Corso di FONDAMENTI DI RETI DI TELECOMUNICAZIONI. Martino De Marco

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1 Politecnico di Milano Sede di Cremona A.A. 2004/05 Corso di FONDAMENTI DI RETI DI TELECOMUNICAZIONI Martino De Marco cremona.polimi.it) ESERCITAZIONE VALUTAZIONE DELLE PRESTAZIONI Slide 1

2 Indice Sistemi di accodamento Processo degli arrivi Processo di servizio Disciplina di servizio Applicazioni alle telecomunicazioni Condizione di stabilità Occupazione media Tempo di transito Slide 2

3 Sistemi di accodamento Un sistema di accodamento è un sistema deputato all erogazione di un servizio, per accedere al quale gli utenti possono entrare in competizione tra loro Anche se magari non ce ne rendiamo conto, noi abbiamo a che fare quotidianamente con sistemi di accodamento : quando aspettiamo di pagare la spesa alla cassa di un supermercato quando attendiamo che il semaforo si disponga al verde quando andiamo dal barbiere o dal parrucchiere... Slide 3

4 Sistemi di accodamento nelle reti Sistemi di accodamento sono presenti anche negli apparati per reti di telecomunicazione e la loro efficienza determina le prestazioni complessive di una rete Nelle reti a commutazione di pacchetto, i buffer presenti nel nodo consentono di accodare le unità informative in attesa della trasmissione sulla linea di uscita (multiplazione asincrona) Nelle reti a commutazione di circuito (multiplazione sincrona), fenomeni di accodamento sono visibili nella fase di instaurazione dei circuiti, quando le richieste di una apertura della connessione competono per l assegnamento di risorse di rete Slide 4

5 Teoria delle Code Per valutare le prestazioni di sistemi di accodamento si applicano risultati derivanti dalla Teoria delle Code La teoria delle code consente di studiare le prestazioni dei sistemi di accodamento Ritardo: distribuzione dei ritardi sperimentati dagli utenti Perdita: esclusione di utenti dal servizio a causa di eccessiva domanda Throughput: frequenza massima di servizio Popolazione Fila d attesa Servente Slide 5

6 Modello del sistema di accodamento Possiamo modellare un sistema di accodamento con i seguenti elementi: la popolazione: gli utenti potenziali del servizio la fila d attesa (o coda): l insieme degli utenti in competizione per accedere al servizio il servente: l entità deputata all offerta del servizio (la cassiera del supermercato, il sistema semaforico, il barbiere, ecc.). Popolazione Fila d attesa Servente Slide 6

7 Parametri di un sistema di accodamento Parametri che caratterizzano un sistema di accodamento sono: la numerosità della popolazione (N): il numero totale di utenti potenziali la distribuzione degli arrivi: come sono distribuiti nel tempo gli arrivi di nuovi utenti Il tempo di servizio: il tempo che il servente impiega per servire un utente il numero di serventi (M), contemporaneamente attivi la disciplina di servizio: l ordine con cui sono serviti gli utenti la capacità della fila d attesa (L): la capacità della coda di ospitare utenti in attesa del servizio N L m Slide 7

8 Il processo degli arrivi alla coda Se la popolazione è infinita e gli arrivi generati dagli utenti sono indipendenti tra loro, il processo degli arrivi è riconducibile alla legge di Poisson In tal caso, la probabilità che si presentino al sistema n clienti durante un intervallo di durata t è data da: ( ) λt λ t Pn [] t = e n! Il processo degli arrivi è descritto unicamente dalla variabile λ, che indica la frequenza media di arrivo (utenti al secondo) n N L m Slide 8

9 Il processo degli arrivi alla coda (2) Se la popolazione di utenti che possono accedere al sistema viene ipotizzata infinita, l intervallo temporale tra un arrivo ed il successivo (tempo di interarrivo) sarà modellato matematicamente con una funzione di densità di probabilità esponenziale negativa λ e λt Questa funzione rappresenta la frequenza normalizzata con cui si verificano tempi di interarrivo pari a t λ =0,5 arrivi al secondo Slide 9

10 Il processo di servizio In generale i serventi possono essere più di uno Per semplicità si considereranno sempre sistemi a singolo servente Occorre conoscere anche il tempo che il servente impiega per servire un cliente (tempo di servizio) Se il processo di servizio obbedisce alla Legge di Poisson, il tempo di servizio è una variabile casuale descritta da una funzione di densità di probabilità esponenziale negativa, con valore medio Ts La variabile µ indica il numero medio di utenti che il servente riesce a soddisfare nell unità di tempo (frequenza media di servizio): µ= 1/ Ts N L m Slide 10

