NOME:... MATRICOLA:... Corso di Laurea in Fisica, A.A. 2007/2008 Calcolo 1, Esame scritto del

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1 NOME: MATRICOLA: Corso di Laurea in Fisica AA 007/008 Calcolo Esame scritto del Corso di Laurea in Fisica dell Atmosfera e Meteorologia AA 007/008 Calcolo Esame scritto del ) Consideriamo la funzione f) = + + a) Determinare il dominio massimale) di f b) Trovare tutti gli asintoti di f c) Trovare tutti i massimi e minimi locali di f d) Tracciare un grafico qualitativo per f da ) Determinare una primitiva della funzione f : 0 + ) R definita f) = +

2 3) Trovare tutte le soluzioni complesse dell equazione z z + = 0 ) Determinare i valori del parametro α 0 per cui il seguente integrale improprio converge : + cos α d 5) Dire per quali valori di α R la seguente serie converge: ) α n! n n n=

3 Soluzioni: ) : a) Il dominio di f consiste da tutti i numeri reali per quali ha senso e + 0 Ora ha senso se 0 e 3 + = + 0 se abbiamo simultaneamente oppure e > 0 ossia > e < 0 ossia Perciò il dominio di f è ] 0 + ) b) Poiché lim f) = + f ha un asintoto verticale in = 0 0+ La prima condizione per l esistenza di un asintoto obliquo per + è l esistenza del limite finito f) m + = lim + Verifichiamo l esistenza di questo limite : m + = lim = lim = 3 La seconda condizione per l esistenza di un asintoto obliquo per + necessariamente di forma y = m + + n + e nel nostro caso y = + n + è l esistenza del limite finito n + = lim f) m+ ) + 3

4 Verifichiamo che anche questo limite esiste : n + = lim + ) + = lim + ) ) + ) + = lim = lim + + = 0 + Cosicché y = è un asintoto obliquo di f per + D altro canto esiste m = lim + + <0 = lim + + = 0 3 perciò l asintoto obliquo per se esiste dev essere un asintoto orizzontale Verifichiamo che esiste: n = lim f) m ) = lim f) = lim = lim ) + + ) + = lim + = 0 Di conseguenza

5 y = 0 è un asintoto orizzontale di f per c) Per trovare gli intervalli di monotonia e gli etremi locali di f dobbiamo prima calcolare la sua derivata : f ) = + ) 3 + = = + = cioè e f ) = Poiché per < f ) = = + ) + per > 0 per < + ) = ) < 0 }{{} > 0 abbiamo f ) < 0 per ogni < In particolare f ) = 0 è possibile solo per un > 0 e quindi significa la validità congiunta di Ma *) implica = 0 > 0 *) 3 ) }{{} = e risultano successivamente = + ) }{{} =

6 3 = 8 = D altro canto si verifica subito che = veramente soddisfa *) Per di più poiché è una funzione strettamente crescente di > 0 abbiamo f ) < 0 per 0 < < e f ) > 0 per > Risulta che f è strettamente decrescente in ] strettamente decrescente in 0 ) ) strettamente crescente in + In particolare è un punto di minimo locale nel quale il valore di f è : ) f = = + = Esaminiamo anche il comportamento di f nel punto : il valore è f ) = ed ha tangente verticale Infatti la derivata sinistra in è uguale a f) f ) lim = lim ) = t = lim = lim t 0+ + ) ) t3 3t 3t t t 0+ t t ) t3 + 3t = lim t + 3t t 0+ t t + ) t3 + 3t = lim + 3t t 0+ t 3 + t ) = 6 t + 3t + 3 tt + )

7 Riportiamo il comportamento di f e di f nella seguente tabella : 0 + f 0 + f 0 ց non def + ց ր + Finalmente calcoliamo la derivata seconda di f : ) f ) = d 3 d + + = d ) ) + / + d ) = = = = + 3 ) + ) / + ) + / ) 3 + ) 3/ ) 3/ 3 = 33 + ) + 3 ) + ) 3/ ) + ) + ) ) + ) 3/ ) + ) 3/ ) ) + Risulta che f ) < 0 per < e f ) > 0 per > 0 cosicché f è concava in ] e convessa in 0 + ) d) Usando le informazioni di cui sopra è facile tracciare il grafico di f : y = 0 è asintoto orizzontale di f per ed il grafico di f scende da 0 a fino a ) 7

