Statistica per le le ricerche ricerche di mercato 9.b 9.b Analisi Analisi preliminari preliminari Verifica di ipotesi: test test di indipendenza

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Guglielmo Carrara
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1 Statistica per le ricerche di mercato a.a. 014/15 9.b Analisi preliminari Verifica di ipotesi: test di indipendenza

2 Test di indipendenza Permette di verificare se tra due variabili X e Y esiste o meno associazione E un test non parametrico in quanto l ipotesi da sottoporre a verifica non riguarda un parametro della distribuzione ma la condizione di indipendenza statistica Il test può essere applicato a qualsiasi tipo di carattere purché le modalità siano raggruppate in classi qualora il carattere sia di tipo quantitativo continuo

3 Test di indipendenza Siano X e Y rispettivamente due caratteri tali che H siano le modalità di X e K le modalità di Y (tabella a doppia entrata) Si vuole verificare sulla base delle n osservazioni campionarie l ipotesi nulla di indipendenza statistica tra X e Y nella popolazione H : p = pp H :n = n n n H 0 1 : p i pp i j j o, equivalentemente H 0 1 :n i. n n dove p e n indicano, rispettivamente, la generica frequenza congiunta relativa e assoluta i..j.j n 3

4 Test di indipendenza La statistica test utilizzata è data da χ H K c ' = c = n n n ' i= 1 j= 1 n n ' freq. osservate freq. teoriche che, per n grande, ha una distribuzione chi- quadrato con (K-1)(H-1) gradi di libertà Maggiore sarà il valore della statistica e maggiore sarà l evidenza contro l ipotesi nulla, il test pertanto è sempre ad una coda 4

5 Distribuzione chi-quadrato χ g Asimmetrica, X ~ x>0 χ g χ 4 χ 10 Asimmetrica Dipende da g (gradi di libertà) χ 15 Se si considerano g v.c. normali standardizzate e indipendenti allora la somma dei loro quadrati si distribuisce come una χ g con g gradi di libertà: 5 Z1 + Z Zg χg

6 Tavola del chi-quadrato (Area sulla coda destra, da χ all'infinito) g\p 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,75 0,5 0,5 0,1 0,05 0,05 0,01 0, ,0000 0,000 0,0010 0,0039 0,0158 0,1015 0,4549 1,333,7055 3,8415 5,039 6,6349 7,8794 0,0100 0,001 0,0506 0,106 0,107 0,5754 1,3863,776 4,605 5,9915 7,3778 9,103 10, ,0717 0,1148 0,158 0,3519 0,5844 1,15,3660 4,1083 6,514 7,8147 9, ,3449 1, ,070 0,971 0,4844 0,7107 1,0636 1,96 3,3567 5,3853 7,7794 9, , ,767 14, ,4117 0,5543 0,831 1,1455 1,6103,6746 4,3515 6,657 9,364 11,0705 1,835 15, , ,6757 0,871 1,373 1,6354,041 3,4546 5,3481 7, ,6446 1, , , , ,9893 1,390 1,6899,1674,8331 4,549 6,3458 9,037 1, , ,018 18,4753 0, ,3444 1,6465,1797,736 3,4895 5,0706 7, ,189 13, , ,5346 0,090 1, ,7349,0879,7004 3,351 4,168 5,8988 8,348 11, , , ,08 1,6660 3, ,1559,558 3,470 3,9403 4,865 6,737 9,3418 1, ,987 18,3070 0,483 3,093 5,188 Sulla prima colonna il numero dei gradi di libertà (g) Sulla prima riga l area alla destra del valore chi quadrato cercato (area rossa nel disegno) All incrocio si legge il valore chi-quadrato della corrispondente distribuzione che lascia alla sua destra tale area 6

7 CON STATA Esempio dal data set lazio.dta. Test di indipendenza tra genere e pasto principale (1=colazione; =pranzo; 3=cena) Summaries, tables and tests>frequency tables>two- way tables with measures of association. tabulate sesso pasto, chi pasto sesso 1 3 Total , ,90 Total 195 1,55 801,548 Pearson chi() = Pr = Pr indica il p-value associato al test. Si rifiuta l ipotesi di indipendenza per cui i due caratteri sono connessi

8 Test di indipendenza α χ α ;(K 1)(H 1) Se il valore del Chi-quadrato empirico i è inferiore al valore critico definito da α si accetta l ipotesi i di indipendenza d tra X e Y. 8

9 Esempio test di indipendenza Per verificare la soddisfazione dei propri clienti un ipermercato di un centro commerciale indaga se il cliente per raggiungere l iper utilizza o meno la propria autovettura (e quindi utilizza altri mezzi di trasporto). In tal senso intende verificare se esiste una relazione tra il livello ll di soddisfazione i e la disponibilità del parcheggio riservato ai clienti del centro commerciale. A tale scopo viene selezionato un campione di 50 clienti ai quali viene somministrato un questionario finalizzato ad indagare tale particolare relazione Si reca all iper con la propria autovettura Si reca all iper con altri mezzi di trasporto Clienti soddisfatti Clienti non soddisfatti i Al livello di significatività del 5% il direttore del centro commerciale può asserire che la soddisfazione del cliente non dipenda dal mezzo di trasporto con cui si reca al centro commerciale? 9

10 Esempio test di indipendenza Calcolo delle frequenze teoriche: Clienti soddisfatti Clienti non soddisfatti Si reca all iper con la propria autovettura Si reca all iper con altri mezzi di trasporto Calcolo del valore empirico ico della statistica test χ = 0,59 + 0,89 + 1,5 +,9 = 5,9 Poiché 5,9 > 3,84 si rifiuta l ipotesi di indipendenza al α =0,0505 livello di significatività del 5% p-value= χ 3,84 = P( χ > 5,9) = 0, 0 0,05;1 = 10

11 Tavola del chi-quadrato (Area sulla coda destra, da χ all'infinito) g\p 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,75 0,5 0,5 0,1 0,05 0,05 0,01 0, ,0000 0,000 0,0010 0,0039 0,0158 0,1015 0,4549 1,333,7055 3,8415 5,039 6,6349 7,8794 0,0100 0,001 0,0506 0,106 0,107 0,5754 1,3863,776 4,605 5,9915 7,3778 9,103 10, ,0717 0,1148 0,158 0,3519 0,5844 1,15,3660 4,1083 6,514 7,8147 9, ,3449 1, ,070 0,971 0,4844 0,7107 1,0636 1,96 3,3567 5,3853 7,7794 9, , ,767 14, ,4117 0,5543 0,831 1,1455 1,6103,6746 4,3515 6,657 9,364 11,0705 1,835 15, , ,6757 0,871 1,373 1,6354,041 3,4546 5,3481 7, ,6446 1, , , , ,9893 1,390 1,6899,1674,8331 4,549 6,3458 9,037 1, , ,018 18,4753 0, ,3444 1,6465,1797,736 3,4895 5,0706 7, ,189 13, , ,5346 0,090 1, ,7349,0879,7004 3,351 4,168 5,8988 8,348 11, , , ,08 1,6660 3, ,1559,558 3,470 3,9403 4,865 6,737 9,3418 1, ,987 18,3070 0,483 3,093 5,188 11

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