11 Disciplina di servizio Vi sono diversi modi con cui un servente può soddisfare i suoi utenti: FIFO (First In First Out): servire per primo chi è arrivato per primo LIFO (Last In First Out): servire per primo chi è arrivato per ultimo (stack) SJF (Shortest Job First): servire per primo quello che richiede meno tempo per essere serviti PQ (Priority Queueing): servire per primo che ha più priorità più elevata... In seguito adotteremo il criterio del primo arrivato primo servito (FIFO) N L m Slide 11

12 Capacità della fila d attesa Per quanto riguarda la fila d attesa essa, nella realtà, ha capacità tutt altro che infinita (anche se a volte può sembrarlo!) Se però la capacità della coda è molto grande (L>>λ Ts), si può approssimare la trattazione al caso della fila d attesa con capacità infinita (più semplice da descrivere analiticamente) Si considereranno nel seguito solamente file d attesa aventi capacità infinita N L m Slide 12

13 Notazione formale Notazione formale per esprimere le caratteristiche di un sistema a code: M/M/m/L/N Il primo campo indica come sono distribuiti gli interarrivi dei clienti: M rappresenta una distribuzione esponenziale negativa Il secondo campo serve a rappresentare la distribuzione del tempo di servizio del servente m è il numero di serventi presenti nel sistema considerato L rappresenta la capacità massima della fila d attesa N indica la numerosità della popolazione degli utenti In seguito si considereranno sistemi di tipo M/M/1/ / (M/M/1) Questi sistemi sono completamente descritti se si conosce il numero di utenti presenti in un dato istante in fila d attesa ed occupati col servente Il tempo che un cliente ha già trascorso nel servente non interessa, poiché la distribuzione esponenziale negativa non lo considera: si dice che non ha memoria Slide 13

14 Applicazione alle telecomunicazioni (1) Le considerazioni fatte nel caso generale si possono applicare alle reti di telecomunicazioni a commutazione di pacchetto I clienti sono i pacchetti generati da uno o più terminali il servente è rappresentato da un trasmettitore (multiplatore, in caso di più linee d ingresso) che inoltra i pacchetti su una linea di trasmissione In sede di calcolo si dovrà considerare il tempo di servizio dovuto alla capacità della linea il ritardo introdotto dal trasmettitore è, solitamente, trascurabile Slide 14

15 Applicazione alle telecomunicazioni (2) Se nella coda non sono segnati i posti per gli utenti, intenderemo che il sistema è del tipo a coda infinita La lunghezza dei pacchetti, essendo una variabile casuale con distribuzione ~ esponenziale negativa, ha un valore medio pari a l [bit] Nota la capacità C della linea [bit/s], si può calcolare il tempo medio di servizio del trasmettitore come: ~ l [] s C Il numero medio di pacchetti processati nell unità di tempo dal trasmettitore è: C ~ l [ 1 s ] Slide 15

16 Sistemi di nascita e morte Assumiamo come variabile di stato S(t) del sistema il numero di pacchetti presenti nel sistema (coda+trasmettitore) all istante t Se il sistema non contiene alcun pacchetto, si dice che è nello stato 0 (zero) Se ora arriva un pacchetto il sistema passa dallo stato 0 allo stato 1 Quando il pacchetto viene trasmesso, il sistema ritorna nello stato 0 Un sistema in cui le sole transizioni di stato possibili sono quelle che portano a stati adiacenti viene chiamato sistema di nascita-morte Slide 16

17 Diagramma degli stati Probabilità stazionaria p k è la probabilità stazionaria che il sistema si trovi nello stato k Diamo una definizione intuitiva del concetto di probabilità p k rappresenta la frazione di tempo che il sistema trascorre nello stato k nel corso di un periodo di osservazione motlo lungo p k indica analogamente la frequenza relativa (normalizzata) in cui il sistema viene osservato nello stato k in un gran numero di ispezioni casuali Frequenze di transizione La frequenza con cui il sistema passa dallo stato k allo stato k+1 è λ p k Analogamente, la frequenza con cui il sistema transita dallo stato k+1 allo stato k è µ p k+1, in cui p k+1 è la probabilità stazionaria che il sistema si trovi nello stato k+1 Slide 17