8 Nel secondo tratto il grafico scende dall infinito in 0 fino a ) un punto di minimo locale nel quale il grafico ha tangente orizzontale Sale poi all infinito a + ha per + l asintoto obliquo y = e resta sempre sopra l asintoto : f) = Il grafico di f : + + > + = > 0 y + ) + ) : Prima soluzione Per > 0 abbiamo = = = perciò per il calcolo dell integrale indefinito d = + + d 8

9 possiamo usare la sostituzione t = + = t t con ) t t d = dt = t t + ) t dt = t t ) dt Si ottiene + d = Lo sviluppo di forma t t t t t ) dt = t t ) 3 dt t t ) = t in fratti semplici è dalla 3 + t) 3 t) 3 t t ) 3 = a + t + b + t) + c + t) 3 + α t + β t) + γ t) 3 Allora t = a + t) t) 3 + b + t) t) 3 + c t) 3 + α + t) 3 t) + β + t) 3 t) + γ + t) 3 e con t = rispettivamente t = otteniamo Risulta che = 8c cioè c = = 8γ cioè γ = a + t) t) 3 + b + t) t) 3 + α + t) 3 t) + β + t) 3 t) = t t)3 + t)3 = t ) t) t) 3 = t ) t) + + t) ) t) t) + t) + + t) = t ) t + t t ) + + t + t = t ) + 3t = t 3 t = t ) t + ) 9

10 Semplificando con t si ottiene a + t) t) + b t) + α + t) t) + β + t) = t Ora di nuovo con t = rispettivamente t = risulta b = 5 cioè c = 5 8 β = 5 cioè β = 5 8 Di conseguenza a + t) t) + α + t) t) = t t) t) 8 = t + 5 ) + t = 3 t + 3 = 3 ) t Tramite semplificazione con t otteniamo a t) + α + t) = 3 e con t = rispettivamente t = concludiamo : a = 3 cioè a = 3 8 α = 3 cioè α = 3 8 Così abbiamo lo sviluppo Risulta t t ) 3 = t t) t 5 8 t) + t t ) 3 dt = 3 8 log + t t log t 5 8 t + 8 = 3 8 log + t t 5 t t t) 3 t) 3 + t) t) + C t t ) + C

11 Tenendo conto che t = + e quindi t = + t = + t t = + concludiamo : d + t = t ) dt 3 = 3 8 log ) + + C Ma = + + ) + ) + + ) e Cosicché 5 = + + ) log + + = log + + ) + = log + + ) ) + = 3 + d = 3 + log + + ) C Rimarchiamo che abbiamo usato una delle cosiddette sostituzioni di Eulero : il calcolo dell integrale di una funzione razionale di e a + b + c nel caso che a + b + c = 0 ha zeri reali < può essere ridotto all integrazione di una funzione razionale tramite la sostituzione t = a

12 oppure s = a Nel nostro caso avendo a + b + c = + le sostituzioni di cui sopra sono s = ) ) + = 0 oppure 0 t = ) ) = + Nei calcoli precedenti abbiamo fatto uso della seconda sostituzione ma avremmo potuto fare i calcoli anche usando la prima sostituzione Seconda soluzione Poiché + = + e per = sh t ove > 0 corrisponde a t > 0 ) nelle espressioni = sht + = ch t = cht i radicali si sciolgono ci proponiamo usare la sostituzione = sh t = sht + = cht d = shtchtdt Rimarchiamo che t si ottiene da tramite la formula t = log + + ) La funzione continua R t sh t R è strettamente crescente ed ha limite + in + rispettivamente limite in Perciò è invertibile e per la sua inversa chiamata arcoseno iperbolico ed indicato con arcsh possiamo dedurre una formula Infatti y = sht significa y = et e t = et ) e t e t ) ye t = 0 e risolvendo questa equazione in e t si ottiene l unica soluzione positiva Cosicché e t = y + y +

