PROF. ING. UMBERTO CRISALLI Dipartimento di Ingegneria dell Impresa.

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1 corso di Teoria e Tecnica della Circolazione + Trasporti e Territorio a.a ELEMENTI DI TEORIA DELLE CODE PROF. ING. UMBERTO CRISALLI Dipartimento di Ingegneria dell Impresa crisalli@ing.uniroma2.it

2 INTRODUZIONE Simulazione i dei nodi di trasporto t In generale, un nodo di trasporto è costituito da un insieme di punti di servizio per gli utenti che possono essere disposti in: serie parallelo misti (serie-parallelo o parallelo-serie) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 2

3 INTRODUZIONE Definizione del problema In ogni punto di servizio vengono svolte delle attività che: richiedono un certo tempo di servizio capacità impegnano delle risorse capacità: massimo numero di utenti che è possibile servire nel periodo di riferimento considerato Es. barriera autostradale (unico canale) tempo medio di servizio 3 veic./min capacità del punto di servizio 180 veic./h tasso medio degli arrivi: i numero medio di utenti ti in arrivo nel sistema tasso medio degli arrivi > tasso medio di servizio coda Es. barriera autostradale (unico canale) arrivano 400 veic/h capacità 180 veic./h 220 veic/h in coda U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 3

4 INTRODUZIONE Definizione del problema tasso medio degli arrivi > tasso medio di servizio (condizioni di sovrasaturazione) Se queste condizioni permangono nel tempo la coda cresce indefinitivamente ora arrivi capacità coda veic. veic. veic co oda (veic.) condizioni di sovrasaturazione tempo (h) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 4

5 INTRODUZIONE Definizione del problema La coda può essere smaltita solo se tasso medio degli arrivi i< tasso medio di servizio i (condizioni di sottosaturazione) Se permangono queste condizioni, dopo un certo periodo di tempo, la coda può essere smaltita. ora arrivi capacità coda veic. veic. veic coda (veic.) tempo (h) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 5

6 INTRODUZIONE Definizione del problema Si noti che, essendo il numero di arrivi ed il tempo di servizio delle variabili aleatorie, anche in condizioni i idi sottosaturazione t può generarsi una coda Esempio (1/2) 0<arrivi<60 sec. 0<Ts<30 sec. arrivi servizio cumulat ta arrivi 1 9 sistema ad un unico canale tempo (sec) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 6

7 INTRODUZIONE Definizione del problema Si noti che, essendo il numero di arrivi ed il tempo di servizio delle variabili aleatorie, anche in condizioni di sottosaturazione può generarsi una coda Esempio (2/2) 0<arrivi<60 sec. 0<Ts<30 sec. 4 arrivi servizio cumula ata arrivi sistema ad un unico canale 25 CODA tempo (sec.) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 7

8 INTRODUZIONE Obiettivo Dimensionare la capacità dei punti di servizio per: evitare fenomeni di sovrasaturazione contenere i tempi di attesa entro standard prefissati capacità di un punto di servizio capacità del sistema Sistema S con più punti di servizio p IN SERIE CAP S = capacità del sistema S cap p = capacità del punto di servizio p CAP S = min p [cap p ] p S La capacità di un sistema costituito da punti di servizio in serie è pari alla più bassa delle capacità dei singoli punti di servizio che compongono il sistema. U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 8

9 INTRODUZIONE Simulazione dei sistemi a barriera Lo studio dei nodi di trasporto, e dei singoli punti di servizio al suo interno, può essere effettuata utilizzando: modelli analitici (teoria delle code) modelli sperimentali (simulazione) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 9

10 INTRODUZIONE I sistemi a barriera Caratteristiche del sistema modello degli arrivi meccanismo del servizio disciplina p della coda U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 10

11 Modello degli arrivi Occorre definire: il tempo intercorrente tra un istante qualsiasi e un arrivo successivo il numero di arrivi in un intervallo fissato di tempo t variabili aleatorie con una data distribuzione U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 11

12 Modello degli arrivi alla Poisson (1/3) Una successione nel tempo di arrivi prende il nome di processo di Poisson con parametro α quando: la probabilità che si verifichi un arrivo nell'intervallo (t, t+δt), al tendere di δt a 0 è proporzionale all'ampiezza δt dell'intervallo tramite α, a meno di un infinitesimo it i di ordine superiore, ovvero: ( + δ ) = = αδ + ( δ ) lim prob N t, t t 1 t O t δ t 0.. (continua) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 12

