STATISTICA VERIFICA D IPOTESI - 3

Transcript

1 STATISTICA VERIFICA D IPOTESI - 3

2 Esempio 2 Il peso medio di un campione di 50 studenti che dichiarano di svolgeremoltaattivitàfisica (almeno 3 ore di palestra/allenamento sportivo a settimana) è di 71.2 kg con dev. standard di 2.5 kg. Il peso medio di un campione di 35 studenti che dichiaranovita sendentaria (meno di 1 ora ) hanno un peso medio di 70 kg con devi. standard di 3.2 kg. Sottoporre a verifica l ipotesi nulla che lo sport non abbia effetto sul peso.

3 Esempio 2 Il peso medio di un campione di 50 studenti che dichiarano di svolgeremoltaattivitàfisica (almeno 3 ore di palestra/allenamento sportivo a settimana) è di 71.2 kg con dev. standard di 2.5 kg. Il peso medio di un campione di 35 studenti che dichiaranovita sendentaria (meno di 1 ora ) hanno un peso medio di 70 kg con devi. standard di 3.2 kg. Sottoporre a verifica l ipotesi nulla che lo sport non abbia effetto sul peso.,, i.i.d ~(, ) sportivi camp. indip. (,, ) i.i.d ~(, ) sedentari

4 Esempio 2 Il peso medio di un campione di 50 studenti che dichiarano di svolgeremoltaattivitàfisica (almeno 3 ore di palestra/allenamento sportivo a settimana) è di 71.2 kg con dev. standard di 2.5 kg. Il peso medio di un campione di 35 studenti che dichiaranovita sendentaria (meno di 1 ora ) hanno un peso medio di 70 kg con devi. standard di 3.2 kg. Sottoporre a verifica l ipotesi nulla che lo sport non abbia effetto sul peso.,, i.i.d ~(, ) sportivi camp. indip. (,, ) i.i.d ~(, ) sedentari =

5 Verifica d ipotesi: e (,, ) campione aleatorio (, ) (,, ) campione aleatorio (, ) = ma non note Rifiutiamo se: =!"# $%%$!& > &( + 2) * = >!"# $%%$!& > &( + 2) *

6 Verifica d ipotesi: e (,, ) campione aleatorio (, ) (,, ) campione aleatorio (, ) = ma non note "!"# $%%$!&", (pooled) con, - = 1, +( 1), + 2

7 Verifica d ipotesi: e (,, ) campione aleatorio (, ) (,, ) campione aleatorio (, ), - = 1, +( 1), + 2 Rifiutiamo se: = 1 1, > &( + 2) * = > 1 1, > &( + 2) *

8 Verifica d ipotesi: e (,, ) campione aleatorio 3 4 =,5! 4 = (,, ) campione aleatorio 3 4 =,5! 4 = > 30 > 30 Rifiutiamo se: = 1 1, > &( + 2) * = > 1 1, > &( + 2) *

9 Esempio 2 Il peso medio di un campione di 50 studenti che dichiarano di svolgeremoltaattivitàfisica (almeno 3 ore di palestra/allenamento sportivo a settimana) è di 71.2 kg con dev. standard di 2.5 kg. Il peso medio di un campione di 35 studenti che dichiaranovita sendentaria (meno di 1 ora ) hanno un peso medio di 70 kg con devi. standard di 3.2 kg. Sottoporre a verifica l ipotesi nulla che lo sport non abbia effetto sul peso. sportivi sedentari,, i.i.d ~(, ) camp. indip. (,, ) i.i.d ~(, ), - = = 7.88,=2.81

10 Esempio 2 Il peso medio di un campione di 50 studenti che dichiarano di svolgeremoltaattivitàfisica (almeno 3 ore di palestra/allenamento sportivo a settimana) è di 71.2 kg con dev. standard di 2.5 kg. Il peso medio di un campione di 35 studenti che dichiaranovita sendentaria (meno di 1 ora ) hanno un peso medio di 70 kg con devi. standard di 3.2 kg. Sottoporre a verifica l ipotesi nulla che lo sport non abbia effetto sul peso. sportivi sedentari,, i.i.d ~(, ) camp. indip. (,, ) i.i.d ~(, ) 1 1, = = 1.94 = cfr

11 Esempio 2 Il peso medio di un campione di 50 studenti che dichiarano di svolgeremoltaattivitàfisica (almeno 3 ore di palestra/allenamento sportivo a settimana) è di 71.2 kg con dev. standard di 2.5 kg. Il peso medio di un campione di 35 studenti che dichiaranovita sendentaria (meno di 1 ora ) hanno un peso medio di 70 kg con devi. standard di 3.2 kg. Sottoporre a verifica l ipotesi nulla che lo sport non abbia effetto sul peso. sportivi sedentari,, i.i.d ~(, ) camp. indip. (,, ) i.i.d ~(, ) Se non è possibile assumerle uguali, c è una soluzione, che agisce sui gradi di libertà della distribuzione &, usualmente implementata nei software statistici.

