ANGOLI ASSOCIATI. Considerando sempre valida l uguaglianza tra i triangoli OPH e ORK si ricava quanto segue: 1) Angoli complementari.

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Iolanda Palma
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1 ANGLI ASSCIATI Considerando sempre valida l uguaglianza tra i triangoli H e K si ricava quanto segue: ) Angoli complementari K H K = H sen = (9 ) cos K = H cos(9 ) = sen (9 ) = c ) Angoli che differiscono di 9 K H K = H sen + = (9 ) cos K = H cos(9 + ) = sen (9 ) + = c ) Angoli supplementari K H K = H sen(8 ) = sen K = H = cos(8 ) cos (8 ) = ()

2 ) Angoli che differiscono di 8 K H K = H sen(8 + ) = sen K = H + = cos(8 ) cos (8 ) + = () ) Angoli esplementari (o angoli opposti) H K K = H sen(6 ) = sen( ) = sen K = H = = cos(6 ) cos ( ) cos = = (6 ) ( ) () iduzione al primo quadrante Se 9 < < 8 si usano le formule () relativi agli angoli supplementari Ad es. sen = sen(8 6 ) = sen 6 cos = cos(8 ) = cos = (8 ) = Se 8 < < 7 si usano le formule () Ad es. sen = sen(8 + ) = sen cos = cos(8 + 6 ) = cos 6 = (8 + 7 ) = 7

3 Se 7 < < 6 si usano le formule () Ad es sen = sen(6 ) = sen cos = cos (6 ) = cos = (6 ) = Se > 6 si divide l angolo per 6 e si considera il resto ' di questa divisione = k 6 + ' ad es. se = 7 quindi: sen7 = sen = 6 + FMULE Formule di sottrazione e addizione D C β B β β β I triangoli AC e BD sono uguali perché A CA = DB = β A = B = C = D = Quindi AC = BD sservando che: [ ] e che AC A(;) B(cos β; senβ) C cos( β ); sen( β ) D(cos ; sen) = BD si ha: [ ] [ ] cos( β ) + sen( β ) = (cos cos β ) + ( sen senβ ) da cui si ricava: cos ( β ) cos( β ) sen ( β ) + + = = cos cos cos β + cos β + sen sen senβ + sen β () essendo: cos ( β) + sen ( β) = la () si può scrivere: cos + sen = cos β + sen β = cos( β ) + = cos cosβ + sen senβ semplificando e cambiando di segno si ottiene: cos( β) = coscos β + sensenβ ()

4 poiché cos( + β ) = cos [ ( β )] mediante la () si ha: [ ] cos( + β ) = cos ( β ) = cos cos( β ) + sen sen( β ) e, tenendo conto delle () si ricava: cos( + β) = coscos β sensenβ (6) sen β = β = + β applicando la (6) si ha: sen( β ) = cos(9 )cos β sen(9 ) senβ quindi sen( β) = sencosβ cossenβ (7) sservando inoltre che: ( ) cos 9 ( ) cos ( 9 ) oiché [ ] sen( + β ) = sen ( β ) = sen cos( β ) cos sen( β ) si ricava: sen( + β) = sencosβ + cossenβ (8) Dalle considerazioni fatte discende che: sen( ± β ) sen cosβ ± cos senβ ( ± β) = = cos( ± β ) cos cos β sen senβ β dividendo numeratore e denominatore per cos cos β si ha: ( β) = (9) ± β Tangente dell angolo formato da due rette r β s β r: y = mx+ q Assegnate le rette la tangente dell angolo da esse formato, per s : y = m' x+ q ' m m' la (9), è dato da: ( β) = () + mm ' er dimostrare che = m si osservi la seguente figura dove è rappresentata la retta r: y = mx r: y = mx Q( xmx ; ) H K Dalla similitudine tra i triangoli H e QK si ha: H QK mx = = = = m H K x

5 nota Se il valore fornito dalla () è positivo l angolo che si è determinato è uno degli angoli acuti formato dalle rette r ed s, se è negativo l angolo che si è determinato è uno degli angoli ottusi formati dalle stesse rette. Formule di duplicazione Si ricavano dalle formule di addizione. Infatti: sen = sen( + ) = sencos + cossen = sencos cos cos( ) cos cos sen sen cos sen = + = = + = ( + ) = = iassumendo: sen = sencos = sen = sen = = cos cos cos Formule di bisezione Si ricavano dalle formule di duplicazione del coseno. oiché cos cos cos sen cos = sen = = = cos cos dalla prima si ha: e dalla seconda: Quindi = sen + cos sen = cos = + cos cos cos sen =± + cos cos =±

6 Formule parametriche razionali er le formule di duplicazione possiamo scrivere: sen = sen = sen cos cos = cos = cos sen sen cos sen cos Dalla prima si ricava: sen = = sen + cos dividendo numeratore e denominatore per sen = + cos si ottiene: cos sen cos sen Dalla seconda si ricava: cos = = sen + cos dividendo numeratore e denominatore per sen = + cos si ottiene: onendo t sen = + t = t si ha: t cos = + t Formule di prostaferesi Servono a trasformare la somma o la differenza di due seni o di due coseni in un prodotto di seni e coseni. er ottenerle si utilizzano le formule di addizione e sottrazione: sen( + β ) = sen cosβ + cos senβ cos( + β ) = cos cos β sen senβ sen( β ) = sen cosβ cos senβ cos( β ) = cos cos β + sen senβ sommando membro a membro si ha: ( β) sen( + β ) + sen = sen cosβ cos( + β ) + cos( β ) = cos cos β ()

7 ponendo quindi + β = p β = q si ricava = β = p+ q p q () p q p q sen p + sen q = sen + cos p + q p q cos p+ cos q= cos cos sottraendo membro a membro si ha: ( ) sen( + β ) sen β = cos cosβ cos( + β ) cos( β ) = sen senβ () per le () possiamo scrivere: sen p sen q = cos Formule di Werner p + q p q cos p + q p q cos p cos q= sen sen Si ricavano dalle () e () sencos β = sen( + β) + sen( β ) cos cos β = [ cos( + β ) + cos( β )] sen senβ = cos( + β ) cos( β ) [ ] altri appunti riguardanti le funzioni goniometriche si trovano nelle pagine: analisi (funzioni ); algebra (equazioni e disequazioni); funzioni. Valori delle funzioni goniometriche di angoli particolari gradi radianti seno coseno tangente cotangente ± 8 π 6 6+ π + π

8 π 6 π π π π 8 π π π 6 π ± 8 π - ± 7 π - ± 6 π ±

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