13 Modello degli arrivi alla Poisson (2/3) Una successione nel tempo di arrivi prende il nome di processo di Poisson con parametro α quando: la probabilità che si verifichi più di un arrivo tende ad un infinitesimo di ordine superiore: ( ) ( ) lim prob N tt, + δt > 1 = O δt δ t 0 e quindi la probabilità che non si verifichi alcun arrivo è: δ t 0 ( δ ) lim prob N t, t + t = 0 = 1 αδt.. (continua) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 13

14 Modello degli arrivi alla Poisson (3/3) Una successione nel tempo di arrivi prende il nome di processo di Poisson con parametro α quando: la probabilità di un arrivo nell'intervallo (t, t+δt) è indipendente da ciò che è accaduto negli intervalli precedenti (la probabilità condizionata è uguale alla probabilità bilità semplice): ( + δ ) = ( δ ) = = ( + δ ) = = αδ + ( δ ) lim prob N t, t t 1/ N t t, t i prob N t, t t 1 t O t δ t 0.. (continua) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 14

15 Modello degli arrivi alla Poisson Se il processo degli arrivi degli utenti è un processo di Poisson con tasso medio α il numero di arrivi in un intervallo fissato di tempo t è una v.a. discreta di Poisson Il tempo intercorrente tra un istante qualsiasi e un arrivo successivo è una v.a. continua esponenziale negativa con media l/α arrivi completamente casuali U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 15

16 Meccanismo di servizio numero di canali serventi tempo di servizio t s Tempi p di servizio costanti (approccio (pp deterministico) il tempo di servizio vale t s per tutti gli utenti ed il tasso medio di servizio, ed il numero di utenti che può essere servito nell unità di tempo è pari a 1/t s Tempi di servizio variabili (approccio stocastico) il tempo di servizio è una variabile aleatoria, di cui occorre definire la distribuzione. ib i Spesso ci si può ricondurre alle leggi idi probabilità bilitàdie Erlang (e quindi all esponenziale negativa nel caso K=1); se t s è il tempo medio di servizio, il tasso medio di servizio è 1/ t s Se i tempi di servizio sono distribuiti secondo una esponenziale negativa, il processo delle partenze è un processo di Poisson di parametro σ = 1/ t s U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 16

17 Disciplina della coda sistemi ad un canale accesso al servizio in ordine di arrivo (FIFO); accesso in modo casuale; l ultimo arrivato è il primo servito (LIFO); esistono utenti che hanno priorità rispetto agli altri. sistemi a più canali unica coda con accesso al primo canale libero; una coda per ogni canale con scelta libera da parte degli utenti con scelta vincolata da regole predeterminate (ad esempio suddivisione per lettera alfabetica) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 17

18 Denominazione dei sistemi (Codice Kendall) dove: A idi indica il modello dll degli arrivi ii (M=arrivi alla Poisson) A/B/m; n/c B indica il modello di servizio (M=tempi di servizio esponenziali negativi; EK=tempi di servizio alla Erlang con parametro K) m indica il numero di canali di servizio; n il numero massimo di utenti che possono essere accolti in coda; C idi indica la disciplina ili del dlservizio ii (FIFO, LIFO, RIFO, ecc.) Ad esempio: M/M/1; /FIFO U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 18

19 Variabili di sistema Definizioni: intensità di traffico ρ : ρ = α / σ dove: α = tasso medio di arrivo per canale; σ = 1/ t s tasso medio di servizio (capacità o potenzialità) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 19

20 Esempio Per un casello autostradale con un solo posto di esazione si ha un tasso medio di arrivo 3 veicoli al minuto e un tasso medio di servizio di 6 veicoli al minuto..(continua) unico canale servente α = 3 σ = 6 ρ = α / σ = U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 20

21 Variabili di sistema Definizioni: tempo di attesa w A : tempo intercorrente tra l ingresso dell utente nel sistema e l inizio del servizio tempo di permanenza nel sistema w s : tempo intercorrente tra l arrivo dell utente e la fine del servizio w s = w A + t s U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 21

22 Variabili di sistema Definizioni: utenti in attesa n A : numero di elementi in attesa utenti nel sistema n s : numero di elementi nel sistema U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 22