12 Esempio 2 Si potrebbefare un test Il peso medio di un campione di 50 studenti che dichiarano di svolgeremoltaattivitàfisica (almeno 3 ore di palestra/allenamento sportivo a settimana) = è di 71.2 kg con dev. standard di 2.5 kg. Il peso medio di un campione di 35 studenti che dichiaranovita sendentaria (meno di 1 ora ) hanno un peso medio di 70 kg con devi. standard di 3.2 kg. Sottoporre a verifica l ipotesi nulla che lo sport non abbia effetto sul peso. sportivi sedentari,, i.i.d ~(, ) contro? camp. indip. (,, ) i.i.d ~(, ) Se non è possibile assumerle uguali, c è una soluzione, che agisce sui gradi di libertà della distribuzione &, usualmente implementata nei software statistici.

13 In rispostaa unadomanda : = C : E(F,G) I H E(F, G)H D D Densità F di Fisher a gradi di libertà e J

14 Esercizio 2 Durante uno studio sul quoziente intellettivo un gruppo di 20 uomini scelti a caso ed uno di 20 donne scelte a caso sono stati sottoposti ad un test per la misura del QI ottenendo i seguenti punteggi medi: 1 K = 115 e 1 L = 111.9, con le rispettive varianze:, K = e, L = a) in quale dei due gruppo la variabilità campionaria del QI è maggiore? b) C è abbastanza evidenza nei dati per poter affermare che gli uomini hanno un QI medio superiore a quello delle donne?

15 Esercizio 2 Durante uno studio sul quoziente intellettivo un gruppo di 20 uomini scelti a caso ed uno di 20 donne scelte a caso sono stati sottoposti ad un test per la misura del QI ottenendo i seguenti punteggi medi: 1 K = 115 e 1 L = 111.9, con le rispettive varianze:, K = e, L = a) in quale dei due gruppo la variabilità campionaria del QI è maggiore? b) C è abbastanza evidenza nei dati per poter affermare che gli uomini hanno un QI medio superiore a quello delle donne? a) CV U QR.S A = 0.217, CV D: AQ.@R.V = 0.211

16 Esercizio 2 Durante uno studio sul quoziente intellettivo un gruppo di 20 uomini scelti a caso ed uno di 20 donne scelte a caso sono stati sottoposti ad un test per la misura del QI ottenendo i seguenti punteggi medi: 1 K = 115 e 1 L = 111.9, con le rispettive varianze:, K = e, L = b) C è abbastanza evidenza nei dati per poter affermare che gli uomini hanno un QI medio superiore a quello delle donne? due campioni indipendenti 4 ~( K, ) QI uomini : K = L C K > L 4 ~ L, QI donne

17 Esercizio 2 Durante uno studio sul quoziente intellettivo un gruppo di 20 uomini scelti a caso ed uno di 20 donne scelte a caso sono stati sottoposti ad un test per la misura del QI ottenendo i seguenti punteggi medi: 1 K = 115 e 1 L = 111.9, con le rispettive varianze:, K = e, L = b) C è abbastanza evidenza nei dati per poter affermare che gli uomini hanno un QI medio superiore a quello delle donne? due campioni indipendenti 4 ~( K, ) QI uomini : K = L C K > L 4 ~ L, QI donne, - = = = 24.34

18 Esercizio 2 Durante uno studio sul quoziente intellettivo un gruppo di 20 uomini scelti a caso ed uno di 20 donne scelte a caso sono stati sottoposti ad un test per la misura del QI ottenendo i seguenti punteggi medi: 1 K = 115 e 1 L = 111.9, con le rispettive varianze:, K = e, L = b) C è abbastanza evidenza nei dati per poter affermare che gli uomini hanno un QI medio superiore a quello delle donne? due campioni indipendenti 4 ~( K, ) QI uomini : K = L C K > L 4 ~ L, QI donne, - = K 1 L, = = 0.40