18 Principio di bilanciamento dettagliato Affinché il sistema sia stabile, cioè la sua coda non cresca indefinitamente, la frequenza di transizione dallo stato k allo stato k+1 dev essere uguale alla frequenza di transizione da k+1 a k (Principio di bilanciamento dettagliato) Quindi λ p k =µ p k+1, cioè ad esempio: λ p = µ p λ p = µ p si può ricavare p 2 in funzione di p 0 ottenendo: Generalizzando: λ p2 = p1 = p λ µ µ k k pk = p p λ = ρ µ Slide 18

19 Condizione di stabilità ρ = λ/ µ prende il nome di intensità di traffico o carico del sistema, perché indica la frazione di tempo per cui il servente è occupato es.: λ =1, µ =2 ρ =0,5, cioè per il 50% del tempo il servente sta lavorando e per il restante 50% è inattivo Se λ > µ il sistema si dice instabile, in quanto il servente soddisfa mediamente meno utenti di quanti ne arrivano Occorrerà quindi che, affinché un sistema possa funzionare, λ sia sempre minore di µ Affinché λ < µ (sistema stabile), ρ <1 Slide 19

20 Distribuzione di probabilità stazionaria Poiché la somma delle probabilità (frequenze normalizzate) deve essere 1: k = 0 k 1 pk = ρ p0 = p0 = 1 1 ρ k = 0 dato che la sommatoria di ρ k costituisce una serie geometrica di ragione ρ <1 In definitiva abbiamo che: p 0 =1-ρ e quindi: p k =ρ k (1-ρ) Slide 20

21 Occupazione media del sistema Il numero medio di pacchetti nel sistema (N) sarà: ρ N = = 1 ρ λ µ λ Slide 21

22 Occupazione media del sistema Il numero medio di pacchetti nel sistema (N) sarà quindi: d d N = kp = k = k = = dρ ρ ρ ρ dρ Poiché: d dρ risulta: N = k k k ( 1 k ) ( 1 1 ρ ρ ρ) ρ ρ ( 1 ρ) ρ ( 1 ) k = 0 k = 0 k ρ = ( 1 ) k = 0 d 1 1 = dρ 1 ρ ρ ( ρ ) ( 1 ) 1 ρ ρ ρ = ρ 2 k = 0 k = 0 k = 0 k ρ Slide 22

23 Occupazione media del servente e della coda Il numero medio di pacchetti che il trasmettitore sta processando (N T ) equivale alla frazione di tempo in cui il servente non sia vuoto, cioè: N T =ρ Il numero medio di pacchetti in attesa di essere processati (N A ) può essere calcolato come il numero totale di pacchetti nel sistema meno il numero di pacchetti nel trasmettitore, cioè: N A = 2 ρ ρ ρ 1 ρ = 1 ρ Slide 23

24 Principio di Little (1) Per conoscere il tempo medio di transito nel sistema (coda + trasmettitore), dobbiamo applicare un equazione dimostrata per la prima volta da D. C. Little nel 1961 Spiegazione intuitiva: si indichi con T il tempo medio trascorso da un utente nell intero sistema (cioè l intervallo di tempo che intercorre tra l arrivo e l uscita dal sistema di un pacchetto) Il numero medio di arrivi di nuovi pacchetti durante l intervallo T è λ T Poiché il numero medio di pacchetti nel sistema è N, si ha N= λ T (Principio di Little) Il Principio di Little, può essere utilizzato per calcolare T: ρ 1 N 1. T = = ρ µ 1 = = λ λ 1 ρ µ λ Slide 24

25 Principio di Little (2) Il principio di Little può essere applicato a qualsiasi superficie chiusa, permettendoci di ricavare altri parametri interessanti del sistema tempo medio di transito nella fila d attesa (T A ) in questo caso N A è il numero medio di pacchetti in coda, quindi: T A 2 ρ N A 1 = = ρ ρ = λ λ µ λ tempo medio di transito nel trasmettitore (T T ) T T NT ρ 1 = = = λ λ µ Slide 25

26 Dimensionamento del servente Il Principio di Little consente di dimensionare una sistema di trasmissione Sostituendo a µ la sua espressione in funzione della capacita ~ C della linea di trasmissione e della lunghezza media l dei pacchetti si ottiene: T ~ 1 l = = 1 = C ~ µ λ λ C λl ~ l Slide 26