RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI

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Anna Sara Villani
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1 RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI V PARTE: TRIGONOMETRIA MISURE DEGLI ANGOLI IN GRADI E IN RADIANTI Nota; nel seguito per la misura degli angoli in gradi viene utilizzato il sistema "sessadecimale" cioè una versione semplificata del sistema sessagesimale: il grado è la trecentosessantesima parte dell'angolo giro ma invece di utilizzare primi e secondi si usano i decimali di grado (perciò ad esempio equivale a 0'). Dati i seguenti angoli espressi in gradi convertirli in radianti Dati i seguenti angoli espressi in radianti convertirli in gradi FUNZIONI GONIOMETRICHE Per ciascuno dei seguenti angoli di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e il valore del seno calcolare coseno tangente e cotangente. nel primo quadrante con sen = cos = tg = cotg =. nel primo quadrante con sen = cos = tg = cotg = 0 0. nel secondo quadrante con sen = cos = tg = cotg = 0. nel secondo quadrante con sen = cos = tg = cotg =. nel terzo quadrante con cos = tg = cotg =. nel quarto quadrante con cos = tg = cotg =

2 Per ciascuno dei seguenti angoli di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e il valore del coseno calcolare seno tangente e cotangente 0. nel primo quadrante con cos = sen = tg = cotg = 0 0. nel primo quadrante con cos = sen = tg = cotg = 0. nel secondo quadrante con cos = sen = tg = cotg = 0 0. nel terzo quadrante con cos = tg = cotg = 0. nel quarto quadrante con cos = tg = cotg = 0 0. nel quarto quadrante con cos = tg = cotg = Per ciascuno dei seguenti angoli di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e il valore della tangente calcolare seno coseno e cotangente. nel primo quadrante con tg = sen = cos = cotg =. nel primo quadrante con tg = sen = cos = cotg =. nel secondo quadrante con tg = sen = cos = cotg =. nel terzo quadrante con tg = cos = cotg = 0. nel terzo quadrante con tg = cos = cotg = 0 0. nel quarto quadrante con tg = cos = cotg = Per ciascuno dei seguenti angoli di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e il valore della cotangente calcolare seno coseno e tangente 0 0. nel primo quadrante con cotg = sen = cos = tg = nel primo quadrante con cotg = sen = cos = tg =. nel secondo quadrante con cotg = sen = cos = tg =. nel terzo quadrante con cotg = cos = tg =. nel terzo quadrante con cotg = cos = tg =. nel quarto quadrante con cotg = cos = tg =

3 FUNZIONI GONIOMETRICHE INVERSE Esprimere in ciascuno dei seguenti casi l'angolo tenendo conto dell'intervallo in cui esso cade. NOTA: nelle risposte che seguono nel caso del primo quadrante di è utilizzata la funzione arcoseno sen = 0 < < = arcsen sen = < < = arccos sen = < < = arccos cos = < < = + arcsen 0 cos = < < = arcsen oppure = arccos cos = < < 0 = arcsen 0 0 tg = < < = arcsen 0 cos = < < = + arcsen cos = < < = + arccos EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI Risolvere le seguenti equazioni goniometriche elementari utilizzando anche le funzioni goniometriche inverse se necessario. senx = + k ; + k. sen x = arcsen + k ; arcsen + k 0. cos x = ± arccos + k. tgx = + k. tg x = arctg + k. tgx = arctg + k. cosx = ± arccos + k. cotg x = arctg + k. senx = arcsen ( ) + k ; arcsen ( ) + k

4 . sen x = + assurda cosx = ± arccos + k 0 0 cosx = assurda In ciascuna delle seguenti equazioni l'applicazione di opportune formule consente di ottenere un'equazione contenente una sola funzione goniometrica oppure tramite scomposizione è possibile ottenere più equazioni goniometriche elementari. Dopo aver determinato tutte le soluzioni scrivere esplicitamente in ordine crescente quelle che cadono tra 0 e 0. cos x sen x + = 0 + k + k ; soluzioni tra 0 e :. sen x + sen x = 0 k + k + k ; soluzioni tra 0 e : 0. 0 sen x + cos x = ± + k ± arccos + k ; soluzioni tra 0 e : arccos arccos. sen x cos x sen x + cos x = 0 ± arccos + k ; soluzioni tra 0 e : arccos arccos. sen x cos x + tg x + 0 sen x = 0 ± arccos + k ; soluzioni tra 0 e : arccos arccos. sen x + cos x + sen x = k; soluzioni tra 0 e : 0. ( sen x + cos x) = nessuna soluzione. sen x cos x + cos x sen x = 0 ± + k ± + k arcsen + k ; + arcsen + k ; soluzioni tra 0 e : + arcsen arcsen FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE FORMULE DI DUPLICAZIONE. Siano e β gli angoli del primo quadrante per i quali è coseno degli angoli + β e β. sen ( + β) =. Detto l'angolo del primo quadrante per i quali è sen = e sen β =. Calcolare seno e cos( + β) = sen ( β) = cos ( β) = sen = e β l'angolo del secondo quadrante per il quale è sen β = calcolare seno e coseno di + β. sen( + β) = cos( + β) =