19 Esercizio 2 Durante uno studio sul quoziente intellettivo un gruppo di 20 uomini scelti a caso ed uno di 20 donne scelte a caso sono stati sottoposti ad un test per la misura del QI ottenendo i seguenti punteggi medi: 1 K = 115 e 1 L = 111.9, con le rispettive varianze:, K = e, L = b) C è abbastanza evidenza nei dati per poter affermare che gli uomini hanno un QI medio superiore a quello delle donne? due campioni indipendenti 4 ~( K, ) QI uomini : K = L C K > L 4 ~ L, QI donne no! cfr. & =

20 Un controesempio Effetto di una sostanza omeopatica contro l ipertensione: Un campione casuale di individui di cui misuriamo la pressione prima e dopo la somministrazione del farmaco. Individuo Pres. min. PRIMA Pres. min. DOPO A. Bianchini B. Rossini C. Verdini E. Giallini F. Turchini 72 70

21 Un controesempio Effetto di una sostanza omeopatica contro l ipertensione: Un campione casuale di individui di cui misuriamo la pressione prima e dopo la somministrazione del farmaco. Individuo Pres. min. PRIMA Pres. min. DOPO A. Bianchini B. Rossini C. Verdini E. Giallini F. Turchini I due campioni non sono indipendenti perchè a coppie sono collegati

22 Esempio Altra situazione tipica: misura di una certa variabile effettuata su due unità statistiche legate tra loro: campioniaccoppiati. Coppie sposate Marito Moglie Titolo di studio della moglie Titolo di studio Differenza (d, in anni) Per verificare se il marito tende ad aumentare il grado di educazione della moglie Social and Psychological Factors Affecting Fertility P. Kiser & C. Whelpton. Milbank Memorial Fund (1950) (Anderson & Finn, p.433)

23 Esempio Altra situazione tipica: misura di una certa variabile effettuata su due unità statistiche legate tra loro: campioniaccoppiati. Coppie sposate Marito W X Moglie Y X Differenza (d, in anni) ] 4 = Titolo di studio della moglie Titolo di studio Z ] 4 ~(, ) 2 Z 153 Z [\ Social and Psychological Factors Affecting Fertility P. Kiser & C. Whelpton. Milbank Memorial Fund (1950) (Anderson & Finn, p.433) : = 0 C : > 0

24 Esempio Altra situazione tipica: misura di una certa variabile effettuata su due unità statistiche legate tra loro: campioniaccoppiati. Coppie sposate Marito W X Moglie Y X Differenza (d, in anni) ] 4 = Titolo di studio della moglie Titolo di studio Z ] 4 ~(, ) 2 Z 153 Z [\ ^ = 0.32,, _ = 1.07 " Social and Psychological Factors Affecting Fertility P. Kiser & C. Whelpton. Milbank Memorial Fund (1950) (Anderson & Finn, p.433) : = 0 C : > 0 ^ 0, _ / 153 = = =

25 STATISTICA Relazioni tra fenomeni qualitativi

26 Le tabelle di contingenza Infarto miocardico Gruppo Sì No Placebo Aspirina Tipo di farmaco, Infarto miocardico

27 Le tabelle di contingenza Infarto miocardico Gruppo Sì No Placebo Aspirina Tipo di farmaco, Infarto miocardico Appartenenza etnica e preferenze politiche Esposizione ad una data sostanza e insorgenza di malattie Livello sociale della famiglia e riuscita scolastica dei figli Metodo colturale e produzione Dimensione del cervello e QI Genere e percorso di studi

28 Le tabelle di contingenza, Tipo di farmaco, Infarto miocardico Appartenenza etnica e preferenze politiche Esposizione ad una data sostanza e insorgenza di malattie Livello sociale della famiglia e riuscita scolastica dei figli Metodo colturale e produzione Dimensione del cervello e QI Genere e percorso di studi

29 Le tabelle di contingenza, tabella a doppia entrata Y TOT X TOT

30 Le tabelle di contingenza, tabella a doppia entrata X Y TOT distribuzione di frequenza congiunta TOT

31 Le tabelle di contingenza Genere, Sopravvivenza Classe di viaggio, Sopravvivenza Tipo di farmaco, Infarto miocardico, tabella a doppia entrata Y TOT distribuz. marginale di (somma nelle colonne) X distribuzione congiunta TOT distribuz. marginale di (somma nelle righe)

32 Le tabelle di contingenza I classe II classe III classe =

33 Le tabelle di contingenza I classe II classe III classe =

34 Le tabelle di contingenza I classe II classe III classe = prob. che una passeggero scelto a caso abbia viaggiato in II cl. e sia molto soddisfatto