23 Variabili di sistema Definizioni: n s n A w s w A = numero medio di utenti nel sistema = numero medio di utenti in attesa = tempo medio di permanenza nel sistema = tempo medio di attesa w w s A = ns / α = n / α w A = w n A n A s A = s t ρ s U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 23

24 Misura delle caratteristiche di funzionamento del sistema Dato un punto di funzionamento del sistema occorre determinare: media e distribuzione dei tempi di attesa w A ; media e distribuzione del numero n s di utenti presenti nel sistema ed n A presenti in coda ad ogni istante; media e distribuzione dei tempi in cui i canali sono occupati da utenti. U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 24

25 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Equazioni di equilibrio del sistema [M/M/1;,FIFO] P n (t) = probabilità che il sistema si trovi alla stato A n al tempo t la probabilità che nell intervallo (t, t+δt) il sistema passi dallo stato: A n A n+1 è pari a αδt; A n A n-1 èpariaσδt a A n A n+2 è pari a 0 A n A n-2 è pari a 0 si può verificare solo uno dei seguenti eventi: 1 arrivo, con probabilità αδt 1 partenza, con probabilità σδt, 0 arrivi e 0 partenze, con probabilità 1 - (αδt + σδt) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 25

26 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Equazioni di equilibrio del sistema [M/M/1;,FIFO] Pn (t + δt) = Pn ( t) [ 1- ( α + σ ) δt] + Pn-1 ( t) αδt + Pn+ 1( t) σδt dpn () t = P n ( t )( α + σ ) + P n 1 ( t ) α + P n + 1 ( t )σ dt sistema in equilibrio =P n (t-1) = P n (t) = = P n Equazioni di equilibrio: αp0 + σp1 = 0 α + σ + αp + σp ( ) 0 P1 0 2 = ( α + σ) + αp + σp 0 Pn n 1 n+ 1 = =1 P i P = n P 0 ρ n U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 26

27 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sistemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poisson e tempi di servizio esponenziali α = tasso medio arrivi σ = tasso medio servizi poiché n Pn = P 0 ρ n Pn = P0 ρ = n= 0 n= 0 1 n 1 ρ = per ρ 1 n= 0 ( 1 ρ) P P 0 = 1 ρ n = (1 ρ) ρ n U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 27

28 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sistemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poisson e tempi di servizio esponenziali VARIABILI DI SISTEMA numero medio di elementi nel sistema ρ ns = np = n( 1 ρ) ρ n n = ρ n= 0 n= 0 1 n n ρ essendo ρ = n= 0 ( 1 ρ) 2 ( ) numero medio di elementi in attesa n a = n s 1 ( 1 P ) 0 = n s ρ = ρ 2 ( 1 ρ) U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 28

29 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sistemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poisson e tempi di servizio esponenziali VARIABILI DI SISTEMA funzione di distribuzione F N dei numero di elementi nel sistema F r r N n ρ 1 n= 0 n= 0 n r+ 1 () r = P[ n r] = P = ( 1 ρ) = ρ probabilità di avere più di N utenti in attesa P(nA > N) = P(ns > N +1) = ρ N+2 probabilità P A di attendere A P A = P (n s >1) = ρ 2 U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 29

30 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sistemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poisson e tempi di servizio esponenziali VARIABILI DI SISTEMA tempo medio di permanenza nel sistema w s ( 1 ρ ) α = n 1 α = ρ 1 s tempo medio di permanenza in attesa w A 2 ( 1 ρ ) 1 α = ρ 1 U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 30

31 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sistemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poisson e tempi di servizio esponenziali VARIABILI DI SISTEMA K-mo percentile del numero di elementi nel sistema N ( r ) = P [ n r ] k / 100 F N = 1- ρ r r+1 ρ r+1 = = K/100 = 1- K/100 [ ln(l - K/100)/ln ρ ]- 1 U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 31

32 Esempio Per un casello autostradale con un solo posto di esazione si ha un tasso medio di arrivo 3 veicoli al minuto e un tasso medio di servizio di 6 veicoli al minuto: nell ipotesi che gli arrivi costituiscano un processo di Poisson echeitempie i di servizio siano distribuiti in modo esponenziale negativo calcolare: il numero medio di elementi nel sistema ns ed in attesana il tempo medio di permanenza nel sistema w s ed in attesa w la probabilità che ci siano 1,3,5 veicoli nel sistema la probabilità di attendere la probabilità di avere in attesa più di 1,2,3 veicoli A U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 32