13 arcshy = log y + y + ) y R In particolare nel nostro caso = sht implica Si ottiene d = + t = arcsh = log + + ) sh t shtcht shtchtdt = sh tdt Per integrare sh t useremo le formule di duplicazione e di bisezione per il seno e coseno iperbolico : e Infatti shs) = shschs chs) = ch s = sh s + sh s = chs) shschs = es e s e s + e s e s e s) sh s = ch s = e s + e s) Useremo anche la formula shs ) = chs ossia ch s = chs) + = es e s = es + e s = es + e s + chsds = shs + C = chs) = chs) = chs) + La verifica è immediata : ) ) e s e s shs = = es + e s = chs 3

14 Ora poiché ) cht) sh t = = ch t) cht) + = cht) + cht) + concludiamo che d + = sh tdt = cht) cht) + 3 = 6 sht) sht) + 3 t + C = 8 sht)cht) sht) + 3 t + C = shtcht sh t + ) shtcht + 3 t + C = ) arcsh + C = log + + ) + C 3) : L equazione z z + = 0 è una equazione algebrica di grado in z e perciò possiamo usare la formula di risoluzione di questo tipo di equazioni per trovare i posibili valori di z : z = ± = ± i Resta trovare tutte le radici quadrate di +i e i nel campo compesso Per questa fine ci serve la loro forma trigonometrica : ± i = + ±) = cosϕ = e sin ϕ = ± perciò possiamo porre ϕ = ±

15 ed otteniamo ± i = cos ± ) + i sin ± ) ) Ora se z = r cosψ + i sin ψ ) e z = ± i allora la formula di De Moivre implica r cosψ) + i sinψ) ) = cos ± ) + i sin ± ) ) cioè r = e ψ = ϕ + k = ± + k ossia con k un intero ψ = ϕ + k = ± 8 + k Perciò le radici quadrate di + i nel campo complesso sono z = cos 8 + i sin ) 8 e z = ) cos 8 + = cos 8 i sin 8 ) ) + i sin 8 + ) = z poiché cos e sin essendo funzioni periodiche col periodo per k = riotteniamo z poi per k = 3 riotteniamo z e cosi via Similmente le radici quadrate di i nel campo complesso sono z 3 = cos ) + i sin ) ) 8 8 = cos 8 i sin ) 8 = z 5

16 e z = cos ) 8 + = + i sin ) ) 8 + cos ) i sin ) ) 8 8 = z 3 = z Concludiamo che le soluzioni del equazione z z + = 0 nel campo complesso sono z = cos 8 + i sin ) 8 z = z z 3 = z z = z Rimarco Possiamo andare anche oltre calcolando esplicitamente cos 8 sin 8 e quindi z z = z z 3 = z z = z Infatti usando le formule trigonometriche cos θ = + cosθ con θ = si ottengono sin θ = cosθ cos 8 = + cos = + = + cioè sin 8 = cos = = cos 8 = + sin 8 = 6

17 Risulta che le soluzioni del equazione z z + = 0 nel campo complesso sono z = ) + + i = + + i z = z = + i z 3 = z = + i z = z = + + i ) : Poiché e l integrale cos α > 0 α + α d converge per α > dal criterio del confronto risulta che l integrale improprio + cos α è assolutamente convergente per α > Tuttavia in questo modo non otteniamo informazioni sulla convergenza o meno nel caso 0 α Usando però integrazione per parti possiamo aumentare l esponente nel denominatore aumentando così le prospettive di convergenza Più d 7

18 precisamente per ogni b > abbiamo b cos α d = b = sin b b α sin ) α b + α d = sin α sin d +α b b ) sin d α Ora usando il criterio del confronto e la convergenza dell integrale + deduciamo che per α > 0 l integrale d α > 0 +α + sin d +α è addirittura assolutamente) convergente e quindi esiste il limite b lim b + cos α = lim b + sin b b α } {{ } =0 b +α lim b + sin d = α +α + sin d +α In altre parole per α > 0 l integrale improprio converge + cos α D altro canto e facile vedere che per α = 0 l integrale + d cosd non è convergente: 8

19 Da una parte e dall altra parte k cosd 0 } {{ } = 0 k+ cosd } {{ } = 5) : Applichiamo il criterio del rapporto : poiché n + )! ) α n + ) n+ n!) α n n = n + ) α + ) n 0 se α < e se α = + se α > n cioè n + )! ) α n + ) n+ n!) α n n 0 se α < e < se α = + se α > la serie data converge se e soltanto se α 9