazione: la frequenza di D 1 e r 1 è diversa da 3/4 : 1/4; la frequenza di D 2 e r 2 è diversa da 3/4 : 1/4; le distribuzioni dei due geni non sono indipendenti.