35 Le tabelle di contingenza I classe II classe III classe = prob. che una passeggero scelto a caso abbia viaggiato in I classe = prob. che una passeggero scelto a caso sia stato poco soddisfatto

36 Le tabelle di contingenza I classe II classe III classe = = Prob. che un passeggero sia stato molto soddisfatto sapendo che era in I classe

37 Le tabelle di contingenza I classe Il gradodi soddisfazione dipende dalla classedi viaggio? II classe III classe = = Prob. che un passeggero sia stato molto soddisfatto sapendo che era in I classe

38 Le tabelle di contingenza Prob. di A. sodd. classe I classe / II classe / III classe / = Prob. di alta soddisfazione sapendola classedi appartenenza

39 Le tabelle di contingenza Prob. di A. sodd. classe I classe / II classe / III classe / = fossero state tutte uguali avremmo concluso che la soddisfazione non dipende dalla classe di viaggio Prob. di alta soddisfazione sapendola classedi appartenenza

40 Le tabelle di contingenza I classe 325 II classe 285 III classe 706 ferme restando le distribuzioni marginali n=1316 l unico modo per assicurarsi prob. condizionate tutte uguali è quello corrispondente all indipendenza delle variabili

41 Le tabelle di contingenza I classe II classe III classe ferme restando le distribuzioni marginali n=1316 #$ frequenzeattese o teoriche nell ipotesi di indipendenza #$ = # $ = (..,) Icl./00 = 1 = )(Icl) )(./00 = 1)

42 Le tabelle di contingenza I classe II classe 285 III classe n=1316 l unico modo per assicurarsi prob. condizionate tutte uguali è quello nella tabella, corrispondente all indipendenza delle variabili =

43 Le tabelle di contingenza I classe II classe III classe n=1316 l unico modo per assicurarsi prob. condizionate tutte uguali è quello nella tabella, corrispondente all indipendenza delle variabili 4 = 4

44 Le tabelle di contingenza I classe II classe III classe n=1316 l unico modo per assicurarsi prob. condizionate tutte uguali è quello nella tabella, corrispondente all indipendenza delle variabili =

45 Le tabelle di contingenza I classe II classe III classe n=1316 l unico modo per assicurarsi prob. condizionate tutte uguali è quello nella tabella, corrispondente all indipendenza delle variabili 4 = 4

46 Le tabelle di contingenza frequenze attese nel caso dell indipendenza I classe II classe III classe frequenze osservate I classe II classe III classe

47 Le tabelle di contingenza frequenze attese I classe II classe III classe frequenze osservate I classe II classe III classe

48 Le tabelle di contingenza frequenze attese I classe II classe III classe = frequenze osservate I classe II classe III classe

49 Le tabelle di contingenza frequenze attese I classe II classe III classe = 0 indica assenza totale di associazione, o indipendenza 5 = frequenze osservate I classe II classe III classe

50 L indice del chi-quadrato Perfetta interdipendenza tra le due variabili I&II classe III classe Perfetta dipendenza della soddisfazione dalla classe di viaggio. I classe II classe III classe 0 816

51 L indice del chi-quadrato Indicazione di dipendenza tra le due variabili Tipo di vacanza N. figli Estero Mare Montagna Perfetta dipendenza della soddisfazione dalla classe di viaggio. I classe II classe III classe 0 816

52 L indice del chi-quadrato frequenze attese frequenze osservate I classe II classe III classe I classe II classe III classe = ( ) = =.>? Promemoria: 5 = 0 corrisponde all indipendenza

53 Il test del chi-quadrato Campione casuale :,,, A, A ( e variabili categoriche) B C indipendenza 5 = 0 B associazione 5 0 Se 5 per tutti i valori, sirifiuta l ipotesi di indipendenza se 5 = 66 ( ) 8 8 > 5 ( 1) (P 1) Q gradi di libertà indice distribuzione (densità)

54 La densità del chi-quadrato v. 24/ (2) (1) 5 (3)

55 Simile alla tavola della t-student 5 (2 1) C.CS = g.d.l. Rpiccolo, per i test

56 L indice del chi-quadrato frequenze attese frequenze osservate I classe II classe III classe I classe II classe III classe = ( ) = =.>? C è una forte evidenza contro l ipotesi nulla di indipendenza. 5 (2 1) C.CS =

57 L indice del chi-quadrato frequenze attese frequenze osservate I classe II classe III classe I classe II classe III classe = ( ) = =.>? Quanto vale il p-value del test?

58 Simile alla tavola della t-student ( UVW < g.d.l. Rpiccolo, per i test