33 ESEMPIO Sistemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poisson e tempi di servizio esponenziali Esempio (1/4) E possibile calcolare: l numero medio di elementi nel sistema ρ 0.5 n s = 1veic. n s = = ( 1 ρ) ( 1 0.5) numero medio di elementi in attesa ρ = n A = = 1 ρ n A ( ) ( ) 0.5 veic. U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 33

34 ESEMPIO Sistemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poisson e tempi di servizio esponenziali Esempio (2/4) E possibile calcolare: l tempo medio di permanenza nel sistema w s = 1 ρ ρ 1 α w s w s = = min tempo medio di permanenza in attesa w A w w A 2 ρ 1 = 1 ρ α w A = = min U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 34

35 ESEMPIO Sistemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poisson e tempi di servizio esponenziali Esempio (3/4) E possibile calcolare: l Probabilità che ci siano n elementi nel sistema P n (1 ρ) n = ρ P1 = (1 0.5) 0.5 = P3 = (1 0.5) 0.5 = P 5 = (1 0.5) 0.5 = = funzione di distribuzione F Ns dei numero di elementi nel sistema r+ 1 FN s () r = P[ ns r] = 1 ρ U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 35

36 ESEMPIO Sistemi ad unico canale [M/M/1;,FIFO] arrivi alla Poisson e tempi di servizio esponenziali Esempio (4/4) E possibile calcolare: probabilità di avere più di N utenti in attesa N+2 P(nA > N) = P(ns > N +1) = ρ P(nA > 1) = 0.5 = P(n A > 2) = = P(n > 3) = probabilità p P A di attendere A A = 2 A = PA = P (ns >1) = ρ P = U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 36

37 APPLICAZIONI Modifiche ai sistemi di coda Modifiche al meccanismo degli arrivi i Mdifih Modifiche al meccanismo di servizio ii Modifica alla disciplina i della coda U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 37

38 APPLICAZIONI Modifiche ai sistemi di coda Meccanismi di arrivo riduzione del tasso medio degli arrivi (ad es. escludendo alcune categorie di utenti) controllo dei tempi di arrivo con un sistema ad appuntamento modifica al tasso di arrivo cercando di ottenere un flusso più regolare ( ad. es. cercando di appiattire i fenomeni di punta) incoraggiare o scoraggiare gli utenti a seconda della lunghezza della coda U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 38

39 APPLICAZIONI Modifiche ai sistemi di coda Meccanismi di servizio diminuire il tempo media di servizio ridurre il coefficiente di variazione del tempo di servizio ridurre i tempi di servizio i in maniera più sensibile nei periodi di punta aumentare la capacità del servizio quando si osserva una congestione elevata o quando ci si aspetta un numero di utenti maggiore del numero media U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 39

40 APPLICAZIONI Modifiche ai sistemi di coda Disciplina della coda dare o togliere la priorità agli utenti più importanti dare priorità agli utenti con tempi di servizio più corti distribuire gli utenti alle varie code a seconda dei presunti tempi idi servizio i cambiare la disposizione di serventi U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 40

41 APPLICAZIONI Modifiche ai sistemi di coda a = tempi di arrivo e di servizio costanti b = arrivi costanti e tempi di servizio esponenziali c= arrivi casuali e tempi di servizio costanti d = arrivi casuali e tempi di servizio esponenziali U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 41

42 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sistemi ad unico canale arrivi alla Poisson e tempi di servizio qualsiasi n s w s = αt = t s s σs s 2 s 2 α t ρ = ρ + [ ] 1+ C ( 1 α t ) 2 ( 1 ρ ) 2 α t + σ s αt 2 s ( s ) 2 2 v 2 σ s = varianza di t s C v = coeff. variazione U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 42

43 RISULTATI DELLA TEORIA DELLE CODE Sistemi ad unico canale arrivi alla Poisson e tempi di servizio costanti 2 σ s = 0 n s = αt s + α 2 2 t 2 = ρ + ρ ( αt ) 2( 1 ρ) 2 1 s s w s = t s + ρt 2 s = t s + ρ ( 1 ρ ) 2α ( 1 ρ ) 2 U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 43

44 Risultati della teoria delle code Limiti SISTEMI REALI impossibilità di ricavare formulazioni analitiche in forma chiusa, a meno di notevoli approssimazioni SIMULAZIONE U. Crisalli - Teoria e Tecnica della Circolazione 44