5 0 0. Detto l'angolo del secondo quadrante per il quale è sen = calcolare seno e coseno di 0 +. sen + = cos + =. Detto l'angolo del primo quadrante per il quale è cos = calcolare seno e coseno di. 0 sen = cos =. Se sen > 0 e cos < 0 in quale quadrante giace? e in quale quadrante giace? giace nel primo quadrante mentre può far parte del terzo o del quarto Esprimere in forma più compatta i seguenti angoli. arcsen + arccos arcsen. arccos + arccos arccos. 0 arccos + arccos arcsen 0. arcsen arcsen 0. arccos arcsen. arctg + arctg arctg. arctg + arctg arctg 0. arctg + arcsen arcsen 0. arctg + arcsen + arcsen. arctg arctg arctg 0. arctg arccos arccos 0 FORMULE DI BISEZIONE Per ciascuno dei seguenti angoli di cui sono assegnati il quadrante di appartenenza e una funzione goniometrica calcolare seno coseno e tangente dell'angolo dimezzato. nel primo quadrante con. nel primo quadrante con cos = sen = cos = tg = 0 cos = tg = 0

6 . nel secondo quadrante con sen =. nel primo quadrante con tg =. nel secondo quadrante con tg = cos = + cos =. nel terzo quadrante con 0. nel terzo quadrante con tg = cos = cos = + cos = 0 0 tg = tg = + tg = tg = tg = + ALTRE EQUAZIONI GONIOMETRICHE I seguenti esercizi comprendono vari casi di equazioni risolubili con uno dei metodi noti (applicazione di formule di addizione sottrazione e moltiplicazione equazioni omogenee in seno e coseno ed equazioni riconducibili ad omogenee equazioni lineari in seno e coseno ecc.) NOTA: per brevità si è omesso il calcolo esplicito delle soluzioni comprese tra 0 e. x. cos = ± + k. tg x 0 x = + k. sen x = cos x + k ; + k. sen x + sen x cos x + k ; + k ; + k. tg x + tg x cotgx = 0 + k ; + k ; + k. cos x + cos x + cos x + = 0 (k + ) ; ± + k ; ± arccos + k. sen x sen x cos x + cos x = 0 arctg + k ; + k. sen x + sen x = arctg + k; arctg + k. sen x sen x = cos x + cos x (k + ) ; ± + k 00. sen x + cos x = 0 + k ; arcsen + k 0. cos x sen x + = 0 arcsen + k ; arccos + k 0. sen x + cos x + = 0 (k + ) ; + arcsen + k

7 DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Di seguito sono riportati alcuni casi semplici di disequazioni goniometriche risolubili anche con l'ausilio di un grafico. NOTA: per brevità è stato riportato solo un sottoinsieme di soluzioni di solito limitato ad un opportuno intervallo di ampiezza ; è ovviamente possibile grazie alla periodicità scrivere tutto l'insieme delle soluzioni.. 0. sen x > < x < 0. cos x x 0. cos x < 0. sen x > arcsen < x < arcsen 0. senx + arcsen x arcsen 0. cos x > arccos < x < arccos 0. sen x cos x 0. sen x cos x < 0 arctg < x < arctg. sen x cos x arcsen x arccos. cos x sen x > arcsen < x < arcsen APPLICAZIONI GEOMETRICHE Negli esercizi che seguono è necessario applicare alcuni semplici teoremi di trigonometria (teoremi sui triangoli rettangoli teorema dei seni).. Se in un triangolo ABC rettangolo in A l'ipotenusa misura qual è l'ampiezza dell'angolo cm e il cateto AB misura cm CBˆ A?. Se in un triangolo ABC rettangolo in A l'ipotenusa misura 0 cm e il cateto AB misura cm qual è l'ampiezza dell'angolo BCˆ A?. Se in un triangolo ABC i due cateti BC e AB misurano rispettivamente cm e 0 cm qual è l'ampiezza dell'angolo BCˆ 0 A? arctg

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